无穷等比数列各项的和
无穷等比数列各项的和
7.7 无穷等比数列各项的和课表解读1.理解无穷等比数列各项的和的含义，掌握无穷等比数列各项的和的公式，会求无穷等比数列各项的和。
2.会利用求无穷等比数列各项的和的方法把循环小数化为分数。
3. 会用无穷等比数列各项和解决相关问题。
目标分解1. 无穷等比数列的各项和的定义：我们把1||<q 的无穷等比数列的前n 项的和n S ，当∞→n 时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S 表示，记作)1|(|11<-==∞→q qa S lin S n n 2. 无穷递缩等比数列的定义：把1||<q 的无穷等比数列成为无穷递缩等比数列。
解释“无穷递减缩等比数列”：(1)数列}{n a 本身是等比数列； (2)当1||<q 时，数列|}{|n a 单调递减，故称“递缩”； (3)当∞→n 时，数列为无穷数列。
强调：(1)只有当无穷等比数列的公比q 满足1||0<<q 时，其前n 项和的极限才存在；（当1=q 时，1lim lim na S n n n ∞→∞→=，极限不存在；当1-=q 时，nn q ∞→lim 不存在；当1||>q 时，nn q ∞→lim 不存在）(2)无穷等比数列各项的“和”已经不同于初等数学中的有限项的“和”，它已经不是代数和，实质上是一个无穷数列}{n S 的极限！(3)应用：化循环小数为分数。
问题分析一、无穷等比数列各项和例1. 计算1131)1(9131121814121lim --∞→-+++-++++n n n n分析：n n 21814121lim++++∞→ 是无穷等比数列前n 项和的极限，即等于n 21814121++++ +…，可以利用无穷等比数列各项和的公式qa S -=11来计算，同理，分母也可以作类似计算，由于分子、分母都有极限，因此可以利用极限运算法则。
解：1131)1(9131121814121lim --∞→-+++-++++n n n n=]31)1(91311[lim )21814121(lim 11--∞→∞→-+++-++++n n n n n=34431)31(1121121==---例2. 无穷递缩等比数列}{n a 各项和是4，各项的平方和是6，求各项的立方和。
基于探究的《无穷等比数列各项和》教学设计
使我们去寻找新的求 无穷等 比数列 的各项和的 方法， 即用‘ 限” 极 的方法进行求解， 也让学生体 会到极 限的具体应用．
３ 例题教学探 究 ．
ｎ 个
相 得． ０＝． ０＝ 减 ０×９０ 得． 器：． §． ３ ， １
问题 ２ 用以上两种探 究方法求 ２ ０ ＋２＋２ ＋
次为 ０ ，２… ，ｎ … ， Ａ ＝０ ＢＣ ＝ ２ ， １０ ， ０ ， 若 Ｂ ， ａ （ 转 第 １３ 下 — ７页）
思考 １ 如果 能用学生 已掌握 的提取公因数 ：
２１ 年第 ｌ ０２ 期
小题 的结论需要稍作改动， 于是得到：
数 学教 学
１３ —
边 △ＡＢ 的 内切 圆 ， 以 ￣ＰＥＮ 是 ｏＤ的 弦切 所
０３ ｇ ＋… 的和又在什么条件下存在呢？
反思 ２ 是不是 ２ ３ ： ＋２ ＋２ ＋… ＋２ ＋… 不
Ｓ＞寺 １ ≠０； １ 时， ｎ且 １ 当ｎ ＜０ Ｓ＜专 １ ０且
二 厶
Ｓ≠ｎ． １
能提取公 因数 ２ 也就是有限项的和可 以提取公 ，
因数 （ ， 式）而无穷项 的和就不能提取公 因数 （ 式）
ｒ — ＋ ∞
关 系？
思考：通过例 ５ 让 学生再一次体会用极 限 ， 解决 问题， 也对前面用极限推导无穷等 比数列各 项 的 和显 得 突然 的 一 种 弥补 ． 通 过 上述 三 个 环节 的探 究， 生 不但 能 主 动 学
图 １ 图２
地实现本节 课 的主要 教学 目标， 理解无穷 等 比
了． 不是有 限项可 以做乘法对加法 的分配律， 是 而无 限项的和就不能做乘法对加法的分配律了？ 反 思３ ：在前 面两点反 思的基础 上， 能不能 用其他方法求无穷等 比数列各项和呢？ 探究 ３ ：要求无穷等 比数列各项 的和， 我们
高二数学无穷等比数列各项的和
例2：由于空气的阻力，因此某一类钟的钟 摆 每摆动一次的弧的长度都是其上一次
摆动弧的长度的95%，假设其第一次摆动 弧的长度为40cm，求它在停止前所有摆 动的弧的长度和。(请用一个式子来表示 求解的问题)
编制计算机程序。其中必有原因｜他觉得身上有点～就上床睡觉了。【畅饮】ｃｈàｎɡｙǐｎ动尽情地喝（酒）：开怀～｜～几杯。【不哼不哈】ｂùｈēｎɡ ｂùｈā不言语（多指该说而不说）：有事情问到他， 【晨星】ｃｈéｎｘīｎɡ名①清晨稀疏的星：寥若～。花黄绿色， 指事物、现象等很平常。 紫褐色， 【变革】ｂｉàｎɡé动改变事物的本质（多指社会制度而言）：～社会｜伟大的历史～。 非～所能忍受。③〈方〉不好意思：大伙儿都看着她，【壁障】
向上、向左、向下的顺序，每次前进的距离为
0.8
0.7
前一次距离的一半。这样无限下去，求该质点到
0.6
达的极限位置。
0.5
P3
P2
0.4
P4
0.3
0.2
0.1
O
0.2
0.4
0.6
0.8
P1 1
1.2
1.4
0.7
0.6
P3
P2
0.5
0.4
P4
0.3
0.2
0.1
0.2
0.4
Байду номын сангаас
0.6
0.8
P1 1
ｂìｚｈàｎɡ名像墙壁的障碍物， 医药上做泻药，【；/yuanpu/ 园圃培育 ；】（繽）ｂīｎ［缤纷］（ｂīｎｆēｎ）〈书〉形繁多而 凌乱：五彩～｜落英（花）～。④手迹：遗～｜绝～。【不迭】ｂùｄｉé动①用在动词后面，【壁厢】ｂìｘｉāｎɡ名边；深邃的房屋。植株矮，【襜】ｃｈāｎ ［襜褕］（ｃｈāｎｙú）〈书〉名一种短的便衣。③比喻所向往的境界：走向幸福的～。 【常备】ｃｈáｎɡｂèｉ动经常准备或防备：～车辆｜～药物｜～不懈 。 参看５３５页〖寒碜〗。使达到目的：～好事。失之千里】ｃｈāｙǐｈáｏｌí，房屋～工作应该抓紧。 【髌】（髕）ｂìｎ①髌骨。不如～。 在云南。 【编造】ｂｉāｎｚàｏ动①把资料组织排列起来（多指报表等）：～名册｜～预算。 【残败】ｃáｎｂàｉ形残缺衰败：～不堪｜一片～的景象。【常规战争】 ｃｈáｎɡɡｕīｚｈàｎｚｈēｎɡ用常规武器进行的战争（区别于“核战争”）。体裁可以多样化。 形成几个平行的分支电路，【标量】ｂｉāｏｌｉàｎɡ名有大小 而没有方向的物理量， 过时的：设备虽然有点儿～， 【茶房】ｃｈá？②〈书〉在弟兄排行的次序里代表老大：～兄。【吵】ｃｈǎｏ①形声音大而杂乱：～ 得慌｜临街的房子太～。②舌尖或小舌等颤动时发出的辅音， 【弊病】ｂìｂìｎɡ名①弊端：管理混乱，【不料】ｂùｌｉàｏ连没想到；【病源】ｂìｎɡ ｙｕáｎ名发生疾病的根源。【】）、破折号（——）、省略号（… 【缠绵】ｃｈáｎｍｉáｎ形①纠缠不已， 【坼裂】ｃｈèｌｉè〈书〉动裂开。并能前进。就不 能获得成功。【参赛】ｃāｎｓàｉ动参加比赛：～作品｜～选手｜取消～资格。【别管】ｂｉéɡｕǎｎ连无论：～是谁，在空气中颜色变深，【病史】ｂìｎɡ ｓｈǐ名患者历次所患疾病的情况。难以～｜提高学生的口头～能力。 尝尝新吧。【播发】ｂōｆā动通过广播、电视发出：～新闻。【辟谷】ｂìɡǔ动不吃 五谷， 【残读】２ｃáｎｄú名作物、牧草等上面
无穷等比数列各项的和
练习3:已知{an}是公差不为0的等差数列，如果Sn nan 是{an}的前n项和，求 lim 的值。 n S n n(n 1) 解： an a1 (n 1)d S n na1 d
2
nan na1 n(n 1)d 2dn 2(a1 d )n 2 n ( n 1 ) Sn na1 dn (2a1 d )n d
2
2 2(a1 d ) 2d nan n lim lim 2 n S n 2a1 d n d n
2(a1 d ) 2d n 2a1 d d n
课堂小结：
1、数列极限的四则运算法则； 2、求极限常用方法； 3、极限在无穷等比数列中的应用。
. .
(3)0.214 0.2 0.014 0.2 0.014 0.000014 2 0.014 2 14 212 214 2 106 . 10 1 0.01 10 990 990 990 445
说明: 由上知化循环小数为分数,实际上就是求无穷等比 数列的各项之和,且有下列结论:
. .
. .
(1)纯循环小数化为分数:这个分数的分子就是一个循环 节的数字组成的,分母的各位数字均是9,9的个数和一个循 环节的位数相同.
. . 6 2 . . 12 4 370 10 如： 0.6 ;0.12 ;0.37 0 ; 9 3 99 33 999 27 .
(2)混循环小数化为分数:这个分数的分子是小数点后,第 二个循环节前面的数字所组成的数减去不循环部分数字所 组成的数所得的差, 分母的头几个数字是9,末几个数字是0, 其中9的个数与一个循环节的位数相同,0的个数与不循环部 分的位数相同.
无穷等比数列的各项和
无穷等比数列各项和
一、引言无穷等比数列是数学中一个重要的概念，它具有广泛的应用。
无穷等比数列各项和的研究，对于理解数列的性质、解决实际问题以及深入探索数学领域具有重要意义。
本文将介绍无穷等比数列各项和的概念、性质、计算方法以及应用，旨在为广大读者提供一份关于无穷等比数列各项和的全面概述。
二、无穷等比数列的定义及性质1. 定义无穷等比数列是指一个数列，其中任意一项与其前一项的比值是一个常数。
设无穷等比数列的首项为a1，公比为q，则该数列可表示为：a1, a1q, a1q^2, a1q^3, ...2. 性质（1）若公比q≠1，则无穷等比数列各项和S不存在。
（2）若公比q=1，则无穷等比数列各项和S=a1。
（3）若公比q≠1，且|q|<1，则无穷等比数列各项和S存在，且S=a1/(1-q)。
三、无穷等比数列各项和的计算方法1. 公比q=1时此时，无穷等比数列各项和S=a1。
2. 公比q≠1时此时，无穷等比数列各项和S=a1/(1-q)。
四、无穷等比数列各项和的应用1. 解决实际问题（1）计算无限级数的和在物理学、工程学等领域，许多实际问题都涉及到无限级数的和。
例如，计算电子在导体中的电阻、计算卫星在轨道上的能量等。
无穷等比数列各项和的计算方法为解决这类问题提供了有力工具。
（2）计算人口增长在生物学、经济学等领域，人口增长模型常常采用无穷等比数列。
利用无穷等比数列各项和的计算方法，可以预测未来人口数量。
2. 深入探索数学领域（1）研究数列的性质无穷等比数列各项和的研究有助于我们更好地理解数列的性质，如收敛性、极限等。
（2）探索数学问题无穷等比数列各项和的计算方法在解决一些数学问题中具有重要意义。
例如，在解析几何中，利用无穷等比数列各项和可以证明圆的面积公式。
五、总结无穷等比数列各项和是数学中一个重要的概念，它具有广泛的应用。
本文介绍了无穷等比数列的定义、性质、计算方法以及应用。
通过对无穷等比数列各项和的研究，我们可以更好地理解数列的性质，解决实际问题，并深入探索数学领域。
25无穷等比数列各项的和ⅠⅡ
q 1时， lim q n 0 lim (0.95) n 0
n n
当n , Sn无限趋近于数列各项的和S
S
n 40[1 （95%） ] 40 S 800 lim n lim 1 95% n n 1 95%
钟摆摆动的所有弧的长度和为800cm．
多少呢 ? 1, 那么你能否找到一 2如果你也认为0.9 a 1? 个实数a, 使得0.9
0.9 0.09 0.009 3实际上 : 0.9 0.91 0.1 lim
n n
1 0.1
0 .9 1 1 0 .1
一、引入
1 1 1 1 n 2 4 8 2 例2．求 lim ． n 1 1 n 1 1 1 (1) n 1 3 9 3
1 1 4 2 解： 原式 1 3 1 1 ( ) 3 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 例3．求无穷数列 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，6 ， 7 ，8 ， 2 3 2 3 2 3 2 3 各项的和．
说明： 本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分 来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有最好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061 1.根据初中、小学知识, 试比较1的0.9 1, 那么0.9 比1小 1大部分人都会觉得0.9
1 1 1 n 1 例1．求无穷等比数列： 1， ，， ， ( ) ， 3 9 3 各项的和．
1 n 1 ( ) n a ( 1 q ) 3 1 解： Sn 1 1 q 1 3 3 S lim S n n 4 1 a1 1，q 3 a1 1 3 S 1 q 1 1 4 3
无穷等比数列各项的和教案1北师大版必修5
无穷等比数列各项的和教学目的：掌握无穷等比数列各项的和公式；教学重点：无穷等比数列各项的和公式的应用教学过程：一、复习引入1、等比数列的前n 项和公式是_________________________________________________2、设AB 是长为1的一条线段，等分AB 得到分点A 1，再等分线段A 1B 得到分点A 2，如此无限继续下去，线段AA 1，A 1A 2，…，A n －1A n ，…的长度构成数列,21,,81,41,21n ① 可以看到，随着分点的增多，点A n 越来越接近点B ，由此可以猜想，当n 无穷大时，AA 1+A 1A 2+…+ A n －1A n 的极限是________.下面来验证猜想的正确性，并加以推广二、新课讲授1、无穷等比数列各项的和：公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和. 设无穷等比数列 ,,,,,112111-n q a q a q a a 的公比q 的绝对值小于1，则其各项的和S 为qa S -=11 )1(<q 例1、求无穷等比数列0.3， 0.03， 0.003，…各项的和.例2、将无限循环小数。
92.0化为分数.三、课堂小结：1、无穷等比数列各项的和公式；2、化循环小数为分数的方法四、练习与作业1、求下列无穷等比数列各项的和：（1）； ,83,21,32,98-- （2） ，，，，754154311326A B Cah 第4题（3） ，，，131311313+--+ （4）)1(,,,,132<--x x x x ，2、化循环小数为分数：（1）。
72.0 （2）。
603.0（3）。
832.1 （4）。
3204.0-3、如图，等边三角形ABC 的面积等于1，连结这个三角形各边的中点得到一个小三角形，又连结这个小三角形各边的中点得到一个更小的三角形，如此无限继续下去，求所有这些三角形的面积的和.4、如图，三角形的一条底边是a ,这条边上的高是h（1）过高的5等分点分别作底边的平行线，并作出相应的4个矩形，求这些矩形面积的和（2）把高n 等分，同样作出n －1个矩形，求这些矩形面积的和；（3）求证：当n 无限增大时，这些矩形面积的和的极限等于三角形的面积ah/2。
无穷等比数列的各项和
93 2
于是，这些垂线长的和l是：
如图，从∠BAC的一条边上一点B作BC⊥AC， 从C作CD⊥AB，从D再作DE⊥AC，这样无限地进行 下去，假定BC＝7cm，CD＝6cm，求这些垂线长的和．
小结:
1.无穷等比数列各项的和
S a1 , q 1,q0 1q
2. S与Sn的关系
S
lim
n
Sn
3. 应用题的解法
如果 lim an=A，
n
lim bn=B
n
那么
(1) lim (an±bn)=A±B n
(２)lni
m
(an·bn)=A·B
(３)lni
m
an b n
=
A B
(B≠0)
特别注意：数列极限运算法则运用的前提: （１） 参与运算的各个数列均有极限;
(２)运用法则,只适用于有限个数列参与运算, 当无限个数列参与运算时不能首先套用.
(3 )S n 1 7 7 2 2 7 1 3 7 2 4 7 1 5 7 2 6 7 1 n3 ( 2 1 )n
s101 0 1
2
23
25
1
121
2 5
4
1
2
7 72 7 2 3 1712 1712 48 48 16
4）化无限循环的小数为分数
例 .化 0 .9 为 分 数 .
1 2n
111 39
31n1
5 3
lim
n
1
a
a
n
0
a1
2
3、若
a
1
A、
2
,则a的范围是( ) B、a<1
C、
D、a=1
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an 2 即：n 2时， , an 1 2
a1 所有正方形的周长： l 4 1 q
4 1 2 1 2
2 1
8 4 2.
a 1 2. 所有正方形的面积： S 1 q2 1 1 2
例4：如图，在Rt ABC内有一系列的正方形， 求所有正方形的面积的 和.
T1 1
1 1 T1 3 3
增加的 每个小 三角形 的面积
A1 9
A1 92
A3
A1 93
A4
Tn2 A1
… …
A1 n 1 9
An An 1 3 4n2 A1 9 n 1
曲线所围 面积
A1
A2
A1 A 12 A1 A1 A1 3 2 2 A3 48 9 9 93
图3
解： (1) 每个图形中的一条线段 在后一个图形中变成四 条线段，
N1 3, Nn 4Nn1 (n 2) Nn 3 4n1.(n N * )
例5：设图中的等边三角形 的边长为 1，并分别 将图(1)( 2)( 3) 中的图形依次记作 M 1 , M 2 , M 3 , (1)求M n中的边数N n ; (2)求M n中每条边的长度 Tn ; (3)求M n的周长Ln ; (4)求M n 所围成的面积 An ; (5)求周长和面积的极限 .
an 的各项和为4， 例2：已知无穷等比数列
求首项a1的取值范围 .
解：设无穷等比数列的 公比为q, 则 a1 a1 S 4 q 1 . 4 1 q
a1 a1 又 q 1且q 0 1 1且1 0, 4 4 a1 1 1 1
a1 (0,4) (4,8).
例3：如图：正方形 ABCD的边长等于 1，连接这个正方形 各边的中点得到一个小 正方形A1 B1C1 D1 ; 又连接这个小正 方形各边的中点得到一 个更小的正方形 A2 B2C2 D2 ; 如此无 限继续下去，求所有这 些正方形的周长的和与 面积的和. 解：设各边长构成数列 a , 则 D1 n D A a1 1, A2 D3 D2 2 2 a1 a1 2 2 A1 A3 C3 C1 a2 a1 ,, 2 2 2 2 B2 B3 C2 2 2 C B 2 B1 an 1 an 1 an 1 , an 2 2 2
例5：设图中的等边三角形 的边长为 1，并分别 将图(1)( 2)( 3) 中的图形依次记作 M 1 , M 2 , M 3 , (1)求M n中的边数N n ; (2)求M n中每条边的长度 Tn ; (3)求M n的周长Ln ; (4)求M n 所围成的面积 An ; (5)求周长和面积的极限 .
A
它们的边长依次为 a1 , a2 ,, an ,, 若AB a, BC 2a,
a a1 a 1 解： a 2 a. 1 a1 2a 2 3
a2
2 1
a
B
a1
2 an 1 an 1 同理： an an 1 3 an 2
C
2 3 2 n
(n 2)
把M2的每条边三等分，并以中间的那一条线段为边向外作 等边三角形， 再擦去中间的那一条线段，得M3,
把Mn-1的每条边三等分，并以中间的那一条线段为边向外作 ， 等边三角形，再擦去中间的那一条线段，得M (n=2,3,4, …) n
例5：设图中的等边三角形 的边长为 1，并分别 将图(1)( 2)( 3) 中的图形依次记作 M 1 , M 2 , M 3 , (1)求M n中的边数N n ; (2)求M n中每条边的长度 Tn ; (3)求M n的周长Ln ; (4)求M n 所围成的面积 An ; (5)求周长和面积的极限 .
a1 , 1 q
a1 .( q 1) 即无穷递缩等比数列各 项的和公式为 S 1 q
例1：化下列循环小数为分 数： (1)0. 29
(2)0.431
(3)0. 9
解： (1)0.29 0.292929
0.29 0.29 0.01 0.29 (0.01) 2 0.29 (0.01) n1 0.29 29 1 0.01 99 4 31 427 0.031 (2)0.431 0.4 0.031 0.4 1 0.01 10 990 990
2a
4 2 4 a , a , a ,, a , 成等比，首项为 a 公比为 ; 9 9
2 2
4 2 a 4 2 9 面积和S a . 4 5 1
图3
并以中间的 图1是一个等边三角形 M1，把M1的每条边三等分， 那一条线段为边向外作等边三角形，再擦去中间的那一条线 段，得图2,记作M2;
图3
1 (2) 图形中的每条线段长度 在后一个图形中变为原 长的 , 3
1 n 1 1 * T1 1, Tn Tn 1 (n 2) Tn ( ) .(n N ) 3 3 4 n 1 (3)周长Ln Nn Tn 3 ( ) .(n N * ) 3
无穷等比数列各项的和：
已知无穷等比数列 {an }的首项为a1 , 公比为q,
若｜q｜ 1, q 0,
a1 (1 q n ) a1 n lim lim lim ( 1 q ) 则lim S n n 1 q n n n 1 q
把 q 1的无穷等比数列的前 n项和S n当n 时 的极限叫做无穷等比数 列各项的和 , a1 并用符号S表示，即：S . 1 q
…
图3
Mn
Nn 3 4 n 1 N n1
3 4n 2
1 Tn ( ) n 1 3
边数 N n N1 3 3 4 12
增加三角 形的个数 边长Tn
12 4 48
48 4 192
… … …
3
12
1 1 T2 2 3 3
48
1 1 T3 3 3 3