初升高数学衔接知识点.pptx
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初高中数学衔接函数ppt课件
∴二次函数的解析式为 y 3 (x 1)2 2 ． 4
12
例 7.已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到 x 轴的距离等于 2，
求此二次函数的表达式．
解解：：法法一二 ∵∵二二次次函函数数的的图图象象过过点点((－－33，，00))，，((11，，0)0，)， ∴对称轴为直线 x 1． ∴又可顶设点二到次x函轴数的为距y离为a2(x， 3∴)(x顶点1)的(a纵坐0标) ，为即2 或y －a2x．2 2ax 3a .
7
四、二次函数
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做x的二次函数.
2.定义要点:
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0.
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数 项,但不能没有二次项.
3.几种不同表示形式:
y k x
y k x
o
x
o
x
驶向胜利 பைடு நூலகம்彼岸
• (4).图象的发展趋势 反比例函数的图象无限接近
于x,y轴,但永远达不到x,y轴,画图象时,要体现出这
个特点.
• (5).对称性 反比例函数的图象是关于原点成中心
对称的图形.
6
画出下列反比例函数图象
1.
y6 x
y6
2.
x
3.
y3 x
4.
y3 x
15
练习：
1、抛物线 y 4x2 3 的对称轴及顶点坐标分
别是（ D ） A、y轴，（０，-4） B、x＝３，（０，４） C、x轴，（０，０） D、y轴， （０，３）
2、二次函数 y (x 1)2 2 图象的顶点坐标
12
例 7.已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到 x 轴的距离等于 2，
求此二次函数的表达式．
解解：：法法一二 ∵∵二二次次函函数数的的图图象象过过点点((－－33，，00))，，((11，，0)0，)， ∴对称轴为直线 x 1． ∴又可顶设点二到次x函轴数的为距y离为a2(x， 3∴)(x顶点1)的(a纵坐0标) ，为即2 或y －a2x．2 2ax 3a .
7
四、二次函数
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做x的二次函数.
2.定义要点:
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0.
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数 项,但不能没有二次项.
3.几种不同表示形式:
y k x
y k x
o
x
o
x
驶向胜利 பைடு நூலகம்彼岸
• (4).图象的发展趋势 反比例函数的图象无限接近
于x,y轴,但永远达不到x,y轴,画图象时,要体现出这
个特点.
• (5).对称性 反比例函数的图象是关于原点成中心
对称的图形.
6
画出下列反比例函数图象
1.
y6 x
y6
2.
x
3.
y3 x
4.
y3 x
15
练习：
1、抛物线 y 4x2 3 的对称轴及顶点坐标分
别是（ D ） A、y轴，（０，-4） B、x＝３，（０，４） C、x轴，（０，０） D、y轴， （０，３）
2、二次函数 y (x 1)2 2 图象的顶点坐标
初高中数学衔接讲座课件
概率与统计衔接点
概率初步知识
初中数学中的概率初步知识在高中阶段将更加深入，涉及 到条件概率、事件的独立性等，需要学生掌握概率的基本 思想和方法。
统计初步知识 初中数学中的统计初步知识在高中阶段将更加详细，涉及 到数据的收集与整理、概率分布等，需要学生提高数据处 理和分析能力。
随机变量及其分布
高中数学引入随机变量及其分布，为描述随机现象提供数 学模型，需要学生掌握离散型随机变量及其分布列、连续 型随机变量及其概率密度等知识。
古典概型和几何概型的计算 和应用
02
01
03
统计图表的认识和制作，如 条形图、折线图、扇形图等
数据的收集和整理，包括数 据的来源、数据的分类和整
理方法等
04
05
平均数、中位数、众数等统 计量的计算和应用
03
高中数学新增知识点介绍
函数与导数
一次函数、二次函数、指数函数、 对数函数等基本函数的图像与性 质。
初高中数学衔接讲座 课件
目录
• 引言 • 初中数学知识点回顾 • 高中数学新增知识点介绍 • 初高中数学衔接点分析 • 学习方法与技巧分享 • 案例分析：成功跨越初高中衔接阶
段
01
引言
目的和背景
帮助学生了解初高中数学知识的差异和联系 01
提高学生的数学素养和综合能力，为高中数学学 02 习打下基础
针对高中数学的特点，指 导学生掌握正确的学习方 法和思维习惯。
个性化辅导
心理疏导
针对不同学生的实际情况， 制定个性化的辅导计划， 帮助学生解决学习困难。
关注学生的心理状态，及 时进行心理疏导，帮助学 生保持积极的学习态度。
案例三：家长如何助力孩子跨越衔接阶段
初升高数学衔接教材(完整).pptx
图象与 x 轴的交点个数：
①当 b2 4ac 0 时，图象与 x 轴交于两点 A x1，0，Bx ，2 0 (x1 x 2) ，其中的 x1 ，x2是一元二次方程
ax2
bx c 0a 0 的两根。这两点间的距离 AB x2 x1
b2 4ac . a
②当 0 时，图象与 x 轴只有一个交点； ③当 0 时，图象与 x 轴没有交点.
必然相交于
点，此时m ．
例 4.抛物线 y x2 (2m 1)x 6m 与 x 轴交于两点(x，0) 和 (x ，0)，若 x x x x 49 ，要使抛物线
1
2
12
1
2
经过原点，应将它向右平移
个单位．
例 5.关于 x 的二次函数 y 2mx2 (8m 1)x 8m 的图像与 x 轴有交点，则 m 的范围是（ ）
（4） 3x 2 7 (5) 5x 7 8
3、因式分解 乘法公式
1 平方差公式(a b)(a b) a2 b2 2 完全平方公式(a b)2 a2 2ab b2 （3）立方和公式(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 （4）立方差公式(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 5 三数和平方公式(a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ac) 6 两数和立方公式(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
4.若二次函数 y ax2 c ，当 x 取 x 、 x （ x x ）时，函数值相等，则当 x 取 x x 时，函数值为
1
2
1
2
Байду номын сангаас
1
2
（）
Ａ． a c Ｂ． a c Ｃ． c Ｄ． c
5、已知二次函数 y 1 x2 bx c ，关于 x 的一元二次方程 1 x2 bx c 0 的两个实根是1和 5 ，
初高中数学衔接课(高一)PPT课件图文(2024)
02
展示正弦函数、余弦函数、正切函数的图像，分析三角函数的
周期性、奇偶性、单调性等性质。
三角恒等变换
03
介绍三角恒等式，如和差化积、积化和差等公式，以及它们在
三角函数计算中的应用。
13
数列与数学归纳法
2024/1/29
数列的概念及表示方法
阐述数列的定义、数列的通项公式及递推公式等基础知识 。
等差数列与等比数列
详细讲解等差数列和等比数列的定义、性质及求和公式。
数学归纳法及其应用
介绍数学归纳法的原理及步骤，通过实例演示数学归纳法 在证明数列问题中的应用。
14
04
初高中数学衔接关键点分析
2024/1/29
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思维方式转变
从具象到抽象
初中数学以具象思维为主，而高 中数学则更强调抽象思维，需要 学生逐渐适应并培养抽象思维能
力。
从静态到动态
初中数学问题多为静态的，而高 中数学则涉及更多动态变化的问 题，需要学生理解并掌握变量之
间的关系。
从单一到多元
初中数学知识点相对单一，而高 中数学知识点更加多元化，需要 学生建立多元化的知识体系和思
维方式。
2024/1/29
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学习方法调整
2024/1/29
课前预习与课后复习
高中数学内容相对复杂，需要学生做好课前预习和课后复习，加 深对知识点的理解和记忆。
教材内容
涵盖初中数学与高中数学衔接部 分的核心知识点，包括函数、方 程、不等式、数列、概率统计等
。
2024/1/29
教材结构
按照知识模块进行划分，每个模块 包含知识点讲解、例题分析、练习 题等内容，便于学生理解和掌握。
辅助资源
2019-2020人教B版数学必修1 初升高衔接课课件PPT
●知识点 2 一元二次方程 (1)定义：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可以由 b2－4ac 来判定，我们把 b2－4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
(2)判断依据：对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有 ①当 Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根 x1,2＝－b± 2ba2－4ac； ②当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－2ba； ③当 Δ<0 时，方程没有实数根．
●知识点 4 不等式 (1)解一元一次不等式(组)的注意事项． ①移项要变号． ②不等式两边同除一个正数，不等号方向不变；不等式两边同除 一个负数，不等号方向改变. ③解不等式组，可先对每个不等式求解，再求这些解的公共部分 (也就是求同时满足这些不等式的解)，口诀“大大取较大，小小取较 小，大小小大中间找”．
【例 3】 已知 x1，x2 是方程 x2－2x－1＝0 的两个实数根，求 (1)x1＋x2. (2)(2x1－1)(2x2－1)． (3)x21＋x22. (4)x11＋x12.
ห้องสมุดไป่ตู้
[解] 由根与系数的关系可知 x1＋x2＝2，x1x2＝－1， (1)x1＋x2＝2. (2)(2x1－1)(2x2－1) ＝4x1x2－2(x1＋x2)＋1 ＝－4－4＋1＝－7. (3)x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4＋2＝6. (4)x11＋x12＝x1x＋1x2x2＝－21＝－2.
●知识点 2 常用的乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1)平方差公式 (a＋b)(a－b)＝a2－b2； (2)完全平方公式 (a±b)2＝a2±2ab＋b2.
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： (1)立方和公式 (a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3； (2)立方差公式 (a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3； (3)三数和平方公式 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)； (4)两数和立方公式 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3； (5)两数差立方公式 (a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3. 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
初高中数学知识点的衔接问题-PPT课件-图文
8.重视专题教学 利用专题教学，集中精力攻克难点，强化重点和弥补弱点，系统归纳总结某一类问题的前后知识，应用形式，解决方法和解题规律.并借此机会对学生进行学法的指点，有意渗透数学思想方法.
9.引导学生转变观念、改进学法，提升思维能力 (1)指导学生正确对待学习中遇到的新困难和新问题. (2)教师应注意培养学生的预习习惯，提高听课效率.高中课堂内容多，难度大，需要学生在课前进行预习，以缓解教师授课速度快，课堂容量大，学生接受知识吃力等问题.. (3)在高初中衔接过程中，单凭教师的力量不能解决同学们的所有疑问，这就需要利用同学中的良好资源，开展探讨，互帮互助，这也是新课程倡导的合作学习，探究学习的一种形式.正如哲学家萧伯纳所说：“如果你有一种思想，我有一种思想，我们进行交换，每人可以有两种思想.” (4)荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力.”
(5)重视培养良好的演算、验算习惯，提高运算能力.学习数学离不开运算，运算是数学学习的基础. (6)数学是关于思维的科学，学习数学的过程就是数学思维形成与发展的过程.高一新生其思维习惯正由直觉形象型向抽象经验型过渡，因此，必须重视抓紧培养. 例如，在学习高一教材《函数》时，我们可借助于二次函数. 首先，画出下列函数的图像，由图像观察函数的值域 ①y=x2-2x ②y=x2-2x，x∈［0，+∞) ③y=x2-2x，x∈(-∞，4) ④y=x2-2x，x∈［0，4) ⑤y=x2-2x，x∈［2，4］ ⑥y=x2-2x，x∈［-1，0］ ⑦y=x2-2x，x∈［a，a+1］ ⑧y=(x-a)2-1，x∈［2，4］ 这样不仅有助于函数概念和性质的学习，还有助于数形结合，化归转化等重要数学思想的培养，从而提高学生的思维能力.
5.思维方式方面 初中学习更多的是记忆与模仿，而高中学习更重要的是发散思维和创新意识.高中强调数学能力和数学思想的运用，其中运算能力、逻辑推理能力、空间想像能力和分析问题、解决问题的能力都有很高的要求.高中数学中渗透四大数学思想方法，即数形结合思想、函数与方程的思想、分类讨论、化归与转化.这些虽然在初中教学中有所体现，但在高中教学中反映得更充分. 例如解决ax2+4x+6>0这样简单的不等式时，首先要讨论a是否为零，如果不为零，还要讨论a是正数还是负数，这需要学生有分类讨论的思想意识（高一新生往往做不好）.
9.引导学生转变观念、改进学法，提升思维能力 (1)指导学生正确对待学习中遇到的新困难和新问题. (2)教师应注意培养学生的预习习惯，提高听课效率.高中课堂内容多，难度大，需要学生在课前进行预习，以缓解教师授课速度快，课堂容量大，学生接受知识吃力等问题.. (3)在高初中衔接过程中，单凭教师的力量不能解决同学们的所有疑问，这就需要利用同学中的良好资源，开展探讨，互帮互助，这也是新课程倡导的合作学习，探究学习的一种形式.正如哲学家萧伯纳所说：“如果你有一种思想，我有一种思想，我们进行交换，每人可以有两种思想.” (4)荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力.”
(5)重视培养良好的演算、验算习惯，提高运算能力.学习数学离不开运算，运算是数学学习的基础. (6)数学是关于思维的科学，学习数学的过程就是数学思维形成与发展的过程.高一新生其思维习惯正由直觉形象型向抽象经验型过渡，因此，必须重视抓紧培养. 例如，在学习高一教材《函数》时，我们可借助于二次函数. 首先，画出下列函数的图像，由图像观察函数的值域 ①y=x2-2x ②y=x2-2x，x∈［0，+∞) ③y=x2-2x，x∈(-∞，4) ④y=x2-2x，x∈［0，4) ⑤y=x2-2x，x∈［2，4］ ⑥y=x2-2x，x∈［-1，0］ ⑦y=x2-2x，x∈［a，a+1］ ⑧y=(x-a)2-1，x∈［2，4］ 这样不仅有助于函数概念和性质的学习，还有助于数形结合，化归转化等重要数学思想的培养，从而提高学生的思维能力.
5.思维方式方面 初中学习更多的是记忆与模仿，而高中学习更重要的是发散思维和创新意识.高中强调数学能力和数学思想的运用，其中运算能力、逻辑推理能力、空间想像能力和分析问题、解决问题的能力都有很高的要求.高中数学中渗透四大数学思想方法，即数形结合思想、函数与方程的思想、分类讨论、化归与转化.这些虽然在初中教学中有所体现，但在高中教学中反映得更充分. 例如解决ax2+4x+6>0这样简单的不等式时，首先要讨论a是否为零，如果不为零，还要讨论a是正数还是负数，这需要学生有分类讨论的思想意识（高一新生往往做不好）.
高中数学件初高中数学课堂衔接ppt课件
高中数学件初高中数学课堂衔接ppt课件contents •引言•初中数学知识点回顾•高中数学新增知识点介绍•初高中数学衔接点分析•高中数学学习方法与建议•高中数学课堂互动环节设计目录引言目的和背景帮助学生顺利过渡初中数学与高中数学在知识点、难度和思维方式上存在较大差异，因此需要通过衔接课程帮助学生顺利过渡。
提高数学素养高中数学更加注重数学素养的培养，包括数学思维、数学方法和数学应用等方面。
适应高中数学学习高中数学的学习需要学生具备更高的自主学习能力和思维能力，因此需要通过衔接课程帮助学生适应高中数学学习。
课件内容概述初中数学知识点回顾高中数学知识点引入数学思想方法渗透学生自主学习能力培养初中数学知识点回顾包括多项式、因式分解等。
包括分式的化简、通分、约分等。
包括一元一次方程、一元二次方程、不等式及其解法等。
包括一次函数、二次函数、反比例函数等。
整式及其运算分式及其运算方程与不等式函数及其性质01020304图形的基本性质三角形与四边形圆与扇形空间图形概率初步统计初步随机事件及其概率统计图表与数据分析概率与统计初步高中数学新增知识点介绍函数与导数数列与数学归纳法数列的极限与收敛数列的概念与性质理解数列极限的概念，掌握极限的运算法则，能够判断数列的收敛性。
数学归纳法理解任意角的三角函数定义，掌握三角函数的性质，如周期性、奇偶性等。
任意角的三角函数三角函数的图像与性质两角和与差的三角函数公式解三角形掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像特征，理解它们的性质和应用。
掌握两角和与差的三角函数公式，能够运用这些公式进行三角函数的化简和求值。
理解正弦定理、余弦定理的应用，能够运用这些定理解决三角形的边角问题。
三角函数与解三角形1 2 3空间几何体点、直线、平面的位置关系空间向量及其运算立体几何初步初高中数学衔接点分析代数式的运算掌握整式、分式的四则运算，理解因式分解、配方等代数变形方法。
数的概念扩展从有理数扩展到实数，引入无理数和复数，理解数的连续性和完备性。
初高中数学衔接讲座 PPT课件 图文
例 1 分解因式： （1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3） x2 (a b)xy aby2 ；
（4） xy 1 x y ．
课堂练习
1.填空题：把下列各式分解因式：
（1） x2 5x 6 __________________________________________________。
x b b2 4ac , x b b2 4ac
2a
2a
所以： x1 x2 b
b2 4ac b
2a
b2 4ac b ，
2a
a
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac (b)2 ( b2 4ac)2 4ac c
2.把下列各式分解因式
(1) 2 y2 4 y 6
(2) b4 2b2 8
(3) 62 p q2 11q 2 p 3
4、提取公因式法 例 2 分解因式：
（1） a2 b 5 a5 b
（2） x3 9 3x2 3x
课堂练习： 一、填空题：
2a
2a
2a
当 x＝ b 时，函数取最大值 y＝ 4ac b2 ．
2a
4a
y x＝－ b 2a
y
b 4ac b2
A ( ,
)
2a 4a
O
x
A (
b
4ac b2
,
)
2a 4a
图 2.2-3
O
x
x＝－ b 2a
图 2.2-4
例 1 求二次函数 y＝－3x2－6x＋1 图象的开口方向、 对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该 函数的图象．
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学海无涯
1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对 值仍是零．即
a, a 0, | a | 0, a 0,
a, a 0.
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数 a 和数b 之间的距离．
1. 填空：
（1）若 x 5，则 x=
；若 x 4 ，则 x=
.
（2）如果 a b 5，且 a 1，则 b＝
；若 1 c 2 ，则 c＝
.
2. 选择题： 下列叙述正确的是（） （A）若 a b ，则 a b （B）若 a b ，则 a b
（C）若 a b ，则 a b （D）若 a b ，则 a b
把 b2－4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有 （1） 当 Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根
x1，2＝ b b2 4ac ； 2a
（2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根
例 1 已知方程5x2 kx 6 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值． 例 2 已知关于 x 的方程 x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0 有两个实数根，并且这两个实数根的平
方和比两个根的积大 21，求 m 的值．
例 3 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2＋5x－3＝0 的两根． （1）求|x1－x2|的值；
（2）求
1 x2
1 x
2
的值；
1
2
（3）x13＋x23．
6.二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像和性质
3
学海无 涯
（1）当 a＞0 时，函数 y＝ax2＋bx＋c 图象开口向上；顶点坐标为( b , 4ac b2 )，对称 2a 4a
轴为直线 x＝－ b ；当 x＜ b 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x＞ b 时，y 随着 x 的增大
（2）立方差公式(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 ；
3 两数和立方公式(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 ；
4 两数差立方公式(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 ．
练习 1．填空：
（1） 1 a2 1 b2 ( b1 1 a) （）； 9 4 23
2a
2a
2a
的增大而减小；当 x＝ b 时，函数取最大值 y＝ 4ac b2 ．
2a
4a
例 1 求二次函数 y＝－3x2－6x＋1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），
并指出当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
4
（2）当 b2－4ac＝0 时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
2
学海无涯
x1＝x2＝－ b ； 2a
（3）当 b2－4ac＜0 时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x b )2 一定大于或 2a
等于零，因此，原方程没有实数根． 由此可知，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由 b2－4ac 来判定，我们
4.
根的判别式
我们知道，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
(x b )2 b2 4ac ．①
2a
4a2
因为 a≠0，所以，4a2＞0．于是
（1）当 b2－4ac＞0 时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
x1，2＝ b b2 4ac ； 2a
2a
2a
2a
而增大；当 x＝ b 时，函数取最小值 y＝ 4ac b2 ．
2a
4a
（2）当 a＜0 时，函数 y＝ax2＋bx＋c 图象开口向下；顶点坐标为(
b
4ac b2 ,
)，
2a 4a
对称轴为直线 x＝－ b ；当 x＜ b 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x＞ b 时，y 随着 x
（2） (4m )2 16m2 4m ( ) ；
(3) (a 2b c)2 a2 4b2 c2 ( ) ．
2. 选择题：
1 若 x2 1 mx k 是一个完全平方式，则 k 等于（） 2
（A） m2 （B） 1 m2 （C） 1 m2 （D） 1 m2
4
3
16
2 不论a ， b 为何实数， a2 b2 2a 4b 8 的值（）
3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．
2.乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
1 平方差公式(a b)(a b) a2 b2 ； 2完全平方公式(a b)2 a2 2ab b2 ． 我们 还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 ；
x1＝x2＝－ b ； 2a
（3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根．
x1＝x2＝1；
5.根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
x1
b
b2 2a
4ac
，
x2ห้องสมุดไป่ตู้
b
b2 4ac 2a
，
则有
x1 x2
b
b2 4ac b b2 4ac
2a
2a
2b b ； 2a a
（1）x2＋6x＋8；（2）8a3－b3； （3）x2－2x－1；（4） 4(x y 1) y(y 2x)． 3. 分解因式： （1） a3 1；（2）4x4 13x2 9 ；
（3） b2 c2 2ab 2ac 2bc ； （4） 3x2 5xy 2 y2 x 9 y 4 ．
（A）总是正数（B）总是负数
（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数
1
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3.分解因式 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应 了解求根法及待定系数法． 1.十字相乘法
例 1 分解因式： （1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；
（3） x2 (a b)xy aby2 ；（4）xy 1 x y ．
2.提取公因式法与分组分解法
例 2 分解因式： （1） x3 9 3x2 3x ；（2）2x2 xy y2 4x 5y 6 ． 练习 1. 选择题：
多项式2x2 xy 15y2 的一个因式为（）
（A） 2x 5y （B） x 3y （C） x 3y （D） x 5y 2. 分解因式：
x1x2
b b2 4ac b b2 4ac
2a
2a
b2 (b2 4ac) 4ac c ．
4a2
4a2 a
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是 x1，x2，那么 x1＋x2＝ b ，x1·x2＝ c ．这一关
a
a
系也被称为韦达定理．
1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对 值仍是零．即
a, a 0, | a | 0, a 0,
a, a 0.
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数 a 和数b 之间的距离．
1. 填空：
（1）若 x 5，则 x=
；若 x 4 ，则 x=
.
（2）如果 a b 5，且 a 1，则 b＝
；若 1 c 2 ，则 c＝
.
2. 选择题： 下列叙述正确的是（） （A）若 a b ，则 a b （B）若 a b ，则 a b
（C）若 a b ，则 a b （D）若 a b ，则 a b
把 b2－4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有 （1） 当 Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根
x1，2＝ b b2 4ac ； 2a
（2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根
例 1 已知方程5x2 kx 6 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值． 例 2 已知关于 x 的方程 x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0 有两个实数根，并且这两个实数根的平
方和比两个根的积大 21，求 m 的值．
例 3 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2＋5x－3＝0 的两根． （1）求|x1－x2|的值；
（2）求
1 x2
1 x
2
的值；
1
2
（3）x13＋x23．
6.二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像和性质
3
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（1）当 a＞0 时，函数 y＝ax2＋bx＋c 图象开口向上；顶点坐标为( b , 4ac b2 )，对称 2a 4a
轴为直线 x＝－ b ；当 x＜ b 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x＞ b 时，y 随着 x 的增大
（2）立方差公式(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 ；
3 两数和立方公式(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 ；
4 两数差立方公式(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 ．
练习 1．填空：
（1） 1 a2 1 b2 ( b1 1 a) （）； 9 4 23
2a
2a
2a
的增大而减小；当 x＝ b 时，函数取最大值 y＝ 4ac b2 ．
2a
4a
例 1 求二次函数 y＝－3x2－6x＋1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），
并指出当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
4
（2）当 b2－4ac＝0 时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
2
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x1＝x2＝－ b ； 2a
（3）当 b2－4ac＜0 时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x b )2 一定大于或 2a
等于零，因此，原方程没有实数根． 由此可知，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由 b2－4ac 来判定，我们
4.
根的判别式
我们知道，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
(x b )2 b2 4ac ．①
2a
4a2
因为 a≠0，所以，4a2＞0．于是
（1）当 b2－4ac＞0 时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
x1，2＝ b b2 4ac ； 2a
2a
2a
2a
而增大；当 x＝ b 时，函数取最小值 y＝ 4ac b2 ．
2a
4a
（2）当 a＜0 时，函数 y＝ax2＋bx＋c 图象开口向下；顶点坐标为(
b
4ac b2 ,
)，
2a 4a
对称轴为直线 x＝－ b ；当 x＜ b 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x＞ b 时，y 随着 x
（2） (4m )2 16m2 4m ( ) ；
(3) (a 2b c)2 a2 4b2 c2 ( ) ．
2. 选择题：
1 若 x2 1 mx k 是一个完全平方式，则 k 等于（） 2
（A） m2 （B） 1 m2 （C） 1 m2 （D） 1 m2
4
3
16
2 不论a ， b 为何实数， a2 b2 2a 4b 8 的值（）
3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．
2.乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
1 平方差公式(a b)(a b) a2 b2 ； 2完全平方公式(a b)2 a2 2ab b2 ． 我们 还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 ；
x1＝x2＝－ b ； 2a
（3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根．
x1＝x2＝1；
5.根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
x1
b
b2 2a
4ac
，
x2ห้องสมุดไป่ตู้
b
b2 4ac 2a
，
则有
x1 x2
b
b2 4ac b b2 4ac
2a
2a
2b b ； 2a a
（1）x2＋6x＋8；（2）8a3－b3； （3）x2－2x－1；（4） 4(x y 1) y(y 2x)． 3. 分解因式： （1） a3 1；（2）4x4 13x2 9 ；
（3） b2 c2 2ab 2ac 2bc ； （4） 3x2 5xy 2 y2 x 9 y 4 ．
（A）总是正数（B）总是负数
（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数
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3.分解因式 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应 了解求根法及待定系数法． 1.十字相乘法
例 1 分解因式： （1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；
（3） x2 (a b)xy aby2 ；（4）xy 1 x y ．
2.提取公因式法与分组分解法
例 2 分解因式： （1） x3 9 3x2 3x ；（2）2x2 xy y2 4x 5y 6 ． 练习 1. 选择题：
多项式2x2 xy 15y2 的一个因式为（）
（A） 2x 5y （B） x 3y （C） x 3y （D） x 5y 2. 分解因式：
x1x2
b b2 4ac b b2 4ac
2a
2a
b2 (b2 4ac) 4ac c ．
4a2
4a2 a
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是 x1，x2，那么 x1＋x2＝ b ，x1·x2＝ c ．这一关
a
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系也被称为韦达定理．