8.6 8.6.3 第二课时 平面与平面垂直的性质
8.6.3平面与平面垂直的性质定理(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第二册
a
探究新知
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言：
1. 平面与平面垂直的性质定理
面面垂直线面垂直
图形语言：
a
b
探究新知
直线与直线垂直
直线与平面垂直
平面与平面垂直
例题讲解
例1 定理辨析.
已知平面α⊥平面β，α∩ β＝l下列命题.
（2）垂直于交线l的直线必垂直于平面β（ ）
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例题讲解
课堂练习
4. 如图所示，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E为棱CC'中点， 求二面角A'-BD-E的大小．
课堂练习
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”. (1) 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β. (2) 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β. (3) 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.
[解析] 如图，在平面 内，作 于点 .
∵平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ， 平面 .又 平面 ，
.又 平面 ， 平面 ， .又 ， 平面 .又 平面 ， .
课本例10
（1）定义法:
以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA,OB，则∠AOB就是此二面角的平面角.
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13Байду номын сангаас
高中数学必修二 8 6 3 平面与平面垂直(第2课时)平面与平面垂直的性质 练习(含答案)
8.6.3 平面与平面垂直第2课时 平面与平面垂直的性质一、选择题1．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ） A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m【答案】A【解析】试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得l β⊥，l α⊂ 可得αβ⊥2．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，沿BD 将ABD △折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AC ，则在四面体ABCD 的四个面中，互相垂直的平面的对数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】 ∵面ABD ⊥面BCD ，AB ⊥BD ，∴AB ⊥面BCD ，又AB ⊂面ABC ，∴面ABC ⊥面BCD ，同理，面ACD ⊥面ABD.故四面体ABCD 中互相垂直的平面有3对．3．如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（ ）A ．一条线段B ．一条直线C ．一个圆D ．一个圆，但要去掉两个点【答案】D【解析】 因为平面PAC ⊥平面PBC ，AC ⊥PC ，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC ⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC ⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.4．已知平面α⊥平面β，n αβ=，点A α∈，A n ∉，直线AB n ，直线AC n ⊥，直线m α，m β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）A ．AB m ∥B ．AC m ⊥ C ．AB β∥D ．AC β⊥【答案】D【解析】如图所示：由于//m α，//m β，n αβ=，所以//m n ，又因为//AB n ，所以//AB m ，故A 正确， 由于AC n ⊥，//m n ，所以AC m ⊥，故B 正确，由于//AB n ，n β⊂，AB 在β外，所以//AB β，故C 正确；对于D ，虽然AC n ⊥，当AC 不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，不一定垂直，所以D 不正确；故答案选D5．（多选题）给定下列四个命题：A.若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；B.若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；C.垂直于同一直线的两条直线相互平行；D.若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④【答案】BD【解析】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故A 错误；由平面与平面垂直的判定可知B 正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故C 错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故D 正确．综上，真命题是BD. 故选：BD6．（多选题）如图所示，在直角梯形BCEF 中，90CBF BCE ︒∠=∠=，,A D 分别是,BF CE 上的点，AD BC ∥，且22AB DE BC AF ===(①).将四边形ADEF 沿AD 折起，连接,,BE BF CE (②).在折起的过程中，下列说法中正确的是（ ）A ．AC 平面BEFB ．,,,BC E F 四点不可能共面C ．若EF CF ⊥，则平面ADEF ⊥平面ABCDD ．平面BCE 与平面BEF 可能垂直【答案】ABC【解析】选项A 中，连接AC ，取AC 的中点O ，BE 的中点M ，连接,MO MF ，MO DE 且12MO DE =， 而AF DE ∥且12AF DE =，所以AF MO 且AF MO =所以四边形AOMF 是平行四边形，所以AC FM ∥，而AC ⊄平面BEF ，FM⊂平面BEF ，所以AC 平面BEF ， 所以A 正确；选项B 中，设,,,B C E F 四点共面，因为BC AD ∥，BC ⊄平面ADEF ，AD ⊂平面ADEF ，所以BC ∥平面ADEF ，而BC ⊂平面BCEF ，平面BCEF平面ADEF EF =， 所以BC EF ∥，所以AD EF ，这与已知相矛盾，故B C E F ，，，四点不可能共面，所以B 正确；选项C 中，连接,CF DF ，在梯形ADEF 中，易得EF FD ⊥，又EF CF ⊥，,FD CF ⊂平面CDF ，FDCF F =，所以EF ⊥平面CDF而CD ⊂平面CDF ，所以CD EF ⊥，而CD AD ⊥，,EF AD ⊂平面ADEF ，且EF 与AD 必有交点，所以CD ⊥平面ADEF ，因为CD ⊂平面ABCD ，所以平面ADEF ⊥平面ABCD ，所以C 正确；选项D 中，延长AF 至G ，使得AF FG =，连接,BG EG ， AD AF ⊥，AD AB ⊥，,AF AB ⊂平面ABF ，AF AB A ⋂=，所以AD ⊥平面ABF ，而BC AD ∥，所以BC ⊥平面ABF ，因为BC ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面ABF ，过F 作FN BG ⊥于N ，FN ⊂平面ABF ，平面BCE 平面ABF BG =，若平面BCE ⊥平面BEF ，则过F 作直线与平面BCE 垂直，其垂足在BE 上，故前后矛盾，所以D 错误.故选：ABC.二、填空题7．如图，四面体P ABC -中，13PA PB ，平面PAB ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，86AC BC ，，则PC _______.【答案】13【解析】取AB 的中点E ，连接,PE EC .因为90,8ACB AC ，6BC =，所以10AB =，所以5CE =. 因为13PA PB ，E 是AB 的中点，所以,12PEAB PE . 因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PE ⊂平面PAB ，因为CE ⊂平面ABC ，所以PE CE ⊥.在Rt PEC ∆中，2213PC PE CE .8．如图所示，A B C D ，，，为空间四点，在ABC 中，2AB AC BC ===，ADB 以AB 为轴运动，当平面ADB ⊥平面ABC 时，CD =________.【答案】2.【解析】取AB 的中点E ，连接DE CE ，.因为ADB △是等边三角形，所以DE AB ⊥.当平面ADB ⊥平面ABC 时，因为平面ADB ⋂平面ABC AB =，且DE AB ⊥，所以DE ⊥平面ABC ，故DE CE ⊥.由已知可得1DE EC ==，在Rt DEC △中，2CD ==.9．平面α⊥平面β，l αβ=，n β⊂，n l ⊥，直线m α⊥（m ，n 是两条不同的直线），则直线m 与n 的位置关系是______.【答案】//m n【解析】解：因为平面α⊥平面β，l αβ=，n β⊂，n l ⊥，由面面垂直的性质可得n α⊥，又m α⊥，所以//m n .故答案为：//m n10．已知PA ⊥正方形ABCD 所在的平面，垂足为A ，连接PB ，PC ，PD ，则平面PAB ，平面PAD ，平面PCD ，平面PBC ，平面ABCD 中，互相垂直的平面有 对.【答案】5【解析】,,PA ABCD PAB ABCD PAD ABCD ⊥∴⊥⊥平面平面平面平面，又,,,CD AD PADABCD AD CD PAD ⊥=∴⊥平面平面平面PCD PAD ∴⊥平面平面，同理，平面PAB ⊥平面PAD ，平面PBC ⊥平面PAB ，所以互相垂直的平面共有5对.三、解答题11．已知P 是ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC .求证:BC AC ⊥.【答案】证明见解析【解析】如图，在平面PAC 内作AD PC ⊥于点D ，∵平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC 平面PBC PC =，AD ⊂平面PAC ，且AD PC ⊥，AD ∴⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，AD BC ∴⊥.PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，AD PA A =，,AD PA ⊂平面PAC ，BC ∴⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC ，BC AC ∴⊥.12．如图，三棱锥P ABC -中，已知ABC 是等腰直角三角形，90ABC ︒∠=，PAC 是直角三角形，90PAC ︒∠=，平面PAC ⊥平面ABC .求证：平面PAB ⊥平面PBC .【答案】证明见解析【解析】证明 ∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，又PAC 是直角三角形，所以PA AC ⊥， PA ∴⊥平面ABC .又BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥.AB BC ⊥，AB PA A ⋂=，AB 平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， BC ∴⊥平面PAB .又BC ⊂平面PBC ，故平面PAB ⊥平面PBC .。
2022高中数学-平面与平面垂直第2课时平面与平面垂直的性质定理课后提能训练新人教A版必修第二册
第八 章 8.6 8.6.3 第2课时A级——基础过关练1．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直【答案】C 【解析】当b＝α∩β时，必有a⊥β；当b不是α与β的交线时，直线a不一定垂直于平面β，可能平行，也可能相交，故C正确．2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能【答案】D 【解析】α与γ可能平行、相交但不垂直、垂直．故选D.3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β【答案】D 【解析】如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥α⇒AC⊥m，AB∥l⇒AB∥β.故选D.4．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，若平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD ＝CD，则BD与CC1( )A．平行 B．共面C．垂直 D．不垂直【答案】C 【解析】如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD，所以BD⊥AC.因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CC1.故选C.5．(多选)如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E 为AD的中点，则下列结论成立的是( )A．PE⊥AC B．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCD D．平面PBE⊥平面PAD【答案】ABC 【解析】因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B 成立．又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立．故选ABC.6．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．【答案】平行 【解析】由题意知n⊥α，又m⊥α，所以m∥n.7．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用序号表示)．【答案】①②⇒③ 【解析】由l∥β可在平面β内作l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，∵l′⊂β，∴α⊥β，故①②⇒③.8．如图，三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC 是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.【答案】证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.9．如图，已知△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，AB⊥BD.平面ABC⊥平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且CE∥BD，BD＝2CE.点F为AD中点，连接EF.(1)求证：EF∥平面ABC；(2)求证：平面AED⊥平面ABD.证明：(1)取AB的中点O，连接FO，CO.∵点F为AD中点，∴FO綉BD.∵CE∥BD，BD＝2CE，∴FO綉CE.∴四边形FOCE为平行四边形，∴CO∥EF.又∵CO⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)由(1)知点O为AB的中点，且△ABC为等边三角形，∴CO⊥AB.又∵AB⊥BD，平面ABC⊥平面ABD，∴BD⊥平面ABC，∴BD⊥CO.又AB∩BD＝B，∴CO⊥平面ABD.又CO∥EF，∴EF⊥平面ABD.∵EF⊂平面AED，∴平面AED⊥平面ABD.B级——能力提升练10．在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，沿AD折成二面角B－AD－C后，BC＝AB，这时二面角B－AD－C的大小为( )A．60°B．90°C．45°D．120°【答案】A 【解析】∠BDC为二面角B－AD－C的平面角，设正三角形ABC的边长为m，则折叠后，BC＝m，BD＝DC＝m，所以∠BDC＝60°.11．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC 是( )A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】A 【解析】过点A作AH⊥BD于点H.由平面ABD⊥平面BCD，得AH⊥平面BCD，则AH⊥BC.又DA⊥平面ABC，所以BC⊥AD，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC为直角三角形．故选A.12．已知平面α，β，γ，则下列命题中正确的是( )A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γB．α∥β，β⊥γ，则α⊥γC．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥bD．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α【答案】B 【解析】A中α，γ可以相交；C中如图，a与b不一定垂直；D中b仅垂直于α的一条直线a，不能判定b⊥α.13．(2021年信阳月考)(多选)如图，在四面体P－ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是( )A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDF⊥平面ABC【答案】ABC 【解析】因为D，F分别为AB，AC的中点，所以DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，故A中结论正确；因为E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，所以BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE，因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，故B中结论正确；因为DF⊂平面PDF，DF⊥平面PAE，所以平面PDF⊥平面PAE，故C中结论正确；假设平面PDF⊥平面ABC，则由平面PDF∩平面ABC＝DF，AE⊂平面ABC，AE⊥DF，DF⊂平面PDF，得AE⊥平面PDF，所以AE⊥PD，AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，故D中结论错误．14．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．【答案】45° 【解析】过A作AO⊥BD于O点．∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ADO＝45°.15．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为________．【答案】3 【解析】因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD，所以平面ABC⊥平面BCD.因为AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3对．16．如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求直线EC与平面ABE所成角正切值．【答案】(1)证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM.∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.(2)解：取AB的中点F，连接CF，EF.∵EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥CF.又AC＝BC，∴CF⊥AB.∵EA∩AB＝A，∴CF⊥平面AEB，∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角．在Rt△CFE中，CF＝，FE＝，tan∠CEF＝＝.17．如图，在三棱锥P－ABC中，△PBC为等边三角形，点O为BC的中点，AC⊥PB，平面PBC⊥平面ABC.(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)已知E为PO的中点，F是AB上的点，AF＝λAB.若EF∥平面PAC，求λ的值．(1)证明：连接PO.∵△PBC为等边三角形，点O为BC的中点，∴PO⊥BC.∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，∴PO⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴PO⊥AC.∵AC⊥PB，PO∩PB＝P，∴AC⊥平面PBC.∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBC.(2)解：取CO中点G，连接EG，FG.∵E为PO的中点，∴EG∥PC.∵F是AB上的点，AF＝λAB，EF∥平面PAC，∴平面EFG∥平面PAC，∴FG∥AC，∴λ＝＝＝.∴λ的值为.C级——探索创新练18．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1－BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1－BCDE的体积为36，求a的值．(1)证明：在图1中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC，即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥平面A1OC，又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)解：由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，即A1O是四棱锥A1－BCDE的高．由图2知，A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，从而四棱锥A1－BCDE的体积为V＝S·A1O＝×a2×a＝a3.由a3＝36，得a＝6.。
高中数学必修二课件：平面与平面垂直(第2课时)
【解析】 选项A，m，n可能为平行、垂直、异面直线，但是有些同学会 把面面垂直的性质误认为两垂直平面内的任意两条线都垂直；选项B，m，n可 能为平行、垂直、异面直线，但有些同学会误认为两平行平面内的任意两直线 都是平行的；选项C，m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立，但是有些同 学会把两个平面内的两条直线垂直误认为两平面垂直；选项D正确．故选D.
思考题2 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面 PBC.求证：BC⊥AC.
【证明】 如图，在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D.∵平面 PAC⊥平面PBC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，平面PAC∩平面 PBC＝PC，∴AD⊥平面PBC.
又∵BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC. ∵AD∩PA＝A，AD，PA⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC. ∵AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC.
②过点E作EH⊥BC于H，∵平面ABCD⊥平面EBC，平面ABCD∩平面EBC
＝BC，∴EH⊥平面ABCD，过H作HG⊥AD于G，连接EG.
∵AD⊂平面ABCD，∴EH⊥AD，又EH∩HG＝H，
∴AD⊥平面EHG，又EG⊂平面EHG，∴AD⊥EG，
∴∠EGH即为二面角E－AD－B的平面角．
在Rt△EHB中，EH＝EB×sin
13 26 .
③如图，连接CM.因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故
CM⊥AB，CM＝ 3 .又因为平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，而
CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD.所以∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．
在Rt△CAD中，CD＝ AC2＋AD2＝4.
在Rt△CMD中，sin∠CDM＝CCMD＝ 43.
【新教材课件】2021学年高中数学人教A版必修第二册：8.6.3+第2课时 平面与平面垂直的性质
又∵E 是 PC 的中点，∴O 是 AC 的中点． 又∵AB∥CD，∴△ABO∽△CDO. 又∵AO＝OC，∴AB＝CD， 这与 CD＝2AB 矛盾，
∴假设不成立．故平面 EBD 不能垂直于平面 ABCD.
课堂达标练经典
1．设两个平面互相垂直，则 ( C ) A．一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面 B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面上 C．一个平面内过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于 另一个平面 D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直 解析：由面面垂直的性质可知，选 C.
四边形 ABCD 是∠DAB＝60°的菱形，侧面 PAD 为正三角形，其 所在平面垂直于底面 ABCD.若 G 为 AD 边的中点，求证：BG⊥ 平面 PAD.
[分析] 解答本题可先由面面垂直依据面面垂直的性质定 理得线面垂直．
[证明] 连接 BD， ∵四边形 ABCD 是菱形且∠DAB＝60°， ∴△ABD 是正三角形． ∵G 是 AD 的中点，∴BG⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， ∴BG⊥平面 PAD.
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
要点整合夯基础
知识点 平面与平面垂直的性质定理
[填一填] 1．文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂 直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面 垂直．
2．符号语言：
α⊥β aα⊂∩αβ＝l⇒a⊥β a⊥l
3．图形语言：
解：平面 EBD 不能垂直于平面 ABCD.理由如下： 假设平面 EBD 垂直于平面 ABCD， 过 E 作 EO⊥BD 于 O，连接 AO、CO. ∵EO⊂平面 EBD，EO⊥BD，平面 EBD∩平面 ABCD＝BD， ∴EO⊥平面 ABCD. 又∵PA⊥平面 ABCD，∴EO∥PA. ∵A、O、C 是 PC 上三点 P、E、C 在平面 ABCD 上的投影， ∴P、E、C 三点的投影均在直线 AC 上， ∴A、O、C 三点共线．
新人教版高中数学必修第二册 第8章 8.6.3 平面与平面垂直
8．6.3平面与平面垂直考点学习目标核心素养二面角理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小直观想象、数学运算平面与平面垂直的判定定理理解两平面垂直的定义，掌握两平面垂直的判定定理直观想象、逻辑推理平面与平面垂直的性质定理理解平面和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用面面垂直的性质定理解决有关的垂直问题直观想象、逻辑推理问题导学预习教材P155－P161的内容，思考以下问题：1．二面角的定义是什么？2．如何表示二面角？3．二面角的平面角的定义是什么？4．二面角的范围是什么？5．面面垂直是怎样定义的？6．面面垂直的判定定理的内容是什么？7．面面垂直的性质定理的内容是什么？1．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．(2)图形和记法图形：记作：二面角α-AB -β或二面角α-l -β或二面角P -AB -Q 或二面角P -l -Q ． 2．二面角的平面角(1)定义：在二面角α-l -β的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．(2)图形、符号及范围 图形：符号：⎭⎪⎬⎪⎫α∩β＝l ，O ∈l OA ⊂α，OB ⊂βOA ⊥l ，OB ⊥l ⇒∠AOB 是二面角的平面角． 范围：0°≤∠AOB ≤180°．(3)规定：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．■名师点拨 (1)二面角的大小与垂足O 在l 上的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的．(2)构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”．即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．这三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直．3．平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面α与β垂直，记作α⊥β．(2)判定定理文字语言图形语言符号语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥βl ⊂α⇒α⊥β 定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个平面的垂线．4．平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝la⊂αa⊥l⇒a⊥β图形语言作用①面面垂直⇒线面垂直②作面的垂线■名师点拨对面面垂直的性质定理的理解（1）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直.（2）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关.（）（2）二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的.（）（3）如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（）（4）如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面.（）（5）如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面.（）答案：（1）×（2）√（3）×（4）×（5）×在二面角α-l-β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有的条件是（）A.AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB.AO⊥l，BO⊥lC.AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD.AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β答案：D已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面（）A.有1个B.有2个C.有无数个D.不存在答案：C若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（）A.α∥γB.α⊥γC.α与γ相交但不垂直D.以上都有可能解析：选D.由题意知，α与γ可能平行，也可能相交.如图，α与δ平行，α与γ相交.如图，P是二面角α-l-β内的一点，P A⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B.若∠APB＝80°，则二面角α-l-β的大小为Ｗ.答案：100°二面角的概念及其大小的计算（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成锐二面角A1BDA的正切值为（）A.32 B.22C.2D. 3（2）一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为（）A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定【解析】（1）如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD的中点，因为A1D＝A1B，所以在△A1BD中，A1O⊥BD.又因为在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以∠A1OA为二面角A1BDA的平面角.设AA1＝1，则AO＝22.所以tan∠A1OA＝122＝ 2.（2）反例：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D-AA1E与二面角B 1ABC的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补.【答案】（1）C（2）D（1）求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”.（2）作出二面角的平面角的方法方法一：（定义法）在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图所示，∠AOB为二面角α-a-β的平面角.方法二：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.如图所示，∠AFE为二面角A-BC-D的平面角.方法三：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角.如图所示，∠AOB 为二面角α-l -β的平面角.[提醒] 二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.若P 是△ABC 所在平面外一点，而△PBC 和△ABC 都是边长为2的正三角形，P A ＝6，那么二面角P -BC -A 的大小为 Ｗ.解析：如图，取BC 的中点O ，连接OA ，OP ，则∠POA 为二面角P -BC -A 的平面角，OP ＝OA ＝3，P A ＝6，所以△POA 为直角三角形，∠POA ＝90°.答案：90°平面与平面垂直的判定 角度一 利用定义证明平面与平面垂直如图，在四面体ABCD 中，BD ＝2a ，AB ＝AD ＝CB ＝CD ＝AC ＝a .求证：平面ABD ⊥平面BCD .【证明】 因为△ABD 与△BCD 是全等的等腰三角形， 所以取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，则AE ⊥BD ，BD ⊥CE . 在△ABD 中，AB ＝a ， BE ＝12BD ＝22a ，所以AE ＝ AB 2－BE 2＝22a . 同理CE ＝22a ，在△AEC 中， AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a . 由于AC 2＝AE 2＋CE 2，所以AE ⊥CE ，∠AEC 是二面角A -BD -C 的平面角，又因为∠AEC ＝90°， 所以二面角A -BD -C 为直二面角，所以平面ABD ⊥平面BCD .角度二 利用判定定理证明平面与平面垂直如图，在四棱锥P -ABCD 中，若P A ⊥平面ABCD 且四边形ABCD 是菱形.求证：平面P AC ⊥平面PBD .【证明】 因为P A ⊥平面ABCD ， BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥P A .因为四边形ABCD 是菱形， 所以BD ⊥AC . 又P A ∩AC ＝A ， 所以BD ⊥平面P AC . 又因为BD ⊂平面PBD ， 所以平面P AC ⊥平面PBD .证明平面与平面垂直的两种常用方法（1）利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是： ①找出两相交平面的平面角； ②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个相交平面互相垂直.（2）利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：如图所示，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .证明：由四边形ABCD为正方形，可得CD⊥AD，又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CD，PD⊥AD，故CD⊥平面AQPD，从而CD⊥PQ.如图所示，取PD的中点E，连接QE.因为PD∥QA，QA＝12PD，则DE∥AQ，且DE＝AQ，从而四边形AQED是平行四边形，则QE∥AD，所以QE⊥PD，所以DQ＝QP.设QA＝1，则AB＝1，PD＝2.在△DQP中，有DQ＝QP＝2，PD＝2.所以DQ2＋QP2＝PD2，故∠PQD＝90°，即DQ⊥PQ.又CD∩DQ＝D，所以PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.面面垂直的性质定理的应用已知P是△ABC所在平面外的一点，且P A⊥平面ABC，平面P AC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.【证明】如图，在平面P AC内作AD⊥PC于点D，因为平面P AC⊥平面PBC，平面P AC∩平面PBC＝PC，AD⊂平面P AC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC.因为P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以P A⊥BC，因为AD∩P A＝A，所以BC⊥平面P AC，又AC⊂平面P AC，所以BC⊥AC.利用面面垂直的性质定理应注意的问题若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.应用面面垂直的性质定理，应注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线.如图，△ABC是正三角形，若AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，求证：AE∥平面BCD.证明：如图，取BC的中点M，连接DM，AM，因为BD＝CD，所以DM⊥BC.又因为平面BCD⊥平面ABC，DM⊂平面BCD，两平面交线为BC，所以DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM.又因为AE⊄平面BCD，DM⊂平面BCD，所以AE∥平面BCD.垂直关系的综合问题如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE ＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：（1）DE＝DA；（2）平面BDM⊥平面ECA；（3）平面DEA⊥平面ECA.【证明】（1）如图，取EC的中点F，连接DF.因为EC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EC⊥BC.同理可得BD⊥AB，易知DF∥BC，所以DF⊥EC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，因为EF＝12EC，EC＝2BD，所以EF＝BD.又FD＝BC＝AB，所以Rt△EFD≌Rt△DBA，故DE＝DA.（2）取CA的中点N，连接MN，BN，则MN∥EC，且MN＝12EC.因为EC∥BD，BD＝12EC，所以MN綊BD，所以N点在平面BDM内.因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN.又CA⊥BN，EC∩CA＝C，所以BN⊥平面ECA.因为BN在平面MNBD内，所以平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA.（3）由（2）易知DM∥BN，BN⊥平面ECA，所以DM⊥平面ECA.又DM⊂平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA.垂直关系的转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：（1）P A⊥底面ABCD；（2）BE∥平面P AD；（3）平面BEF⊥平面PCD.证明：（1）因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，所以P A⊥底面ABCD.（2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形.所以BE∥AD.又因为BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BE∥平面P AD.（3）因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由（1）知P A⊥底面ABCD，所以P A⊥CD.又P A∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.因为CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.1.给出以下四个命题，其中真命题的个数是（）①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.A.4B.3C.2D.1解析：选B.①②④正确.①线面平行的性质定理；②线面垂直的判定定理；③这两条直线可能相交或平行或异面；④面面垂直的判定定理.2.在下列关于直线m，l和平面α，β的说法中，正确的是（）A.若l⊂β，且α⊥β，则l⊥αB.若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC.若l⊥β，且α⊥β，则l∥αD.若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α解析：选B.A项中l与α可以平行或斜交，A项错.B项中，l⊥β且α∥β，所以l⊥α正确.C项中，l可在α内，C项错.D项中，l可在α内，D项错.3.在三棱锥P-ABC中，P A＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝23，则二面角P-AB-C的大小为Ｗ.解析：取AB的中点M，连接PM，MC，则PM⊥AB，CM⊥AB，所以∠PMC就是二面角P-AB-C的平面角.在△P AB中，PM＝22－（3）2＝1，同理MC＝PC＝1，则△PMC是等边三角形，所以∠PMC＝60°.答案：60°4.已知平面α，β和直线m，l，则下列说法：①若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β；②若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β；③若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；④若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β.其中正确的说法序号为Ｗ.解析：对于说法①缺少了条件：l⊂α；说法②缺少了条件：α⊥β；说法③缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；说法④具备了面面垂直的性质定理的所有条件.答案：④5.如图，四边形ABCD，BD＝23，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD.求证：AB⊥DE.证明：在△ABD中，因为AB＝2，AD＝4，BD＝23，所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD.又因为平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，所以AB⊥平面EBD.因为DE⊂平面EBD，所以AB⊥DE.[A基础达标]1.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（）A.0个B.1个C.无数个D.1个或无数个解析：选D.当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个.2.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是（）A.60°B.120°C.60°或120°D.不确定解析：选C.若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.3.已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是（）A.α⊥γ，β⊥γB.α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC.a∥β，a∥αD.a∥α，a⊥β解析：选D.由a∥α，知α内必有直线l与a平行.而a⊥β，所以l⊥β，所以α⊥β.4.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1（）A.平行B.共面C.垂直D.不垂直解析：选C.如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD.所以BD⊥AC.因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，5.如图，正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD上的动点，则（）A.存在点G，使PG⊥EF成立B.存在点G，使FG⊥EP成立C.不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立D.不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立解析：选C.正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD上的动点，在A中，不存在点G，使PG⊥EF成立，故A错误；在B中，不存在点G，使FG⊥EP成立，故B错误；在C中，不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立，故C正确；在D中，存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立，故D错误.故选C.6.已知P A⊥矩形ABCD所在的平面（如图），则图中互相垂直的平面有对.解析：因为DA⊥AB，DA⊥P A，所以DA⊥平面P AB，同理BC⊥平面P AB，又AB⊥平面P AD，所以DC⊥平面P AD，所以平面P AD⊥平面AC，平面P AB⊥平面AC，平面PBC⊥平面P AB，平面P AB⊥平面P AD，平面PDC⊥平面P AD，共5对.答案：57.如图，在三棱锥P-ABC内，侧面P AC⊥底面ABC，且∠P AC＝90°，P A＝1，AB＝2，则PB＝Ｗ.解析：因为侧面P AC⊥底面ABC，交线为AC，∠P AC＝90°（即P A⊥AC），P A⊂平面P AC，所以P A⊥AB，所以PB＝P A2＋AB2＝1＋4＝ 5.答案： 58.如图，直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为Ｗ.解析：如图，连接BC，因为二面角α-l-β为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，所以AC⊥β.又BC⊂β，所以AC⊥BC，所以BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，所以CD＝BC2－BD2＝ 2.答案： 29.如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB ＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°.求证：平面ABC⊥平面BSC.证明：取BC的中点D，连接SD、AD（图略），由SA＝SB＝SC，∠ASB ＝∠ASC＝60°，得AB＝AC＝SA.所以AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS是二面角A-BC-S的平面角.又∠BSC＝90°，令SA＝1，则SD＝22，AD＝22，所以SD2＋AD2＝SA2.所以∠ADS＝90°，所以平面ABC⊥平面BSC.10.如图，三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点.（1）求证：BD∥平面FGH；（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.证明：（1）如图所示，连接DG ，设CD ∩GF ＝M ，连接MH . 在三棱台DEF -ABC 中，AB ＝2DE ，所以AC ＝2DF . 因为G 是AC 的中点， 所以DF ∥GC ，且DF ＝GC ，所以四边形CFDG 是平行四边形，所以DM ＝MC .因为BH ＝HC ，所以MH ∥BD . 又BD ⊄平面FGH ，MH ⊂平面FGH ， 所以BD ∥平面FGH .（2）因为G ，H 分别为AC ，BC 的中点，所以GH ∥AB . 因为AB ⊥BC ，所以GH ⊥BC . 又H 为BC 的中点， 所以EF ∥HC ，EF ＝HC ，所以四边形EFCH 是平行四边形，所以CF ∥HE . 因为CF ⊥BC ，所以HE ⊥BC .又HE ，GH ⊂平面EGH ，HE ∩GH ＝H ， 所以BC ⊥平面EGH .又BC ⊂平面BCD ， 所以平面BCD ⊥平面EGH .[B 能力提升]11.将锐角A 为60°，边长为a 的菱形沿BD 折成60°的二面角，则折叠后A 与C 之间的距离为（ ）A.aB.12aC.32a D.3a解析：选C.设折叠后点A 到A 1的位置，取BD 的中点E ，连接A 1E ，CE .则BD ⊥CE ，BD ⊥A 1E .于是∠A 1EC 为二面角A 1BD -C 的平面角. 故∠A 1EC ＝60°.因为A1E＝CE，所以△A1EC是等边三角形.所以A1E＝CE＝A1C＝32a.12.如图，在四面体P ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中不一定成立的是（）A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面P AEC.平面PDF⊥平面P AED.平面PDF⊥平面ABC解析：选D.因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立.又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面P AE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面P AE，B成立.又DF⊂平面PDF，则平面PDF⊥平面P AE，C成立.要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，故选D.13.如图所示，平面四边形ABCD，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中正确的是（）①平面ACD⊥平面ABD；②AB⊥CD；③平面ABC⊥平面ACD.A.①②B.②③C.①③D.①②③解析：选D.因为BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，因为CD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABD，故①正确；因为平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，所以AB⊥AD，又CD⊥平面ABD，所以AB⊥CD，又AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ACD，又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD，故②③正确.14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，P A⊥底面ABCD，PD与底面成45°角，点E 是PD的中点.（1）求证：BE⊥PD；（2）求二面角P-CD-A的余弦值.解：（1）证明：连接AE.因为P A⊥底面ABCD，所以∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，所以∠PDA＝45°.所以P A＝DA.又因为点E是PD的中点，所以AE⊥PD.因为P A⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，所以P A⊥AB.因为∠BAD＝90°，所以BA⊥DA.又因为P A∩AD＝A，所以BA⊥平面PDA.又因为PD⊂平面PDA，所以BA⊥PD.又因为BA∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.因为BE⊂平面ABE，所以BE⊥PD.（2）连接AC.在直角梯形ABCD中，因为AB＝BC＝1，AD＝2，所以AC＝CD＝ 2.因为AC2＋CD2＝AD2，所以AC⊥CD，又因为P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以P A⊥CD.因为AC ∩P A ＝A ，所以CD ⊥平面P AC . 又因为PC ⊂平面P AC ，所以PC ⊥CD ， 所以∠PCA 为二面角P -CD -A 的平面角. 在Rt △PCA 中，PC ＝P A 2＋AC 2＝22＋（2）2＝ 6.所以cos ∠PCA ＝AC PC ＝26＝33.所以所求二面角的余弦值为33. [C 拓展探究]15.已知三棱锥A -BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC ＝AFAD ＝λ（0<λ<1）.（1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； （2）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？ 解：（1）证明：因为∠BCD ＝90°，所以BC ⊥CD . 因为AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥CD . 又因为AB ∩BC ＝B ，所以CD ⊥平面ABC . 因为AE AC ＝AFAD ，所以EF ∥CD ，所以EF ⊥平面ABC . 又因为EF ⊂平面BEF ， 所以平面BEF ⊥平面ABC .故不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC . （2）由（1）得EF ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ， 所以EF ⊥BE .要使平面BEF ⊥平面ACD ，只需BE ⊥AC . 因为∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，所以BD ＝ 2. 又因为AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°， 所以AB ＝6，AC ＝7，所以BE ＝AB ·BC AC ＝427， 所以AE ＝677， 所以λ＝AE AC ＝67. 故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD .。
8.6.3 第二课时 平面与平面垂直的性质
第二课时平面与平面垂直的性质课标要求素养要求1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的性质定理，并加以证明.2.能用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题.在发现、推导和应用平面与平面垂直的性质定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.教材知识探究教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直.问题(1)在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗？(2)怎样画才能保证所画直线与地面垂直？提示(1)不一定，也可能平行、相交(不垂直).(2)只要保证所画的线与两面的交线垂直即可.平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β图形语言[微判断]1.若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β.(×)2.若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线平行于平面β.(√)3.若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β.(√)提示平面α内的直线也可能平行于平面β或相交但不垂直.[微训练]若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A.α∥γB.α⊥γC.α与γ相交但不垂直D.以上都有可能解析两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能，故选D.答案 D[微思考]平面与平面垂直的性质定理有什么作用？提示(1)判定直线和平面垂直；(2)作平面的垂线.题型一垂直关系的相互转化【例1】m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题：(1)若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；(2)若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m；(3)若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.其中正确的命题为()A.(1)(2)B.(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)解析对于(1)，依据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到该直线与此平面垂直，而n只与β内的一条直线m垂直，不能得到n⊥β，故(1)不正确.对于(2)，如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，平面DCC′D′⊥平面ABCD，平面ABC′D′与平面DCC′D′的交线为C′D′，与平面ABCD的交线为AB，但C′D′∥AB.故(2)不正确.对于(3)，由于m⊥α，m⊥n，则n在平面α内或n∥α.若n在平面α内，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，过n作平面与α交于直线l，则n∥l，由n⊥β得l⊥β，从而α⊥β.故(3)正确.答案 B规律方法空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的，它们之间的转化关系如下：【训练1】若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A.若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC.若m⊥β，m∥α，则α⊥βD.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ解析由线面平行、垂直的有关知识可排除A，B，D；对于C，因为m∥α，过m作平面γ交α于m′，则m′∥m，由于m⊥β，故m′⊥β，又m′⊂α，则α⊥β，所以C正确.答案 C题型二平面与平面垂直的性质及应用面⊥面⇒线⊥面探究1证明直线和平面垂直【例2－1】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB ＝60°且边长为a的菱形.侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G 为AD边的中点.求证：(1)BG⊥平面P AD；(2)AD⊥PB.证明(1)由题意知△P AD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面P AD，∴PG⊥平面ABCD，由BG⊂平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，AD，PG⊂平面P AD，∴BG⊥平面P AD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PBG，所以AD⊥平面PBG，又PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB.探究2与面面垂直的性质有关的计算问题【例2－2】如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC ＝AD＝2，BC＝CD＝1.求四面体ABCD的体积.解如图所示，在平面ACD内过D点作DF⊥AC，垂足为F，故由平面ABC⊥平面ACD，AC为交线，DF⊂平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD 的面ABC上的高.设G 为边CD 的中点，连接AG ，则由AC ＝AD ，知AG ⊥CD ，从而AG ＝AC 2－CG 2＝22－⎝⎛⎭⎪⎫122＝152.由12AC ·DF ＝12CD ·AG 得 DF ＝AG ·CD AC ＝152×12＝154. 在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝3，S △ABC ＝12AB ·BC ＝32.故四面体ABCD 的体积V ＝13·S △ABC ·DF ＝58. 探究3 面面垂直的性质在探究性问题中的应用【例2－3】 如图1，在矩形ABCD 中，AD ＝1，AB ＝3，M 为CD 上一点，且CM ＝2MD .将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ，如图2，点E 是线段AM 的中点.(1)求四棱锥D －ABCM 的体积； (2)求证：平面BDE ⊥平面ABCM ；(3)过B 点是否存在一条直线l ，同时满足以下两个条件： ①l ⊂平面ABCM ；②l ⊥AD .请说明理由. (1)解 由已知DA ＝DM ，E 是AM 的中点， ∴DE ⊥AM .∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM ∩平面ABCM ＝AM ，∴DE ⊥平面ABCM .四棱锥P －ABCM 的体积V ＝13S ABCM ·DE ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1×3－12×1×1×12×2＝5212.(2)证明 由(1)可得，DE ⊥平面ABCM ，DE ⊂平面DEB ， ∴平面DEB ⊥平面ABCM .(3)解 过B 点存在一条直线l ，同时满足以下两个条件： ①l ⊂平面ABCM ；②l ⊥AD .理由：在平面ABCM 中，过点B 作直线l ，使l ⊥AM ，∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ABCM ∩平面ADM ＝AM ， ∴l ⊥平面ADM ，∴l ⊥AD .规律方法 1.证明或判定线面垂直的常用方法： (1)线面垂直的判定定理； (2)面面垂直的性质定理；(3)若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α(a ，b 为直线，α为平面)； (4)若a ⊥α，α∥β，则a ⊥β(a 为直线，α，β为平面)；2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.【训练2】 如图，在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .证明(1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.∵AB⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD⊂平面ABD，∴BC⊥AD.∵AB⊥AD，BC，AB⊂平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，∴AD⊥AC.题型三平行关系、垂直关系的综合应用【例3】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.证明(1)因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面P AD.所以AB⊥PD.又因为P A⊥PD，且P A∩AB＝A，P A，PB⊂平面P AB，所以PD⊥平面P AB.又PD⊂平面PCD，所以平面P AB⊥平面PCD.(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC.因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.规律方法 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.2.垂直与平行的综合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. 【训练3】如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F是CE的中点.(1)求证：BF∥平面ADP；(2)已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF.证明(1)如图，取PD的中点为G，连接FG，AG.∵F是CE的中点，∴FG是梯形CDPE的中位线，∵CD＝3PE，∴FG＝2PE，FG∥CD.∵CD∥AB，AB＝2PE，∴AB∥FG，AB＝FG，即四边形ABFG是平行四边形，∴BF∥AG，又BF⊄平面ADP，AG⊂平面ADP，∴BF∥平面ADP.(2)延长AO交CD于M，连接BM，FM.∵BA⊥AD，CD⊥DA，AB＝AD，O为BD的中点，∴四边形ABMD是正方形，则BD⊥AM，MD＝2PE，∴FM∥PD.∵PD⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，∴FM⊥BD，∵AM∩FM＝M，AM，FM⊂平面AMF，∴BD ⊥平面AMF ，∴BD ⊥平面AOF .一、素养落地1.通过学习和应用面面垂直的性质定理，重点培养数学抽象素养，及提升逻辑推理素养和直观想象素养.2.垂直关系之间的相互转化3.判定线面垂直的方法主要有以下五种①线面垂直的定义；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理；④如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，⎭⎬⎫a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，⎭⎬⎫α∥βa ⊥α⇒a ⊥β. 二、素养训练1.在空间中，下列命题正确的是( ) A.垂直于同一条直线的两直线平行 B.平行于同一条直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行解析 A 项中，垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B 项中，平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C 项中，垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D 项正确.答案 D2.已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n解析因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.答案 C3.如图所示，三棱锥P－ABC中，平面P AB⊥底面ABC，且P A＝PB＝PC，则△ABC 是________三角形.解析设P在平面ABC上的射影为O，∵平面P AB⊥底面ABC，平面P AB∩平面ABC＝AB，∴O∈AB.∵P A＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心，且是AB的中点，∴△ABC是直角三角形.答案直角4.如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2.求证：BF⊥平面ACFD.证明延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，AC⊂平面ABC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.又CK∩AC＝C，CK，AC⊂平面ACFD，所以BF⊥平面ACFD.基础达标一、选择题1.已知平面α⊥平面β，则下列命题中真命题的个数是()①α内的任意直线必垂直于β内的无数条直线；②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；③α内的任意一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α.A.4B.3C.2D.1解析①设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线，为真命题；②β内垂直于α与β交线的直线垂直于平面α，则它垂直于α内的任意直线，为真命题；③α内不与交线垂直的直线不垂直于β，为假命题；④垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直，为假命题.答案 C2.在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A.平行B.EF⊂平面A1B1C1D1C.相交但不垂直D.相交且垂直解析在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF⊂面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正确.答案 D3.如图所示，三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面P AB，P A＝PB，AD＝DB，则()A.PD⊂平面ABCB.PD⊥平面ABCC.PD与平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABC解析∵P A＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面P AB，平面ABC∩平面P AB＝AB，PD⊂平面P AB，∴PD⊥平面ABC.答案 B4.如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面P AC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆，但要去掉两个点解析∵平面P AC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面P AC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面P AC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC，∴∠ACB＝90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.答案 D5.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为π4和π6.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB∶A′B′等于()A.2∶1B.3∶1C.3∶2D.4∶3解析由已知条件可知∠BAB′＝π4，∠ABA′＝π6，设AB＝2a，则BB′＝2a sin π4＝2a，A′B＝2a cos π6＝3a，∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB∶A′B′＝2∶1.答案 A二、填空题6.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈平面ABCD，F∈平面A1B1C1D1，且EF⊥平面ABCD，则EF与AA1的位置关系是________.解析∵AA1⊥平面ABCD，EF⊥平面ABCD，∴AA1∥EF.答案平行7.已知a，b为直线，α，β为平面.在下列四个命题中，正确的命题是________(填序号).①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若α∥b，β∥b，则α∥β.解析由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真；易知④假.答案①③8.如图，在三棱锥P－ABC内，侧面P AC⊥底面ABC，且∠P AC＝90°，P A＝1，AB＝2，则PB＝________.解析∵侧面P AC⊥底面ABC，交线为AC，∠P AC＝90°(即P A⊥AC)，∴P A⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴P A⊥AB，∴PB＝P A2＋AB2＝1＋4＝ 5.答案 5三、解答题9.已知平面ABC⊥平面ACD，AB⊥平面BCD，BE⊥AC于点E.(1)判断DC与BE的关系；(2)求证：DC⊥BC.(1)解DC⊥BE，理由如下：∵平面ABC⊥平面ACD，BE⊥AC于点E，平面ABC∩平面ACD＝AC，BE⊂平面ABC，∴BE⊥平面ACD，又DC⊂平面ACD，∴BE⊥DC.(2)证明∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵BE⊥CD，AB∩BE＝B，AB，BE⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴CD⊥BC.10.如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝3a，AC∩BD ＝E，将其沿对角线BD折成直二面角.求证：(1)AB⊥平面BCD；(2)平面ACD⊥平面ABD.证明(1)在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝3a，∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°，AB⊥BD.又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面BCD.(2)∵折叠前四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BD，∴CD⊥BD.∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵AB∩BD＝B，AB，BD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD.又∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD.能力提升11.如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点.若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________.解析取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝ 2.因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，所以MN＝MG2＋NG2＝ 6.答案 612.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2.∠ABC＝∠DBC ＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点.(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D－BCG的体积.(1)证明∵AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，∴△ABC≌△DBC，∴AC＝DC.∵G为AD的中点，∴CG⊥AD.同理BG⊥AD，∵CG∩BG＝G，CG，BG⊂平面BGC，∴AD⊥平面BGC.又E，F分别是AC，CD的中点，∴EF∥AD，∴EF⊥平面BCG.(2)解在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，平面ABC∩平面BCD＝BC，且AO⊂平面ABC，∴AO⊥平面BCD.∵G为AD的中点，∴G到平面BCD的距离h是AO长度的一半.在△AOB中，AO＝AB sin 60°＝3，∴h＝32.在△BCD中，BF＝BD·cos 60°＝2×12＝1，DF＝AB·sin 60°＝3，∴DC＝23，故S△DCB＝12BF·DC＝12×1×23＝ 3.∴V D－BCG＝V G－BCD＝13S△DCB h＝13×3×32＝12.创新猜想13.(多选题)如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系成立的有()A.SG⊥平面EFGB.SE⊥平面EFGC.GF⊥SED.EF⊥平面SEG解析由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，同理可证GF⊥平面GSE，所以平面EFG，SFG，SEG两两垂直，所以选项A，C正确；若SE⊥平面EFG，则SE⊥EG，这与SG⊥EG矛盾，同理可知EF⊥平面SEG不正确，所以B，D不正确.答案AC14.(多选题)如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A′不与A，F重合)，则下列命题中正确的是()A.动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B.BC ∥平面A ′DEC.三棱锥A ′－FED 的体积有最大值D.三棱锥A ′－FED 可能是正三棱锥解析 注意折叠前DE ⊥AF ，折叠后其位置关系没有改变.A 中，由已知可得平面A ′FG ⊥平面ABC ，∴点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上.B 中，BC ∥DE ，BC ⊄平面A ′DE ，DE ⊂平面A ′DE ， ∴BC ∥平面A ′DE .C 中，当平面A ′DE ⊥平面ABC 时，三棱锥A ′－FED 的体积达到最大. D 中，因为A ′F 的长度在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a 范围内，所以存在一个位置，使A ′F ＝12a ，又因为△DEF 是正三角形，所以该位置使三棱锥A ′－FED 是正三棱锥. 答案 ABCD。
8.6.3 第2课时平面与平面垂直的性质定理-人教A版(2019)高中数学必修第二册课件
证明或判定线面垂直的常用方法 (1)线面垂直的判定定理． (2)面面垂直的性质定理． (3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a，b为直线，α为平面)． (4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)．
应用面面垂直性质定理的注意点 (1)两个平面垂直是前提条件． (2)直线必须在其中一个平面内． (3)直线必须垂直于它们的交线．
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数学 必修第二册 配人版A版
第八章 立体几何初步
证明：(1)设 BD＝a，如图，作 DF∥BC 交 CE 于点 F，则 CF＝DB
＝a.因为 EC⊥平面 ABC，所以 BC⊥CF，DF⊥EC．
所以 DE＝ EF2＋DF2＝ 5a. 又因为 DB⊥平面 ABC，
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第八章 立体几何初步
规范解答——垂直关系的综合应用
如图，在△BCD 中，∠BCD＝90°，BC＝CD ＝1，AB⊥平面 BCD，∠ADB＝60°，E，F 分别是 AC， AD 上的动点，且AACE＝AADF＝λ(0<λ<1)．
又因为 EC⊥平面 ABC，所以 EC⊥BN，EC⊥MD．
又 DE＝DA，M 为 EA 的中点，所以 DM⊥AE.
又因为 AE∩EC＝E，
所以 DM⊥平面 AEC，所以平面 BDM⊥平面 ECA．
(3)由(2)知 DM⊥平面 AEC，而 DM⊂平面 DEA，
所以平面 DEA⊥平面 ECA．
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第八章 立体几何初步
证明：∵平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD
8.6.3平面与平面垂直(性质)PPT课件(人教版)
∴BC⊥PA.
又PA∩AD=A，∴BC⊥平面
B
PAB.
【悟】
面面垂直的性质定理的应用
() () ()
3 于直 它线 们必 的须 交垂 线直
2 中直 一线 个必 平须 面在 内其
1
用面
要面
两 个
注垂
平
意直
面
以的
垂
下性
直
三质
点定
理
应
面面垂直的性质定理的应用
【练1】 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2. 将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC. 求证：BC⊥平面ACD.
二面角的有关概念
以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分别作垂直 于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
平面角的大小就是二面角的大小，范围是[00,1800]。
• ∠AOB即为二面角α-AB-β的 平面角
二面角的平面角的三个特征:
6.平面角是直角的二面角叫做直二面角
(1)顶点在棱上；
∴V 四棱锥 C－ABFE＝13·S 正方形 ABFE·CF＝43， V 三棱锥 A－CDE＝13·S△CDE·AE＝43，∴V 六面体 ABCDEF＝43＋43＝83.
巩固练习
巩固练习
1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.
b a
a / /b
a
a / /
a b
b
面面垂直的综合应用
例5.如图①所示，在直角梯形ABCD中，AB BC，BC / / AD，AD＝2AB＝4，BC＝3，E为AD的中点，EF BC, 垂足为F .沿EF 将四边形ABFE折起，连接AD，AC，BC，得到如图②所示的六面体ABCDEF .若折起后AB的 中点M 到点D的距离为3,
新版高中数学必修2课件：8.6.3平面与平面垂直
如图②，∠AOB 为二面角 α l β 的平面角． 方法三(垂线法) 过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂 线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其 补角． 如图③，∠AFE 为二面角 A -BC -D 的平面角．
要点二 平面与平面垂直
平面与平面垂直
定义
如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直__二__面__角__，就说 这两个平面互相垂直，记作：_α_⊥__β____
高中数学必修二 8.6.3 平面与平面垂直
从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观 最新 感知，了解空间中平面与平面的垂直关系，归纳出判 课标 定定理和性质定理，能用已获得的结论证明平面与平
面垂直关系的简单命题.
要点一 二面角 半平面的 平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常
定义 称为半平面 二面___所组成的图形叫做
题型三 面面垂直的性质定理的应用——师生共研 例 4 如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂 直，EF∥AC，AB＝ 2，CE＝EF＝1， 求证：CF⊥平面 BDE.
证明：如图，设 AC∩BD＝G，连接 EG，FG.
由 AB＝ 2易知 CG＝1，则 EF＝CG＝CE. 又 EF∥CG，所以四边形 CEFG 为菱形，所以 CF⊥EG. 因为四边形 ABCD 为正方形，所以 BD⊥AC. 又平面 ACEF⊥平面 ABCD，且平面 ACEF∩平面 ABCD＝AC， 所以 BD⊥平面 ACEF，CF⊂平面 ACEF， 所以 BD⊥CF. 又 BD∩EG＝G，所以 CF⊥平面 BDE.
符号语言
α⊥β
α∩β＝l
a⊂α
⇒a⊥β
a⊥l
图形语言
作用 ①面面垂直⇒___线__面___垂直；②作面的垂线
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2．平面 α⊥平面 β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线 m⊥α，则直线 m 与 n 的位置关系是________．
解析：因为 α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l， 所以 n⊥α.又 m⊥α，所以 m∥n. 答案：平行
[名师点津]
对面面垂直的性质定理的理解 (1)定理成立的条件有三个： ①两个平面互相垂直； ②直线在其中一个平面内； ③直线与两平面的交线垂直． (2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面 垂直； (3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转 化为线线垂直．
[证明] ∵四边形 ABCD 是菱形，∠DAB＝60°， ∴△ABD 是正三角形． ∵G 为 AD 边的中点，∴BG⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD，BG⊂平面 ABCD， 平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， ∴BG⊥平面 PAD. ∵BG⊂平面 PBG， ∴平面 PBG⊥平面 PAD.
[新知初探]
知识点 平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于
文字语言 这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面
垂直
符号语言
α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β
图形语言
[想一想] 如果 α⊥β，则 α 内的直线必垂直于 β 内的无数条直线， 正确吗？ 提示：正确．
垂直关系的转化 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、 面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开 始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
[跟踪训练] 1.已知平面 ABC⊥平面 ACD，AB⊥平面 BCD，
BE⊥AC 于点 E. (1)判断 DC 与 BE 的关系；
[做一做]
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若平面 α⊥平面 β，则平面 α 内所有直线都垂直于平面 β.
() (2)若平面 α⊥平面 β，则平面 α 内一定存在直线平行于平面 β.
()
(3)若平面 α 不垂直于平面 β，则平面 α 内一定不存在直线垂
直于平面 β.
()
答案：(1)× (2)√ (3)√
(2)因为 A1B1＝A1C1，F 为 B1C1 的中点， 所以 A1F⊥B1C1. 因为 CC1⊥平面 A1B1C1，且 A1F⊂平面 A1B1C1， 所以 CC1⊥A1F. 又因为 CC1，B1C1⊂平面 BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1， 所以 A1F⊥平面 BCC1B1. 由(1)知，AD⊥平面 BCC1B1，所以 A1F∥AD. 又 AD⊂平面 ADE，A1F⊄平面 ADE， 所以直线 A1F∥平面 ADE.
平面与平面垂直性质定理的应用
[例 1] (链接教材第 160 页例 9，例 10)如图，P 是四边形 ABCD 所在平面外 的一点，四边形 ABCD 是∠DAB＝60°且 边长为 a 的菱形．△PAD 为正三角形， 其所在平面垂直于平面 ABCD.若 G 为 AD 边的中点．
求证：平面 PBG⊥平面 PA来自.(2)求证：DC⊥BC．
解：(1)DC⊥BE，理由如下： ∵平面 ABC⊥平面 ACD，BE⊥AC 于点 E，平面 ABC∩平面 ACD＝AC，BE⊂平面 ABC， ∴BE⊥平面 ACD，又 DC⊂平面 ACD，
∴BE⊥DC．
(2)证明：∵AB⊥平面 BCD， CD⊂平面 BCD， ∴AB⊥CD. ∵BE⊥CD，AB∩BE＝B， ∴CD⊥平面 ABC，
线线、线面、面面垂直的综合
[例 2] 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，A1B1＝A1C1，D，E 分别是棱 BC，CC1 上的点(点 D 不同于点 C)，且 AD⊥DE，F 为 B1C1 的中点．求证：
(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1； (2)直线 A1F∥平面 ADE.
[证明] (1)因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱， 所以 CC1⊥平面 ABC， 又 AD⊂平面 ABC，所以 CC1⊥AD. 又因为 AD⊥DE，CC1，DE⊂平面 BCC1B1，CC1∩DE＝E， 所以 AD⊥平面 BCC1B1. 又 AD⊂平面 ADE，所以平面 ADE⊥平面 BCC1B1.
应用面面垂直性质定理要注意的问题 应用面面垂直性质定理证明相关问题时，一般需要作辅助 线——过其中一个平面内一点作交线的垂线，使之转化为线面 垂直，然后，进一步转化为线线垂直．
[跟踪训练]
1．已知长方体 ABCD-A1B1C1D1，在平面 AA1B1B 上任取一点 M，
作 ME⊥AB 于点 E，则
又 BC⊂平面 ABC，∴CD⊥BC．
2.如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，已知 AB⊥ 侧面 BB1C1C，BB1＝2BC＝2，∠BCC1＝60°. (1)求证：C1B⊥平面 A1B1C1； (2)P 是线段 BB1 上的动点，当平面 C1AP⊥平 面 AA1B1B 时，求线段 B1P 的长． 解：(1)证明：由 AB⊥侧面 BB1C1C，得 AB⊥C1B. 由 BB1＝2BC＝2，∠BCC1＝60°，知∠C1BC＝90°，
第二课时 平面与平面垂直的性质
新课程标准解读
核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体， 通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂 直关系.
直观想象
2.归纳出平面与平面垂直的判定定理.
逻辑推理
[问题导入]
预习课本第 159～161 页，思考并完成下列问题 1．面面垂直的性质定理是什么？ 2．面面垂直的性质定理的实质是什么？
()
A．ME⊥平面 ABCD
B．ME⊂平面 ABCD
C．ME∥平面 ABCD
D．以上都有可能
解析：∵ME⊂平面 AA1B1B，平面 AA1B1B∩平面 ABCD＝AB， 且平面 AA1B1B⊥平面 ABCD，ME⊥AB，∴ME⊥平面 ABCD. 答案：A
2.如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，BC＝CC1， 平面 A1BC1⊥平面 BCC1B1. 证明：平面 AB1C⊥平面 A1BC1. 证明：在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， 四边形 BCC1B1 为平行四边形， 因为 BC＝CC1，所以四边形 BCC1B1 为菱形， 所以 B1C⊥BC1，又平面 A1BC1⊥平面 BCC1B1， 且平面 A1BC1∩平面 BCC1B1＝BC1，B1C⊂平面 BCC1B1， 所以 B1C⊥平面 A1BC1， 因为 B1C⊂平面 AB1C，所以平面 AB1C⊥平面 A1BC1.