11.2 与三角形有关的角
最新人教版初中八年级上册数学【第十一章 11.2 与三角形有关的角(1)】教学课件
问题回顾
问题3
证明三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180º. 已知：△ABC
（如图）.
求证：∠A +∠B + ∠C = 180º.
思考：为什么 过点A 是作BC 的平行线？ 如果不是平行 线能证明结论 吗？
例如 过点A作射线AM，AN，使∠6=∠2，∠7=∠3 .
或 过点A作直线MN，使∠6=∠2 .
5．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=84°， 则x的值为( )．
(A) 48° (B)96° (C) 132° (D) 168°
八年级—人教版—数学—第十一章
11.2.1 三角形的内角（1）答疑
问题回顾
问题3 证明三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180º. 已知：△ABC（如图）. 求证：∠A +∠B + ∠C = 180º.
两岛的视角∠ACB 呢？
解法二：过点C作CF∥AD，
∵AD∥BE，CF∥AD，
北
C
北
E
∴BE∥CF .
D
∴∠ACF =∠CAD =50º，
∠BCF =∠CBE =40º.
∴∠ACB =∠ACF +∠BCF
A
F
B
= 50º+ 40º= 90º.
课堂小结
1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180º.
求证：∠A +∠B + ∠C = 180º.
证法五：在BC上任取一点K， 过点K作KP∥AB，交AC于 点P， 过点K作KQ∥AC， 交AB于点Q．
∵ KP∥AB，
∴ ∠8 = ∠2 （两直线平行，同位角相等），
∠9 = ∠11 （两直线平行，内错角相等）.
八年级数学 第 三角形 11.2 与三角形有关的角 11.2.1 三角形的内角
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解:∵∠B=42°,∠C=68°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°.
∵AD是角平分线,
∴∠DAC= ∠B1AC=35°.
∵AE是高,∠C2=68°,
∴∠EAC=90°-∠C=22°, ∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=35°-22°=13°.
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1.在△ABC中,若∠A=2∠B=70°,则∠C的大小(dàxiǎo)是( ). A.40° B.75°
.
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(dá答答à案案n)
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5.在△ABC中,若∠A=40°,∠B=∠C,则∠C的度数(dùshu)是
类此三角形是
三角形.
,按角分
锐角 ∵∠A=40°, ∴∠B+∠C=180°-40°=140°. ∵∠B=∠C, ∴∠B=∠C=70°.
按角分类应是锐角三角形. 7102/°10/2021
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解析 (dá答答à案案n)
内容(nèiróng)总结
11.2 与三角形有关的角。【例题】 (2017·福建上杭期中)如图,在△ABC中,AE是BC边上的高,AD是角平分 线,∠B=42°,∠C=68°,分别求∠BAC,∠DAE的度数.。分析从已知条件入手,首先对△ABC应用三角形内角和定理求
11.2与三角形有关的角
11.2与三角形有关的角学习目标1.了解三角形的外角概念。
2.掌握三角形内角和定理和外角的性质，初步掌握添加辅助线的方法。
3.会证明三角形的内角和定理，会运用内角和定理与外角的性质进行相关计算。
考点关注1.根据三角形的外角的性质，结合平行线的性质来求角的度数或度数之间的关系。
2.根据三角形的内角和求角的度数或证明角相等的问题。
知识点1 三角形的内角和定理(1)三角形的内角和定理：三角形的内角和是180°.(2)三角形内角和定理的证明思路：利用两直线平行，内ABC为利用两直线平行，内错角及同位角相等，的三个内角利用两直线平行，内ABC为知识点2 直角三角形的性质和判定方法是直角三角形，且知识点3 三角形的外角1.三角形的外角2.常见的基本模型(1) “飞镖”模型：如图11-14（1）所示，结论：. (2) “8”字模型：如图11-14（2）所示，结论：.(3) 如图11-14（3）所示，点P 是∠ABC 与∠ACB 的角平分线的交点，结论：.ACP A ABP BCP ∠+∠+∠=∠E B D A ∠+∠=∠+∠A P ∠+︒=∠2190(4) 如图11-14（4）所示，点P 是∠ABC 与∠ACE 的角平分线的交点，结论：.(5) 如图11-14（5）所示，点P 是三角形的外角∠FBC 与∠BCE 的角平分线的交点，结论： .注意：以上结论应用时必须证明，不能直接用。
练习：如图11-15所示，∠1=∠2=∠3. (1) 试说明；(2) 若，，求的度数。
A P ∠=∠21A P ∠-︒=∠2190DEF BAC ∠=∠︒=∠70BAC ︒=∠50DFE ABC ∠题型1 三角形内角和定理的应用例1：锐角三角形所有角的度数为正整数，最小角的度数是最大角的度数的四分之一，则满足条件的锐角三角形有（ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个题型2 三角形外角性质与内角和定理的综合应用例2：如图11-16所示，在△ABC 中，，，，BE 平分∠ABC ，求∠BED 的度数。
11.2与三角形相关的角
11.2与三角形相关的角：1.三角形的内角和等于180°任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有3个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角。
2.直角三角形的两个锐角互余。
3.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
探索研究三角形内角和等于180°。
jCB AC B A C B A法一：通过减拼的方法，验证三角形的内角和等于180°。
法二： 法三：法四： 法五：例1：如图，在ΔABC 中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD 是⊿ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数。
DCBA例2：如图，A,B,C,三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东50°，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向。
从B 岛看A,C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C 岛看A,B 两岛的视角∠ACB 呢？CBA直角三角形的两个锐角互余,反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形。
1.在ΔABC 中，∠C=90°,则∠A+∠B=90°。
则直角三角形用符号Rt Δ表示，直角三角形ABC 表示成“Rt ΔABC ”。
例3.如图，∠C=∠D=90°,AD ，BC 相交于点E ，∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？ DE B A C三角形的外角=与它不相邻的两个内角之和。
1.已知ΔABC ，∠ACD 是ΔABC 的外角，求证：∠ACD=∠A+∠B 。
DCB A例4：如图，∠BAE,∠CBF,∠ACD 是ΔABC 的三个外角，它们的和是多少？DC BEA三角形内角和一、选择题1、一个三角形中，有一个角是65°，另外的两个角可能是（ ）A.95°，20°B.45°，80°C.45°，60°2、一个等腰三角形，顶角是100°，一个底角是（ ）。
人教版数学八年级上册11.2 与三角形有关的角(3课时)教案与反思
11．2 与三角形有关的角知人者智，自知者明。
《老子》棋辰学校陈慧兰11．2.1 三角形的内角第1课时三角形的内角和定理一、基本目标【知识与技能】1．理解“三角形三个内角的和等于180°”．2．能运用三角形内角和定理进行计算．【过程与方法】通过测量、猜想、推理等数学活动，探索三角形的内角和，感受数学思考过程的条理性，发展合情推理能力和语言表达能力．【情感态度与价值观】在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成和获得数学说理的习惯与能力．二、重难点目标【教学重点】三角形内角和定理．【教学难点】三角形内角和定理的推导、验证．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P11～P13的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．利用三角板的三个角之和为多少度来探索三角形的内角和．图1 图2图1：30°＋60°＋90°＝180°；图2：45°＋45°＋90°＝180°.2．探索任意三角形的内角和都为180°.(1)在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码．(2)动手把一个三角形的两个角剪下，拼在第三个角的顶点处，如图．用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A＋∠B＋∠ACB ＝180°.(3)把∠B和∠C剪下拼在一起，如图．用量角器量一量∠MAN 的度数，可得到∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.(4)三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.3．在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C＝40°.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C 岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度(方法一)分析与解答过程见教材P12～P13.(方法二)【互动探索】(引发学生思考)过点C作AD的垂线，求∠ACB的度数可转化为利用平角为180°来求解．【解答】∠ABC的求法同“方法一”．如图，过点C作CF⊥AD，则CH⊥BE.∵∠ACF＝180°－∠DAC－∠AFC＝180°－50°－90°＝40°，∠BCH＝180°－∠CBH－∠CHB＝180°－40°－90°＝50°，∴∠ACB＝180°－∠ACF－∠BCH＝180°40°－50°＝90°.故从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60°.从C岛看A、B 两岛的视角∠ACB是90°.【例2】如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于点F，交AC于点E.若∠A＝46°，∠D＝50°，求∠ACB的度数．【互动探索】(引发学生思考)D⊥AB，∠D＝50°→得∠B的度数，结合∠A＝46°→得∠ACB的度数(三角形内角和定理)．【解答】∵DF⊥AB∴∠DFB＝90°.∵∠D＝50°，∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，∴∠B＝40°.又∵∠A＝46°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角形的内角，一般要用到三角形内角和定理．解决问题时，要根据图形特点，不同的三角形中灵活运三角形内角和定理求解．活动2 巩固练习(学生独学)1．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝50°.2．已知三角形三个内角的度数之比为1∶3∶5，则这三个内角的度数分别为20°，60°，100°.3．已知△ABC中，DE∥BC，∠AED＝50°，CD平分∠ACB，求∠CDE的度数．解：∵DE∥BC，∠AED＝50°，∴∠ACB＝∠AED＝50°.∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝12∠ACB＝25°.又∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD＝25°.环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.请完成本课时对应练习！第2课时直角三角形的两锐角互余一、基本目标【知识与技能】理解并掌握直角三角形的两锐角互余及其逆定理．【过程与方法】通过三角形的内角和定理推导出直角三角形的两锐角互余．【情感态度与价值观】在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成和获得数学说理的习惯与能力．二、重难点目标【教学重点】直角三角形的两锐角互余．【教学难点】判断三角形是直角三角形的方法．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P13～P14的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，由三角形内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°，即∠A＋∠B＋90°＝180°，所以∠A＋∠B＝90°.2．直角三角形的两个锐角互余.3．直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC.4．由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形．5．若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于70°.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，DF⊥AB，∠A＝40°，∠D＝43°，则∠ACD 的度数是________.【互动探索】(引发学生思考)DF⊥AB，∠A＝40°→∠AEF ＝50°(直角三角形的两个锐角互余)→∠CED＝50°(对顶角相等)，结合∠D＝43°→∠ACD＝87°(三角形内角和定理)．【答案】87°【互动总结】(学生总结，老师点评)“直角三角形的两个锐角互余”常常和三角形内角和定理综合起来求角的度数．【例2】在△ABC中，如果∠A＝12∠B＝13∠C，那么△ABC是什么三角形？【互动探索】(引发学生思考)分析法：要判断三角形的形状，应从三角形的边或角入手→已知∠A、∠B、∠C的数量关系→△ABC各内角的度数→△ABC的形状．【解答】设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x.根据题意，得x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°.∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴△ABC是直角三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)已知三角形内角的数量关系，可以利用“有两个角互余的三角形是直角三角形”判断三角形的形状．活动2 巩固练习(学生独学)1．在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是( B )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形2．如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝38°，则∠A＝52°.3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B，∠2＝∠3，则图中共有5个直角三角形．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．直角三角形的两个锐角互余．2．有两个角互余的三角形是直角三角形．请完成本课时对应练习！11.2.2 三角形的外角(第3课时)一、基本目标【知识与技能】1．三角形的外角的定义和性质．2．能利用三角形的外角性质解决问题．【过程与方法】通过合作研究三角形的内、外角之间的关系，提高学生的合作意识和沟通、表达能力．【情感态度与价值观】通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学方法，培养主动探索、勇于发现、敢于实践及合作交流的习惯．二、重难点目标【教学重点】与三角形的外角有关的性质．【教学难点】三角形外角性质的推导．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P14～P15的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图1，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.2．试结合图形写出证明过程：证明：过点C作CM∥AB，延长BC到点D，则∠1＝∠A(两直线平行，内错角相等)，∠2＝∠B(两直线平行，同位角相等)，所以∠1＋∠2＝∠A＋∠B，即∠ACD＝∠A＋∠B.3．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.4．△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD＝120°.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？(方法一)见教材P15解答过程．(方法二)【互动探索】(引发学生思考)考虑利用平角的性质与三角形的内角和定理求解．【解答】∵∠BAE＝180°－∠1，∠CBF＝180°－∠2，∠ACD＝180°－∠3，∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝180°－∠1＋180°－∠2＋180°－∠3＝540°－(∠1＋∠2＋∠3)＝540°－180°＝360°.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)由此题可以得出：任意三角形的外角和都等于360°.(2)拓展：任意多边形的外角和都等于360°(同学们可自行进行证明)．活动2 巩固练习(学生独学)1．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于( B )A．120°B．105°C．60°D．45°2．求下列各图中∠1的度数．解：左图：∠1＝90°；中图：∠1＝80°；右图：∠1＝95°.3．求下列各图中∠1和∠2的度数．解：左图：∠1＝60°，∠2＝30°；右图：∠1＝50°，∠2＝140°.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图所示，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．【互动探索】∠A与已知角不在同一个三角形内→考虑作辅助线→利用三角形外角的性质求解．【解答】延长BP交AC于点E，则∠BPC、∠PEC分别为△PCE、△ABE的外角．∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°，∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类题的一般方法是作辅助线，利用三角形外角的性质将已知与未知的角联系起来计算角的度数．此题也可以延长CP与AB相交，还可以连结AP 并延长与BC相交，同学们可以自己尝试另外两种解法．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．请完成本课时对应练习！【素材积累】不要叹人生苦短，若把人一生的足迹连接起来，也是一条长长的路；若把人一生的光阴装订起来，也是一本厚厚的书。
人教版八年级数学上册教学设计11.2 与三角形有关的角
人教版八年级数学上册教学设计11.2 与三角形有关的角一. 教材分析人教版八年级数学上册“与三角形有关的角”这一节主要让学生了解三角形内角和定理，学会使用三角形的内角和定理解决实际问题。
通过这一节的学习，让学生进一步理解三角形的性质，为后续学习三角形的其他性质和判定打下基础。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了角的性质，对角的概念有了初步的了解。
但他们对三角形的内角和定理的理解还不够深入，需要通过实例来进一步理解和掌握。
此外，学生的空间想象力还不够丰富，需要通过实物演示和动手操作来帮助他们理解和掌握三角形的内角和定理。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解三角形内角和定理，能运用三角形的内角和定理解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：三角形内角和定理的理解和运用。
2.难点：对三角形内角和定理的证明和灵活运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、实物演示法、合作交流法等，引导学生观察、操作、推理，从而理解和掌握三角形的内角和定理。
六. 教学准备1.准备三角形模型、直尺、量角器等教具。
2.制作课件，展示三角形内角和定理的证明过程。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问：“我们以前学过角的性质，那么你们知道三角形的角有什么特点吗？”引导学生回顾角的知识，为新课的学习做好铺垫。
呈现（10分钟）教师展示三角形模型，让学生观察并提问：“请大家观察这个三角形，你们能发现什么规律吗？”引导学生发现三角形的内角和等于180度。
操练（10分钟）教师给出几个三角形，让学生用量角器测量其内角和，验证三角形的内角和定理。
同时，教师巡回指导，帮助学生解决问题。
巩固（10分钟）教师通过出示一些实际问题，让学生运用三角形的内角和定理解决问题，巩固所学知识。
拓展（10分钟）教师提问：“你们还能找到其他形状的图形的内角和定理吗？”引导学生思考四边形、五边形等图形的内角和定理，培养学生的空间想象力。
11.2 与三角形有关的角
11.2 与三角形有关的角教学目标1．探索并证明三角形内角和定理．2．能运用三角形内角和定理解决简单问题．3．使学生在操作活动中，探索出三角形的外角的两条性质，并利用学过的定理论证这些性质．4．能利用三角形的外角性质解决实际问题．教学重点探索并证明三角形内角和（外角和）定理，体会证明的必要性．课时安排2课时教案A第1课时教学内容三角形的内角．教学过程一、新课导入在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？二、探究新知1．动手操作教师让学生利用手中的三角形纸片进行探究，提醒学生可以采用三种方法：度量、剪拼图、折叠．通过学生的实验探究后，教师指出运用度量的方法时，测量可能会有误差，得出的三个内角的和接近180°．通过度量、剪拼图或折叠的方法验证了手中的三角形纸片的三个内角和等于180°，但我们手中的三角形只是所有三角形中有限的几个，而形状不同的三角形有无数多个，我们如何能得出“所有的三角形的三个内角的和都等于180°”这个结论呢？2． 探究证明师生共同完成三角形内角和的证明过程． 已知：△ABC ．求证：∠A ＋∠B ＋ ∠C ＝ 180°．证明：如右图，过点A 作直线l ，使l //BC ． ∵ l //BC ，∴ ∠2＝∠4（两直线平行，内错角相等）． 同理∠3＝∠5．∵ ∠1，∠4，∠5组成平角， ∴ ∠1＋∠4＋∠5＝180° （平角定义）． ∴ ∠1＋∠2＋∠3＝180° （等量代换）．通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？ 学生独立思考，讨论其他做法．注意：为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线通常用虚线表示．3． 例题分析下图是A ，B ，C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向， B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向，从B 岛看A 、C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 是多少度？学生先独立解决，再合作交流，最后教师点评． 想一想：你还有其他解法吗？ 4．直角三角形的性质在△ABC 中，若∠C ＝90°，你能求出∠A ，∠B 的度数吗？为什么？你能求出∠A ＋∠B 的度数吗？利用上面的结果，你能得出什么结论？学生先独立解决，再合作交流，最后教师点评． 明晰：直角三角形的两个锐角互余．提示：直角三角形可以用符号“Rt △”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt △ABC ． 5．直角三角形的性质的应用如图，∠C ＝∠D ＝90°，AD ，BC 相交于点E ，∠CAE 与∠DBE有什么关系？为什么？分析：两个角的关系是什么？这两个角分别在什么三角形中？你如何验证自己的想法？解：在Rt △AEC 中，∠CAE ＝90°－∠AEC ． 在Rt △BDE 中，∠DBE ＝90°－∠BED ． ∵∠AEC ＝∠BED ， ∴∠CAE ＝∠DBE ．如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？学生先独立解决，再合作交流，最后教师点评． 明晰：有两个角互余的三角形是直角三角形．三、课堂小结1．探索并证明三角形内角和定理．2．能运用三角形内角和定理解决简单问题．3．掌握直角三角形的两个锐角互余，并能简单应用． 四、布置作业习题11.2 第1、3、4题．第2课时教学内容三角形的外角． 教学过程 一、新课导入如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝50°，则∠C ＝ ．把△ABC 的一边BC 延长，得到∠ACD ．这个角还是三角形的内角吗？∠ACD ＝ ．二、探究新知1．三角形外角的定义定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．想一想：三角形的外角有几个？ ．每个顶点处有 个外角，但它们是 ．2．外角的性质在右图中，△ACD 与△ABC 的内角有什么关系？ （1）∠ACD ＝ ＋ ；（2）∠ACD∠A，∠ACD∠B（填“<”、“＝”“>”）．再画△ABC的其他的外角试一试，还会得到这些结论吗？请学生用几何语言叙述这个结论：三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．3．外角性质的证明你能用学过的定理证明这些定理的成立吗？已知：△ACD是△ABC的外角．求证：（1）△ACD＝∠A＋∠B（2）△ACD＞∠A，△ACD＞∠B．学生独立思考，师生完成证明过程．证明：（1）因为∠A＋∠B＋∠ACB＝180°．所以∠A＋∠B＝180°－∠ACB．又因为∠ACB＋∠ACD＝180°，所以∠ACD＝180°－∠ACB．所以∠ACD＝∠A＋∠B．（2）由（1）的证明结果可以得出：△ACD＞∠A，△ACD＞∠B．想一想：你还可以结合右图形给予说明吗？4．外角性质的应用如右图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的不同三个Array外角，则它们的和是多少？解：因为∠1＝∠ABC＋∠ACB，∠2＝∠BAC＋∠ACB，∠3＝∠ABC＋∠BAC，所以∠1＋∠2＋∠3＝2（∠ABC＋∠BAC＋∠ACB）．因为∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180º，所以∠1＋∠2＋∠3＝2×180º＝360º．三、课堂小结1．了解三角形的外角的两条性质2．利用学过的定理论证这些性质3．能利用三角形的外角性质解决实际问题四、布置作业习题11.2第6、8题．教案B第1课时教学内容三角形的内角．教学过程一、新课导入活动1说出三角形内角和是多少，并思考如何证明．二、自主学习1.活动2 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？下面是两种拼合的方法，试一试，看看得到什么结果．学生动手操作后与同伴交流，得到：所有的三角形的三个内角的和都等于180°．2.活动3如果我们不用上面的办法，可不可以用推理论证的方法来说明三角形内角和定理的正确性呢？学生独立思考后，小组合作交流．优秀小组代表发言，师生完成规范步骤的书写．提示：为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线，在平面几何里，辅助Array线通常用虚线表示．3.活动4如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线．求∠ADB的度数．学生独立思考后，小组合作交流．优秀小组代表发言，师生完成规范步骤的书写．4. 活动5 在△ABC中，若∠C＝90°，你能求出∠A，∠B的度数吗？为什么？你能求出∠A＋∠B的度数吗？你能得出什么结论？学生先独立解决，再合作交流，最后教师点评．明晰：直角三角形的两个锐角互余．提示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．5. 活动6 如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？学生先独立解决，再合作交流，最后教师点评．明晰：有两个角互余的三角形是直角三角形．三、自我检测1．在△ABC中，若∠A＝40°，∠A＝2∠B，则∠C＝．2．如右图，在△ABC中∠C＝60°，∠B＝50°，AD是∠BAC的平分线，则∠BAD＝．答案1．120°2．35°四、课堂小结1．探索并证明三角形内角和定理．2．能运用三角形内角和定理解决简单问题．3．掌握直角三角形的两个锐角互余，并能简单应用．五、布置作业习题11.2第1、3、4题．第2课时教学内容三角形的外角．教学过程一、新课导入复习上节内容，导入新课的教学．二、自主学习1.活动1阅读教材的内容，找出上题的答案．明晰：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．2.活动2 画出△ABC的所有外角，并找出外角出现的规律．学生独立画图后，小组合作交流，优秀小组代表发言．提示：三角形的外角有6个，每个顶点处有2个外角，但它们是对顶角．3.活动3 找出右图中∠ACD与△ABC的内角有什么关系？学生独立思考后，小组合作交流，优秀小组代表发言．明晰：三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．4.活动4 你能用学过的定理说明这些定理的成立吗？学生独立思考后，小组合作交流．优秀小组代表发言，师生完成规范步骤的书写．三、自我检测1．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（ ）．A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定 2．如下图所示，则α＝ °． 3．如图，∠A ＝55°，∠B ＝30°，∠C ＝35°，求∠CDB 的度数．答案 1．C 2．114° 3．120° 四、课堂小结1．了解三角形的外角的两条性质 2．利用学过的定理论证这些性质3．能利用三角形的外角性质解决实际问题 五、布置作业 习题11.2 第6、8题．5（第2题）23α ACDB （第3题）。
【能力培优】与三角形有关的角(含答案)
11.2与三角形有关的角专题一利用三角形的内角和求角度1．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（）A．15° B．20° C．25° D．30°2．如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D. 若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．3．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：__________；（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程）（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系．（直接写出结论即可）专题二利用三角形外角的性质解决问题4．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（）A．15°B．20° C．25° D．30°5．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．（1）求∠DCE的度数；（2）试写出∠DCE与∠A、∠B的之间的关系式．（不必证明）6．如图：（1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．状元笔记【知识要点】1．三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°．2．直角三角形的性质及判定性质：直角三角形的两个锐角互余．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．3．三角形的外角及性质外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【温馨提示】1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角．2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角．【方法技巧】1．在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形的两个锐角互余”．2．由三角形的外角的性质可得出：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．参考答案:1．C解析：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，∴∠1=12∠ACE，∠2=12∠ABC．又∵∠D=∠1－∠2，∠A=∠ACE－∠ABC，∴∠D=12∠A=25°．故选C．2．解：（法1）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°.因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC ，∠BAP=12∠BAC，∠ABP=12∠ABC ，即∠BAP＋∠ABP=45°，所以∠APB=180°－45°=135°.（法2）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°，因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∠DBC=12∠ABC，∠PAC=12∠BAC ，所以∠DBC＋∠PAD=45°.所以∠APB=∠PDA＋∠PAD =∠DBC＋∠C＋∠PAD=∠DBC＋∠PAD＋∠C =45°＋90°=135°.3．解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，∴∠1－∠3=∠P－∠D，∠2－∠4=∠B－∠P，又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P－∠D=∠B－∠P，即2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．（3）2∠P=∠B+∠D．4．B 解析：延长DC，与AB交于点E．根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD－∠ABD=60°．设AC与BP相交于点O，则∠AOB=∠POC，∴∠P+12∠ACD=∠A+12∠ABD，即∠P=50°－12（∠ACD－∠ABD）=20°．故选B．5．解：（1）∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°．∵CD平分∠ACB，6．（1）证明：延长BD交AC于点E，∵∠BEC是△ABE的外角，∴∠BEC=∠A+∠B．∵∠BDC是△CED的外角，∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B．（2）猜想：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=360°．祝福语祝你考试成功!。
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一、预学新知 1.在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码 2. 让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出的度数，可得到 A B ACB _____ ， A B ACB ________ . 3 .剪下 B和A ，按图（2）拼在一起，从而还可得到 4 把B和A 到什么结果. . 剪下按图（3） 、图（4） 、图（5） 、图（6）拼在一起，用量角器量一量的度数，会得
(先独立解决，再小组合作，教师点评) 五、当堂测评 1、在△ABC 中,若∠A=80°,∠C=20°,则∠B=____,若∠A=80°,∠B=∠C,则∠C=____. 2、已知△ABC 的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5，则∠B=____，∠C=____. 3、如图，在△ABC 中∠C=60°，∠B=50°，AD 是∠BAC 的平分线，则∠BAD=_____, ∠DAC=_____, ∠ADB=_____.
C．等腰直角三角形 ）
D．等边三角
3．三角形中，最大角α的取值范围是（
A．0°＜α＜90° B．60°＜α＜180° C．60°≤α＜90° D．60°≤α＜180° 4．如图，AE，AD 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B=36°，∠C=76°，则∠DAE 的度数为（ A．40° B．20° C．18° D．38° ）
年级：
八年级 1、2 班
任课教师：
杨野
科目：
数学
环县罗山川初级中学专用教案 新 课型 授 课 √ 巩 固 课 ○ 综 合 课 ○ 实 践 课 ○
11.2 与三角形有关的角（1）
课 题
§11.2.1 三角形的内角 授课时间 组长签字 教务处检查 知识与 技能 （公章） 年 月 日 是否有课件 辅助教学 年 年 月 月
想一想，还有没有其他的方法？（利用同旁内角互补） [设计意图] 使学生从对三角形内角和的感性认识上升到理性认识， 由于学生刚刚开始接触证明， 所以 教师必须有规范的示范，通过讲练结合，使学生逐步掌握推理的方法步聚. 三、练一练（课本 P13 习题你做了吗？ 1. 在△ABC 中,∠A=80°,∠B=∠C , 则∠C=______. 2.已知三角形三个内角的度数之比为 3:6:9，则这三个内角的度数分别为_______.
教学方法 学习方法 教学用具
三角形内角和定理.Biblioteka 三角形内角和定理的推理过程.
预学------探究------精导------提升. “预、听、议、练、评”五字学习法. 直尺、三角尺、教具等
预 习 指 导
1.用拼图的方法得出三角形的内角和的度数。 2.阅读课本 P11-12 页的内容会证明三角形的内角和等于 180 . 3.完成课本 P13 的练习.
4、在△ABC 中，∠B，∠C 的平分线交于点 O，若∠BOC=132°，则∠A=______.若∠BOC=a°则 ∠A=______. 六、小结 小结：谈谈你对三角形内角和定理的认识. 教师引导学生进行小结，可以结合例题，练习中的思路方法，从定理的证明，方法的应用等方面 进行小结.
作 业 布 置
教 学 过 程
二、证明三角形内角和定理 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 . 1.已知， ABC . 求证： A B C 180 .
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教师引导学生从上面的操作中得到证明三角形内角和定理的方法， 然后规范的写出证明过程，注意向学生提示辅助线要用虚线。这一过 程中教师应当注意，必须要写出规范的证明过程。教师也可以采取示 范一个，练习一个的方式。用如上图的方法进行教师示范，用如下图 的方法让学生进行练习.
§11.2.1 三角形的内角（1） 一、预学新知
板 书 设 计
二、证明三角形内角和 三、 练一练 四、例题 五、当堂测评 六、小结
课 后 反 思 （ 修 改 意 见 ）
教学时数 日 日 总 第 2 1 课时 课时
理解三角形内角和定理的内容，能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题 .
教 学 目 标
过程与 方法 情感态 度与价 值观
经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理 .
在动手操作，活动探究中培养学生的学习兴趣.
教 学 重 点 教 学 难 点
它是一个什么三角形？当三个角的比例有什么关系时就是直角三角形？（这个规律要记住哟！ ） 3.一个三角形中最多有___个锐角，最少有___个锐角，最多有___个钝角（学生要会说明道理） 四、例题 如图，C 岛在 A 岛的北偏东方向，B 岛在 A 岛的北偏东方向，C 岛在 B 岛的北偏西方向，从 C 岛看 A、B 两岛的视角是多少度？
习题 11.2 第 1,3,4 题
1．直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（ A．45° B．135° C．45°或 135° D．都不对
） ）
2．△ABC 中，已知∠A、∠B、∠C 的度数之比是 1：2：3，则△ABC 的形状是（
典 型 “ 错 ” 题 （ 知 识 积 累 ）
A．等腰三角形
B．直角三角形