初三几何期末复习——直线与圆的位置关系(二)
初三九年级数学 直线与圆的位置关系(新) ppt课件
.B2
.B1 .B
是是非非
4、若C为⊙O内一点，则过点C的
直线与⊙O相交。（ √ ）
C .
O .
小问题：
能否根据基本概念来判断直线与圆 的位置关系？
直线与圆的公共点的个数
新的问题：
是否还有其它的方法来判断直线与 圆的位置关系？
.O
d
.O
d
r
r .D
l
.B
.A
l
. C
相切
.E
d
.Or
.N .F
l
A N
2.5cm
解：过点M作MN⊥OA于点N ∵在Rt△OMN中，∠AOB=30°,OM=5cm. ∴MN=2.5CM 即圆心M到直线OA的距离d=2.5cm （1）当r=2cm时， ∵d> r， ∴⊙M与直线OA相离。 O （2）当r=4cm时， ∵d< r， ∴⊙M与直线OA相交。 （3）当r=2.5cm时， ∵d = r， ∴⊙M与直线OA相切。
没有
d>r
练习（二）：
1、设⊙O的半径为4，点O到直线a的距离为d， 若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d为…（ C ） A、d≤4 B、d＜4 C、d≥4 D、d＝4
2、设⊙p的半径为4cm，直线l上一点A到圆心的 距离为4cm，则直线l与⊙O的位置关系 是……………………………………………（ D） A、相交 B、相切 C、相离 D、相切或相交
P 4cm l A
P 4cm A l
例1、在Rt ABC中，∠ C=90°，AC=3cm, BC= 4cm, 则以C为 圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？ (1）r =2cm, (2) r =2.4cm (3) r =3cm
圆与直线的位置关系与判定
圆与直线的位置关系与判定圆与直线是几何学中最基本的图形，它们之间的位置关系和判定方法在数学问题中有着广泛的应用。
本文将从不同角度探讨圆与直线之间的位置关系，并介绍几种常用的判定方法。
一、圆与直线的位置关系1. 直线经过圆心：当一条直线穿过圆心时，我们称其为圆的直径线或直径。
直径线是圆的特殊位置关系，它将圆分成两个相等的半圆，且直径线的长度等于圆的直径。
2. 直线在圆内部：当一条直线完全位于圆的内部时，我们称之为直线在圆内部。
在这种情况下，直线与圆相交于两个不同的点。
例如，图中的直线AB位于圆O的内部。
3. 直线切圆：当一条直线与圆相切时，我们称之为直线切圆。
直线与圆相切于圆上的一点，此点既属于圆，又属于直线。
例如，图中的直线AB切圆O于点C。
4. 直线在圆外：当一条直线完全位于圆的外部时，我们称之为直线在圆外部。
在这种情况下，直线与圆没有交点。
例如，图中的直线AB位于圆O的外部。
二、圆与直线的位置判定方法1. 判断直线是否经过圆心：通过直线的方程可以判断该直线是否经过圆心。
直线的方程一般可以表示为y = kx + b的形式，其中k为斜率，b为截距。
如果圆的圆心坐标为(x0, y0)，则当直线方程中的x0和y0满足方程y = kx + b时，直线经过圆心。
2. 判断直线与圆的位置关系：通过直线与圆的方程可以判断它们的位置关系。
设圆的方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，直线的方程为y =kx + c。
将直线的方程代入圆的方程中，可得一个关于x的一元二次方程。
通过求解该方程，可以得到方程的解，从而判断直线与圆的位置关系。
3. 判断直线是否切圆：通过直线与圆的切点个数可以判断直线是否切圆。
直线与圆相切时，方程的解只有一个，此时直线切圆。
当方程有两个不相等的解或者无解时，直线与圆没有交点。
4. 判断直线是否在圆内部或外部：通过圆的半径和圆心到直线的距离可以判断直线是否在圆的内部或外部。
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系直线与圆是几何学中常见的两种图形，它们之间的位置关系对于解决许多几何问题具有重要意义。
本文将探讨直线与圆的不同位置关系，并讨论应用这些关系解决实际问题的方法。
一、1. 直线在圆内部当一条直线完全位于圆内部时，我们称这条直线与圆有内部位置关系。
在这种情况下，直线与圆的交点为空集，即直线与圆不相交。
如图1所示，直线L完全位于圆C的内部，没有交点。
2. 直线与圆相切直线与圆相切是指直线与圆仅有一个交点，该交点既在直线上，也在圆上。
此时，我们可以利用该点求解其他相关问题。
如图2所示，直线L与圆C相切于点P。
3. 直线与圆相离当直线与圆没有交点时，它们被认为是相离的。
直线可能位于圆的外部或者与圆相切于一点，但不与圆的内部相交。
如图3所示，直线L 和圆C相离。
4. 直线穿过圆当直线与圆有两个交点时，我们称这条直线穿过圆。
直线可能与圆相交于两个不同的点，也可能相切于一个点而穿过圆。
如图4所示，直线L穿过圆C，与圆C有两个交点。
二、应用直线与圆的位置关系在解决实际问题中具有广泛的应用。
以下是几个常见问题的解决方法：1. 判断一条直线与圆是否相交要判断一条直线与圆是否相交，可以使用以下方法：（1）计算直线与圆心之间的距离，若该距离小于圆的半径，则直线与圆相交；（2）求出直线与圆的方程，计算二次方程的判别式，若判别式大于0，则直线与圆相交；（3）代入直线方程和圆的方程，求解交点，若存在交点，则直线与圆相交。
2. 求直线与圆的交点坐标若直线与圆相交，我们可以通过解方程组的方法求得交点的坐标。
具体步骤如下：（1）列出直线与圆的方程，得到方程组；（2）将直线方程代入圆的方程，消去未知数；（3）解方程组，得到交点的坐标。
3. 求直线与圆的切点坐标若直线与圆相切，我们可以通过求解方程组的方法得到切点的坐标。
具体步骤如下：（1）列出直线与圆的方程，得到方程组；（2）将直线方程代入圆的方程，消去未知数；（3）解方程组，得到切点的坐标。
圆和直线的位置关系
圆和直线的位置关系圆和直线是几何学中常见的基本几何形状。
它们之间的位置关系对于解决许多几何问题都至关重要。
本文将探讨圆和直线之间的各种可能的位置关系，并给出具体的例子来帮助读者更好地理解。
一、直线穿过圆的情况首先，我们来看直线穿过圆的情况。
当一条直线与圆相交时，有三种可能的情况：直线与圆相交于两个点、直线与圆相切于一个点或直线完全包围圆。
1. 直线与圆相交于两个点当一条直线与圆相交于两个点时，我们称之为直线与圆相交。
在这种情况下，我们可以通过连接两个交点来得到直线与圆的交点线段（弦）。
这个弦是圆上的一条线段，其长度等于两个交点之间的距离。
2. 直线与圆相切于一个点当一条直线与圆相切于一个点时，我们称之为直线与圆相切。
在这种情况下，直线在相切点处与圆的切线重合，且直线垂直于切线。
直线与圆的相切点是圆上的一个确定的点，其坐标可以通过解几何方程来求得。
3. 直线完全包围圆当一条直线完全包围圆时，我们称之为直线包围圆。
在这种情况下，直线的两个端点在圆的外部，且直线没有与圆相交的点。
直线与圆的位置关系可以通过判断直线方程和圆方程的关系来确定。
二、直线与圆的相对位置关系除了直线穿过圆的情况外，还存在直线与圆的其他相对位置关系。
这些关系包括直线在圆的内部、直线在圆的外部和直线与圆的切线垂直关系。
1. 直线在圆的内部当一条直线完全在圆的内部时，我们可以称之为直线在圆的内部。
在这种情况下，直线的所有点都位于圆的内部，没有与圆相交或相切的点。
2. 直线在圆的外部当一条直线完全在圆的外部时，我们可以称之为直线在圆的外部。
在这种情况下，直线的所有点都位于圆的外部，没有与圆相交或相切的点。
3. 直线与圆的切线垂直关系当一条直线与圆的切线垂直时，我们称之为直线与圆的切线垂直关系。
在这种情况下，直线与圆的切线的斜率乘以圆的切线的斜率为-1，即两条线段互为垂直。
举例来说，设定一个圆的圆心坐标为(0,0)，半径为r，则圆的方程可以表示为x^2 + y^2 = r^2。
浙教版九年级下册数学期末高效复习 专题6 直线与圆的位置关系(解析版)
期末高效复习 专题6 直线与圆的位置关系题型一 直线与圆的位置关系例 1 [2017·余杭区一模]在平面直角坐标系xOy 中，经过点(sin45°，cos30°)的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是( A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三者都有可能【解析】 如答图，设直线经过的点为A，例1答图∵点A 的坐标为(sin45°，cos30°)，∴OA ＝＝，∵圆的半径为(22)2 ＋(32)2 522，∴OA ＜2，∴点A 在圆内，∴直线和圆一定相交．变式跟进1．[2017·市北区二模]⊙O 的半径r ＝5 cm ，直线l 到圆心O 的距离d ＝4，则l 与⊙O 的位置关系是( C )A ．相离B ．相切C ．相交D ．重合【解析】 ∵⊙O 的半径为5 cm ，圆心O 到直线l 的距离为4 cm ，5＞4，即d ＜r ，∴直线l 与⊙O 的位置关系是相交．2．[2017·阳谷一模]已知等腰三角形的腰长为6 cm ，底边长4 cm ，以等腰三角形的顶角的顶点为圆心5 cm 为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是( A )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定【解析】 如答图，在等腰三角形ABC 中，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ＝BC ＝2，∴AD ＝＝＝4＞5，即d ＞r ，∴该圆与12AB 2－BD 262－222底边的位置关系是相离． 第2题答图题型二 切线的性质例2 [2016·天津]在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．(1)如图1①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝27°，求∠P的大小；(2)如图②，D为弧AC上一点，且OD经过AC的中点E，连结DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝10°，求∠P的大小．图1解：(1)如答图，连结OC，∵⊙O与PC相切于点C，例2答图∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°，∵∠CAB＝27°，∴∠COB＝2∠CAB＝54°，在Rt△COP中，∠P＋∠COP＝90°，∴∠P＝90°－∠COP＝36°；(2)∵E为AC的中点，∴OD ⊥AC ，即∠AEO ＝90°，在Rt △AOE 中，由∠EAO ＝10°，得∠AOE ＝90°－∠EAO ＝80°，∴∠ACD ＝∠AOD ＝40°，12∵∠ACD 是△ACP 的一个外角，∴∠P ＝∠ACD －∠A ＝40°－10°＝30°.【点悟】 已知切线，常常连结切点和圆心作半径．变式跟进3．已知BC 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，切点为A ，AD 交CB 的延长线于点D ，连结AB ，AO .(1)如图2①，求证：∠OAC ＝∠DAB ；(2)如图②，AD ＝AC ，若E 是⊙O 上一点，求∠E 的大小．图2解：(1)证明：∵AD 是⊙O 的切线，切点为A ，∴DA ⊥AO ，∴∠DAO ＝90°，∴∠DAB ＋∠BAO ＝90°，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，∴∠BAO ＋∠OAC ＝90°，∴∠OAC ＝∠DAB ；(2)∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠C ，∵AD ＝AC ，∴∠D ＝∠C ，∴∠OAC ＝∠D ，∵∠OAC ＝∠DAB ，∴∠DAB ＝∠D ，∵∠ABC ＝∠D ＋∠DAB ，∴∠ABC ＝2∠D ，∵∠D ＝∠C ，∴∠ABC ＝2∠C ，∵∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＋∠C ＝90°，∴2∠C ＋∠C ＝90°，∴∠C ＝30°，∴∠E ＝∠C ＝30°.题型三 切线的判定例 3 如图3，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB 于点B ，连结OC 交⊙O 于点E ，弦AD ∥OC ，弦DF ⊥AB 于点G .(1)求证：点E 是弧BD 的中点；(2)求证：CD 是⊙O的切线．图3 例3答图证明：(1)如答图，连结OD ，∵AD ∥OC ，∴∠1＝∠A ，∠2＝∠ODA ，∵OA ＝OD ，∴∠A ＝∠ODA ，∴∠1＝∠2，∴＝，即点E 是的中点；BE ︵ DE ︵ BD ︵ (2)在△OCD 和△OCB 中，{OD ＝OB ，∠2＝∠1，OC ＝OC ，)∴△OCD ≌△OCB ，∴∠ODC ＝∠OBC ＝90°，∴OD ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线．【点悟】 证某直线为圆的切线时，如果已知直线与圆有公共点，即可作出过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“作半径，证垂直”；如果不能确定某直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明它到圆心的距离等于半径，即“作垂直，证半径”．在证明垂直时，常用到直径所对的圆周角是直角．变式跟进4．如图4，AB是⊙O的直径，C，D为半圆O上的两点，CD∥AB，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，∠A＝60°.(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)猜想四边形AOCD是什么特殊的四边形，并证明你的猜想．图4 第4题答图解：(1)证明：连结OD，如答图所示．∵∠A＝60°，OA＝OD，∴△OAD是等边三角形，∴∠ADO＝∠AOD＝60°，∵CD∥AB，∴∠ODC＝60°，∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴∠COD＝60°＝∠ADO，∴OC∥AE，∵CE⊥AE，∴CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线；(2)四边形AOCD是菱形．证明：由(1)得△OAD和△COD是等边三角形，∴OA＝AD＝CD＝OC，∴四边形AOCD是菱形．题型四 切线长定理及三角形的内切圆例4 [2017·邹平模拟]Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，内切圆半径为1，则三角形的周长为( B )A．15 B．12 C．13 D．14【解析】如答图，连结OA，OB，OC，OD，OE，OF，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D ，E ，F ，∴OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，AD ＝AE ，BE ＝BF ，∴∠ODC ＝∠OFC ＝∠ACB ＝90°，∵OD ＝OF ，∴四边形ODCF 是正方形，∴CD ＝OD ＝OF ＝CF ＝1，∵AD ＝AE ，BF ＝BE ，且AE ＋BE ＝AB ＝5，∴AD ＋BF ＝5，∴△ABC 的周长是AC ＋BC ＋AB ＝AD ＋CD ＋CF ＋BF ＋AB ＝5＋1＋1＋5＝12.例4答图【点悟】 (1)求证三角形内切圆的问题时，常用到面积法：S △ABC ＝(a ＋b ＋c )12r ，其中r 为△ABC 的内切圆半径，a ，b ，c 为△ABC 的三条边的长度；(2)已知直角三角形的三边长a ，b ，c (其中c 为斜边)，则内切圆半径r ＝；(3)解a ＋b －c 2三角形与圆相切的问题时，常利用切线长定理及勾股定理等列方程(组)来求半径长．变式跟进5．在△ABC 中，∠ABC ＝60°，∠ACB ＝50°，如图5所示，I 是△ABC 的内心，延长AI 交△ABC 的外接圆于点D ，则∠ICD 的度数是( C )A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°图5【解析】 ∵△ABC 中，∠BAC ＝180°－∠ACB －∠ABC ＝180°－50°－60°＝70°，又∵I 是△ABC 的内心，∴∠BCD ＝∠BAD ＝∠BAC ＝35°，∠BCI ＝12∠ACB ＝25°，∴∠BCD ＋∠BCI ＝35°＋25°＝60°，即∠ICD ＝60°.126．如图6，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P ＝60°.(1)求∠BAC 的度数；(2)当OA ＝2时，求AB的长．图6 第6题答图解：(1)∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴AP ＝BP ，∵∠P ＝60°，∴∠PAB ＝60°，∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAC ＝90°，∴∠BAC ＝90°－60°＝30°；(2)如答图，连结OP ，则在Rt △AOP 中，OA ＝2，∠APO ＝30°，∴OP ＝4，由勾股定理得AP ＝2，3∵AP ＝BP ，∠APB ＝60°，∴△APB 是等边三角形，∴AB ＝AP ＝2.3过关训练1．同学们玩过滚铁环吗？铁环的半径是30 cm ，手柄长40 cm.当手柄的一端勾在环上，另一端到铁环的圆心的距离为50 cm 时，铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为( C )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定【解析】根据题意画出图形，如答图所示．第1题答图由已知得BC ＝30 cm ，AC ＝40 cm ，AB ＝50 cm ，∵BC 2＋AC 2＝302＋402＝900＋1 600＝2 500，AB 2＝502＝2 500，∴BC 2＋AC 2＝AB 2，∴∠ACB ＝90°，即AC ⊥BC ，∴AC 为圆B 的切线，即此时铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为相切．2．[2017·临沂模拟]如图1，△MBC 中，∠B ＝90°，∠C ＝60°，MB ＝2，3点A 在MB 上，以AB 为直径作⊙O 与MC 相切于点D ，则CD 的长为( C )图1A. B.23C ．2D ．3【解析】 在Rt △BCM 中，tan60°＝＝，得到BC ＝＝2，∵AB 为⊙O 3MB BC 233的直径，且AB ⊥BC ，∴BC 为⊙O 的切线，又∵CD 也为⊙O 的切线，∴CD ＝BC ＝2.3．[2017·西湖区校级二模]如图2，用一把带有刻度的角尺：(1)可以画出两条平行的直线a 与b ，如图①；(2)可以画出∠AOB 的平分线OP ，如图②所示；(3)可以检验工件的凹面是否为半圆，如图③所示；(4)可以量出一个圆的半径，如图④所示．这四种说法中正确的个数有( D )图2A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 (1)根据平行线的判定：同位角相等，两直线平行，可知正确；(2)可以画出∠AOB 的平分线OP ，可知正确；(3)根据90°的圆周角所对的弦是直径，可知正确；(4)此作法正确．所以正确的有4个．4．[2017·金乡三模]已知AC ⊥BC 于C ，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，下列选项中⊙O 半径为的是( A )a ＋b －c2 A B C D 【解析】B ．设AB 切⊙O 于F ，圆的半径是y ，连结OF ，则△BCA ∽△OFA ，得出＝，代入求出y ＝；C.设AC ，BC 分别切⊙O 于OF BC AO AB aba ＋c E ，D ，连结OE ，OD ，得到∠OEC ＝∠ODC ＝∠C ＝90°，证出四边形OECD是正方形，设⊙O 的半径是r ，证△ODB ∽△AEO ，得出＝，代入即可求OE BD AE OD 出r ＝；D.设⊙O 的半径是x ，圆切AC 于E ，切BC 于D ，切AB 于F ，同aba ＋b 样得到正方形OECD ，根据a ＋x ＝c ＋b －x ，求出x ＝.b ＋c －a 25．[2017·溧水区一模]如图3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，内切圆O 与边AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，则∠DEF 的度数为__75°__．图3【解析】如答图，连结DO，FO，第5题答图∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∵内切圆O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴∠ODA＝∠OFA＝90°，∴∠DOF＝150°，∴∠DEF的度数为75°.6．如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)当∠B＝__45__°时，四边形ODEC是正方形．图4 第6题答图解：(1)证明：如答图，连结DO，∵∠ACB＝90°，AC为直径，∴EC为⊙O的切线．又∵ED也为⊙O的切线，∴EC＝ED，又∵∠EDO＝90°，∴∠BDE＋∠ADO＝90°，∴∠BDE＋∠A＝90°，又∵∠B＋∠A＝90°，∴∠BDE ＝∠B ，∴EB ＝ED ，∴EB ＝EC ，即点E 是边BC 的中点；(2)当∠B ＝45°时，四边形ODEC 是正方形，∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＝45°，∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝45°，∴∠AOD ＝90°，∴∠DOC ＝90°，∵∠ODE ＝90°，∴四边形ODEC 是矩形，∵OD ＝OC ，∴矩形ODEC 是正方形．7．如图5，⊙O 的直径AB ＝6，∠ABC ＝30°，BC ＝6，D 是线段BC 的中3点．(1)试判断点D 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，求证：直线DE 是⊙O 的切线．图5 第7题答图解：(1)点D 与⊙O 的位置关系是D 在⊙O 上，理由：设BC 交⊙O 于F ，如答图，连结AF ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AFB ＝90°，∵AB ＝6，∠ABC ＝30°，∴AF ＝AB ＝3，12由勾股定理得BF ＝3，3∵BC ＝6，D 为BC 的中点，∴BD ＝3，33即D ，F 互相重合，∴D 在⊙O 上；(2)证明：连结OD ，∵D 为BC 的中点，AO ＝BO ，∴OD ∥AC ，∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥DE ，∵OD 为半径，∴直线DE 是⊙O 的切线．8．如图6，已知PA ，PB 分别切⊙O 于A ，B ，E 为劣弧AB 上一点，过E 点的切线交PA 于C ，交PB 于D .(1)若PA ＝6，求△PCD 的周长；(2)若∠P ＝50°，求∠DOC的大小．图6 第8题答图解：(1)如答图，连结OE ，∵PA ，PB 与⊙O 相切，∴PA ＝PB ＝6，同理可得AC ＝CE ，BD ＝DE ，∴△PCD 的周长＝PC ＋PD ＋CD ＝PC ＋PD ＋CE ＋DE ＝PA ＋PB ＝12；(2)∵PA ，PB 与⊙O 相切，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∠P ＝50°，∴∠AOB ＝360°－90°－90°－50°＝130°，在Rt △AOC 和Rt △EOC 中，{OA ＝OE ，OC ＝OC ，)∴Rt △AOC ≌Rt △EOC (HL )，∴∠AOC ＝∠COE ，同理：∠DOE ＝∠BOD ，∴∠DOC ＝∠AOB ＝65°.129．[2017·曲靖模拟]如图7，C 为以AB 为直径的⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为点D .(1)求证：AC 平分∠BAD ；(2)若CD ＝3，AC ＝3，求⊙O 的半径长．5图7 第9题答图解：(1)证明：如答图，连结OC ，∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠CAO ，∵CD 切⊙O 于C ，∴CO ⊥CD .又∵AD ⊥CD ，∴AD ∥CO ，∴∠DAC ＝∠ACO ，∴∠DAC ＝∠CAO ，∴AC 平分∠BAD ；(2)过点O 作OE ⊥AC 于E ，∵CD ＝3，AC ＝3，5在Rt △ADC 中，AD ＝＝6，AC 2－CD 2∵OE ⊥AC ，∴AE ＝AC ＝，12352∵∠CAO ＝∠DAC ，∠AEO ＝∠ADC ＝90°，∴△AEO ∽△ADC ，∴＝，即＝，解得AO ＝，AD AE AC AO 635235AO 154∴⊙O 的半径为.15410．[2017·广安模拟]如图8，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线EF ，交AB 和AC 的延长线于E ，F .(1)求证：FE ⊥AB ；(2)当AE ＝6，sin F ＝时，求EB 的长．35图8 第10题答图解：(1)证明：如答图，连结OD .∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ，∵AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠B ，∴∠ODC ＝∠B ，∴OD ∥AB ，∴∠ODF ＝∠AEF ，∵EF 与⊙O 相切，∴OD ⊥EF ，∴EF ⊥AB ；(2)设OA ＝OD ＝OC ＝r ，由(1)知，OD ∥AB ，OD ⊥EF ，在Rt △AEF 中，sin F ＝＝，AE ＝6，AE AF 35∴AF ＝10，∵OD ∥AB ，∴△ODF ∽△AEF ，∴＝，OF AF OD AE ∴＝，解得r ＝，10－r 10r 6154∴AB ＝AC ＝2r ＝，152∴EB ＝AB －AE ＝－6＝.15232。
数学：人教版九年级上24.2.2《直线和圆的位置关系》课
⊙O。
求证：⊙O与AC相切。
A
DB O
EC
例1与例2的证法有何不同?
DB
O
A
O
AC B
E C
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆
心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.
简记为：有交点，连半径,证垂直.
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,
则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半
其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不 同．解题时，灵活选用其中之一．
(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的
切线（×）
O l
r
A
O r
l
A
O l
r
A
定理的数学语言表达：
∵ OA是半径， l ⊥OA于A ∴ l是⊙O的切线
O r l A
判定直线与圆相切有哪些方法？
切线的判定方法有三种： •①直线与圆有唯一公共点； •②直线到圆心的距离等于该圆的半径； •③切线的判定定理．即
人教版九年级上册
直线与圆的 位置关系
相交
相切
相离
图形
公共点个数 公共点名称
直线名称 圆心到直线距
离d与半径r的
关系
Or
d
l
A
B
2个 交点
割线
d<r
Or d
l A
1个 切点 切线
d=r
Or d
l
没有
d>r
图中直线l满足什么条件时是⊙O的切 线？ 方法1：直线与圆有唯一公共点 O
方法2：直线到圆心的距离等于半径
径长.简记为：无交点,作垂直,证半径.
2、如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O， OE⊥AC于E,以O为圆心,OE为半径作⊙O.
九年级数学直线与圆的位置关系PPT课件
-2
例题5
如图：在射线OB上取一点M，OM=10cm，以 M为圆心作一直径为10cm的⊙M，试问：过O的射线 OA与OB所夹的锐角β取什么值时射线OA与⊙M : （1）相交， （2）相切 （3）相离
分析：这道题是上面题目的逆反应用，⊙M为一定圆，射线 OA为一动线，我们可以从特殊到一般，看当β为多少时 ⊙M与OA相切，即点M到OA的距离MN=5=r时，OM=10， 则β为30°. A 解（1）当β<30°时，⊙M与OA相交 （2）当β=30°时，MN=d=r=5cm, N ⊙M与OA相切 （3）当β>30°时，⊙M与OA相离
活动一、复习提问：
1、点与圆有几种位置关系？
C.
.B
.A
2、怎样判定点和圆的位置关系？
大于半径时，点在圆外。 （1）点到圆心的距离____ （2）点到圆心的距离等于 ____半径时，点在圆上。 （3）点到圆心的距离小于 ____半径时，点在圆内。
3.直线与圆的位置关系
图形 直线与圆的 位置关系
．Ｏ r d ┐ l ．ｏ d r ┐ l .
C
3
A
（2）当r=2.4cm时，∵d=r， ∴⊙C与AB相切。 （3）当r=3cm时， ∵d＜r， ∴⊙C与AB相交。
例题4．若⊙O与直线m的距离为d，⊙O 的半径为r，若d，
r是方程 (a 1) x 2 ax 1 0 的两个根， 且直线m与⊙O相切， 求a 的值。
分析：直线m与⊙O相切，则d=r,即方程有两相等的 实数根即∆=0 解：据题意可得：方程中的∆=0 即 a 2 4a 4 0 解得a =
O
10
M
B
动动脑筋
活动三：大家动手,做一做
直线与圆的位置关系知识点总结
直线与圆的位置关系知识点总结直线与圆的位置关系是几何学中一个重要的概念，涉及到直线和圆的交点、相切等不同情况。
本文将对直线与圆的位置关系进行总结，包括直线与圆的相交、相切以及不相交三种情况。
一、直线与圆的相交关系1. 直线与圆相交于两个交点：当直线与圆的位置关系是相交时，直线将穿过圆的两个交点。
这种情况通常出现在直线与圆的直径、弦或切线相交的情况下。
2. 直线与圆相交于一个交点：当直线与圆的位置关系是相切时，直线与圆仅有一个交点。
这种情况通常出现在直线是圆的切线的情况下。
二、直线与圆的相切关系1. 切线：当直线与圆的位置关系是相切时，直线与圆仅有一个交点，并且直线与圆的切点处的切线垂直于半径。
切线是圆上某一点的切线，它与半径的长度相等。
2. 外切线：当一条直线与圆的位置关系为外切时，直线与圆仅有一个交点，并且切点处的切线垂直于半径。
外切线的一个特点是切点处的切线与直线的延长线垂直。
3. 内切线：当一条直线与圆的位置关系为内切时，直线与圆仅有一个交点，并且切点处的切线垂直于半径。
内切线的一个特点是切点处的切线与直线的延长线垂直。
三、直线与圆的不相交关系当直线与圆的位置关系不相交时，即直线与圆没有交点。
总结：直线与圆的位置关系可以分为相交、相切以及不相交三种情况。
在相交的情况下，直线与圆相交于两个交点或一个交点。
在相切的情况下，直线与圆仅有一个交点，并且切点处的切线垂直于半径。
而不相交的情况下，直线与圆没有交点。
以上是对直线与圆的位置关系知识点的总结。
了解并掌握这些知识点对于解决相关几何问题非常重要。
希望本文能够帮助您更好地理解和应用直线与圆的位置关系。
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（
初三几何期末复习——直线与圆的位置关系
(二)
一、与圆有关的角 图形 定义 定理 推论 顶点在圆心上的角 圆心角的度数等于它所对弧的度数 顶点在圆上，同时两边都与圆相交角 1、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半 1、同弧或等弧所对的圆周角相等。 2、同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 3、半圆（或直径）所对的圆周角是直角：900的圆周角所对的弦是直径。 顶点在圆上，同时一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角 1、弦切角定理：弦切角等于它夹弧所对的圆周角。 2、弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半 两个弦切角所夹的弧相等，两个弦切角也相等。 讲明：在同圆或等圆中，圆心角相等弧相等弦相等弦心距相等，弧（劣）大 弦大弦心距小。 二、添加辅助线的规律：
1、遇到直径时，一样要引直径所对的圆周角，将直径这一条件转化
为直角条件。
2、遇到切线时，一样要引过切点的半径，以便利用切线的性质定理，
或者连结过切点的弦，以便利用弦切角定理。
3、遇到过圆外一点的两条切线时，常常引这点到圆心的连线，以便
利用切线长定理及推论。
1、（99辽宁）如图，PA分别切于⊙O于A、B，PA＝5，
在劣弧AB上取一点C，过C过作⊙O切线，分别交PA、PB
于D、E，则△PDE的周长等于＿＿＿＿。
2、（98上海）一个圆的弦切角等于400，那么那个弦切角所夹
的弧所对的圆心角的度数是＿＿＿＿＿。
3、（99广东）如图(6)，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别是B、C，
D是优弧BC
上的点，已知∠BAC＝500，则∠BDC＝＿＿＿＿度。
( (
4、（96山西）如图(8)，AB是⊙O直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，若CD切⊙O于点C，则∠CAB的度数为＿＿＿＿＿，∠DCB＝＿＿＿，∠ECA的度数为＿＿＿＿＿ 5、（97安徽）已知，如图(9)，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，则⊙O的半径为＿＿＿＿ 6、（98江苏）如图(10)，AB是⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA＝1，ED＝2，则BC的长为＿＿＿＿＿＿＿＿ 7、圆外切等腰梯形上底长为4cm，圆的半径为3cm，那么那个梯形的腰长为 （ ） A、cm27 B、cm213 C、7cm D、cm215 8、（2000吉林）如图(13)，⊙O的外切梯形ABCD中，若以AD//BC，那么∠DOC度数为（ ） A、700 B、900 C、600 D、450 9、（2000哈尔滨）如图(14)，通过⊙O上的点A的切线和弦BC延长线相交于点P，若∠CAP＝400，∠ACP＝1000，则∠BAC所对的弧的度数为（ ） A、400 B、1000 C、1200 D、300 10、（2000辽宁）如图(15)，PA为⊙O的切线，A为切点，割线PBC
过圆心O，∠APC＝300，OC＝1cm，则PA的长为（ ）
A、cm2 B、cm3 C、cm2 D、
cm3
11、（99贵阳）已知等腰直角三角形外接圆半径为5，
则内切圆的半径为（ ）
A、525 B、5210
C、525 D、
10210
课后练习
1、（98广西）PA、PB是⊙O切线，A、B切点，∠APB＝780，点C是
⊙O上异于A、B任一点，那么∠ACB＝＿＿＿＿＿。
2、（96山西）若直角三角形斜边长为10cm，其内切圆半径
为2cm，则它的周长为＿。
3、（98云南）如图(7)，AB中⊙O直径，C、D是⊙O上的点，
∠BAC＝200，AD ＝DC，ED是⊙O的切线，则∠EDC的度数是＿
＿＿＿.
4、（99天津）一圆中，两弦相交，一弦长为2a，且被交点平分，另一弦
被分为1：4两部分，则另一弦长为＿＿＿＿＿＿＿
5、（99贵阳）如图(11)，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A和B，
PA＝6cm，AB＝8cm，PO交⊙O于点C，且PO＝10cm，则⊙O的
半径为＿＿＿＿＿＿
6、（98贵阳）如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠ACB＝900，且AB
＝13，AC＝12，则图中阴影部分的面积是（ ）
A、30 B、230 C、330 D、
430
7、（98天津）下列讲法不正确的是（ ）
A、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点
B、每条边都相等的圆内接四边形是正方形
C、垂直于半径的直线是圆的切线
D、有公共斜边的两个直角三角形有相同的外接圆
8、（2000四川）如图(17)，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝1
0cm，AP：PB＝5：21，那么⊙O的半径是（ ）
A、cm25 B、cm34
C、cm53 D、62cm
9、(98山西)如图(20)，若直线PAB、PCD分别与⊙O交于点A、B、C、
D，则下列各式中，相等关系成立的是（ ）
A、PA：PC＝PB：PD B、PA：PB＝AC：BD C、PA：PC＝PD：PB D、PB：PD＝AD：BC 10、（98北京）如图，已知MN是⊙O切线，A为切点，MN平行于弦CD，弦AB交CD于E， 求证：AC2＝AE·AB 11、（99三明）已知：如图，圆内接△ABC中，AB＝AC，PA是圆的切
线，PB与相交圆相交于D，
连结CD，求证：AC2＝PB·CD