无穷递缩等比数列各项和
常用的一些求和公式
下面是常用的一些求和公式：a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, .... (d为)称为为d的.与等差数列相应的称为等差级数，又称算术级数.通项公式前n项和等差中项a1, a1q, a1q2, a1q3....,(q为常数)称为为q的.与等比数列相应的称为，又称.通项公式前n项和等比中项无穷递减等比级数的和更多地了解数列与级数：(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。
(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)；推广式：an=am×q^(n-m)；(3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)(q为比值，n为项数）(4)性质：①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2(5) "G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠ 0）".(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。
等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
（2）等比数列求和公式：Sn=nA1(q=1)Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)(前提：q≠ 1)任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
常用的一些求和公式
下面是常用的一些求和公式：a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, .... (d为常数)称为公差为d的等差数列.与等差数列相应的级数称为等差级数，又称算术级数. 通项公式前n项和等差中项a1, a1q, a1q2, a1q3....,(q为常数)称为公比为q的等比数列.与等比数列相应的级数称为等比级数，又称几何级数. 通项公式前n项和等比中项无穷递减等比级数的和更多地了解数列与级数：等差数列与等差级数(算术级数)等比数列等比数列的通项公式等比数列求和公式(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。
(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)；推广式：an=am×q^(n-m)；(3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)(q为比值，n为项数）(4)性质：①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2(5) "G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠ 0）".(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。
等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
（2）等比数列求和公式：Sn=nA1(q=1)Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)(前提：q≠ 1)任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
常用的一些求和公式
下面是常用的一些求和公式：a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, .... (d为常数)称为公差为d的等差数列.与等差数列相应的级数称为等差级数，又称算术级数.通项公式前n项和等差中项a1, a1q, a1q2, a1q3....,(q为常数)称为公比为q的等比数列.与等比数列相应的级数称为等比级数，又称几何级数.通项公式前n项和等比中项无穷递减等比级数的和更多地了解数列与级数：等差数列与等差级数(算术级数)等比数列等比数列的通项公式等比数列求和公式(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。
(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)；推广式：an=am×q^(n-m)；(3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)(q为比值，n为项数）(4)性质：①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2(5) "G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠ 0）".(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。
等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
（2）等比数列求和公式：Sn=nA1(q=1)Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)(前提：q≠ 1)任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
八年级数学等比数列求和知识点
八年级数学等比数列求和知识点
等比数列求和知识点等比数列求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
=(a1-a1q^n)/(1-q)
=(a1-an*q)/(1-q)
=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)
(前提：q 1)
任意两项am，an的关系为an=amq^(n-m)
(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1an=a2an-1=a3an-2==akan-k+1，k{1,2,,n}
(4)等比中项：aqap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
记n=a1a2an，则有2n-1=(an)2n-1，2n+1=(an+1)2n+1
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列;反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。
在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是同构的。
等比中项定义：从第二项起，每一项(有穷数列和末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项。
(5)无穷递缩等比数列各项和公式：
无穷递缩等比数列各项和公式：对于等比数列的前n 项和，
当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷递缩数列的各项和。
高二数学无穷递降等比数列求和公式_公式总结
高二数学无穷递降等比数列求和公式_公式总结
除了课堂上的学习外，平时的积累与练习也是学生提高成绩的重要途径，本文为大家提供了高二数学无穷递降等比数列求和公式，祝大家阅读愉快。
无穷递减等比数列
a,aq,aq^2aq^n
其中，n趋近于正无穷，q1
注意：
(1)我们把|q|1无穷等比数列称为无穷递缩等比数列，它的前n项和的极限才存在，当|q|1无穷等比数列它的前n项和的极限是不存在的。
(2)S是表示无穷等比数列的所有项的和，这种无限个项的和与有限个项的和从意义上来说是不一样的，S是前n项和Sn当n的极限，即S=
S=a/(1-q)
算法
想了解无穷递减等比数列求和的算法，需要先介绍一下等比数列求和公式
设一个等比数列的首项是a1,公比是q，数列前n项和是Sn，当公比不为1时
Sn=a1+a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)
将这个式子两边同时乘以公比q，得
qSn=a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)+a1q^n
两式相减，得
(1-q)Sn=a1-a1q^n
所以，当公比不为1时，等比数列的求和公式为Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q)
对于一个无穷递减数列，数列的公比小于1,当上式得n趋向于正无穷大时，分子括号中的值趋近于1，取极限即得无穷递减数列求和公式
S=a/(1-q)
小编为大家整理的高二数学无穷递降等比数列求和公式就到这里了，希望同学们认真阅读，祝大家学业有成。
高中数学无穷递降等比数列求和公式
高中数学无穷递降等比数列求和公式无穷递减等比数列a,aq,aq^2……aq^n其中，n趋近于正无穷，q<1注意：(1)我们把|q|<1无穷等比数列称为无穷递缩等比数列，它的前n项和的极限才存有，当|q|≥1无穷等比数列它的前n项和的极限是不存有的。
(2)S是表示无穷等比数列的所有项的和，这种无限个项的和与有限个项的和从意义上来说是不一样的，S是前n项和Sn当n→∞的极限，即S=S=a/(1-q)等比数列求和公式算法想了解无穷递减等比数列求和的算法，需要先介绍一下等比数列求和公式设一个等比数列的首项是a1,公比是q，数列前n项和是Sn，当公比不为1时Sn=a1+a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)将这个式子两边同时乘以公比q，得qSn=a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)+a1q^n两式相减，得(1-q)Sn=a1-a1q^n所以，当公比不为1时，等比数列的求和公式为Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q)对于一个无穷递减数列，数列的公比小于1,当上式得n趋向于正无穷大时，分子括号中的值趋近于1，取极限即得无穷递减数列求和公式S=a/(1-q)高中数学选择题解题方法一、直接法直接从题设的条件出发，使用相关的概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和计算来得出题目的结论。
二、特例法包括选择符合题意的特殊数值、特殊位置、特殊函数、特殊数列、特殊图形等，代入或者比照选项来确定答案。
这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率极大的方法。
三、数形结合画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地表现，降低思维难度，是解决数学问题的有力策略。
四、估值判断有些问题，属于比较大小或者确定位置的问题，对数值实行估算，或者对位置实行估计，就能够避免因为精确计算和严格推演而浪费时间。
五、排除法(代入检验法)充分使用选择题中的单选的特征，即有且只有一个准确选项这个信息，通过度析、推理、计算、判断，逐一排除，最终达到目的的一种解法。
无穷等比数列各项的和
7。
7 无穷等比数列各项的和课表解读1.理解无穷等比数列各项的和的含义，掌握无穷等比数列各项的和的公式，会求无穷等比数列各项的和。
2.会利用求无穷等比数列各项的和的方法把循环小数化为分数. 3。
会用无穷等比数列各项和解决相关问题。
目标分解1. 无穷等比数列的各项和的定义：我们把1||<q 的无穷等比数列的前n 项的和n S ，当∞→n 时的极限叫做无穷等比数列的各项和,并用符号S 表示，记作)1|(|11<-==∞→q qa S lin S n n 2。
无穷递缩等比数列的定义：把1||<q 的无穷等比数列成为无穷递缩等比数列。
解释“无穷递减缩等比数列”：(1）数列}{n a 本身是等比数列; （2)当1||<q 时，数列|}{|n a 单调递减,故称“递缩”； （3）当∞→n 时，数列为无穷数列。
强调：(1）只有当无穷等比数列的公比q 满足1||0<<q 时，其前n 项和的极限才存在；（当1=q 时，1lim lim na S n n n ∞→∞→=，极限不存在；当1-=q 时，nn q ∞→lim 不存在；当1||>q 时,nn q ∞→lim 不存在)(2)无穷等比数列各项的“和”已经不同于初等数学中的有限项的“和"，它已经不是代数和，实质上是一个无穷数列}{n S 的极限！(3）应用:化循环小数为分数.问题分析一、无穷等比数列各项和例1. 计算1131)1(9131121814121lim --∞→-+++-++++n n n n分析：n n 21814121lim++++∞→ 是无穷等比数列前n 项和的极限,即等于n 21814121++++ +…，可以利用无穷等比数列各项和的公式qa S -=11来计算，同理，分母也可以作类似计算，由于分子、分母都有极限，因此可以利用极限运算法则。
解：1131)1(9131121814121lim --∞→-+++-++++n n n n=]31)1(91311[lim )21814121(lim 11--∞→∞→-+++-++++n n n n n=34431)31(1121121==---例2。
用无穷递缩等比数列求和公式再证一道竞赛题
用无穷递缩等比数列求和公式再证一道竞赛题
用无穷递缩等比数列求和公式是指，当首项为a1、项数为n、公
比为q的无穷递缩等比数列的和为：Sn=a1*(1–q^n)/(1–q)。
下面以一道竞赛题来证明这个公式：
某学校的体育考试有三道习题，A、B、C三人参加考试，在抽签后，A、B、C依次抽取了第一题、第二题、第三题，当A、B、C又各自完成
了三道习题后，最终获得了20分、28分、36分的成绩，那么他们三
人总共获得的分数之和是多少？
要解答这道题，需要把分数视为一个无穷递缩等比数列，其中首
项a1的值为20，公比q的值为8，项数n的值为3。
根据公式，A、B、C三人总共获得的分数之和为 Sn = 20 * (1-8^3)/(1-8) = 20 * 1/7
= 20 * 7/7 = 140 分。
因此，A、B、C三人总共获得的分数之和是140分。
以上题目证明了用无穷递缩等比数列求和公式的正确性，即：
S=a1*(1–q^n)/(1–q)。
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S
lni mSn
a1 1q
例3.把下列各数化为分数
10.3 8 21.2 43
30.7 0.07 0.007 40.7 0.07 0.007
解 0 .3 8 ： 0 .3 8 0 .00 0 .3 08 0 0 0 .0 00 30 8 0
0.38 38
1 .2 4 3 11 0.00 1.2994 0 .0 30 00 .0 20 40 3 0
例 6.设首1， 项公 为 q比 q0为 的等比数 n项列 的
lim 为 解 Sn， 1： qT设 n 1SSnn l1n， i n m T nN ,l求 n im n n n T 1n .1
2q1
1qn
1qn1
Sn1q,Sn1 1q
lim lim Tn n
n
1qn1 1 1qn q
0q1 q1
例8.圆01是边长为a的正三角形 ABC的内切圆, 圆O2与圆O1外切， 且与AB、AC相切，圆O3与圆O2 外切，且与AB、AC相切，如此 无限继续下去，求所有圆面积 之和S。
无穷递缩等比数列各项和
几个基本数列的极限
1 lim 0 n n
q1时 ,lim qn0 n
c为常 ,li数 m cc n
引例:把无限循环小数 0.333·····化为一个分数.
定义:我们把|q|<1的无穷等比数列前 n的和Sn,当n→∞时的极限叫做无穷 等比数列各项和.
Sln i m S nln i m 1a 1 q•(1qn)1a 1 q
例7.在直角坐标系中，一个粒子从原点 出发，沿x轴向右前进1个单位到点P1， 接着向上前进1/2单位到点P2，再向 左前进个1/4单位到点P3，又向下前 进1/8单位到点P4 ，以后的前进方向 按向右，向上，向左，向下的顺序， 每次前进的距离为前一次前进的距离 的一半。这样无限地继续下去，求粒 子到达的极限位置的坐标.
其一般方法是：
（1）构造这一系列的几何量组成的数列a1， a2，a3，……，an，……;
（2）先求出a1,并求出an+1与an之间的递推 关系，进而证明数列{an}是等比数列，且
0 q 1
（3）利用 S a1 求解。 1 q
例7、（课本P46例2）
例8、（课本P48例4 ）
课堂练习：1、 P47 1、2、3 2、P481、2、3
lim
n
S
n
an是首项a1为 ，公比q为 q 1的等比数列
求该数列 1前 的n项的和
2所有项的 各和项的和
3limSn n
例 1.求数1， 列 1， 1， 1 的所有.项 2 48 2n
解 ： a11 2,q1 n
1 1
1 1 2n
2
Slni m snlni m 12 1n 1
1 243 999
46 37
0 .7 0 .0 7 0 .0 0 7 7
0 .7 0 .0 7 0 .07 0 7 9
77 7 9 90 900
1
9
1
70 81
10
例4.设无穷等比数列所有奇数项 之和为15，所有偶数项之和为3,求首项a1.
例5.已知无穷等比数列的首项 a1等于后面的各项之和k倍,求 k的取值范围.
1 0q1
lim n Tn q q1
练习
1、等比数列的首项a1=-1,前项和为Sn,若
S 10 = 3 1
S5
32
,则
lim
n
S
等于
n
。
2、等比数列 { a n } 中,它的各项和S=1/4,求 首项a1的取值范围。
与平面几何（或其他知识）有关 的几何量的求和问题：
问题可化归为无穷等比数列各项的和，
S a1 ,(q 1) 1q
注意：
（1）当|q|<1无穷等比数列称为无穷递缩等
比数列，它的前n项和的极限才存在；
当|q|≥1无穷等比数列它的前n项和的
极限是不存在的。
（2）S是表示无穷等比数列的所有项的和，
这种无限个项的和与有限个项的和
从意义上来说是把不一样的，S是前n项
和Sn当n→∞的极限，即S=
例 2.求无穷等 21比 ， 2数 1， 的 列各项 .
解 a 1 ： 2 1 ,a 22 1
q 2 1 32 2 2 1
S 21 3 2 2
1 32 2
2
使用公式 S a 1 要注意三个问题:
1q
（1）所给数列是等比数列； （2）公比的绝对值小于1;
(3)前n项和与所有项和的关系: