2023年中考数学专题复习课件： 二次函数线段问题
中考数学题型专项训练：二次函数与线段问题(含答案)
二次函数与线段问题
1.已知抛物线经过点A(－1,0)、B(3,0)、C(0,－3).
(Ⅰ)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;
(Ⅱ)直线CD交x轴于点E,过抛物线上在对称轴右边的点P,作y轴的平行线交x轴于点F,交直线CD于点M,使PM=25EF,请求出点P的坐标;
(Ⅲ)将抛物线沿对称轴平移,要使抛物线与(Ⅱ)中的线段EM总有交点,那么抛物线向上最多平移多少个单位长度?向下最多平移多少个单位长度?
解:(Ⅰ)设抛物线解析式为y=a(x＋1)(x－3),
把点C(0,－3)代入得:a×1×(－3)=－3,
解得a=1,
∴抛物线解析式为y=(x＋1)(x－3),
即y=x2－2x－3,
∵y=x2－2x－3=(x－1)2－4,
∴顶点D的坐标为(1,－4);
(Ⅱ)如解图,设直线CD的解析式为y=kx＋b,
把点C(0,－3),D(1,－4)代入得
34bkb,解得13kb－－,
∴直线CD的解析式为y=－x－3,
当y=0时,－x－3=0,
解得x=－3,
则E(－3,0),
设P(t,t2－2t－3)(t＞1),
则M(t,－t－3),F(t,0),
∴EF=t＋3,PM=t2－2t－3－(－t－3)=t2－t,
而PM=25EF,
∴t2－t=25(t＋3),
整理得5t2－7t－6=0,
解得t1=－35(舍去),t2=2,
当t=2时,t2－2t－3=22－2×2－3=－3,
∴点P坐标为(2,－3);
第1题解图
(Ⅲ)当t=2时,点M的坐标为(2,－5),
设平移后的抛物线解析式为y=x2－2x－3＋m,
当抛物线y=x2－2x－3＋m与直线y=－x－3有唯一公共点时,
令方程x2－2x－3＋m=－x－3,即x2－x＋m=0有两个相等的实数解,
则b2－4ac=1－4m=0,
解得m=14;
若抛物线y=x2－2x－3＋m经过点M(2,－5),
2020年中考数学复习专题之二次函数的综合应用问题
二次函数的综合应用
二次函数的实际应用
（1）增长率问题
一月
a
增长率为 x 二月
a(1+x) 增长率为 x 三月
a(1+x)2
（2）利润问题
在这个模型中，利润=（售价-成本）×销量
（3）面积问题
矩形面积=长×宽
材料总长
a 矩形长
x 矩形宽
1 a 2 x 2
题型一 二次函数的应用—销售问题
例 7.某公司投资销售一种进价为每件 15 元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量 y（件
) 与销售单价 x （元 ) 之间的关系可近似的看作一次函数： y 20x 800 ，在销售过程中销
售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60% ．
（1）设该公司每月获得利润为 w （元 ) ，求每月获得利润 w （元 ) 与销售单价 x （元 ) 之间
的函数关系式，并确定自变量 x 的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
【思路点拨】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利
润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；
（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；
【答案与解析】解：（1）由题意，得：w＝（x﹣15）•y＝（x﹣15）•（﹣20x+800）＝﹣20x2+1100x
﹣12000，
即 w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）；
（2）对于函数 w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）的图象的对称轴是直线 x＝27.5
又∵a＝﹣20＜0，抛物线开口向下．
∴当 15≤x≤24 时，W 随着 x 的增大而增大， x
∴当 x＝24 时，W＝2880，
答：当销售单价定为 24 元时，每月可获得最大利润，最大利润是 2880 元．
变式训练 1.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20 件，每件盈利 40 元．为了扩大销售，
2023年九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(线段周长问题)含答案
试卷第1页，共10页 2023年九年级中考数学专题复习： 二次函数综合题（线段周长问题）
1．如图，已知抛物线的解析式为239344yxx，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C．
(1)请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；
(2)连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；
(3)若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使NPBP最大时点Р的坐标，并请直接写出NPBP的最大值．
2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
(1)求抛物线的解析式及直线AC的解析式；
(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； 试卷第2页，共10页 (3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
3．如图是二次函数2()yxmk的图像，其顶点的坐标为(1,4)M．
(1)求出图像与x轴的交点A，B的坐标；
(2)在二次函数的图像上是否存在点P，使54PABMABSS△△?若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)在y轴上是否存在一点Q，使得QMQB的和最小，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线20yaxbxca与直线1yx交于1,0A，4,Bn两点，且抛物线经过点5,0C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点P是直线上方的抛物线上的一个动点，求ABP△的面积最大时的P点坐标． 试卷第3页，共10页 (3)若点P是抛物线上的一个动点（不与点A点B重合），过点P作直线PDx轴于点D，交直线AB于点E．当2PEED时，求点P的坐标．
2020年初三数学下册中考专题复习 二次函数面积最值问题(含答案)
2020年初三数学下册中考专题复习二次函数面积最值问题
1．如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交
于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N
从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到
达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时
针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A、C、A′三点．
（1）求A、A′、C三点的坐标；
（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？
最大面积是多少？并写出此时M的坐标．3．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐
标是2．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，
若不在，请说明理由；
（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．
4．如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相
交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的
坐标，若不存在，说明理由；
（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，
2019中考数学专题复习 二次函数与线段最值问题 含解析
努力的你，未来可期!
拼搏的你，背影很美！ 二次函数与线段最值问题汇编
1．如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 6 ．
【分析】设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣1）2+6．根据二次函数的性质来求最值即可．
【解答】∵y＝﹣x2+x+2，
∴当y＝0时，﹣x2+x+2＝0即﹣（x﹣2）（x+1）＝0，
解得 x＝2或x＝﹣1
故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），
∴C＝2（x+y）＝2（x﹣x2+x+2）＝﹣2（x﹣1）2+6．
∴当x＝1时，C最大值＝6，．
即四边形OAPB周长的最大值为6．
故答案是：6．
【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题采用了配方法．
努力的你，未来可期!
拼搏的你，背影很美！ 2．已知函数y＝（m+2）x2+kx+n．
（1）若此函数为一次函数；
①m，k，n的取值范围；
②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；
③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；
（2）若m＝﹣1，n＝2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．
【分析】（1）①根据二次项系数为0，一次项系数不为0，常数项为任意实数解答即可；
②根据k＞0，k＜0时x、y的对应关系确定直线经过的点的坐标，求出解析式；
③根据一次函数的性质即增减性解答即可；
（2）把m＝﹣1，n＝2代入关系式，得到二次函数解析式，确定对称轴，顶点坐标，分情况讨论求出k的值．
【解答】（1）①m＝﹣2，k≠0，n为任意实数；
②当k＞0时，直线经过（﹣2，0）（1，3），函数关系式为：y＝x+2
当k＜0时，直线经过（﹣2，3）（1，0），函数关系式为：y＝﹣x+1
2020年中考数学二次函数压轴试题分类精析-专题01 二次函数中线段最值问题与小马喝水问题
一、二次函数相关知识点梳理以及重要的公式
（一）二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：（，，为常数，）；
2. 顶点式：（，，为常数，）；
3. 两点式（交点式）：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意事项：在求解二次函数解析式的过程中，同学们根据所给的点坐标，已知抛物线上
三点的坐标，一般选用一般式已知交点坐标就用交点式，已知顶点坐标就设顶点式，这样会
有利于计算，记不住的同学就用一般式，只是计算量稍微大一点，注意多练一练解二元、三
元一次方程组。
（二）二次函数综合题目常用的公式与定理
1.中点坐标公式（容易遗忘记错）
练习：已知 A(x1,y1)、B（x2,y2），那么AB中点坐标就是（,） 已知A(4,6) B(-2,2)，那么AB中点坐标就是 （1,4）
变式练习：已知A（4,6），AB中点坐标是（2，-2），求B点坐标 （0，-10）
解析：考察了中点坐标公式的逆运用，很常见。可以借助于方程运用中点公式可以列出。
设B（x,y）,那么可以得出 =2 ,=-2 解方程算出x=0, y=-10从而知道B（0，-10）
2.两点间距离公式（容易遗忘记错）
练习：已知A(4,1) B(2,2) ，根据公式：AB= =
2yaxbxcabc0a
2()yaxhkahk0a
12()()yaxxxx0a1x2xx
常用的定理
1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（考察频率很高）
2.直角三角形30°角所对应的边等于斜边的一半（考察频率很高）
3.角平分线定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。二、二次函数问题中线段最值问题
（一）例题演示
1.如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（－3，0）、B(1,0)、C(－2，1)，交y轴于点M.
(1)求抛物线的表达式；
(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最
大值，并求此时点D的坐标；
二次函数中的线段最值问题(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-函数
例题精讲
【例1】．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y
轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作PM⊥BC于点M，
求线段PM的最大值．
变式训练
【变1-1】．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点B（3，0）、C（0，﹣2），直线L：y＝﹣x﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A、D两点，P为抛物线上一动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线L下方时，过点P作PN∥y轴交L于点N，求PN的最大值．
（3）当点P在直线L下方时，过点P作PM∥x轴交L于点M，求PM的最大值．【变1-2】．如图，抛物线y＝+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线
的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值．
【例2】．已知：如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝
OC＝3，顶点为D．
（1）求此函数的关系式；
（2）在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出P点坐标；
（3）在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC与点M，当点N坐
标为多少时，线段MN的长度最大？最大是多少？变式训练
【变2-1】．如图1，在平面直角坐标系中，已知B点坐标为（1，0），且OA＝OC＝3OB，
抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ADC的形状并且求△ADC的面积；
（3）如图2，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于E点，
当PE的值最大时，求此时P点的坐标及PE的最大值．
【变2-2】．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点
D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．
专题20 二次函数与实际问题：投球问题(原卷版)2021年中考数学二轮复习之难点突破热点解题方法
专题20 二次函数与实际问题：投球问题
一、单选题
1．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：)m与飞行时间t（单位：)s具有函数关系为2205htt，则小球从飞出到落地的所用时间为( )
A．3s B．4s C．5s D．6s
2．烟花厂某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是22201htt，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( )
A．4s B．5s C．6s D．10s
3．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=－x2+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是3m，那么这条抛物线的解析式是（ ）
A．y=－x2+83x+1 B．y=－x2+83x－1
C．y=－x2－83x+1 D．y=－x2－83x－1
4．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（ ）
A．球不会过网 B．球会过球网但不会出界
C．球会过球网并会出界 D．无法确定
5．竖直向上的小球离地面的高度h（米）与时间t（秒）的关系函数关系式为h=-2t2+mt+258，若小球经过74秒落地，则小球在上抛过程中，第（ ）秒离地面最高．
A．37 B．47 C．34 D．43
6．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-112(x-4)2+3，由此可知小明这次的推铅球成绩是（ ）
A．3m B．4m C．8m D．10m
二、填空题
7．竖直上抛物体时，物休离地而的高度hm与运运动时间ts之间的关系可以近似地用公式2005htvth表示，其中0hm是物体抛出时高地面的高度，0m/sv是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为___m．