中考数学二轮复习勾股定理知识点及练习题及答案

中考数学二轮复习勾股定理知识点及练习题及答案

一、选择题

1．如图，ABC 是等边三角形，点D ．E 分别为边BC ．AC 上的点，且CD AE =，点F

是BE 和AD 的交点，BG AD ⊥，垂足为点G ，已知75∠=?BEC ，1FG =，则2AB 为（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

2．如图，点A 的坐标是(2)2，

，若点P 在x 轴上，且APO △是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ）

A ．（2，0）

B ．（4，0）

C ．（－22，0）

D ．（3，0）

3．已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是

（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 4．如果直角三角形的三条边为3、4、a ，则a 的取值可以有（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

5．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，P 是BC 上一点，且DB ＝DC ，过BC 上一点P ，作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥DC 于F ，已知：AD ：DB ＝1：3，BC ＝46，则PE+PF 的长是（ ）

A ．6

B ．6

C ．42

D ．266．已知：如图在△ABC ，△AD

E 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ，以下四个结论：

①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2）， 其中结论正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．已知△ABC的三边分别是6，8，10，则△ABC的面积是（）

A．24 B．30 C．40 D．48

8．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)()

A．3 B．5 C．4.2D．4

9．甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75?的方向航行，它们出发1.5小时后，两船相距30海里，若乙以12海里/时的速度航行，则它的航行方向为（）

A．北偏西15?B．南偏西75°

C．南偏东15?或北偏西15?D．南偏西15?或北偏东15?

10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则点C到AB的距离是（）

A．3

4

B．

3

5

C．

4

5

D．

12

5

二、填空题

11．如图，AB＝12，AB⊥BC于点B， AB⊥AD于点A，AD＝5，BC＝10，E是CD的中点，则AE的长是____ ___．

12．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB

∠+∠=__________°（点A，B，C是网格线交点）．

13．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1=A 1A 2=1，以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA 2018A 2019，则点A 2019的坐标为________．

14．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，3CD =，

45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=?，则BD 的长为__________．

15．如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为 1S ，2S ，3S ，若123144S S S ++=，则2S 的值是__________．

16．如图，在ABC 中，D 是BC 边中点，106AB AC ==，，4=AD ，则BC 的长是_____________．

17．若ABC ?为直角三角形，90B ∠=?，6AB =，8BC =，点D 在斜边AC 上，且

2AC BD =，则AD 的长为__________．

18．已知，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=7，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，DE=DF ，若BF=4，则EF=_______

19．如图的实线部分是由Rt ABC ?经过两次折叠得到的.首先将Rt ABC ?沿高CH 折叠，使点B 落在斜边上的点B '处，再沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处.若图中

90ACB ∠=?，15cm BC =，20cm AC =，则MB '的长为______.

20．如图，直线4

23

y x =

+与x 轴、y 轴分别交于点B 和点A ，点C 是线段OA 上的一点，若将ABC ?沿BC 折叠，点A 恰好落在x 轴上的'A 处，则点C 的坐标为______.

三、解答题

21．如图，,90,8,6,,ABC B AB cm BC cm P Q ?

?∠===是边上的两点，点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 沿B C A →→运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒． （1）出发2秒后，求线段PQ 的长；

（2）求点Q 在BC 上运动时，出发几秒后，PQB 是等腰三角形； （3）点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ?成为等腰三角形的运动时间．

22．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，其中AB ＝AC ，AD ＝AE ，且∠BAC ＝∠DAE ． （1）如图①，连接BE 、CD ，求证：BE ＝CD ；

（2）如图②，连接BE 、CD ，若∠BAC ＝∠DAE ＝60°，CD ⊥AE ，AD ＝3，CD ＝4，求BD 的长；

（3）如图③，若∠BAC ＝∠DAE ＝90°，且C 点恰好落在DE 上，试探究CD 2、CE 2和BC 2之间的数量关系，并加以说明．

23．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°

（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF ①求证：△AED ≌△AFD ；

②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；

（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长． 24．已知a ，b ，c 88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，

（1）求a ，b ，c 的值；

（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．

25．已知ABC ?中，90ACB ∠=?，AC BC =，过顶点A 作射线AP .

（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知

21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.

①试证明ABD ?是直角三角形；

②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）

（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.

26．如图，点A 是射线OE ：y ＝x （x ≥0）上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过点B 作OA 的平行线交∠AOB 的平分线于点C ．

（1）若OA ＝2，求点B 的坐标；

（2）如图2，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥OE 于点H ，求证：CG ＝CH ．

（3）①若点A 的坐标为（2，2），射线OC 与AB 交于点D ，在射线BC 上是否存在一点P 使得△ACP 与△BDC 全等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． ②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P 122），P 2（2，2），P 3

（2，22），请你判断也满足△ACP 与△BDC 全等的点是 ．（写出你认为正确的点）

27．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ?，ADE ?，AFO ?均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ?内部，点E 在

ABC ?的外部，32=AD 30DOE ∠=?，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，

DO ，OE .

（1）求点A 的坐标；

（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由； （3）直接写出ADG ?的周长.

28．已知：四边形ABCD 是菱形，AB ＝4，∠ABC ＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD 的顶点A 重合，两边分别射线CB 、DC 相交于点E 、F ，且∠EAP ＝60°．

（1）如图1，当点E 是线段CB 的中点时，请直接判断△AEF 的形状是 ． （2）如图2，当点E 是线段CB 上任意一点时（点E 不与B 、C 重合），求证：BE ＝CF ； （3）如图3，当点E 在线段CB 的延长线上，且∠EAB ＝15°时，求点F 到BC 的距离．

29．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ． （1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．

（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45?，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．

（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90?，此时点E 、G 恰好分别落在线段

AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．

30．在平面直角坐标系中，点A （0，4），B （m ，0）在坐标轴上，点C ，O 关于直线AB

对称，点D在线段AB上．

（1）如图1，若m＝8，求AB的长；

（2）如图2，若m＝4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD＝DE，求证：CE＝2DE；（3）如图3，若m＝43，在射线AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．C

解析：C

【分析】

结合等边三角形得性质易证△ABE≌△CAD，可得∠FBG＝30°，BF＝2FG＝2，再求解∠ABE ＝15°，进而两次利用勾股定理可求解．

【详解】

∵△ABC为等边三角形

∴∠BAE＝∠C＝60°，AB＝AC，CD＝AE

∴△ABE≌△CAD（SAS）

∴∠ABE=∠CAD

∴∠BFD＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAF＝∠BAC＝60°，

∵BG⊥AD，

∴∠BGF＝90°，

∴∠FBG＝30°，

∵FG＝1，

∴BF＝2FG＝2，

∵∠BEC＝75°，∠BAE＝60°，

∴∠ABE＝∠BEC﹣∠BAE＝15°，

∴∠ABG＝45°，

∵BG⊥AD，

∴∠AGB＝90°，

∴2222

-=-3

21

BF FG

AB2=AG2+BG2=(3)2+(3)2=6．

故选C．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，证明△ABG为等腰直角三角形是解题关键．

2．D

解析：D

【详解】

解：（1）当点P在x轴正半轴上，

①以OA为腰时，

∵A的坐标是（2，2），

∴∠AOP=45°，OA=22，

∴P的坐标是（4，0）或（22，0）；

②以OA为底边时，

∵点A的坐标是（2，2），

∴当点P的坐标为：（2，0）时，OP=AP；

（2）当点P在x轴负半轴上，

③以OA为腰时，

∵A的坐标是（2，2），

∴OA= 22

∴OA=AP=2

∴P的坐标是（-220）．

故选D．

3．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据完全平方公式利用a+b=10，ab=18求出22a b +，即可得到三角形的形状. 【详解】

∵a+b=10，ab=18，

∴22a b +=（a+b ）2-2ab=100-36=64， ∵,c=8， ∴2c =64， ∴22a b +=2c ，

∴该三角形是直角三角形， 故选：B. 【点睛】

此题考查勾股定理的逆定理，完全平方公式，能够利用完全平方公式由已知条件求出

22a b +是解题的关键.

4．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据勾股定理求解即可，注意要确认a 是直角边还是斜边. 【详解】

解：当a 是直角三角形的斜边时,5a == ；

当a 为直角三角形的直角边时,a = 故选C ． 【点睛】

本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

5．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据三角形的面积判断出PE+PF 的长等于AC 的长，这样就变成了求AC 的长；在Rt △ACD 和Rt △ABC 中，利用勾股定理表示出AC ，解方程就可以得到AD 的长，再利用勾股定理就可以求出AC 的长，也就是PE+PF 的长． 【详解】

∵△DCB 为等腰三角形，PE ⊥AB ，PF ⊥CD ，AC ⊥BD ， ∴S △BCD =

12BD?PE+12CD?PF=1

2

BD?AC ，

∴PE+PF=AC，

设AD=x，BD=CD=3x，AB=4x，

∵AC2=CD2-AD2=（3x）2-x2=8x2，

∵AC2=BC2-AB2=（）2-（4x）2，

∴x=2，

∴，

∴

故选C

【点睛】

本题考查勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法证明线段之间的关系，灵活运用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．

6．C

解析：C

【解析】

试题分析：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE．∵在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴BD=CE．本结论正确．

②∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE．

∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°．∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°．∴BD⊥CE．本结论正确．

③∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABD+∠DBC=45°．

∵∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45°．本结论正确．

④∵BD⊥CE，∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：BE2=BD2+DE2．

∵△ADE为等腰直角三角形，∴

AD，即DE2=2AD2．

∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2．

而BD2≠2AB2，本结论错误．

综上所述，正确的个数为3个．故选C．

7．A

解析：A

【解析】

已知△ABC的三边分别为6，10，8，由62+82=102，即可判定△ABC是直角三角形，两直角

边是6，8，所以△ABC的面积为1

2

×6×8=24，故选A．

8．C

解析：C

【分析】

根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．【详解】

解：设折断处离地面的高度OA 是x 尺，根据题意可得：

x 2+42=（10-x ）2， 解得：x=4.2，

答：折断处离地面的高度OA 是4.2尺． 故选C ． 【点睛】

此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．

9．C

解析：C 【分析】

先求出出发1.5小时后，甲乙两船航行的路程，进而可根据勾股定理的逆定理得出乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，进一步即可得出答案． 【详解】

解：出发1.5小时后，甲船航行的路程是16×1.5=24海里，乙船航行的路程是12×1.5=18海里；

∵222241857632490030+=+==， ∴乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直， ∵甲船的航行方向是北偏东75°，

∴乙船的航行方向是南偏东15°或北偏西15°． 故选：C ． 【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理和方位角，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

10．D

解析：D 【解析】

在Rt △ABC 中 ∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB=5，设点C 到AB 的距离为h ，即可得

12h×AB=12AC×BC ，即12h×5=1

2×3×4，解得h=125

，故选D. 二、填空题

11．5 【详解】

解：如图，延长AE 交BC 于点F ，

∵点E 是CD 的中点, ∴DE=CE ，, ∵AB ⊥BC ，AB ⊥AD, ∴AD ∥BC,

∴∠ADE=∠BCE 且DE=CE ，∠AED=∠CEF, ∴△AED ≌△FEC （ASA ）, ∴AD=FC=5，AE=EF, ∴BF=BC-FC=5, ∴在Rt △ABF 中，2213AF AB BF =

+=,

6.52

AF

AE =

= 故答案为：6.5． 12．45 【分析】 如下图,延长BA 至网络中的点D 处,连接CD. ABC ACB DAC ∠+∠=∠，只需证△ADC 是等腰直角三角形即可 【详解】

如下图,延长BA 至网络中的点D 处,连接CD

设正方形网络每一小格的长度为1

则根据网络，555BC=5，∴5其中BD 、DC 、BC 边长满足勾股定理逆定理 ∴∠CDA=90° ∵AD=DC

∴△ADC 是等腰直角三角形 ∴∠DAC=45° 故答案为：45° 【点睛】

本题是在网格中考察勾股定理的逆定理，解题关键是延长BA ，构造处△ABC 的外角∠CAD 13．(21009，0)． 【分析】

根据等腰直角三角形的性质得到OA 1=1，OA 2=1

，OA 3=

2

，

OA 4=

3

，…OA 2019=

2018

，再利用1A 、2A 、3A …，每8个一循环，再回到y 轴的

正半轴的特点可得到点A 2019在x 轴的正半轴上，即可确定点A 2019的坐标． 【详解】

∵等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1=A 1A 2=1，以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4，…，

∴OA 1=1，OA 2，OA 3=）2，…，OA 2019=）2018， ∵A 1、A 2、A 3、…，每8个一循环，再回到y 轴的正半轴， ∴2019÷8=252…3， ∴点A 2019在x 轴正半轴上．

∵OA 2019=）2018，

∴点A 2019的坐标为（

2018

,0）即(21009，0)．

故答案为：(21009，0)． 【点睛】

本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于45°；斜边等于直角边的2倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征． 14．5 【分析】

作AD′⊥AD ，AD′=AD 构建等腰直角三角形，根据SAS 求证△BAD ≌△CAD′，证得BD=CD′，∠DAD′=90°，然后在Rt △AD′D 和Rt △CD′D 应用勾股定理即可求解． 【详解】

作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD′，如图：

∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ， ∴∠BAD=∠CAD′， 在△BAD 与△CAD′中，

{BA CA

BAD CAD AD AD =∠=∠=''

， ∴△BAD ≌△CAD′（SAS ）， ∴BD=CD′，∠DAD′=90°， 由勾股定理得22()4AD AD +='，

∵∠D′DA+∠ADC=90°，

∴由勾股定理得22(')5DC DD +=， ∴BD=CD′=5 故答案为5． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，正确引出辅助线构造等腰直角三角形是本题的关键． 15．48 【分析】

用a 和b 表示直角三角形的两个直角边，然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出2S 的面积．

【详解】

解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a ，较短的长度为b ，即图中的AE a =，AH b =，

则()221S AB a b ==+，222

2S HE a b ==+，()2

23S TM a b ==-，

∵123144S S S ++=，

∴()()2

2

22144a b a b a b ++++-=

22222222144a b ab a b a b ab ++++++-=

22

+=

33144

a b

2248

a b

+=，

S=．

∴248

故答案是：48．

【点睛】

本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用．

16．413

【分析】

延长AD至点E，使得DE＝AD＝4，结合D是中点证得△ADC≌△EDB，进而利用勾股定理逆定理可证得∠E＝90°，再利用勾股定理求得BD长进而转化为BC长即可．

【详解】

解：如图，延长AD至点E，使得DE＝AD＝4，连接BE，

∵D是BC边中点，

∴BD＝CD，

又∵DE＝AD，∠ADC＝∠EDB，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴BE＝AC＝6，

又∵AB＝10，

∴AE2＋BE2＝AB2，

∴∠E＝90°，

∴在Rt△BED中，2222

=++=，

BD BE DE

64213

∴BC＝2BD＝13

故答案为：13

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解决本题的关键．

17．5

【分析】

⊥于点在直角ABC中，依据勾股定理求出AC的长度，再算出BD，过点B作BE AC

、，两E，通过等面积法求出BE，得到两个直角三角形，分别运用勾股定理算出AE ED

者相加即为AD的长.

【详解】

解：如图，过点B 作BE AC ⊥于点E ，则90BEA ∠=?,90BED ∠=?,

∵直角ABC 中，90B ∠=?，6AB =，8BC =， ∴22=10AC AB BC +=, 又∵2ABC

S

AB BC AC BE =?=?，2AC BD =

∴6810BE ?=，5BD =, ∴=4.8BE ,

∵90BEA ∠=?,90BED ∠=?

∴22= 3.6AE AB BE -=,22= 1.4ED BD BE -=, ∴5AD AE ED =+=. 故答案为：5. 【点睛】

本题考查了勾股定理，通过作直角三角形斜边上的高，既构造了两个直角三角形求位置线段，又通过等面积法求出了一条直角边的长度，为运用勾股定理求线段创造了条件；故在求线段长时，可以考虑构造直角三角形. 18．322或11或5或109

5

【分析】

分别就E ，F 在AC,BC 上和延长线上，分别画出图形，过D 作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G ，H ，通过构造全等三角形和运用勾股定理作答即可. 【详解】

解：①过D 作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G ，H ∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45° 又∵D 是AB 的中点， ∴DG=

12

BC

同理：DH=

12

AC 又∵BC=AC ∴DG=DH

在Rt△DGE 和Rt△DHF 中 DG=DH,DE=DF

∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL ） ∴GE=HF 又∵DG=DH,DC=DC ∴△GDC≌△FHC ∴CG=HC

∴CE=GC -GE=CH-HF=CF=AB-BF=3 ∴EF=223332+=

②过D 作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G ，H

∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45° 又∵D 是AB 的中点， ∴DG=

12

BC 同理：DH=

12

AC 又∵BC=AC ∴DG=DH

在Rt△DGE 和Rt△DHF 中 DG=DH,DE=DF

∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL ） ∴GE=HF 又∵DG=DH,DC=DC ∴△GDC≌△FHC ∴CG=HC

∴CE=CF=AC+AE=AB+BF=7+4=11 221111112+=③如图，以点D 为圆心，以DF 长为半径画圆交AC 边分别为E 、E '，过点D 作DH⊥AC 于点H ，可知DF DE DE '==，可证△EHD≌△E HD '，CE D CFD '≌，△DHC 为等腰直

∴∠1+∠2=45°

∴∠EDF=2（∠1+∠2）=90° ∴△EDF 为等腰直角三角形 可证AED CFD △△≌ ∴AE=CF=3,CE=BF=4

∴

2222

435EF CE CF =+=+=

④有第③知，EF=5，且△EDF 为等腰直角三角形， ∴ED=DF=

52

2

,可证△E CF E DE ''?∽,

2223y x +=

52522

2

x =

+综上可得：422

x =∴2222E F DE DF DE '''''=

+=

109

5

E F ''=

【点睛】

本题考查了全等三角形和勾股定理方面的知识，做出辅助线、运用数形结合思想是解答本

19．3 【分析】

根据题意利用折叠后图形全等，并利用等量替换和等腰三角形的性质进行综合分析求解. 【详解】

解：由题意可知','ACM A CM BCH B CH ??, ∵15cm BC =，20cm AC =，

∴'15,'20,BC B C cm AC A C cm ====''20155A B cm =-=， ∵90ACB ∠=?， ∴'A M

AB ⊥(等量替换)，CH AB ⊥（三线合一），

∴25,AB cm =

利用勾股定理假设MB '的长为m ，'257AM AM m ==-，则有2

2

2

(257)5m m +-=， 解得3m =， 所以MB '的长为3. 【点睛】

本题考查几何的翻折问题，熟练掌握并综合利用等量替换和等腰三角形的性质以及勾股定理分析是解题的关键. 20．（0，34

）. 【分析】 由4

23

y x =

+求出点A 、B 的坐标，利用勾股定理求得AB 的长度，由此得到53

122OA '=

-=，设点C 的坐标为（0，m ），利用勾股定理解得m 的值即可得到答案. 【详解】 在4

23

y x =

+中，当x=0时，得y=2，∴A （0,2） 当y=0时，得

4203x +=，∴32x =-，∴B(32

-,0), 在Rt △AOB 中，∠AOB=90?，OA=2，OB=3

2

,

∴5

2AB ===,

∴53

122

OA '=

-=, 设点C 的坐标为（0，m ） 由翻折得ABC A BC '≌， ∴2A C AC m '==-，