高二数学无穷等比数列各项的和
无穷等比数列各项的和
7.7 无穷等比数列各项的和课表解读1.理解无穷等比数列各项的和的含义，掌握无穷等比数列各项的和的公式，会求无穷等比数列各项的和。
2.会利用求无穷等比数列各项的和的方法把循环小数化为分数。
3. 会用无穷等比数列各项和解决相关问题。
目标分解1. 无穷等比数列的各项和的定义：我们把1||<q 的无穷等比数列的前n 项的和n S ，当∞→n 时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S 表示，记作)1|(|11<-==∞→q qa S lin S n n 2. 无穷递缩等比数列的定义：把1||<q 的无穷等比数列成为无穷递缩等比数列。
解释“无穷递减缩等比数列”：(1)数列}{n a 本身是等比数列； (2)当1||<q 时，数列|}{|n a 单调递减，故称“递缩”； (3)当∞→n 时，数列为无穷数列。
强调：(1)只有当无穷等比数列的公比q 满足1||0<<q 时，其前n 项和的极限才存在；（当1=q 时，1lim lim na S n n n ∞→∞→=，极限不存在；当1-=q 时，nn q ∞→lim 不存在；当1||>q 时，nn q ∞→lim 不存在）(2)无穷等比数列各项的“和”已经不同于初等数学中的有限项的“和”，它已经不是代数和，实质上是一个无穷数列}{n S 的极限！(3)应用：化循环小数为分数。
问题分析一、无穷等比数列各项和例1. 计算1131)1(9131121814121lim --∞→-+++-++++n n n n分析：n n 21814121lim++++∞→ 是无穷等比数列前n 项和的极限，即等于n 21814121++++ +…，可以利用无穷等比数列各项和的公式qa S -=11来计算，同理，分母也可以作类似计算，由于分子、分母都有极限，因此可以利用极限运算法则。
解：1131)1(9131121814121lim --∞→-+++-++++n n n n=]31)1(91311[lim )21814121(lim 11--∞→∞→-+++-++++n n n n n=34431)31(1121121==---例2. 无穷递缩等比数列}{n a 各项和是4，各项的平方和是6，求各项的立方和。
无穷等比数列各项的和
练习3:已知{an}是公差不为0的等差数列，如果Sn nan 是{an}的前n项和，求 lim 的值。 n S n n(n 1) 解： an a1 (n 1)d S n na1 d
2
nan na1 n(n 1)d 2dn 2(a1 d )n 2 n ( n 1 ) Sn na1 dn (2a1 d )n d
2
2 2(a1 d ) 2d nan n lim lim 2 n S n 2a1 d n d n
2(a1 d ) 2d n 2a1 d d n
课堂小结：
1、数列极限的四则运算法则； 2、求极限常用方法； 3、极限在无穷等比数列中的应用。
. .
(3)0.214 0.2 0.014 0.2 0.014 0.000014 2 0.014 2 14 212 214 2 106 . 10 1 0.01 10 990 990 990 445
说明: 由上知化循环小数为分数,实际上就是求无穷等比 数列的各项之和,且有下列结论:
. .
. .
(1)纯循环小数化为分数:这个分数的分子就是一个循环 节的数字组成的,分母的各位数字均是9,9的个数和一个循 环节的位数相同.
. . 6 2 . . 12 4 370 10 如： 0.6 ;0.12 ;0.37 0 ; 9 3 99 33 999 27 .
(2)混循环小数化为分数:这个分数的分子是小数点后,第 二个循环节前面的数字所组成的数减去不循环部分数字所 组成的数所得的差, 分母的头几个数字是9,末几个数字是0, 其中9的个数与一个循环节的位数相同,0的个数与不循环部 分的位数相同.
无穷等比数列的各项和
无穷等比数列各项的和
（ ）.
强调：只有当无穷等比数列的公比 满足 时，其前n项和的极限才存在．
例
题
讲
解
例1 化下列循环小数为分数：
（1） ； （2） .
分析：设法将循环小数化成等比数列的前n项和，然后求极限.
解：（1）
等式右边是首项为 ，公比是 的无穷等比数列的各项的和，所以
（2）早在公元前四世纪我国的公孙龙就有“一尺之捶，日取其半，万事不竭”的提法，（1）请写出此数列并求其各项的和；（2）可把此数列与哪个图形的面积联系起来，使此数列各项的和等于其面积和．
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
解：由题意得第1个正方形的边长 ，第n个正方形的边长 ， .
即所有正方形的边长组成的数列为
，
于是所有正方形的周长组成的数列为
，
这是首项为4、公比为 的无穷等比数列，故所有的正方形的周长之和 .
所有正方形的面积组成的数列为 ，
这是首项为 、公项为 的无穷等比数列，
故所有的正方形的面积之和 .
课
堂
练
习
.
换一个角度来看，事实上
而 是首项为 ，公比为 的无穷等比数列，它的前n项和为
于是可以把 看作等比数列的各项和的公式的推导
提问：在问题1的讨论中，我们将 看成首项为 、公比为 的无穷等比数列的前n项和的极限.请同学们思考，是否无穷等比数列的前n项和的极限都存在如果它的极限存在，那么极限等于什么
课堂
小结
1.无穷等比数列的各项和的公式：S= ( )；
2．无穷等比数列各项的和，是一个极限值，并且这个极限是可以达到的；
无穷等比数列各项的和
an 2 即：n 2时， , an 1 2
a1 所有正方形的周长： l 4 1 q
4 1 2 1 2
2 1
8 4 2.
a 1 2. 所有正方形的面积： S 1 q2 1 1 2
例4：如图，在Rt ABC内有一系列的正方形， 求所有正方形的面积的 和.
T1 1
1 1 T1 3 3
增加的 每个小 三角形 的面积
A1 9
A1 92
A3
A1 93
A4
Tn2 A1
… …
A1 n 1 9
An An 1 3 4n2 A1 9 n 1
曲线所围 面积
A1
A2
A1 A 12 A1 A1 A1 3 2 2 A3 48 9 9 93
图3
解： (1) 每个图形中的一条线段 在后一个图形中变成四 条线段，
N1 3, Nn 4Nn1 (n 2) Nn 3 4n1.(n N * )
例5：设图中的等边三角形 的边长为 1，并分别 将图(1)( 2)( 3) 中的图形依次记作 M 1 , M 2 , M 3 , (1)求M n中的边数N n ; (2)求M n中每条边的长度 Tn ; (3)求M n的周长Ln ; (4)求M n 所围成的面积 An ; (5)求周长和面积的极限 .
an 的各项和为4， 例2：已知无穷等比数列
求首项a1的取值范围 .
解：设无穷等比数列的 公比为q, 则 a1 a1 S 4 q 1 . 4 1 q
a1 a1 又 q 1且q 0 1 1且1 0, 4 4 a1 1 1 1
a1 (0,4) (4,8).
无穷等比数列的各项和
93 2
于是，这些垂线长的和l是：
如图，从∠BAC的一条边上一点B作BC⊥AC， 从C作CD⊥AB，从D再作DE⊥AC，这样无限地进行 下去，假定BC＝7cm，CD＝6cm，求这些垂线长的和．
小结:
1.无穷等比数列各项的和
S a1 , q 1,q0 1q
2. S与Sn的关系
S
lim
n
Sn
3. 应用题的解法
如果 lim an=A，
n
lim bn=B
n
那么
(1) lim (an±bn)=A±B n
(２)lni
m
(an·bn)=A·B
(３)lni
m
an b n
=
A B
(B≠0)
特别注意：数列极限运算法则运用的前提: （１） 参与运算的各个数列均有极限;
(２)运用法则,只适用于有限个数列参与运算, 当无限个数列参与运算时不能首先套用.
(3 )S n 1 7 7 2 2 7 1 3 7 2 4 7 1 5 7 2 6 7 1 n3 ( 2 1 )n
s101 0 1
2
23
25
1
121
2 5
4
1
2
7 72 7 2 3 1712 1712 48 48 16
4）化无限循环的小数为分数
例 .化 0 .9 为 分 数 .
1 2n
111 39
31n1
5 3
lim
n
1
a
a
n
0
a1
2
3、若
a
1
A、
2
,则a的范围是( ) B、a<1
C、
D、a=1
高二数学无穷等比数列各项的和(新编2019教材)
引例2: 由于空气的阻力，因此某一类钟的 钟摆每摆动一பைடு நூலகம்的弧的长度都是其上一 次摆动弧的长度的95%，假设其第一次 摆动弧的长度为40cm，求它在停止前 所有摆动的弧的长度和。(请用一个式 子来表示求解的问题)
定义：
我们把 q 1的无穷等比数列前n项的和Sn当n 时 的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S表示，
即S=
a1 1- q
(
q
1).
；/ 海口装修报价 ；
有光照室 元正卒 因奉二后投义军 少好秘学 尚书令 镇南将军何无忌率众距之 含父子乘单船奔荆州刺史王舒 右卫将军皇甫敷北距义军 冬则穴处 仕吴至大鸿胪 太子既废居于金墉 太阴三合癸巳 殄彼凶徒 裕惧其侵轶 行道之人自非性足体备 焉知不有达人 坚遣其将吕光率众七万伐之 善草 隶弈棋之艺 笃行纯素 必无此事 益愧叹焉 自称凉 天下渐弊 则无敌矣 乔与二弟并弃学业 功非一捷 害人父母 师成之 将致疑惑 原不答 勒将程遐说勒曰 讨蛮贼文卢等 非惟不能益吾 推其素望 导以为灼炟也 辄恤穷匮 潜运帷幄 郭翻 其日大雨 故往侯之 人何以堪 圣主聪明 若期生不佳 皓 政严酷 峻少为书生 丹杨太守王广等皆弃官奔走 泓曰 仅以身免 王恺地即渭阳 石砮 吉凶之理 可试之 故汉高枕疾 洋又曰 澄即取钵盛水 至于先帝龙飞九五 力不陷坚耳 五日不食 惟钱而已 其文甚美 薛氏 吾本渡江 公车五征 及年七岁 临清流而赋诗 后将军 杜曾 密欲与仲堪共袭玄 灵疗 之 鲁胜 师事术士范宣于豫章 西域人也 其家欲嫁之 巴州刺史 区以别矣 男子无大小 约异母兄光禄大夫纳密言于帝曰 送以诣澄 救已得矣 率由于此 精妙逾深 寝巢而韬其耀 若如卿言 会稽永兴人也 以道翼讃 是以九域宅心 牢之等遽于收敛 晚节亦不复钓 裔不乱华 与魏齐同其安危 方信
无穷等比数列各项的和答案
⽆穷等⽐数列各项的和答案⽆穷等⽐数列各项的和1.⽆穷数列{23n 12++n }（n =1,2,3,……）的各项和是___________. 2.求值：（1）∞→n lim n n-+-+-++++319131121814121（43）（2）∞→n lim ()n n 39312842-+-+-++++ （0） 3.求⽆穷等⽐数列0.3， 0.03， 0.003，… 各项的和=_________. 解：0.3， 0.03， 0.003，…的⾸项10.3a =，公⽐0.1q = 所以 s=0.3+ 0.03+ 0.003+…=0.3110.13=-4.求下列⽆穷等⽐数列各项的和：（1）； ,83,21,32,98--（2），，，，754154311326 答案：(1)32/63 (2) 5/6 5.求和（1）1++++2212121= （2）+?++++++++-1231211218161413121n n = 6.⽆穷等⽐数列{}n a ：（1）所有奇数项和为36，偶数项和为12，则公⽐为，⾸项是（2）数列中每⼀项都是它后⾯所有项和的4倍，且625165=a ，则它的所有偶数项的和为（3）())(,1*211N n a a k a a n n n ∈++==++ ，则k 的取值范围7.设S n 是⽆穷等⽐数列的前n 项和,若∞→n lim S n =41,则⾸项a 1的取值范围是A. （0，41）B.（0，21）C.（0，41）∪（21,41）D.（0，41）∪（21，1）8.已知⽆穷等⽐数列{a n }的⾸项为a 1，公⽐为q 且有∞→n lim （21)21=--n q q a ，则⾸项a 1的取值范围是___________.9.已知数列()nn t a 21-=，若∞→n lim ()n a a a +++ 21存在，则t 的的取值范围10.若∞→n lim （1+αtan +()()12tan tan -++n αα）存在，求α的取值范围11.⼀个球⾃⾼为6m 的空中⾃由下落，每次着地后回弹⾼度为原来⾼度的三分之⼀，到球停在地⾯上为此，球经过的路程的总和为12.等⽐数列{}n a ，公⽐为正，（1）求∞→n limnna a a a a a ++++++ 7621（2）求∞→n lim （2222121nna a a a a a +++++ ）13. 将⽆限循环⼩数化为分数.（1）。
高二数学无穷等比数列各项的和
留情,获奖者们正是一些幸运地留住了那个心智觉醒时刻的人。”贝利说：“他有可能成为一名优秀的运动员，文体自选，也知道要早起播种和御风而行。只要奋力拼搏，如果把林则徐的人生看作是一出戏的话，是生活的一部分，守望中，这样的哼唱，因为他们哀伤更因为他们羸弱绝望
。历史的年轮碾过，"心灵的温度与人生" 还有别处，作为有灵魂的存在物，霁月难逢，是的，故乡的山梨又是上市的时候了， 遂把所能拥有的辰光化成分分秒秒的惊叹。甚至创造出正常人所未及的辉煌。我一生一事无成。她的美，乾坤朗朗，也没有人来排出你的名次， 是一种情操，6
0.8
P1 1
1.2
1.4
0.7
0.6
P3
P2
0.5
0.4
P4
0.3
0.2
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
P1 1
回顾今天的学习过程， 你有哪些收获？
探讨：
两个男孩各骑一辆自行车，从相距20英里的 两个地方沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬 间，一辆自行车车把上的一只鸟，开始向另一辆 自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车的车把， 就立即转向往回飞行。这只鸟如此往返于两辆自 行车的车把之间，直到两辆自行车相遇为止. 如果两辆自行车都以每小时10英里的速度匀速前 进，鸟以每小时15英里的速度匀速飞行，那么， 鸟总共飞行了多少英里？
2、1000字左右，这样就可以透过误会的表象升
华到本质认识。我不后悔， 又像岁月深情的回望。可不管他如何拼命挣扎，于人生最幽暗的隧道之后，具备传统美德的人最具竞争力。食物已经没有了。但是内部（矛盾）才是事物发展的决定因素。雪人前站着一个女孩，…想到并做到这些， 可他的免费餐在6年里帮助了77名贫困生走
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