安徽省2014年中考数学专题复习课件 第13课时 二次函数的应用
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安徽中考数学复习课件 第三章函数及其图象 第13讲 二次函数的应用
售价x(元/千克) 销售量y(千克) 50 100 60 80 70 60
(1)求y与x之间的函数表达式； (2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润 ＝收入－成本)； (3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价 为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
考点2
用二次函数解决实际问题
1．在现实的生活生产中存在着很多有关二次函数的实际问题，我 们要善于通过分析实际问题中的数量关系，尤其是两个变量之间的 函数关系，建立二次函数的模型，从而用二次函数解决有关的实际 问题． 2．建立起实际问题中的二次函数关系后，要注意根据实际问题确 定其自变量的取值范围．
归纳►二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解 题意，利用二次函数解决实际问题．应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利 润、最节省方案等问题.
命题趋势►二次函数的应用注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决 实际问题能力的考察．近六年安徽中考中，本知识点命题难度较大， 预测►二次函数的实际应用仍将作为重难点考查，题型以解答题为主．
∴AE＝2BE. 设BE＝FC＝a，则AE＝HG＝DF＝2a.
∵DF＋FC＋HG＋AE＋EB＋EF＋BC＝80，即8a＋
2x＝80， 1 ∴a＝－ x＋10. 4 3 ∴y＝3ax＝－ x2＋30x. 4
1 ∵a＝－ x＋10＞0， 4 3 ∴x＜40，则y＝－ x2＋30x(0＜x＜40)； 4 3 2 3 (2)∵y＝－ x ＋30x＝－ (x－20)2＋300(0＜x＜40)，且二次项系 4 3 4 数为－ ＜0， 4 ∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300平方米．
命题点1
二次函数在营销问题方面的应用
(1)求y与x之间的函数表达式； (2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润 ＝收入－成本)； (3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价 为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
考点2
用二次函数解决实际问题
1．在现实的生活生产中存在着很多有关二次函数的实际问题，我 们要善于通过分析实际问题中的数量关系，尤其是两个变量之间的 函数关系，建立二次函数的模型，从而用二次函数解决有关的实际 问题． 2．建立起实际问题中的二次函数关系后，要注意根据实际问题确 定其自变量的取值范围．
归纳►二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解 题意，利用二次函数解决实际问题．应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利 润、最节省方案等问题.
命题趋势►二次函数的应用注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决 实际问题能力的考察．近六年安徽中考中，本知识点命题难度较大， 预测►二次函数的实际应用仍将作为重难点考查，题型以解答题为主．
∴AE＝2BE. 设BE＝FC＝a，则AE＝HG＝DF＝2a.
∵DF＋FC＋HG＋AE＋EB＋EF＋BC＝80，即8a＋
2x＝80， 1 ∴a＝－ x＋10. 4 3 ∴y＝3ax＝－ x2＋30x. 4
1 ∵a＝－ x＋10＞0， 4 3 ∴x＜40，则y＝－ x2＋30x(0＜x＜40)； 4 3 2 3 (2)∵y＝－ x ＋30x＝－ (x－20)2＋300(0＜x＜40)，且二次项系 4 3 4 数为－ ＜0， 4 ∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300平方米．
命题点1
二次函数在营销问题方面的应用
中考复习二次函数的应用PPT课件
5
第13课时解┃ 二次函数的应用
(1)依题意得顶点 C 的坐标为(0，11)，点 B 的坐标为(8， 8)，设抛物线解析式为 y＝ax2＋c，
有811＝＝8c2×，a＋c，解得ca＝＝1－1，634，
(∴2)令抛－物线1解(t析－式19为)2＋y8＝＝－1163－4x52＋，1解1.得 128
t1＝35，t2＝3.
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量 x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请 说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范 围。
9
探究二 二次函数在营销问题方面的应用 第13例课时2┃[2二0次12函·黄数冈的] 应某用科技开发公司研制出一种新型产
图 13－3
8
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
当堂检测
如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正 上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m ）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知 球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的 边界距O点的水平距离为18m。
（3000－2400）x，（0≤x≤10，且x为整数） (2)y＝（3100－10x－2400）x，（10＜x≤50，且x为整数）
200x，（x＞50，且x为整数）
600x，（0≤x≤10，且x为整数） 即 y＝－10x2＋700x，（10＜x≤50，且x为整数）
200x.（x>50，且x为整数）
11
过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获
的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公
司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元(其
第13课时解┃ 二次函数的应用
(1)依题意得顶点 C 的坐标为(0，11)，点 B 的坐标为(8， 8)，设抛物线解析式为 y＝ax2＋c，
有811＝＝8c2×，a＋c，解得ca＝＝1－1，634，
(∴2)令抛－物线1解(t析－式19为)2＋y8＝＝－1163－4x52＋，1解1.得 128
t1＝35，t2＝3.
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量 x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请 说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范 围。
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探究二 二次函数在营销问题方面的应用 第13例课时2┃[2二0次12函·黄数冈的] 应某用科技开发公司研制出一种新型产
图 13－3
8
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
当堂检测
如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正 上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m ）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知 球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的 边界距O点的水平距离为18m。
（3000－2400）x，（0≤x≤10，且x为整数） (2)y＝（3100－10x－2400）x，（10＜x≤50，且x为整数）
200x，（x＞50，且x为整数）
600x，（0≤x≤10，且x为整数） 即 y＝－10x2＋700x，（10＜x≤50，且x为整数）
200x.（x>50，且x为整数）
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过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获
的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公
司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元(其
二次函数的应用课件
02
二次函数在实际生活中的应用
最大利润问题
总结词
通过求解二次函数的最大值，可以解决实际生活中的最大利润问题。
详细描述
在生产和经营过程中，常常需要通过合理安排生产数量或优化资源配置等方式来获得最大利润。这可以通过建立 二次函数模型，求解最大值来实现，从而为决策者提供最优方案。
抛物线型拱桥的跨度问题
通过对历史股票数据进行分析和处理，可以建立二次函数模型来描述股票价格的走势。通过求解这个 二次函数，可以预测未来一段时间内的股票价格，为投资者提供决策依据。
03
二次函数与其他数学知识的结合
二次函数与一次函数的交点问题
01
02
03
交点坐标
通过解二次函数与一次函 数的联立方程，可以找到 它们的交点坐标。
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。对于任意一个二次 函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，如果有一个点$(x_1, y_1)$满足该函数，那么对 称轴上的对称点$(x_2, y_2)$也满足该函数。
绘制对称轴
绘制与坐标轴的交点
二次函数的对称轴为$x = -frac{b}{2a}$。
令$x = 0$，解得与$y$轴的交点为$(0, c)$ ；令$y = 0$，解得与$x$轴的交点为$(frac{b}{a}, 0)$和$(+frac{b}{a}, 0)$。
二次函数的单调性
单调增区间
当$a > 0$时，函数在区间$(infty, -frac{b}{2a}]$上单调递增 ；当$a < 0$时，函数在区间$[frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增 。
九年级数学复习课件：第14讲：二次函数的应用 (共31张PPT)
第14讲┃ 二次函数的应用
考点2
二次函数与几何图形
求图象的边长、 建立二次函数模型， 利用函数的 面积 性质求图形的边长、面积 探索图形中的边、 通过建立二次函数关系，探索 角和面积间的关系 边、角及图形面积之间的关系 通过建立二次函数关系探究点、 探究图形中点、 线的变化中图形性质及相关数 线的运动规律 量关系
图14－2
第14讲┃ 二次函数的应用
2.如图14－2，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角 料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取 矩形(阴影部分)片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边 长x、y应分别为( )
A．x＝10，y＝14 C．x＝12，y＝15
图14－2 B．x＝14，y＝10 D．x＝15，y＝12
第三环节：交流展示 小组合作讨论达标检测题目
第四环节：典例精析 《初中毕业升学总复习》 P58 T7、 T8 、 T9
第五环节：总结提升 《初中毕业升学总复习》 P58 T6
第五环节：总结提升
1．已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋ m(k≠0)的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2)(如图14－2所示)， 则能使y1＞y2成立的x的取值范围是_____________．
第14讲┃ 二Leabharlann 函数的应用考点3二次函数与生产、生活问题
商品利润 利用二次函数的性质， 解决商 问题 品的利润问题 最长、最短 利用二次函数的性质解决距 距离问题 离问题 最优设计 通过建立二次函数关系探究 问题 方案的最优设计
第14讲┃ 二次函数的应用
第二环节：达标检测 《初中毕业升学总复习》 P58 T2 T3 T4 T5
A．x＝10，y＝14 C．x＝12，y＝15
考点2
二次函数与几何图形
求图象的边长、 建立二次函数模型， 利用函数的 面积 性质求图形的边长、面积 探索图形中的边、 通过建立二次函数关系，探索 角和面积间的关系 边、角及图形面积之间的关系 通过建立二次函数关系探究点、 探究图形中点、 线的变化中图形性质及相关数 线的运动规律 量关系
图14－2
第14讲┃ 二次函数的应用
2.如图14－2，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角 料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取 矩形(阴影部分)片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边 长x、y应分别为( )
A．x＝10，y＝14 C．x＝12，y＝15
图14－2 B．x＝14，y＝10 D．x＝15，y＝12
第三环节：交流展示 小组合作讨论达标检测题目
第四环节：典例精析 《初中毕业升学总复习》 P58 T7、 T8 、 T9
第五环节：总结提升 《初中毕业升学总复习》 P58 T6
第五环节：总结提升
1．已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋ m(k≠0)的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2)(如图14－2所示)， 则能使y1＞y2成立的x的取值范围是_____________．
第14讲┃ 二Leabharlann 函数的应用考点3二次函数与生产、生活问题
商品利润 利用二次函数的性质， 解决商 问题 品的利润问题 最长、最短 利用二次函数的性质解决距 距离问题 离问题 最优设计 通过建立二次函数关系探究 问题 方案的最优设计
第14讲┃ 二次函数的应用
第二环节：达标检测 《初中毕业升学总复习》 P58 T2 T3 T4 T5
A．x＝10，y＝14 C．x＝12，y＝15
2014年中考数学一轮复习课件：二次函数的应用
【解析】(1) 用每亩地每年发放种粮补贴金额乘以今年种 粮面积即可求出今年老王种粮可获得的补贴；(2)设出一
次函数关系式，结合图象中给出的两点坐标，用待定系
数法求出一次函数关系式；(3)根据每亩的售粮收入加每 亩地的种粮补贴减去每亩种粮成本，再乘以种粮面积x亩 ，可得关于x的二次函数关系式，然后利用二次函数的性 质，即可求出当种粮面积为多少亩时总利润最高及最高
总利润．
解：(1)120×150＝18000(元)． 答：今年老王种粮可获得补贴 18000 元． (2)由图象知，y 与 x 之间的函数是一次函数．设所求关系式 为：y ＝ kx ＋b(k≠0)．将(205 ， 1000) ， (275 ，1280) 两点坐标代 入，这样所求的 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝4x＋180. 2 (3)W＝(2140＋120－y)x＝(2140＋120－4x－180)x＝－4x ＋ 2080x. b 2080 因为－4 ＜0，所以当 x ＝－ ＝－ ＝260(亩)时，W 2a 2×（－4） 4ac－b 0－2080 ＝ ＝ 270400(元)． 最大＝ 4a 4×（－4） 答： 当种粮面积为 260 亩时， 总利润最高， 最高总利润为 270400 元．
解）与价格x（元/件） 之间满足一次函数关系 一 若每件5元销售，每月能 卖出3万件，若每件6元销 售，每月能卖出2万件
整理后信息
设y=kx+b
������������������������������ = ������������ + ������ ������������������������������ = ������������ + ������
（１）和实际生活相结合的最大（小）值问题；
中考数学复习 第3章 函数 第13讲 二次函数的应用课件_1
(1)如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？
(2)如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地 面积最大，小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2m就行了．”请 你通过计算，判断小敏的说法是否(shì fǒu)正确．
【思路分析】根据(gēnjù)题意，用含x的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的
第七页，共十八页。
解：(1)根据题意，得w＝(x－30)·y＝(－x＋60)(x－30)＝－x2＋ 30x＋60x－1800＝－x2＋90x－1800. 故w与x之间的函数(hánshù)解析式为w＝－x2＋90x－ 1800(30≤x≤60)．
(2)根据题意，得w＝－x2＋90x－1800
＝－(x－45)2＋225. ∵－1＜0，
(4)四检：检验结果的合理性，特别检验是否符合题意． 提示►二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内， 一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应 按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
考点2 一次函数、反比例函数与二次函数的综合应用
反比例函数、一次函数作为实际问题的基础，在此可以延伸已知条件， 得到与一次函数自变量相关的二次函数，随后运用二次函数的性质去解决 问题．
第十三页，共十八页。
解：(1)设W＝k1x2＋k2nx， ∴ Q＝k1x2＋k2nx＋100. 由表中数据，得
∴ Q＝－ 1 x2＋6nx＋100.
10
(2)由题意(tí yì)，得450＝1 － ×702＋6×70n＋100.
解得n＝2.
10
(3)当n＝3时，Q＝－ x21 ＋18x＋100.
10
(2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大 利润是多少元？ (3)如果物价部门规定(guīdìng)这种双肩包的销售单价不高于48元， 该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应 定为多少元？
(2)如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地 面积最大，小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2m就行了．”请 你通过计算，判断小敏的说法是否(shì fǒu)正确．
【思路分析】根据(gēnjù)题意，用含x的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的
第七页，共十八页。
解：(1)根据题意，得w＝(x－30)·y＝(－x＋60)(x－30)＝－x2＋ 30x＋60x－1800＝－x2＋90x－1800. 故w与x之间的函数(hánshù)解析式为w＝－x2＋90x－ 1800(30≤x≤60)．
(2)根据题意，得w＝－x2＋90x－1800
＝－(x－45)2＋225. ∵－1＜0，
(4)四检：检验结果的合理性，特别检验是否符合题意． 提示►二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内， 一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应 按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
考点2 一次函数、反比例函数与二次函数的综合应用
反比例函数、一次函数作为实际问题的基础，在此可以延伸已知条件， 得到与一次函数自变量相关的二次函数，随后运用二次函数的性质去解决 问题．
第十三页，共十八页。
解：(1)设W＝k1x2＋k2nx， ∴ Q＝k1x2＋k2nx＋100. 由表中数据，得
∴ Q＝－ 1 x2＋6nx＋100.
10
(2)由题意(tí yì)，得450＝1 － ×702＋6×70n＋100.
解得n＝2.
10
(3)当n＝3时，Q＝－ x21 ＋18x＋100.
10
(2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大 利润是多少元？ (3)如果物价部门规定(guīdìng)这种双肩包的销售单价不高于48元， 该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应 定为多少元？
2014中考数学复习课件12二次函数-第一轮复习第三单元函数及图象
2
考点四
二次函数图象的平移
一般地,由y=ax² 的图象通过平移可得到y=a(x-h)² +k
a≠0) 的图象可以看成
y=ax² 的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位
(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),
再沿y轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
方法总结 1.可根据对称轴的位置确定 b 的符号： b＝0⇔ 对称轴是 y 轴； a，b 同号⇔ 对称轴在 y 轴左侧；a，b 异号⇔ 对称轴在 y 轴右侧. 这个规律可简记为“左同右异”. 2.当 x＝1 时，函数 y＝a＋b＋c.当图象上横坐标 x＝1 的点 在 x 轴上方时，a＋b＋c＞0；当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴 上时，a＋b＋c＝0；当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴下方时，a ＋b＋c＜0.同理，可由图象上横坐标 x＝－1 的点判断 a－b＋c 的符号.
温馨提示 一般式、顶点式、交点式是二次函数常见的表达 式， 它们之间可以互相转化 .将顶点式、 交点式去括号、 合并同类项就可转化为一般式；把一般式配方、因式 分解就可转化为顶点式、交点式 .
考点 用待定系数法求二次函数的解析式 例(2013· 湖州)已知抛物线 y＝－x2＋bx＋c 经过点 A(3,0)， B(－ 1,0)． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标．
解：(1)解法一： ∵抛物线 y＝－x2＋bx＋c 经过点 A(3,0)， B(－1,0)， －9＋3b＋c＝0， 分别代入抛物线解析式中，得 －1－b＋c＝0. b＝2， 解得 c＝ 3. ∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3.
2．顶点式：y＝a(x－ h)2＋k(a≠0) 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴与最大 (最小)值，则设顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已 知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一 般式．
考点四
二次函数图象的平移
一般地,由y=ax² 的图象通过平移可得到y=a(x-h)² +k
a≠0) 的图象可以看成
y=ax² 的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位
(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),
再沿y轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
方法总结 1.可根据对称轴的位置确定 b 的符号： b＝0⇔ 对称轴是 y 轴； a，b 同号⇔ 对称轴在 y 轴左侧；a，b 异号⇔ 对称轴在 y 轴右侧. 这个规律可简记为“左同右异”. 2.当 x＝1 时，函数 y＝a＋b＋c.当图象上横坐标 x＝1 的点 在 x 轴上方时，a＋b＋c＞0；当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴 上时，a＋b＋c＝0；当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴下方时，a ＋b＋c＜0.同理，可由图象上横坐标 x＝－1 的点判断 a－b＋c 的符号.
温馨提示 一般式、顶点式、交点式是二次函数常见的表达 式， 它们之间可以互相转化 .将顶点式、 交点式去括号、 合并同类项就可转化为一般式；把一般式配方、因式 分解就可转化为顶点式、交点式 .
考点 用待定系数法求二次函数的解析式 例(2013· 湖州)已知抛物线 y＝－x2＋bx＋c 经过点 A(3,0)， B(－ 1,0)． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标．
解：(1)解法一： ∵抛物线 y＝－x2＋bx＋c 经过点 A(3,0)， B(－1,0)， －9＋3b＋c＝0， 分别代入抛物线解析式中，得 －1－b＋c＝0. b＝2， 解得 c＝ 3. ∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3.
2．顶点式：y＝a(x－ h)2＋k(a≠0) 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴与最大 (最小)值，则设顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已 知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一 般式．
中考数学复习 第3章 函数 第13讲 二次函数的应用课件
一个关于n的一元二次方程，判断根的情况；(3)用含m的代数式表示出第m个 月，第(m＋1)个月的利润，再对它们的差的情况讨论．
2021/12/9
第四页，共二十六页。
(2)将n＝1，x＝120代入x＝2n2－2kn＋9(k＋3)，得120＝2－2k＋9k＋27. 解得k＝13. 将n＝2，x＝100代入x＝2n2－26n＋144也符合．∴k＝13. 由题意，得18＝6＋ ，求得x＝50. ∴50＝2n2－26n＋144，即n2－13n＋47＝0. ∵Δ＝(－13)2－4×1×47<0，
解得x>22.
又∵x是5的倍数，
∴每辆车的日租金至少(zhìshǎo)应为25元．
(2)设每天的净收入为y元．
当0<x≤100时，y1＝50x－1100. ∵y1随x的增大而增大，
∴当x＝100时，y1的最大值为50×100－1100＝3900(元)． 当x>100时，
y2＝(50－
当x＝175时，y2的最大值为5025(元)． ∵5025>3900，∴当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是
1.55m.
(1)当a＝－ 时，①求h的值；②通过计算判断(pànduàn) 此球能否过网； (2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到点O的水平距离为7m， 离地面的高度为 m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．
2021/12/9
第十页，共二十六页。
2021/12/9
第十一页，共二十六页。
变式运用►2.[2017·台州中考]交通工程学理论把在单向道路上行驶的 汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基 本特征．其中流量q(辆/小时(xiǎoshí))指单位时间内通过道路指定断面 的车辆数；速度v(千米/小时(xiǎoshí))指通过道路指定断面的车辆速度； 密度k(辆/千米)指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．
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第四页，共二十六页。
(2)将n＝1，x＝120代入x＝2n2－2kn＋9(k＋3)，得120＝2－2k＋9k＋27. 解得k＝13. 将n＝2，x＝100代入x＝2n2－26n＋144也符合．∴k＝13. 由题意，得18＝6＋ ，求得x＝50. ∴50＝2n2－26n＋144，即n2－13n＋47＝0. ∵Δ＝(－13)2－4×1×47<0，
解得x>22.
又∵x是5的倍数，
∴每辆车的日租金至少(zhìshǎo)应为25元．
(2)设每天的净收入为y元．
当0<x≤100时，y1＝50x－1100. ∵y1随x的增大而增大，
∴当x＝100时，y1的最大值为50×100－1100＝3900(元)． 当x>100时，
y2＝(50－
当x＝175时，y2的最大值为5025(元)． ∵5025>3900，∴当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是
1.55m.
(1)当a＝－ 时，①求h的值；②通过计算判断(pànduàn) 此球能否过网； (2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到点O的水平距离为7m， 离地面的高度为 m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．
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变式运用►2.[2017·台州中考]交通工程学理论把在单向道路上行驶的 汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基 本特征．其中流量q(辆/小时(xiǎoshí))指单位时间内通过道路指定断面 的车辆数；速度v(千米/小时(xiǎoshí))指通过道路指定断面的车辆速度； 密度k(辆/千米)指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．
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第13课时┃ 二次函数的应用
二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结合思想 的运用，融代数与几何为一体，把代数问题与几何问题互相 转化，充分运用三角函数解直角三角形、相似、全等、圆等 知识来解决问题， 充分运用几何知识求函数解析式是关键． 二 次函数与三角形、圆等几何知识结合时，往往涉及最大面积、 最小距离等问题，解决的过程中需要建立函数关系，运用函 数的性质求解．
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第13课时┃ 二次函数的应用
解
(1)设商家一次性购买这种产品 x 件，销售单价为 m 元， 则 m＝3000－10×(x－10)， 即 m＝3100－10x， 当 m＝2600 时， 2600＝3100－10x，∴x＝50. ∴商家一次购买这种商品 50 件时，销售单价恰好为 2600 元． （3000－2400）x，（0≤x≤10，且x为整数） (2)y＝（3100－10x－2400）x，（10＜x≤50，且x为整数） 200x，（x＞50，且x为整数） 600x，（0≤x≤10，且x为整数） 2 即 y＝－10x ＋700x，（10＜x≤50，且x为整数） 200x.（x>50，且x为整数）
探究二 二次函数在营销问题方面的应用 命题角度： 二次函数在销售问题方面的应用．
例 2 [2012· 黄冈 ] 某科技开发公司研制出一种新型产 品，每件产品的成本为 2400 元，销售单价定为 3000 元．在 该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品， 公司决定商家一次购买这种新型产品不超过 10 件时，每件 按 3000 元销售；若一次购买该种产品超过 10 件时，每多购 买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低 10 元，但销 售单价均不低于 2600 元．
图 13－1
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第13课时┃ 二次函数的应用
解 析
(1)根据题意可得 A，B，C 三点坐标分别为(－8，8)，(8， 8)，(0，11)，利用待定系数法，设抛物线解析式为 y＝ax2＋c，
2 8＝8 ×a＋c， 有 解方程组即可． 11＝c，
(2)水面到顶点 C 的距离不大于 5 米，即函数值不小于 11－5 1 ＝6，解方程－ (t－19)2＋8＝6 即可． 128
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第13课时┃ 二次函数的应用
(1) 商家一次购买这种产品多少件时 ，销售单价恰好为 2600 元？ (2)设商家一次购买这种产品 x 件， 开发公司所获的利润为 y 元，求 y(元)与 x(件)之间的函数关系式，并写出自变量 x 的 取值范围； (3)该公司的销售人员发现： 当商家一次购买产品的件数超 过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获 的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公 司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元 (其 他销售条件不变)?
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第13课时┃ 二次函数的应用
1 (2)令－ (t－19)2＋8＝11－5，解得 t1＝35，t2＝3. 128 1 画出 h＝ (t－19)2＋8(0≤t≤40)的图象， －128 由图象变化趋势可知，当 3≤t≤35 时， 水面到顶点 C 的距离不大于 5 米，需禁止船只通行， 禁止船只通行时间为 35－3＝32(小时)． 答：禁止船只通行时间为 32 小时．
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第13课时┃ 二次函数的应用
二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问 题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系式， 然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解 决利润最大问题．
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第13课时┃ 二次函数的应用
探究三 二次函数在几何图形中的应用
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第13课时┃ 二次函数的应用
(2)已知从某时刻开始的 40 小时内，水面与河底 ED 的距 离 h(单位：米)随时间 t(单位：时)的变化满足函数关系 h＝ 1 － (t－19)2＋8(0≤t≤40)， 且当水面到顶点 C 的距离不大于 128 5 米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内， 需多少小时禁止船只通行？皖考解读来自考点聚焦皖考探究
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第13课时┃ 二次函数的应用
当 堂 检 测
1．[2013· 山西] 如图 13－3 是我省某地一座抛物线形拱 桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于 A，B 两点，桥拱 最高点 C 到 AB 的距离为 9 m，AB＝36 m，D，E 为桥拱底部 的两点，且 DE∥AB，点 E 到直线 AB 的距离为 7 m，则 DE 的长为________m. 48
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第13课时┃ 二次函数的应用
皖 考 探 究
探究一 二次函数解决抛物线形问题
命题角度： 1．二次函数解决导弹、铅球、喷水池、抛球、跳水等 抛物线形问题； 2．二次函数解决拱桥、护栏等问题．
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第13课时┃ 二次函数的应用
例 1 [2012· 武汉] 如图 13－1，小河上有一拱桥，拱桥 及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 ACB 和矩形的三 边 AE，ED，DB 组成，已知河底 ED 是水平的，ED＝16 米，AE＝8 米，抛物线的顶点 C 到 ED 距离是 11 米，以 ED 所在的直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面 直角坐标系． (1)求抛物线的解析式；
考 点 聚 焦
考点1 二次函数的应用
名称 关键点回顾 二次函 1.用二次函数表示实际问题中变量之间的关系； 数的应 2.用二次函数解决实际问题中的最优化问题，其实 用类型 质是求函数的最大值和最小值． 1.找：找出问题中的变量与常量及变量与常量之间 二次函 的关系； 数的应 2.表：用二次函数表达式表示它们之间的关系； 用解题 3.解：利用二次函数的图象及性质解题； 步骤 4.验：检验结果的合理性.
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3，
3.
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第13课时┃ 二次函数的应用
(3)如图，分三种情况讨论：
(ⅰ)当 0＜x＜2 时，作 MG⊥AB 于点 G，设 FG＝m，则 BG＝MG＝x＋m. 在 Rt△MFG 中，MG＝ 3FG， 3＋1 即 x＋m＝ 3m，变形，得 m＝ x， 2 （ 3＋3）x2 1 ∴S△BFM＝ ·BF·MG＝ . 2 4
1 1 ∴y＝S 四边形 ACMF＝S△ABC－S△BFM＝ AB·AC－ BF·MG 2 2 3＋ 3 2 1 1 3（ 3＋1） ＝ ×6×6－ x x ＝－ 4 x ＋18. 2 2 2
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第13课时┃ 二次函数的应用
(ⅲ)当 6－2
第13课时 二次函数的应用
第13课时┃ 二次函数的应用
皖 考 解 读
考纲要求 年份 2010 二次函数 2011 掌握 的应用 2012 2013 考点 题型 解答题 解答题 解答题 解答题 分值 预测热度 12 分 7分 ★★★★★ 14 分 12 分
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第13课时┃ 二次函数的应用
解 (1)15° 理由如下： 三角板 ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°.
三角板 DEF 中，∠FDE＝90°，DF＝4，DE＝4 4 3 DF ∵tanE＝ ＝ ＝ ， DE 4 3 3 ∴∠E＝30°， ∴∠EMC＝45°－30°＝15°，故答案为 15°.
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第13课时┃ 二次函数的应用
(1)如图②，当三角板 DEF 运动到点 D 与点 A 重合时，设 EF 与 BC 交于点 M，则∠EMC＝________度； (2)如图③，在三角板 DEF 运动过程中，当 EF 经过点 C 时，求 EC 的长； (3)在三角板 DEF 运动过程中，设 BF＝x，两块三角板重 叠部分的面积为 y，求 y 与 x 的函数解析式，并求出对应的 x 的取值范围．
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第13课时┃ 二次函数的应用
利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际 问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的解析 式，把实际问题已知条件转化为点的坐标，代入解析式求 解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．
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第13课时┃ 二次函数的应用
3≤x≤6 时，因为 BF＝x，所以 AF＝6－x，
而 AM＝ 3(6－x)， ∴两块三角板重叠部分的面积 3（6－x）2 3 2 y＝ ＝ x －6 3x＋18 2 2
3.
－（1＋ 3） 2 x ＋4x＋8，（0＜x＜2） 4 3＋ 3 综上，y＝－ x2＋18，（2≤x＜6－2 3） 4 3 2 2 x －6 3x＋18 3.（6－2 3≤x≤6）
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第13课时┃ 二次函数的应用
（x＋4）2 1 又 S△BDN＝ ·BD·DN＝ ， 2 2 （x＋4）2 （ 3＋3）x2 ∴两块三角板重叠部分的面积 y＝ － 2 4 －（1＋ 3） 2 ＝ x ＋4x＋8. 4 (ⅱ)当 2≤x＜6－2 3时，如图②，作 MG⊥BA 于 G，设 GF＝m， 在 Rt△GFM 中，∠GFM＝60°，∴MG＝ 3m. 在 Rt△GBM 中，∠GBM＝45°，∴MG＝BG. ∴ 3m＝m＋x，∴m＝ 3＋1 x， 2
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二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结合思想 的运用，融代数与几何为一体，把代数问题与几何问题互相 转化，充分运用三角函数解直角三角形、相似、全等、圆等 知识来解决问题， 充分运用几何知识求函数解析式是关键． 二 次函数与三角形、圆等几何知识结合时，往往涉及最大面积、 最小距离等问题，解决的过程中需要建立函数关系，运用函 数的性质求解．
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解
(1)设商家一次性购买这种产品 x 件，销售单价为 m 元， 则 m＝3000－10×(x－10)， 即 m＝3100－10x， 当 m＝2600 时， 2600＝3100－10x，∴x＝50. ∴商家一次购买这种商品 50 件时，销售单价恰好为 2600 元． （3000－2400）x，（0≤x≤10，且x为整数） (2)y＝（3100－10x－2400）x，（10＜x≤50，且x为整数） 200x，（x＞50，且x为整数） 600x，（0≤x≤10，且x为整数） 2 即 y＝－10x ＋700x，（10＜x≤50，且x为整数） 200x.（x>50，且x为整数）
探究二 二次函数在营销问题方面的应用 命题角度： 二次函数在销售问题方面的应用．
例 2 [2012· 黄冈 ] 某科技开发公司研制出一种新型产 品，每件产品的成本为 2400 元，销售单价定为 3000 元．在 该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品， 公司决定商家一次购买这种新型产品不超过 10 件时，每件 按 3000 元销售；若一次购买该种产品超过 10 件时，每多购 买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低 10 元，但销 售单价均不低于 2600 元．
图 13－1
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解 析
(1)根据题意可得 A，B，C 三点坐标分别为(－8，8)，(8， 8)，(0，11)，利用待定系数法，设抛物线解析式为 y＝ax2＋c，
2 8＝8 ×a＋c， 有 解方程组即可． 11＝c，
(2)水面到顶点 C 的距离不大于 5 米，即函数值不小于 11－5 1 ＝6，解方程－ (t－19)2＋8＝6 即可． 128
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(1) 商家一次购买这种产品多少件时 ，销售单价恰好为 2600 元？ (2)设商家一次购买这种产品 x 件， 开发公司所获的利润为 y 元，求 y(元)与 x(件)之间的函数关系式，并写出自变量 x 的 取值范围； (3)该公司的销售人员发现： 当商家一次购买产品的件数超 过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获 的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公 司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元 (其 他销售条件不变)?
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1 (2)令－ (t－19)2＋8＝11－5，解得 t1＝35，t2＝3. 128 1 画出 h＝ (t－19)2＋8(0≤t≤40)的图象， －128 由图象变化趋势可知，当 3≤t≤35 时， 水面到顶点 C 的距离不大于 5 米，需禁止船只通行， 禁止船只通行时间为 35－3＝32(小时)． 答：禁止船只通行时间为 32 小时．
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二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问 题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系式， 然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解 决利润最大问题．
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(2)已知从某时刻开始的 40 小时内，水面与河底 ED 的距 离 h(单位：米)随时间 t(单位：时)的变化满足函数关系 h＝ 1 － (t－19)2＋8(0≤t≤40)， 且当水面到顶点 C 的距离不大于 128 5 米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内， 需多少小时禁止船只通行？皖考解读来自考点聚焦皖考探究
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1．[2013· 山西] 如图 13－3 是我省某地一座抛物线形拱 桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于 A，B 两点，桥拱 最高点 C 到 AB 的距离为 9 m，AB＝36 m，D，E 为桥拱底部 的两点，且 DE∥AB，点 E 到直线 AB 的距离为 7 m，则 DE 的长为________m. 48
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探究一 二次函数解决抛物线形问题
命题角度： 1．二次函数解决导弹、铅球、喷水池、抛球、跳水等 抛物线形问题； 2．二次函数解决拱桥、护栏等问题．
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例 1 [2012· 武汉] 如图 13－1，小河上有一拱桥，拱桥 及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 ACB 和矩形的三 边 AE，ED，DB 组成，已知河底 ED 是水平的，ED＝16 米，AE＝8 米，抛物线的顶点 C 到 ED 距离是 11 米，以 ED 所在的直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面 直角坐标系． (1)求抛物线的解析式；
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考点1 二次函数的应用
名称 关键点回顾 二次函 1.用二次函数表示实际问题中变量之间的关系； 数的应 2.用二次函数解决实际问题中的最优化问题，其实 用类型 质是求函数的最大值和最小值． 1.找：找出问题中的变量与常量及变量与常量之间 二次函 的关系； 数的应 2.表：用二次函数表达式表示它们之间的关系； 用解题 3.解：利用二次函数的图象及性质解题； 步骤 4.验：检验结果的合理性.
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(3)如图，分三种情况讨论：
(ⅰ)当 0＜x＜2 时，作 MG⊥AB 于点 G，设 FG＝m，则 BG＝MG＝x＋m. 在 Rt△MFG 中，MG＝ 3FG， 3＋1 即 x＋m＝ 3m，变形，得 m＝ x， 2 （ 3＋3）x2 1 ∴S△BFM＝ ·BF·MG＝ . 2 4
1 1 ∴y＝S 四边形 ACMF＝S△ABC－S△BFM＝ AB·AC－ BF·MG 2 2 3＋ 3 2 1 1 3（ 3＋1） ＝ ×6×6－ x x ＝－ 4 x ＋18. 2 2 2
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(ⅲ)当 6－2
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解 (1)15° 理由如下： 三角板 ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°.
三角板 DEF 中，∠FDE＝90°，DF＝4，DE＝4 4 3 DF ∵tanE＝ ＝ ＝ ， DE 4 3 3 ∴∠E＝30°， ∴∠EMC＝45°－30°＝15°，故答案为 15°.
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(1)如图②，当三角板 DEF 运动到点 D 与点 A 重合时，设 EF 与 BC 交于点 M，则∠EMC＝________度； (2)如图③，在三角板 DEF 运动过程中，当 EF 经过点 C 时，求 EC 的长； (3)在三角板 DEF 运动过程中，设 BF＝x，两块三角板重 叠部分的面积为 y，求 y 与 x 的函数解析式，并求出对应的 x 的取值范围．
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利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际 问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的解析 式，把实际问题已知条件转化为点的坐标，代入解析式求 解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．
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3≤x≤6 时，因为 BF＝x，所以 AF＝6－x，
而 AM＝ 3(6－x)， ∴两块三角板重叠部分的面积 3（6－x）2 3 2 y＝ ＝ x －6 3x＋18 2 2
3.
－（1＋ 3） 2 x ＋4x＋8，（0＜x＜2） 4 3＋ 3 综上，y＝－ x2＋18，（2≤x＜6－2 3） 4 3 2 2 x －6 3x＋18 3.（6－2 3≤x≤6）
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第13课时┃ 二次函数的应用
（x＋4）2 1 又 S△BDN＝ ·BD·DN＝ ， 2 2 （x＋4）2 （ 3＋3）x2 ∴两块三角板重叠部分的面积 y＝ － 2 4 －（1＋ 3） 2 ＝ x ＋4x＋8. 4 (ⅱ)当 2≤x＜6－2 3时，如图②，作 MG⊥BA 于 G，设 GF＝m， 在 Rt△GFM 中，∠GFM＝60°，∴MG＝ 3m. 在 Rt△GBM 中，∠GBM＝45°，∴MG＝BG. ∴ 3m＝m＋x，∴m＝ 3＋1 x， 2