第五章 §1 数系的扩充与复数的引入

2 m ＋m－2≠0， (3)当 2 m －3m＋2＝0，
即 m＝2 时，z 为纯虚数．
[一点通] (1)研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时， 首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提 条件，初学者易忽略这一点． (2)对于纯虚数的问题， 除了实部为零之外， 勿忘其虚部必 须不为零．
复平面及复数的几何意义
问题 1： 实数与数轴上的点一一对应，复数可以用平面内的 点表示吗？
提示：可以．
问题 2：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有何 对应关系？与平面直角坐标系中的点 Z(a，b)有何对应关系？
提示：一一对应，一一对应．
问题 3：在平面直角坐标系中点 Z(a，b)与向量 OZ ＝(a， b)有何对应关系？
复数的基本概念
[例 1] 何值时，
复数 z＝(m2－3m＋2)＋(m2＋m－2)i， 当实数 m 为
(1)z 为实数；(2)z 为虚数；(3)z 为纯虚数？ [思路点拨] 况进行判断． 分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情
[精解详析] (1)当 m2＋m－2＝0，即 m＝－2 或 m＝1 时， z 为实数． (2)当 m2＋m－2≠0，即 m≠－2 且 m≠1 时，z 为虚数．
8．设复数 z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|<|z2|，则实数 a 的取值 范围是 A．a<－1 或 a>1 C．a>1
解析：∵|z1|＝ ∴ a2＋4<
( B．－1<a<1 D.a>0
a2＋4，|z2|＝ 4＋1＝ 5， 5，即 a2＋4<5，
)
∴a2<1，即－1<a<1.
答案：B
1 9．求复数 z1＝6＋8i 及 z2＝－ － 2i 的模，并比较它们的模的 2 大小．
提示：在有理数集中无解；在实数范围内有解，其解为 2.
问题 2：有一个新数 i 满足 i2＝－1，试想方程 x2＋1＝0 有解吗？
提示：有解 x＝i，但不是实数．
1．复数的概念
2．复数集 复数的全体组成的集合，记作 C.显然 R C.
复数的相等
数 z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i 的点就是点 Z(a2＋a－2，a2－3a ＋2)． (1)由点 Z
2 a ＋a－2<0， 位于第二象限得 2 a －3a＋2>0，
解得－2<a<1. 故满足条件的实数 a 的取值范围为(－2,1)． (2)由点 Z 位于直线 y＝x 上得 a2＋a－2＝a2－3a＋2， 解得 a＝1. 故满足条件的实数 a 的值为 1.
解：(1)若复数 z 对应点在虚轴上， 则 m2－m－2＝0，∴m＝－1 或 m＝2， 此时，z＝6i 或 z＝0. (2)若复数 z 对应点在实轴负半轴上，则
2 m －m－2<0， 2 m －3m＋2＝0，
解得 m＝1，∴z＝－2.
复 数 的 模
[例 4]
设 z∈C， 判断满足下列条件的复数 z 对应的点 Z 的集
1 (2)设 z1＝1＋sin θ－icos θ，z2＝ ＋(cos θ－2)i.若 z1＝ 1＋sin θ z2，求 θ. [思路点拨] 先找出两个复数的实部和虚部，然后再利用两
个复数相等的充要条件列方程组求解．
[精解详析] (1)根据复数相等的充要条件，得方程组
2x－1＝y， 1＝－3－y，
答案：B
1 2．若复数 z＝(x －1)＋ i 为纯虚数，则实数 x 的值为 x－ 1
2
(
)
A．－1 C．1
2
B．0 D.－1 或 1
1 解析：由复数 z＝(x －1)＋ i 为纯虚数得 x－1
2 x －1＝0， x－1≠0，
解得 x＝－1.
答案： A
复数的相等
[例 2] (1)已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，x，y∈R，求 x 与 y；
1 解：∵z1＝6＋8i，z2＝－ － 2i， 2 ∴|z1|＝ 62＋82＝10， |z2|＝
1 － 2＋－ 2
3 2 ＝ . 2
2
3 ∵10> ， 2 ∴|z1|>|z2|.
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确： 实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数 bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意 b≠0. 2． 复数与复平面内的点一一对应， 复数与向量一一对应， 可知复数 z＝a＋bi(a，b∈R)、复平面内的点 Z(a，b)和平面向 量 OZ―→之间的关系可用图表示．
[ 一点通 ]
按照复数集和复平面内所有的点的集合之间的
一一对应关系， 每一个复数都对应着一个有序实数对， 只要在复 平面内找出这个有序实数对所表示的点， 就可根据点的位置确定 复数的实部、虚部满足的条件．
5．若复数 z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i 对应的点在虚轴上，则( A．a≠2 或 a≠1 C．a＝0 B．a≠2 且 a≠1 D.a＝2 或 a＝0
问题 1：若 a，b，c，d∈R 且 a＝c，b＝d，复数 a＋bi 和 c ＋di 相等吗？
提示：相等．
问题 2：若 a＋bi＝c＋di，那么实数 a，b，c，d 有何关系？
提示：a＝c，b＝d.
复数相等的充要条件
a＝c 且 b＝d . 设 a， b， c， d 都是实数， 那么 a＋bi＝c＋di⇔______________
提示：一一对应关系．
问题 4：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)与 OZ 有何对应关系？
提示：一一对应．
1．复平面
复数 时， (1)当用直角坐标平面内的点来表示_____ 称这个直角坐标
x 轴 为实轴，_____ y 轴 为虚轴． 系为复平面，_____
Z(a，b)是 (2)任一个复数 z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点_______
应用创新演练见课时跟踪训练(十七)
§1
理解教材 新知
知识点一 知识点二 知识点三
考点一
第 五 章
数系 的扩 充与 复数 的引 入
把握热点 考向
考点二
考点三
考点四
应用创新 演练
§ 1
数系的扩充与复数的引入
数的概念的扩展
已知方程(1)x2－2 2x＋2＝0，(2)x2＋1＝0. 问题 1：方程(1)在有理数数集中有解吗？实数范围内呢？
)
解析： 因为复数 z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i 对应的点在虚轴上， 所以 a2－2a＝0，解得 a＝0 或 a＝2.
答案：D
6．已知平面直角坐标系中 O 是原点，向量 OA ， OB 对应的复数 分别为 2－3i， －3＋2i， 那么向量 BA 的坐标是 A．(－5,5) C．(5,5) B．(5，－5) D.(－5，－5) ( )
3．若 ai＋2＝b－i(a，b∈R)，i 为虚数单位，则 a2＋b2＝( A．0 5 C. 2 B． 2 D.5
)
2＝b， 解析：由题意得 a＝－1，
则 a2＋b2＝5.
答案：D
4．若关于 x 的方程 x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0 有实根，则实数 m＝ ( 1 A. 12 1 C．－ 12 1 B. i 12 1 D.－ i 12 )
解析：因为关于 x 的方程 x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0 有实根，即 x2 ＋ (1 ＋ 2i)x ＋ 3m ＋ i ＝ 0 ⇔ x2 ＋ x ＋ 3m ＋ (2x ＋ 1)i ＝ 0 ⇔
2 x ＋x＋3m＝0， 2x＋1＝0
1 ⇒m＝ ，故选 A. 12
答案：A
复数的几何意义
5 x＝ ， 得 2 y＝4.
1 1＋sin θ＝ ， 1＋sin θ (2)由已知，得 cos θ＝2－cos θ，
sin θ＝0， 解得 cos θ＝1.
则 θ＝2kπ(k∈Z)．
[一点通] (1)两个复数相等时，应分清楚两复数的实部和虚部，然后让 其实部和虚部分别相等，列出相应的方程组求解．本题就是利用 复数相等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了化归的思想． (2)注意(1)小题的条件 x，y∈R，若 x，y 未说明是实数，则不 能这样解，比如若 x 为纯虚数，则可设 x＝bi(b∈R 且 b≠0)，然 后再根据复数相等求相应的 x，y.
合是什么图形． (1)|z|＝2；(2)|z|≤3.
[精解详析] 法一：(1)复数 z 的模等于 2，这表明向量 OZ 的 长度等于 2，即点 Z 到原点的距离等于 2，因此满足条件|z|＝2 的 点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，以 2 为半径的圆． (2)满足条件|z|≤3 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，以 3 为 半径的圆及其内部．
然，|z|＝ a2＋b2.
1．注意复数的代数形式 z＝a＋bi 中 a，b∈R 这一条件，否则 a，b 就不一定是复数的实部与虚部． 2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是 一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示 纯虚数，如原点表示实数 0. 3． 只有两个复数都是实数时才能比较大小， 否则没有大小关系．
[例 3]
实数 a 取什么值时， 复平面内表示复数 z＝a2＋a－2
＋(a2－3a＋2)i 的点 (1)位于第二象限； (2)位于直线 y＝x 上？ [思路点拨] 位于第二象限的点的横坐标小于 0，纵坐标大 于 0；位于直线 y＝x 上的点的横坐标等于纵坐标．
[精解详析]
根据复数的几何意义可知，复平面内表示复
一一对应的．这是复数的几何意义．
(a，b) 一个复数 z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量 OZ ＝_______
是一一对应的．
2．复数的模 设复数 z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点是 Z(a，b)，