2021考研数学高数必背定理：中值定理与导数的应用
中值定理及导数应用
应注意的问题： 如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论
就可能不成立。
y
y
y
B
A
B
A
B
A
aO
bx a O c bx a O
bx
f(x)不满足条件(1) f(x)不满足条件(2) f(x)不满足条件(3)
二、拉格朗日中值定理
观察与思考： 设连续光滑的曲线y=f(x) 在端点A、B处的纵坐标不
相等。
简要证明： 令 j(x)=f(x)f(a) f (b) f (a) (xa)，
ba
则函数j(x)在区间[a, b]上满足罗尔定理的条件，
于是至少存在一点x(a, b)，使j (x)=0，即
由此得
j (x)=f (x) f (b) f (a) =0，
ba
f(b)f(a)=f (x)(ba)。
f
(x)=
f(x)=
lim
xx
f (x) f (x ) 0， x x
f
(x)=
f(x)=
lim
xx
f (x) f (x ) 0， x x
因此必有f (x)=0。
罗尔定理： 如果函数y=f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a,
b)内可导，且有f(a)=f(b)，那么在(a, b)内至少在一点x ， 使得f (x)=0。
内可导，那么在(a, b)内至少有一点x，使得 f(b)f(a)=f (x)(ba)。
拉格朗日中值定理的几何意义：
y
C1
y=f(x) B
C2 A
O ax
hbx
拉格朗日中值定理：
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)
中值定理与导数的应用(高等数学)
(2) 函数的极值及其求法
定义 设函数f ( x )在区间(a , b0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x ,除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极大值; 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x ,除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极小值.
(
1 1 x
2
) 0.
f (1) f (1) 2 arcsin x arccos x (1 x 1). 2 又
又 f (0) arcsin 0 arccos 0 0 , 2 2 即C . 2
f ( x) C, x (1,1)
极值的第二判别法 设 f ( x ) 在x0 处具有二阶导数, 且 f ' ( x0 ) 0 , f '' ( x0 ) 0 , 那末 '' f (1)当 ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极大值; '' (2)当 f ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极小值.
' f 即 ( ) 0
(1)
(2) 拉格朗日中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)在 闭区间[a , b]上连续,在开区间(a , b ) 内可导, 那末在
(a , b ) 内至少有一点(a b ) ，使等式
( 2)
(1)
f (b ) f (a ) f ' ( )( b a ) 成立.
极值点可以是不可导点。
中值定理与导数的应用
中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础。
在实际应用中，中值定理与导数的应用非常广泛。
以下是一些具体的应用：
1.判断函数的单调性：通过导数可以判断函数的单调性，如果函数在某个区间内的导数大于0，则
该函数在这个区间内单调递增；如果函数在某个区间内的导数小于0，则该函数在这个区间内单调递减。
2.求函数的极值：导数可以用来求函数的极值。
如果函数在某一点的导数为0，则该点可能是函数
的极值点。
在判断出极值点后，可以通过求导数在该点的左右两侧的符号变化来确定该点是极大值点还是极小值点。
3.判断函数的凹凸性：通过二阶导数可以判断函数的凹凸性。
如果函数在某一点的二阶导数大于0，
则该函数在该点附近是凹函数；如果二阶导数小于0，则该函数在该点附近是凸函数。
4.求函数的拐点：在判断出函数的极值点和凹凸性后，可以进一步求出函数的拐点。
拐点的定义是
函数图像在该点处的切线发生弯曲的地方。
通过求一阶导数在该点的左右两侧的符号变化，可以判断出拐点的位置。
5.判断函数的不等式：通过导数还可以判断函数的不等式。
如果两个函数在某个区间内的导数符号
相反，则这两个函数在该区间内的函数值一定不相等。
6.最优化问题：在工程和经济学中，经常需要解决最优化问题。
使用微积分中的中值定理和导数可
以找到最优解。
例如，在经济学中，可以使用微积分来找到最大化收益或最小化成本的最佳策略。
总的来说，中值定理与导数的应用非常广泛，它们是微积分学的重要基石，可以用于解决各种实际问题。
4.中值定理导数的应用
二、拉格朗日中值定理
如果函数 f(x) (1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; 那么在(a,b)内至少有一点 ξ(a < ξ < b),使不等式
f (b) f (a) f ( )(b a)
成立. 注意: 与罗尔定理相比条件中 去掉了 f (a ) f (b). f (b) f (a ) 结论亦可写成 f ( ). ba
2 t 2
x2
例 设函数y = y(x)由方程 y ln y x y 0
确定, 试判断曲线y = y(x)在点(1, 1)附近的凹凸性
例 设 a e ,0 x y
y x
2 x 求证 a a (cos x cos y )a ln a
例 证明不等式
1 1 1 （当 x < 1 且 x 0 ) x ln(1 x )
例 已知f (x)在(−∞,+∞)内可导，且 lim f ( x) e， x x xc lim lim[ f ( x) f ( x 1)] ,求c 的值. x x c x
例 求函数 f ( x) ( x t )e dt 的单调区间与极值。 1
( 定义 使导数为零的点即方程 f ( x ) 0 的实根)叫 做函数 f ( x ) 的驻点.
点 注意: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 , 但函数的驻点却不一定 是极值点.
定理2(第一充分条件) 设函数f (x)在x0处连续,且 在x0某去心邻域内可导. (1)如果 x ( x0 , x0 ) ,有 f ( x) 0 ,而 x ( x0 , x0 ),
则称
则称
中值定理与导数的应用
中值定理与导数的应用导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
而中值定理则是导数的重要应用之一，它揭示了函数在某一区间内必然存在某一点，使得该点的斜率等于该区间的平均斜率。
在实际问题中，中值定理具有广泛的应用，可以帮助我们解决各种与变化率相关的问题。
让我们来了解一下中值定理的基本原理。
根据中值定理，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且在开区间(a, b)内可导，那么在(a, b)内至少存在一点c，使得函数在c处的导数等于函数在[a, b]上的平均斜率。
换句话说，函数在区间内的某一点的瞬时变化率与整个区间的平均变化率相等。
中值定理的一个重要推论是拉格朗日中值定理。
根据拉格朗日中值定理，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且在开区间(a, b)内可导，那么在(a, b)内至少存在一点c，使得函数在c处的导数等于函数在[a, b]上的斜率。
换句话说，拉格朗日中值定理给出了函数在某一区间内某一点的瞬时变化率与该区间的斜率之间的对应关系。
中值定理的应用非常广泛。
一个常见的应用是求函数在某一区间内的最大值和最小值。
根据极值存在定理，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，那么它在该区间内必然存在最大值和最小值。
根据中值定理，我们可以通过求函数在该区间内的导数为0的点，来确定函数的极值点。
另一个常见的应用是求函数的单调性。
根据中值定理，如果一个函数在某一区间内的导数恒大于0（或恒小于0），那么该函数在该区间内必然是递增的（或递减的）。
因此，我们可以通过求函数的导数来确定函数在某一区间内的单调性。
中值定理还可以用来解决一些与速度和加速度相关的问题。
例如，在物理学中，我们经常需要计算物体在某一时间段内的平均速度和瞬时速度。
根据中值定理，我们可以通过求物体在该时间段内的位移与时间的比值，来确定物体在某一时刻的瞬时速度。
中值定理是导数的重要应用之一，它可以帮助我们解决各种与变化率相关的问题。
中值定理及导数应用笔记
中值定理及导数应用笔记中值定理是微积分学中一个重要的定理，它的主要内容是，若在定义域上的某个闭区间上存在函数f(x)，其满足f（a）=f（b）且f 第一次导数在区间内存在，则必有存在一个定点c，使得f（c）=f （a）=f（b）以及f（c）=0，这个定点c就是中值定点。
中值定理的应用非常广泛，在定理的基础上我们可以对函数的最大值、最小值、极值点，以及函数的单调性、函数的奇偶性等等特性进行讨论、分析。
首先，我们来讨论二次函数的性质。
知函数f(x)=ax2＋bx＋c（a ≠0），利用中值定理，可以知道f(x)=2ax+b=0，解得x=-b/2a，即为函数的极值点。
者，我们可以利用中值定理来判断函数是否在某个区间内单调，即在定义域上的某个闭区间上用f(x)>0或f(x)<0来判断函数是否在该区间是单调递增或单调递减。
此外，中值定理还可以用来判断函数是否是奇函数或偶函数。
知函数f（x），如果f(-x)=f(x)，则定义为偶函数，此时f（x）在全定义域上的值都为0；如果f(-x)=-f(x)，则为奇函数，此时f（x）在任意定义域上均有值，且f(0)=0。
另外，中值定理还可以用于分析多元函数的极值点的性质及其存在的条件，以及在不同情况下求解极值点的方法。
多元函数中，若某个极值点对所有变量都满足偏导数为0，则此极值点为极大值点；如果有变量的偏导数大于0，则此极值点为极小值点。
最后，中值定理作为微积分的重要定理，在微积分的诸多数学问题的求解过程中发挥着至关重要的作用，它也被广泛用于物理学和工程学中的各种应用领域，以帮助人们求解多变量函数的极值点问题。
本文就以中值定理为主题，介绍了它的定义特性，原理及其应用，以期为大家带来一些有用的指导，同时帮助大家在实际应用中更加得心应手，从而掌握微积分的精髓。
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第四章.中值定理与导数的应用
第四章．中值定理与导数的应用要求掌握的内容：1、理解罗尔定理和拉格朗日中值定理2、会用洛必达法则求函数极限3、掌握函数单调性的判别方法4、了解函数极值的概念，掌握函数极值、最值的求法及应用5、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数的拐点和渐近线。
6、会描绘简单函数的图形一、罗尔定理如果函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；其中a不等于b；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0.罗尔定理的三个已知条件的直观意义是：f(x)在[a,b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；f(x)在内(a,b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在；f(a)=f(b)表明曲线的割线（直线AB）平行于x轴.罗尔定理的结论的直观意义是：在(a,b)内至少能找到一点ξ，使f'(ξ)=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB，也就平行于x轴.二、拉格郎日中值定理定义：如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)，上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理几何意义：若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直与x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在一点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行.三、罗比达法则洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
第四章 中值定理与导数的应用
3）在（a,b）内任一点 x 处
都不等于零.
则在区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得等式
（柯西公式） 成立. 在柯西定理中，当 F(x)=x 时，则有
，于是定理的结论变成
而这正是拉格朗日值定理的结论.因此拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，或者 说柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.
我们先看一下柯西中值定理的几何意义，然后再证明这个定理.
7
解：1）f(x)在[0，1]上连续：
2）f(x)在(0,1)内可导（
在
(0,1)内有定义)，故 f(x)满足拉格朗日中值定理的条件.
，
设
由此解得
（负根不在所给的区间内，舍去）
故取 =
，则有
成立.
即验证了拉格朗日中值定理对 f(x)=arctanx 在[0，1]上正确.
三、柯西中值定理
如果函数 f(x)和 F(x)满足条件： 1）在闭区间[a,b]上连续； 2）在开区间（a,b）内可导；
(图四) 因此它不满足条件 2），虽然满足条件 1）和 3），但定理结论不成立.从图形上看，显然没有水平 切线.
例 3． (x)=x,x∈[0,1]
函数 f(x)满足条件 1）和 2），但 f(0)≠f(1)(见图五)
(图五) 3
因此不满足条件 3），所以在（0，1）内不存在ξ，使
,也即定理的结论不成立.从图形上
看，显然也没有水平切线. （2）罗尔定理的三个条件是充分的，而不是必要的。即如果定理的三个条件不完全满足或
都不满足时，定理的结论也有可能成立.
例 4．
因为函数 f(x)在点
处不连续、不可导，
且
（见图六），
(图六) 所以 f(x)不满足罗尔定理的全部条件，但是我们可以在区间
中值定理及导数的应用(一)
的极大值点
中值定理及应用
2、若对于该邻域内任意的x(x x0 )
总有f (x) f (x0). 则称 f (x0)为函数
f (x) 的极小值，并称点 x0是 f (x)
的极小值点 函数的极大值与极小值统称为函 数的极值，极大值点与极小值点统
称为函数的极值点。
D、若函数 f (x)在点 x0 连续，则 f (x0)
一定存在
中值定理及应用
四、函数的最大值与最小值
定义
设函数y f (x) 在闭区间[a,b]上有定
义，设 x0 [a,b], 若对于任意 x [a,b], 恒有f (x) f (x0)[或f (x) f (x0) ]，则称 f (x0)
为函数f (x)在闭区间[a,b]上的最大(小) 值。称 x0为f (x) 在闭区间[a,b]上的最
x (x0, x0 )时，f (x) 0, 则函数
f (x)在点 x0处取得极大值 f (x0 );
2、若当 x (x0 , x0)时，f (x) 0, x (x0, x0 )时，f (x) 0, 则函数
f (x)在点 x0处取得极小值 f (x0 );
中值定理及应用
3、若当x (x0 , x0 ) 和 x (x0, x0 ) 时，f (x) 的符号相同，则函数 f (x)
故函数 y x 4 的单调区间是
x (2,0),(0,2)
应选D
中值定理及应用
用函数的单调性证明不等式是一种 常用的方法。
一般步骤为： 假设证明 f (x) g(x)(x D)成立。
1、设 F(x) f (x) g(x) 2、求导数F ( x)并根据已知条件
判断F ( x)的正负。 从而判断 F ( x)的增减性。
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2021考研数学高数必背定理：中值定理与导数的应用
1、定理（罗尔定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开
区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f（a）=f（b），那
么在开区间（a，b）内至少有一点ξ（a
2、定理（拉格朗日中值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ（a
3、定理（柯西中值定理）如果函数f（x）及F（x）在闭区间[a，b]
上连续，在开区间（a，b）内可导，且F’（x）在（a，b）内的每一点处均
不为零，那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使的等式[f（b）-f
（a）]/[F（b）-F（a）]=f’（ξ）/F’（ξ）成立。
4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、
∞-∞、00、1∞、∞0等形式。
5、函数单调性的判定法设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开
区间（a，b）内可导，那么：（1）如果在（a，b）内f’（x）
如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f’（x）=0的根及f’（x）不存在的
6、函数的极值如果函数f（x）在区间（a，b）内有定义，x0是（a，b）内的一个点，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的
定理（函数取得极值的必要条件）设函数f（x）在x0处可导，且在
x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f’（x0）=0.定理（定理（函数取得极值的第二种充分条件）设函数f（x）在x0处具有
二阶导数且f’（x0）=0，f’’（x0）≠0那么：（1）当f’’（x0
7、函数的凹凸性及其判定设f（x）在区间Ix上连续，如果对任意两
点x1，x2恒有f[（x1+x2）/2][f（x1）+f（x1）]/2，那么称f（x）定理设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内具有
一阶和二阶导数，那么（1）若在（a，b）内f’’（x）0，则f（x）在判断曲线拐点（凹凸分界点）的步骤（1）求出f’’（x）；（2）令f’’（x）=0，解出这方程在区间（a，b）内的实根；（3）对于（2
在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。