灰色系统分析方法
[数学]灰色系统理论
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灰色系统理论进行关联分析的两种方法：一 根 据数据的几何关系分析法；二 利用关联公式分析法
生成数的生成方法
生成方法 一次累加
应用相关 时间
一次累减
时间
均值生成
得 Xˆ 0 ( Xˆ 0 (1), Xˆ 0 (2), Xˆ 0 (3), Xˆ 0 (4), Xˆ 0 (5))
(2.8740, 3.2320, 3.3545, 3.4817, 3.6136)
对比原数据
X0=( x0(1), x0(2), x0(3), x0(4), x0(5) )
=( 2.874, 3.278, 3.337, 3.390, 3.679 )
3．检验预测值
4．预测预报 由模型 GM(1,1)所得到的指定时区内的预测值，
根据实际问题的需要，给出相应的预测预报。
定义 设原始数据序列
X 0 ( x0 (1), x0 (2), , x0 (n))
相应的预测模型模拟序列:
X0
x0
1 , x0
2,
残差序列:
x0
n
0 0 1 , 0 2 , 0 n
b a
85.276151e0.0372k
82.402151
第五步：求X1的模拟值
X 1 (x1 (1), x1 (2), x1 (3), x1 (4), x1 (5)) (2.8704,6.1060,9.4605,12.9422,16.5558)
第六步：还原出 X0 的模拟值，由 Xˆ0(k) Xˆ1(k) Xˆ1(k 1)
主要内容
灰色关联分析法讲解
“非唯一性”
目标非唯一 灰靶思想
目标可约束
目标可接近 信息可扩充 方案可改善 关系可协调 思维可多向 认识可深化 途径可优化
灰色系统理论研究灰元、灰数、灰关系 灰数——指信息不完全的数。
灰关联分析法
（一）什么是灰色系统
灰色系统理论是1982年由邓聚龙创立的一门边缘性学科 (interdisciplinary)
灰色系统用颜色深浅反映信息量的多少。说一个系统是黑色的， 就是说这个系统是黑洞洞的，信息量太少；说一个系统是白色的， 就是说这个系统是清楚的，信息量充足。
这种处于黑白之间的系统，就是灰色系统，或说信息不完全的系 统，成为灰色系统或简称会系统（grey system)。
如“这个人的年龄18岁左右” “今天的气温10 - 15度之间” 灰元——指信息不完全的元素。如“货币”是灰元。
货币的两种功能：流通手段和价值尺度 灰关系——指信息不完全的关系。例：多种经济成份并存、一国两制
换轨思维
例1：小司马光灵机一动，换个角度处置眼前的危急场面。其实， 他砸碎的不完全是一口现实生活中看得见摸得着的缸，同时也打破 了一种旧的思维模式。当我们打破旧思维，再将我们的思路重新组 装的时候，结果一定是一幅好风光。 爱迪生是美国的大发明家。他的一切发明都是和他的思维活跃分不 开的。
例2：一天，爱迪生在实验室里工作，急需知道一个灯泡容量的数 据。由于手头忙不开，他便递给助手一个没有上灯口的玻璃灯泡， 吩咐助手把灯泡的容量数据量出来。过了很久，爱迪生手头的活早 已干完，助手仍未将数据送来。爱迪生只好亲自去找助手，一进门， 就看到助手正忙于计算，桌上演算纸已经推了一大迭。爱迪生忙问： “还需多长时间？”助手说：“一半还没完呢。”爱迪生明白了。 原来，他的助手用软尺测量灯泡的周长、斜度，正在用复杂的公式 计算呢！小伙子还把程序说给爱迪生听，证明自己的思路没错。爱 迪生不等他说完，便拍拍他的肩膀说：“别白忙了，小伙子，瞧我 这么干。”说着，他往灯泡里面注满了水，交给助手：“把这里的 水倒在量杯里，马上告诉我它的容量。”助手听到后，脸马上就红 了。
第三节灰色综合评价法
二、灰色综合评价法的模型和步骤
对事物的综合评价，多数情况是研究多对象的排序问题，即在各个评价对象之间排出优选 顺序
灰色综合评判主要是依据以下模型：R=E×W
式中：R=[r，r2，…，rm]'为m个被评对 象的综合评判结果向量；W=[w，W2，…， Wm]为n个评价指标的权重分配向量，其中 ∑w=1;E为各指标的评判矩阵 (k)为第i种方案的第k个指标与第k个最优指 标的关联系数 根据R的数值，进行排序
三、灰色综合评价法的实例分析
若k为指标或观测对象序号， 而且X也为单项，对于X项目的 运动员来说，应以X为最重要
的辅助训练项目
而对于学生来说，在X项目成 绩比较好的情况下，为提高其 身体素质的全面发展，应抓住 弱势，积极进行X和X项目的锻
炼
灰色关联分析主要着重研究" 外延明确、内涵不明确"的对 象，解决"小样本、贫信息、 不确定"问题，是一种解决不
三、灰色综合评价法的实例分析
某个体或某群体的行为数据如下(表12-5) (二)计算步骤 第
一步：求初值像(或均值像) 第二步：求差序列 第三步：求两极差 第四步：求关联系数(表12-6) 第五步：计算关联度(表12-7) (三)结果与分析 若k为时间序号，X与X(总分)的关联度最 大，为0.717，它们关联度程度的大小顺 序依次为X>X>X，这说明三个项目成绩的 好差排序也应如此，体育工作者在教学 或运动训练中，应根据具体情况进行针 对性教学或训练
第三节灰色综合 评价法
第三节灰色综合评价法
目录
二、灰色综合评价法的模型和步骤 三、灰色综合评价法的实例分析
灰色系统分析
灰色系统分析“白”指信息完全确知，“黑”指信息完全不确知，“灰”则指信息部分确知，部分不确知，或者说信息不完全。
这是“灰”的基本含义。
对于不同问题，在不同的场合，“灰”可以引伸为别的含义。
如：从表象看：“明”是白，“暗”是黑，那么“半明半暗或若明若暗”就是灰。
从态度看：“肯定”是白，“否定”是黑，那么“部分肯定，部分否定”就是灰。
从性质看：“纯”是白，“不纯”是黑，那么“多种成分”就是灰。
从结果看：“唯一”是白，“无数”是黑，那么“非唯一”就是灰。
从过程看：“新”是白，“旧”是黑，那么“新旧交替”就是灰。
从目标看：“单目标”是白，“无目标”是黑，那么“多目标”就是灰。
类似地可以举出许多例子，就其基本含义而言，“灰”是信息不完全性与非唯一性。
信息不完全性与非唯一性在人们认识与改造客观世界的过程中会经常遇到的。
客观世界是物质世界，也是信息世界。
所谓系统是指：由客观世界中相同或相似的事物按一定的秩序相互关联、相互制约而构成的整体。
例如工程技术系统，社会系统，经济系统等等。
所谓白色系统是指：信息完全明确的系统。
如，一个家庭，其人口、收入、支出、父子、母女上下间的关系等等完全明确；一个工厂。
其职工、设备、技术条件、产值、产量等等信息完全明确。
像家庭、工厂这样的系统就是白色系统。
所谓黑色系统是指：信息完全不明确的系统。
如遥远的某个星球，其重量、体积、是否有生命等等全然不知；湖北原始森林神农架的野人，其生活习性、群体关系，交换信息的方法等等完全不清楚，这样一类的系统都是黑色系统，还有飞碟、百暮三角洲等等目前只能看成黑色系统。
所谓灰色系统是指：介于白色系统与黑色系统之间的系统（Grey System），即系统内部信息和特性是部分已知的另一部分是未知的。
例如人体，其身高、体重、年龄、血压、脉搏、体温等等都是已知的，而人体的穴位的多少，穴位的生物、化学、物理性能；生物信息的传递；温度场；意识流等等尚未确知或者知道不透彻。
(整理)灰色关联度分析方法模型
灰色关联度分析方法模型灰色综合评价主要是依据以下模型：R=Y×W式中，R 为M 个被评价对象的综合评价结果向量；W 为N 个评价指标的权重向量；E 为各指标的评判矩阵，（矩阵略）)(k i ξ为第i 个被评价对象的第K 个指标与第K 个最优指标的关联系数。
根据R 的数值，进行排序。
（1）确定最优指标集设],,[**2*1n j j j F =,式中*k j 为第k 个指标的最优值。
此最优序列的每个指标值可以是诸评价对象的最优值，也可以是评估者公认的最优值。
选定最优指标集后，可构造矩阵D （矩阵略）式中i k j 为第i 个期货公司第k 个指标的原始数值。
（2）指标的规范化处理由于评判指标间通常是有不同的量纲和数量级，故不能直接进行比较，为了保证结果的可靠性，因此需要对原始指标进行规范处理。
设第k 个指标的变化区间为],[21k k j j ,1k j 为第k 个指标在所有被评价对象中的最小值，2k j 为第k 个指标在所有被评价对象中的最大值，则可以用下式将上式中的原始数值变成无量纲值)1,0(∈i k C 。
i k k k i k i kj j j j C --=21，m i ,2,1=，n k ,,2,1 =（矩阵略）（3）计算综合评判结果根据灰色系统理论，将],,,[}{**2*1*n C C C C =作为参考数列，将],,,[}{21i n i i C C C C =作为被比较数列，则用关联分析法分别求得第i 个被评价对象的第k 个指标与第k 个指标最优指标的关联系数，即i k k k i i k k i k k k i i k k k iC C C C C C C C k -+--+-=****i max max max max min min )ρρξ（式中)1,0(∈ρ，一般取5.0=ρ。
这样综合评价结果为：R=ExW若关联度i r 最大，说明}{C 与最优指标}{*C 最接近，即第i 个被评价对象优于其他被评价对象，据此可以排出各被评价对象的优劣次序。
灰色系统理论
灰色系统理论简单介绍灰色系统法理论就是某一个系统内部各个因素之间的关系不是非常的明确。
例如：在农业生产中，生产作物的生长情况与农药、土壤以及气候等条件之间的关系。
我们对于这一系统内这些因素之间的关系不是非常的了解，所以这就叫作一个灰色系统。
灰色系统理论提出了一种新的分析方法—关联度分析方法，即根据因素之间发展态势的相似或相异程度来衡量因素间关联的程度，它揭示了事物动态关联的特征与程度。
由于以发展态势为立足点，因此对样本量的多少没有过分的要求，也不需要典型的分布规律，计算量少到甚至可用手算，且不致出现关联度的量化结果与定性分析不一致的情况。
灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。
通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。
但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。
尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。
事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。
相关理论对因素间关联度的分析：对数据进行变换取消数据的纲量，使数据具有可比性，以保证建模的质量。
对数据变换的方法有：1、初值化变换 f(x(k))==y(k), k=1,2,…,n ()(1)x k x 2、均值化变换 f(x(k))=1()1(),()nk x k y k x x k n x===∑3、百分比变换 ()(())()()max kx k f x k y k x k ==4、倍数变换 ()(())(),()0()min min k kx k f x k y k x k x k ==≠5、归一化变换 其中x 为大于零的某个值0()(())()x k f x k y k x ==06、极差最大之化变换 ()(())()min ()max ()k kx k f x k y k x k x k -==7、区间之化变换 ()(())()min ()max ()min ()k k k x k f x k y k x k x k x k -==-某一时刻的比较数列为x =i {}()1,2,...,((1),(2),...,()),1,2,...,i i i ix k k n x x x n i m ===参考书列为x =o {}0000()1,2,...,((1),(2),...,())x k k n x x x n ==称 （1）式 000()()()()()()()()()maxmax minmin maxmax o s s s t s tii ss tx t x t x t x t k x k x k x t x t ρξρ-+-=-+-为比较数列x 对参考数列x 在时刻k 的关联系数，其中为分辨系数。
灰色系统与神经网络分析方法及其应用研究
灰色系统与神经网络分析方法及其应用研究灰色系统与神经网络分析方法及其应用研究引言灰色系统理论作为一种非统计性的系统分析与预测方法，具有应用广泛、数据要求低、适用于小样本与非线性系统等优点。
然而，随着大数据时代的到来和信息量的不断增加，灰色系统理论在某些场景下的应用面临一定的局限性。
与此同时，神经网络作为一种强大的模式识别和机器学习工具，其应用范围也逐渐扩展，并在某些领域取得了重要的研究成果。
本文将探讨灰色系统与神经网络在分析和预测方面的方法，并且介绍了它们在不同领域的应用研究进展。
一、灰色系统分析方法灰色系统理论是由我国学者黄东南提出的一种系统分析方法，其核心思想是将不完全信息转化为完全信息，并通过构建相应的数学模型进行分析和预测。
常用的灰色系统分析方法包括灰色关联分析、灰色预测模型、灰色关联预测模型等。
1. 灰色关联分析灰色关联分析是灰色系统的基本方法之一，它主要用于确定变量之间的关联程度。
通过计算得到的灰色关联系数，可以评估不同变量之间的相互关联程度，并进一步分析其影响因素。
2. 灰色预测模型灰色预测模型是灰色系统理论的核心内容之一，其目的是根据已知的历史数据，对未来变量进行预测。
其中，最常用的模型是GM(1,1)模型，它是一阶线性微分方程模型，适用于短期时间序列数据的预测。
3. 灰色关联预测模型灰色关联预测模型是将灰色关联分析与灰色预测模型相结合的方法，通过计算得到的灰色关联系数和预测值，进行综合预测。
它可以综合考虑不同变量之间的关联程度，并得出更准确的预测结果。
二、神经网络分析方法神经网络是一种模拟人脑神经元网络结构和工作原理的计算模型，具有良好的非线性映射能力和自适应学习能力。
在数据分析和预测方面，神经网络通常通过训练的方式从大量样本数据中学习，建立相应的模型，并用于未知数据的预测。
1. 前馈神经网络前馈神经网络是最常用的神经网络类型之一，其结构由输入层、隐藏层和输出层组成，信息在网络中单向传递，不具备反馈机制。
灰色系统理论及其在决策分析中的应用
灰色系统理论及其在决策分析中的应用随着社会的不断发展和科技的不断进步，决策分析已成为企业等组织科学管理的必要手段。
而面对越来越多的信息和数据，如何通过分析来做出科学决策也成为人们亟待解决的问题。
灰色系统理论作为一种新的分析方法，受到了越来越多的关注。
一、灰色系统理论概念灰色系统理论是由我国科学家李学凌研究提出的一种新型理论，包括灰色系统动力学、灰色系统模型、灰色关联分析、灰色综合评价等方法。
所谓灰色，是指存在一定程度不确定性的事物，即信息或知识不完备的系统。
而灰色系统理论意在通过对这些灰色系统的分析，揭示其内在机理，预测其发展趋势，从而进行科学决策。
二、灰色系统理论方法灰色系统理论方法包括：1. 灰色关联分析方法：通过相似性比较，建立变量间的关联关系模型，从而揭示变量之间的影响机理。
例如，企业的销售额与广告投入、市场容量等因素之间的关系可以通过灰色关联分析找到。
2. 灰色综合评价方法：将多个因素的影响情况综合考虑，通过建立评价模型进行分析。
例如，对于一个新产品的推广，可以通过灰色综合评价方法综合考虑市场需求、产品特点、市场竞争等因素，来评估该产品的推广前景。
3. 灰色系统预测方法：对于一个未来发展趋势不确定的系统，通过建立预测模型，预测其未来的发展情况。
例如，对于一个企业的销售额，可以通过灰色系统预测方法建立销售额的预测模型，预测未来销售额的变化情况。
三、灰色系统理论在决策分析中的应用灰色系统理论在决策分析中的应用可以大致分为以下三个方面：1. 风险预测：灰色系统理论方法可以将多个因素的影响情况综合考虑，对未来可能发生的风险进行评估和预测。
例如，在做企业投资决策时，可以通过灰色系统理论方法对风险进行预测，从而有效减少投资风险。
2. 绩效评价：灰色系统理论方法可以对多因素进行综合评价，从而对某个绩效进行客观评价。
例如，在对企业销售绩效进行评价时，可以将销售额、市场份额、用户满意度等因素进行灰色综合评价，从而得出该企业销售绩效的客观评价结果。
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一、灰色关联度分析
设 x1 , x2 ,, xN为N个因素，反应各因素变化特性 的数据列分别为 x1 t , x2 t ,, xN t , t 1,2,, M 因素 x j 对
i (k )
i
xi 的关联系数定义为 min min x0 k xi k max max x0 k xi k
二、灰色GM（1,1）模型
灾变预测 一般地，如果表征系统行为特征的指标通过了某个 临界值，则称发生了灾变，所以灾变是相对于所研 究问题的表征变量而言的。
N x 1 , x 2 , , x 设表征系统行为的原始数据列为 0 x 规定一个灾变临界值 ， i 中那些<= 或 >=
一、灰色关联度分析
对各要素的原始数据作初等变换或均值变换等，然后 利用变换后所得到的数据作关联度计算。原始数据变 换方法如下： （1）均值化变换：先分边求出各个序列的平均值，再 用平均值去除对应序列中的各个原始数据，所得到新 的数据列即为均质化序列。 （2）初值化变换：分别用同一序列的第一个数据去除 后面的各个原始数据得到新的倍数数列，即为初值化 数列。
-4.9844
3.3541 4.2218 -3.4078
二、灰色GM（1,1）模型
得到上表的结果根据计算得到的预测模型是
x(t+1)=1989033.435309exp(0.081739t)-1851541.435309
模型精确检验值为C=0.2657（好），p=0.9677 （好）表明上述模型可以进行预测。
式中，ri 为曲线 xi 对参考曲线 x0 的关联度。根 据关联度 ri 可计算出参评因素的权重
i ri / ri 100i 1， 2， ，n
i 1
n
根据关联度的计算可以看出，它的大小主要取 决于各时刻的关联系数，而关联系数的值又取 决于各时刻xi与x0之差。显然，xi与x0的量纲不 同，就会影响关联度ri的计算结果。为消除量 纲的影响，就需要在进行关联度计算之前，
1
2 s2
0 1 0 t ) ( t m 1 t 1
m
2
p |
0
t
0
在计算方
| 0.6745 s1
。根据后验比c和小误差概率p对模型进行诊断，当p >0.95和c<0.35时，模型精度良好；当p>0.8和c<0.5 时，模型合格；当p>0.7和c<0.65时，模型勉强合格； 当p<=0.7和p>=0.65时，模型不合格。
根据（3 ）讲述的基础公式，对一次累加成数列的预 测值 x t ，可以求得原始数的还原值
1
x t x t x t 1
式中t=1,2,„，N，并规定还原值初始值为0.原始数 据的还原值与实际观测值之间的残差值 0 t 和相对 误差 qt 如下 0 0 0 t x t x 0 t 1 0 0% q t 0 x t
0 0 0
的点数被认为是具有异常值的点（灾变发生点），
二、灰色GM（1,1）模型
把它们按原来的顺序挑出来组成一个新的数据 序列（灾变数列）
x i x q | x q
0 ' 0 0
作灾变映射 变日期形成的序列
p : i ' q ，则灾变预测就是按灾 p p(1' ), p(2' ),, p(n' )
年份
降水量 年份
1981 1982
435. 278. 9 9 1991 1992
1983
483 1993
1984
510. 6 1994
1985
398. 2 1995
1986
430. 6 1996
1987
பைடு நூலகம்
178050.4459
190090.1424 209672.0046 227530.247
X(t+2)=254937.54808
X(t+3)=276651.15996 X(t+4)=300214.16965 X(t+5)=325784.09457
-7900.63
6369.492 9144.534 -7287.19
二、灰色GM（1,1）模型
基本原理 此模型建立的基本过程是：对时间变化的序列无 明显趋势时，采用“累加”的方法，建立一个随 时间变化趋势明显的时间序列。例如，时间序列 （1，3，4，7，5，9）变化趋势不明显，对其元 素进行雷杰可以生成一列趋势明显的序列（1，2， 8，15，20，29）。按照累加后序列的增长趋势 可以简历考虑灰色因子的预测模型进行预测，然 后采用“累减” 的方法进行逆运算，回复原时 间序列，得到预测结果。
二、灰色GM（1,1）模型
模型建立的方法与步骤 （一）方法 设时间序列 X(0) = x0 1, x0 2, x0 3,, x0 n
其累加生成的序列为 X(1) =
x 1, x 2, x 3,, x n
1 1 1 1
一、灰色关联度分析
（3）标准化变换：先分别求出各个序列的平均值和 标准差，然后将各个原始数据渐趋平均值再除以标 准差，得到的数据即为标准化序列。
一、灰色关联度分析
实例分析
沙漠化土地面积及其影响因素 沙漠化土 地/x1 年平均降水 年平均大风 量/x2 日数/x3 农牧业总人 耕地面 口/x4 积/x5 牲畜总 数/x6
一、灰色关联度分析
如上面的例子在DPS中操作，完全可以用傻瓜式操 作实现。
第一步：将数据输入DPS数据处理系统中；
第二步：在“其他”菜单栏中找到“灰色系统方 法”，在其箭头里找到“灰色系统分析” 第三步：在对话框中实现。
一、灰色关联度分析
在数据序列转换方式， 一般为均质化。母序 列个数一般为0；是 否令min为0，如果要 精确的话，尽量不要 为0；分辨系数（白 化值），一般情况设 为0.5.
129535
168462
294.87
298.56
44.6
42.3
48355
69345
16519
48796
1288030
1456793
187856
205678 224595
325.35
309.84 295.89
36.6
47.5 50.3
82134
94567 108031
53679
56346 59199
按后者建立微分方程模型为
dX 1 aX u dt
1
二、灰色GM（1,1）模型
式中所对应的时间响应函数为
u at u 0 X t 1 X 1 e a a
1
确定a、u,按模型递推，便得到预测的累加序列， 进行检验后“累减”便可得到预测值。
，其中，
BT YN
X X
1 1
1
1 1
1 1 1
1 2 1 2
X 0 2 X 0 3 YN X 0 n
1
X
1
2 1
二、灰色GM（1,1）模型
u t 1 X 1 e X （3）将灰色参数代入时间函数 a
为分辨系数，一般在0与1之间选 两级最大差； 取,一般取0.5。
0 i
0 i
i
k
i
k
0.5 i (k ) 1
关系数的个数很多，信息过于分散，不便于比较， 为此有必要将各个时刻的关联数集中为一个值， 这个值便是关联度，其表达式为
1 N ri i (k ) N k 1
一、灰色关联度分析
1879653
2098764 2200625
一、灰色关联度分析
关联度取灰数的白化值为0.5（ =0.5） 完整的计算步骤是完全根据前面介绍的得来
1 0.703707 0.732491 0.571372 0.73455 0.713403 0.703707 1 0.720905 0.655688 0.74416 0.549267 0.732491 0.720905 1 0.787908 0.774496 0.805972 0.571372 0.655688 0.787908 1 0.648738 0.588216 0.73455 0.74416 0.774496 0.648738 1 0.727275 0.713403 0.549267 0.805972 0.588216 0.727275 1
0
0
at
u a
然后对 X 1 求导还原得到
X
0
u at 0 t 1 a X 1 e a
0
0 0 t t 及相对误 x t （4）计算 与x 之差 差 t
二、灰色GM（1,1）模型
建立GM(1,1)预测模型进行灾变日期预测。
二、灰色GM（1,1）模型
应用实例 如果年降水量小于或等于300mm，就认为发生了旱灾。 试用灾变预测法对下一个灾变到来的年份进行预测。 某地区年降水量(mm)
年份 降水量 1971 1972 298. 489. 7 9 1973 398. 6 1974 345 1975 289. 8 1976 478. 3 1977 515. 6 1978 421. 5 1979 299. 8 1980 432. 1
二、灰色GM（1,1）模型
二、步骤
（1）由原序列 X 按照 生成 1 t ，以弱化原始数列的随机性和波动性； X 序列
m 1
0
X