傅里叶级数简介
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傅里叶级数收敛定理及其推论
傅里叶级数由正弦和余弦函数构成，通过将原始函数展开成一系列正弦 和余弦函数的线性组合，可以表示任意周期函数。
傅里叶级数的形式为：$f(x) = a_0 + sum_{n=1}^{infty} (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))$，其中 $a_0, a_n, b_n$ 是常数，取决于原始函数。
傅里叶级数可以用于分析物体的振动模式，通过分析振动信号的频率成分，可以推断物体的振动 性质。
热传导分析
在热传导分析中，傅里叶级数可以用于分析温度场的变化，通过分析温度信号的频率成分，可以 推断热传导的规律。
电磁场分析
在电磁场分析中，傅里叶级数可以用于分析电磁波的传播和散射，通过分析电磁波信号的频率成 分，可以推断电磁场的性质。
02
通过傅里叶级数，可以分析信号的频率成分、进行图像滤波 和增强等操作。
03
在物理学中，该定理用于研究波动方程、热传导方程等偏微 分方程的解的性质。
03 傅里叶级数的收敛性质
收敛速度的讨论
快速收敛
对于具有快速衰减的函数，傅里叶级数可能 以相对较快的速度收敛。
慢速收敛
对于具有振荡或缓慢衰减的函数，傅里叶级 数可能以较慢的速度收敛。
在信号处理中的应用
1 2
信号的频谱分析
傅里叶级数可以将一个复杂的信号分解为多个正 弦波和余弦波的组合，从而分析信号的频率成分 和强度。
信号滤波
通过傅里叶级数，可以将信号中的特定频率成分 进行增强或抑制，实现信号的滤波。
3
信号压缩
傅里叶级数可以用于信号压缩，通过对信号进行 频域变换，去除冗余信息，实现信号的压缩。
傅里叶变换的推论
傅里叶变换的线性
性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是两个函数， 且 $a, b$ 是常数，则有 $a f(t) + b g(t) rightarrow a F(omega) + b G(omega)$。
傅里叶级数的形式为：$f(x) = a_0 + sum_{n=1}^{infty} (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))$，其中 $a_0, a_n, b_n$ 是常数，取决于原始函数。
傅里叶级数可以用于分析物体的振动模式，通过分析振动信号的频率成分，可以推断物体的振动 性质。
热传导分析
在热传导分析中，傅里叶级数可以用于分析温度场的变化，通过分析温度信号的频率成分，可以 推断热传导的规律。
电磁场分析
在电磁场分析中，傅里叶级数可以用于分析电磁波的传播和散射，通过分析电磁波信号的频率成 分，可以推断电磁场的性质。
02
通过傅里叶级数，可以分析信号的频率成分、进行图像滤波 和增强等操作。
03
在物理学中，该定理用于研究波动方程、热传导方程等偏微 分方程的解的性质。
03 傅里叶级数的收敛性质
收敛速度的讨论
快速收敛
对于具有快速衰减的函数，傅里叶级数可能 以相对较快的速度收敛。
慢速收敛
对于具有振荡或缓慢衰减的函数，傅里叶级 数可能以较慢的速度收敛。
在信号处理中的应用
1 2
信号的频谱分析
傅里叶级数可以将一个复杂的信号分解为多个正 弦波和余弦波的组合，从而分析信号的频率成分 和强度。
信号滤波
通过傅里叶级数，可以将信号中的特定频率成分 进行增强或抑制，实现信号的滤波。
3
信号压缩
傅里叶级数可以用于信号压缩，通过对信号进行 频域变换，去除冗余信息，实现信号的压缩。
傅里叶变换的推论
傅里叶变换的线性
性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是两个函数， 且 $a, b$ 是常数，则有 $a f(t) + b g(t) rightarrow a F(omega) + b G(omega)$。
傅里叶级数原理
傅里叶级数原理1. 简介傅里叶级数原理是分析不规则周期信号最重要的工具之一。
在数学、物理、工程等领域中广泛应用。
它的核心思想是：任何周期信号都可以表示为一系列基频为整数倍的正弦和余弦函数叠加而成。
这些正弦和余弦函数在傅里叶级数中被称为谐波分量。
2. 傅里叶级数的定义设周期为T的函数f(t)在一个周期内满足可积且连续，则它可以表示为以下形式的级数：f(t)=a0/2+ Σ [an*cos(nωt)+bn*sin(nωt)]其中，ω=2π/T，an和bn是傅里叶系数，a0/2是等于f(t)在一个周期内的平均值。
可以看出，f(t)的傅里叶级数展开式是一组带有不同频率的正弦和余弦函数的和。
3. 傅里叶级数的意义通过傅里叶级数展开式，我们可以得到一个正弦和余弦函数的频域图像。
从这个频域图像中，我们可以得到一些信息，比如信号中哪些频率成分占比较高，哪些成分占比较低。
甚至可以根据这些信息对原始信号进行重建或修正。
具体地说，如果从一个连续不依赖于时间的物理现象中获得一段周期数据，那么可以通过法力级数的计算来确定信号包含的基本频率，并且据此对信号进行频谱分析。
频谱分析可以帮助我们更好地理解和利用信号，比如音频和视频信号的处理。
4. 傅里叶级数的应用在数学中，可以用傅里叶级数来解决微分方程的边界条件问题、傅里叶级数的离散化应用——快速傅里叶变换在信号处理中大量应用，还可以用于数值匹配。
在物理学中，傅里叶级数主要应用于波的传播和放大中，可以确定波的频率，方法是通过光谱来确定。
在光学领域中，傅里叶级数被广泛应用于计算机成像，用于抵消扰动、组合图像等。
在工程实践中，傅里叶级数也具有重要的应用价值。
特别是对于电子和通信工程师来说，傅里叶级数和傅里叶变换是必不可少的工具。
它们可用于信号处理、控制、数据分析和通信等领域。
傅里叶级数的应用不仅局限于上述领域，在音乐节拍分析、图像处理、机器学习等领域中都得到广泛应用。
5. 总结无论是在理论研究还是在工程实践中，傅里叶级数都是一个非常重要的工具。
广义傅里叶级数
详细描述
通过傅里叶变换，图像的频率信息被提取出来，形成频谱图。频谱图能够揭示 图像中的纹理、边缘和噪声等特征。在频域中，可以对图像进行滤波、增强和 压缩等操作，改善图像质量或提取有用的信息。
在量子力学中的波函数表示
总结词
在量子力学中，广义傅里叶级数用于表示波函数，描述微观粒子的状态和行为。
详细描述
周期性
对于具有周期$T$的函数$f(x)$，其广 义傅里叶级数也具有相同的周期。
广义傅里叶级数的收敛性
收敛条件
广义傅里叶级数在一定条件下收敛， 即当函数$f(x)$满足一定条件时，其 广义傅里叶级数将收敛到$f(x)$本身。
收敛定理
存在多种收敛定理来判断广义傅里叶 级数的收敛性，如狄利克雷定理、魏 尔斯特拉斯定理等。
未来研究方向与展望
探索非周期函数的表示方法
01
针对无法表示非周期函数的局限，研究新的函数展开方法，以
更好地处理非周期函数。
改进对奇异性和不连续点的处理
02
研究如何处理具有奇异性或不连续点的复杂函数，提高广义傅
里叶级数在这些情况下的收敛性和精度。
加速高频分量收敛
03
针对高频分量对收敛性的影响，研究改进的算法和技巧，提高
傅里叶级数的起源与三角函数的发展 密不可分，三角函数在古代数学中已 有应用，而傅里叶进一步将其应用于 周期函数的表示。
傅里叶级数的应用领域
信号处理
傅里叶级数被广泛应用于信号处理领域，通过将信号分解为不同 频率的正弦和余弦波，可以对信号进行分析、滤波和合成。
振动分析
在机械工程和物理学中，傅里叶级数用于分析振动系统的周期性和 非周期性行为。
周期函数的广义傅里叶级数展开在信号处理、振动分析、图像处理等领域有广泛应用。
通过傅里叶变换，图像的频率信息被提取出来，形成频谱图。频谱图能够揭示 图像中的纹理、边缘和噪声等特征。在频域中，可以对图像进行滤波、增强和 压缩等操作，改善图像质量或提取有用的信息。
在量子力学中的波函数表示
总结词
在量子力学中，广义傅里叶级数用于表示波函数，描述微观粒子的状态和行为。
详细描述
周期性
对于具有周期$T$的函数$f(x)$，其广 义傅里叶级数也具有相同的周期。
广义傅里叶级数的收敛性
收敛条件
广义傅里叶级数在一定条件下收敛， 即当函数$f(x)$满足一定条件时，其 广义傅里叶级数将收敛到$f(x)$本身。
收敛定理
存在多种收敛定理来判断广义傅里叶 级数的收敛性，如狄利克雷定理、魏 尔斯特拉斯定理等。
未来研究方向与展望
探索非周期函数的表示方法
01
针对无法表示非周期函数的局限，研究新的函数展开方法，以
更好地处理非周期函数。
改进对奇异性和不连续点的处理
02
研究如何处理具有奇异性或不连续点的复杂函数，提高广义傅
里叶级数在这些情况下的收敛性和精度。
加速高频分量收敛
03
针对高频分量对收敛性的影响，研究改进的算法和技巧，提高
傅里叶级数的起源与三角函数的发展 密不可分，三角函数在古代数学中已 有应用，而傅里叶进一步将其应用于 周期函数的表示。
傅里叶级数的应用领域
信号处理
傅里叶级数被广泛应用于信号处理领域，通过将信号分解为不同 频率的正弦和余弦波，可以对信号进行分析、滤波和合成。
振动分析
在机械工程和物理学中，傅里叶级数用于分析振动系统的周期性和 非周期性行为。
周期函数的广义傅里叶级数展开在信号处理、振动分析、图像处理等领域有广泛应用。
傅里叶级数
傅里叶级数（Fourier Series ）引言正弦函数是一种常见而简单的周期函数，例如描述简谐振动的函数 就是一个以ωπ2为周期的函数。
其中y 表示动点的位置，t 表示时间，A 为振幅，ω为角频率，ϕ为初相。
但在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦的周期函数，它们反映了较复杂的周期运动，我们也想将这些周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。
具体地说，将周期为)2(ωπ=T 的周期函数用一系列以T 为周期的正弦函数)sin(n n t n A ϕω+组成的级数来表示，记为其中),3,2,1(,,0 =n A A n n ϕ都是常数。
将周期函数按上述方式展开，它的物理意义就是把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。
在电工学上，这种展开称为谐波分析。
其中常数项0A 称为)(t f 的直流分量；)sin(11ϕω+t A 称为一次谐波（又叫做基波）；而)2sin(22ϕω+t A ， )3sin(33ϕω+t A 依次称为二次谐波，三次谐波，等等。
为了下面讨论方便起见，我们将正弦函数)sin(n n t n A ϕω+按三角公式变形，得 t n A t n A t n A n n n n n n ωϕωϕϕωsin cos cos sin )sin(+=+， 令x t A b A a A a n n n n n n ====ωϕϕ,cos ,sin ,200，则上式等号右端的级数就可以改写成这个式子就称为周期函数的傅里叶级数。
1.函数能展开成傅里叶级数的条件（1） 函数)(x f 须为周期函数；（2） 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；（如果0x 是函数)(x f 的间断点，但左极限)0(0-x f 及右极限)0(0+x f 都存在，那么0x 称为函数)(x f 的第一类间断点）（3） 在一个周期内至多只有有限个极值点。
若满足以上条件则)(x f 能展开成傅里叶级数，且其傅里叶级数是收敛的，当x 是)(x f 的连续点时，级数收敛于)(x f ，当x 是)(x f 的间断点时，级数收敛于)]0()0([21++-x f x f 。
傅里叶级数
m=1
− 2
n
T 2
= bn ∫ T sin nωt d t
2
− 2
T 2
2 即 bn = T
T = bn 2
∫
T 2
T − 2
fT ( t )sin nω t d t
最后可得:
a0 fT (t) = + ∑(an cos mωt + bn sin nωt) (1.1) 2 n=1 T 2 2 其 中 a0 = ∫ T fT (t) dt T −2 T 2 2 an = ∫T fT (t) cos nωt dt (n =1,2,L ) T −2 T 2 2 bn = ∫T fT (t) sin nωt dt (n =1,2,L ) T −2
1= 12 dt = T ∫T
− 2 T 2 T 2 T 2
1+ cos 2nωt T cos nωt = ∫T cos nωt dt = ∫T dt = − − 2 2 2 2
2
1− cos 2nωt T sin nωt = ∫T sin nωt dt = ∫T dt = − − 2 2 2 2
T 2
f4 (t) =
n=−∞
∑ f (t + 4n),
+∞
2π 2π π nπ = = , ωn = nω = ω= T 4 2 2
f4(t)
−1
T=4
1
3
t
则
1 T 2 − jωnt cn = ∫ T fT (t )e dt T −2 1 2 1 1 − jωnt − jωnt = ∫ f4 (t )e dt = ∫ e dt T −2 T −1 1 1 1 − jωnt jωn − jωn = e = e −e −Tjωn Tjωn −1 2 sinωn 1 = ⋅ Sa(ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L ) T =4 = T ωn 2
− 2
n
T 2
= bn ∫ T sin nωt d t
2
− 2
T 2
2 即 bn = T
T = bn 2
∫
T 2
T − 2
fT ( t )sin nω t d t
最后可得:
a0 fT (t) = + ∑(an cos mωt + bn sin nωt) (1.1) 2 n=1 T 2 2 其 中 a0 = ∫ T fT (t) dt T −2 T 2 2 an = ∫T fT (t) cos nωt dt (n =1,2,L ) T −2 T 2 2 bn = ∫T fT (t) sin nωt dt (n =1,2,L ) T −2
1= 12 dt = T ∫T
− 2 T 2 T 2 T 2
1+ cos 2nωt T cos nωt = ∫T cos nωt dt = ∫T dt = − − 2 2 2 2
2
1− cos 2nωt T sin nωt = ∫T sin nωt dt = ∫T dt = − − 2 2 2 2
T 2
f4 (t) =
n=−∞
∑ f (t + 4n),
+∞
2π 2π π nπ = = , ωn = nω = ω= T 4 2 2
f4(t)
−1
T=4
1
3
t
则
1 T 2 − jωnt cn = ∫ T fT (t )e dt T −2 1 2 1 1 − jωnt − jωnt = ∫ f4 (t )e dt = ∫ e dt T −2 T −1 1 1 1 − jωnt jωn − jωn = e = e −e −Tjωn Tjωn −1 2 sinωn 1 = ⋅ Sa(ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L ) T =4 = T ωn 2
数学分析课件 傅里叶级数
03
工程学
在工程学中，傅里叶级数可以用于分析和设计各种周期性结构，例如在
机械工程和土木工程等领域中，可以通过傅里叶级数来描述和分析周期
性振动和波动等问题。
02
傅里叶级数的基本性质
三角函数的正交性
三角函数的正交性是指在一周期内，任何两个不同的三角函 数都不相交，即它们的乘积在全周期内的积分值为零。这一 性质在傅里叶级数的展开和重构中起到关键作用，确保了频 谱的纯净性和分离性。
三角函数的周期性使得我们能够将无限长的信号转化为有限长的频谱，从而方便 了信号的分析和处理。
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数的收敛性是指一个信号的傅里叶级数展开在一 定条件下能够无限接近原信号。这一性质保证了傅里叶级 数展开的精度和可靠性，使得我们能够通过有限项的级数 展开来近似表示复杂的信号。
收敛性的判定是数学分析中的重要问题，涉及到级数的收 敛半径、收敛域等概念。在实际应用中，我们需要根据信 号的特性和精度要求来选择合适的收敛域和级数项数，以 保证傅里叶级数展开的准确性。
首先，确定函数的周期和定义域；其次，计算正弦和余弦函数的系数；最后，将得到的系数代入正弦和余弦函数的线 性组合中，得到函数的傅里叶级数表示。
傅里叶级数的表示方法的优缺点
傅里叶级数具有简洁、易计算等优点，能够将复杂的周期函数分解为简单的正弦和余弦函数。然而，傅 里叶级数也存在着一些缺点，例如在非周期函数的情况下，傅里叶级数可能无法得到正确的结果。
图像增强
利用傅里叶级数，可以对图像进行增 强处理，如锐化、降噪等，提高图像 的视觉效果。
数值分析中的傅里叶级数
数值逼近
傅里叶级数可以用于求解某些函数的 数值逼近问题，如求解函数的零点、 极值等。
《傅里叶级数》课件
FFT基于分治策略，将大问题分解为小问题，从而显著提高了计算效率。
FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发展，尤其在实时信号处理 和大数据分析方面。
小波变换与傅里叶级数的关系
01
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法，用于多尺度信 号处理和分析。
02
小波变换与傅里叶级数都是信号的频域表示方法，但小波变换
频域处理
傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，使得图 像的频率特征更加明显，便于进行滤波、增强等 操作。
图像压缩
通过分析图像的频谱，可以去除不重要的频率成 分，从而实现图像的压缩，节省存储和传输资源 。
图像去噪
傅里叶变换在图像去噪中发挥了重要作用，通过 滤除噪声对应的频率成分，可以有效去除图像中 的噪声。
傅里叶级数提供了一种将 复杂信号分解为简单正弦 波的方法，有助于理解和 处理信号。
频谱分析
通过傅里叶变换，可以分 析信号的频率成分，这在 通信、音频处理等领域有 广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数或其变换 形式，可以设计各种滤波 器，用于提取特定频率范 围的信号或抑制噪声。
图像处理中的应用
1 2 3
数值分析中的应用
求解微分方程
傅里叶级数在数值分析中常用于 求解初值问题和偏微分方程，通 过离散化和变换，将复杂问题转 化为易于处理的简单问题。
数值积分与微分
傅里叶级数在数值积分和微分中 也有应用，可以将复杂的积分或 微分运算转换为易于计算的离散 形式。
插值与拟合
傅里叶级数可以用于多项式插值 和函数拟合，通过选取适当的基 函数，可以构造出精度较高的插 值函数或拟合模型。
04
傅里叶级数的扩展知识
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换的离 散化形式，用于将时域信号转换为频域信号。
FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发展，尤其在实时信号处理 和大数据分析方面。
小波变换与傅里叶级数的关系
01
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法，用于多尺度信 号处理和分析。
02
小波变换与傅里叶级数都是信号的频域表示方法，但小波变换
频域处理
傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，使得图 像的频率特征更加明显，便于进行滤波、增强等 操作。
图像压缩
通过分析图像的频谱，可以去除不重要的频率成 分，从而实现图像的压缩，节省存储和传输资源 。
图像去噪
傅里叶变换在图像去噪中发挥了重要作用，通过 滤除噪声对应的频率成分，可以有效去除图像中 的噪声。
傅里叶级数提供了一种将 复杂信号分解为简单正弦 波的方法，有助于理解和 处理信号。
频谱分析
通过傅里叶变换，可以分 析信号的频率成分，这在 通信、音频处理等领域有 广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数或其变换 形式，可以设计各种滤波 器，用于提取特定频率范 围的信号或抑制噪声。
图像处理中的应用
1 2 3
数值分析中的应用
求解微分方程
傅里叶级数在数值分析中常用于 求解初值问题和偏微分方程，通 过离散化和变换，将复杂问题转 化为易于处理的简单问题。
数值积分与微分
傅里叶级数在数值积分和微分中 也有应用，可以将复杂的积分或 微分运算转换为易于计算的离散 形式。
插值与拟合
傅里叶级数可以用于多项式插值 和函数拟合，通过选取适当的基 函数，可以构造出精度较高的插 值函数或拟合模型。
04
傅里叶级数的扩展知识
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换的离 散化形式，用于将时域信号转换为频域信号。
周期信号的傅里叶级数表
傅里叶级数与复变函数的关系
傅里叶级数可以看作是复数域中的三角函数，即复数域中的正弦和余弦。在复数域中，正弦和余弦函数表现为复指数函数的 形式。
复数的使用使得傅里叶级数的系数可以表示为实数，从而简化了计算。此外，复数的共轭也提供了相位信息，这在信号处理 中非常重要。
傅里叶级数与小波分析的关系
小波分析是傅里叶分析的进一步发展，它提供了更灵活的时频分析工具。小波变 换可以看作是傅里叶变换的一种扩展，它允许我们在不同的频率段使用不同的基 本函数。
三角函数形式
傅里叶级数的另一种表示形式，利用三角函数来表示周期信号。
傅里叶级数的三角函数形式
01
02
03
正弦形式
余弦形式
系数
傅里叶级数的正弦函数形式，用 于表示只包含正弦波的周期信号。
傅里叶级数的余弦函数形式，用 于表示只包含余弦波的周期信号。
在傅里叶级数中，每个正弦或余 弦函数都对应一个系数，表示该 函数在周期信号中的贡献程度。
03
傅里叶级数的性质
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数在数学上具有收敛性，意味着它可以将一个 周期函数表示为无穷级数，每个项都是正弦或余弦函数。
收敛的速度取决于函数的特性，例如，对于具有快速衰 减的周期函数，傅里叶级数收敛得更快。
傅里叶级数的对称性
傅里叶级数的对称性质是指，对于一个周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项具有对称性。 这意味着，对于一个给定的周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项的系数是相同的。
周期信号的傅里叶级 数表
目录
• 傅里叶级数简介 • 周期信号的傅里叶级数表示 • 傅里叶级数的性质 • 傅里叶级数的应用实例 • 傅里叶级数与其他数学工具的关系
01
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9.4傅里叶级数
若函数f ( x)在区间[ , ]可积,则称 1 an f ( x) cos nxdx, (n 0,1, 2,) b 1 f ( x) sin nxdx, (n 1, 2,) n 是函数f ( x)的傅里叶系数 .
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f (- 0) f ( 0) 。 2
9.4傅里叶级数
注意1:根据收敛定理的假设, f 是以2 为周期的函数, 所以系数公式中的积分区间 [- , ]可以改为长度为2的任何区间, 而不影响an , bn 的值： 1 c 2 a f ( x) cos nxdx, (n 0,1, 2,) n c c R b 1 c 2 f ( x) sin nxdx, (n 1, 2,) n c
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9.4傅里叶级数
三角级数系的正交性
1)任何两个不相同的函数的乘积在[ , ]上的积分等于零,即
π
π π
cos nxdx sin nxdx 0,
π
π
π
π π
cos mx cos nxdx 0 ( m n), cos mx sin nxdx 0 .
若f ( x)是以2 为周期的偶函数,则必有bn 0 因此, 偶函数的傅
里叶级数只含余弦项, 亦称余弦级数
若f ( x)是以2 为周期的奇函数,则必有an 0 因此, 奇函数的傅
里叶级数只含正弦项, 亦称正弦级数
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(2)代入三角级数 a0 (an cos nx bn sin nx) 2 n 1 生成傅里叶级数:
(3)用收敛定理判断其和函数.
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9.4傅里叶级数
将下列函数展成傅里叶级数： x 0 0, 例2：f ( x) 0 x 1, 1 1 解 : a0 f ( x)dx dx 1
0
an
bn
1
f ( x) cos nxdx
1
1
0
cos nxdx 0, n 1, 2,3,...
1
f ( x) sin nxdx
0
2 1 , n是奇数 sin nxdx cos nx n 0 n 0, n是偶数
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9.4傅里叶级数
三角级数
以三角函数系 为基础所做成的函数项级数 a0 (an cos nx bn sin nx) 2 n 1 称为三角级数,其中a0 ,an ,bn 都是常数.
1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x, , cos nx, sin nx,
9.4傅里叶级数
9.4傅里叶级数简介
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9.4傅里叶级数
三角函数系
函数列 1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x, , cos nx, sin nx, 称为三角函数系.
2 是三角函数系中每个函数的周期.因此,只需 在 [- , ] 一个周期上讨论即可.
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9.4傅里叶级数
y
y f ( x)
3π
πO
π
3π
5π
x
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9.4傅里叶级数
求傅里叶级数的步骤:
(1)按公式算傅里叶系数a0 , an , bn ; 1 an f ( x) cos nxdx, (n 0,1, 2,) b 1 f ( x) sin nxdx, (n 1, 2,) n
f ( 0) f ( 0) 2
f ( 0) f ( 0) 0 1 1 2 2 2
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9.4傅里叶级数
奇偶函数的傅里叶级数
a0 由函数f ( x)生成的傅里叶级数 (an cos nx bn sin nx)的系数分别为 2 n 1 1 an f ( x) cos nxdx, (n 0,1, 2,) b 1 f ( x) sin nxdx, (n 1, 2,) n
以函数f ( x)的傅里叶系数为系数的三角级数 a0 (an cos nx bn sin nx) 2 n 1 称为函数f ( x)的 傅里叶级数.
一般来说,f ( x)的傅里叶级数未必 收敛, 即使收敛,也未必 收敛到f ( x)
因此, 类似于f ( x)及其泰勒级数的记法 ,我们将f ( x)的傅里叶级数记为 a0 f ( x) (an cos nx bn sin nx) 2 n1
注意2:在具体讨论函数的傅里叶级数展开式时, 经常 只给出函数在(-， ]
或[-， ) 上的解析式, 但应理解为它是定义在整个数轴上以2 为周期的函数.
即在(-， ]以外的部分按函数在(-， ]上的对应关系做周期延拓.
也就是说函数本身不一定是定义在整个数轴上的周期函数, 但我们认为它是 周期函数.
所以有 f ( x)
1 2 sin 3 x sin(2n 1) sin x ... ... , 0 | x | 2 3 2n 1
当x 0时, 傅里叶级数收敛于
当x 时, 傅里叶级数收敛于
f (0 0) f (0 0) 1 0 1 2 2 2
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傅里叶级数的收敛定理
定理 : 若函数f ( x)是R上以2 为周期的在[ , ]逐段光滑的函数,则函数的 1 傅里叶级数在R收敛, 其和函数是 [ f ( x 0) f ( x 0)]. 即x [ , ], 有 2
f ( x 0) f ( x 0) a0 (an cos nx bn sin nx) 2 2 n 1
π
sin mx sin nxdx 0 ( m n),
π
2)任何两个相同的函数的乘积在[ , ]上的积分不等于零, 即
π
π
cos nxdx sin nxdx π,
2 2 π
π
π
π
12dx 2 π
三角函数系具有的上述性质称为三角函数系的正交性,或者说 三角函数系是正交函数系.正交性是三角函数系优越性的源泉.
特别的，f 的导函数f 在[a, b]上连续,称f 在[a, b]上光滑.
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从几何图形上讲, 在区间[a, b]上逐段光滑函数, 是由有限个 光滑弧段所组成, 它至多有有限个第一类间断点与角点.例如：
y
y f ( x)
a O
x1
x2
x3
x4
b
x
由逐段光滑的定义可知, 逐段光滑的函数具有如下性质 : (1)f ( x)在[a, b]上可积; (2)在[a, b]上每一点都存在f ( x 0).
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函数项级数
幂级数
泰勒级数
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三角级数
傅里叶级数
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定义 : 若函数 f ( x) 在区间 [a,b] 除有限个第一类间断点外皆连续， 则称函数f ( x)在[a,b]逐段连续.
定义:若函数f ( x)与它的导函数f ( x)都逐段连续, 则称函数f ( x) 在[a,b]逐段光滑.
注： (1Leabharlann 当x是f ( x)的连续点时,级数收敛于f ( x).
即函数f ( x)是R上以2 为周期的在[- , ]的光滑函数，则函数的傅里叶 级数在R上收敛，其和函数是 f ( x).
(2)当x是f ( x)的间断点时,级数收敛于f ( x)在点x 的左、右极限的平均值.
(3)特别地，当x为端点x = 时，级数收敛于