2021江淮十校联考文科数学-含答案
2021届安徽省江淮十校高三第一次联考数学(文)试题
绝密★启用前数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合2{12},1⎧⎫=+<=<⎨⎬⎩⎭A x xB x x ，则()⋂=R A B （ ）A ．[0,1)B ．(3,1)-C ．[1,2]D ．(0,2] 2．已知复数512=+-z i i，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．3i B ．3-i C ．3 D ．3-3．已知等比数列{}n a 的公比为q ，则“01<<q ”是“10+-<n n a a ”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角A ，B 间的圆弧长为l ，嘴角间的距离为d ，圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l 、d 和θ所满足的恒等关系为（ ）A ．sin2=d lθθB ．2sin2=d lθθC ．cos2=d lθθD ．2cos2=d lθθ5．已知抛物线22(0)=>y px p 的焦点与椭圆22154+=+-x y m m 的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（ ）A ．1=-xB ．1=xC ．3=-xD ．3=x6．某校阳光心理辅导室为了解高三同学们的心理状况，将高三年级20个班依次编号为1到20，现用系统抽样的方法等距抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为50，则抽到的最大编号为（ ） A ．14 B ．16 C ．18 D ．20 7．函数2ln ||=-y x x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的,a b 分别为8，2，则输出的n 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．要得到函数2cos 26⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x π的图象，只需将函数2cos 2=-y x x 的图象（ ） A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向右平移6π个单位10．17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在ABC 中，若三个内角均小于120︒，当点P 满足120︒∠=∠=∠=APB APC BPC 时，则点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点根据以上性质，已知a 为平面内任意一个向量，b 和c 是平面内两个互相垂直的单位向量，则||||||-+++-a b a b a c 的最小值是（ ） A．2- B．2+ C1- D111．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．，,tan ≠=a c B ABC的面积为2||-b a c 的最小值为（ ）A． B． C． D．12．在三棱锥-P ABC 中，ABC 是边长为1的等边三角形，2===PA PB PC ，则三棱锥-P ABC外接到的表面积为（ ）A ．4πB ．5πC．6D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()13log ,3()3,3≥⎧⎪=⎨⎪<⎩xx x f x f x 则(1)=f _____．14．已知2=x 是函数()2()2=-+x f x xe a x x 的一个极值点，则实数=a _____．15．设数列{}n a 满足()()111,111+=+-=n n a a a ，则数列{}1+n n a a 的前2020项和为______．16．已知点P 是双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b上任意一个点，若点P 到双曲线两条渐近线的距离乘积等于23b ，则双曲线的离心率为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{}n a 满足112,2+==+n n a a a n ，设1=++n n b a n ． （1）证明：数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 18．（12分）2019年12月份至今，新冠肺炎的爆发引起全球关注．新冠肺炎的感染病原体为新型冠状病毒，其传染性强，可通过呼吸道飞沫进行传播，传染后容易引起发热、干咳、乏力、呼吸困难等表现新冠肺炎具有一定的潜伏期，为研究潜伏期与患者年龄的关系，一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如下列联表：（1）根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者的年龄有关？（2）佩戴口罩可以有效预防新冠肺炎，N95、R95、P95是三种不同材质的口罩，已知某药店现有N95、R05、P95口罩的个数分别为54个，36个，18个，某质检部门按分层抽样的方法随机抽取6个进行质量检查，再从这6个口罩中随机抽取2个进行检验结果对比，求这2个口罩中至少一个是N95口罩的概率．附：22()()()()()-=++++n ad bc K a b c d a c b d ，其中=+++n a b c d ．19．（12分）在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，已知222()=+-S b c a ，其中S 为ABC 的面积．（1）求cos A ；（2）若cos cos 2+=b C c B ，求ABC 周长的最大值． 20．（12分）如图，正四棱柱1111-ABCD A B C D 中，2=AB ，侧棱1AA 上有且仅有一点E 使得1⊥BE EC ．（1）求1AA 的长；（2）若平面1BED 与1CC 交于点F ，求几何体1ABED F 的体积． 21．（12分）已知函数cos 2()⎛⎫- ⎪⎝⎭=x f x xπ． （1）证明：()f x 在区间(0,)π上单调递减；（2）试比较1311,sin ,sin 232π的大小关系，并按从大到小的顺序进行排列． 22．（12分）已知动点(,)P x y 到(0,1)F 的距离比它到x 轴的距离大1，记P 得轨迹为曲线Γ． （1）求曲线Γ的方程； （2）直线l 与曲线(0)Γy相交于A 、B 两点，与y 轴交于点M ，过A 、B 分别作曲线(0)Γy 的切线相交于点N ，直线NA 、NB 分别与x 轴相交于C 、D ．是否存在实数λ，使得对于任意的直线l ，都有+=MC MD MN λ成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．江淮十校2021届高三第一次联考文数试题参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．答案：A解析：{31}=-<<P x x ，{0=<B x x 或2}>x ，故答案选A ． 2．答案：D。
2021届安徽省江淮十校高三上学期第一次联考数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合2{12},1A x x B x x ⎧⎫=+<=<⎨⎬⎩⎭，则()RA B =（ ）A ．[0,1)B ．(3,1)-C ．[1,2]D ．(0,2]答案：A解：先化简集合,A B ,再求()RA B 得解.解：由题得{31}A x x =-<<，{0B x x =<或2}x >， 所以{|02}RB x x =≤≤，所以()RA B =[0,1).故选：A 点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查分式不等式的解法和集合的交集补集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．已知复数512z i i=+-，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．3i B ．3i -C ．3D ．3-答案：D解：利用复数的四则运算计算出z ，可求其共轭复数后可得所求的虚部. 解：()551213i z i i +=+=+，故13z i =-，其虚部为3-. 故选：D ． 点评：本题考查复数的四则运算、共轭复数的求法以及虚部的求法，注意(),a bi a b R +∈的虚部为b ，不是bi ，本题属于基础题.3．已知等比数列{}n a 的公比为q ，则“01q <<”是“10n n a a +-<”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：D解：由于111111(1)n n n n n a a a q a q a q q --+-=-=-，可得其正负由1,a q 决定，从而可得结论 解：解：因为111111(1)n n n n n a a a q a q a q q --+-=-=-而当01q <<时，10n n a a +-<不一定成立， 当10n n a a +-<时，不一定有01q <<，所以“01q <<”是“10n n a a +-<”的既不充分也不必要条件 故选：D ． 点评：此题考查充分条件和必要条件的判断，考查等比数列的单调性的判断，属于基础题 4．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角A 、B 间的圆弧长为l ，嘴角间的距离为d ，圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l 、d 和θ所满足的恒等关系为（ ）A ．sin2=d lθθB ．2sin2=d lθθC ．cos2=d lθθD ．2cos2=d lθθ答案：B解：由三角函数定义得r 、2θ、d 三者之间关系，另有弧长公式，两式相除即可. 解：设该圆弧所对应的圆的半径为r ，则2sin 2r d θ=，⋅=r l θ，两式相除得2sin2=d lθθ 故选：B . 点评：本题主要考查扇形弧长公式.5．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点与椭圆22154+=+-x y m m 的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（ ） A ．1x =- B ．1x =C ．3x =-D ．3x =答案：C解：先求出椭圆的右焦点，从而可求抛物线的准线方程. 解：(5)(4)9+--=m m ，∴椭圆右焦点坐标为(3,0)，故抛物线的准线方程为3x =-，故选：C. 点评：本题考查抛物线的几何性质，一般地，如果抛物线的方程为22y px =，则抛物线的焦点的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，本题属于基础题.6．某校阳光心理辅导室为了解高三同学们的心理状况，将高三年级20个班依次编号为1到20，现用系统抽样的方法等距抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为50，则抽到的最大编号为（ ） A ．14 B ．16 C ．18 D ．20答案：C解：由系统抽样的原理可知，抽到的编号构成等差数列，公差为组距4，根据编号和为50列出方程即可求解. 解：由题意组距为4，设第一组抽到的编号为x ，则抽到的编号之和为(4)(8)(12)(16)50++++++++=x x x x x ，解得2x =，故最大编号为18．故选：C 点评：本题考查系统抽样方法的应用，属于简单题. 7．函数2ln y x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A解：先验证函数是否满足奇偶性，由f (－x )＝ln|－x |－(－x )2＝ln |x |－x 2＝f (x )，故函数f （x ）为偶函数，，排除B,D ，再由函数的特殊值确定答案． 解：令f (x )＝y ＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝ln|－x |－(－x )2＝ln |x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln|x |－x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B ，D ；当x >0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝－2x ，当x ∈时，y ′＝－2x >0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C ，A 项满足. 点评：本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．8．数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的a ，b 分别为8，2，则输出的n 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：D解：根据程序框图，求出每次循环后的,,a b n 的值，直到满足判断框里面的条件就退出循环，得到结果. 解：输入的a ，b 分别为8，2，1n =，第一次执行循环体后12a =，4b =，不满足退出循环的条件， 第二次执行循环体后2n =，18a =，8b =，不满足退出循环的条件， 第三次执行循环体后3n =，27a =，16b =，不满足退出循环的条件， 第四次执行循环体后4n =，812a =，32b =，不满足退出循环的条件， 第五次执行循环体后5n =，2434a =，64b =，满足退出循环的条件， 故输出的5n =. 故选：D. 点评：本题考查了直到型循环结构，属于基础题. 9．要得到函数2cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数32cos 2y x x =-的图象（ ） A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向右平移6π个单位 答案：B解：根据三角函数图象变换的知识确定正确选项. 解：2cos 22sin 26y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故只需向左平移4π个单位就可得到2sin 22sin 22cos 246626y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B 点评：本小题主要考查三角函数图象变换，考查辅助角公式、诱导公式，属于中档题. 10．17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在ABC 中，若三个内角均小于120︒，当点P 满足120APB APC BPC ︒∠=∠=∠=时，则点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点根据以上性质，已知a 为平面内任意一个向量，b 和c 是平面内两个互相垂直的单位向量，则||||||-+++-a b a b a c 的最小值是（ ）A ．2B ．2+C 1D 1答案：D解：由题意设设(,),(1,0),(0,1)===a x y b c ，则2||||||(1)-+++-=-a b a b a c x 点(,)P x y 到(1,0),(1,0)-A B 和(0,1)C 三个点的距离之和，再由费马点的性质求出点P 的坐标，从而可得结果 解：设(,),(1,0),(0,1)===a x y b c ，则2||||||(1)-+++-=-a b a b a c x即为点(,)P x y 到(1,0),(1,0)-A B 和(0,1)C 三个点的距离之和，则ABC 为等腰直角三角形，由费马点的性质可知点P 满足120APB APC BPC ︒∠=∠=∠=时，则点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，因为(1,0),(1,0)-A B ，(0,1)C ，所以P 的坐标为⎛ ⎝⎭。
安徽省江淮十校2021届高三数学第一次联考试题文
A．
B．
C．
D．
8．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日
自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的 a,b分别为 8，2，则输出的 n 等
于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．要得到函数
y
2
cos
2x
6
的图象，只需将函数
b2 (a c)2 8 | a c | 8 4
|ac| |ac|
|ac|
2
，当且仅
|
a
c
|
|
a
8
c
|
等号成立．
12．答案：B 解析：由勾股定理可得 PBA 和 P C A 是两个全等的直角三角形，且有公共的斜边 PA ，所以 PA 的中点即
为三棱锥外接球的球心，外接球的半径 R PA 2
和最小？现已证明：在 A B C 中，若三个内角均小于120 ，当点 P 满足 APB APC BPC 120
时，则点 P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点 P 被人们称为费马点根据以上性质，已知 a 为平面内任
意一个向量，b
和 c
是平面内两个互相垂直的单位向量，则 | a
b
|
| a
b
3
则
f
(1)
_____．
f 3x , x 3
14．已知 x 2 是函数 f (x) xex a x2 2x 的一个极值点，则实数 a _____．
15．设数列 an 满足 a1 1, 1 an 1 an1 1 ，则数列 anan1 的前 2020 项和为______．
3．答案：D
解析：由等比数列的通项公式 an a1qn1 ，可知an 的单调性由首项和公比决定，故选 D．
安徽省江淮十校联考2021届高三上学期8月月考数学试卷(文科) Word版含解析
安徽省江淮十校联考2021届高三上学期8月月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R ）为纯虚数，则为（）A．0B．2i C．﹣2i D．﹣1﹣2i2．（5分）下列函数中周期为π且图象关于直线x=对称的函数是（）A．y=2sin（2x ﹣） B．y=2sin （+）C．y=2sin（2x+）D．y=2sin （﹣）3．（5分）若直线x﹣y=2被圆（x﹣1）2+（y+a）2=4所截得的弦长为，则实数a的值为（）A．﹣2或6 B．0或4 C．﹣1或D．﹣1或34．（5分）已知变量x，y 满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．2B．C．﹣1 D ．5．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题6．（5分）按如图程序框图，若输出结果为S=42，则推断框内应补充的条件为（）A．i＞3 B．i＞5 C．i＞7 D．i＞97．（5分）椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点，则实数a的值是（）A．B．1或﹣2 C．1或D．1 8．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．220+15πB．208+15πC．200+9πD．200+18π9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=f（x）．若当x∈[0，1）时，f（x）=2x ﹣，则的值为（）A．0B．1C．D ．10．（5分）如图，已知点，正方形ABCD内接于圆O：x2+y2=1，M、N分别为边AB、BC的中点．当正方形ABCD绕圆心O 旋转时，的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．C．[﹣1，1]D ．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卡上．）11．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2+a3+a10=12，则S9=．12．（5分）函数f（x）=xsinx+cosx 在上的最大值为．13．（5分）某市即将申报“全国卫生文明城市”，相关部门要对该市200家饭店进行卫生检查，先在这200家饭店中抽取5家大致了解状况，然后对全市饭店逐一检查．为了进行第一步抽查工作，相关部门先将这200家饭店按001号至200号编号，并打算用随机数表法抽出5家饭店，依据下面的随机数表，要求从本数表的第5列开头顺次向后读数，则这5个号码中的其次个号码是．随机数表：84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76．14．（5分）已知A（x A，y A）是单位圆上（圆心在坐标原点O）任一点，将射线OA绕点O 逆时针旋转到OB交单位圆于点B（x B，y B），则2y A﹣y B的最大值为．15．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若∀x∈D，∃y∈D，使得f（y）=﹣f（x）成立，则称函数f（x）为“秀丽函数”．下列所给出的五个函数：①y=x2；②y=；③f（x）=ln（2x+3）；④y=2x﹣2﹣x；⑤y=2sinx﹣1．其中是“秀丽函数”的序号有．三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）16．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＜b＜c，sinA=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=2，b=，求c及△ABC的面积．17．（12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析争辩，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x（°C）与该小卖部的这种饮料销量y（杯），得到如下数据：日期1月11日1月12日1月13日1月14日1月15日平均气温x（°C）9 10 12 11 8销量y（杯）23 25 30 26 21（Ⅰ）若先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（Ⅱ）请依据所给五组数据，求出y关于x 的线性回归方程=x+；（Ⅲ）依据（Ⅱ）中所得的线性回归方程，若天气预报1月16日的白天平均气温7（°C），请猜测该奶茶店这种饮料的销量．（参考公式：=，=﹣）18．（12分）已知首项为，公比不等于1的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=n|a n|，数列{b n}的前n项和为T n，求T n并比较T n+b n与6大小．19．（13分）在如图所示的多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF=EF，∠BAD=60°，AB=2，DE=EF=1．（Ⅰ）求证：BC∥EF；（Ⅱ）求三棱锥B﹣DEF的体积．20．（13分）已知函数f（x）=klnx﹣kx﹣3（k∈R）．（Ⅰ）当k=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在（2，f（2））处的切线与直线x﹣y﹣3=0平行，且函数g（x）=x3+f'（x）在区间（1，2）上有极值，求t的取值范围．21．（13分）已知椭圆C ：+=1（{a＞b＞0}）的离心率e=，且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P（0，2），过点Q（﹣1，﹣2）作直线l交椭圆C于A、B两点（异于P），直线PA、PB的斜率分别为k1、k2．试问k1+k2是否为定值？若是，恳求出此定值，若不是，请说明理由．安徽省江淮十校联考2021届高三上学期8月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R ）为纯虚数，则为（）A．0B．2i C．﹣2i D．﹣1﹣2i考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：由纯虚数的定义可得a值，进而可得复数z ，可得．解答：解：由纯虚数的定义可得，解得a=1，∴z=2i，∴故选：C点评：本题考查复数的基本概念，属基础题．2．（5分）下列函数中周期为π且图象关于直线x=对称的函数是（）A．y=2sin（2x ﹣） B．y=2sin （+）C．y=2sin（2x+）D．y=2sin （﹣）考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：依据函数的周期性和对称性即可得到结论．解答：解：由周期为π可排解选项B和D，对于选项C ，当时，函数取得最大值，明显符合题意，故选：C点评：本题主要考查函数解析的确定，依据三角函数的周期性和对称性是解决本题的关键，本题使用排解法比较简洁．3．（5分）若直线x﹣y=2被圆（x﹣1）2+（y+a）2=4所截得的弦长为，则实数a的值为（）A．﹣2或6 B．0或4 C．﹣1或D．﹣1或3考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由圆的性质可得圆心到直线的距离为，由此能求出a．解答：解：圆（x﹣1）2+（y+a）2=4的圆心C（1，﹣a），半径r=2，∵直线x﹣y=2被圆（x﹣1）2+（y+a）2=4所截得的弦长为，∴由圆的性质可得圆心到直线的距离为，解得a=﹣1或3．故选：D．点评：本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要留意直线与圆的性质的合理运用．4．（5分）已知变量x，y 满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．2B．C．﹣1 D ．考点：简洁线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出平面区域，找到取最大值时过的点，代入即可．解答：解：其平面区域如右图：则由y=2x﹣z可知，z=2x﹣y的最大值时，y=2x﹣z过直线y=x与x=2y﹣2的交点B，由解得，x=y=2，则此时z=2×2﹣2=2是z=2x﹣y的最大值时，故选A．点评：本题考查了线性规划，要留意作图要精确．5．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题考点：命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的推断．分析：对于A：由于否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：由于x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：由于命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排解法即可得到答案．解答：解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．由于否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．由于x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．由于命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排解法得到D正确．故答案选择D．点评：此题主要考查命题的否定形式，以及必要条件、充分条件与充要条件的推断，对于命题的否命题和否定形式要留意区分，是易错点．6．（5分）按如图程序框图，若输出结果为S=42，则推断框内应补充的条件为（）A．i＞3 B．i＞5 C．i＞7 D．i＞9考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由程序框图，写出每次循环i，S的取值，结合已知输出的结果为S=42即可确定推断框内应补充的条件．解答：解：由程序框图知：i=1，S=0，S=0+2=2，i=1+2=3，不满足条件，执行循环体；S=2+8=10，i=2+3=5，不满足条件，执行循环体；S=10+32=42，i=5+2=7，满足条件，退出循环体，故推断框内应补充的条件为i＞5故选：B．点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．7．（5分）椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点，则实数a的值是（）A．B．1或﹣2 C．1或D．1考点：双曲线的简洁性质；椭圆的简洁性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可知焦点在x轴上，且a＞0，c相等．解答：解：∵椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点，∴它们的焦点在x轴上，且6﹣a2=a+4（a＞0），解得a=1，故选D．点评：本题考查了圆锥曲线的定义，属于基础题．8．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．220+15πB．208+15πC．200+9πD．200+18π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图想象出空间几何体，代入数据求面积即可．解答：解析：由三视图易得，此几何体为一个长方体与半圆柱的组合体，其表面积为（10×4+10×5+4×5）×2﹣6×2+π×32+π×3×2=208+15π．故选B．点评：本题考查了同学的空间想象力，属于基础题．9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=f（x）．若当x∈[0，1）时，f（x）=2x ﹣，则的值为（）A．0B．1C．D ．考点：函数的周期性；函数的值；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数的周期性和奇偶性将条件进行转化即可得到结论．解答：解：由题意知函数f（x）是周期为2的周期函数，而，所以，故选：A点评：本题主要考查函数值的计算，依据函数的周期性和奇偶性将条件进行转化是解决本题的关键．10．（5分）如图，已知点，正方形ABCD内接于圆O：x2+y2=1，M、N分别为边AB、BC的中点．当正方形ABCD绕圆心O 旋转时，的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．C．[﹣1，1]D ．考点：平面对量数量积的运算；平面对量的坐标运算．专题：平面对量及应用．分析：由已知，将转化为，得到=﹣cos∠PON，结合角的范围求余弦值是范围．解答：解：==﹣cos∠PON∵∠PON∈R，∴cos∠PON∈[﹣1，1]，∴的取值范围为[﹣1，1]．故选C．点评：本题考查了向量的加减运算以及向量数量积的运算，本题留意利用余弦值的范围求向量的数量积的范围．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卡上．）11．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2+a3+a10=12，则S9=36．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．解答：解：由于a2+a3+a10=12，由等差数列的性质知3a5=12，故a5=4，所以．故答案为：36．点评：本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，留意等差数列的性质的合理运用．12．（5分）函数f（x）=xsinx+cosx在上的最大值为．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：求导分推断导数在上的正负，从而得出在上的单调性，从而求出最大值．解答：解：f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，则当时，f′（x）＞0，当时，f'（x）＜0，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，故时，f（x）取得最大值．故答案为：．点评：本题考查了利用导数推断函数的单调性与最值，属于基础题．13．（5分）某市即将申报“全国卫生文明城市”，相关部门要对该市200家饭店进行卫生检查，先在这200家饭店中抽取5家大致了解状况，然后对全市饭店逐一检查．为了进行第一步抽查工作，相关部门先将这200家饭店按001号至200号编号，并打算用随机数表法抽出5家饭店，依据下面的随机数表，要求从本数表的第5列开头顺次向后读数，则这5个号码中的其次个号码是068．随机数表：84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76．考点：简洁随机抽样．专题：概率与统计．分析：依据随机数表进行简洁随机抽样，抽取出符合条件的号码，对于不符合条件的号码，应舍去，直到取满样本容量为止．解答：解：依据随机数表进行简洁随机抽样的方法得，抽取的第一个号码为175，后面的数331，572，455都大于200，应舍去，∴其次个号码为068．故答案为：068．点评：本题考查了利用随机数表进行简洁随机抽样的问题，解题时应生疏随机数表的应用问题，是简洁题．14．（5分）已知A（x A，y A）是单位圆上（圆心在坐标原点O）任一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交单位圆于点B（x B，y B），则2y A﹣y B的最大值为．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：设A（cosα，sinα），则，代入要求的式子由三角函数的学问可得．解答：解：设A（cosα，sinα），则，∴=，∴其最大值为，故答案为：点评：本题考查两角和与差的正弦函数，涉及三角函数的最值，属基础题．15．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若∀x∈D，∃y∈D，使得f（y）=﹣f（x）成立，则称函数f（x）为“秀丽函数”．下列所给出的五个函数：①y=x2；②y=；③f（x）=ln（2x+3）；④y=2x﹣2﹣x；⑤y=2sinx﹣1．其中是“秀丽函数”的序号有②③④．考点：命题的真假推断与应用．专题：新定义．分析：由题意知“秀丽函数”即为值域关于原点对称的函数．解答：解：①函数y=x2≥0，所以不行能是“秀丽函数”，所以①错；②的值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，所以②正确；③f（x）=ln（2x+3），值域为R，关于原点对称，所以③正确；④y=2x﹣2﹣x，令t=2x＞0，则y=，在（0，+∞）上单调递增，且值域为R，值域关于原点对称，所以④正确；⑤y=2sinx﹣1，则y∈[﹣3，1]，不关于原点对称，所以⑤错误．故答案为：②③④．点评：本题考查的函数的值域，新定义题型，关键是理解题目的意思．属于中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）16．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＜b＜c，sinA=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=2，b=，求c及△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）已知等式变形后，利用正弦定理化简，依据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出角B的大小；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，把a，b，cosB的值代入求出c的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC 面积即可．解答：解：（Ⅰ）∵sinA=，∴a=2bsinA ，由正弦定理可得sinA=2sinBsinA ，∵0＜A＜π，∴sinA ＞0，∴sinB=，∵a＜b＜c，∴B＜C，∴0＜B＜，则B=；（Ⅱ）∵a=2，b=，cosB=，∴由余弦定理可得：7=4+c2﹣2c，即c2﹣2c﹣3=0，解得：c=3或c=﹣1（舍去），即c=3，则S△ABC=acsinB=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，娴熟把握定理及公式是解本题的关键．17．（12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析争辩，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x（°C）与该小卖部的这种饮料销量y（杯），得到如下数据：日期1月11日1月12日1月13日1月14日1月15日平均气温x（°C）9 10 12 11 8销量y（杯）23 25 30 26 21（Ⅰ）若先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（Ⅱ）请依据所给五组数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；（Ⅲ）依据（Ⅱ）中所得的线性回归方程，若天气预报1月16日的白天平均气温7（°C），请猜测该奶茶店这种饮料的销量．（参考公式：=，=﹣）考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）依据题意列举出从5组数据中选取2组数据共有10种状况，每种状况都是可能消灭的，满足条件的大事包括的基本大事有4种．依据等可能大事的概率做出结果．（Ⅱ）依据所给的数据，先做出x，y的平均数，即做出本组数据的样本中心点，依据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．（Ⅲ）利用线性回归方程，x取7，即可猜测该奶茶店这种饮料的销量．解答：解：（Ⅰ）设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为大事A，全部基本大事（m，n）（其中m，n为1月份的日期数）有：（11，12），（11，13），（11，14），（11，15），（12，13），（12，14），（12，15），（13，14），（13，15），（14，15），共有10种．大事A包括的基本大事有（11，12），（12，13），（13，14），（14，15）共4种．所以为所求．…6分（Ⅱ）由数据，求得，．由公式，求得，，所以y关于x 的线性回归方程为．…10分（Ⅲ）当x=7时，．所以该奶茶店这种饮料的销量大约为19杯．…12分．点评：本题考查等可能大事的概率，考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，考查估量验算所求的方程是否是牢靠的，是一个综合题目．18．（12分）已知首项为，公比不等于1的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=n|a n|，数列{b n}的前n项和为T n，求T n并比较T n+b n与6大小．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题意得2S3=﹣2S2+4S4，由此求出公比，从而能求出数列{a n}通项公式．（Ⅱ），由此利用错位相减法能求出，并求出．解答：解：（Ⅰ）由题意得2S3=﹣2S2+4S4，即（S4﹣S2）+（S4﹣S3）=0，亦即（a4+a3）+a4=0，∴，∴公比，…4分于是数列{a n}通项公式为．…5分（Ⅱ），所以，①，②…8分①﹣②得，==，∴，…11分∴….12分．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，留意错位相减法的合理运用．19．（13分）在如图所示的多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF=EF，∠BAD=60°，AB=2，DE=EF=1．（Ⅰ）求证：BC∥EF；（Ⅱ）求三棱锥B﹣DEF的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由AD∥BC，得BC∥平面ADEF，由此能证明BC∥EF．（Ⅱ）在平面ABCD内作BH⊥AD于点H，由已知得DE⊥BH，BH⊥平面ADEF，由此能求出三棱锥B﹣DEF 的体积．解答：解：（Ⅰ）由于AD∥BC，AD⊂平面ADEF，BC⊄平面ADEF，所以BC∥平面ADEF，…3分又BC⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF=EF，所以BC∥EF．…6分（Ⅱ）在平面ABCD内作BH⊥AD于点H，由于DE⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，所以DE⊥BH，又AD、DE⊂平面ADEF，AD∩DE=D，所以BH⊥平面ADEF，所以BH是三棱锥B﹣DEF的高．…10分在直角三角形ABH中，∠BAD=60，AB=2，所以，由于DE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以DE⊥AD，又由（Ⅰ）知，BC∥EF，且AD∥BC，所以AD∥EF，所以DE⊥EF，所以三棱锥B﹣DEF的体积：．…13分．点评：本题考查两直线平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，留意空间思维力量的培育．20．（13分）已知函数f（x）=klnx﹣kx﹣3（k∈R）．（Ⅰ）当k=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在（2，f（2））处的切线与直线x﹣y﹣3=0平行，且函数g（x）=x3+f'（x）在区间（1，2）上有极值，求t的取值范围．考点：利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩函数的极值；利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（I）分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0 即可得出．（II）由函数y=f（x）的图象在（2，f（2））处的切线与直线x﹣y﹣3=0平行，可得f′（2）=1，解出k=﹣2，．可得g′（x）=3x2+（t+4）x﹣2，由于函数g（x）在区间（1，2）上存在极值，留意到y=g′（x）的图象为开口向上的抛物线，且g′（0）=﹣2＜0，因此只需，解出即可．解答：解：．（Ⅰ）当k=﹣1 时，，令f′（x）＞0 时，解得x＞1，令f′（x）＜0 时，解得0＜x＜1，∴f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．（Ⅱ）∵函数y=f（x）的图象在（2，f（2））处的切线与直线x﹣y﹣3=0平行，∴f′（2）=1，即，∴k=﹣2，，，∴g′（x）=3x2+（t+4）x﹣2，∵函数g（x）在区间（1，2）上存在极值，留意到y=g′（x）的图象为开口向上的抛物线，且g′（0）=﹣2＜0，∴只需，解得﹣9＜t＜﹣5，∴t 的取值范围为（﹣9，﹣5）．点评：本题考查了利用导数争辩函数的单调性极值与最值、导数的几何意义、二次函数的单调性，考查了数形结合的思想方法，考查了推理力量与计算力量，属于难题．21．（13分）已知椭圆C ：+=1（{a＞b＞0}）的离心率e=，且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P（0，2），过点Q（﹣1，﹣2）作直线l交椭圆C于A、B两点（异于P），直线PA、PB的斜率分别为k1、k2．试问k1+k2是否为定值？若是，恳求出此定值，若不是，请说明理由．考点：圆锥曲线的实际背景及作用；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）留言椭圆的离心率，a、b、c的关系，以及三角形的面积，解方程组即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）利用直线斜率存在与不存在两种状况，通过直线方程与椭圆的方程，求出A、B坐标，求出直线PA、PB的斜率分别为k1、k2．k1+k2为定值．解答：解：（Ⅰ）由题意得，解得a2=8，b2=4，所以椭圆C 的方程为=1．…5分（Ⅱ）k1+k2为定值4，证明如下：…6分（ⅰ）当直线l斜率不存在时，l方程为x=﹣1，由方程组易得，，于是k1=，k2=，所以k1+k2=4为定值．…8分（ⅱ）当直线l斜率存在时，设l方程为y﹣（﹣2）=k[x﹣（﹣1）]，即y=kx+k﹣2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由方程组，消去y，得（1+2k2）x2+4k（k﹣2）x+2k2﹣8k=0，由韦达定理得（*）…10分∴k1+k2====2k+（k﹣4）•，将（*）式代入上式得k1+k2=4为定值．…13分．点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率的应用，考查转化思想以及计算力量．。
2021届安徽省江淮十校高三第一次联考数学(文)试题Word版含解析
2021届安徽省江淮十校高三第一次联考数学（文）试题一、单选题1．已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,2,3,4,5,2,3,6U A B ===，则()U B C A ⋂= A ．{}1,6 B ．{}2,3 C ．{}6D ．∅【答案】C【解析】根据补集和交集定义直接求得结果. 【详解】由题意得：{}1,6U C A = (){}6U B C A ∴=本题正确选项：C 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集混合运算，属于基础题. 2．已知复数z 满足()123z i i +=-,则z = A ．2 BCD ．1【答案】C【解析】根据复数除法运算可求得z ，根据模长运算可求得结果. 【详解】()()()()31231712121255i i i zi i i i ---===-++- z ∴==本题正确选项：C 【点睛】本题考查复数模长的求解，关键是能够通过复数除法运算求得复数. 3．已知设357log 6,log 10,log 14a b c ===,则 A ．c b a >> B ．a b c >>C ．a c b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】将,,a b c 化为211log 3+，211log 5+，211log 7+的形式，根据对数函数单调性可知2221log 3log 5log 7<<<，从而得到三个数字的大小关系.【详解】3321log 61log 21log 3a ==+=+，5521log 101log 21log 5b ==+=+， 7721log 141log 21log 7c ==+=+2221log 3log 5log 7<<< 222111log 7log 5log 3∴<< a b c ∴>> 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据对数函数单调性比较大小的问题，关键是能够将三个数字化为与同底的对数相关的形式. 4．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,21….该数列的特点是:前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则()()()()2332132243334201520172016a a a a aa a a a a a a ----=A ．1B ．2017C ．-1D ．-2017【答案】C【解析】根据“斐波那契数列”特点可得到数列的规律，即当n 为偶数时，2211n n n a a a ++-=-；当n 为奇数时，2211n n n a a a ++-=，所求式子最末项2015n =，从而可得结果. 【详解】由题意得：21321a a a -=，22431a a a -=-，23541a a a -=，…∴当n 为偶数时，2211n n na a a ++-=-；当n 为奇数时，2211n n n a a a ++-=()()()()23321322433342015201720161a a a a a a a a a a a a ∴---⋅⋅⋅-=-本题正确选项：C 【点睛】本题考查根据数列的性质求值的问题，关键是能够总结归纳出数列中的规律. 5．已知双曲线()22:30C x ay a a -=>，则双曲线C 的离心率为A ．aB ．1a +C ．1a a+ D ．3【答案】C【解析】将已知方程化为标准方程的形式，可得到22,a c ；由22c e a=可求得结果.【详解】由()2230x ay a a -=>得：双曲线标准方程为22133x y a -=，0a >233c a ∴=+，23a a = 223313c a a e a a a++∴=== 本题正确选项：C 【点睛】本题考查根据双曲线标准方程求解离心率的问题，属于基础题. 6．函数22xy x =-的图像大致是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】通过奇偶性的定义可知函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除,C D ；当0x >时，可确定函数有两个零点，排除B ，从而得到结果. 【详解】()2222xx x x ---=- ∴函数为偶函数 ∴函数图象关于y 轴对称，可排除,C D当0x >时，22xy x =-令220x x -=，解得：2x =或4，即函数在()0,∞+上有两个零点，可排除B 本题正确选项：A 【点睛】本题考查函数图象的识别，常用方法是通过函数的奇偶性、零点、特殊位置符号、单调性等方式，采用排除法来得到结果.7．在一次田径比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示。
安徽省江淮十校2021届高三(上)第二次联考试卷(文)(解析版)
安徽省江淮十校2021届高三（上）第二次联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|y=ln（1﹣x）}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，2）D．[1，2）2．（5分）若向量、满足||=，=（1，﹣3），•=5，则与的夹角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°3．（5分）已知p：|m+1|＜1，q：幂函数y=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递减，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和S n，若3（a2+a4）+2（a6+a9+a12）=12，则S11=（）A．6B．11C．33D．485．（5分）下列命题中正确的是（）A．命题“∃x∈[0，1]，使x2﹣1≥0”的否定为“∀x∈[0，1]，都有x2﹣1≤0”B．若命题p为假命题，命题q为真命题，则（¬p）∨（¬q）为假命题C．命题“若•＞0，则与的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题D．命题“若x2+x=0，则x=0或x=﹣1”的逆否命题为“若x≠0且x≠﹣1，则x2+x≠0”6．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标依次构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则下列叙述不正确的是（）A．g（x）的图象关于点（﹣，0）对称B．g（x）的图象关于直线x=对称C．g（x）在[，]上是增函数D．g（x）是奇函数7．（5分）函数f（x）=大致图象是（）A．B．C．D．8．（5分）在△AOB中，G为AB边上一点，OG是∠AOB的平分线，且=+m，m ∈R，则的值为（）A．B．1C．D．29．（5分）已知△ABC，角A、B、C的对边分别为a、b、c，b=2，B=，=1，则△ABC的面积为（）A．2﹣2B．2+2C．﹣1D．+110．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对应三角形的边长，若，则cos B=（）A．﹣B．C．D．﹣11．（5分）奇函数f（x）定义域为（﹣π，0）∪（0，π），其导函数是f’（x），当0＜x＜π时，有f’（x）sin x﹣f（x）x＞0，则关于x的不等式f（x）＜2f（）sin x的解集为（）A．（﹣，0）∪（，π）B．（﹣，0）∪（0，）C．（﹣π，﹣）∪（，π）D．（﹣π，﹣）∪（0，）12．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n，定义为数列{a n}前n项的叠加和，若2016项数列a1，a2，a3，…，a2016的叠加和为2017，则2017项数列1，a1，a2，…，a2016的叠加和为（）A．2017B．2018C．20172D．20182二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数的定义域是．14．（5分）已知奇函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）=﹣3，则f（2017）=．15．（5分）=．16．（5分）在△OAB中，=3，=2，AD与BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段AC、BD于E、F两点，若=，=，（λ、μ＞0），则λ+μ的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{a n}的前n项和S n，且S n=﹣（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）已知向量=（，0），=（0，sin x），记函数f（x）=（+）2+．（1）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合；（2）求函数f（x）在区间[﹣，]上的单调递减区间．19．（12分）已知函数f（x）=e x﹣+ax．（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程为y=（e﹣1）x+b，求a、b的值；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最小值．20．（12分）已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，A=2C．（1）若a=c，求角C的大小；（2）若a、b、c为三个相邻的正偶数，且A＞B＞C，求△ABC的面积．21．（12分）设正项数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3=7，=6S n+9n+1，n∈N*，各项均为正数的等比数列{b n}满足b1=a1，b3=a2．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若c n=a n•b n，数列{c n}的前n项和为T n．若对任意n≥2，n∈N*，均有（T n﹣5）m≥6n2﹣31n+35恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）设函数f（x）=ln x﹣ax+2．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＞0时，以f（x）≤e1﹣a恒成立，求实数a的取值范围．【参考答案】一、选择题1．A【解析】由A中的不等式变形得：1﹣x＜0，解得x＞1，即A=（1，+∞），B={x|x2﹣2x＜0}=（0，2），则A∩B=（0，1），故选：A．2．C【解析】向量、满足||=，=（1，﹣3），•=5，∴||==，∴与夹角的余弦值为cos（，）===，∴与的夹角为45°．故选：C．3．B【解析】p：|m+1|＜1等价于﹣2＜m＜0，∵幂函数y=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递减，∴m2﹣m﹣1=1，且m＜0，解得m=﹣1，∴p是q的必要不充分条件，故选：B4．B【解析】由3（a2+a4）+2（a6+a9+a12）=12，得6a3+6a9=12，即a3+a9=2，∴．故选：B．5．D【解析】命题“∃x∈[0，1]，使x2﹣1≥0的否定为“∀x∈[0，1]，都有x2﹣1＜0”，故A错误；命题p为假命题，命题q为真命题，则（￢p）∨（￢q）为真命题，故B错误；命题“若•＞0，则与的夹角为锐角”原命题为假，它的逆命题为真，故C错误；命題“若x2+x=0，则x=0或x=﹣1”的逆否命题为“若x≠0且x≠﹣1，则x2+x≠0”；故D正确故选：D6．C【解析】f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），由题意可知，，则T=π，，∴f（x）=2sin（2x+），∴g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin2x．∵f（）=2sin（﹣π）=0，∴g（x）的图象关于点（﹣，0）对称，故A正确；∵f（）=2sin=2，∴g（x）的图象关于直线x=对称，故B正确；由x∈[，]，得2x∈[，π]，可知g（x）在[，]上是减函数，故C错误；由g（﹣x）=2sin（﹣x）=﹣2sin2x=﹣g（x），可得g（x）是奇函数，故D正确．故选：C．7．B【解析】函数f（x）=有两个零点，排除选项A，又f′（x）==0，可知函数由两个极值点，排除C，D；故选：B．8．C【解析】如图所示，△AOB中，=+m，由平面向量的基本定理得，+m=1，解得m=；又OG是∠AOB的平分线，∴||=||，∴=．故选：C．9．D【解析】由=1，化简可得2sin C cos C=2cos2C，得tan C=1，即C=．由正弦定理：，可得c=2，a=∴△ABC的面积S=ab sin C=．故选：D．10．A【解析】∵，∴4a=，∴（4a﹣3c）+（2b﹣3c）=，∵，不共线，∴即a=，则cos B===﹣，故选A11．A【解析】根据题意，设g（x）=，其导数g′（x）=，当x∈（0，π）时，有f’（x）sin x﹣f（x）x＞0，其导数g′（x）＞0，g（x）在（0，π）上为增函数，又由f（x）为奇函数，即f（﹣x）=﹣f（x），则g（﹣x）===g（x），即函数g（x）为偶函数，当x∈（0，π）时，sin x＞0，不等式f（x）＜2f（）sin x⇒＜⇒g（x）＜g（），又由函数g（x）为偶函数且在（0，π）上激增，则g（x）＜g（）⇒|x|＜，解得﹣＜x＜，此时x的取值范围为（0，）；当x∈（﹣π，0）时，sin x＜0，不等式f（x）＜2f（）sin x⇒＞⇒g（x）＞g（），同理解得此时x的取值范围为（﹣π，﹣）；综合可得：不等式的解集为（﹣π，﹣）∪（0，）；故选：A．12．A【解析】由=2017，则S1+S2+…+S2016=2016×2017．则2017项数列1，a1，a2，a3，…，a2016的叠加和==1+ =1+=2017．故选：A．二、填空题13．【解析】由知，3x﹣2≤1，又因为3x﹣2＞0，所以解得，函数的定义域为（，1]14．3【解析】根据题意，函数f（x）满足条件f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）为周期为4的函数，f（2017）=f（2016+1）=f（4×504+1）=f（1），又由函数f（x）为奇函数，则f（1）=﹣f（﹣1）=3，则f（2017）=3；故答案为：3．15．【解析】==tan60°=，故答案为：．16．【解析】由A，M，D三点共线可得存在实数t，使得=t+（1﹣t）=t+（1﹣t），同理由C，M，B三点共线可得存在实数m，使得=m+（1﹣m）=m+（1﹣m），∴，解得：，∴=+，设=x+y=xλ+yμ，∴，可得：，即：=5，∴λ+μ=（λ+μ）（）=（1+2++）≥，即λ+μ的最小值为．故答案为：．三、解答题17．解：（1）∵S n=﹣（n∈N*）．∴n=1时，a1=S1==﹣2．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣﹣=3n﹣5，n=1时代入上式也成立．∴a n=3n﹣5．（2）b n===．∴数列{b n}的前n项和T n=+…+==﹣．18．解：（1）向量=（，0），=（0，sin x），∴+=（cos x，sin x），得（+）2=3cos2x+sin2x=1+2cos2x，∴f（x）=（+）2十sin2x=1+2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+2=2sin（2x+）+2；∴当2x+=+2kπ（k∈Z），即x=+kπ（k∈Z）时，f（x）有最大值为4；（2）令+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），得+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），∴函数f（x）的单调递减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z；∴函数f（x）在区间[﹣，]上的单调递减区间为[﹣，﹣]和[，]．19．解：（1）f′（x）=e x﹣3x+a，f′（1）=e﹣3+a，f（1）=e﹣+a．∵函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程为y=（e﹣1）x+b，∴f′（1）=e﹣3+a=e﹣1，f（1）=e﹣+a=（e﹣1）+b．联立解得a=2，b=．（2）∵函数f（x）在R上是增函数，∴f′（x）=e x﹣3x+a≥0，在R上恒成立，∴﹣a≤e x﹣3x，令g（x）=e x﹣3x，g′（x）=e x﹣3，可得x=ln3时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（ln3）=3﹣3ln3．∴﹣a≤3﹣3ln3．∴a≥﹣3+3ln3．∴实数a的最小值是﹣3+3ln3．20．解：（1）△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A=2C．由a=c，则sin A=sin C，sibnA=sin2C，∴sin C=2sin C cos C∵0＜C＜π，sin C≠0∴cos C=，则C=（2）已知：C＜B＜A，c，b，a是三个连续的正偶数，设c=t，b=t+2，a=t+4，∵A=2C．则，可得cos C=…①由余弦定理：cos C=…②由①②解得：t=8则c=8，b=10，a=12．cos C=sin C==．那么：△ABC的面积S=ba sin C=15．21．解：（1）∵=6S n+9n+1，∴n≥2时，=6S n﹣1+9（n﹣1）+1，两式相减得：﹣=6a n+9，即=（n≥2），又∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n+1=a n+3（n≥2），又∵a3=7，∴72=6（a2+a1）+18+1，=6a1+9+1，即a1=1，a2=4．∴当n=1时上式成立，即数列{a n}是首项为1、公差为3的等差数列，∴a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2；∵b1=a1=1，b3=a2=4=q2，q＞0，解得q=2．∴b n=2n﹣1；（2）由（1）可知c n=（3n﹣2）•2n﹣1．T n=1•20+4•21+…+（3n﹣2）•2n﹣1，2T n=1•21+4•22+…+（3n﹣5）•2n﹣1+（3n﹣2）•2n，两式相减，得：﹣T n=1+3（21+22+…+2n﹣1）﹣（3n﹣2）•2n=1+6（2n﹣1﹣1）﹣（3n﹣2）•2n，∴T n=（3n﹣5）•2n+5；可知若对任意n≥2，n∈N*，均有（T n﹣5）m≥6n2﹣31n+35恒成立，等价于（3n﹣5）•2n•m≥6n2﹣31n+35恒成立，∴m≥=，即m≥恒成立，设k n=，则k n+1﹣k n=﹣=，∴当n≤4时k n+1＞k n，当n＞4时k n+1＜k n，∴当k n的最大值为k5=，故m≥，即实数m的取值范围是：[，+∞）．22．解：（1）由定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，当a＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；（2）由（1）可知a＞0，f（x）max=f（）=1﹣ln a，则1﹣ln a≤e1﹣a恒成立，令g（a）=e1﹣a+ln a﹣1，显然g（1）=0，g′（a）=，再令h（a）=e a﹣1﹣a，h′（a）=e a﹣1﹣1，当h′（a）＞0，解得：a＞1，当h′（a）＜0，解得：0＜a＜1，h（a）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，h（a）min=h（1）=0，h（a）≥0，∴g′（a）≥0．g（a）在（0，+∞）递增，g（a）≥0=g（1），故a≥1．。
2021届安徽省江淮十校高三下学期4月第三次联考数学(文)试卷及答案(试题在后)
2021届安徽省江淮十校高三下学期4月第三次联考数学（文）试卷
2021届安徽省江淮十校高三下学期4月第三次联考数学（文）试卷
2021届安徽省江淮十校高三下第三次联考数学（文）试卷
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2021届安徽省江淮十校高三下学期4月第三次联考数学（文）试卷
2021届安徽省江淮十校高三下学期4月第三次联考数学（文）试卷
安徽省江淮十校2021-2022学年高三上学期第一次联考文科数学试题
安徽省江淮十校2021-2022学年高三上学期第一次联考文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．复数1iz i=+在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知集合{|(21)(1)0}A x x x =+->，{}2|log (1)B x y x ==-，则A B 等于（ ） A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．(1,)+∞D ．1,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭3．已知双曲线C ：2213y x -=，则该双曲线的离心率为（ ）ABC ．2D ．44．“1a =-”是“直线240x ay ++=与直线(1)20a x y -++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设函数14,1()2,1x x x f x a x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，若7 88ff ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则a =（ ） A ．12 B ．34C ．1D ．26．已知两个等比数列{}n a ，{}n b 的前n 项积分别为n A ，n B ，若333a b =，则55A B =（ ） A ．3B ．27C ．81D ．2437．已知函数()xf x e =，()sing x x =，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（ ）A ．()()y f x g x =+B ．()()y f x g x =-C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =8．将函数π()cos 12f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一条对称轴方程是（ ） A ．π8x =B ．π8x =-C ．3π16x =D ．5π16x =9．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（ ）A ．1B 1C 2D 110．我国古代以天为主，以地为从，天和干相连叫天干，地和支相连叫地支，合起来叫天干地支．天干有十个，就是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二个，依次是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．古人把它们按照甲子、乙丑、丙寅……的顺序而不重复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子．我国古人用这六十对干支来表示年、月、日、时的序号，周而复始，不断循环，这就是干支纪年法（即农历）．干支纪年历法，是屹立于世界民族之林的科学历法之一．今年（2021年）是辛丑年，也是伟大的中国共产党成立100周年，则中国共产党成立的那一年是（ ） A ．辛酉年B ．辛戊年C ．壬酉年D ．壬戊年11．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan 3tan A C ，2ac =，则ABC面积的最大值为（ ）A ．12B C ．1 D ．212．若(0,)x ∀∈+∞，ln()xe ax a≤恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．1e -B ．1C ．eD ．2e二、填空题13．若x ，y 满足约束条件10101x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值为____________．14．在ABC 中，已知点D 满足3BC CD =，若43AD mAB AC =+，则m =____________． 15．已知点P 为抛物线C ：2yx 上的动点，过点P 作圆M ：22(2)1x y +-=的一条切线，切点为A ，则PA PM ⋅的最小值为____________．16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 为底面1111D C B A 的四条棱上的动点，则PB PD +的取值范围为______．三、解答题17．已知函数2()sin cos f x x x x = （1）求()f x ()f x 的单调递减区间；（2）设锐角ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知()0,f A a ==b 的取值范围．18．为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史的了解，某班级开展党史知识竞赛活动，现把50名学生的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值并估计这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）用分层抽样的方法从成绩在[)80,90，[]90,100两组学生中抽取5人进行培训，再从这5人中随机抽取2人参加校级党史知识竞赛，求这2人来自不同小组的概率．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，12n S n t n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（t 为常数）．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()1(1)lg nn n n b a a +=-⋅，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，22CD AB ==．（1）在棱PC 上是否存在点E ，使得//BE 平面PAD ？说明理由；（2）若平面PCD ⊥平面ABCD ，BC BD ==2PC PD ==，求点A 到平面PBC 的距离．21．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，且点31,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭在E 上．（1）求E 的方程；（2）已知过定点(0,)M m 的动直线l 交E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为N ，若OA OB OM ON ⋅-⋅为定值，试求m 的值．22．已知函数21()ln 2f x x a x =-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若0a >，关于x 的方程()f x ax =有唯一解，求a 的值．参考答案1．A 【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限. 【详解】∵复数1i i +=11112i i i i i-+⨯=-+,∴复数对应的点的坐标是（11,22）,∴复数1ii+在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.2．B 【分析】解不等式得集合A ，由对数函数性质得集合B ，然后由交集定义计算． 【详解】解：∵(21)(1)0x x +->，∴1,(1,)2A ⎛⎫=-∞-+∞ ⎪⎝⎭，∵10x ->，∴(,1)B =-∞，∴A B =1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．故选：B ． 3．C 【分析】根据双曲线方程求出,a c ，即可求出离心率. 【详解】双曲线方程2213y x -=，1,a b ∴==2c ∴==，2ce a∴==.故选：C. 4．C 【分析】根据两直线平行可知：12120A B B A +=求出a ，代入验证，再由充分条件、必要条件的定义即可求解.【详解】解：当两直线平行，∴12(1)0a a ⨯--=，解得2a =或1a =-， 当2a =，两直线重合，舍去； 当1a =-时，两直线平行．所以“1a =-”是“直线240x ay ++=与直线(1)20a x y -++=平行”的充要条件． 故选：C 5．D 【分析】根据分段函数解析式，代入即可求解. 【详解】解：77143882f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，则37(3)8f ff a ⎡⎤⎛⎫== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得38a =，解得2a =． 故选：D 6．D 【分析】 由题设得512345512345A a a a a a B b b b b b =，再利用等比中项的性质可得55A B 、33a b 的关系，进而求值.【详解】()()535123453551234553533243a A a a a a a a B b b b b b b b ⎛⎫===== ⎪⎝⎭， 故选：D ． 7．C 【分析】结合函数的奇偶性及特值可判断 【详解】对于A ，()()sin xy f x g x e x =+=+为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，，()()sin xy f x g x e x =-=-为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于D ，()()sin x g x xy f x e==，当2x =时，01y <<，与图象不符，排除D ，故选C ． 8．B 【分析】根据伸缩、平移变换的原则，可得()g x 的解析式，令π2π4x k +=，k ∈Z ，即可求得对称轴方程，对k 赋值，即可得答案. 【详解】将π()cos 12f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得cos 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，可得121πππ()c 2os 2cos 24g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令π2π4x k +=，k ∈Z ，解得π1π82x k =-+，k ∈Z ．所以当0k =时，解得π8x =-．故选：B 9．B 【分析】通过三视图，还原几何体，即可求出表面积. 【详解】解：如图，1111ABCD A B C D -上取四面体11A BB D -即为所求四面体，1111ABB BB D ABD SSS，，均为直角三角形，11AB D S为等边三角形,1112ABB S ==,11122BB D S =1122ABD S ==11212sin 6032AB D S=⨯⨯=1． 故选：B.10．A 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】解：中题意知，天干是公差为10的等差数列，地支为公差为12的等差数列，且1001010=⨯，1008124=⨯+， 因为2021年为辛丑年，则100年前的天干为“辛”，地支为“酉”， 可得到1921年为辛西年． 故选：A 11．A 【分析】 根据题意得到2tan tan()13tan lan B A C C C=-+=+，结合基本不等式，求得π0,6B ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，结合面积公式，即可求解. 【详解】在ABC 中，满足tan 3tan A C ，且()B A C π=-+，可得2tan tan 2tan 2tan tan()11tan tan 13tan 3tan lan A C CB AC A C CC C+=-+=-==≤=-++，当且仅当tan C =π0,6B ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，可得1sin 2B ≤，所以1111sin 22222ABC S ac B =≤⨯⨯=△． 故选：A. 12．C 【分析】根据题设可得0a >、ln()ln x x ax ax e e ≤，当01ax <≤易知1x ax e ≤<，当1ax >时构造()ln f x x x =，利用导数研究单调性可得x ax e ≤，即可知xe a x≤在(0,)+∞上恒成立，构造()xe g x x=并研究求其最小值即可得a 的最大值.【详解】由0x >，00ax a >⇒>，由ln()ln()ln()ln()ln xx x x x e ax a ax e ax ax xe ax a ax e e ≤⇒≤⇒≤⇒≤，①若01ax <≤，ln()0xe ax a≤<，此时满足1x ax e ≤<；②若1ax >，令()ln f x x x =，()ln 10f x x '=+>在(1,)+∞恒成立， ∴()y f x =在(1,)+∞单调递增，而ln()ln x x ax ax e e ≤，∴()()xf ax f e ≤在(1,)+∞恒成立x ax e ⇒≤，综上，xax e ≤在(0,)+∞恒成立，xxe ax e a x≤⇒≤，令()x e g x x =，22(1)()x x x e x e e x g x x x --'==， ()y g x =在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增，∴min ()(1)g x g e ==，即有a e ≤． 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据恒成立得到0a >、ln()ln x x ax ax e e ≤，讨论01ax <≤、1ax >判断,x ax e 的大小关系，进而求a 的最值. 13．5 【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出. 【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，将2z x y =+化为122z y x =-+，则数形结合可得当直线122zy x =-+过点(1,2)A 时，2z x y =+取得最大值为5． 故答案为：5.14．13-【分析】根据向量对应线段的几何关系及向量加减、数乘的几何意义有AD AC CD =+、13CD BC =、BC AC AB =-，即可确定参数m . 【详解】∵1114()3333AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+，∴13m =-．故答案为：13-15．34【分析】由题设易知△PAM 为直角三角形且90PAM ∠=︒，可得2||1PA PM PM ⋅=-，由P 在抛物线C 上，设()2,P x x 再由向量模的坐标表示得22233||124PM x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即可求最小值.【详解】由已知得：22||||1PA PM PA PM ⋅==-，设点()2,P x x ，则()42222222333||12133244PM x x x x x ⎛⎫-=+--=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当232x =时，2||1PA PM PM ⋅=-取得最小值34． 故答案为：3416． 【分析】由于对称性，不妨设点P 在棱11A B 上，设1PA x =，则11PB x =-，由勾股定理可得：PD PB +=x 轴上一动点(),0M x （01x ≤≤）到两定点(S 与()1,1T 的距离之和，即可得解.【详解】由于点P 在底面各棱上相对点B 、D 位置相同，不妨设点P 在棱11A B 上，设1PA x =，则11PB x =-，由勾股定理可得：PD PB +=其几何意义为x 轴上一动点(),0M x （01x ≤≤）到两定点(S 与()1,1T 的距离之和．易知其最小值即为(0,S '到()1,1T 的距离，即()min PB PD S T '+==在平面几何中，PB PD +的最大值在0x =或1x =处取得，当0x =时，PB PD +=1x =，1PB PD +<故PB PD +的取值范围为．故答案为：. 17．（1）π7π[π,π],1212k k k Z ++∈；（2）(2,4)． 【分析】（1）化简函数()sin(2)3f x x π=+，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）由()0f A =，得到πsin 203A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得π3A =，再由正弦定理4sin b B =，进而求得实数b 的取值范围. 【详解】（1）由题意，函数211cos 2()sin cos sin 222x f x x x x x +==+1sin 2sin(2)23x x x π==+， 令ππ3π2π22π,232k x k k Z +≤+≤+∈，可得π7πππ,1212k x k k Z +≤≤+∈， 所以()f x 的单调递减区间为π7π[π,π],1212k k k Z ++∈. （2）由()0f A =，可得πsin 203A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为πππ2π333A <+<+，可得π2π3A +=，解得π3A =，由正弦定理得sin sin a bA B=，即4sin b B =， 因为ABC 为锐角三角形，可得ππ62B <<，所以实数b 的取值范围为(2,4). 18．（1）0.020a =；平均成绩为76.2；（2）35．【分析】（1）根据小矩形的面积之和等于1即可得a 的值，由平均数的计算公式可求平均数； （2）求出成绩分别在[)80,90，[]90,100两组学生的人数，求出总的基本事件的个数以及这2人来自不同小组包含的基本事件的个数，利用古典概率公式即可求解. 【详解】（1）根据频率分布直方图得：(0.0040.0060.0300.0240.016)101a +++++⨯=， 解得：0.020a =，平均成绩为：()450.004550.006650.020750.030850.024950.0161076.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=； （2）来自[)80,90小组的有3人记为1a ，2a ，3a ， 来自[]90,100小组的有2人记为1b ，2b ， 从5人中随机抽取2人，基本事件为12a a ，13a a ，11a b ，12a b ，23a a ，21a b ，22a b ，31a b ，32a b ，12b b 共10个，这2人来自不同组的有11a b ，12a b ，21a b ，22a b ，31a b ，32a b 共6个， 所以这2人来自不同小组的概率为63105P ==． 19．（1）n a n =；（2）(1)lg(1)nn T n =-+．【分析】 (1)令1n =,解得:12t =,再由-1n n n a S S =-,即可求出n a , (2)根据(1)的结论,再利用并项求和,即可求解. 【详解】解：（1）令1n =，1112S a t ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，可得12t =，所以1122n S n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2n ≥时，111(1)(1)22n S n n -⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，可得2211(1)22n a n n n ⎡⎤=--+=⎣⎦ 所以n a n =（2n ≥），又因为11a =满足上式，所以n a n =（2）因为()()11(1)lg (1)lg lg n nn n n n n b a a a a ++=-⋅=-+()()()()n 1223341lg lg lg lg lg lg (1)lg lg n n n T a a a a a a a a +=-+++-+++-+11(1)lg lg (1)lg(1)n n n a a n +=--=-+所以n (1)lg(1)nT n =-+20．（1）存在；理由见解析；（2． 【分析】（1）取PC ，PD 的中点E ，F ，连接BE ，EF ，AF ，易证四边形ABEF 为平行四边形，再由线面平行的判定证//BE 平面PAD .（2）由等体积法有A PBC P ABC V V --=，取CD 的中点O ，连接PO ，BO ，易得PO ⊥面ABCD ，求出PO 、PBCS 、ABCS，进而可求A 到平面PBC 的距离．【详解】（1）存在PC 的中点E ，使得//BE 平面PAD ，证明如下：分别取PC ，PD 的中点E ，F ，连接BE ，EF ，AF ，则//EF CD ， ∵//AB CD ， ∴//AB EF ，∵112EF CD ==，1AB =，∴AB EF =，故四边形ABEF 为平行四边形，即//BE AF ， 又∵BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ， ∴//BE 平面PAD ．（2）取CD 的中点O ，连接PO ，BO ， ∴PC PD =，则PO CD ⊥，∵面PCD ⊥面ABCD ，面PCD 面ABCD CD =，PO ⊂平面PCD ， ∴PO ⊥面ABCD ，设点A 到平面PBC 的距离为d ，则A PBC P ABC V V --=， ∴1133PBC ABC S d S PO ⋅=⋅△△，又OB ⊂面ABCD ，∴PO OB ⊥，BC BD ==2CD =，可得1OB =，易知PO =∴2PB =，2PC =，BC =∴12PBCS=111122ABCS=⨯⨯=，∴111332d =⨯d ==A 到平面PBC． 21．（1）22143x y +=；（2）m =．【分析】（1）由椭圆的定义可得2a =，再由1c =，结合2223b a c =-=即可求解.（2）讨论直线l 的斜率是否存在，当直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，将直线与椭圆联立，1212122y y OA OB OM ON x x y y m +⋅-⋅=+-⋅，利用韦达定理即可求解. 【详解】解：（1）由题意可知12532422a TF TF =+=+=，∴2a =，而1c =， ∴2223b a c =-=，∴椭圆E 的方程为22143x y +=．（2）①若直线l 的斜率不存在，易得3OA OB OM ON ⋅-⋅=-， ②若直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则1212,22x x y y N ++⎛⎫⎪⎝⎭，联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 ()2224384120kx kmx m +++-=，且222843km x x k -+=+，212241243m x x k -=+，1212122y y OA OB OM ON x x y y m +⋅-⋅=+-⋅()()()1212122mx x kx m kx m kx m kx m =+++-+++ ()()()22212121212kmk x x km x x m x x m =++++-+- ()()()222121222412811243243km m km km k x x x x k k k --=+⋅++=++⋅++ ()222222223434312412433434343k m k m m k k k -++--+--===-++++要使上式为常数，必须且只需2430m -=，即m =， 此时易知0∆>恒成立，且3OA OB OM ON ⋅-⋅=-，符合题意．综上所述，m =． 22．（1）答案不唯一，具体见解析；（2）12a =． 【分析】（1）求导函数()'f x ，分类讨论确定()'f x 的正负，得单调区间；（2）设()()g x f x ax =-，求出导函数()'g x ，由()0g x '=在(0,)+∞上解得2x =得()g x 的极小值2()g x ，按222()0,()0,()0g x g x g x >=<分类讨论确定()g x 零点个数得结论． 【详解】解：（1）由题意，可得0x >且2 ()a x af x x x x-'=-=①若0a ≤，()0f x '>恒成立，则()f x 在(0,)+∞上是增函数②0a >，则2()a x a f x x x x -==='-所以当x ∈时，()0f x '<，当)x ∈+∞时，()0f x '>则()f x 在上是减函数，在)+∞上是增函数 综上所述，若0a ≤，()y f x =在(0,)+∞上是增函数若0a >，()y f x =在上是减函数，在)+∞上是增函数 （2）由题意，可得21()ln 2f x x a x ax =-= 令21()()ln 2g x f x ax x a x ax =-=--， 方程()f x ax =有唯一解，即()y g x =有唯一零点； ()21()a g x x a x ax a x x='--=--， 令()0g x '=，得20x ax a --=．因为0a >，0x >，所以10x =（舍去），2x = 当()20,x x ∈时，()0g x '<，()g x 在()20,x 是减函数； 当()2,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()2,x +∞上是增函数．当2x x =时，()20g x '=，()min 2()g x g x =．若()20g x >，则()0>g x 恒成立，不存在零点（舍） 若()20g x =则22()0()0g x g x =⎧⎨'=⎩，即22222221ln 020x a x ax x ax a ⎧--=⎪⎨⎪--=⎩，可得2212ln 0x x --=设()12ln h x x x =--，因为在0x >时，()h x 是减函数，所以()0h x =至多有一解． 又因为(1)0h =，所以21x =，从而解得12a =． 若()20g x <，则2212ln 0x x --<，可得21>x因为211x e <<，2211111ln 022a g a a a e ee e e e ⎛⎫=--=+-> ⎪⎝⎭所以()y g x =在21,x e⎛⎫⎪⎝⎭存在一个零点；设()()ln 1x x x ϕ=+-，0x >，则()11011x x x x ϕ-'=-=<++，即()x ϕ在()0,∞+上单调递减，则()()0x ϕϕ<，即()ln 10x x +-<，()ln 1x x +<.因为2141x a a =<=+<+，所以22111(41)(41)ln(41)(41)(41)(4)(41)30222g a a a a a a a a a a a a +=+-+-+>+--+=+>所以()y g x =在()2,41x a +存在一个零点； 因此()y g x =存在两个零点（舍）． 综上所述，12a =． 【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，考查用导数研究方程根的个数问题，解题方法把方程根的个数转化为函数零点个数，通过研究函数的单调性，极值确定零点个数．。