求抽象函数解析式的几种方法及适用范围
抽象函数问题求解的几种常用求法
抽象函数问题求解的几种常用求法抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数。
如函数的定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等。
它是高中数学函数部分的难点，由于抽象函数没有具体的解析式作为载体，因此理解起来比较困难，那么怎样求解抽象函数问题呢？以下介绍几种解抽象函数问题的方法。
一． 特殊化方法1. 在求函数解析式或研究函数性质时，一般用“代换”的方法，如将x 换成x -或将x 换成1x 等。
2. 在求函数值时，可用特殊值（如0或1或-1）“代入” 例1.已知()f x 满足()123363f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求()f x 的解析式。
解：先令3u x =，解出3u x =，于是有：()1232f u f u u ⎛⎫+= ⎪⎝⎭-----------①再以1u代替u 得：()1223f f u u u ⎛⎫+=⎪⎝⎭------------②联立①、②式解方程组，并消去1f u ⎛⎫⎪⎝⎭，解得()6455u f u u=-即所求解析式为：()6455x f x x=-例2. 若对一切自然数a 、b 都有()()()f a b f a f b ab +=++且()11f =，求()f x 的解析式。
解：利用特殊值法 令1a =，等式变为：()()()()111f b f f b b f b b+=++=++，即：()()11f b f b b +-=+，注意到上式是一个关于自然数b 的递推关系式，令1b =， 有()()2111f f -=+2b =，有()()3221f f -=+1b n =-，有()()()111f n f n n --=-+将以上1n -条等式左右两边分别相加，得：()()()()1123111f n f n n -=++++-+⨯-即：()()()1123111f n n n =+++++-+⨯-()11232n n n -=++++=即所求解析式为：()()12x x f x -=二． 函数性质法函数的特征是通过其性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性、特殊点等）反应出来的，抽象函数也是如此。
抽象函数问题解法
抽象函数问题解法抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数。
它与函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等函数性质联系在一起，具有很强的抽象性。
这类问题主要考查数学思想方法的运用能力，以及对数学语言以及符号的阅读理解能力。
本文结合具体问题分类剖析这类问题的求解策略。
一、利用函数性质的解题思想函数性质是反映函数特征的主要途径，充分利用题设条件中已表明或隐含的函数性质，选择适当的方法解决抽象函数问题。
1.利用对称性，数形结合例1：已知函数f（x）对一切实数x都有f（2+x）= f（2-x），如果方程f（x）=0恰好有4个不同的实根，求这些实根之和。
策略：由f（2+x）= f（2-x）可知是函数图像关于直线x=2对称。
又f（x）=0四个根按由小到大的顺序可设为x1、x2、x3、x4，则x1+x4=2×2=4，x2+x3=2×2=4，∴x1+x2+x3+x4=8。
2. 利用奇偶性分析函数特征例2：已知函数f（x）=ax+bsinx+3，且f（-3）=7，求f（3）的值。
策略：注意到g（x）=ax+bsinx=f（x）-3是奇函数，可得g（-3）= -g（3），即f（-3）-3= -[f（3）-3]，f（3）=6-f（-3）= -1。
3. 利用单调性等价转化例3：已知奇函数f（x）在定义域（－１，1）上是减函数，试求满足不等式f（１－a）+f（1-a2）4.利用周期性研究函数特征例4：已知f（x）是定义在正整数集上的函数，对任意正整数x 都有f（x）=f（x-1）+f（x+1），且f（1）=2002，求f（2002）。
分析：根据x的任意性，判断函数的周期。
略解：由f（x）=f（x-1）+f（x+1），可得：f（x+3）=-f（x）。
∴f（x+6）=-f（x+3）=[-f（x）]=f（x），∴f（x）是以6为周期的周期函数，∴f（2002）=f（333×6+4）=f（４）＝f（３＋１）＝－f（１）＝－２００２。
求函数解析式的方法
求函数的解析式的方法求函数的解析式是函数的常见问题,也是高考的常规题型之一,方法众多,下面对一些常用的方法一一辨析.一．换元法：已知f （g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用换元法，具体为：令t=g(x),在求出f(t)可得f （x ）的解析式。
换元后要确定新元t 的取值范围。
例题1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.令t=3x+1， x=31-t 354)(3314)(-=⇒+-⨯=⇒t t f t t f 练习1．若x x x f -=1)1(,求)(x f . 二．配凑法：把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式，再把g(x)用x 代替。
一般的利用完全平方公式。
例题2．已知221)1(xx x x f +=-, 求)(x f 的解析式. 练习2．若x x x f 2)1(+=+,求)(x f .三．待定系数法：已知函数模型（如：一次函数，二次函数，指数函数等）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数例题3．设)(x f 是一元二次函数, )(2)(x f x g x ⋅=,且212)()1(x x g x g x ⋅=-++,求)(x f 与)(x g .解;设c bx ax x f =+=2)(,则g(x)=2x (ax 2+bx+c)练习3．设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ,且图象在y 轴上截距为1,在x 轴上截得的线段长为22,求)(x f 的表达式.四．解方程组法:求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求f （x ）的解析式例题4．设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式x xf x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式. 解;令x x 1=，xx f x f 14)(2)1(3⨯=+ 联立方程，得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+x x f x f x x f x f 4)(2)1(34)1(2)(3 ， 解得x x x f 58512)(-= 练习4．若x xx f x f +=-+1)1()(,求)(x f . 五．利用给定的特性求解析式：一般为已知x>0时， f(x)的解析式，求x<0时，f(x)的解析式。
考点02 求函数解析式的3种方法(解析版)
专题二 函数考点2 求函数解析式的3种方法【方法点拨】求函数解析式的常用方法1. 待定系数法：已知函数的类型，利用所给条件，列出方程或方程组，用待定系数法确定系数.2. 配凑法或换元法：已知复合函数f[g(x)]=F(x)的解析式，把F(x)配凑成关于g(x)的表达式，再用x 代替g(x)，称为配凑法；或者，直接令g(x)=t ，解方程把x 表示成关于t 的函数，再代回，称为换元法，此时要注意新元t 的取值范围.3解方程组法(或赋值法)：已知关于f(x)与f(1/x)或f(-x)的表达式，可通过对自变量的不同赋值构造出不同的等式通过解方程组求出f(x).【高考模拟】1．已知()f x 是偶函数,且当0x >时,2()f x x x =-,则当0x <时,()f x 的解析式为（ ） A ．2()f x x x =-B ．2()f x x x =--C ．2()f x x x =+D ．2()f x x x =-+【答案】C【分析】利用()f x 是偶函数，()()f x f x -=，当0x <，()2f x x x -=+，即可求得答案 【解析】设0x <，则0x ->，当0x >时,()2f x x x =- ()2f x x x ∴-=+，()f x 是偶函数，则()()f x f x -=()2f x x x ∴=+ ()0x <故选C【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式，掌握解题方法，较为简单．2．已知幂函数()f x 的图象经过点()327，，则()f x 的解析式()f x =（ ）．A ．3xB ．3xC ．9xD ．3log x【答案】A【分析】 设幂函数解析式为()f x x α= ，将点()327，代入即可求解. 【解析】设幂函数为()f x x α= 函数经过点（3，27），273α∴= 解得3α=故()f x 的解析式()3f x x = 故选A【点睛】本题考查幂函数解析式的确定，是基础题；解题时需要认真审题，准确代入数值.3．若函数2()1x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数，则()f x 的解析式为（ ）． A ．2()1x f x x =-+ B ．2()1x f x x =+ C ．21()1x f x x +=+ D ．2()1x f x x x =++ 【答案】B【解析】【分析】由奇函数得()()f x f x -=-，代入后求出解析式【解析】函数()21x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数 ()()f x f x ∴-=-，即()()00f f -=-，()00f =，001a a ==， 即()21x f x x bx =++()()11f f -=-，1122b b -=--+ 解得0b =则()21x f x x =+ 故选B【点睛】 本题考查了函数奇偶性的运用，当奇函数定义域取到零时有()00f =，然后再赋值法求出解析式，较为基础。
函数解析式的常用求解方法函数解析式的求解九种方式函数解析式有几种形式
一、函数解析式的常用求解方法（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。
待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g （x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f （x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
二、函数解析式的求解九种方式：1.代入法：已知f(x)的解析式,求f[g(x)] 的解析式.[例1] 若f(x)=2x＋1,g(x)=x－1, 求f[g(x)],g[f(x)].2. 换元法已知f[g(x)]=h(x), 求f(x)的解析式.令g(x)=tx=(t),则f(t)=h[(t)],再将t换成x即可.但要注意换元前后变量的等价性。
[例2] 已知f( +1)= x+2 ,求f(x),f(x+1).3.配凑法已知f[g(x)]=h(x), 求f(x)的解析式。
若能将h(x)用g(x)表示, 然后用x去代换g(x),则就可以得到f(x)的解析式。
[例3] 已知f(x+ )= x3 + , 求f(x)，f(x+1).4.待定系数法根据已知函数的类型或者特征,求函数解析式。
求抽象函数解析式的几种方法及适用范围
求函数的解析式的几种方法一：方法名称：配凑法适用范围：已知f(g(x))的解析式,求f(h(x))的解析式方法步骤：1把f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式2再把g(x)用h(x)代替例：的解析式。
已知求的解析式。
已知f(x+1)=x-3,求f(x)的解析式。
已知，求的解析式。
二：方法名称：换元法适用范围：已知f(g(x))的解析式,求f(h(x))的解析式方法步骤：1先把形如f(g(x))内的g(x)设为t（换元后要确定新元t的取值范围）2在用一个只含有t的式子把x表示出来3然后把这个式子在解析式的右端的x中，使右边只含有t4再把t用h(x)代替。
例题：已知求的解析式。
已知f（）=x2+5x,则f(x)的解析式。
三方法名称：待定系数法适用范围：已知对应法则f(x)的函数模型（如一次函数，二次函数等）方法步骤：1先设出函数解析式（如f（x）=ax+b）2把解析式的左端用这个函数模型表示出来4求出函数模型的系数例：四方法名称：方程组法适用范围：一般等号左边有两个抽象函数（如f(x),f(-x)）。
等号右边也含有变量x。
方法步骤：将左边的两个抽象函数看成两个变量。
变换变量构造一个方程，与原方程组成一个方程组，利用消元法求f（x）的解析式例:设f(x)满足关系式,求函数的解析式.五：方法名称：赋值法适用范围：一般包含一句话“对任意实数满足”方法步骤：一般的，已知一个关于x,y的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数x或者y，得出关于x或者y的解析式。
例：。
高中数学求函数解析式解题方法大全与配套练习
高中数学求函数解析式解题方法大全及配套练习一、定义法：根据函数的定义求解析式用定义法。
【例1】【例2】【例3】【例4】二、待定系数法：（主要用于二次函数）已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式。
它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。
其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。
【例1】【解析】【例2】已知二次函数f（x）满足f（0）=0，f（x+1）= f（x）+2x+8，求f（x）的解析式.解：设二次函数f（x）= ax2+bx+c，则f（0）= c= 0 ①f（x+1）（x+1）= ax2+（2a+b）x+a+b②由f（x+1）= f（x）+2x+8 与①、②得解得故f（x）= x2+7x.【例3】三、换元（或代换）法：道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。
使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。
如：已知复合函数f [g（x）]的解析式，求原函数f（x）的解析式，把g（x）看成一个整体t，进行换元，从而求出f（x）的方法。
实施换元后,应注意新变量的取值围,即为函数的定义域.【例1】【解析】【例2】【例3】【例4】（1）在（1（2）1（3）【例5】（1（2）由【例6】四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．【例1】解则解得，上，(五)配凑法【例1】：2x当然，上例也可直接使用换元法即由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。
【例2】：分析：此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。
实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的函数来表示出来，在通过整体换元。
和换元法一样，最后结果要注明定义域。
抽象函数常见题型解法
且存在，使得，求函数的值域。 解：令，得，即有或。 若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必
有。 由于对任意均成立，因此，对任意，有 下面来证明，对任意 设存在，使得，则 这与上面已证的矛盾，因此，对任意。所以 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的
五、单调性问题 例6. 设f（x）定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y， 有，求证：在R上为增函数。 证明：在中取，得 若，令，则，与矛盾 所以，即有 当时，；当时， 而所以 又当时，。所以对任意，恒有
设，则 所以，所以在R上为增函数。 评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法 则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给 关系式及所求的结果相关联。
， （ ），考察下列结论，① ；②
为偶函数；③数列
为等差数列；④数列
为等比数列，其中正确的是_______（填序号） 答案 ①③④ 3.（岳阳联考题）若
是定义在
上的函数，对任意的实数
，都有
和
且
，则
的值是（ ）答案 C
A．2008
B．2009
C．2010
4．(成都市石室中学高三三诊模拟)定义在[0，1]上的函数
抽象函数专题训练
1 线性函数型抽象函数
【例题1】已知函数对任意实数，均有，且当时，求在区间上的值域。 【例题2】已知函数对任意实数，均有，且当时，求不等式的解。
2 指数函数型抽象函数
【例题3】已知函数定义域为R，满足条件：存在，使得对任何和，成 立。 求：（1） (2) 对任意值,判断值的正负。 【例题4】是否存在函数满足下列三个条件：
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求抽象函数解析式的几种方法及适用范围
Last revised by LE LE in 2021
求函数的解析式的几种方法
一：
方法名称：配凑法
适用范围：已知f(g(x))的解析式,求f(h(x))的解析式
方法步骤：1把f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有
g(x)的形式
2再把g(x)用h(x)代替
例：
的解析式。
已知求的解析式。
已知f(x+1)=x-3,求f(x)的解析式。
已知，求的解析式。
二：
方法名称：换元法
适用范围：已知f(g(x))的解析式,求f(h(x))的解析式
方法步骤：1先把形如f(g(x))内的g(x)设为t（换元后要确定新元t的取值范围）
2在用一个只含有t的式子把x表示出来
3然后把这个式子在解析式的右端的x中，使右边只含有t
4再把t用h(x)代替。
例题：
已知求的解析式。
已知f（）=x2+5x,则f(x)的解析式。
三
方法名称：待定系数法
适用范围：已知对应法则f(x)的函数模型（如一次函数，二次函数等）
方法步骤：1先设出函数解析式（如f（x）=ax+b）
2把解析式的左端用这个函数模型表示出来
4求出函数模型的系数
例：
四
方法名称：方程组法
适用范围：一般等号左边有两个抽象函数（如f(x),f(-x)）。
等号右边也含有变量x。
方法步骤：将左边的两个抽象函数看成两个变量。
变换变量构造一个方程，与原方程组成一个方程组，利用消元法求f（x）的解析式
例:
设f(x)满足关系式,求函数的解析式.
五：
方法名称：赋值法
适用范围：一般包含一句话“对任意实数满足”
方法步骤：一般的，已知一个关于x,y的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数x或者y，得出关于x或者y的解析式。
例：。