高考最新-高考数学直线的倾斜角和斜率训练1 精品
高三数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析
高三数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()A．(3,0)B．(－3,0)C．(0，－3)D．(0,3)【答案】D【解析】∵l1∥l2，且l1的斜率为2，∴l2的斜率为2，又l2过(－1,1)，∴l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理即得y＝2x＋3，令x＝0，即得P(0,3)．故选D．2.[2014·长春三校调研]一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是()A．m>1，且n<1B．mn<0C．m>0，且n<0D．m<0，且n<0【答案】B【解析】因为y＝－x＋经过第一、三、四象限，故－>0，<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0，故选B.3. [2014·南宁模拟]直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是()A．B．C．∪D．∪【答案】B【解析】将直线方程变形为y＝－x－，∴直线的斜率k＝－.∵a2＋1≥1，∴0<≤1.∴－1≤k<0，即－1≤tanα<0.∴π≤α<π.故选B.4. [2014·汕头质检]若三点A(2,3)，B(3,2)，C(，m)共线，则实数m＝________.【答案】【解析】kAB ＝＝－1，kAC＝，∵A，B，C三点共线，∴kAB ＝kAC，∴＝－1，解得m＝.5.已知为椭圆：的左、右焦点，过椭圆右焦点F2斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，的周长为8，且椭圆C与圆相切。
（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为，求证为定值．【答案】（1）（2）=证明详见解析．【解析】（1）由的周长为8，可得4a=8，又由椭圆C与圆相切，可得b2=3，即可求得椭圆的方程为．（2）设过点的直线方程为：，设点，点，将直线方程代入椭圆中，整理可得关于x的一元二次方程，该方程由两个不等的实数根，其判别式恒大于零，求出，的表达式，由点斜式分别写出直线AE，AF的方程，然后求出点M，N的坐标，在求出点P的坐标，由两点的斜率公式求出直线的斜率，整理即可求得=．（1）由题意得 3分所求椭圆C的方程为． 4分（2）设过点的直线方程为：，设点，点 5分将直线方程代入椭圆整理得： 6分因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，且 7分直线的方程为：，直线的方程为：令，得点，，所以点的坐标 9分直线的斜率为11分将代入上式得：所以为定值【考点】 1．椭圆的方程和性质；2．直线的斜率公式；3．直线与曲线的位置关系．6.若直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是．【答案】【解析】因为直线的倾斜角为钝角，所以【考点】直线斜率7.在直角坐标系中，直线y＝－x＋1的倾斜角为____________．【答案】【解析】∵ tanα＝k＝－，又α∈[0，π)，∴ α＝.8.设直线l的倾斜角为α，且≤α≤，则直线l的斜率k的取值范围是______________．【答案】∪[1，＋∞)【解析】由k＝tanα关系图(如下)知k∈∪[1，＋∞)．9.直线xcosθ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是________．【答案】∪【解析】由题知k＝－cosθ，故k∈，结合正切函数的图象，当k∈时，直线倾斜角α∈，当k∈时，直线倾斜角α∈，故直线的倾斜角的范围是∪.10.直线xtan＋y＝0的倾斜角是________．【答案】【解析】k＝－tan＝tan＝tan，且∈[0，π)．11.若经过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，－2)∪(1，＋∞)【解析】由条件知直线的斜率存在，由公式得k＝，因为倾斜角为锐角，所以k>0，解得a>1或a<－2.所以a的取值范围是{a|a>1或a<－2}．12.过点M(-,),N(-,)的直线的倾斜角是()A．πB．C．D．【答案】B【解析】由斜率公式得k==1.又倾斜角范围为[0,π),∴倾斜角为.13.已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足.（1）求实数的值；（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；（3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上去异于点、的点，满足，证明点恒在一条定直线上.【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】（1）根据双曲线的离心率列方程求出实数的值；（2）设点的坐标为，点的坐标为，利用条件确定与、之间的关系，再结合点在双曲线上这一条件，以及斜率公式来证明直线与直线的斜率之积是定值；（3）证法一是先设点、的坐标分别为、，结合（2）得到，，引入参数，利用转化为相应的条件，利用坐标运算得到点的坐标所满足的关系式，进而证明点恒在定直线上；证法二是设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理，将条件进行等价转化为，结合韦达定理化简为，最后利用点在直线上得到，从而消去得到，进而证明点恒在定直线上.试题解析：（1）根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为，由于，解得，故双曲线的方程为；（2）设点的坐标为，点的坐标为，易知点，则，，，因此点的坐标为，故直线的斜率，直线的斜率为，因此直线与直线的斜率之积为，由于点在双曲线上，所以，所以，于是有（定值）；（3）证法一：设点且过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点、，由（2）知，，，设，则，即，整理得，由①③，②④得，，将，，代入⑥得，⑦，将⑦代入⑤得，即点恒在定直线上；证法二：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，由，消去得，因为直线与双曲线的右支交于不同的两点、，则有，设点，由，得，整理得，将②③代入上式得，整理得，④因为点在直线上，所以，⑤联立④⑤消去得，所以点恒在定直线.【考点】1.双曲线的离心率；2.向量的坐标运算；3.斜率公式；4.韦达定理14.直线的倾斜角为，则的值为_________。
直线的倾斜角和斜率练习题
直线的倾斜角和斜率练习题1、正确答案为B。
直线的倾斜角和斜率是一一对应的，存在一个公式tanα=k，其中α为倾斜角，k为斜率。
2、斜率为-2，代入M(2,a)和N(a,4)两点的坐标，得到a=10.3、根据tan3π=-√3，代入点A(2,b)和点B(3,2)的坐标，得到b=1.4、正确答案为C。
根据斜率的定义，k=tanα，所以k越大，α越大，故k3<k2<k1.5、正确答案为B。
绕原点逆时针旋转60°，相当于将坐标轴逆时针旋转60°，所以新的直线的斜率为tan(α-60°)=tanα-√3.6、正确答案为D。
向量AB的坐标为B-A=(2,4)-(3,1)=(-1,3)，所以方向向量为(-1,3)。
7、正确答案为B。
直线不过第四象限，说明斜率为正，又因为点A在直线上，所以斜率的取值范围为[0,1]。
8、正确答案为(0,1]。
根据直线的一般式，斜率为-tanθ，所以tanθ=-1/x，即θ=arctan(-1/x)，所以斜率的范围为(-∞,0]U(0,∞)，对应的斜率范围为(-∞,-1]U[1,∞)，即(0,1]。
9、正确答案为[0,π/2]。
根据直线的一般式，斜率为tanθ，所以tanθ=y/x=1/cosθ，即tanθ≥0，所以θ∈[0,π/2]。
10、正确答案为(-∞,∞)。
由于斜率的取值范围为(-∞,∞)，所以直线的倾斜角的取值范围也是(-∞,∞)。
11、正确答案为-√3.直线l的倾斜角为60°，所以斜率tan60°=√3，直线m与l垂直，所以斜率为-1/√3=-√3/3.12、正确答案为原直线的斜率不变。
因为直线沿x轴负方向平移3个单位，所以斜率不变；再沿y轴正方向平移1个单位，也不影响直线的斜率。
13、正确答案为-3≤k≤2.根据点斜式，直线l的斜率为k=(y+2)/(x-?)，代入点A和B的坐标，得到-3≤k≤2.14、正确答案为1/√10.直线AB的斜率为(k1-k2)/(1+m1m2)=(-3/4-m2)/(1-3m2/4)，直线l的斜率为k=tan(α/2)=tan(arctan(-3/4)/2)=1/√10，其中m2为直线AB的斜率。
直线的倾斜角和斜率练习题
直线斜率的性质
直线斜率等于直线倾斜角的正切 值
直线斜率为0时，直线垂直于x 轴
直线斜率为无穷大时，直线与x 轴垂直
直线斜率存在时，直线必与x轴 有交点
直线的倾斜角和斜率的 实际应用
直线的倾斜角和斜率在几何图形中的应用
确定位置：直线 的倾斜角和斜率 可以用来确定平 面上的一个点或 一条直线的位置。
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实际应用：在解析几何中，直线的倾斜角和斜率可以用来描述直线 在平面上的位置和方向，进而解决实际问题。
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计算方法：通过直线上两点的坐标可以计算出直线的斜率和倾斜角。
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几何意义：直线的倾斜角和斜率可以用来研究直线与其他几何图形 之间的关系，例如直线与圆、椭圆等的位置关系。
计算距离：通 过直线的斜率 和垂直距离， 可以计算出两 点之间的距离。
判断平行：两 条直线的斜率 相等，则这两 条直线平行。
判断垂直：两 条直线的斜率 的乘积为-1， 则这两条直线
垂直。
直线的倾斜角和斜率在解析几何中的应用
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定义：直线的倾斜角是直线与x轴正方向之间的夹角，斜率是直线 在坐标系中的倾斜程度。
直线垂直于x轴时，倾斜角为90度， 斜率不存在
特殊情况的处理
直线过原点时，倾斜角与斜率的关 系为tan(倾斜角)=斜率
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直线平行于x轴时，倾斜角为0度或 180度，斜率为0
直线与x轴垂直时，倾斜角为90度， 斜率不存在
计算方法的总结
定义：直线的倾 斜角是直线与x 轴正方向的夹角， 斜率是直线在x 轴上的一个单位 长度内对应的y
练习题二：提高题
题目：已知直线方程为 y = 2x + 5，求该直线的斜率。
高一数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析
高一数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线x+y﹣1=0的倾斜角为（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】可化为，即直线的斜率，所以倾斜角为.【考点】直线的倾斜角.2.已知点A(－1,2),B(2,－2),C(0,3),若点M(a,b)是线段AB上的一点(a≠0),则直线CM的斜率的取值范围是( )[,1] B.[ ,0)∪(0,1] C.[－1, ] D.(－∞, ]∪[1,+∞)【答案】D【解析】画出图象，看M点的变化范围.可知直线CM应该在AC与BC间变化，且,,故有选D.【考点】直线的斜率的计算.3.经过两点A(-3,5)，B(1,1 )的直线倾斜角为________.【答案】.【解析】由题意易得，经过点，的直线方程为，其倾斜角的斜率为，又∵，∴.【考点】直线的倾斜角与斜率.4.如果实数满足等式，那么的最大值为______．【答案】【解析】,可看作圆上的点与坐标原点间连线的斜率，结合图形知最大值为．【考点】斜率的计算公式，数形结合的数学思想．5.过点且倾斜角为的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意可知斜率，根据直线方程的点斜式可写出直线方程：即，故选A.【考点】1.直线的倾斜角与斜率；2.直线的方程.6.点和点关于直线对称，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意可知直线与已知直线垂直且线段的中点在直线上，所以，解得，故选C.【考点】1.过两点的直线的斜率问题；2.直线垂直的判定与性质；3.点与直线的对称问题.7.在直角坐标系中，直线的倾斜角．【答案】【解析】直线化成，可知，而，故.【考点】直线的倾斜角与斜率.8.直线的倾斜角为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于直线的方程可知，该直线的斜率为，因此可知该直线的倾斜角为=60°，选B.【考点】直线的倾斜角点评：主要是考查了直线的倾斜角的求解，属于基础题。
9.直线经过点A（2，1），B（1，m2）两点（m∈R），那么直线l的倾斜角取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】直线的斜率为，结合可知【考点】直线倾斜角斜率点评：由两点确定的直线斜率为，斜率和倾斜角的关系10.已知菱形的两个顶点坐标：，则对角线所在直线方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】线段的中点，所以所在直线为【考点】直线方程点评：本题利用菱形的几何特征可求得对角线的斜率，利用对角线互相平分可求得对角线过的点，从而可写出点斜式方程11.过点且平行于直线的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线化为，其斜率为。
高三数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析
高三数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线2x－my＋1－3m＝0，当m变化时，所有直线都过定点()A．(－，3)B．(，3)C．(，－3)D．(－，－3)【答案】D【解析】原方程可化为(2x＋1)－m(y＋3)＝0，令，解得x＝－，y＝－3，故所有直线都过定点(－，－3)．2.设M＝，N＝，则M与N的大小关系为()A．M>N B．M＝N C．M<N D．无法判断【答案】C【解析】设A(－2011,2012)，B(π2012，π2011)，C(π2014，π2013)，则有M＝＝kAB，N＝＝kAC，如图所示．则直线AB的倾斜角∠BDO和直线AC的倾斜角∠CEO均为锐角，且∠BDO<∠CEO，所以k AB <kAC，即M<N.3.设是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点，直线交轴于点（与点不重合），O为坐标原点.（1）如果点是椭圆的右焦点，线段的中点在y轴上，求直线AB的方程；（2）设为轴上一点，且，直线与椭圆的另外一个交点为C，证明：点与点关于轴对称.【答案】（1）直线（即）的方程为或；（2）详见解析．【解析】（1）由已知条件推导出点的坐标为，由此能求出直线（即）的方程．（2）设点关于轴的对称点为（在椭圆上），要证点与点关于轴对称，只要证点与点C重合，又因为直线与椭圆的交点为C（与点不重合），所以只要证明点，，三点共线即可．（1）椭圆的右焦点为， 1分因为线段的中点在y轴上，所以点的横坐标为，因为点在椭圆上，将代入椭圆的方程，得点的坐标为. 3分所以直线（即）的方程为或. 5分（2）设点关于轴的对称点为（在椭圆上），要证点与点关于轴对称，只要证点与点C重合，.又因为直线与椭圆的交点为C（与点不重合），所以只要证明点，，三点共线. 7分以下给出证明：由题意，设直线的方程为,,，则.由得， 9分所以，，. 10分在中，令，得点的坐标为，由，得点的坐标为， 11分设直线，的斜率分别为，，则， 12分因为， 13分所以，所以点，，三点共线，即点与点关于轴对称. 14分【考点】直线与椭圆综合问题．4.（2013•湖北）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（1）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．【解析】以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为，．其中a＞m＞n＞0，．（1）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则，，所以．在C1和C2的方程中分别令x=0，可得yA=m，yB=n，yD=﹣m，于是．若，则，化简得λ2﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得．故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则．（2）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，不妨设直线l：y=kx（k＞0），点M（﹣a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1，d2，则，所以d1=d2．又，所以，即|BD|=λ|AB|．由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|﹣|AB|=（λ﹣1）|AB|，|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是．将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得根据对称性可知xC =﹣xB，xD=﹣xA，于是②从而由①和②可得③令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得．因为k≠0，所以k2＞0．于是③关于k有解，当且仅当，等价于，由λ＞1，解得，即，由λ＞1，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2；当时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2．5.若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是________．【答案】[2－，2＋]【解析】圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可转化为(x－2)2＋(y－2)2＝(3)2，∴圆心的坐标为(2,2)，半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则圆心到直线l 的距离应小于等于，∴≤，∴2＋4＋1≤0，∴－2－≤≤－2＋，又直线l的斜率k＝－，∴2－≤k≤2＋，即直线l的斜率的取值范围是[2－，2＋]．6.设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2B．C．D．﹣2【答案】D【解析】∵y=∴y′=﹣∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣∵切线与直线ax+y+1=0垂直∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2故选D．7.直线的倾斜角的大小是____________．【答案】【解析】由题意，即，∴。
高考数学直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式专项训练
高考数学直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式专项训练一. 教学内容：直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式［知识点］1. 直线的方程和方程的直线： 定义：（1）以一个方程f （x ，y ）＝0的解为坐标的点都在直线l 上。
（2）直线l 上的点的坐标都是方程f （x ，y ）＝0的解。
满足（1）（2）的方程f （x ，y ）＝0是直线l 的方程，同时称直线l 为方程f （x ，y ）＝0的直线。
2. 直线的倾斜角：定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕交点逆时针旋转与直线重合时，所转过的最小正角为直线倾斜角。
规定：当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°。
范围：0°≤α＜180° 注意：（1）定义分两部分：一部分是与x 轴相交，另一部分与x 轴平行。
（2）与x 轴相交的定义中，应理解三个地方：①x 轴绕交点旋转；②逆时针方向；③最小正角。
（3）应特别注意倾斜角的范围［0，π）。
（4）任何一条直线有唯一倾斜角，表示直线的倾斜程度，但倾斜角为α的直线有无穷多条。
3. 直线的斜率：定义：倾斜角不是90°的直线，其倾斜角的正切，叫做这条直线的斜率。
符号：常用k 表示，即k ＝tan α。
注意：（1）所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率。
（）由正切的单调性可知，单增，，时单增，两个单2απαππ∈⎛⎝ ⎫⎭⎪∈022[)调区间。
（3）当倾斜角为90°时斜率不存在，但直线存在。
4. 过两点的直线斜率公式：公式推导：如图，已知直线l 过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），倾斜角为α，求斜率k 。
yx O α α P 1 P 2yx Oα α P 1 P 2Pyx O α α P 2 P 1yx Oα P 2 P 1P()作或，则，OP P P P P P x x y y →=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=--→→12211212∴=--=--tan αy y x x y y x x 12122121即：k y y x x y y x x =--=--12122121注意：（1）斜率公式与点的顺序无关。
高考数学《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》真题含答案
高考数学《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》真题含答案一、选择题1．直线经过点(0，2)和点(3，0)，则它的斜率k 为( )A ．23B ．32C ．－23D ．－32答案：C解析：k ＝0－23－0 ＝－23 .2．直线x ＋ 3 y ＋1＝0的倾斜角是( )A ．π6B ．π3C ．23 πD ．56 π答案：D解析：由x ＋ 3 y ＋1＝0，得y ＝－33 x －33 ，∴直线的斜率k ＝－33 ，其倾斜角为56 π.3．已知直线l 过点P(－2，5)，且斜率为－34 ，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0答案：A解析：由点斜式得y －5＝－34 (x ＋2)，即：3x ＋4y －14＝0．4．已知直线l 的倾斜角为α、斜率为k ，那么“α>π3 ”是“k> 3 ”的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B解析：∵当π2 <α<π时，k<0，∴α>π3 D ⇒/k> 3 ； 当k> 3 时，π3 <α<π2 ，∴k> 3 ⇒π3 <α<π2 ，∴α>π3是k> 3 的必要不充分条件． 5．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( )A ． 3 x －y ＋1＝0B ． 3 x －y － 3 ＝0C ． 3 x ＋y － 3 ＝0D ． 3 x ＋y ＋ 3 ＝0答案：D解析：由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3 .又直线过点(－1，0)，由点斜式可知y ＝－ 3 (x ＋1)，即： 3 x ＋y ＋ 3 ＝0.6．经过点P(1，2)且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线方程为( )A ．2x －y ＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y －3＝0或2x －y ＝0D ．x ＋y －3＝0或2x －y ＝0答案：D解析：若直线过原点，则直线方程为y ＝2x ，若直线不过原点，设所求的直线方程为x ＋y ＝m ，又P(1，2)在直线上，∴1＋2＝m ，∴m ＝3，即：x ＋y ＝3.7．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab>0，bc<0B ．ab>0，bc>0C ．ab<0，bc>0D ．ab<0，bc<0答案：A解析：ax ＋by ＋c ＝0可化为y ＝－a b x －c b ，又直线过一、二、四象限，∴－a b<0且－c b>0，即ab>0，bc<0. 8．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．[0，π)B ．⎣⎡⎦⎤0，π4 ∪⎣⎡⎭⎫34π，π C ．⎣⎡⎦⎤0，π4 D ．⎣⎡⎦⎤0，π4 ∪⎝⎛⎭⎫π2，π 答案：B解析：设直线的倾斜角为θ，0≤θ<π，由题意得tan θ＝－sin α∈[－1，1]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π4 ∪⎣⎡⎭⎫34π，π .9．已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤34，2B ．⎝⎛⎦⎤－∞，34 ∪[2，＋∞) C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．[1，2]答案：B解析：直线kx －y ＋1－k ＝0恒过P(1，1)，k PA ＝2，k PB ＝34，∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，34 ∪[2，＋∞).二、填空题10．若A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a 的值为________．答案：4解析：由题意得k AC ＝k BC ，∴5－36－4 ＝5－a 6－5，得a ＝4. 11．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1，3)处的切线的倾斜角为________．答案：45°解析：y′＝3x 2－2，当x ＝1时，该曲线的导函数值为1，∴k ＝1，其倾斜角为45°.12．过点M(－2，m)，N(m ，4)的直线的斜率为1，则m ＝________.答案：1解析：由题意得，4－m m ＋2＝1，得m ＝1.。
高考数学一轮复习：直线的倾斜角与斜率直线的方程(Word版,含解析)
直线的倾斜角与斜率、直线的方程基础练一、选择题1．直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是( )A.33B. 3 C ．－3D ．－332．[2021·秦皇岛模拟]倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝03．若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y 等于( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2 4．[2021·河南安阳模拟]若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( )A ．1±2或0B.2－52或0C.2±52D.2＋52或05．[2021·湖南衡阳八中月考]已知直线l 的倾斜角为θ且过点(3，1)，其中sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2＝12，则直线l 的方程为( )A.3x －y －2＝0B.3x ＋y －4＝0 C ．x －3y ＝0D.3x ＋3y －6＝0 6．[2021·安徽四校联考]直线l 经过点(1,3)且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则直线l 的方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．3x －y ＝0C ．x ＋3y －10＝0D ．x －3y ＋8＝07．一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <08．直线Ax ＋By －1＝0在y 轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．A ＝3，B ＝1B ．A ＝－3，B ＝－1C ．A ＝3，B ＝－1D ．A ＝－3，B ＝19．直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π310．经过点(0，－1)且与直线2x ＋3y －4＝0平行的直线方程为( ) A ．2x ＋3y ＋3＝0B ．2x ＋3y －3＝0 C ．2x ＋3y ＋2＝0D ．3x －2y －2＝0二、填空题11．若三点A (2,3)，B (3,2)，C ⎝⎛⎭⎫12，m 共线，则实数m ＝________. 12．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．13．[2021·贵州遵义四中月考]过点(2,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．14．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________． 能力练15．[2021·湖北孝感调研]已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 的方程为－kx ＋y ＋k －1＝0，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为( )A ．k ≥34或k ≤－4 B.k ≥34或k ≤－14C ．－4≤k ≤34D.34≤k ≤416．[2021·山西大同重点中学模拟]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点A (4,0)，B (0,2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线方程为( )A ．x －2y ＋3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x －2y －3＝0D ．2x －y －3＝0 17．[2021·百所名校单元示范卷]直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)，m ∈R 两点，那么直线l 的倾斜角α的取值范围为________．参考答案：1．解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin30°cos150°＝33.故选A.答案：A2．解析：由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.故选D.答案：D3．解析：由k ＝－3－2y －12－4＝tan 3π4＝－1.得－4－2y ＝2，∴y ＝－3.故选B. 答案：B4．解析：∵平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线， ∴k AB ＝k AC ， 即a 2＋a 2－1＝a 3＋a 3－1，即a (a 2－2a －1)＝0， 解得a ＝0或a ＝1±2.故选A. 答案：A5．解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2＝12，∴cos θ＝－12，θ＝2π3，则tan θ＝－3，直线的方程为y －1＝－3(x －3)，即3x ＋y －4＝0，故选B.答案：B6．解析：解法一 设直线l 的斜率为k (k <0)，则直线l 的方程为y －3＝k (x －1)．x ＝0时，y ＝3－k ；y ＝0时，x ＝1－3k .所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×(3－k )⎝⎛⎭⎫1－3k ＝6，整理得k 2＋6k ＋9＝0，解得k ＝－3，所以直线l 的方程为y －3＝－3(x －1)，即3x ＋y －6＝0，故选A.解法二 依题意，设直线方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，则可得1a ＋3b ＝1且ab ＝12，解得a＝2，b ＝6，则直线l 的方程为x 2＋y6＝1，即3x ＋y －6＝0，故选A.答案：A7．解析：因为y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、三、四象限，故－m n >0，1n<0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0.故选B.答案：B8．解析：将直线Ax ＋By －1＝0化成斜截式y ＝－A B x ＋1B.∵1B＝－1，∴B ＝－1，故排除A ，D. 又直线3x －y ＝33的倾斜角α＝π3，∴直线Ax ＋By －1＝0的倾斜角为2α＝2π3，∴斜率－A B ＝tan 2π3＝－3，∴A ＝－3，故选B. 答案：B9．解析：直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α.由于α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则0≤θ<π，tan θ∈[1，3]．所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， 即倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.故选B. 答案：B10．解析：∵直线2x ＋3y －4＝0的斜率为－23，与直线2x ＋3y －4＝0平行的直线的斜率也为－23，∴经过点(0，－1)且斜率为－23的直线，其斜截式方程为y ＝－23x －1，整理得2x ＋3y ＋3＝0，故选A.答案：A11．解析：由题意得k AB ＝2－33－2＝－1，k AC ＝m －312－2.∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ， ∴m －312－2＝－1，解得m ＝92. 答案：9212．解析：如图，因为k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3， 所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)13．解析：当直线过原点时，直线斜率为3－02－0＝32，故直线方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a＝1，把(2,3)代入可得a ＝－1，故直线的方程为x －y＋1＝0.综上，所求直线方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0.答案：3x －2y ＝0或x －y ＋1＝014．解析：设所求直线的方程为x a ＋yb ＝1，∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b＝1 ①又因为直线与坐标轴围成的面积为1， ∴12|a |·|b |＝1 ② 由①②得(1)⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1ab ＝－2由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2，方程组(2)无解，故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0. 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 15．解析：直线l 的方程－kx ＋y ＋k －1＝0可化为k (1－x )＋y －1＝0，∴直线l 过定点P (1,1)，且与线段AB 相交，如图所示．直线P A 的斜率k P A ＝－3－12－1＝－4，直线PB 的斜率k PB ＝－2－1－3－1＝34，则k ≤－4或k ≥34.故选A.答案：A16．解析：∵线段AB 的中点为M (2,1)，k AB ＝－12，∴线段AB 的垂直平分线方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0，∵AC ＝BC ，∴△ABC 的外心，重心，垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线方程为2x －y －3＝0，故选D.答案：D17．解析：直线l 的斜率存在且k l ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1，又直线l 的倾斜角为α，则有tan α≤1，即tan α<0或0≤tan α≤1，根据正切函数在⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π上的图象，可得π2<α<π或0≤α≤π4，即倾斜角α的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π。
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直线的倾斜角和斜率、直线的方程一. 教学内容：直线的倾斜角和斜率、直线的方程二. 本周教学重、难点： 1. 重点：直线的倾斜角和斜率的概念、直线方程的几种重要形式。
2. 难点：斜率的概念的学习，过两点直线的斜率公式的建立，直线方程的应用。
【典型例题】[例1]（1）已知M （4-，3），N （2，15）若直线l 的倾斜角是MN 的一半，求l 的斜率解：242315=+-=MN k设l 的倾斜角为αααα2t a n 1t a n 22t a n -==MN k∴2122k k -=012=-+k k ∴ 251±-=k∵ 0>k ∴251+-=k（2）过P （1-，3-）的直线l 与y 轴的正半轴没有公共点，求l 的倾斜角的范围。
解：3tan =α ∴3πα=∴),2[]3,0[πππα⋃∈（3）若直线l 的斜率)(12R m m k ∈-=则直线l 的倾斜角α的取值范围是什么？ 解：∵ 112≤+-=m k ∴),2(]4,0[πππα⋃∈[例2] 过点P （1，4）作直线与两坐标轴正向相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求直线方程。
解：设1=+b y a x （0>a ，0>b ） ∵ 过P （1，4） ∴ 141=+b a∴ 942545)41)(()(=⋅+≥++=++=+a bb a a b b a b a b a b a当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=1414b a a bb a ∴⎩⎨⎧==63b a 时，9)(min =+b a∴ 163=+y x 即062=-+y x[例3] 在ABC ∆中，A （2，8），B （4-，0），C （5，0）求过B 且将ABC ∆面积分成2:1的直线方程。
解：设l 交AC 于P 点，则（1）PC AP 21=；（2）2=（1）当PCAP 21=时，P （x ，y ）满足⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++==++=316211083211252y x∴ l ：)4(7316+=x y 即0642116=+-y x（2）当2=时，P （x ，y ）满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++==++=382108421102y x ∴ l ：)4(838+=x y 即043=+-y x[例4] 设P 1（x 1，y 1），P 2（2x ，2y ）l ：0=++C By Ax ，求l 与直线21P P的交点P （不过P 2）分21P P的比。
解：设P 分21P P 的比为λ，则P （λλ++121x x ，λλ++121y y ）∵ l P ∈ ∴0112121=+++⋅+++⋅C y y B x x A λλλλ∴ 0)(2211=+++++C By Ax C By Ax λ∵ 022≠++C By Ax ∴C By Ax CBy Ax ++++-=2211λ当0<λ时，P 1，P 2在l 同侧 当0>λ时，P 1，P 2在l 异侧[例5] 过点（5-，4-）作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5个平方单位，求直线l 的方程。
解：设直线l 的方程为)0,0(1≠≠=+b a b ya x∵ l 过点（5-，4-） ∴ 145=-+-b a 即ab a b =--45又直线l 与两坐标轴围成三角形面积为5∴ 5||||21=⋅b a 则10±=ab∴ ⎩⎨⎧±==--1045ab ab a b ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=-=425b a 或⎩⎨⎧-==25b a∴ l 的方程为：02058=+-y x 或01052=--y x[例6] 求经过点A （3-，4）且在坐标轴上截距为相反数的直线l 的方程。
解：（1）当l 在坐标轴上截距都不为零时，设方程为1=-+a ya x 将A （3-，4）代入上式有143=-+-a a ，解得7-=a∴ 所求直线方程为07=+-y x（2）当l 在坐标轴上的截距都为零时，设其方程为kx y =将A （3-，4）代入方程得k 34-=，即34-=k ∴ xy 34-=即034=+y x[例7] 已知ABC ∆的一个顶点A （4-，2）两条中线所在直线方程为0223=+-y x 和01253=-+y x ，求ABC ∆各边所在直线的方程。
解：∵ A （4-，2）不在这两条中线上 ∴ 这两条中线应是边AB 和AC 上的中线解⎩⎨⎧=+-=-+022301253y x y x 得⎪⎩⎪⎨⎧==232y x ∴ ABC ∆的重心G （32，2） 设B （2x ，2y ）C （3x ，3y ） 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++-23232343232y y x x ∴ ⎩⎨⎧=+=+)2(4)1(63232y y x x 不妨设B 在中线0223=+-y x 上，点C 在中线01253=-+y x 上∴ ⎩⎨⎧=-+=+-)4(01253)3(02233322y x y x 联立（1）（2）（3）（4）解得⎩⎨⎧==4222y x ⎩⎨⎧==0433y x 即B （2，4）C （4，0）∴ AB 边所在直线方程为)4(42242++-=-x y 即0103=+-y xAC 边所在直线方程为)4(44020----=-x y 即044=-+y x BC 边所在直线方程为)4(42040---=-x y 即082=-+y x若调换B 、C 的位置，则BC 边所在直线的方程不变，AB 与AC 的方程互换[例8] 过定点P （2，1）作直线l ，分别与x 轴、y 轴正向交于A 、B 两点，求使AOB ∆面积最小时的直线方程。
解：显然所求l 的斜率存在且小于0，设其为k （0<k ）则l 为)2(1-=-x k y令0=y 得A （k 12-，0）令0=x 得B （0，k 21-）∴|21||12|21||||21k k OB OA S OAB -⋅-=⋅=∆ )414(21)21()12(21k k k k --=-⋅-=其中0<k ，4)4)(1(241=--≥--k k k k当且仅当k k 41-=-即21-=k 时，k k 41--的最小值为4此时OAB S ∆的最小值为4)44(21=+∴ 所求直线方程为)2(211--=-x y 即042=-+y x【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择：1. 已知直线l 的倾斜角为︒120，则直线l 的斜率是（ ）A.3 B. 3- C.33-D. 332. 已知l 的斜率23-，那么l 的倾斜角为（ ）A. 3πB. π32C.)23arctan(- D. 23arctan-π 3. 直线l 的倾斜角的正弦值为53，则l 的斜率是（ ）A. 43B. 34C. 43±D. 34±4. 若直线过（32-，9），（36，15-）两点，则l 的倾斜角为（ ） A. ︒60 B. ︒120 C. ︒45 D. ︒1355. 已知A （x ，2-），B （3，0）且AB 的斜率为21，则x 的值是（ ）A. 1B. 1-C. 1±D. 0 6. 直线l 的倾斜角为α，且πα320<≤，则l 的斜率k 的范围是（ ）A. 03≤<-kB. 3->kC. 3-<k 或0≥kD.33-<k 或0≥k7. 已知一直线倾斜角为31arctan，且直线过（1-，2-）则直线方程为（ ）A. 053=--y xB. 053=++y xC. 053=-+y xD. 073=+-y x8. 经过两点（1-，1），（3，9）的直线在x 轴上的截距是（ ）A.23-B. 32-C. 52D. 2二. 填空：1. l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则αsin k的取值范围是 。
2. 在y 轴上的截距为6-，且与y 轴相交成︒45角的直线方程为 。
3. 若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则m 。
4. 已知直线02)32()2(2=---++a y a a x a 在x 轴上的截距为3，则在y 轴上的截距为 。
三. 解答题：1. 过P （1-，1-）的直线l 与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的斜率和倾斜角。
2. 已知l 与0743=-+y x 的倾斜角相等，且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求l 的方程。
3. 过点P （4，2）作l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A 、B 两点，当AOB ∆面积最小时，求直线l 的方程。
【试题答案】一.1. B2. D3. C4. B5. B6. C7. A8. A 二.1.（∞-，1-）2. 6-±=x y3. 1≠4. 154-三. 1.解：设A 、B 两点的坐标分别为（a ，0）和（0，b ） ∵ AB 的中点坐标为（1-，1-）∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+120120b a 即⎩⎨⎧-=-=22b a ∴ 1)2(002-=----=AB k倾斜角为︒135 2.解：直线0743=-+y x 的斜率为43-∵ l 与0743=-+y x 的倾斜角相等∴ l 的斜率为43-设l 的方程为b x y +-=43，l 的横截矩为bx 34= ∵ l 与两坐标轴围成三角形面积为24∴ 24|||34|21=b b 即6±=b ∴ l ：643±-=x y3.解：设l 的方程为1=+b y a x （0>a ，0>b ）∵ )2,4(P 在l 上 ∴ 124=+b a ∵ 41)224(242=+≤⋅b a ba 当2124==b a 时，取“=” ∴ 8=a ，4=b 时，AOB S ∆最小。