2018版高中数学苏教版必修四课件：1.2.3 第2课时诱导公式五～六课件

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苏教版必修4高中数学1.2.3《三角函数的诱导公式》ppt课件1

自学导引
设α是一个任意角,点P( x, y ) 为α的终边上的任一点，
r OP x 2 y 2 ,则 :
y
sin y , cos x , tan y
r
r
x
O
x
P（x，y）
自主探究
从任意角三角函数的定义中，我们可以看到，三角函数的值与终边的位置相关。终边相同的角的三角函数值是相同的，根据终边相同的角的公式可以推出诱导公式一。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
求下列三角函数值
tan 19
3
3
1 tan( 31 ) 4
练习：求值
cos

13
3

sin

61
6

tan

20
3

解：cos Leabharlann 103

sin

59
6

tan

20
3

= co（s 2 -4 )+ sin( 10 ) tan( 2 6 )
第一章三角函数
§ 1.2.3 三角函数的诱导公式
高中数学必修4·同步课件
学习要求
1．熟练任意角三角函数的定义以及各个象限中三角函数值的符号相关问题

高中数学 1.2.3 第2课时三角函数诱导公式五～六导学案苏教版必修4(2021年整理)

高中数学1.2.3 第2课时三角函数诱导公式五～六导学案苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学1.2.3 第2课时三角函数诱导公式五～六导学案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1。

2.3 三角函数的诱导公式第2课时三角函数诱导公式五～六2．能灵活运用诱导公式五、六诱导公式五~六角α与角错误!－α的终边关于直线y ＝x 对称．因此，sin 错误!＝cos_α，cos 错误!＝sin_α.利用公式二和公式五得sin 错误!＝cos_α，cos 错误!＝－sin_α.由同角三角函数关系得tan 错误!＝错误!,tan 错误!＝－错误!.预习交流如何准确记忆六组诱导公式？提示：六组诱导公式可归纳为“k ·90°±α（k ∈Z )”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k 为偶数时得角α的同名三角函数值，当k 为奇数时得角α的异名三角函数值．然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号．可简记为“奇变偶不变,符号看象限”．一、求值问题求cos 2错误!＋cos 2错误!的值．思路分析：题中给出的角满足错误!＋错误!＝错误!，为互余关系，利用诱导公式可直接化简求值．解：cos 2错误!＋cos 2错误!＝cos 2错误!＋cos 2错误!＝cos 2错误!＋sin 2错误!＝1。

已知sin 错误!＝错误!，求cos 错误!的值．解：∵错误!＋错误!＝错误!,∴cos 错误!＝cos 错误!＝sin 错误!＝错误!。

高中数学必修四《三角函数的诱导公式》课件

公式四：
1.5
P1 1
T P
0.5
O
-2
-1 M1
M 1A
2
-0.5
-1
-1.5
T1
sin( ) sin
cos( ) costan( ) tan 公式一：公式二：
sin( 2k ) sin
sin( ) sin
cos( 2k ) cos (k Z ) cos( ) cos
公式四：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
同名函数象限定号
例1.利用公式求下列三角函数值：
（1） cos225º；
（2）
sin
11
;
3
（3）sin(-16 );
3
（4）cos-2040o
例2.
化简： cos(180 ) sin( 360 sin( 180 ) cos(180
同名函数象限定号
1.3三角函数的诱导公式（二）
公式五：
1.5
P1
1
0.5
O
-1
-0.5
P T
M1 A
-1
sin( ) cos
2
cos(
)
sin
2
公式六：
1.5
P1 1
0.5
O -1 M1
-0.5
P T
M1 A
-1
-1.5
sin( ) cos
2
cos(
)
sin
2
公式五：
公式六：
锐角时原函数值的符号。
公式一 ~ 六 ※记忆方法：
奇余偶同符号看象限
例1.证明：
（1）sin(3 ) cos；

苏教版数学必修四同步讲义：1.2 1.2.3 第2课时诱导公式五、六

第2课时诱导公式五、六1.了解诱导公式五、六的导出过程．2.理解诱导公式五、六的结构特征．3.掌握六组诱导公式的灵活应用．1．诱导公式五、六2．诱导公式五、六的语言概括π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，公式一～六都叫做诱导公式．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝cos α.( ) (2)若α为第二象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α.( ) (3)sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α.( ) 解析：(1)错误．因为sin ⎝⎛⎭⎫α－π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－cos α.所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝cos α是错误的． (2)正确．诱导公式中的角α为任意角，在化简时先假定α为锐角． (3)正确．因为π4－α＋π4＋α＝π2，所以成立．★答案★：(1)× (2)√ (3)√ 2．已知sin α＝23，则cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝( ) A ．23B ．－23C ．53D ．－53解析：选A ．cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α＝23. 3．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝13，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan α＝________．解析：sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝13，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin α＝－1－cos 2α＝－223.所以tan α＝sin αcos α＝－2 2.★答案★：－2 24．若α＋β＝π2且sin α＝15，则cos β＝________．解析：因为α＋β＝π2，所以β＝π2－α，所以cos β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α＝15. ★答案★：15利用诱导公式求值(1)已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是________． (2)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12，求cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α的值．【解】 (1)sin 239°tan 149° ＝sin(270°－31°)tan(180°－31°)＝－cos 31°(－tan 31°)＝sin 31°＝1－m 2. 故填1－m 2.(2)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12.若本例(2)题设不变，如何求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值呢？解：cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－12.已知三角函数值求其他三角函数值的解题策略(1)观察：①观察已知的角和所求角的差异，寻求角之间的关系； ②观察已知的三角函数名与所求的三角函数名的差异．(2)转化：运用诱导公式将不同的角转化为相同的角；将不同名的三角函数转化为同名的三角函数．1.(1)已知角α的终边经过点P (－4，3)，求cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin （－π－α）cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值．(2)已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P (a ，35)，求sin （π2＋α）＋2sin （π2－α）2cos （3π2－α）的值．解：(1)因为角α的终边经过点 P (－4，3)，所以tan α＝－34，所以cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin （－π－α）cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34.(2)因为角α的终边在第二象限且与单位圆交于点P (a ，35)，所以a 2＋925＝1(a ＜0)，所以a ＝－45，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以原式＝cos α＋2cos α－2sin α＝－32·cos αsin α＝(－32)×－4535＝2.利用诱导公式化简三角函数式化简：(1)cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－α·sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α·sin ⎝⎛⎭⎫－3π2－α＝________；(2)tan （3π－α）sin （π－α）sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋sin （2π－α）cos ⎝⎛⎭⎫α－7π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋αcos （2π＋α）.【解】 (1)原式＝（－sin α）·cos α·cos α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α·sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－sin αcos 2αsin αcos α＝－cos α. 故填－cos α.(2)tan (3π－α)＝－tan α，sin (π－α)＝sin α， sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos α，sin (2π－α)＝－sin α， cos ⎝⎛⎭⎫α－7π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α， sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－cos α， cos (2π＋α)＝cos α，所以，原式＝－tan αsin α（－cos α）＋－sin α（－sin α）－cos αcos α＝1cos 2α－sin 2αcos 2α ＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于π±α和π2±α这四套诱导公式，切记运用前两套公式不变名，而运用后两套公式必须变名．2.(1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13，求sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αsin （π＋α）的值．(2)化简：sin （π2＋α）cos （π2－α）cos （π＋α）＋sin （π－α）cos （π2＋α）sin （π＋α）.解：(1)原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·sin α－sin α＝－sin α－sin α＝－2sin α.又cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13，所以sin α＝－13.所以原式＝23.(2)因为sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α， cos (π＋α)＝－cos α，sin (π－α)＝sin α， cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α，sin (π＋α)＝－sin α，所以原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.利用诱导公式证明三角恒等式求证：(1)sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2（π＋θ）；(2)tan （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）cos （α－π）sin （5π－α）＝－tan α.【证明】 (1)右边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ（－sin θ）－11－2sin 2θ＝2sin⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin2θ＝－2sin⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin2θ＝－2cos θsin θ－1cos2θ＋sin2θ－2sin2θ＝（sin θ＋cos θ）2sin2θ－cos2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝左边．所以原等式成立．(2)左边＝sin（2π－α）cos（2π－α）·sin（－α）·cos（－α）cos（π－α）sin（π－α）＝－sin α·（－sin α）·cos αcos α·（－cos α）·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．所以原等式成立．利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左、右归一法：即证明左、右两边都等于同一个式子．(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，即化异为同．3.求证：tan（π＋α）sin（－2π－α）cos（2π－α）sin⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝tan α.证明：左边＝tan α·sin（－α）·cos（－α）sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝tan α·（－sin α）·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin2α－sin⎝⎛⎭⎫π2－αcos⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin2α－cos α·sin α＝sin αcos α＝tan α＝右边．1．诱导公式五、六(1)诱导公式五、六反映的是角π2±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．2．诱导公式一～六(1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系． (2)这六组诱导公式可归纳为“k π2±α(k ∈Z )”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k 为偶数时得角α的同名三角函数值，当k 为奇数时得角α的异名三角函数值．然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号．可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．已知f (α)＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos （－π－α）sin （－π－α）.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．【解】 (1)f (α)＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos （－π－α）sin （－π－α）＝（－sin α）·cos α·（－cos α）（－cos α）·sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α，所以sin α＝－15，又α是第三象限角，所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－152＝－256.所以f (α)＝256.(3)因为－31π3＝－6×2π＋5π3，所以f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos5π3＝－cos π3＝－12，所以f (α)＝－12.(1)在解答过程中，若诱导公式把握不准，就会在处出现符号或三角函数名称的错误；若忽略角α是第三象限角，就会在处求解cos α的值时出现符号的错误；若对终边相同的角的三角函数值相等理解不够或不会转化，则在处会出现角的错误．(2)对于六组诱导公式，要从本质上理解、形式上记忆准确，理解“奇变偶不变，符号看象限”，即掌握好三角函数名称和符号．对于三角函数值的符号的准确判定，一定要记准在四个象限内的不同的三角函数值的符号，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，否则就会在求解时出现符号错误．1．若sin (3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α等于( ) A ．－12B ．12C ．32D ．－32解析：选A ．因为sin (3π＋α)＝－sin α＝－12，所以sin α＝12.所以cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α＝－12. 2．给出的下列式子中：①cos 5π9＝sin 4π9；②sin(1＋π)＝sin 1；③tan ⎝⎛⎭⎫－π5＝－tan π5；④cos ⎝⎛⎭⎫－6π7＝cos π7. 其中正确的是________(填序号即可)．解析：①cos5π9＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π18＝－sin π18；②sin(1＋π)＝－sin 1；③tan ⎝⎛⎭⎫－π5＝－tan π5；④cos ⎝⎛⎭⎫－6π7＝cos ⎝⎛⎭⎫π7－π＝cos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫－π7＋π＝－cos π7. ★答案★：③3．已知sin 110°＝a ，则cos 20°的值为________．解析：因为sin 110°＝sin(90°＋20°)＝cos 20°，所以cos 20°＝sin 110°＝a . ★答案★：a4．若sin ⎝⎛⎭⎫θ＋3π2＞0，cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＞0，则角θ的终边位于第________象限．解析：因为sin ⎝⎛⎭⎫θ＋3π2＝－cos θ＞0，所以cos θ＜0，又cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ＞0，所以θ为第二象限的角． ★答案★：二[学生用书P86(单独成册)])[A 基础达标]1．化简：sin ⎝⎛⎭⎫92π＋x ＝( ) A ．sin x B ．cos x C ．－sin xD ．－cos x解析：选B ．sin ⎝⎛⎭⎫92π＋x＝sin ⎣⎡⎦⎤4π＋⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x .2．若cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋θ＝( ) A ．13B ．223C ．－13D ．－223解析：选A ．因为cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝13，所以sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π12－θ ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝13. 3．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，3π2，cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝32，则tan (2 018π－α)＝( ) A ． 3 B ．－ 3 C ．3或－ 3D ．33或－33解析：选B ．由cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝32得sin α＝－32，又0<α<3π2，所以π<α<3π2，所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－322＝－12， tan α＝ 3.因为tan (2 018π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－3，故选B ． 4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值为( ) A ．－13B ．13C ．－223D ．223解析：选A ．cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13. 5．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32解析：选A ．f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.6．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是________． ①cos(A ＋B )＝cos C; ②sin(A ＋B )＝－sin C ；③sin B ＋C 2＝cos A 2. 解析：因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，所以cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，所以①②都不正确；同理B ＋C ＝π－A ，所以sin B ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A 2，所以③是正确的．★答案★：③7．已知cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13，且－π＜α＜－π2，则cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝________．解析：因为－π＜α＜－π2，所以－7π12＜5π12＋α＜－π12. 又cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13＞0，所以sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－223. 由⎝⎛⎭⎫π12－α＋⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝π2，得cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫5π12＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－223. ★答案★：－2238．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________．解析：因为sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1，sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44，x ∈N )，所以原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝⎛⎭⎫222＝912. ★答案★：9129．化简：sin （θ－5π）cos ⎝⎛⎭⎫－π2－θcos （8π－θ）sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2 sin （－θ－4π）. 解：原式＝－sin （5π－θ）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θcos θ－sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ[－sin （4π＋θ）]＝－sin （π－θ）（－sin θ）cos θcos θ（－sin θ）＝－sin θ（－sin θ）cos θcos θ（－sin θ）＝－sin θ. 10．已知1＋tan （π＋α）1＋tan （2π－α）＝3＋22，求cos 2(π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋2sin 2(α－π)的值．解：由已知，得1＋tan α1－tan α＝3＋22，所以tan α＝2＋224＋22＝1＋22＋2＝22. 所以cos 2(π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋2sin 2(α－π) ＝cos 2α＋(－cos α)(－sin α)＋2sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan α＋2tan 2α1＋tan 2α＝1＋22＋11＋12＝4＋23. [B 能力提升]1．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin （π－θ）等于( ) A ．－32 B ．32C ．0D ．23 解析：选B ．设θ的终边上一点为P (x ，3x )(x ≠0)，则tan θ＝y x ＝3x x＝3. 因此sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin （π－θ）＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－3cos θcos θ－sin θ ＝－31－tan θ＝－31－3＝32，故选B ．2．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－αtan 2（2π－α）tan （π－α）cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值．解：由于方程5x 2－7x －6＝0的两根为2和－35，所以sin α＝－35，再由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝±1－sin 2α＝±45，所以tan α＝±34，所以原式＝－cos α（－cos α）·tan 2α（－tan α）sin α·（－sin α）＝tan α＝±34. 3．(选做题)已知sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋β，3cos(－α)＝－2·cos (π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．解：因为sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋β，所以sin α＝2sin β.① 因为3cos(－α)＝－2cos (π＋β)，所以3cos α＝2cos β.②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2(sin 2β＋cos 2β)，所以cos 2α＝12，cos α＝±22.又0＜α＜π，所以α＝π4或α＝3π4. 当α＝π4时，β＝π6；当α＝3π4时，β＝5π6. 即α＝π4，β＝π6或α＝3π4，β＝5π6.。

高中数学人教A必修4课件：1.3.2 诱导公式五、六

-2-
第2课时诱导公式五、六
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
诱导公式五、六如下表:
公式五公式六 sin sin
�� 2 �� 2
-α = cos �� + α = cos ��
3 . 3
-7-
第2课时诱导公式五、六
M 目标导航
题型四
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型一
题型二
题型三
反思已知关于 α 的三角函数值 ,求角 β 的三角函数时 ,先观察是否有 α± β=
��π ( ��∈Z),若有 ,则将 2
π -�� 4 π ,∴ 2
【例 4】已知 si n 的值. 错解 :∵0<α<
= �� , 0 < �� < <
π − �� 4
∴cos ∴cos
sin sin
π -�� 4 π -�� 4
π − 4
<
π , 4
> 0, = 1-sin2
π -�� 4
题型三
题型三
证明三角恒等式
3π π 3π sin ��+3 cos �� + 2 2
【例 3】求证:
tan(2π-��)cos 2 -�� cos(6π-��)

(教师参考)高中数学 1.2.3 三角函数的诱导公式课件2 苏教版必修4

15
课堂练习
tan( - ) = cos( - ) = sin( - 315°) =
sin = tan( - 2130°) =
cos240°=
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16
注意：负数的三角函数必须加
括号
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12
典型例题例2
解：- + （-3）×2π
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13
课堂小结
由公式一可知，三角函数值有“ 周而复始”的变化规律，即角α 的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现。
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14
课堂练习
角度函数
60°
sin
cos
780°
— 660°
tan
精选ppt
精选ppt
4
想一想
？
？
（K∈Z ）
？
你有什么发现？
精选ppt
5
三角函数的诱导公式
（K∈Z）
定义为
终边相同的角的同一三角函数的值相等
精ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱppt
6
想一想
利用公式一，可以把求任意角的三
角函数值，转化为求0到2π角的三角
函数值
公式一有什么作用
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7
典型例题
例1 ？解：720°=0°+2×360°
第一章三角函数
§1.2.3 三角函数的诱导公式
高中数学必修4·同步课件
引入课题
复习回顾
通过前面的学习，我们掌握了三角函数，以及终边相同的角的性质，下面我们做简单复习
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2
引入课题
终边相同的角
S={β|β=α+k·360°}
即 α=α+k·2π

2018版高中数学第一章三角函数1.2.3第2课时诱导公式(五～六)课件苏教版必修4

π π π 1 1 1 π π ＝－cos6－α· sin3＋α＝－3sin2－6－α＝－3cos6－α＝－9.
解答
反思与感悟
π π 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如3－α 与6＋α， π π π π π 2π π 3π 3＋α 与6－α， 4－α 与4＋α 等互余， 3＋θ 与 3 －θ， 4＋θ 与 4 －θ 等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.
－tan α· －sin α· cos α sin2α ＝ π π ＝ π π sin－2－αcos－2－α －sin2－αcos2－α
sin2α sin α ＝＝－cos α＝－tan α＝右边. －cos αsin α
2
1 2 1－＝－ 2
3 . 2
解答
(2)已知解
π 1 cos6－α＝3，求
5π 2π cos 6 ＋α· sin 3 －α的值.
5π 2π π π cos 6 ＋α· sin 3 －α＝cosπ－6－α· sinπ－3＋α
第1章 1.2.3
三角函数的诱导公式
第2课时诱导公式(五～六)
学习目标
1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题. 2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力. 3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.
∴原等式成立.

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题、解决问题的能力.
内容索引
问题导学题型探究当堂训练
问题导学
知识点一
诱导公式五
思考1
π π 角6与角3的三角函数值有什么关系？ π π 1 π π 3 答案 sin6＝cos 3＝2，cos 6＝sin 3＝ 2 .
思考2
π 角α的终边与角－α的终边有怎样的对称关系？ 2
答案关于直线y＝x对称.
π π π 1 1 1 π π ＝－cos6－α· sin3＋α＝－3sin2－6－α＝－3cos6－α＝－9.
解答
反思与感悟
π π 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如3－α 与6＋α， π π π π π 2π π 3π 3＋α 与6－α， 4－α 与4＋α 等互余， 3＋θ 与 3 －θ， 4＋θ 与 4 －θ 等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.
例4
(1)化简f(α)；
解 sin αcos αcos α f(α)＝＝cos α. －cos α－sin α
解答
3 (2)若角 A 是△ABC 的内角，且 f(A)＝5，求 tan A－sin A 的值. 3 解因为 f(A)＝cos A＝5，
又A为△ABC的内角，
4 所以由平方关系，得 sin A＝ 1－cos A＝5，
答案
梳理
π － α sin2 ＝cos π cos2－α ＝sin
α α
诱导公式五
知识点二
诱导公式六
思考
π 能否利用已有公式得出＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之 2 间的关系？
答案以－α代替公式五中的α得到
π α ＋ sin ＝cos(－α)， 2 π cosα＋2 ＝sin(－α).
第1章 1.2.3
三角函数的诱导公式
第2课时诱导公式(五～六)
学习目标
1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简
与证明问题.
2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个
性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.
3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问
1
2
3
4
5
解析
答案
5 5 3π －3 2.若 cos(2π－α)＝ 3 ，则 sin( 2 －α)＝ .
解析
5 ∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝ 3 ，
3π 5 ∴sin( 2 －α)＝－cos α＝－ 3 .
1
2
3
4
5
解析
答案
π sin2＋θ－cosπ－θ －2 . 3.已知 tan θ＝2，则＝ π sin2－θ－sinπ－θ
证明
cos αsin α sin αsin α 原式＝＋＝－sin α－sin α＝－2sin α. －cos α －sin α
π 1 1 又 cos(2＋α)＝3，所以－sin α＝3.
2 所以原式＝－2sin α＝3.
1
2
3
4
5
证明
规律与方法
1.诱导公式的分类及其记忆方式 (1)诱导公式分为两大类： ①α＋k· 2π，－α，α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把 α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”.
名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”.
π 六组诱导公式可以统一概括为“k· ±α(k∈Z)”的诱导公式. 2 π 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指k·2 ±α(k∈Z)
中k的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号.
sin3π－α＋cosα＋π 求 5π 7π 的值. － α － α 5cos ＋ 3sin 2 2
1
2
3
4
5
解答
π π 3π sin2＋αcos2－α sinπ－αcos 2 ＋α π 1 5.已知 cos(2＋α)＝3，求值：＋ . cosπ＋α sinπ＋α
跟踪训练 1 解
已知
π ＋ α sin ＝ 6
π 3 － α ，求 cos 的值. 3 3
π π π π π π ∵6＋α＋3－α＝2，∴3－α＝2－6＋α .
π π π π ∴cos3－α＝cos2－6＋α＝sin6＋α＝
3 3.
解答
类型二利用诱导公式证明三角恒等式
例2 tan2π－αsin－2π－αcos6π－α 求证：＝－ tan α . 3π 3π sinα＋ 2 cosα＋ 2
证明
tan－α· sin－α· cos－α ∵左边＝ π π sin2π－2－α· cos2π－2－α
π π ② α＋2，－α＋2 的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为 “函数名改变，符号看
θ－1
1－2sin θ
π －2sin2－θ sin ＝ 2
θ－1 －2cos θsin θ－1 sin θ＋cos θ2 sin θ＋cos θ ＝ 2 . 2 2 ＝ 2 2 ＝ 1－2sin θ cos θ＋sin θ－2sin θ sin θ－cos θ sin θ－cos θ
2
解答
当堂训练
1.已知
π 1 sinα－6＝3，则
π －3 cosα＋3的值为
1
.
解析
π π π π 1 cosα＋3＝cos2＋α－6＝－sinα－6＝－3.
3π π 2sinθ－ 2 cosθ＋2 －1 tan9π＋θ＋1 求证：＝ . 2
1－2sin π＋θ
tanπ＋θ－1
证明
3π － θ －2sin －sin · 2 因为左边＝ 2
1－2sin θ
π － θ θ－1 2sin π ＋ sin 2 ＝ 2
2
1 2 1－＝－ 2
3 . 2
解答
(2)已知解
π 1 cos6－α＝3，求
5π 2π cos 6 ＋α· sin 3 －α的值.
5π 2π π π cos 6 ＋α· sin 3 －α＝cosπ－6－α· sinπ－3＋α
跟踪训练3 在△ABC中，给出下列四个式子： ①sin(A＋B)＋sin C； ②cos(A＋B)＋cos C； ③sin(2A＋2B)＋sin 2C； ④cos(2A＋2B)＋cos 2C. 其中为常数的式子的序号是 ②③ .
解析
答案
类型四诱导公式的综合应用
π sinπ－αcos－αsin2＋α 已知 f(α)＝ . cosπ＋αsin－α
－tan α· －sin α· cos α sin2α ＝ π π ＝ π π sin－2－αcos－2－α －sin2－αcos2－α
sin2α sin α ＝＝－cos α＝－tan α＝右边. －cos αsin α
题型探究
类型一利用诱导公式求(π＋α)＝－2，α 为第一象限角，求 cos2＋α的值；
1 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－2，
1 ∴cos α＝2，又 α 为第一象限角，则
π cos2＋α ＝－sin
α＝－ 1－cos α＝－
2.诱导公式记忆规律：
公式一～四归纳： α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的
同名三角函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号，简记
为：“函数名不变，符号看象限”.
π 公式五～六归纳： ±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函 2
数值，前面加上一个把 α看成锐角时原函数值的符号，简记为： “函数
2
sin A 4 所以 tan A＝cos A＝3， 4 4 8 所以 tan A－sin A＝3－5＝15.
解答
反思与感悟
解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再
用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱.
跟踪训练 4
已知 sin α 是方程 5x2－7x－6＝0 的根，α 是第三象限角，求
解析
π sin2＋θ－cosπ－θ cos θ＋cos θ 2 2 ＝＝＝＝－2. π cos θ－sin θ 1－tan θ 1－2 sin2－θ－sinπ－θ
1
2
3
4
5
解析
答案
4.已知
π π cos2＋α＝2sinα－2 ，
tan θ＋1 sin θ＋cos θ 右边＝＝ . tan θ－1 sin θ－cos θ
所以左边＝右边，故原等式成立.
证明
类型三诱导公式在三角形中的应用
例3
A＋B－C A－B＋C 在△ABC 中，sin ＝sin ，试判断△ABC 的形状. 2 2
解答
反思与感悟
A＋B＋C π 解此类题需注意隐含的条件，如在△ABC 中，A＋B＋C＝π，＝， 2 2 结合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝ A＋B A＋B C C －cos C，sin 2 ＝cos 2 ，cos 2 ＝sin 2 .

2018版高中数学苏教版必修四课件：1.2.3 第2课时 诱导公式五～六课件