抽象函数解析式漫谈
抽象函数解析式漫谈
摘要:抽象函数问题是高考的热点内容,近几年全国各地的高考试题及各地模拟试题中不断出现了一些与抽象函数有关的函数类好题,既有着力对函数的概念、图象及性质等基础知识进行考查的,又有突出对函数的综合运用能力、逻辑思维能力及抽象概括能力进行考查的试题。
但学生显得力不从心,不知所措。
综观2000年来的高考数学试题,我们发现对于抽象函数的考查尤为突出,这正体现了《考试说明》中以思维能力为核心的宗旨。
因此,适度地加强对抽象函数问题的教学也就十分必要。
本文结合教学实践,对这一问题做些探讨。
关键词:抽象函数教学教法创造
一、从一道数学题谈起
例1.若f(x)是定义在r上的函数,且f(0)=1,并且对于任意的实数x、y,总有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的解析式。
解:(一)令x=0,则f(-y)=f(0)-y(-y+1)=y2-y+1,f(x)=x2+x+1,x ∈r
(二)令x=y,则
f(0)=f(x)-y(2x-y+1)=f(x)-x(x+1),f(x)=x2+x+1,x∈r
例2.若f(x)是定义在r上的函数,且 f(0)=1,并且对于任意的实数x,y,总有f(x+y)=f(x)+y(2x+y+1),求f(x)的解析式。
解:(一)令x=0,则f(y)=f(0)+y(y+1)=y2+y+1,f(x)=4x2+2x+1,x ∈r
(二)令x+y=0,则f(0)=f(x)+y=f(x)+(-2x),f(x)=2x+1,x∈r
两种方法解得的结果不一样。
二、抽象函数的重要性
函数是贯穿在中学数学中的一条主线,每年高考对函数问题的考查所占的比例都相当大,可以说是常考常新。
尤其是导数和向量进入了中学数学教材之后,给函数问题注入了生机与活力,开辟了许
多新的解题途径,拓宽了高考对函数问题的命题空间。
人们习惯于借助函数的图象或通过对函数解析式的操作演练,来解证有关函数的问题,抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图象,但给出了函数满足的一部分性质或运算法则。
此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力,又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力,以及对一般和特殊关系的认识。
因此备受命题者的青睐,在近几年的高考试题中不断地出现。
然而,由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性,大多数学生在解决这类问题时,感到束手无策。
三、抽象函数窥探
f(y)-f(x)=(x-y)(ax+by+c)型抽象函数的解析式
首先证明f(x+ay)-f(x)=y(bx+cy+d)?圳
f(y)-f(x)=(x-y)(ax+by+c)
证明:充分性
令x+ay=s,x=t
f(x+ay)-f(x)=y(bx+cy+d)可化为
f(s)-f(t)=(bt+c+d)(s-t)(a1s+b1t+c1)
即f(y)-f(x)=(x-y)(ax+by+c)
必要性同理可证
对于满足条件f(x+ay)-f(x)=y(bx+cy+d),f(0)=m的抽象函数,有以下两种类型
类型一 ab=2c
(一)令x=0,则f(ay)-f(0)=y(cy+d)
f(x)=(c+d)+m=x2+x+m
(二)令x+ay=0,f(0)-f(x)=-(bx-c+d)
f(x)=(bx-c+d)+m=x2+x+m
类型二 ab≠2c
令x=0,则f(ay)-f(0)=y(cy+d)
f(x)=(c+d)+m
不适宜用上述类型题中的第二种方法。
总结:有关抽象函数问题中往往会给出函数所满足的等式或不等式,因此在解决有关问题时,首先应对所要证明或求解的式子作结构上的变化,使所要证明或求解的问题的结构与已知的相同,这些变形起了重要的作用,因为是这些变化创造了使用条件的机会,也创造了解决问题的捷径。
另外,有关抽象函数问题中所给的函数性质往往是对定义域内的一切实数都成立的,因此根据题意,将一般问题特殊化,选取适当的特值(如令x=1,y=0等),这是解决有关抽象
函数问题的非常重要的策略之一。
总之,抽象函数问题求解,用常规方法一般很难奏效,但我们如果能通过对题目的信息分析与研究,采用特殊的方法和手段求解,往往会收到事半功倍的效果,同时在运用这些策略时要做到密切配合,相得益彰。
参考文献:
[1]教材完全解读.中国青年出版社.
[2]高中数学优秀教案(必修)1.南方出版社.
[3]数学高1上/世纪金榜.全程学习方略.延边大学.
作者单位:湖北鹤峰县第一高级中学。
求抽象函数解析式的常用方法
求抽象函数解析式的常用方法
求抽象函数解析式是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的特性，从而更好地求解函数。
那么，求抽象函数解析式的常用方法有哪些呢？
首先，我们可以使用极限法来求抽象函数解析式。
极限法是一种求解函数的方法，它可以帮助我们求出函数的极限，从而求出函数的解析式。
其次，我们可以使用微积分的方法来求抽象函数解析式。
微积分是一种求解函数的方法，它可以帮助我们求出函数的导数，从而求出函数的解析式。
此外，我们还可以使用数学归纳法来求抽象函数解析式。
数学归纳法是一种求解函数的方法，它可以帮助我们求出函数的递推公式，从而求出函数的解析式。
总之，求抽象函数解析式的常用方法有极限法、微积分法和数学归纳法。
这些方法都可以帮助我们更好地理解函数的特性，从而更好地求解函数。
因此，在求抽象函数解析式时，我们应该根据实际情况选择合适的方法，以便更好地求解函数。
抽象函数的分析与探讨
关于“抽象函数的分析与探讨”一课的教学案例南洋中学李瑾数学抽象概括能力是数学思维能力之一，也是数学能力的核心。
它具体表现为对事物概括的独特能力，发现在普遍现象中存在着差异的能力，在各类现象间建立联系的能力，分离出问题的核心和实质的能力，由特殊到一般的能力，从非本质的细节中使自己摆脱出来的能力，把本质的与非本质的东西区分开来的能力，善于把具体问题抽象为数学模型的能力等方面。
在数学抽象概括能力方面，不同数学能力的学生有不同的差异。
具有数学能力的学生在收集数学材料所提供的信息时，明显表现出使数学材料形式化，能迅速地完成抽象概括的任务，同时具有概括的欲望，乐意地、积极主动地进行概括工作。
所以，对于身心日趋成熟的高中学生来说，教师要有意识地在教学中培养学生的抽象概括能力。
本课时就是安排在高一学生在进行一个月的函数学习和思维训练以后，作为一个函数复习内容出现。
同样一个内容，在高三讲解时，教师侧重于该类型问题的解答方法等。
但是作为高一学生，我觉得着眼点应该在于学生对函数性质的操作运用，也就是说，这节课应该以让学生进一步复习掌握函数的性质作为主要目的，其次才是试图通过这节课让学生开始对数学的抽象思维略作尝试。
而对于这堂课的思考是基于学生对于函数理解的思维习惯引入的，因为高一学生的对函数的理解是这样的：高一新生原有的储备知识：一次函数、反比例函数、二次函数；进入高一后进一步学习二次函数、()1f x xx=+型函数；在了解了这些具体函数以后，开始研究函数的性质；而函数性质的总结就是为今后学习更多的具体函数：幂、指、对函数和三角函数等。
新教材在这个方面的层次相当明确，其实一种“具体数量关系——抽象模式——具体数量关系”的过程，它即符合学生的思维习惯，又能引领学生踏上“实践——探索——再实践”的思维征程。
所以，在高一第三章函数结束、第四章幂、指、对函数开始之前是培养学生抽象思维的大好时机。
在本课设计中，我把本课时分成两条线索进行操作：在第一条线索中，每一个部分担当不同的角色：在例1中我把所有上述元素融入其中，在第一问题中就使学生想到很多有价值的结论，为后来几个问题解决作了铺垫。
浅议高中数学中抽象函数问题的解法
浅议高中数学中抽象函数问题的解法本文从多个方面介绍了数学抽象函数的应用，特别是从平移的角度说明了抽象函数的对称问题，并就典型例题加以分析解答，对学生的常见错误进行了剖析。
抽象函数的有关内容一直是学生学习的一个难点，关于抽象函数题目类型较多，形式灵活多变，考查内容无论从深度和广度，给人耳目一新的感受，现就其中几个主要问题加以分类解析。
一、求抽象函数的定义域1. 若已知函数f [g(x)]的定义域为x∈(a，b)，求函数f(x)。
解决这类问题的方法是：利用a例1. 已知函数f(x+1)的定义域是[-2，3]，求y=f(x)的定义域。
解：因为函数f(x+1)的定义域是[-2，3]，所以-2≤x≤3所以-1≤x+1≤4，因此y=f(x)的定义域是[-1，4]2. 若已知函数f(x)的定义域为x∈(a，b)，求f [g(x)]函数的定义域。
解决这类问题的方法是：a例2. 已知函数f(x)的定义域为(0，1]，求函数g(x)=f(x+a)+f(x-a)(-解：因为函数f(x)的定义域为(0，1]所以0由于-所以不等式组(∈)的解为-a即g(x)=f(x+a)+f(x-a)(-二、抽象函数的周期性和奇偶性1. 抽象函数的周期性例3. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(x+2)，且当x∈(-1，1]时，f(x)=x2+2x，求当x∈(3，5]时，f(x)的解析式。
解：∈f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x)∈f(x)是以4为周期的周期函数设x∈(3，5]时，则-1∈f(x)=f(x-4)=(x+4)2+2(x-4)=x2-6x+8(3评注：若对函数f(x)定义域内的任意，恒有下列条件之一成立(以下式子分母不为零，a≠0)①f(x+a)=-f(x) ②f(x+a)= ③f(x+a)=-④f(x+a)=- ⑤f(x+a)=- ⑥f(x+a)=f(x-a)则函数f(x)是以2a为周期的周期函数①2. 抽象函数的奇偶性奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，有时为了便于判断函数的奇偶性，也往往需要先将函数进行化简，或运用定义的等价形式，但对于抽象函数的奇偶性的判断主要是用赋值法，构造出定义的形式。
抽象函数定义域、值域、解析式
抽象函数的定义域1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 例2已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 分析：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．这种情况下，()f x 的定义域即为复合函数[]()f g x 的内函数的值域。
高中抽象函数解法探究
） 是奇 函数得 ，
２
・
．
。 ） ＝
） － ｆ （ 。 ）
： ） 一 。 ） ＝
例４ 已知函数 ） 在区间（ 一 ， ＋ 。 。 ） 上是增函数 ， ｎ 、 ｂ∈ｔ ｌ ， （ １ ） 求证 ： 若ａ ＋ ｂ ≥０ ， 则 ０ ） ＋ ６ ） ≥ 一 Ⅱ ） ＋ ６ ） ； （ ２ ） 判断 （ １ ） 中命 题的逆命 题是否正确 ， 并 证 明你 的结 论 。 证明 ： （ １ ） 由０ ＋ ６ ≥０ ， 得Ⅱ ≥一 ｂ ， 由 函数厂 （ ） 在 区 间（ 一 。 。 ， ＋ 。 。 ） 上 是 增 函数 ， 得
１ ． 赋 特 殊 值
赋值 主要 从 以下 方面 考虑 ： ① 令 ＝ …， 一 ２ ， 一 １ ， ０ ， １ ， ２ ， …特殊值求 抽象函数 的函数值 ； ②令 ， Ｙ ＝
威 ， 且即 ， 判定抽象 函数 的单调性 ； ③令 ＝ ，
ｌ
抽象 函数虽然 没有给 出具体 的解析式 ， 但 它的 特征 是通过各种各 样 的性质反 映出来 的， 只要充分 利用 题设 条件 已表 明的或 通过挖 掘 隐含 的函数性 质， 利用图像就能顺利解决抽象型函数问题 。 抽象 函数解题时常要用到 以下结论 ： 定理 １ ： 如 果 函数 ｙ － ｆ （ ） 满 足 ａ ＋ Ｘ ） ＝ ６ 一） ， 则 函数ｙ ＝ ） 的图像关 于 ＝ （ ａ ＋ ｂ ） ／ ２ 对称 。 定理 ２ ： 如 果函数 ， ， ＝ ） 满足 口 批） ＝ ｂ ＋ ｘ ） ， 则 函数ｙ ＝ ） 是一个周期 函数 ， 其周期应为Ｉ ｂ — ａ ｌ 。 例３ ） 是定义在Ｒ 上 的偶函数 ， 且 ） ４ ） ， 证 明 ） 是 周 期 函数 。 分析： 一 般地 ， 若 函数 ） 满足 。 ） ： ｎ ） ， 则直线 ＝ ｎ 是 函数 图像 的对称轴 ， 又， （ ） 是 定义在Ｒ 上的偶 函数 ， 图像 关于ｖ 轴对 称 ， 利用对称性 ， 数形结 合， 那 么就可 以化无形 为有形 ， 化抽象为具体 。从 图 上直观地判断 ， 然后再作证 明。 由图可直 观得 ／ ＇ － ４ ， 要证其 为周期 函数 ， 只需证
浅谈抽象函数的性质
抽象函数是数学家和计算机科学家研究计算机程序中的概念的一种重要的方法。
它的定义是：一种数学模型，用于表示一组输入和输出，不涉及具体的实现细节。
抽象函数具有以下性质：第一，抽象函数可以表达复杂的逻辑关系。
抽象函数可以帮助更好地描述一组输入和输出之间的关系，而不必涉及实现细节。
例如，有一个函数f（x），它表达的逻辑关系是：如果x是一个正数，则f（x）=x+1，如果x是一个负数，则f（x）=x-1。
这个函数可以用抽象函数来表达，而不必知道具体的实现细节。
第二，抽象函数可以分解复杂的逻辑关系。
抽象函数可以将一个复杂的逻辑关系分解成若干个简单的逻辑关系，以便更容易理解。
例如，有一个函数g（x），它表示的逻辑关系是：如果x是一个正数，则g（x）=x+1，如果x是一个负数，则g（x）=x-2，如果x是0，则g（x）=x+3。
这个函数可以用两个抽象函数来表达，即g1（x）=x+1，g2（x）=x-2，这样就可以将复杂的逻辑关系分解成两个简单的逻辑关系，这样就更容易理解。
第三，抽象函数可以抽象出实现细节中的重要特征。
一个函数的实现可能会有很多细节，抽象函数可以抽取出实现细节中的重要特征，从而使得程序的运行更加高效。
例如，有一个函数h （x），它表示的逻辑关系是：如果x是一个正数，则h（x）=x+1，如果x是一个负数，则h （x）=2*x，如果x是一个零，则h（x）=x+2。
这个函数可以用一个抽象函数h（x）=x+1来表达，这样就能抽取出实现细节中的重要特征，使得程序的运行更加高效。
第四，抽象函数可以提高程序的可读性和可维护性。
由于抽象函数可以抽象出程序的重要特征，把复杂的逻辑关系分解成若干个简单的逻辑关系，从而使程序更容易理解，也更容易维护。
以上就是关于抽象函数的性质的介绍，抽象函数是一种强有力的工具，它可以更好地描述一组输入和输出之间的关系，分解复杂的逻辑关系，抽取实现细节中的重要特征，提高程序的可读性和可维护性，为程序的运行提供更好的性能。
求解抽象函数问题的思路
探索探索与与研研究究抽象函数是函数中的重要知识.这类函数通常没有具体的解析式，因而抽象函数问题具有较强的抽象性.那么如何求解抽象函数问题呢？下面重点谈一谈三类抽象函数问题的解法.一、求抽象函数的值由于抽象函数没有具体的解析式，所以在求抽象函数的值时，通常需根据函数的关系式、某个点的坐标，以及抽象函数的性质：单调性、周期性、奇偶性来求函数的值.同时要关注一些特殊点，如零点、原点、对称点等的值，以找到更多的条件，顺利获得相应的函数值.例1.已知f(x)的定义域为R，f(x+2)=1-f(x)1+f(x)，f(-2)=1-3，则f(2006)=().A.2-3B.1-3C.2+3D.1+3解：∵f(x+4)=f()()x+2+2=1+1+f(x)1-f(x)1-1+f(x)1-f(x)=-1f（x），且f(x+8)=f()()x+4+4=1-11f(x)=f(x)，∴函数f(x)为周期函数，且周期为8，∴f(2006)=f(8×250+6)=f(6)=f(-2+8)=f(-2)=1-3.∴本题的答案为B项.解答此题，需从已知的函数关系式入手，通过恒等变换，求得函数的周期.然后根据已知点的坐标和函数的周期性求函数的值.二、求抽象函数的定义域函数的定义域往往受函数的对应法则、自变量影响，要求抽象函数的定义域，需先明确函数的对应法则以及自变量.通常可通过变换函数的自变量，利用函数的单调性、周期性、奇偶性来进行等量代换，从而求得抽象函数的定义域.例2.已知函数f(x)的定义域为[0，3]，求函数f(3x+2)的定义域.解：因为函数f(x)的定义域为[0，3]，所以0≤x≤3，则0≤3x+2≤3，解得-23≤x≤13，故函数f(3x+2)的定义域为[-23,13].解答本题，关键要明确f(x)中的x与f(3x+2)的3x+2的意义相同，那么二者的取值范围一致，据此建立不等式，解该不等式即可求出函数的定义域.三、抽象函数的奇偶性问题对抽象函数的奇偶性问题，通常要先根据已知的函数关系式，函数的单调性、周期性来选择合适的值进行赋值、代换；再根据奇函数、偶函数的定义判断出函数的奇偶性.一般地，若f(-x)=-f(x)成立，则该函数为奇函数；若f(-x)=f(x)成立，则该函数为偶函数.赋值法是解答抽象函数问题的基本方法之一.例3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上是单调递增的.如果实数t满足f(ln t)+fæèöøln1t≤2f(1)，那么t的取值范围是______.解：由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(ln t)=fæèöøln1t，由f(ln t)+fæèöøln1t≤2f(1)，得f(ln t)≤f(1).又函数f(x)在区间[0，+∞)上是单调递增的，所以|ln t|≤1，即-1≤ln t≤1，故1e≤t≤e.由于已知函数为偶函数，所以可以先根据偶函数的定义判断出f(ln t)与fæèöøln1t的关系；然后根据已知关系式判断出f(ln t)与f(1)的大小关系，进而根据函数单调性的定义判断出函数的单调性，建立关于t的不等式，求得问题的答案.例4.若定义域为R的函数f(x)在(4，+∞)上为减函数，且函数y=f(x+4)为偶函数，则().A.f(2)>f(3)B.f(2)=f(6)C.f(3)=f(5)D.f(3)>f(6)解：∵y=f(x+4)为偶函数，∴f(-x+4)=f(x+4)，∴y=f(x)的图象关于直线x=4对称，∴f(2)=f(6)，f(3)=f(5).又y=f(x)在(4,+∞)上为减函数，∴f(5)>f(6)，所以f(3)>f(6).故本题的答案为BCD.解答本题，需灵活运用抽象函数的单调性、奇偶性、对称性，并根据选项中的数值对函数进行赋值，才能顺利得到正确的答案.由此可见，解答抽象函数问题，关键在于研究已知关系式和函数的性质，必要时需对函数进行赋值，以得到更多的条件，为解题提供更多的依据.(作者单位：江苏省滨海中学)王颖53Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
关于抽象函数的一点思考.doc
关于抽象函数的一点思考陈磊在函数部分的综合题中我们常常遇见一类抽象函数问题。
这类问题山于条件中没有给出具体的函数解析式，血只给出该函数所具备的某些性质，所以大家求解此类问题时往往感到很棘手。
事实上，这类问题一般都是以基本初等函数作为模型，只要我们认真分析，善于联想，挖掘出作为模型的函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，必能为我们的解题提供思路和方法。
下而略举数例加以说明。
一、以正比例函数为模型例1.已知是定义在R上的函数，对任意的都有f(x+y) =f(x) ,且当x>0时，<0, /Cl) =—2。
问当一3<A:<3时，函数f (x)是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理山。
分析：我们知道,正比例函数了(x) = kx (k L 0)满足f(x ±y) = /(x) ± /(y) o根据题设，我们可推知本题是以函数/(x) =-2<作为模型设计的问题。
于是，我们可以判定函数f (x)的奇偶性、单调性入手来求解。
解：令x=y=0,则f (0+0) =f (0) +/ (0),解得f(0) =0又因为/(X)+/(―x) =f(x~x) =f(0) =0所以f(~x) =f(~x)即函数f (x)为奇函数。
设X] > x2 G /?, X} < x2 ,则x2一> 0依题意，有f(x2 -X]) < 0= /(x2) + /(-X|) = /(x2一M)<0所以，/(^)</(^)2即函数f(X)在R上是减函数。
因此，函数f(X)当一3< A < 3时有最大值/(一3)，旦%1.以一次函数为模型例2.定义在R 上的函数.“x)满足/(x + y) + l = /(x) + /(y)，/(-) = 0, Kx>- 时,f (x) <0o(1)设％ = f(n) (n E N *),求数列的前n项和S n；(2)判断f (x)的单调性，并证明。
抽象函数的解法探究
抽象函数的解法探究【摘要】 由于抽象函数表现形式的抽象性，其隐含的信息深藏不露，很多学生难以掀开其“神秘的面纱”,解题时感到无从下手，使得这类问题是函数教学的难点之一.本文从五方面探究解抽象函数的方法和技巧.【关键词】 抽象函数；赋值：具体模型；图象；构造抽象函数的背景是学生熟悉的指数函数、对数函数、幂函数等.抽象函数的抽象性赋予它丰富的内涵和多变的思维价值，可以考查类比猜想，逻辑推理能力、抽象思维能力、探究能力和创新精神，故是高考命题青睐的题型，常在考题中出现.对于抽象函数题，虽然“抽象”，有摸不着的感觉,但是，根据题目所给的条件特征,还是有一定的对应解法准则可循.这是破解这类题的关键,下面举例说明.1 根据函数奇偶性、单调性、周期例1.1 设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时f(x)是单调函数，则满足()3f x f ()4x x ++＝的所有x 之和为 .解：∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x)=f(|x|).()33f x f (),f (|x |)f()44x x x x ++=++由＝可得，()3x 0f x 4x x x +>=+又当时,是连续单调函数，故. ∴x 2+3x-3=0或x 2+5x+3=0.由韦达定理,可得满足条件的所有x 之和为-3-5=-8.例1.2 设偶函数f(x)在[0,+∞)上为减函数，求不等式f(x-1)>f(2x+1)的解集.解：∵f(x)是偶函数，∴f(x-1)>f(2x+1)化为f(︱x-1︱)>f(︱2x+1︱).∵f(x)在[0,+∞)上为减函数，∴︱x-1︱<︱2x+1︱，∴原不等式的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).评析：在两个例题的解答中，利用了偶函数的定义f(-x)=f(x)=f(︱x ︱)，避免了对34x x ++x 与，x-1与2x+1符号的讨论.同时也利用函数的单调性定义，去掉表示函数对应法则的符号f,继而解方程或不等式.例1.3 已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(2)=2，求f(2012)的值.解：若f(x)=1,则已知等式左边等于0，右边等于2，故f(x)≠1.1()1(2)1(2).(4),(8)().1()1(2)()f x f x f x f x f x f x f x f x f x +++∴+=+==-∴+=--+故函数f(x)的周期为8，从而()1(2)(2012)(25184)431(2)f f f f f +=⨯+===--. 评析：已知x=2的函数值，求x=2012的函数值，从2到2012差距可大，显然应从函数周期方面思考，找出f(2012)与f(2)关系.2 赋值法例2.1 已知函数f(x)的定义域为(-1,1)，且对任意x,y ∈(-1,1),都有()()()1x y f x f y f xy--=- , 判断函数f(x)的奇偶性.()()()1x y f x f y f xy--=-解：在中，令x=y=0，得f(0)=0；令x=0,得f(0)-f(y)=f(-y),所以f(-y)=-f(y).且函数f(x)的定义域为(-1,1)是关于原点对称，故函数f(x)是奇函数.例2.2 已知函数f(x)的定义域是x ∈R 且x ≠0，对任意不等于零的实数x,y,都有f(x ·y)=f(x)+f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性．解：在f(x ·y)=f(x)+f(y)中，赋值x=-1,y=1,则f(-1×1)=f(-1)+f(1),∴f(1)=0.赋值x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1),∴f(-1)=0.赋值y=-1,则f(-x)=f(x)+f(-1),∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数.评析：根据已知条件以及所要达到的目标，对变量恰当赋值.3 根据函数的具体模型3.1 一次函数模型例3.1 已知函数f(x)对任意实数x ，y ，均有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x ＜0时，f(x)＜0，f(1)=2，求f(x)在区间[-1,3]上的取值范围.分析：依题设可知，函数f(x)的具体模型是一次函数y=2x.根据一次函数的性质可得到解题思路：判断函数f(x)的单调性和奇偶性.解：设x 1,x 2∈R,且x 1＜x 2 ,则x 1- x 2＜0，∵当x ＜0时，f(x)＜0，∴f(x 1-x 2)＜0.∴f(x 1)=f[x 2+(x 1-x 2)]=f(x 2)+f(x 1-x 2)＜f(x 2).∴ y =f(x)在R 上为递增函数.在条件f(x+y)=f(x)+f(y)中，赋值x=y=0,则f(0)=2f(0)∴f(0)=0.再令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),即 f(-x)=-f(x), 故f(x)为奇函数.∴ f(-1)=-f(1)=-2，又f(3)＝f(1)+f(2)=3f(1)=6.∵y =f(x)在R 上为递增函数，∴f(-1)≤f(x)≤f(3),故f(x)在区间[-1,3]上的取值范围是[-2,6].3.2 对数函数模型例3.2 设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函数，满足f(x ·y ）=f(x)+f(y),f(3)=1.（1）求f(1)；（2）若f(x)+f(10-x)≤2,求x 的取值范围.分析：依题意可推测f(x)的3log y x =具体模型是对数函数,利用这一具体函数的性质寻找解题突破口. 如:(1)猜测f(1)=0.事实上，令x=y=1,得f(1)=0.（2）猜测2=f(9).事实上，令x=y=3,得f(9)=2.将f(x)+f(10-x)≤2化为f （10x-x 2）≤f(9),再根据函数的定义域和单调性，可求得x ∈(0,1]∪[9,10).3．3 指数函数模型例3.3 设f(x)定义在实数集R 上，当x ＞0时，f(x)＞1,且对任意实数x 、y ，f(x+y)=f(x)·f(y)都成立，且f(1)=2.(2)(3)(4)(2012)(1)(1)(2)(3)(2011)f f f f f f f f +++⋅⋅⋅+求和式的值； (2)解不等式f(3x-x 2)＞4.分析：由题设可知，抽象函数f(x)2x =的具体模型是指数函数y .因为f(x)具有y=2x 的一些性质，所以受y=2x一些性质的启发，可得到解题思路.（1）利用函数具体模型，令x=1,2,3…2011,2012代入f(x)=2x ,可得所求和式的值.当然，作为解答题要写出推理演算过程.事实上，在f(x+y)=f(x)·f(y)中，赋值y=1可得f(x+1)=f(x)f(1)， (1)(1)2()f x f f x +==即，由此所求和式的值为2×2011=4022.（2）由函数具体模型，猜测4=f(2).事实上，令x=y=1,可得f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=4，故原不等式化为f(3x-x 2)＞f(2).同样，可猜测函数f(x)是单调递增函数.至此，解题思路已清晰.可见，根据题中所给的条件，寻觅到抽象函数的具体模型，往往也就让我们找到了打开解题之门的金钥匙.下面证明函数f(x)在R 上单调递增.在f(x+y)=f (x)·f(y)中，赋值x=y=0，得f(0)=f 2（0），若f(0)=0，则在f(x+y)=f (x)·f(y)中，令x ＞0，y=0,可得f(x)=0,与f(x)＞1矛盾．所以f (0)≠0，故f(0)=1.当x ＞0时，f(x)＞1＞0；当x ＜0时，－x ＞0，f(－x)＞1＞0 ，∵f (x)·f(－x)=f(x-x)=f(0)=1，∴ 1()0()f x f x =>-.当x=0时，f(0)=1＞0，∴对任意x ∈R ，都有f(x)＞0．设x 1,x 2∈R,且x 1＜x 2 ,则x 2-x 1＞0，根据已知条件，得f(x 2-x 1)＞1， 又f(x 1)＞0，∴f(x 2)=f[x 1+(x 2-x 1)]=f(x 1)·f(x 2-x 1)＞f(x 1)，∴ y =f(x)在R 上为递增函数.3.4 幂函数模型例3.4 已知函数f(x)对任意实数x 、y 都有f(xy)=f(x)·f(y)，且f(-1)=1,f(27)=9,．当0≤x ＜1时，0≤f(x)＜1.（1）判断f(x)的奇偶性；（2）判断f(x)在[0,+∞)的单调性,并给出证明；（3）解不等式()f x 2+≥分析：根据题设可推测f(x)的具体模型是幂函数y = x 32,利用这一具体函数的性质找到解题思路:证明f(x)是偶函数，在[0,+∞)上是增函数.解：（1）在f(xy)=f(x)·f(y)中，令y=-1，则f(-x)=f(x)·f(-1),∵f(-1)=1,∴f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数．（2）设0≤x 1＜x 2，1201x x ≤<则, ∵当x≥0时f(x)≥0，且当0≤x＜1时，0≤f(x)＜1．120()1x f x ∴≤<, ∵f(xy)=f(x)·f(y), ∴11122222()()()()()x x f x f x f x f f x x x =⋅=⋅<, ∴故函数f(x)在[0,+∞)上是增函数.（3(3)f =，仿照例2方法可解．评析：高中阶段遇到的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能根据题设中抽象函数的性质，通过类比，猜想出它可能为某种基本函数，常可觅得解题思路．4 利用函数图象例4.1 设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，且f(1)=0，则不等式()()0f x f x x--<的解集为 . 分析：∵奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，f(1)=0,∴f(x)的图象关于原点对称（如图）.∵f(-x)=-f(x),∴原不等式化为2()0f x x<，可知f(x)与x 异号.由图象可得不等式解集(-1,0)∪(0,1).评析：函数图象是函数性质最直观的体现，利用图象可以将抽象函数所隐含的信息表现无遗. 5 构造法5.1 积商式构造例5.1 已知定义域为R 的函数f(x)同时满足以下两个条件：①当x=0时，f(x)=0；当x ＞0时，f(x)＜0；当x ＜0时，f(x)＞0.②对任意实数x 、y,都有f(x ·y)=-f(x)·f(y)成立.（1）证明：对任意不等于零的实数x 与任意实数y ，()()()y f y f x f x =-都成立；（2）若函数f(x)除了满足条件①②之外，还满足条件③：当0＜x ＜1时，f(x)＜-1. 判断f(x)在(0,+∞)上的单调性，并用定义进行证明.解：（1）设x ∈R,且x ≠0，则f(x)≠0，由f(x ·y)=-f(x)·f(y)，得()()()((),()()y y y f y f y f x f f x f x x x f x =⋅=-⋅∴=- . （2）设x 1＞x 2＞0,2101x x <<则， 根据条件③以及(1)的结论，得222111(()()1,1()()f x x f x f f x x f x -=<->）即,根据条件①可知f(x 1)＜0, ∴f(x 1)＞f(x 2).因此，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.评析：解(1)小题时，结合条件②中的积式等式与要证结论中的商式等式，巧妙地构造出积的形式：()()y f y f x x=⋅ ，这样一来就可以利用已知条件，同时出现了所要证明的商式等式,一举两得. 5.2 和差式构造例5.2 已知函数f(x)对任意的a 、b ∈R ，满足：f(a+b)=f(a)+f(b)-6；当a ＞0时，f(a)＜6；f(-2)=12.（1）求f(2)的值；（2）求证：f(x)是R 上的减函数；（3）若f(k-2)＜f(2k)-3,求实数k 的取值范围.解：(1) 在f(a+b)=f(a)+f(b)-6中，令a=0,得f(b)=f(0)+f(b)-6，故f(0)=6.令a=2,b=-2，得f(0)=f(2)+f(-2)-6,∵f(-2)=12，∴f(2)=0.(2)设x1＞x2,由条件f(a+b)=f(a)+f(b)-6，得f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)-6,即f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)-6，∵当a＞0时，f(a)＜6，而x1-x2＞0，∴f(x1-x2)＜6，∴f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)-6＜0 ，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)是R上的减函数.（3）令a=b=1,代入f(a+b)=f(a)+f(b)-6，得f(2)=2f(1)-6，∴f(1)=3，∴不等式f(k-2)＜f(2k)-3转化为f(k-2)＜f(2k)+f(1)-6=f(2k+1)，由(2)知f(x)是R上的减函数，故得k-2>＞2k+1，所以k＜-3.评析：由于题设条件是一个和差形式的等式，解第(2)、(3)小题进行了和差式构造.尤其第(3)小题的解答，精彩之处在于将“f(2k)-3”构造成“f(2k)+f(1)-6”，这样就可以利用上题设条件，即进一步将它化成f(2k+1)，故原不等式变为f(k-2)＜f(2k+1)，最后利用函数的单调性即可解决问题.设法构造出与已知关系式以及所求的结果相关的式子，是解这类题的关键所在，也是解题的切入点.【参考文献】[1] 康宇. 高考中的抽象函数.中学生数学，2010，1[2] 李汉云. 浅谈抽象函数问题的破解.高中数学教与学，2011，4[3] 2012高考数学复习指导·理科(上册).新世纪出版社，2011，5。
抽象函数漫谈
抽 象 函 数 漫 谈湖北省谷城县第一中学 高金铭(441700)在中学数学中，我们遇到的函数大多以列表、图象及解析式等具体形式出现，这为我们研究函数的性质提供了极大的方便.但有些函数，仅提供函数的一些特征或性质，而未给出函数的具体表示形式（一般以)x (f 的形式出现），我们称其为抽象函数.对于抽象函数，要得出其表达式或进一步研究其性质，我们一般有如下一些研究方法.一、赋值法：若抽象函数的某一性质对任意的x 、y 都成立，我们可对x 、y 取一些有用的特殊值进行讨论.这里实施的是演绎推理.例 1 设函数)x (f y =的定义域为+R ，且满足)()()(y f x f xy f +=，2)27()27(=++-f f ，试求)1261()1261(++-f f 的值. 分析：给出抽象函数所满足的函数方程及其一些性质或一些函数值，求另一些函数值，是抽象函数问题中所常涉及的内容.这类问题，常通过正用、逆用、变用已知条件或赋值解决.解：由题设两式知2527272727==+-=++-)(f )])([(f )(f )(f ，且)1261()1261(++-f f ＝)251()12611261(f f =+⋅-， 令1==y x ，得01=)(f ，又令x y 1=得)x (f )x(f -=1， 45225251-=-=-=∴)(f )(f )(f . 提示：本题中的抽象函数问题中所满足的性质)y (f )x (f )xy (f +=非常类似于对数函数x log y a =，解题过程可从对数函数的性质得到启示.例 2 已知xy y f x f y x f 2)()()(++=+对于任意实数x 、y 都成立，且)1(f =1，求)2002(f 的值.分析：这是一道与自然数有关的题目，可在抽象函数中赋值转得出数列递推关系，利用数列知识解决问题.解：令)N n (y ,n x ∈==1，则有n n f n f n f n f 21)(2)1()()1(++=++=+， )]2001()2002([)]2()3([)]1()2([)1()2002(f f f f f f f f -+-+-+=∴ 22002120012531=+⋅++++=)( .二、代换法：将抽象函数性质中的变量进行适当的代换，使问题得到解决，是抽象函数问题的又一求解方法.例3 ①已知,32)(-=x e f x 求)x (f ；②若)(2)23()32(b a x x bf x af ≠=-+-，求函数)x (f .分析：①是形如)]([x g f 求)x (f 的问题，常用配方（配湊）或代换法解决，尤以整体代换为多；②中的32-x 与x 23-互为相反数，通过代换将其化为)x (f 和)x (f -的方程组求解.互为倒数的两式也有类似的作法.解：①令),t (t e x 0>=则t ln x =， 32-=∴t ln )t (f ， 从而)x (x ln )x (f 032>-=.②令,t x =-32则有,t x 23+= 3+=-+∴t )t (bf )t (af ……⑴ 再以t -代换t ，得 3)()(+-=+-t t bf t af ……………………………⑵ 解⑴、⑵组成的方程组，得b a b a t )t (f ++-=3，即ba b a x )x (f ++-=3. 例 4 函数)x (f 定义在实数集R 上，当R x ∈时，)2()2(x f x f -=+，)7()7(x f x f -=+，且00=)(f ，求方程0=)x (f 在区间[－1000，1000]中的根的个数.分析：)x (f )x (f -=+22和)x (f )x (f -=+77给出了)x (f 的图象的两种对称关系，其蕴含着)x (f 的周期性，因此只需先求出)x (f 在一个周期内的根的个数.解： )4()]2(2[)]2(2[)()2()2(x f x f x f x f x f x f -=--=--=⇔-=+ ，同理)14()()7()7(x f x f x f x f -=⇔-=+，)10()]4(14[)4()(x f x f x f x f +=--=-=∴即)x (f 是以10为周期的周期函数.又00=)(f ，04=∴)(f ，0=∴)x (f 有两组根：110n 或4102+n （n 1∈Z,n 2∈Z ）,可以计算在区间[－1000，1000]中，0=)x (f 的根有401个.说明：一般地，可以证明：若函数)x (f 的图象有两条垂直于x 轴的对称轴m x =和)n m (n x ≠=，则函数)x (f 是以|n m |-2为周期的周期函数.例5 定义在R 上的函数f(x)满足对任意实数a ,b ，总有f(a+b)=f(a)+f(b)，且当t>0时，f(t)<0. ⑴判断f(x)的奇偶性； ⑵证明f(x)为减函数； ⑶若f(1)=－2，求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值.分析：这是一道比较流行的与函数的奇偶性和单调性有关的题目，解法涉及赋值和代换.判断f(x)的奇偶性关键在于通过代换构造出0=±-)x (f )x (f ，需首先找出0=)x (f 的x ；证明f(x)为减函数时，通过代换证明)x (f )x (f x x 2121>⇔<；在证出f(x)为减函数后，求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值已知顺理成章了.解：（1）在f(a+b)=f(a)+f(b)中，令,b a 0==得00=)(f ；再令x b ,x a =-=，可得0)0()()(==+-f x f x f ，)x (f ∴在R 上是奇函数.（2）令21x x <，且)(x x 012>+=σσ，则0<)(f σ，)()()()()(1112x f f x f x f x f <+=+=∴σσ，)x (f ∴在R 上为减函数.（3）由（2）知，在[－3，3]上，)3()()3(-≤≤f x f f ，由题设知6)1(3)1()2()12()3(-==+=+=f f f f f ，6)3()3(=-=-∴f f ，从而f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值分别是6和－6.例6 设f(x)是区间(0,1)上的函数，且同时满足：①对任意x ∈(0,1)，恒有f(x)>0；②对于任意),(x ,x 1021∈,恒有)()(21x f x f +)1()1(21x f x f --≤2.试证明：（I ）对任意x ∈(0,1)都有)1()(x f x f -=；（II ）对任意),(x ,x 1021∈都有)()(21x f x f =.解：（Ⅰ）令,x x ,x x -==121),(x ,x 1021∈，由②知)1()(x f x f -+)()1(x f x f -≤2， 由①知∴>->,)x (f ,)x (f 010)1()(x f x f -+)()1(x f x f -≥2，)1()(x f x f -∴+)()1(x f x f -=2. 上式取等号时)1()(x f x f -=1，故)1()(x f x f -=. （Ⅱ）由已知及（Ⅰ）得，)()(21x f x f +=--)x (f )x (f 2111)()(21x f x f +)()(21x f x f 2≤， 1)()(21≤∴x f x f ，同理1)()(12≤x f x f ，∴)x (f )x (f 21=.※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※总之，研究抽象函数的两大法宝就是适当地赋值和代换，这里仅对抽象函数作粗略的介绍，抽象函数的其它问题如抽象函数不等式等作者将另文介绍，这里不再赘述.下面给出2001年理科题（22）供同学们参考：设f (x )是定义在R 上的偶函数.其图象关于直线y ＝x 对称，对任意x 1，x 2]21.0[∈，都有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)，且f ( 1 )＝a ＞0．(Ⅰ)求)21(f 及)41(f ； (Ⅱ)证明f (x )是周期函数；(Ⅲ)记)212(n n f a n +=，求)(ln lim n n a ∞→．《此文已发表于〈数学导刊〉》。