运筹学 单纯形法 应用举例
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15单纯形法(运筹学)
几点说明： 几点说明： (1)、 (1)、例 maxZ=X1 +2X2 X1 ≤ 4 X2 ≤ 3 X1+2X2 ≤ 8 X1 , X2 ≥0 X1+X3 = 4 X2+X4 = 3 X1+2X2+X5= 8 X1 … X5 ≥0
1
2
3
4
X(1)= (2,3) X(2)= (4,2)
全部解： 全部解：X=α
(1) -4 0 1 -2 0
14
15
本问题无界。 本问题无界。 X2
O
X1
Z=0
16
1.5.4 初始基本可行解的求法 (一)、大M法： 一、 法 例1 ： maxZ= 6X1 +4X2 2X1 +3X2 ≤ 100 4X1 +2X2 ≤ 120 X1 X1 X2 ≥0
=14
X2 ≥ 22
17
λj <0
8
(3)、 (3)、maxZ=10X1 + 12X2 3X1+4X2 ≤ 6 4X1+ X2 ≤ 2 3X1 +2X2 ≤ 3 X1 , X2 ≥0
9
10
X =(0, 3/2, 0, 1/2, 0)T Zmax=18
退化解
*
11
例：maxZ= -3/4X4+20X5 -1/2X6+6X7 X1+1/4X4 -8X5 -X6+9X7 =0 X2+1/2X4-12X5 -1/2X6+3X7 =0 X3+X6 =1 X1 … X7 ≥0 (P1 P2 P3) → (P4 P2 P3) → (P1 P2 P3) → (P4 P5 P3) → (P6 P5 P3) → (P6 P7 P3) → (P1 P7 P3)
1
2
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X(1)= (2,3) X(2)= (4,2)
全部解： 全部解：X=α
(1) -4 0 1 -2 0
14
15
本问题无界。 本问题无界。 X2
O
X1
Z=0
16
1.5.4 初始基本可行解的求法 (一)、大M法： 一、 法 例1 ： maxZ= 6X1 +4X2 2X1 +3X2 ≤ 100 4X1 +2X2 ≤ 120 X1 X1 X2 ≥0
=14
X2 ≥ 22
17
λj <0
8
(3)、 (3)、maxZ=10X1 + 12X2 3X1+4X2 ≤ 6 4X1+ X2 ≤ 2 3X1 +2X2 ≤ 3 X1 , X2 ≥0
9
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X =(0, 3/2, 0, 1/2, 0)T Zmax=18
退化解
*
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例：maxZ= -3/4X4+20X5 -1/2X6+6X7 X1+1/4X4 -8X5 -X6+9X7 =0 X2+1/2X4-12X5 -1/2X6+3X7 =0 X3+X6 =1 X1 … X7 ≥0 (P1 P2 P3) → (P4 P2 P3) → (P1 P2 P3) → (P4 P5 P3) → (P6 P5 P3) → (P6 P7 P3) → (P1 P7 P3)
运筹学及其应用4.3 对偶单纯形法
3
min w= 2x1+3x2+4x3+0x4+0x5 x1+2x2+ x3-x4＝ 1 2x1- x2+3x3– x5＝4 x1,x2,x3,x4,x5≥ 0
min w= 2x1+3x2+4x3+0x4+0x5 -x1-2x2- x3+x4＝ -1 -2x1+x2-3x3+x5＝ -4 x1,x2,x3,x4,x5≥ 0
4
234 000
0
x1 x2 x3 x4 -1 -2 -1
x4 x5 b 1 0 -1
max
2 −2
4 ，
−3
=
−1
0 x5 -2* 1 -3 0 1 -4
σ 234 000
0 x4 0 -2.5 0.5 1 -0.5 1
2 x1 1 -0.5 1.5 0 -0.5 2
σ 0 4 1 0 1 -4
步骤：(1)保持σj ≥ 0，j= 1,···,n，确定XB，建立计算表格； (2)判别XB = B-1b ≥ 0是否成立？ ①若成立，XB为最优基变量； ②若不成立，转(3)；
1
步骤：(1)保持σj ≥ 0，j= 1,···,n，确定XB，建立计算表格；
(2)判别XB = B-1b ≥ 0是否成立？ ①若成立，XB为最优基变量； ②若不成立，转(3)；
5
• 作业 • P81 1.12(1)
6
§3 对偶单纯形法
单纯形法：由 XB = B-1b ≥ 0，使σj ≥ 0，j = 1,···,m 对偶单纯形法：由σj ≥ 0(j= 1,···,n)，使XB = B-1b ≥ 0 相同点：都用于求解原问题
min w= 2x1+3x2+4x3+0x4+0x5 x1+2x2+ x3-x4＝ 1 2x1- x2+3x3– x5＝4 x1,x2,x3,x4,x5≥ 0
min w= 2x1+3x2+4x3+0x4+0x5 -x1-2x2- x3+x4＝ -1 -2x1+x2-3x3+x5＝ -4 x1,x2,x3,x4,x5≥ 0
4
234 000
0
x1 x2 x3 x4 -1 -2 -1
x4 x5 b 1 0 -1
max
2 −2
4 ，
−3
=
−1
0 x5 -2* 1 -3 0 1 -4
σ 234 000
0 x4 0 -2.5 0.5 1 -0.5 1
2 x1 1 -0.5 1.5 0 -0.5 2
σ 0 4 1 0 1 -4
步骤：(1)保持σj ≥ 0，j= 1,···,n，确定XB，建立计算表格； (2)判别XB = B-1b ≥ 0是否成立？ ①若成立，XB为最优基变量； ②若不成立，转(3)；
1
步骤：(1)保持σj ≥ 0，j= 1,···,n，确定XB，建立计算表格；
(2)判别XB = B-1b ≥ 0是否成立？ ①若成立，XB为最优基变量； ②若不成立，转(3)；
5
• 作业 • P81 1.12(1)
6
§3 对偶单纯形法
单纯形法：由 XB = B-1b ≥ 0，使σj ≥ 0，j = 1,···,m 对偶单纯形法：由σj ≥ 0(j= 1,···,n)，使XB = B-1b ≥ 0 相同点：都用于求解原问题
管理运筹学 第6章 目标规划
目标规划问题及模型
∵正负偏差不可能同时出现，故总有：
x1－x2+d--d+ =0
若希望甲的产量不低于乙的产量，即不希望d->0,用目标约束可
表为:
min{d }
x1
x2
d
d
0
若希望甲的产量低于乙的产量，即不希望d＋>0,用目标约束可
表为:
min{d }
x1
x2
d
d
0
若希望甲的产量恰好等于乙的产量，即不希望d＋>0,也不希望
2x1 2x2 12
s.t
4
x1 x1
2x2
8 16
4x2 12
x1 , x2 0
其最优解为x1＝4，x2＝2，z＊＝14元
目标规划问题及模型
但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如： (1) 力求使利润指标不低于12元； (2) 考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比
标决策的需要而由线性规划逐步发展起来的一个分支。 由于现代化企业内专业分工越来越细，组织机构日益复
杂，为了统一协调企业各部门围绕一个整体的目标工作，产 生了目标管理这种先进的管理技术。目标规划是实行目标管 理的有效工具，它根据企业制定的经营目标以及这些目标的 轻重缓急次序，考虑现有资源情况，分析如何达到规定目标 或从总体上离规定目标的差距为最小。
min Z = f（ d ++ d - ）
（2） 要求不超过目标值，但允许达不到目标值，即只有使 正偏差量要尽可能地小（实现最少或为零）
min Z = f（ d +）
目标规划问题及模型
例1. 某企业计划生产甲，乙两种产品，这些产品分别要在 A,B,C,D四种不同设备上加工。按工艺文件规定，如表所示。
单纯形法及应用举例
θ
11/1
1 -1
/
1 -1
10/2
1 -1 56/10
1
2
1
4
第3节 解目标规划的单纯形法
② 取k=1，检查检验数的P1行，因该行无负检验数，故转(5)。 ③ 因k(=2)＜K(=3)，置k=k+1=3，返回到(2)。 ④ 查出检验数P2行中有−1、 − 2；取min(− 1, − 2)= − 2。它对应
❖ 力求总运费最省
34
cij xij d13 d13 2950
i1 j1
❖ 目标函数为：
min z P1d 4 P2d 5 P3(d6 d 7 d 8 d 9)
P4d
10
P5
d
11
P6 (d
12
d
12)
Hale Waihona Puke P7d 1317第4节 应用举例
200 100
300
200
200
250 150 400
100 100
销量
200 100 450 250 1000/1000 14
第4节 应用举例
❖ 供应约束
x11+x12+x13+x14≤300 x21+x22+x23+x24≤200 x31+x32+x33+x34≤400 ❖ 需求约束：
x11+x21+x31+d1−− d1+=200
❖ 计算结果，得到满意调运方案见表5-10。
销地 B1
产地
B2
B3
B4 产量
A1
100
200 300
第二章线性规划及单纯形法总结
第一章
工厂需要的原棉存放在三个仓库中，现将原棉运往工 厂以满足工厂生产的需求。已知原棉运到各个工厂的单位 运费如表所示。问使总运费最小的运输方案？
仓库\工厂
1 2 3 需求
1
2 2 3 40
2
1 2 4 15
3
3 4 2 35
库存
50 30 10
2．线性规划数学模型
解：设xij为i 仓库运到 j工厂的原棉数量(i =1,2,3
1．线性规划介绍
第一章
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高?
某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
第一章
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
第一章
j =1,2,3)
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33 x11 +x12+x13 x21+x22+x23 x31+x32+x33 50 30 10 40
st.
x11 +x21+x31 =
x12 +x22+x32 =
x13 +x23+x33 = xij 0
15
35
2．线性规划数学模型
第一章
练习4 连续投资10万元 A：从第1年到第4年每年初投资，次年末回收本利1.15； B：第3年初投资，到第5年末回收本利1.25，最大投资4万元； C：第2年初投资，到第5年末回收本利1.40，最大投资3万元； D：每年初投资，每年末回收本利1.11。 求：使5年末总资本最大的投资方案。 分析： A 1 x1A 2 x2A x2C x1D x2D x3D x4D x5D 3 x3A 4 x4A 5
运筹学第5章 单纯形法
0 0 1
在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或为由单位矩阵的 各列向量所组成，称之为初始可行基，其相应的基本可行解叫初始基 本可行解。如果找不到单位矩阵或由单位矩阵的各列向量组成的基作 为初始可行基，我们将构造初始可行基，具体做法在以后详细讲述。
8Leabharlann §1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验 所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
5
§1 单纯形法的基本思路和原理
线性规划解之间的关系：
1.可行解与最优解： 最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解。
2. 可行解与基本解： 基本解不一定是可行解，可行解也不一定是基本解。
3. 可行解与基本可行解： 基本可行解一定是可行解，但可行解不一定是基本可行解。
4. 基本解与基本可行解： 基本可行解一定是基本解， 但基本解不一定是基本可行解。
9
§1 单纯形法的基本思路和原理
2.最优解判别定理
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，如
果所有检验数 j≤0，则这个基本可行解是最优解。 下面我
们用通俗的说法来解释最优解判别定理。设用非基变量表示
的目标函数为: z z0 j xj jJ 由于所有的xj的取值范围为大于等于零，当所有的 j都小
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找
到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就
可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。
在此例中我们不妨找到
1 1 0 B3 1 0 0
为A的一个基，令这个基的非
1 0 1
基变量x１，s2为零。这时约束方程就变为基变量的约束方程：
第五章 单 纯 形 法
运筹学 第二章线性规划 第三讲 单纯形法
1 -2 4 2
[1] 1 2 -1↑
1 0 0 0
1 0 0 0
1 -1 -2 1
0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0
5→ 6 21
5 1 11
5 6 21/2
表中λj≥0( j=1,2,…,5), 所以最优解为X=(0,5,0,1,11 )T , 最 优值 Z=2x1－2x2－x4=－2×5－1=－11。
大值，因此原问题只要有可行解，新的线性规划问
题的最优解中人工变量的取值一定为0， 这种方
法称为大M单纯形法（简称大M法）。
2.5 单纯形法 Simplex Method
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
大M法中加入人工变量后新的线性规划问题为
max Z’=c1x1+c2x2+…+cnxn –Mxn+1 – … –Mxn+m
【解】首先将数学模型化为标准形式
2.5 单纯形法 Simplex Method
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
max Z 3x1 2 x 2 x3
式中x4，x5为松弛变量，x5可 4 x1 3x 2 x3 x 4 4 作为一个基变量，第一、三 x x 2 x x 10 约束中分别加入人工变量x6 、 1 2 3 5 x7 ， 目 标 函 数 中 加 入 2 x1 2 x 2 x3 1 ―Mx6―Mx7一项，得到人工 x j 0, j 1,2,,5 变量单纯形法数学模型
0 0 1
Z＝2 x1 2 x2 (6 x1 x2 ) 6 x1 x2
[1] 1 2 -1↑
1 0 0 0
1 0 0 0
1 -1 -2 1
0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0
5→ 6 21
5 1 11
5 6 21/2
表中λj≥0( j=1,2,…,5), 所以最优解为X=(0,5,0,1,11 )T , 最 优值 Z=2x1－2x2－x4=－2×5－1=－11。
大值，因此原问题只要有可行解，新的线性规划问
题的最优解中人工变量的取值一定为0， 这种方
法称为大M单纯形法（简称大M法）。
2.5 单纯形法 Simplex Method
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
大M法中加入人工变量后新的线性规划问题为
max Z’=c1x1+c2x2+…+cnxn –Mxn+1 – … –Mxn+m
【解】首先将数学模型化为标准形式
2.5 单纯形法 Simplex Method
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
max Z 3x1 2 x 2 x3
式中x4，x5为松弛变量，x5可 4 x1 3x 2 x3 x 4 4 作为一个基变量，第一、三 x x 2 x x 10 约束中分别加入人工变量x6 、 1 2 3 5 x7 ， 目 标 函 数 中 加 入 2 x1 2 x 2 x3 1 ―Mx6―Mx7一项，得到人工 x j 0, j 1,2,,5 变量单纯形法数学模型
0 0 1
Z＝2 x1 2 x2 (6 x1 x2 ) 6 x1 x2
运筹学-单纯形-2012
§1.4 线性规划问题的几何解释对于只有两个变量的线性规划问题，可以在二维直角坐标平面上表示线性规划问题。
例1.8max z= x 1 +3x 2s.t. x 1 +x 2 ≤6 (1) -x 1 +2x 2 ≤8 (2) x 1, x 2 ≥0其中满足约束(1)的点⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21x x X 位于坐标平面上直线x 1+x 2=6靠近原点的一侧。
同样，满足约束(2)的点位于坐标平面上直线 -x 1+2x 2=8的靠近原点的一侧。
而变量x 1，x 2的非负约束表明满足约束条件的点同时应位于第一象限内。
这样，以上几个区域的交集就是满足以上所有约束条件的点的全体。
我们称满足线性规划问题所有约束条件（包括变量非负约束）的向量 X =(x 1，x 2，…，x n )T为线性规划的可行解（Feasible Solution ），称可行解的集合为可行域（Feasible Region ）。
例1.8的线性规划问题的可行域如图1.2中阴影部分所示。
为了在图上表示目标函数，令z=z 0为某一确定的目标函数值，取一组不同的z 0值，在图上得到一组相应的平行线，称为目标函数等值线。
在同一条等值线上的点，相应的可行解的目标函数值相等。
在图1.2中，给出了z=0，z=3，z=6，…，z=15.3等一组目标函数等值线，对于目标函数极大化问题，这一组目标函数等值线沿目标函数增大而平行移动的方向（即目标函数梯度方向）就是目标函数的系数向量C=(c 1,c 2,…,…,c n )T ；对于极小化问题，目标函数则沿-C 方向平行移动。
在以上问题中，目标函数等值线在平行移动过程中与可行域的最后一个交点是B 点，这就是线性规划问题的最优解，这个最优解可以由两直线x 1+ x 2=6 -x 1+2x 2=8 的交点求得314x ,34x 21==最优解的目标函数值为346314334x 3x z 21=⨯+=+= 为了将以上概念推广到一般情况，我们给出以下定义： 定义1.1 在n 维空间中，满足条件a i1x 1+a i2x 2+…+a in x n =b i的点集X =(x 1，x 2，…，x n )T称为一个超平面。
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2010年8月 管理工程学院
《运筹学》 运筹学》
6
表示第j个计划阶段新购的工具数 个计划阶段新购的工具数； 用xj表示第 个计划阶段新购的工具数； 表示第j阶段末送去慢修的工具数 阶段末送去慢修的工具数； yj表示第 阶段末送去慢修的工具数； zj表示第 阶段末送去快修的工具数； 表示第j阶段末送去快修的工具数 阶段末送去快修的工具数； sj表示 阶段木工具的存储数。 表示j阶段木工具的存储数 阶段木工具的存储数。 则每个阶段需用的工具数r 则每个阶段需用的工具数 j有以下关系式 rj= yj+ zj + sj + sj-1 (j=1,…,n) rj= xj (j=1,…,q+1) rj= xj+ zj-q-1 (j=q+2,…,p+1) rj= xj+ zj-q-1 +yj-p-1 (j=p+2,…,n) 且yn-p= yn-p+1=…= yn=0 zn-q= zn-q+1=…= zn=0
管理工程学院
xj,， yj ， zj ， sj ≥0
2010年8月
《运筹学》 运筹学》
8 ◆ 混合配料问题。某糖果厂用原料A、B、C 混合配料问题。某糖果厂用原料 、 、 加工成三种不用牌号的糖果甲、 加工成三种不用牌号的糖果甲、乙、丙。已知各 种牌号中A、 、 含量 原料成本， 含量， 种牌号中 、B、C含量，原料成本，各种原料的 每月限制用量，三种牌号糖果各多少公斤， 每月限制用量，三种牌号糖果各多少公斤，使该 厂获利最大。建立问题的线性规划模型。 厂获利最大。建立问题的线性规划模型。
17
x1 3 + x 2 3 ≤ 4 0 8 1 0 0 x1 4 + x 2 4 ≤ 1 3 0 1 0 0
x 产量约束为飞机汽油2的产量： 21 + x22 + x23 + x24 ≥ 250000
P 由物理中的分压定律， V =
∑
n
2.85 x11 − 1.42 x12 + 4.27 x13 − 18.49 x14 ≥ 0 2.85 x 21 − 1.42 x 22 + 4.27 x 23 − 18.49 x 24 ≥ 0 同样可得有关辛烷数的约束条件16.5x11 + 2.0 x12 − 4.0 x13 + 17.0 x14 ≥ 0
x11+ x12+ x13+
x21 + x22 + x23 +
x31 ≤ 100 x32 ≤ 100 x33 ≤ 60
(供应量限制） (供应量限制） 供应量限制 (供应量限制） (供应量限制） 供应量限制 (供应量限制） (供应量限制） 供应量限制
xij ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3
蒸汽压力(g/cm2) 产量需求 于9.96 ×10-2 于9.96 ×10-2 于 250000 管理工程学院
100 2010年8月
《运筹学》 运筹学》
解：设xij为飞机汽油i中所用标准汽油j的数量(L)。 x 目标函数为飞机汽油1的总产量： 11 + x12 + x13 + x14 库存量约束为： x 1 1 + x 2 1 ≤ 3 8 0 0 0 0 x1 2 + x 2 2 ≤ 2 6 5 2 0 0
管理工程学院
《运筹学》 运筹学》
9
分别代表原材料A、 、 解：用i=1,2,3分别代表原材料 、B、C ，用 分别代表原材料 j=1,2,3分别代表甲、乙、丙。设xij为生产第 分别代表甲、 为生产第j 分别代表甲 种糖果使用的第i种原料的公斤数 种原料的公斤数， 种糖果使用的第 种原料的公斤数，则问的 数学模型为： 数学模型为：
《运筹学》 运筹学》
1
第七节 应用举例
◆熟悉建立模型的方法步骤
2010年8月
管理工程学院
《运筹学》 运筹学》
2
建模是运筹学方法的核心和精髓。 建模是运筹学方法的核心和精髓。一个经 管理问题要抽象为数学模型， 济、管理问题要抽象为数学模型，须满足 下列几个条件： 下列几个条件： ①问题的目标能用某种效 益指标度量大小程度， 益指标度量大小程度，并能用线性函数描 述目标的要求； 述目标的要求； 达到目标有多种方案； ②达到目标有多种方案； ③要达到目标的约束条件可用线性等式或 不等式来描述。 不等式来描述。 工业原料的合理利用。 ◆工业原料的合理利用。
甲 A B C ≥60％ ％ ≤20％ ％ 乙 ≥30％ ％ ≤50％ ％ 0.40 2.85
2010年8月
丙
≤60％ ％ 0.30 2.25
成本 (元/kg) 2.00 1.50 1.00
月限制 用量(kg) 用量(kg) 2000 2500 1200
加工费(元 加工费 元/kg) 0.50 售价(元 售价 元/kg) 3.40
《运筹学》 运筹学》
5
方案选择。 ◆ 方案选择。 某厂计划期分为n各阶段 在第j(j=1,…,n)个 各阶段， 某厂计划期分为 各阶段，在第 个 阶段，生产上要用r 个专用工具。到阶段末， 阶段，生产上要用 j个专用工具。到阶段末， 凡在这个阶段内使用过的工具都应该送去修 理后才能再使用。修理分两种，一是慢修， 理后才能再使用。修理分两种，一是慢修， 即等某种规格工具积压到一定批量后集中修， 即等某种规格工具积压到一定批量后集中修， 每件b元 需要p个阶段能取回 个阶段能取回。 每件 元，需要 个阶段能取回。二是送去后 立即修，这样费用贵一些，每件c(c>b)元， 立即修，这样费用贵一些，每件 元 q(q>p)个阶段可取回。新购一个这样的工具 个阶段可取回。 个阶段可取回 需a(a>c)元。 元
2010年8月
管理工程学院
《运筹学》 运筹学》
4
设按Ⅰ种方案下料的原材料数 方案Ⅱ 设按Ⅰ种方案下料的原材料数x1根，方案Ⅱ 方案Ⅲ 方案Ⅳ 用x2根，方案Ⅲ用x3根，方案Ⅳ用x4根，方 根据表1-14可列出约束条件： 可列出约束条件： 案Ⅴ用x5根， 根据表 可列出约束条件
目标是使用料最少，即
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解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样 我们建立数学模型时，要考虑： 对于甲： x11，x12，x13； 对于乙： x21，x22，x23； 对于丙： x31，x32，x33； 对于原料1： x11，x21，x31； 对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料3： x13，x23，x33； 目标函数： 利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件： 规格要求 4 个； 供应量限制 3 个。
过原材料的供应限额， 过原材料的供应限额，故有 (x11+x21+x31)≤100 (x12+x22+x32)≤100 (x13+x23+x33)≤60 通过整理，得到以下模型： 通过整理，得到以下模型：
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目标函数： 目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 约束条件： 约束条件： s.t. 原材料1不少于50% 50%） 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0 （原材料1不少于50%） 原材料2不超过25% 25%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （原材料2不超过25%） 原材料1不少于25% 25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （原材料2不超过50%） 原材料2不超 运筹学》
例．某工厂要用三种原料1、 某工厂要用三种原料1 2、3混合调配出三种不同规格的 产品甲、 数据如右表。 产品甲、乙、丙，数据如右表。 该厂应如何安排生产， 问：该厂应如何安排生产，使利 润收入为最大？ 润收入为最大？
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产品名称 规格要求 单价（元/kg） 50 甲 原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不超过 25% 35 乙 原材料 1 不少于 25%，原材料 2 不超过 50% 25 丙 不限 原材料名称 1 2 3 每天最多供应量 100 100 60 单价（元/kg） 65 25 35
50（ +35（ +25（ Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33） 25（ 35（ -65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33） 65（ = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
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所以上述问题可描述为下面线性规划模型： 所以上述问题可描述为下面线性规划模型：
xj= rj xj+ zj-q-1= rj
(j=1,…,q+1) (j=q+2,…,p+1)
xj+ zj-q-1 +yj-p-1 = rj (j=p+2,…,n) yj+ zj + sj + sj-1 = rj (j=1,…,n) yj=0 zj=0 (j≥n -p) (j≥n-q)
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要制作100套钢筋架子，每套有长2.9m、2.1 套钢筋架子，每套有长 要制作 套钢筋架子 、 m和1.5m的钢筋各一根。已知原材料长 的钢筋各一根。 和 的钢筋各一根 已知原材料长7.4m， ， 应如何切割，使用原材料最节省。 应如何切割，使用原材料最节省。 解：所谓合理利用原材料，就是要使料头总 所谓合理利用原材料， 长最少。 是节省材料的几种较好方案。 长最少。表1.14是节省材料的几种较好方案。 是节省材料的几种较好方案
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表示第j个计划阶段新购的工具数 个计划阶段新购的工具数； 用xj表示第 个计划阶段新购的工具数； 表示第j阶段末送去慢修的工具数 阶段末送去慢修的工具数； yj表示第 阶段末送去慢修的工具数； zj表示第 阶段末送去快修的工具数； 表示第j阶段末送去快修的工具数 阶段末送去快修的工具数； sj表示 阶段木工具的存储数。 表示j阶段木工具的存储数 阶段木工具的存储数。 则每个阶段需用的工具数r 则每个阶段需用的工具数 j有以下关系式 rj= yj+ zj + sj + sj-1 (j=1,…,n) rj= xj (j=1,…,q+1) rj= xj+ zj-q-1 (j=q+2,…,p+1) rj= xj+ zj-q-1 +yj-p-1 (j=p+2,…,n) 且yn-p= yn-p+1=…= yn=0 zn-q= zn-q+1=…= zn=0
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xj,， yj ， zj ， sj ≥0
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8 ◆ 混合配料问题。某糖果厂用原料A、B、C 混合配料问题。某糖果厂用原料 、 、 加工成三种不用牌号的糖果甲、 加工成三种不用牌号的糖果甲、乙、丙。已知各 种牌号中A、 、 含量 原料成本， 含量， 种牌号中 、B、C含量，原料成本，各种原料的 每月限制用量，三种牌号糖果各多少公斤， 每月限制用量，三种牌号糖果各多少公斤，使该 厂获利最大。建立问题的线性规划模型。 厂获利最大。建立问题的线性规划模型。
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x1 3 + x 2 3 ≤ 4 0 8 1 0 0 x1 4 + x 2 4 ≤ 1 3 0 1 0 0
x 产量约束为飞机汽油2的产量： 21 + x22 + x23 + x24 ≥ 250000
P 由物理中的分压定律， V =
∑
n
2.85 x11 − 1.42 x12 + 4.27 x13 − 18.49 x14 ≥ 0 2.85 x 21 − 1.42 x 22 + 4.27 x 23 − 18.49 x 24 ≥ 0 同样可得有关辛烷数的约束条件16.5x11 + 2.0 x12 − 4.0 x13 + 17.0 x14 ≥ 0
x11+ x12+ x13+
x21 + x22 + x23 +
x31 ≤ 100 x32 ≤ 100 x33 ≤ 60
(供应量限制） (供应量限制） 供应量限制 (供应量限制） (供应量限制） 供应量限制 (供应量限制） (供应量限制） 供应量限制
xij ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3
蒸汽压力(g/cm2) 产量需求 于9.96 ×10-2 于9.96 ×10-2 于 250000 管理工程学院
100 2010年8月
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解：设xij为飞机汽油i中所用标准汽油j的数量(L)。 x 目标函数为飞机汽油1的总产量： 11 + x12 + x13 + x14 库存量约束为： x 1 1 + x 2 1 ≤ 3 8 0 0 0 0 x1 2 + x 2 2 ≤ 2 6 5 2 0 0
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分别代表原材料A、 、 解：用i=1,2,3分别代表原材料 、B、C ，用 分别代表原材料 j=1,2,3分别代表甲、乙、丙。设xij为生产第 分别代表甲、 为生产第j 分别代表甲 种糖果使用的第i种原料的公斤数 种原料的公斤数， 种糖果使用的第 种原料的公斤数，则问的 数学模型为： 数学模型为：
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第七节 应用举例
◆熟悉建立模型的方法步骤
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建模是运筹学方法的核心和精髓。 建模是运筹学方法的核心和精髓。一个经 管理问题要抽象为数学模型， 济、管理问题要抽象为数学模型，须满足 下列几个条件： 下列几个条件： ①问题的目标能用某种效 益指标度量大小程度， 益指标度量大小程度，并能用线性函数描 述目标的要求； 述目标的要求； 达到目标有多种方案； ②达到目标有多种方案； ③要达到目标的约束条件可用线性等式或 不等式来描述。 不等式来描述。 工业原料的合理利用。 ◆工业原料的合理利用。
甲 A B C ≥60％ ％ ≤20％ ％ 乙 ≥30％ ％ ≤50％ ％ 0.40 2.85
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丙
≤60％ ％ 0.30 2.25
成本 (元/kg) 2.00 1.50 1.00
月限制 用量(kg) 用量(kg) 2000 2500 1200
加工费(元 加工费 元/kg) 0.50 售价(元 售价 元/kg) 3.40
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方案选择。 ◆ 方案选择。 某厂计划期分为n各阶段 在第j(j=1,…,n)个 各阶段， 某厂计划期分为 各阶段，在第 个 阶段，生产上要用r 个专用工具。到阶段末， 阶段，生产上要用 j个专用工具。到阶段末， 凡在这个阶段内使用过的工具都应该送去修 理后才能再使用。修理分两种，一是慢修， 理后才能再使用。修理分两种，一是慢修， 即等某种规格工具积压到一定批量后集中修， 即等某种规格工具积压到一定批量后集中修， 每件b元 需要p个阶段能取回 个阶段能取回。 每件 元，需要 个阶段能取回。二是送去后 立即修，这样费用贵一些，每件c(c>b)元， 立即修，这样费用贵一些，每件 元 q(q>p)个阶段可取回。新购一个这样的工具 个阶段可取回。 个阶段可取回 需a(a>c)元。 元
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设按Ⅰ种方案下料的原材料数 方案Ⅱ 设按Ⅰ种方案下料的原材料数x1根，方案Ⅱ 方案Ⅲ 方案Ⅳ 用x2根，方案Ⅲ用x3根，方案Ⅳ用x4根，方 根据表1-14可列出约束条件： 可列出约束条件： 案Ⅴ用x5根， 根据表 可列出约束条件
目标是使用料最少，即
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解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样 我们建立数学模型时，要考虑： 对于甲： x11，x12，x13； 对于乙： x21，x22，x23； 对于丙： x31，x32，x33； 对于原料1： x11，x21，x31； 对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料3： x13，x23，x33； 目标函数： 利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件： 规格要求 4 个； 供应量限制 3 个。
过原材料的供应限额， 过原材料的供应限额，故有 (x11+x21+x31)≤100 (x12+x22+x32)≤100 (x13+x23+x33)≤60 通过整理，得到以下模型： 通过整理，得到以下模型：
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目标函数： 目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 约束条件： 约束条件： s.t. 原材料1不少于50% 50%） 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0 （原材料1不少于50%） 原材料2不超过25% 25%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （原材料2不超过25%） 原材料1不少于25% 25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （原材料2不超过50%） 原材料2不超 运筹学》
例．某工厂要用三种原料1、 某工厂要用三种原料1 2、3混合调配出三种不同规格的 产品甲、 数据如右表。 产品甲、乙、丙，数据如右表。 该厂应如何安排生产， 问：该厂应如何安排生产，使利 润收入为最大？ 润收入为最大？
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产品名称 规格要求 单价（元/kg） 50 甲 原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不超过 25% 35 乙 原材料 1 不少于 25%，原材料 2 不超过 50% 25 丙 不限 原材料名称 1 2 3 每天最多供应量 100 100 60 单价（元/kg） 65 25 35
50（ +35（ +25（ Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33） 25（ 35（ -65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33） 65（ = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
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所以上述问题可描述为下面线性规划模型： 所以上述问题可描述为下面线性规划模型：
xj= rj xj+ zj-q-1= rj
(j=1,…,q+1) (j=q+2,…,p+1)
xj+ zj-q-1 +yj-p-1 = rj (j=p+2,…,n) yj+ zj + sj + sj-1 = rj (j=1,…,n) yj=0 zj=0 (j≥n -p) (j≥n-q)
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要制作100套钢筋架子，每套有长2.9m、2.1 套钢筋架子，每套有长 要制作 套钢筋架子 、 m和1.5m的钢筋各一根。已知原材料长 的钢筋各一根。 和 的钢筋各一根 已知原材料长7.4m， ， 应如何切割，使用原材料最节省。 应如何切割，使用原材料最节省。 解：所谓合理利用原材料，就是要使料头总 所谓合理利用原材料， 长最少。 是节省材料的几种较好方案。 长最少。表1.14是节省材料的几种较好方案。 是节省材料的几种较好方案