高考数学大题经典习题

1. 对于函数()321(2)(2)3f x a x bx a x =-+-+-;1若()f x 在13x x ==和处取得极值,且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过22sin cos t t t -t 的取值范围；2若()f x 为实数集R 上的单调函数,设点P 的坐标为(),a b ,试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S;1. 1由()321(2)(2)3f x a x bx a x =-+-+-,则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-因为()13f x x x ==在和处取得极值,所以()13'0x x f x ===和是的两个根因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过22sin cos t t t -+所以()2'2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立, 而()()2'21f x x =--+,其最大值为1．故22sin cos 1t t t -+2当2a =-时,由()f x 在R 上单调,知0b =当2a ≠-时,由()f x 在R 上单调()'0f x ⇔≥恒成立,或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-,2244(4)0b a ∴∆=+-≤可得224a b +≤从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为4S π=2. 函数cx bx ax x f ++=23)(0>a 的图象关于原点对称,))(,(ααf A 、))(,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点,且|AB|＝2,αββα-=-)()(f f . Ⅰ求b 的值；Ⅱ求函数)(x f 的解析式； Ⅲ若mm x f x 6)(],1,2[->-∈恒成立,求实数m 的取值范围.2. Ⅰ b =0Ⅱ3'2()()30,f x ax cxf x ax c αβ=+∴=+=的两实根是 则 03c a αβαβ+=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩|AB|＝2222()()()()4()2f f αβαβαβ⇒-+-=⇒-= 又01a a >∴= 3()32x f x x =- Ⅲ [2,1]x ∈-时,求()f x 的最小值是-53. 已知()d cx bx ax x f +++=23是定义在R 上的函数,其图象交x 轴于A,B,C 三点,若点B 的坐标为2,0,且()x f 在]0,1[-和4,5上有相同的单调性,在0,2和4,5上有相反的单调性． 1求c 的值；2在函数()x f 的图象上是否存在一点M x 0,y 0,使得()x f 在点M 的切线斜率为3b 若存在,求出点M 的坐标；若不存在,说明理由；3. ⑴ ∵()x f 在[]0,1-和[]2,0上有相反单调性,∴ x=0是()x f 的一个极值点,故()0'=x f , 即0232=++c bx ax 有一个解为x=0,∴c=0 ⑵ ∵()x f 交x 轴于点B2,0 ∴()a b d d b a 24,048+-==++即令()0'=x f ,则ab x x bx ax 32,0,023212-===+∵()x f 在[]2,0和[]5,4上有相反的单调性 ∴4322≤-≤ab , ∴36-≤≤-ab假设存在点M x 0,y 0,使得()x f 在点M 的切线斜率为3b,则()b x f 30'=即 032302=-+b bx ax ∵ △=()()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=-⨯⨯-94364334222abab ab b b a b又36-≤≤-ab , ∴△＜0∴不存在点M x 0,y 0,使得()x f 在点M 的切线斜率为 4. 已知函数x x f ln )(=1求函数x x f x g -+=)1()(的最大值；2当b a <<0时,求证22)(2)()(ba ab a a f b f +->-； 4. 1x x f x g x x f -+==)1()(,ln )()1()1ln()(->-+=∴x xx x g 111)(-+='x x g 令,0)(='x g 得0=x 当01<<-x 时,0)(>'x g 当0>x 时0)(<x g ,又0)0(=g∴ 当且仅当0=x 时,)(x g 取得最大值02)1ln(ln lnln ln )()(bb a b a a b a b a f b f -+-=-==-=- 由1知bab b b a a f b f x x -=--≥-≤+)()()1ln( 又222222)(2212,0ba ab b b a b b a a b ab b a b a +->-∴+>∴>+∴<< 5. 已知)(x f 是定义在1[-,0()0 ,]1上的奇函数,当1[-∈x ,]0时,212)(x ax x f +=a 为实数．1当0(∈x ,]1时,求)(x f 的解析式；2若1->a ,试判断)(x f 在0,1上的单调性,并证明你的结论； 3是否存在a,使得当0(∈x ,]1时,)(x f 有最大值6-． 5. 1设0(∈x ,]1,则1[-∈-x ,)0,212)(xax x f +-=-,)(x f 是奇函数,则212)(x ax x f -=,0(∈x ,]1； 2)1(222)(33x a x a x f +=+=',因为1->a ,0(∈x ,]1,113≥x ,013>+xa ,即0)(>x f ',所以)(x f 在0[,]1上是单调递增的．3当1->a 时,)(x f 在0(,]1上单调递增,25)1()(max -=⇒==a a f x f 不含题意,舍去,当1-≤a ,则0)(=x f ',31a x -=,如下表)1()(3max af x f -=0(22226∈=⇒-=⇒-=x a ]1,所以存在22-=a 使)(x f 在0(,]1上有最大值6-． ．6. 已知5)(23-+-=x x kx x f 在R 上单调递增,记ABC ∆的三内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,,若ac b c a +≥+222时,不等式[])4332()cos(sin 2+<+++m f C A B m f 恒成立．Ⅰ求实数k 的取值范围； Ⅱ求角B cos 的取值范围； Ⅲ求实数m 的取值范围．19. 1由5)(23-+-=x x kx x f 知123)(2+-='x kx x f , )(x f 在R 上单调递增,∴0)(>'x f 恒成立,∴03>k 且0<∆,即0>k 且0124<-k ,∴31>k , 当0=∆,即31=k 时,22)1(123)(-=+-='x x kx x f ,∴1<x 时0)(>'x f ,1>x 时,0)(>'x f ,即当31=k 时,能使)(x f 在R 上单调递增,31≥∴k ．2 ac b c a +≥+222,由余弦定理：2122cos 222=≥-+=ac ac ac b c a B ,∴30π≤<B ,----5分 3 )(x f 在R 上单调递增,且[])4332()cos(sin 2+<+++m f C A B m f ,所以 4332)cos(sin 2+<+++m C A B m =++=++-=++--429cos cos 433cos sin 433)cos(sin 222B B B B C A B 87)21(cos 2≥++B ,---10分 故82<-m m ,即9)1(2<-m ,313<-<-m ,即40<≤m ,即160<≤m 7. 已知函数36)2(23)(23-++-=x x a ax x f I 当2>a 时,求函数)(x f 的极小值II 试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数;7. I )1)(2(36)2(33)(2--=++-='x ax a x a ax x f,2>a 12<∴a ∴当a x 2<或1>x 时,0)(>'x f ；当12<<x a 时,0)(<'x f)(x f ∴在)2,(a -∞,1,)∞+内单调递增,在)1,2(a内单调递减故)(x f 的极小值为2)1(af -=II ①若,0=a 则2)1(3)(--=x x f )(x f ∴的图象与x 轴只有一个交点;……6分②若,0<a 则12<a ,∴当12><x a x 或时,0)(<'x f ,当12<<x a时,0)(>'x f )(x f ∴的极大值为02)1(>-=af)(x f 的极小值为0)2(<a f )(x f ∴的图象与x 轴有三个公共点;③若20<<a ,则12>a ;∴当a x x 21><或时,0)(>'x f ,当12<<x a时,0)(<'x f)(x f ∴的图象与x 轴只有一个交点④若2=a ,则0)1(6)(2≥-='x x f )(x f ∴的图象与x 轴只有一个交点 ⑤当2>a ,由I 知)(x f 的极大值为043)431(4)2(2<---=aaf 综上所述,若,0≥a )(x f 的图象与x 轴只有一个公共点；若0<a ,)(x f ∴的图象与x 轴有三个公共点;第二组：解析几何1. 已知点C-3,0,点P 在y 轴上,点Q 在x 轴的正半轴上,点M 在直线PQ 上,且满足MQ PM PM CP 21,0==⋅ 1当点P 在y 轴上运动时,求点M 的轨迹C 的方程；2是否存在一个点H,使得以过H 点的动直线L 被轨迹C 截得的线段AB 为直径的圆始终过原点O;若存在,求出这个点的坐标,若不存在说明理由; 6. 1设Mx,y, P0, t, Qs, 0 则),(),,3(t s PQ t CP -==由0=⋅PQ CP 得3s —t 2=0……………………………………………………① 又由MQ PM 21=得),(21),(y x s t y x --=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=∴)(21)(21y t y x s x , ⎪⎩⎪⎨⎧==∴y t x s 233……………………………………②把②代入①得2)23(9y x -=0,即y 2=4x,又x ≠0∴点M 的轨迹方程为：y 2=4xx ≠0 2如图示,假设存在点H,满足题意,则设),4(),,4(222121y yB y y A ,则由0=⋅OB OA 可得016212221=+y y y y 解得1621-=y y 又21212212444y y y y y y k AB +=--=则直线AB 的方程为：)4(421211y x y y y y -+=-即212121214)(y x y y y y y y -=--+把1621-=y y 代入,化简得令y=0代入得x=4,∴动直线AB 过定点4,0 答,存在点H4,0,满足题意;2. 设j i R y x,,,∈为直角坐标平面内x,y 轴正方向上的单位向量,若向量8,)2(,)2(=+-+=++=b a j y i x b j y i x a且.1求点Mx,y 的轨迹C 的方程；2过点0,3作直线l 与曲线C 的交于A 、B 两点,设OB OA OP +=,是否存在这样的直线l ,使得四边形OAPB 为矩形若存在,求出直线l 的方程；若不存在,说明理由.2. 18),2,(),2,(=+-=+=b a y x b y x a且即点Mx,y 到两个定点F 10,-2、F 20,2的距离之和为8,∴点Mx,y 的轨迹C 为以F 10,-2、F 20,2为焦点的椭圆,其方程为1121622=+x y . 2由题意可设直线l 方程为),(),,(,32211y x B y x A kx y +=,由⎪⎩⎪⎨⎧==+=11216322x y kx y 消去y 得：4+3kx 2 +18kx-21=0.此时,△=18k 2-44+3k 2 -21>0恒成立,且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+22122134213418k x x k k x x由OB OA OP +=知：四边形OAPB 为平行四边形.假设存在直线l ,使得四边形OAPB 为矩形,则00,=⋅⊥B OA OB OA 即 .因为),(),,(2221y x OB y x OA ==,所以02121=+y y x x , 而9)(3)3()3(212122121+++=+⋅+=x x k x x k kx kx y y ,故09)3418(3)3421)(1(222=++-++-+kk k k k ,即45,1852±==k k 得. 所以,存在直线l ：345+±=x y ,使得四边形OAPB 为矩形. 3. 一束光线从点)0,1(1-F 出发,经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后,恰好穿过点)0,1(2F ．Ⅰ求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标；Ⅱ求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程； Ⅲ设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点,点Q 为线段AB 上的动点,求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值,并求取得最小值时点Q 的坐标．12. Ⅰ设1F '的坐标为),(n m ,则211-=+m n 且032212=+--⋅nm ． 解得52,59=-=n m , 因此,点 1F '的坐标为)52,59(-．Ⅱ11PF F P =' ,根据椭圆定义,得||||||22121F F PF F P a '=+'=22)052()159(22=-+--=,2=∴a ,112=-=b ．∴所求椭圆方程为1222=+y x ．Ⅲ22=ca ,∴椭圆的准线方程为2±=x ．设点Q 的坐标为)32,(+t t )22(<<-t ,1d 表示点Q 到2F 的距离,2d 表示点Q 到椭圆的右准线的距离．则10105)32()1(2221++=++-=t t t t d ,22-=t d ．22221)2(225210105-++⋅=-++=t t t t t t d d , 令22)2(22)(-++=t t t t f )22(<<-t ,则3422)2()86()2()2(2)22()2()22()(-+-=--⋅++--⋅+='t t t t t t t t t f , 当0)(,342<'-<<-t f t ,0)(,234>'<<-t f t , 34-=t ,0)(='t f ．∴ )(t f 在34-=t 时取得最小值．因此,21d d 最小值＝22)34(5=-⋅f ,此时点Q 的坐标为)31,34(-．注：)(t f 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得． 说明：求得的点Q )31,34(-即为切点P ,21d d 的最小值即为椭圆的离心 4. 已知椭圆的一个焦点)22,0(1-F ,对应的准线方程为249-=y ,且离心率e 满足32,e ,34成等比数列. 1求椭圆的方程；2试问是否存在直线l ,使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ,且线段MN 恰被直线21-=x 平分若存在,求出l 的倾斜角的取值范围；若不存在,请说明理由.4. 1∵34,,32e 成等比数列 ∴34322⨯=e 232=e设),(y x p 是椭圆上任意一点,依椭圆的定义得99,322249)22(2222=+=+++y x y y x 化简得 即1922=+y x 为所求的椭圆方程.2假设l 存在,因l 与直线21-=x 相交,不可能垂直x 轴因此可设l 的方程为：m kx y +=由 0)9(2)9(222=-+++m kmx x k ①方程①有两个不等的实数根∴090)9)(9(44222222<-->-+-=∆k m m k m k 即 ② 设两个交点M 、N 的坐标分别为),)(,(2211y x y x ∴92221+-=+k kmx x ∵线段MN 恰被直线21-=x 平分 ∴192221221-=+-+=-k km x x 即 ∵0≠k ∴k k m 292+= ③ 把③代入②得 0)9()29(222<+-+k k k ∵092>+k ∴229104k k+-< ∴32>k 解得3>k 或3-<k ∴直线l 的倾斜角范围为)32,2()2,3(ππππ5. 已知向量(,3),(1,0),(3)(3)a x y b a b a b ==+⊥-且.Ⅰ求点(,)Q x y 的轨迹C 的方程；Ⅱ设曲线C 与直线y kx m =+相交于不同的两点M 、N,又点(0,1)A -,当AM AN =时,求实数m 的取值范围; 5. 由题意得：II 由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(31)63(1)0k x mkx m +++-=, 由于直线与椭圆有两个不同的交点,0∴∆>,即2231m k <+ ①1当0k ≠时,设弦MN 的中点为(,),p p M N P x y x x 、分别为点M 、N 的横坐标,则又22311,,2313m k AM AN AP MN m k mk k++=∴⊥-=-=+则即 ②. 将②代入①得22m m >,解得02m <<, 由②得22110,32m k m -=>>解得 ,故所求的m 取值范围是1(,2)22当0k =时,22,,31,11AM AN AP MN m k m =∴⊥<+-<<解得6. 设直线)1(:+=x k y l 与椭圆)0(3222>=+a a y x 相交于A 、B 两个不同的点,与x 轴相交于点C ,记O 为坐标原点.I 证明：222313k k a +>；II 若OAB CB AC ∆=求,2的面积取得最大值时的椭圆方程. 6. 依题意,直线l 显然不平行于坐标轴,故.11)1(-=+=y kx x k y 可化为 将x a y x y k x 消去代入,311222=+-=,得 .012)31(222=-+-+a y k y k①由直线l 与椭圆相交于两个不同的点,得3)31(,0)1)(31(4422222>+>---=∆a ka kk 整理得, 即.313222k k a +>II 解：设).,(),,(2211y x B y x A 由①,得221312kky y +=+ 因为212,2y y CB AC -==得,代入上式,得.31222k ky +-=于是,△OAB 的面积 ||23||||21221y y y OC S =-⋅=其中,上式取等号的条件是.33,132±==k k 即由.33,312222±=+-=y k k y 可得 将33,3333,3322=-=-==y k y k 及这两组值分别代入①,均可解出.52=a 所以,△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是.5322=+y x7. 如图,已知⊙O '：()2228x y ++=及点A ()2,0,在 ⊙O '上任取一点A ′,连AA ′并作AA ′的中垂线l,设l 与直线O 'A ′交于点P,若点A ′取遍⊙O '上的点. 1求点P 的轨迹C 的方程；2若过点O '的直线m 与曲线C 交于M 、N 两点,且O N O M λ''=,则当[6,)λ∈+∞时,求直线m 的斜率k 的取值范围.7. 1 ∵l 是线段A A '的中垂线,∴PA PA '=,∴||PA|－|P O '||=||P A '|－|P O '||=|O 'A '|=22.即点P 在以O '、A 为焦点,以4为焦距,以22为实轴长的双曲线上,故轨迹C 的方程为22122x y -=.2设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则直线m 的方程为(2)y k x =+,则由O N O M λ''=,得21(2)2x x λ=+-,21y y λ=.由22(2)2y k x x y =+⎧⎨-=⎩,得222(1)420k y ky k --+=.∴21241k ky y -+=,221221kky y -=,22222168(1)8(1)0k k k k k ∆=--=+>.由21y y λ=,21241k ky y -+=,221221kky y -=,消去12,y y ,得228(1)112kλλλλ+-==++.∵6λ≥,函数1()2g λλλ=++在[6,)+∞上单调递增. ∴2814916662k-≥++=,21491k≤<,所以 171k -<≤-或171k ≤<.故斜率k 的取值范围为1177(1,][,1)--.8. 如图,已知⊙O '：()2226403x y m m m ⎛⎫++=> ⎪ ⎪⎝⎭及点M 60,3m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,在 ⊙O '上任取一点M ′,连M M ′,并作M M ′的中垂线l,设l 与O 'M ′交于点P, 若点M ′取遍⊙O '上的点.1求点P 的轨迹C 的方程；2设直线:(1)(0)l y k x k =+≠与轨迹C 相交于A 、B 两个不同的点,与x 轴相交于点D .若2,AD DB OAB =∆求的面积取得最大值时的椭圆方程． 8. 1 ∵l 是线段MM '的中垂线,∴PM PM '=,∴|PM|+|P O '|=|P M '|+|P O '|=|O 'M '|=2m ()0m >.即点P 在以O '、M 为焦点,以263m 为焦距,以2m 为长轴长的椭圆上,故轨迹C 的方程为222213y x m m+=,即2223x y m +=. 2由 (1)y k x =+(0)k ≠得11.x y k=- 将11x y k =-代入2223x y m +=消去x ,得 22236(1)30.y y a k k+-+-= ① 由直线l 与椭圆相交于两个不同的点,得2223634(1)(3)0,m k k∆=-+->整理得223(1)3m k+>,即2223.3k m k >+ 设).,(),,(2211y x B y x A 由①,得12263ky y k+=+. ∵2,AD DB =而点(1,0)D -, ∴1122(1,)2(1,)x y x y ---=+,所以122y y =-,代入上式,得226.3ky k -=+于是,△OAB 的面积 12213||||||22S OD y y y =⋅-=29||3k k =≤=+ 其中,上式取等号的条件是23,k =即k =由226.ky k-=可得2y =.将2k y ==2k y ==,均可解出215.a =∴△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是22315.x y +=第三组：数列不等式一．先求和后放缩例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足12+=n n a S ,试求： 1数列{}n a 的通项公式； 2设11+=n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和为n B ,求证：21<n B 解：1由已知得2)1(4+=n n a S ,2≥n 时,211)1(4+=--n n a S ,作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ,所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ,又因为{}n a 为正数数列,所以21=--n n a a ,即{}n a 是公差为2的等差数列,由1211+=a S ,得11=a ,所以12-=n a n2)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ,所以 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和,则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列这里所谓的差比数列,即指数列{}n a 满足条件()n f a a n n =-+1求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列,再求和例．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22nn n a a S +=. 1 求证：2214n n n a a S ++<；2<⋅⋅⋅+< 解：1在条件中,令1=n ,得1112122a S a a ==+,1011=∴>a a ,又由条件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ,上述两式相减,注意到n n n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=所以, n n a n =-⨯+=)1(11,(1)2n n n S +=所以42)1(212)1(21222++=++•<+=n n n a a n n n n S 2因为1)1(+<+<n n n n ,所以212)1(2+<+<n n n n ,所以 2122312-=+=+n S n n ；222)1(2222121n n S n n n S S S =+=+++>++2．放缩后成等比数列,再求和例．1设a ,n ∈N,a ≥2,证明：n n n a a a a ⋅+≥--)1()(2； 2等比数列{a n }中,112a =-,前n 项的和为A n ,且A 7,A 9,A 8成等差数列．设nn n a a b -=12,数列{b n }前n 项的和为B n ,证明：B n ＜13．解：1当n 为奇数时,a n ≥a ,于是,n n n n n a a a a a a ⋅+≥+=--)1()1()(2． 当n 为偶数时,a －1≥1,且a n ≥a 2,于是n n n n n n n a a a a a a a a a a a ⋅+≥⋅-+=⋅-≥-=--)1()1)(1()1()1()(22．2∵9789A A a a -=+,899A A a -=-,899a a a +=-,∴公比9812a q a ==-．∴n n a )21(-=． nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=． ∴n n b b b B ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n ． 3．放缩后为差比数列,再求和例4．已知数列{}n a 满足：11=a ,)3,2,1()21(1 =+=+n a na n n n ．求证： 证明：因为n n n a na )21(1+=+,所以1+n a 与n a 同号,又因为011>=a ,所以0>n a , 即021>=-+n n n n a na a ,即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列,所以11=≥a a n , 即n n n n n n a n a a 221≥=-+,累加得：121212221--+++≥-n n n a a ．令12212221--+++=n n n S ,所以n n n S 2122212132-+++= ,两式相减得：n n n n S 212121212121132--++++=- ,所以1212-+-=n n n S ,所以1213-+-≥n n n a , 故得11213-++-≥>n n n n a a ．4．放缩后为裂项相消,再求和例5．在mm ≥2个不同数的排列P 1P 2…P n 中,若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j 即前面某数大于后面某数,则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ,如排列21的逆序数11=a ,排列321的逆序数63=a ．1求a 4、a 5,并写出a n 的表达式； 2令nn n n n a aa ab 11+++=,证明32221+<++<n b b b n n ,n =1,2,…. 解1由已知得15,1054==a a ,2)1(12)1(+=+++-+=n n n n a n .2因为 ,2,1,22222211==+⋅+>+++=+=++n nn n n n n n n a a a a b n n n n n , 所以n b b b n 221>+++ .又因为 ,2,1,222222=+-+=+++=n n n n n n n b n , 所以)]211()4121()3111[(2221+-++-+-+=+++n n n b b b n=32221232+<+-+-+n n n n .综上, ,2,1,32221=+<++<n n b b b n n . 注：常用放缩的结论：1)2(111)1(11)1(11112≥--=-<<+=+-k k k k k k k k k k2．)2)(111(212112)111(2≥--=-+<<++=+-k kk k k k k k k k在解题时朝着什么方向进行放缩,是解题的关键,一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论2232n n +、22)1(+n n 为等差数列求和结果的类型,则把通项放缩为等差数列,再求和即可；如例3要证明的结论31)211(31<-n为等比数列求和结果的类型,则把通项放缩为等比数列,再求和即可；如例4要证明的结论1213-+-n n 为差比数列求和结果的类型,则把通项放缩为差比数列,再求和即可；如例5要证明的结论221232+-+-+n n n 为裂项相消求和结果的类型,则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差,再求和即可．虽然证明与数列和有关的不等式问题是高中数学中比较困难的问题,但是我们通过仔细分析它的条件与要证明的结论之间的内在关系,先确定能不能直接求和,若不能直接求和则要考虑把通项朝什么方向进行放缩．如果我们平时能多观测要证明结论的特征与数列求和之间的关系,则仍然容易找到解决这类问题的突破口．。