对数函数讲义(可直接使用).
对数与对数函数教师讲义
名思教育辅导讲义所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(－，＋∞)．5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ＝0，则不等式f (18logx )>0的解集为________________．答案 ∪(2，＋∞)解析 ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴它的图象关于y 轴对称． ∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数， 由f ＝0，得f ＝0. ∴f (18logx )>0?18log x <－或18log x >x >2或0<x <， ∴x ∈∪(2，＋∞)． 题型一 对数式的运算例1 (1)若x ＝log 43，则(2x －2－x )2等于( )A.B.C.D.(2)已知函数f (x )＝则f (f (1))＋f (log 3)的值是 ( )A ．5B ．3C ．－1D.思维启迪 (1)利用对数的定义将x ＝log 43化成4x ＝3； (2)利用分段函数的意义先求f (1)，再求f (f (1))； f (log 3)可利用对数恒等式进行计算． 答案 (1)D (2)A解析 (1)由x ＝log 43，得4x ＝3，即2x ＝， 2－x ＝，所以(2x －2－x )2＝()2＝.(2)因为f (1)＝log 21＝0，所以f (f (1))＝f (0)＝2. 因为log 3<0，所以f (log 3)＝31log 231-+＝3log 23＋1＝2＋1＝3.所以f (f (1))＋f (log 3)＝2＋3＝5.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．已知函数f (x )＝则f (2＋log 23)的值为________．答案解析 因为2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)，而3＋log 23>4，所以f (3＋log 23)＝()323log +＝×()32log ＝×＝.题型二 对数函数的图象和性质例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (12log 3)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c思维启迪 (1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象； (2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小，利用函数的单调性或中间值可达到目的．答案 (1)C (2)B解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C.(2)log3＝－log23＝－log49，12b＝f(log3)＝f(－log49)＝f(log49)，12log47<log49,0.2－0.6＝35 ＝>＝2>log49，又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f(0.2－0.6)<f(log3)<f(log47)，即c<b<a.12思维升华(1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想．(1)已知a＝21.2，b＝－0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为() A．c<b<a B．c<a<bC．b<a<c D．b<c<a(2)已知函数f(x)＝log a(x＋b)(a>0且a≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a ＝________，b＝________.答案(1)A(2)2 2解析(1)b＝－0.8＝20.8<21.2＝a，c＝2log52＝log522<log55＝1<20.8＝b，故c<b<a.(2)f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f(－1)＝log a(－1＋b)＝0且f(0)＝log a(0＋b)＝1，∴，即.题型三对数函数的应用例3已知函数f(x)＝log a(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．思维启迪f(x)恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数a来解决；探究a 是否存在，可从单调性入手．解(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，x∈[0,2]时，t(x)最小值为3－2a，当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．∴3－2a>0.∴a<.又a>0且a≠1，∴a∈(0,1)∪.(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数，∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝log a t为增函数，∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝log a(3－a)，∴，即，故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.思维升华解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．已知f(x)＝log4(4x－1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间[，2]上的值域．解(1)由4x－1>0，解得x>0，因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2)设0<x1<x2，则0<4x1－1<4x2－1，因此log4(4x1－1)<log4(4x2－1)，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(0，＋∞)上递增．(3)f(x)在区间[，2]上递增，又f()＝0，f(2)＝log415，因此f(x)在[，2]上的值域为[0，log415]．利用函数性质比较幂、对数的大小典例：(15分)(1)设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是() A．a>b>c B．a<b<cC．b<a<c D．a<c<b(2)已知a＝2log 3.45，c＝()3log0.3，则()5，b＝2log 3.6A．a>b>c B．b>a>cC．a>c>b D．c>a>b(3)已知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立，a＝(20.2)·f(20.2)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝(log39)·f(log39)，则a，b，c的大小关系是()A ．b >a >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b思维启迪 (1)利用幂函数y ＝x 0.5和对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，结合中间值比较a ，b ，c 的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log 23.4、log 43.6、－log 30.3＝log 3的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数φ(x )＝xf (x )的单调性，再根据20.2，log π3，log 39的大小关系求解．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1； 根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1. 所以b <a <c . (2)c ＝()3log 0.3＝53log 0.3＝5310log 3.方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示． 由图象知： log 23.4>log 3>log 43.6.方法二 ∵log 3>log 33＝1，且<3.4， ∴log 3<log 33.4<log 23.4. ∵log 43.6<log 44＝1，log 3>1， ∴log 43.6<log 3. ∴log 23.4>log 3>log 43.6. 由于y ＝5x为增函数，∴2log 3.45>5310log 3>5log 43.6.即2log 3.45>()3log 0.3>2log 3.65，故a >c >b .教研主任签字：________。
对数函数及其性质知识点总结讲义
对数函数及其性质知识点总结讲义一、对数基本概念1.对数的定义：对数是数学中的一种运算，用一个数的指数表示另一个数。
2. 对数的表示方法：如果a^x = b，则记作x = loga(b)。
3.对数函数：对数函数是指以对数的形式来表示函数的函数。
二、对数函数的性质1.定义域和值域：-对数函数的定义域为正实数集，即x>0。
-对数函数的值域为实数集，即y∈R。
2.对称性：- 设a > 1，则loga(x) = y当且仅当a^y = x。
- 设0 < a < 1，则loga(x) = y当且仅当a^y = x。
3.基本性质：- loga(1) = 0，其中a ≠ 0。
- loga(a) = 1，其中a ≠ 1- loga(x · y) = loga(x) + loga(y)，其中x > 0，y > 0。
- loga(x / y) = loga(x) - loga(y)，其中x > 0，y > 0。
- loga(x^p) = p · loga(x)，其中x > 0，p ∈ R。
- loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a，b > 0，且a ≠ 1，c ≠14.基本图像：- 对数函数y = loga(x)的图像为一条曲线，也称为对数曲线。
-当0<a<1时，对数曲线在第一象限上严格递减。
-当a>1时，对数曲线在第一象限上严格递增。
5.特殊对数函数：- 以2为底的对数函数y = log2(x)常用于衡量信息的位数及计算机科学中。
- 自然对数函数y = ln(x)常用于微积分和其它分支的数学中。
三、对数函数的应用1.指数增长与对数函数：对数函数的性质使得它在描述指数增长的问题中非常有用。
-对数函数可以用来模拟人口增长、投资收益、疾病传播等指数增长的过程。
2.对数函数在数据处理中的应用：-对数函数可以用来处理大量数据、极大值、极小值等情形。
对数函数及其性质知识点总结经典讲义
对数函数及其性质知识点总结经典讲义对数函数是指以一些正数b为底的函数，表示为logb(x)，其中x为自变量，b为底数。
对数函数是指数函数的逆运算，可以用于解决指数方程和指数不等式问题。
对数函数的一些重要性质如下：1.对数函数的定义域是正实数集R+。
2.对数函数的值域是实数集R。
3.对数函数的自变量必须大于0，即x>0。
4.底数b必须大于0且不等于1，即b>0，b≠15.对数函数的图像在直线y=x左侧，与x轴交于点(1,0)。
6. 对数函数是单调递增函数，即当自变量x1 > x2时，有logb(x1) > logb(x2)。
7. 对数函数的特殊值：logb(1) = 0，logb(b) = 18. 对数函数的运算规则：logb(x·y) = logb(x) + logb(y)，logb(x/y) = logb(x) - logb(y)，logb(x^n) = n·logb(x)，其中x、y 为正实数，n为任意实数。
9. 对数函数的函数性质：logb(1/x) = -logb(x)，logb√x =(1/2)·logb(x)。
10. 对数函数的性质：logb(m/n) = logb(m) - logb(n)，logb(m^n) = n·logb(m)，logb(m) = (logc(m))/(logc(b))，其中b、c为正实数，m、n为正实数。
11. 对数函数的解析式：logb(x) = logc(x)/logc(b)，其中c为任意正实数，c ≠ 112. 对数函数的性质：logb(x) = 1/(logx(b))。
13. 对数函数与指数函数的关系：y = logb(x)是函数y = b^x的反函数，两者互为反函数。
对数函数在数学、科学和工程等领域中具有广泛的应用。
它可以用于求解指数方程和指数不等式，简化复杂的计算和求解过程。
在数学中，对数函数是指数函数的重要补充，它们互为反函数，可以相互转化，应用更加灵活。
《对数的概念》 讲义
《对数的概念》讲义一、引入在数学的世界里，我们常常会遇到各种各样的数和运算。
其中，有一种非常重要的数学概念，那就是对数。
想象一下，你正在计算一个数的乘方，比如 2 的 3 次方等于 8。
但如果反过来，已知结果是 8，要找出是 2 的几次方得到 8 呢？这时候，对数就派上用场了。
二、什么是对数对数，简单来说，就是在一个等式中，表示要得到某个数，需要对另一个固定的数（底数）进行多少次乘方运算。
如果 a 的 b 次幂等于 N（a＞0，且a≠1），那么数 b 叫做以 a 为底N 的对数，记作 b ＝logₐN。
例如，因为 2³＝ 8，所以 3 就是以 2 为底 8 的对数，记作 log₂8 ＝3。
再比如，因为 10²＝ 100，所以 2 就是以 10 为底 100 的对数，记作log₁₀100 ＝ 2。
这里，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
三、对数的性质1、零和负数没有对数。
因为对数是指数运算的逆运算，而任何数的任何次幂都不可能是零或负数。
2、 1 的对数是 0。
因为 a⁰＝ 1（a＞0，且a≠1），所以logₐ1 ＝ 0。
3、底数的对数是 1。
即logₐa ＝ 1。
四、对数的运算1、对数的加法logₐ(MN) ＝logₐM ＋logₐN例如，log₂(4×8) ＝ log₂4 ＋ log₂8 ＝ 2 ＋ 3 ＝ 52、对数的减法logₐ(M ／ N) ＝logₐM logₐN比如，log₃(9 ／ 3) ＝ log₃9 log₃3 ＝ 2 1 ＝ 13、对数的乘方logₐ(Mⁿ) ＝n logₐM例如，log₅(25²) ＝ 2 log₅25 ＝ 4五、常用对数和自然对数1、常用对数以 10 为底的对数叫做常用对数，简记为 lg。
例如，lg100 ＝ 2。
2、自然对数以无理数 e（约等于 271828）为底的对数叫做自然对数，简记为 ln。
例如，ln e ＝ 1，ln e²＝ 2。
2.2 对数函数讲义
2.2 对数函数一、对数的概念：如果x a ＝N(a ＞0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝N a log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
（1）常用对数：把以10为底数的对数叫做常用对数log 10N 简记为lgN ，如：log 105记为lg5 （2）自然对数：把以无理数（e ＝2.71828……）为底的对数称为自然对数，log e N 简记为lnN ，如：log e 5记为ln5。
性质：（1）0和负数没有对数；（2）1的对数是0，即log a 1＝0；（3）底数的对数等于1，即log a a ＝1例1：求下列各式中的x （1）log x 27＝23 （2）x ＝log 2791（3）log 5(log 2x)＝0 【解析】：（1）∵ log x 27＝23 ∴ 23x ＝321)(x ＝27＝33 ∴21x ＝3 ∴x ＝9（2）∵x ＝log 2791 ∴ x 27＝91 ∴x 33＝91＝23- ∴3x ＝－2 ∴x ＝－32 （3）∵log 5(log 2x)＝0 ∴log 2x ＝1 ∴x ＝2变式练习：解下列方程 （1）log 64x ＝－32（2）log x 4＝2 （3）lg 2x －lgx －2＝0【解析】：（1）161 （2）2 （3）101或1000二、对数运算性质 【如果a ＞0且a ≠1；M ＞0，N ＞0，m 、n ∈R 】（1）log a (MN)＝log a M ＋log a N （2）log a NM＝log a M －log a N （3）log a M n ＝nlog a M [ma b n log ＝nmlog a b] （4）N a N a =log 对数恒等式（5）log a b ＝a b c c log log ＝a b lg lg ＝a b ln ln (c ＞0且c ≠1) 换底公式 （6）log a b ＝ab log 1例2：计算（1）lg12.5－lg85＋lg 21 （2）lg5＋31lg8＋lg5×lg20＋lg 22 （3）20log 77×7.0log 77 【解析】：（1）原式＝lg(12.5×21×58)＝lg10＝1（2）原式＝lg5＋31lg23＋lg5×(lg4＋lg5)＋lg 22＝lg5＋lg2＋2lg5×lg2＋lg 25＋lg 22＝lg5＋lg2＋(lg5＋lg2)2＝1＋1＝2 （3）原式＝7.0log 20log 777+＝14log 77＝14【lg5＋lg2＝lg10＝1，lg2≈0.301， lg5≈0.699】变式练习1：计算下列代数式的值。
对数函数及其性质(讲义)含答案
对数函数及其性质（讲义）➢ 知识点睛一、对数函数的定义一般地，函数__________（ ）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)． 二、对数函数的图象和性质1. 对数函数log a y x =（a >0，且a ≠1）的图象和性质：①log a y x =，②log b y x =，③log c y x =，④log d y x =， 则有0<b <a <1<d <c ，即：x ∈(1，+∞)时，log log log log a b c d x x x x <<<； x ∈(0，1)时，log log log log a b c d x x x x >>>． 3. 反函数log a y x =与x y a =互为反函数，其中a >0，且a ≠1；互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称．➢ 精讲精练1. 直接写出下列函数的定义域：（1）3log (2)y x =- __________________； （2）y =__________________； （3）y __________________；（4）1ln(1)y x =+__________________．2. （1）已知()f x 的定义域为[0，1]，则函数12(log (3))y f x =-的定义域是_____________；（2）已知函数122()log (2log )f x x =-的值域是(-∞，0)，则它的定义域是_____________；（3）函数212()log (613)f x x x =++的值域是_____________．3. 已知a >0，且a ≠1，则函数x y a =与log ()a y x =-的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 函数f (x )=1+2log x 与g (x )=12x -在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5. 若点(a ，b )在函数y =lg x 的图象上，则下列点也在此图象上的是（ ）A ．1()b a ， B ．(10a ，1-b )C ．10(1)b a+，D ．(a 2，2b )6. 若log 21a <，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1，2)B ．(0，1)∪(2，+∞)C ．(0，1)∪(1，2)D ．(0，12)7. 若函数log a y x =在区间[2，π]上的最大值比最小值大1，则a =__________．8. 已知函数2log 0()20x x x f x x >⎧=⎨⎩≤，，，若1()2f a =，则a =________．9. （1）已知函数x y a )1(log -=在(0，+∞)上为增函数，则a 的取值范围是_____________；（2）已知函数log (2)a y ax =-在(-1，1)上是x 的减函数，则a 的取值范围是_____________；（3）若函数22log ()y x ax a =---在区间(1-∞-，上是增函数，则a 的取值范围是_____________．10. （1）函数()|log |01a f x x a a =>≠（）且的单调递增区间是_____________；（2）函数212()log (2)f x x x =+的单调递增区间是__________，单调递减区间是_____________；（3）已知2()2f x x x =+，12()log g x x =，则函数(())y f g x =的单调递增区间是___________，单调递减区间是_________．11. 比较下列各组数的大小：（1）112246log log 57，；（2）35log 2log 2，；（3）0.32log 2log 3，；（4）0.450.450.4log 5，，．12.设32log πlog log a b c ===， ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a13. 设a ，b ，c 均为正数，且112212log ()log 2a b a b ==，，21()log 2c c =，则（ ） A ．a <b <c B ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c【参考答案】➢ 知识点睛一、对数函数的定义log 01a y x a a =>≠（，且） ➢ 精讲精练1. （1）(2)+∞，；（2）(0)+∞，；（3）2(1]3，；（4）(10)(02]-，， 2. （1）5[2]2，；（2）(02)，；（3）(2]-∞-， 3. B 4. C 5. D 6. B7.22ππ或 8.或-19. （1）(2)+∞，；（2）(1，2)；（3）[22]- 10. （1）(1)+∞，（2）(2)(0)-∞-+∞，，， （3）(2)(02)+∞，，，13. A。
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数对数函数讲义
最新课程标准：（１）通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．（２）知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数（a＞0，且a≠１）．（３）收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.知识点一对数函数的概念函数y＝log a x （a＞0，且a≠１）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）．错误!形如y＝２log２x，y＝log２错误!都不是对数函数，可称其为对数型函数．知识点二对数函数的图象与性质a＞１0＜a＜１图象性质定义域（0，＋∞）值域R过点（１,0），即当x＝１时，y＝0在（0，＋∞）上是增函数在（0，＋∞）上是减函数错误!底数a与１的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞１时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜１时，对数函数的图象“下降”．知识点三反函数一般地，指数函数y＝a x（a＞0，且a≠１）与对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．[教材解难]１．教材P１３0思考根据指数与对数的关系，由y ＝错误!5730x（x ≥0）得到x ＝log 573012y （0＜y ≤１）．如图，过y 轴正半轴上任意一点（0，y 0）（0＜y 0≤１）作x 轴的平行线，与y ＝错误!5730x（x ≥0）的图象有且只有一个交点（x 0，y 0）．这就说明，对于任意一个y ∈（0,１]，通过对应关系x ＝log 573012y ，在[0，＋∞）上都有唯一确定的数x 和它对应，所以x 也是y 的函数．也就是说，函数x ＝log 573012y ，y ∈（0,１]刻画了时间x 随碳１４含量y 的衰减而变化的规律．２．教材P １３２思考利用换底公式，可以得到y ＝log 12x ＝—log ２x .因为点（x ，y ）与点（x ，—y ）关于x轴对称，所以y ＝log ２x 图象上任意一点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P １（x ，—y ）都在y ＝log 12x 的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称．根据这种对称性，就可以利用y ＝log ２x 的图象画出y ＝log 12x 的图象．３．教材P １３8思考一般地，虽然对数函数y ＝log a x （a ＞１）与一次函数y ＝kx （k ＞0）在区间（0，＋∞）上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx（k＞0）保持固定的增长速度，而对数函数y＝log a x（a＞１）的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，log a x可能会大于kx，但由于log a x的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有log a x＜kx.４．４．１对数函数的概念[基础自测]１．下列函数中是对数函数的是（）Ａ．y＝log14xＢ．y＝log14（x＋１）Ｃ．y＝２log14xＤ．y＝log14x＋１解析：形如y＝log a x（a＞0，且a≠１）的函数才是对数函数，只有A是对数函数．答案：A２．函数y＝错误!ln（１—x）的定义域为（）Ａ．（0,１）Ｂ．[0,１）Ｃ．（0,１] Ｄ．[0,１]解析：由题意，得错误!解得0≤x＜１；故函数y＝错误!ln（１—x）的定义域为[0,１）．答案：B３．函数y＝log a（x—１）（0＜a＜１）的图象大致是（）解析：∵0＜a＜１，∴y＝log a x在（0，＋∞）上单调递减，故A，B可能正确；又函数y＝log a（x—１）的图象是由y＝log a x的图象向右平移一个单位得到，故A正确．答案：A４．若f（x）＝log２x，x∈[２,３]，则函数f（x）的值域为________．解析：因为f（x）＝log２x在[２,３]上是单调递增的，所以log２２≤log２x≤log２３，即１≤log２x≤log２３．答案：[１，log２３]题型一对数函数的概念例１下列函数中，哪些是对数函数？（１）y＝log a错误!（a＞0，且a≠１）；（２）y＝log２x＋２；（３）y＝8log２（x＋１）；（４）y＝log x6（x＞0，且x≠１）；（５）y＝log6x.【解析】（１）中真数不是自变量x，不是对数函数．（２）中对数式后加２，所以不是对数函数．（３）中真数为x＋１，不是x，系数不为１，故不是对数函数．（４）中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．（５）中底数是6，真数为x，系数为１，符合对数函数的定义，故是对数函数.用对数函数的概念例如y＝log a x（a＞0且a≠１）来判断．方法归纳判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练１若函数f（x）＝（a２—a＋１）log（a＋１）x是对数函数，则实数a＝________.解析：由a２—a＋１＝１，解得a＝0或a＝１．又底数a＋１＞0，且a＋１≠１，所以a＝１．答案：１对数函数y＝log a x系数为１．题型二求函数的定义域[教材P１３0例１]例２求下列函数的定义域：（１）y＝log３x２；（２）y＝log a（４—x）（a＞0，且a≠１）．【解析】（１）因为x２＞0，即x≠0，所以函数y＝log３x２的定义域是{x|x≠0}．（２）因为４—x＞0，即x＜４，所以函数y＝log a（４—x）的定义域是{x|x＜４}.真数大于0．教材反思求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式（数）非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于１．另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．跟踪训练２求下列函数的定义域：（１）y＝lg（x＋１）＋错误!；（２）y＝log（x—２）（５—x）．解析：（１）要使函数有意义， 需错误!即错误!∴—１＜x ＜１，∴函数的定义域为（—１,１）． （２）要使函数有意义，需错误!∴错误! ∴定义域为（２,３）∪（３,５）．真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解． 题型三 对数函数的图象问题例３ （１）函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的（ ）（２）已知函数y ＝log a （x ＋３）—１（a ＞0，a ≠１）的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f （x ）＝３x ＋b 的图象上，则f （log ３２）＝________.（３）如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与１的大小关系为________．【解析】 （１）A 中，由y ＝x ＋a 的图象知a ＞１，而y ＝log a x 为减函数，A 错；B 中，0＜a ＜１，而y ＝log a x 为增函数，B 错；C 中，0＜a ＜１，且y ＝log a x 为减函数，所以C 对；D 中，a ＜0，而y ＝log a x 无意义，也不对．（２）依题意可知定点A （—２，—１），f （—２）＝３—２＋b ＝—１，b ＝—错误!，故f （x ）＝３x —错误!，f （log ３２）＝３3log 2—错误!＝２—错误!＝错误!.（３）由题干图可知函数y＝log a x，y＝log b x的底数a＞１，b＞１，函数y＝log c x，y＝log d x的底数0＜c＜１,0＜d＜１．过点（0,１）作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞１＞d＞c.【答案】（１）C （２）错误!（３）b＞a＞１＞d＞c错误!（１）由函数y＝x＋a的图象判断出a的范围．（２）依据log a１＝0，a0＝１，求定点坐标．（３）沿直线y＝１自左向右看，对数函数的底数由小变大．方法归纳解决对数函数图象的问题时要注意（１）明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．（２）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞１，还是0＜a＜１．（３）牢记特殊点．对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）的图象经过点：（１,0），（a,１）和错误!.跟踪训练３（１）如图所示，曲线是对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）的图象，已知a取错误!，错误!，错误!，错误!，则相应于C１，C２，C３，C４的a值依次为（）Ａ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｂ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｃ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｄ．错误!，错误!，错误!，错误!（２）函数y＝log a|x|＋１（0＜a＜１）的图象大致为（）解析：（１）方法一作直线y＝１与四条曲线交于四点，由y＝log a x＝１，得x＝a（即交点的横坐标等于底数），所以横坐标小的底数小，所以C１，C２，C３，C４对应的a值分别为错误!，错误!，错误!，错误!，故选Ａ．方法二由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C１，C２，C３，C４，即错误!，错误!，错误!，错误!.故选Ａ．增函数底数a＞１，减函数底数0＜a＜１．（２）函数为偶函数，在（0，＋∞）上为减函数，（—∞，0）上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±１时y＝１，故选Ａ．先去绝对值，再利用单调性判断.答案：（１）A （２）A课时作业２３１．下列函数是对数函数的是（）Ａ．y＝２＋log３xＢ．y＝log a（２a）（a＞0，且a≠１）Ｃ．y＝log a x２（a＞0，且a≠１）Ｄ．y＝ln x解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝log a x”的形式，A，B，C全错，D正确．答案：D２．若某对数函数的图象过点（４,２），则该对数函数的解析式为（）Ａ．y＝log２xＢ．y＝２log４xＣ．y＝log２x或y＝２log４xＤ．不确定解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝log a x（a＞0，且a≠１，x＞0），则２＝log a４即a２＝４得a＝２．故所求解析式为y＝log２x.答案：A３．设函数y＝错误!的定义域为A，函数y＝ln（１—x）的定义域为B，则A∩B＝（）Ａ．（１,２）Ｂ．（１,２]Ｃ．（—２,１）Ｄ．[—２,１）解析：由题意可知A＝{x|—２≤x≤２}，B＝{x|x＜１}，故A∩B＝{x|—２≤x＜１}．答案：D４．已知a＞0，且a≠１，函数y＝a x与y＝log a（—x）的图象只能是下图中的（）解析：由函数y＝log a（—x）有意义，知x＜0，所以对数函数的图象应在y轴左侧，可排除A，Ｃ．又当a＞１时，y＝a x为增函数，所以图象B适合．二、填空题５．若f（x）＝log a x＋（a２—４a—５）是对数函数，则a＝________.解析：由对数函数的定义可知错误!，∴a＝５．答案：５6．已知函数f（x）＝log３x，则f错误!＋f（１５）＝________.解析：f错误!＋f（１５）＝log３错误!＋log３１５＝log３２7＝３．答案：３7．函数f（x）＝log a（２x—３）（a＞0且a≠１）的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．解析：令２x—３＝１，解得x＝２，且f（２）＝log a１＝0恒成立，所以函数f（x）的图象恒过定点P（２,0）．答案：（２,0）三、解答题8．求下列函数的定义域：（１）y＝log３（１—x）；（２）y＝错误!；（３）y＝log7错误!.解析：（１）由１—x＞0，得x＜１，∴函数y＝log３（１—x）的定义域为（—∞，１）．（２）由log２x≠0，得x＞0且x≠１．∴函数y＝错误!的定义域为{x|x＞0且x≠１}．（３）由错误!＞0，得x＜错误!.∴函数y＝log7错误!的定义域为错误!.9．已知f（x）＝log３x.（１）作出这个函数的图象；（２）若f（a）＜f（２），利用图象求a的取值范围．解析：（１）作出函数y＝log３x的图象如图所示（２）令f（x）＝f（２），即log３x＝log３２，解得x＝２．由图象知，当0＜a＜２时，恒有f（a）＜f（２）．∴所求a的取值范围为0＜a＜２．[尖子生题库]１0．已知函数y＝log２x的图象，如何得到y＝log２（x＋１）的图象？y＝log２（x ＋１）的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？解析：y＝log２x错误!y＝log２（x＋１），如图．定义域为（—１，＋∞），值域为R，与x轴的交点是（0,0）．。
2020年上海新高一新教材数学讲义-专题13 对数函数(学生版)
专题13 对数函数(对数函数的定义与图像，对数函数的性质）知识梳理一、对数函数1、对数函数定义：O y(0,1)x y a a a =>≠互为反函数。
2、性质：（1）对数函数log a y x =的图像都在y 轴的右方；（2）对数函数log a y x =的图像经过点（1,0）；（3）对数函数log (1)a y x a =>,当x>1时，y>0；当0<x<1时， y<0；对数函数log (01)a y x a =<<,当x>1时，y<0；当0<x<1时， y>0；（4）对数函数log (1)a y x a =>在（0，+∞）上是增函数，对数函数log (10)a y x a =>>在（0，+∞）上是减函数。
（5）对数函数图像在第一象限的规律是：以直线x=1把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数底数都是由左向右逐渐增大，如右图所示，C 1，C 2，C 3，C 4对应1log a y x =，2log a y x =，3log a y x =，4log a y x =，则0<a 4<a 3<1<a 2<a 1。
3、复合函数的单调性在复合函数[()]y f g x =中，如果()u g x =和()y f x =的增减性相异，则[()]y f g x =为减函数，如果()()u g x y f x ==和的增减性相同，则[g()]y f x =为增函数。
例题解析一、对数函数的概念与简单运用【例1】求下列函数的定义域（1）2log (162)x x y +=- （2）1lg(23)y x =+【例2】已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数1[log (3)]y f x =-的定义域。
【例3】若132log >a ，则a 的取值范围是（ ） A ．231<<a B ．23110<<<<a a 或C ．132<<a D ．1320><<a a 或【例4】函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为（ ） A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16]【例5】已知函数2()lg(1)f x ax ax =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
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一、教学目标：1．理解对数的概念，掌握对数的运算性质；2．掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题．二、教学重、难点：运用对数运算性质进行求值、化简、证明、运用对数函数的定义域、单调性解题三、命题规律：主要考察指数式ba N =与对数式log a Nb =的互化，对数函数的图像和性质或由对数函数复合成的函数，主要涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求最值等，主要以填空为主。
四、教学内容：【知识回顾】 1.对数的概念如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。
即指数式与对数式的互化：log ba aN b N =⇔=2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。
自然对数：通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。
3.对数的性质及对数恒等式、换底公式（1）对数恒等式：①log Na a = (01,0)a a N >≠>且②log N a a =(01,0)a a N >≠>且（2）换底公式：log a N =log log b b Na（3）对数的性质：①负数和零没有对数 ② 1的对数是零，即log 10a =③底的对数等于1，即log 1a a = ④log log log a b c b c d ⋅⋅=log a d4.对数的运算性质如果01,0,0a a M N >≠>>且，那么（1）log ()a MN = ； （2）log aMN= ； （3）log na M = ； （4）logn a mM = 。
（5）log log a b b a ⋅= ； （6）log a b =1log b a5.对数函数函数log (01)a y x a a =>≠且做对数函数，其定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).、 6.对数函数图像与性质注：对数函数1log log (01)a ay x y x a a ==>≠与且的图像关于x 轴对称。
7.同真数的对数值大小关系如图在第一象限内，图像从左到右相应的底逐渐增大， 即01c d a b <<<<<8.对数式、对数函数的理解① 应重视指数式与对数式的互化关系，它体现了数学的转化思想，也往往是解决“指数、对数”问题的关键。
② 在理解对数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像2log 2,log 2,3ln x y y x y x ===等函数均不符合形式log (01)a y x a a =>≠且，因此，它们都不是对数函数 ③ 画对数函数log a y x =的图像，应抓住三个关键点1(,1),(1.0),(,1)a a-【例题精讲】 考点一：对数式的运算例1.计算（1）(22lg5+ （2）()(21lg5lg8lg1000lg lg lg 0.066++++【反思归纳】运用对数的运算法则时，要注意各字母的取值范围，只有所得结果中的对数和所给出的数的对数都存在时才成立，同时不要将积商幂的对数与对数的积商幂混淆起来。
【举一反三】 1.求值：（1）2221log log 12log 4212-- （2）()2lg 2lg 2lg50lg 25+⋅+（3）()()3948log 2log 2log 3log 3+⋅+练习：1=29=3(log 3log 3)=1248．化简．．计算．．计算＋·．lg lg lg lg log 23939123-+-4log(6+42642)=5log 2=1aalog 3=32．．．已知，则．---6．若log π(log 3(lnx))=0，则x=________． 7．化简lg 25＋lg2·lg50=________．8log500lg 85lg6450(lg2lg5)2．计算＋＋＋＝．-12考点二：对数值的大小比较比较大小常用的方法有：①做差比较法 ②做商比较法 ③函数单调性法 ④中间值法， 在比较两个幂的大小时，除上述一般方法外，还应注意以下情况：1) 对于底数相同，真数不同的两个对数的大小比较，直接利用对数函数的单调性来判断。
2) 对于底数不同，真数相同的两个对数的大小比较，可利用对数函数的图像来判断。
3) 对于底数和真数均不同的两个对数的大小比较，可以利用中间值来比较4) 对于三个及以上的数进行大小比较，则应先根据值的大小，（特别是0和1）进行分组，再比 较各组的大小。
5) 对于含有参数的两个对数进行大小比较时，要注意对底数进行讨论。
例2.比较大小（1）22log 3.4log 8.5与 （2）23log 3log 3与（3）76log 6log 7与 （4）()()21log 1log 2a ab b b R -+∈与【举一反三】(1)3.0log 7.0log 4.03.0与 (2) 214.36.0317.0log ,8.0log -⎪⎭⎫ ⎝⎛和 (3)1.0log 1.0log 2.03.0和解：（1） ∵13.0log 7.0log 3.03.0=< 14.0log 3.0log 4.04.0=>∴3.0log 7.0log 4.03.0<(2) ∵18.0log 06.0<< 07.0log 4.3< 13121>⎪⎭⎫⎝⎛-∴216.04.3318.0log 7.0log -⎪⎭⎫ ⎝⎛<<(3) 解： 03.0log 11.0log 1.03.0>=02.0log 11.0log 1.02.0>=∵2.0log 3.0log 1.01.0< ∴1.0log 1.0log 2.03.0> 考点三：与对数函数有关的定义域问题求与对数函数有关的复合函数的定义域的方法与前面所讲到的求定义域解法一样，但应注意真数大于0且不等于1，若遇到底数含有参数，则应对参数进行讨论。
例3. 求下列函数的定义域()21log a y x =；（2）2log (4)a y x =-；（3）log 4a xy x=-. 解（1）因为20x >，即0x ≠，所以函数2log a y x =的定义域是()(),00,-∞+∞.（2）因为240x ->，即240x -<，所以函数2log (4)a y x =-的定义域是()2,2-.（3）因为04x x >-，即()40x x -<，所以函数log 4axy x=-的定义域是()0,4. 考点四：与对数函数有关的值域问题（1） 型如(log )a y f x =：采用换元法，令log a t x =，根据定义域先求log a t x =值域，再求()y f t =的值域。
（2） 型如log ()a y f x =：由真数()0f x >求出定义域，再求出()y f x =的值域，再根据a 的值确定复合函数的值域.例4.求下列函数的定义域、值域： (1)41212-=--xy (2) )52(log 22++=x x y (3) )54(log 231++-=x x y (4) )(log 2x x y a --=解(1)：要使函数有意义，必须：041212≥---x 即：11212≤≤-⇒-≥--x x 值域：∵11≤≤-x ∴012≤-≤-x 从而 1122-≤--≤-x ∴2124112≤≤--x ∴41412012≤-≤--x ∴210≤≤y(2)∵522++x x 对一切实数都恒有4522≥++x x ∴函数定义域为R从而24log )52(log 222=≥++x x 即函数值域为2≥y (3)函数有意义，必须：5105405422<<-⇒<--⇒>++-x x x x x由51<<-x ∴在此区间内 9)54(max 2=++-x x∴ 95402≤++-≤x x从而 29log )54(log 31231-=≥++-x x 即：值域为2-≥y(4)要使函数有意义，必须： 02>--x x ①0)(log 2≥--x x a ②由①：01<<-x由②：当1>a 时 必须 12≥--x x φ∈x当10<<a 时 必须 12≤--x x R x ∈综合①②得 1001<<<<-a x 且 当01<<-x 时 41)(max 2=--x x ∴4102≤--<x x ∴41log )(log 2aa x x ≥-- 41log a y ≥ )10(<<a考点五：定义域或值域为R 的问题（1） 若[]log ()a y x ϕ=的定义域为R,则对任意实数x ，恒有()0x ϕ>。
特别地，当2()(0)x ax bx c a ϕ=++≠时，要使定义域为R ，则必须00a >∆<且 （2） 若[]log ()a y x ϕ=的值域为R ，则()x ϕ必需取遍()0+∞，内所有的数。
特别地，当2()(0)x ax bx c a ϕ=++≠时，要使值域为R ，则必须00a >∆≥且 例5. 对于函数)32(log )(221+-=ax x x f ，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）若函数在),1[+∞-内有意义，求实数a 的取值范围； （4）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值； （5）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值； （6）若函数在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围.考点六：对数函数的综合问题 例1、设121()log 1axf x x －＝－为奇函数, a 为常数. ⑴求a 的值；⑵求证：()f x 在(1)∞，＋内单调递增；⑶若对于[3,4]上的每一个x 的值，不等式1()()2xf x m >＋恒成立，求实数m 的取值范围。
解：⑴因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x －＝－，112211log log 11ax axx x ∴＋－＝－－－－，1111ax x x ax∴＋－＝－－－，22211a x x ∴－＝－，1a ∴±，经检验1a ＝－⑵121()log 1x f x x +＝－定义法：任取121x x >>，所以12110x x >>－－，1222011x x ∴<<－－，12121111x x x x ∴<＋＋－－，1211122211log log 11x x x x ∴>＋＋－－，所以12()()f x f x >，所以()f x 在(1)∞，＋内单调递增.导数法：1211()()log ()11x x f x e x x '⋅⋅'－＋＝＋－()112222121log log 111x e e x x x ⋅⋅⋅－－＝＝－＋－－，因为1x >，所以2101x >，－又12log 0e >－，所以()0f x '>，所以所以()f x 在(1)∞，＋内单调递增.⑶对于[3,4]上的每一个x 的值，不等式1()()2xf x m >＋恒成立，所以1()()2xf x m>－恒成立，令1()()()2xg x f x =－，由知⑵，()g x 在[3,4]上是单调递增函数，所以9(3)8m g <＝－，所以m 的取值范围是9()8∞－，－.例2、已知()log (01,0)ax bf x a a b x b+>≠>＝且－ ⑴求函数()f x 的定义域； ⑵讨论函数()f x 的奇偶性； ⑶讨论函数()f x 的单调性.析：由真数大于0，可求定义域，按奇偶性的定义判断其奇偶性，单调性可按复合函数的单调性的规律判断。