2020年版北京市初三数学分类汇编-上学期期末几何
2020年北京初三上学期期末几何综合教师版
2020年北京初三各区上学期期末几何综合学生版1西城27. △ABC是等边三角形，点P在BC的延长线上，以P为中心，将线段PC逆时针旋转n°（0 ＜n＜180）得线段PQ，连接AP，BQ．（1）如图1，若PC=AC，画出当BQ∥AP时的图形，并写出此时n的值；（2）M为线段BQ的中点，连接PM. 写出一个n的值，使得对于BC延长线上任意一点P，总有并说明理由．图1 备用图解：（1）如图．当BQ∥AP时，n = 60．（2）n = 120．证明：延长PM至N，使得MN=PM，连接BN，AN，QN，如图．∵ M为线段BQ的中点，∴ 四边形BNQP是平行四边形．∴ BN∥PQ，BN=PQ．∴∠NBP=60°．∵ △ABC是等边三角形，∴ AB=AC，∠ABC =∠ACB = 60°．∴∠ABN=∠ACP =120°．∵ 以P 为中心，将线段PC 逆时针旋转120°得到线段PQ ， ∴ PQ =PC ． ∴ BN =PC ． ∴△ABN ≌△ACP ． ∴∠BAN =∠CAP ，AN=AP ． ∴∠NAP =∠BAC = 60°． ∴ △ANP 是等边三角形． ∴ PN =AP ．又 MP =PN ，∴ MP． ············································································ 7分2东城区27．在△ABC 中，∠BAC =45°，CD ⊥AB 于点D ，AE ⊥BC 于点E ，连接DE ． （1）如图1，当△ABC 为锐角三角形时，①依题意补全图形，猜想∠BAE 与∠BCD 之间的数量关系并证明； ②用等式表示线段AE ，CE ，DE 的数量关系，并证明;（2）如图2，当∠ABC 为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE ，CE ，DE 的数量关系．图1图2解：（1）①依题意，补全图形，如图1所示. 猜想：∠BAE =∠BCD. 理由如下：12∵CD⊥AB,AE⊥BC，∴∠BAE﹢∠B=90°,∠BCD﹢∠B=90°.∴∠BAE=∠BCD.…………………………2分图1②证明：如图2，在AE上截取AF=CE.连接DF.∵∠BAC=45°,CD⊥AB,∴△ACD是等腰直角三角形.∴AD=CD.又∠BAE=∠BCD,∴△ADF≌△CDE（SAS）.∴DF=DE,∠ADF=∠CDE.∵AB⊥CD, 图2 ∴∠ADF﹢∠FDC=90°.∴∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.∴△EDF是等腰直角三角形.∴EF∵AF+EF=AE,∴CE+DE=AE. …………………………5分（3）依题意补全图形，如图3所示.线段AE，CE，DE的数量关系：CE-DE=AE.……………………………7分3朝阳27．已知∠MON=120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA=OB，点C在线段OB上（不与点O，B 重合），连接CA. 将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA´，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA´交于点D.(1)根据题意补全图1；(2)求证：①∠OAC=∠DCB；②CD=CA（提示：可以在OA上截取OE=OC，连接CE）；(3)点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH=2∠DAH，写出你的猜想并证明.（1）解：补全图形，如图.（2）证明：①根据题意∠ACD=120°.∴∠DCB+∠ACO=60°.∵∠MON=120°，∴∠OAC +∠ACO=60°.∴∠OAC=∠DCB.②在OA上截取OE=OC，连接CE.∴∠OEC=30°.∴∠AEC=150°.∴∠AEC=∠CBD.∵OA=OB，∴AE=BC.∴△AEC≌△CBD.∴CD=AC.(3) OH-OC= OA.证明：在OH上截取OF=OC，连接CF，∴△OFC 是等边三角形，FH=OA.∴CF=OC，∠CFH=∠COA=120°.∴△CFH≌△COA.∴∠H=∠OAC.∴∠BCH =60°+∠H =60°+∠OAC . ∴∠DCH =60°+∠H +∠DCB=60°+2∠OAC .∵CA =CD ，∠ACD =120°， ∴∠CAD =30°. ∴∠DCH =2∠DAH .4大兴区27.已知：如图，B,C,D 三点在 上，︒=∠45BCD ，PA 是钝角 △ABC 的高线，PA 的延长线与线段CD 交于点E. (1) 请在图中找出一个与∠CAP 相等的角，这个角是 ； (2) 用等式表示线段AC ，EC ，ED 之间的数量关系， 并证明.5石景山区27．如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上的一动点（不与点B ，C 重合），点B 关于 直线AP 的对称点为E ，连接AE ．连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF ． （1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）； （2）求证：BF DF ⊥；（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间 的数量关系，并证明． （1）………………………… 2分（21．4分 （3FEP DC BA图1NMA………………………… 5分 2．，………………………… 7分6丰台区26．如图，∠90MAN =︒，B ，C 分别为射线AM ，AN 上的两个动点，将线段AC 绕点A 逆时针．．．旋转30︒到AD ，连接BD 交AC 于点E ．（1）当∠ACB =30°时，依题意补全图形，；（2）写出一个∠ACB 的度数，并证明．解：（1）正确补全图形；………………1分………………3分（2 ……………………………………………………4分图2……………………………………………………………5分∠…………………………………………………………7分7顺义区27．已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 在AD 边上运动，从点A 出发向点D 运动，到达D 点停止运动．作射线CE ，并将射线CE 绕着点C 逆时针旋转45°，旋转后的射线与AB 边交于点F ，连接EF . （1） 依题意补全图形；（2） 猜想线段DE ，EF ，BF 的数量关系并证明；（3） 过点C 作CG ⊥EF ，垂足为点G ，若正方形ABCD 的边长是4，请直接写出点G 运动的路线长．CCF BC D E A（备用图）解：（1）补全图形如图1． …………………………………………… 1分图1 图2（2）线段DE ，EF ，BF 的数量关系是 EF=DE+BF ．……… 2分 证明：延长AD 到点H ，使DH=BF ，连接CH （如图2）． 易证△CDH ≌△CBF ．∴CH= CF ，∠DCH =∠BCF ． ∵∠ECF =45°，∴∠ECH =∠ECD +∠DCH= ∠ECD +∠BCF =45°． ∴∠ECH =∠ECF =45°． 又∵CE= CE ， ∴△ECH ≌△ECF ． ∴EH= EF ．∴EF=DE+BF ． …………………………………………… 6分（3）点G 运动的路线长为 2π ． ……………………… 7分8平谷区27．如图，正方形ABCD ，将边BC 绕点B 逆时针旋转60°，得到线段BE ，连接AE ，CE ． （1）求∠BAE 的度数；（2）连结BD ，延长AE 交BD 于点F ． ①求证：DF=EF ；②直接用等式表示线段AB ，CF ，EF 的数量关系．（1）解：∵AB=BE ，∴∠BAE =∠BEA ． ······································································· 1 ∵∠ABE =90°－60°=30°∴∠BAE =75°． (2)（2）证明：∴∠DAF =15°． (3)连结CF ．由正方形的对称性可知，∠DAF =∠DCF =15°． ······························· 4 ∵∠BCD =90°，∠BCE =60°， ∴∠DCF =∠ECF =∠DAF =15°． ∵BC=EC ，CF=CF ，∴△BCF ≌△ECF ． ···································································· 5 ∴BF=EF ． ··············································································· 6 （3 (7)9昌平区27.已知等边△ABC ，点D 为BC 上一点，连接AD .（1）若点E 是AC 上一点，且CE ＝BD ，连接BE ，BE 与AD 的交点为点P ，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出∠APE 的大小；（2）将AD 绕点A 逆时针旋转120°，得到AF ，连接BF 交AC 于点Q ，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ 和CD 的数量关系，并证明.（1）补全图形. ………………………………………………………… 1分 ∠APE =60° ……………………………………………………………… 2分（2）补全图形.………………………………………………………………3分ABDCDCBA..………………………………………………………………4分证明：在△ABD 和△BEC 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠=CEBD C ABD BC AB 60∴△ABD ≌△BEC （SAS ）∴∠BAD =∠CBE .∵∠APE 是△ABP 的一个外角，∴∠APE =∠BAD +∠ABP =∠CBE +∠ABP =∠ABC =60°.∵AF 是由AD 绕点A 逆时针旋转120°得到，∴AF =AD ，∠DAF =120°. ∵∠APE =60°， ∴∠APE +∠DAP =180°.∴AF ∥BE...……………………………………………………………………………………………5分 ∴∠1=∠2∵△ABD ≌△BEC ， ∴AD =BE . ∴AF =BE .在△AQF 和△EQB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BEAF EQB AQF 21△AQF ≌△EQB （AAS ）∴AQ =QE ..……………………………………………………………………………………………6分∵AE=AC－CE，CD=BC－BD，且AE=BC，CD=BD.∴AE=CD...……………………………………………………………………………………………7分10通州11门头沟27．如图，∠MON =60°，OF 平分∠MON ，点A 在射线OM 上， P ，Q 是射线ON 上的两动点，点P 在点Q 的左侧，且PQ=OA ，作线段OQ 的垂直平分线，分别交OM ，OF ，ON 于点D ，B ，C ，连接AB ，PB ． （1）依题意补全图形；（2）判断线段 AB ，PB 之间的数量关系，并证明；（3）连接AP ，当P 和Q 两点都在射线ON 上移动时，k 是否存在最小值？若存在，请直接写出k 的最小值，备用图（本小题满分7分）（1）补全图形正确．………………………………1分 （2）AB =PB ．………………………………………2分证明：如图，连接BQ ．∵BC 的垂直平分OQ ，∴ OB =BQ ，……………………3分 ∴∠BOP =∠BQP ． 又∵ OF 平分∠MON ， ∴∠AOB = ∠BOP ．∴∠AOB = ∠BQP ．…………4分 又∵PQ=OA ，∴ △AOB ≌△PQB ，…………………………………………………………5分 ∴AB =PB ．（37分12房山区27.在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC以点B为圆心、1为半径作圆，设点M为⊙B 上一点，线段CM绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CN，连接BM、AN．（1）在图27-1中，补全图形，并证明BM＝AN .（2）连接MN，若MN与⊙B相切，则∠BMC的度数为________________.（3）连接BN，则BN的最小值为___________；BN的最大值为___________27-1 备用图备用图（1）如图27-1，补全图形…………1分证明：⸪∠ACB＝∠MCN＝90°∴∠MCB＝∠NCA …………2分⸪CM＝CN，CB＝CA∴△MCB≌△NCA∴BM＝AN…………3分图27-1（2） 45°或135°…………4分（3） 1 ； 3 …………6分13密云区27. 已知：在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为BC 边中点．点M 为线段B C 上的一个动点（不与点C ，点D 重合），连接AM ，将线段AM 绕点M 顺时针旋转90°，得到线段ME ，连接EC ． （1）如图1，若点M 在线段BD 上． ① 依据题意补全图1；② 求∠MCE 的度数．（2）如图2，若点M 在线段CD 上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC 、CE 、CM 之间的数量关系 ．(1) ① 补全图1：………………………………2分② 解：过点M 作BC 边的垂线交CA 延长线于点F ∴ ∠FMC =90° ∴ ∠FMA+∠AMC=90°∵将线段AM 绕点M 顺时针旋转90°，得到线段ME ∴∠AME=90°∴ ∠CME+∠AMC=90°∴∠FMA= ∠CME ………………………………3分在Rt △FMC 中,∠FCM=45°∴∠F=∠FCM=45°图1∴FM=MC ………………………………4分在△FMA和△CME中∴∴∠MCE=∠F=45°……………5分（2……………7分14海淀27．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1, 记∠ABC=α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA 绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．（1）当△ABD为等边三角形时，① 依题意补全图1；② PQ 的长为_____________；（2）如图2，当α=45°，, 求证：PD =PQ ；（3）设BC = t , 当PD =PQ 时，直接写出BD 的长.（用含t 的代数式表示）（1）解：①补全图形如下图所示.② PQ =2.（2）作PF BQ ⊥于F ，AH PF ⊥于H .∵PA AD ⊥, ∴∠PAD =90°.由题意可知∠1=45°. ∴2901451∠=︒-∠=︒=∠. ∴PA AD =. ∵90ACB ∠=︒, ∴90ACD ∠=︒∵AH PF ⊥，PF BQ ⊥， ∴90AHP AHF PFC ∠=∠=∠=︒. ∴四边形ACFH 是矩形.∴90,CAH AH CF ∠=︒=.图 121 ∵90,CAH DAP ∠=∠=︒∴3490DAH DAH ∠+∠=∠+∠=︒. ∴34∠=∠.又∵90,ACD AHP ∠=∠=︒∴ACD AHP ≌△△.∴1AH AC ==.∴1CF AH ==.B ，Q 关于点D 对称，∴F 为DQ 中点.∴PF 垂直平分DQ .∴PQ =PD .（3。
2020北京西城初三(上)期末数学备考几何综合(教师版)含答案
2020北京西城初三（上）期末数学备考几何综合（教师版）一．解答题（共14小题）1．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE∽△ABC，连接BD，CE．（1）判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论；（2）若AB＝2，AD＝2，∠BAC＝105°，∠CAD＝30°．①BD的长为2；②点P，Q分别为BC，DE的中点，连接PQ，写出求PQ长的思路．【分析】（1）根据SAS证明△ABD≌△ACE即可；（2）①如图1中，作DH⊥BA交BA的延长线于H．想办法证明△AHD是等腰直角三角形，求出BH，DH即可解决问题；②如图2中，连接PQ，AQ，AP，作QH⊥PA交PA的延长线于H．想办法求出HQ，PH，根据PQ＝计算即可．【解答】解：（1）结论：BD＝CE，理由：∵△ADE∽△ABC，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）①如图1中，作DH⊥BA交BA的延长线于H．∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝135°，∴∠DAH＝45°，∵∠H＝90°，AD＝2，∴AH＝DH＝2，在Rt△BDH中，BD＝＝＝2，故答案为2．（2）如图2中，连接PQ，AQ，AP，作QH⊥PA交PA的延长线于H．在Rt△ABP中，AP＝AB•sin37.5°，在Rt△AQD中，AQ＝AD•sin37.5°，在Rt△AHQ中，根据∠HAQ＝45°，可得AH＝HQ＝AQ，求出HQ，PH，根据PQ＝计算即可．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．2．如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点C在线段OB上，OC＝2BC，AO边上的一点D满足∠OCD＝30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D两点的对应点分别为点C′，D′，连接AC′，BD′，取AC′的中点M，连接OM．（1）如图2，当C′D′∥AB时，α＝150 °，此时OM和BD′之间的位置关系为垂直；（2）画图探究线段OM和BD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABD′+∠C′D′B＝180°，根据周角的定义即可得到结论；（2）取AO的中点E，连接ME，延长MO交BD′于N，根据三角形的中位线的性质得到EM∥OC′，EM＝OC′，根据相似三角形的性质得到∠AOM＝∠2，，根据垂直的定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵C′D′∥AB，∴∠ABD′+∠C′D′B＝180°，∵∠ABO＝∠C′D′O＝60°，∴∠OBD′+∠BD′O＝60°，∴∠BOD′＝120°，∴∠BOC′＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝150°，∴α＝150°，此时，OM⊥BD′；故答案为：150，垂直；（2）OM⊥BD′，OM＝BD′，证明：取AO的中点E，连接ME，延长MO交BD′于N，∵AC′的中点M，∴EM∥OC′，EM＝OC′，∴∠OEM+∠AOC′＝180°，∵∠AOB＝∠C′OD′＝90°，∴∠BOD′+′AOC′＝180°，∴∠OEM＝∠BOD′，∵∠OAB＝∠OC′D′＝30°，∴＝＝＝，∴，∴△EOM∽△OBD′，∴∠AOM＝∠2，，即OM＝BD′，∵∠AOB＝90°，∴∠AOM+∠3＝180°﹣∠AOB＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴OM⊥BD′．【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，AE＝EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．（1）如图1，点F在△ABC内，求证：CD＝MN；（2）如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；（3）将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC＝a，AF＝b（b＜a），直接写出EN的最大值与最小值．【分析】（1）利用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半和三角形的中位线即可；（2）构造出△EMN≌△DNC进而利用互余即可得出结论；（3）借助（2）的结论，先判断出点N是以点D为圆心，为半径的圆上，即可得出结论．【解答】解：（1）证明：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线．∴CD＝AB．在△ABF中，点M，N分别是边AF，BF的中点，∴MN＝AB，∴CD＝MN．（2）答：CN与EN的数量关系CN＝EN，CN与EN的位置关系CN⊥EN．证明：连接EM，DN，如图．与（1）同理可得CD＝MN，EM＝DN．在Rt△ABC中，CD是斜边AB边上的中线，∴CD⊥AB．在△ABF中，同理可证EM⊥AF．∴∠EMF＝∠CDB＝90°．∵D，M，N分别为边AB，AF，BF的中点，∴DN∥AF，MN∥AB．∴∠FMN＝∠MND，∠BDN＝∠MND．∴∠FMN＝∠BDN．∴∠EMF+∠FMN＝∠CDB+∠BCN．∴∠EMN＝∠NDC．∴△EMN≌△DNC．∴CN＝EN，∠1＝∠2．∵∠1+∠3+∠EMN＝180°，∴∠2+∠3+∠FMN＝90°．∴∠2+∠3+∠DNM＝90°，即∠CNE＝90°．∴CN⊥EN．（3）点N是以点D为圆心，为半径的圆上，在Rt△ABC中，AC＝BC＝a，∴AB＝a，∵CD为AB边上的中线．∴CD＝AB＝，∴CN最大＝CD+＝，CN最小＝CD﹣＝由（2）知，EN＝CN，∴EN最大＝，EN最小＝即：EN的最大值为，最小值为．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的中线，三角形的中位线，全等三角形的判定和性质，圆的性质，解本题的关键是构造全等三角形，是一道考查知识点比较多的综合题．4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M为AB的中点．D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN．（1）如图1，当BD＝2时，AN＝，NM与AB的位置关系是垂直；（2）当4＜BD＜8时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME，在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，ME的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．【分析】（1）根据已知条件得到CD＝2，根据勾股定理得到AD＝＝2，根据旋转的性质得到△ADE是等腰直角三角形，求得DE＝AD＝2，根据直角三角形的性质得到AN＝DE＝，AM＝AB＝2，推出△ACD∽△AMN，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）①根据题意补全图形即可；②根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB＝∠B＝45°，求得∠CAN+∠NAM＝45°根据旋转的性质得到AD＝AE，∠DAE＝90°，推出△ANM△ADC，由相似三角形的性质得到∠AMN＝∠ACD，即可得到结论；（3）连接ME，EB，过M作MG⊥EB于G，过A作AK⊥AB交BD的延长线于K，得到△AKB等腰直角三角形，推出△ADK≌△ABE，根据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠K＝45°，证得△BMG是等腰直角三角形，求出BC＝4，AB＝4，MB＝2，由ME≥MG，于是得到当ME＝MG时，ME的值最小，根据等量代换即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，BD＝2，∴CD＝2，∴AD＝＝2，∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD＝2，∵N为ED的中点，∴AN＝DE＝，∵M为AB的中点，∴AM＝AB＝2，∵＝，＝＝，∴，∵∠CAB＝∠DAN＝45°，∴∠CAD＝∠MAN，∴△ACD∽△AMN，∴∠AMN＝∠C＝90°，∴MN⊥AB，故答案为：，垂直；（2）①补全图形如图2所示，②（1）中NM与AB的位置关系不发生变化，理由：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠B＝45°，∴∠CAN+∠NAM＝45°，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，∵N为ED的中点，∴，AN⊥DE，∴∠CAN+∠DAC＝45°，∴∠NAM＝∠DAC，在Rt△AND中，DAN＝cos45°＝，同理＝，∴，∵∠DAC＝45°﹣∠CAN＝∠MAN，∴△ANM∽△ADC，∴∠AMN＝∠ACD，∵D在BC的延长线上，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠AMN＝90°，∴MN⊥AB；（3）连接ME，EB，过M作MG⊥EB于G，过A作AK⊥AB交BD的延长线于K，则△AKB等腰直角三角形，在△ADK与△ABE中，，∴△ADK≌△ABE，∴∠ABE＝∠K＝45°，∴△BMG是等腰直角三角形，∵BC＝4，∴AB＝4，MB＝2，∴MG＝2，∵∠G＝90°，∴ME≥MG，∴当ME＝MG时，ME的值最小，∴ME＝BE＝2，∴DK＝BE＝2，∵CK＝BC＝4，∴CD＝2，∴BD＝6，∴BD的长为6时，ME的长最小，最小值是2．【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5．如图，等边三角形ABC的边长为4，直线l经过点A并与AC垂直．当点P在直线l上运动到某一位置（点P不与点A重合）时，连接PC，并将△ACP绕点C按逆时针方向旋转60°得到△BCQ，记点P的对应点为Q，线段PA的长为m（m＞0）．（1）①∠QBC＝90 °；②如图1，当点P与点B在直线AC的同侧，且m＝3时，点Q到直线l的距离等于2+；（2）当旋转后的点Q恰好落在直线l上时，点P，Q的位置分别记为P1，Q1．在图2中画出此时的线段P1C及△BCQ1，并直接写出相应m的值；（3）当点P与点B在直线AC的异侧，且△PAQ的面积等于时，求m的值．【分析】（1）根据旋转的性质得到∠QBC＝∠PAC＝90°；（2）根据题意画出图形，利用勾股定理求得m的值；（3）作BG⊥AC于点G，过点Q作直线l的垂线交l于点D，交BG于点F．易证四边形ADFG为矩形．由等边△ABC的性质易推知DF＝AC＝2，∠CBG＝∠CBA＝30°；根据旋转的性质得到：△ACP≌△BCQ，则其对应边相等：AP＝BQ＝m，对应角相等∠PAC＝∠QBC＝90°，所以通过解Rt△QBF求得QF＝m．要使△PAQ存在，则点P不能与点A，P1重合，所以点P的位置分为以下两种情况：i）如图2，当点P在（2）中的线段P1A上（点P不与点A，P1重合）时，可得0＜m＜，此时点Q在直线l的下方，由三角形的面积公式来求m的值；在直线l的上方，由三角形的面积公式来求m的值．【解答】解：（1）①∵AC⊥l，∴∠PAC＝90°，∴由旋转的性质得到：∠QBC＝∠PAC＝90°．②m＝3时，点Q到直线l的距离等于2+；故答案是：90；2+；（2）所画图形见图1．m＝．（3）如图2，作BG⊥AC于点G，过点Q作直线l的垂线交l于点D，交BG于点F．∵CA⊥直线l，∴∠CAP＝90°．易证四边形ADFG为矩形．∵等边三角形ABC的边长为4，∴∠ACB＝60°，DF＝AG＝CG＝AC＝2，∠CBG＝∠CBA＝30°．∵将△ACP绕点C按逆时针方向旋转60°得到△BCQ，∴△ACP≌△BCQ．∴AP＝BQ＝m，∠PAC＝∠QBC＝90°．∴∠QBF＝60°．在Rt△QBF中，∠QFB＝90°，∠QBF＝60°，BQ＝m，∴QF＝m．要使△PAQ存在，则点P不能与点A，P1重合，所以点P的位置分为以下两种情况：l的下方．∴DQ＝DF﹣QF＝2﹣m．∵S△PAQ＝AP•DQ＝，∴m（2﹣m）＝．整理，得m2﹣4m+＝0．解得m1＝，m2＝．经检验，m＝或在0＜m＜的范围内，均符合题意．ii）如图3，当点P在（2）中的线段AP1的延长线上（点P不与点A，P1重合）时，可得m＞，此时点Q 在直线l的上方．∴DQ＝QF﹣DF＝m﹣2．∵S△PAQ＝AP•DQ＝，∴m（m﹣2）＝．整理，得 3m2﹣4m﹣3＝0．解得m＝（舍负）．经检验，m＝在m＞的范围内，符合题意．综上所述，m＝或或时，△PAQ的面积等于．【点评】本题主要考查了几何知识的综合运用和几何变换，求相关线段的长度和解一元二次方程是利用代数方法解决几何问题，本题意在加强学生的图形与几何的逻辑推理以及代数几何综合能力．6．已知：△ABC，△DEF都是等边三角形，M是BC与EF的中点，连接AD，BE．（1）如图1，当EF与BC在同一条直线上时，直接写出AD与BE的数量关系和位置关系；（2）△ABC固定不动，将图1中的△DEF绕点M顺时针旋转α（0°≤α≤90°）角，如图2，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；（3）△ABC固定不动，将图1中的△DEF绕点M旋转α（0°≤α≤90°）角，作DH⊥BC于点H．设BH＝x，线段AB，BE，ED，DA所围成的图形面积为S．当AB＝6，DE＝2时，求S关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围．【分析】（1）作DG⊥AB于点G，作EH⊥AB于点H．则四边形DGHE是矩形，则在直角△ADG和直角△BEH中，利用x表示出AD和BE的长，即可求得数量关系，利用三线合一定理即可证得位置关系；（2）连接DM，AM，然后证明△ADM∽△BEM，然后延长BE交AM于点G，交AD于点K，证得∠MAD＝∠MBE，∠BGM＝∠AGK，即可证得垂直关系；（3）分当△DEF绕点M顺时针旋转α（0°≤α≤90°）角和当△DEF绕点M逆时针旋转α（0°≤α≤90°）角时，两种情况进行讨论，根据△ADM∽△BEM，利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方，以及面积的和差即可求得函数的解析式．【解答】解：（1）作DG⊥AB于点G，作EH⊥AB于点H．则四边形DGHE是矩形（如图1），设DG＝HE＝x，在直角△ADG中，AD＝＝2x，在直角△BEH中，BE＝＝，则＝．连接AM、DM，则AM⊥BC于点M，同理DM⊥BC于点M．则AM和DM重合，则AD⊥BE；（2）证明：连接DM，AM．在等边三角形ABC中，M为BC的中点，∴AM⊥BC，∠BAM＝∠BAC＝30°，＝．∴∠BME+∠EMA＝90°．同理，＝，∠AMD+∠EMA＝90°．∴＝，∠AMD＝∠BME．∴△ADM∽△BEM．∴＝＝．延长BE交AM于点G，交AD于点K，过点D作DH⊥BC于点H．∴∠MAD＝∠MBE，∠BGM＝∠AGK．∴∠GKA＝∠AMB＝90°．∴AD⊥BE．（3）解：（ⅰ）当△DEF绕点M顺时针旋转α（0°≤α≤90°）角时，（如图2），∵△ADM∽△BEM，∴＝（）2＝3．∴S△BEM＝S△ADM∴S＝S△ABM+S△ADM﹣S△BEM﹣S△DEM＝S△ABM+S△ADM﹣S△DEM＝×3×3+××3（x﹣3）﹣×1×＝x+．∴s＝x+（3≤x≤3+）．（ⅱ）当△DEF绕点M逆时针旋转α（0°≤α≤90°）角时（如图3），同理△ADM∽△BEM，∴＝（）2＝．∴S△BEM＝S△ADM．∴s＝S△ABM+S△BEM﹣S△ADM﹣S△DEM＝S△ABM﹣S△ADM﹣S△DEM＝﹣××3（3﹣x）﹣＝x+．∴s＝x+（3﹣≤x≤3）．综上，s＝x+（3﹣≤x≤3+）．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，求得函数的解析式是关键．7．以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO＝∠DCO＝30°．（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM．①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，＝；②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；（2）如图3，若BO＝3，点N在线段OD上，且NO＝2．点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为，最大值为．【分析】（1）①连接EF，由已知条件证明△EMF是直角三角形，并且可求出∠EMF＝30°，利用30°角的余弦值即可求出的值；②若△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），其他条件不变，的值不发生变化，连接EF、AD、BC，由①的思路证明∠EMF＝30°即可；（2）过O作OE⊥AB于E，由已知条件求出当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，当旋转到OE与OD重合时，NP取最小值为：OP﹣ON＝﹣2；当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON＝3+2．【解答】解：（1）①如图1，连接EF，∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，∴EF，FM是分别是△ACD和△DBC的中位线，∴EF∥AD，FM∥CB，∵∠ABO＝∠DCO＝30°，∴∠CDO＝60°，∴∠EFC＝60°，∠MFD＝30°，∴∠EFM＝90°，∴△EFM是直角三角形，∵EM∥CD，∴∠EMF＝∠MFD＝30°，∴cos30°＝＝，故答案为：；②结论：的值不变，证明：如图2，连接EF、AD、BC，∵Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，∴．∵Rt△COD中，∠COD＝90°，∠DCO＝30°，∴．∴．∵∠AOD＝90°+∠BOD，∠BOC＝90°+∠BOD，∴∠AOD＝∠BOC．∴△AOD∽△BOC．∴，∠1＝∠2．∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，∴EF∥AD，FM∥CB，且，．∴，∠3＝∠ADC＝∠1+∠6，∠4＝∠5．∵∠2+∠5+∠6＝90°，∴∠1+∠4+∠6＝90°，即∠3+∠4＝90°．∴∠EFM＝90°．∵在Rt△EFM中，∠EFM＝90°，，∴∠EMF＝30°．∴；（2）如图3，过O作OE⊥AB于E，∵BO＝3，∠ABO＝30°，∴AO＝3，AB＝6，∴AB•OE＝OA•OB，∴OE＝，∴当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，这时当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP﹣ON＝﹣2；如图4，当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON＝3+2，∴线段PN长度的最小值为，最大值为．故答案为；．【点评】此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定和性质三角形的中位线的判定和性质、梯形的中位线和性质以及三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．8．已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN＝45°，连接MC，NC，MN．（1）填空：与△ABM相似的三角形是△NDA，BM•DN＝a2；（用含a的代数式表示）（2）求∠MCN的度数；（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论．【分析】（1）如图（3）由条件可以得出∠BMA＝∠3，∠ABM＝∠ADN＝135°，就可以得出△ABM∽△NDA，利用相似三角形的性质就可以的得出BM•DN＝a2．（2）由△ABM∽△NDA，可以得出BM：DA＝AB：ND，再由正方形的性质通过等量代换就可以得出△BCM∽△DNC．利用角的关系和圆周角的度数就可以求出结论．（3）将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接MF，证明△ABF≌△ADN．利用边角的关系得出△BMF是直角三角形，由勾股定理就可以得出结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵BM，DN分别平分正方形的两个外角，∴∠CBM＝∠CDN＝45°，∴∠ABM＝∠ADN＝135°，∵∠MAN＝45°，∴∠BMA＝∠NAD，∴△ABM∽△NDA，∴∴BM•DN＝a2．（2）由（1）△ABM∽△NDA可得BM：DA＝AB：ND．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC，DA＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠BAD＝90°．∴BM：BC＝DC：ND．∵BM，DN分别平分正方形ABCD的两个外角，∴∠CBM＝∠NDC＝45°．∴△BCM∽△DNC．∴∠BCM＝∠DNC．∴∠MCN＝360°﹣∠BCD﹣∠BCM﹣∠DCN＝270°﹣（∠DNC+∠DCN）＝270°﹣（180°﹣∠CDN）＝135°．（3）线段BM，DN和MN之间的等量关系是BM2+DN2＝MN2．证明：如图，将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接MF．则△ABF≌△ADN．∴∠1＝∠3，AF＝AN，BF＝DN，∠AFB＝∠AND．∴∠MAF＝∠1+∠2＝∠2+∠3＝∠BAD﹣∠MAN＝45°．∴∠MAF＝∠MAN．又∵AM＝AM，∴△AMF≌△AMN．∴MF＝MN．可得∠MBF＝（∠AFB+∠1）+45°＝（∠AND+∠3）+45°＝90°．∴在Rt△BMF中，BM2+BF2＝FM2．∴BM2+DN2＝MN2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．9．含30°角的直角三角板ABC中，∠A＝30°．将其绕直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A'B'C，A'C边与AB所在直线交于点D，过点D作DE∥A'B'交CB'边于点E，连接BE．（1）如图1，当A'B'边经过点B时，α＝60 °；（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；（3）设BC＝1，AD＝x，△BDE的面积为S，以点E为圆心，EB为半径作⊙E，当S＝时，求AD的长，并判断此时直线A'C与⊙E的位置关系．【分析】（1）有旋转可得出∠α；（2）①如图1，点D在AB边上时，m＝2；②如图2，点D在AB的延长线上时，m＝4．由相似和旋转的性质得出∠A＝∠CBE＝30°．从而得出m的值；（3）先求得△ABC的面积，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情况讨论：①当点D在AB边上时，AD＝x，BD＝AB﹣AD＝2﹣x，得出直线A′C与⊙E相切．②当点D在AB的延长线上时，AD＝x，BD＝x﹣2，得出直线A′C 与⊙E相交．【解答】解：（1）当A′B′过点B时，α＝60°；（2）猜想：①如图1，点D在AB边上时，m＝2；②如图2，点D在AB的延长线上时，m＝4．证明：①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图1）．∵DE∥A′B′，∴．由旋转性质可知，CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACD＝∠BCE．∴．∴△CAD∽△CBE．∴∠A＝∠CBE＝30°．∵点D在AB边上，∠CBD＝60°，∴∠CBD＝2∠CBE，即m＝2．②当90°＜α＜120°时，点D在AB的延长线上（如图2）．与①同理可得∠A＝∠CBE＝30°．∵点D在AB的延长线上，∠CBD＝180°﹣∠CBA＝120°，∴∠CBD＝4∠CBE，即m＝4；（3）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2，，．由△CAD∽△CBE得．∵AD＝x，∴，．①当点D在AB边上时，AD＝x，BD＝AB﹣AD＝2﹣x，∠DBE＝90°．此时，．当S＝时，．整理，得x2﹣2x+1＝0．解得x1＝x2＝1，即AD＝1．此时D为AB中点，∠DCB＝60°，∠BCE＝30°＝∠CBE．（如图3）∴EC＝EB．∵∠A′CB′＝90°，点E在CB′边上，∴圆心E到A′C的距离EC等于⊙E的半径EB．∴直线A′C与⊙E相切．②当点D在AB的延长线上时，AD＝x，BD＝x﹣2，∠DBE＝90°．（如图2）.．当S＝时，．整理，得x2﹣2x﹣1＝0．解得，（负值，舍去）．即．此时∠BCE＝α，而90°＜α＜120°，∠CBE＝30°，∴∠CBE＜∠BCE．∴EC＜EB，即圆心E到A′C的距离EC小于⊙E的半径EB．∴直线A′C与⊙E相交．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，相似三角形的判定和性质以及旋转的性质，是一道综合题，难度较大．10．已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）．①设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；②若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长；（2）如图2，若PA2+PC2＝2PB2，请说明点P必在对角线AC上．【分析】（1）△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积实际是大扇形BAC 与小扇形BPP′的面积差，且这两个扇形的圆心角同为90度；（2）连接PP′，证△PBP′为等腰直角三角形，从而可在Rt△PP′C中，用勾股定理求得PC＝6；（3）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理证出∠P′CP＝90°，再证∠BPC+∠APB ＝180°，即点P在对角线AC上．【解答】解：（1）①S阴影＝S扇形ABC+S△BP′C﹣S扇形PBP′﹣S△ABP＝S扇形ABC﹣S扇形PBP′＝，＝（a2﹣b2）；②连接PP′，根据旋转的性质可知：BP＝BP′，∠PBP′＝90°；即：△PBP′为等腰直角三角形，∴∠BPP′＝45°，∵∠BPA＝∠BP′C＝135°，∠BP′P＝45°，∴∠BPA+∠BPP′＝180°，即A、P、P′共线，∴∠PP′C＝135°﹣45°＝90°；在Rt△PP′C中，PP′＝4，P′C＝PA＝2，根据勾股定理可得PC＝6．（2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，连接PP′．同（1）①可知：△BPP′是等腰直角三角形，即PP′2＝2PB2；∵PA2+PC2＝2PB2＝PP′2，∴PC2+P′C2＝PP′2，∴∠P′CP＝90°；∵∠PBP′＝∠PCP′＝90°，在四边形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC＝180°；∵∠BPA＝∠BP′C，∴∠BPC+∠APB＝180°，即点P在对角线AC上．【点评】本题是一道综合性很强的题，不但考查了扇形的面积公式，还综合了旋转及三角形、正方形等相关知识，难度较大．11．已知：如图，△ABC中，AB＝3，∠BAC＝120°，AC＝1，D为AB延长线上一点，BD＝1，点P在∠BAC的平分线上，且满足△PAD是等边三角形．（1）求证：BC＝BP；（2）求点C到BP的距离．【分析】（1）连接PC．根据SAS证明△PAC≌△PDB，得PC＝PB，∠2＝∠3，再根据有一个角是60°的等腰三角形证明等边三角形即可；（2）作CE⊥PB于E，PF⊥AB于F．根据等边三角形APD求得PF和BF的长，再根据勾股定理求得BP的长，即为BC的长，从而求得等边三角形的一边上的高CE的长．【解答】（1）证明：如图，连接PC．∵AC＝1，BD＝1，∴AC＝BD．∵∠BAC＝120°，AP平分∠BAC，∴∠1＝∠BAC＝60°．∵△PAD是等边三角形，∴PA＝PD，∠D＝60°．∴∠1＝∠D．∴△PAC≌△PDB．∴PC＝PB，∠2＝∠3．∴∠2+∠4＝∠3+∠4，∠BPC＝∠DPA＝60°．∴△PBC是等边三角形，BC＝BP．（2）解：如图，作CE⊥PB于E，PF⊥AB于F．∵AB＝3，BD＝1，∴AD＝4．∴△PAD是等边三角形，PF⊥AB，∴DF＝AD＝2，PF＝PD•sin60°＝．∴BF＝DF﹣BD＝1，∴BP＝．∴CE＝BC•sin60°＝BP•sin60°＝×＝．即点C至BP的距离等于．【点评】此题要熟练掌握全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理、锐角三角函数的概念．12．设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且∠EAF＝45°，AP⊥EF于点P．（1）求证：AP＝AB；（2）若AB＝5，求△ECF的周长．【分析】通过作辅助线，①证明△ABF′≌△ADF和△EAF′≌△EAF，再通过面积公式得出AP＝AB；②三角形的周长＝三边之和，由①中三角形的全等，通过等量代换，得出BE+BF′＝EF′．【解答】证明：（1）延长CB到F′，使BF′＝DF，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABF′＝180°﹣∠ABC＝90°＝∠D，∴△ABF′≌△ADF（SAS），∴AF′＝AF，∠1＝∠2，∴∠EAF′＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，又∵EA＝EA，∴△EAF′≌△EAF（SAS），∴EF′＝EF，S△AEF'＝S△AEF，而EF′•AB＝EF•AP，∴AB＝AP．解：（2）C△CEF＝EC+CF+EF＝EC+CF+EF′＝EC+BE+CF+BF′＝BC+CF+DF＝BC+CD＝2AB＝10．【点评】本题是一道综合题，考查三角形的全等，正方形的性质，以及等量代换的方法和转化的思想．13．在等腰梯形ABCD中，已知AB＝6，BC＝，∠A＝45°，以AB所在直线为x轴，A为坐标原点建立直角坐标系，将等腰梯形ABCD饶A点按逆时针方向旋转90°得到等腰梯形OEFG（O、E、F、G分别是A、B、C、D旋转后的对应点）（图1）（1）写出C、F两点的坐标；（2）等腰梯形ABCD沿x轴的负半轴平行移动，设移动后的OA＝x（图2），等腰梯形ABCD与等腰梯形OEFG 重叠部分的面积为y，当点D移动到等腰梯形OEFG的内部时，求y与x之间的关系式；（3）线段DC上是否存在点P，使EFP为等腰三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求这两点的坐标其实求出其中一个也就知道另外一个的坐标了，我们求C的坐标即可．如果过点C向x轴引垂线，那么组成的以BC为斜边的小直角三角形中，两直角边的长就都应该是2（可根据BC＝2，∠A＝∠C＝45°，用正弦或余弦函数就能求出），那么C点的坐标就应该是（4，2）．而F点的横坐标的绝对值等于C点纵坐标的绝对值，F点的纵坐标的绝对值等于C点横坐标的绝对值，因此F的坐标应是（﹣2，4）．（2）在（1）中，我们得出了点C的坐标，那么用同样的方法可得出D点的坐标（2，2），当梯形向左平移x 单位后，设DC与y轴交于H，那么DH＝x﹣2．这样我们可以根据重合部分的面积＝梯形DHOA的面积﹣三角形AQO的面积（设AD、OG交于Q），那么关键是求出三角形AQO的面积，根据旋转的性质可知，∠GQD＝90°，即三角形AQO是个直角三角形，又因为∠AQO＝45°，OA＝x，那么很明显三角形AQO的两直角边就应该是x，那么三角形AQO的面积＝×（x）2＝x2．在上面我们求出了DH的长，那么梯形AOHD的面积＝×（x﹣2+x）×2＝2x﹣2．因此重合部分的面积＝梯形ADHO的面积﹣三角形AQM的面积＝﹣x2+2x﹣2．也就求出了x、y的函数关系式．（3）要分三种情况进行讨论：①以E为顶点，EF、EP为腰的等腰三角形，②以F为顶点，EF、FP为腰的等腰三角形．③以P为顶点，FP、EP为腰的等腰三角形．我们根据（1）的结果不难得出E点的坐标是（0，6），F点的坐标是（﹣2，4）．根据P在DC线上那么，可设P点坐标是（m，2）．那么可用坐标系中两点间的距离公式，分别按三种情况进行计算，得出符合条件的m 的值．【解答】解：（1）C的坐标是（4，2），F的坐标是（﹣2，4）（2）过D作DM⊥AB于M，过C作CN⊥AB于N，图（1）中，在直角三角形AMD中，AD＝2，∠DOM＝45°，因此DM＝AM＝2．因此D点的坐标是（2，2）．图（2），当OA＝x时，设DC交y轴于H，AD交GO于Q，那么DH＝x﹣2．所以梯形AODH的面积＝×（DH+OA）×DM＝2x﹣2．△AQO中，根据旋转的性质及旋转角度为90度．可得：∠AQO＝90°，又因为∠QAM＝45°，因此AQ＝QO＝x，所以△AQO的面积＝×AQ×OQ＝x2因此重合部分的面积y＝S梯形AODH﹣S△AQO＝2x﹣2﹣x2即：y＝﹣x2+2x﹣2（2＜x＜4）（3）由于P点在DC线上，设点P的坐标为（m，2）．根据旋转的性质以及图（1）中，B、C两点的坐标可知：E点的坐标是（0，6），F点的坐标是（﹣2，4）．①当以E为顶点，EF、EP为腰时，EF＝EP＝2，因此（2）2＝m2+（2﹣6）2，即m2+16＝8，此方程无解，因此不存在这种情况．②当以F为顶点，EF、FP为腰时，EF＝FP＝2，因此（2）2＝（m+2）2+（2﹣4）2，即m（m+4）＝0，m＝﹣4，m＝0．当m＝﹣4时，P点坐标为（﹣4，2）．PE＝＝4＝2EF，因此P、E、F在一条直线上构不成三角形，因此此时P点的坐标应该是（0，2）．③当以P为顶点，FP、EP为腰，EP＝PF，因此m2+（2﹣6）2＝（m+2）2+（2﹣4）2，即m＝2．那么此时P的坐标为（2，2）．综上所述，存在符合条件的P点且坐标为（2，2）或（0，2）．【点评】本题结合梯形的性质考查二次函数的综合应用，本题中根据梯形的性质得出梯形旋转前后各顶点的坐标是解题的关键．14．如图，在△ABC中，若AB＝5，AC＝2，∠BAC＝120°．以BC为边作等边三角形BCD，把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置．（1）求∠BAD的度数；（2）求AE的长．【分析】（1）由旋转的性质得∠ADE＝60°，AD＝DE，得到等边三角形ADE，求出∠E＝60°，根据旋转得出∠BAD＝∠E＝60°；（2）由（1）知CE＝AB＝5，AC＝2，∠BAD＝60°，有∠DCE+∠BCD+∠BCA＝180°，从而得出AE．【解答】解：（1）连接AE，∵把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°，到△ECD位置，∴∠ADE＝60°，AD＝DE，∴△ADE是等边三角形，四边形ABDC中，∠BAC＝120°，∠BDC＝60°，∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣120°﹣60°＝180°，∵把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，∴∠ECD＝∠ABD，∴∠ECD+∠ACD＝180°，即∠ACE＝180°，∴A、C、E三点共线，∴∠DAE＝60°，∠BAD＝60°（2）∵A、C、E三点在一条直线上，由（1）知CE＝AB＝5，AC＝2，∠BAD＝60°，有∠DCE+∠BCD+∠BCA＝180°，∴AE＝7．【点评】本题考查了旋转的性质，以及等边三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．。
2019-2020北京市初三上数学期末考试几何压轴题汇总(含答案)
2019-2020初三上期末考试几何综合汇总1、（19-20朝阳期末）27．已知∠MON=120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA=OB，点C在线段OB 上（不与点O，B重合），连接CA. 将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA´，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA´交于点D.(1)根据题意补全图1；(2)求证：①∠OAC=∠DCB；②CD=CA（提示：可以在OA上截取OE=OC，连接CE）；(3)点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH=2∠DAH，写出你的猜想并证明.图1备用图2、（19-20东城期末）27．在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．（1）如图1，当△ABC为锐角三角形时，①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明;（2）如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．图1图23、（19-20西城期末）27. △ABC是等边三角形，点P在BC的延长线上，以P为中心，将线段PC逆时针旋转n°（0<n<180）得线段PQ，连接AP，BO.（1）如图1，若PC=AC，画出当BQ∥AP时的图形，并写出此时n的值；AP，（2）M为线段BQ的中点，连接PM.写出一个n的值，使得对于BC延长线上任意一点P，总有MP=12并说明理由.4、（19-20海淀期末）27．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =1, 记∠ABC =α，点D 为射线BC 上的动点，连接AD ，将射线DA 绕点D 顺时针旋转α角后得到射线DE ，过点A 作AD 的垂线，与射线DE 交于点P ，点B 关于点D 的对称点为Q ，连接PQ ．（1）当△ABD 为等边三角形时，① 依题意补全图1； ② PQ 的长为_____________； （2）如图2，当α=45°，且43BD时, 求证：PD =PQ ； （3）设BC = t , 当PD =PQ 时，直接写出BD 的长.（用含t 的代数式表示）图 1图 2备用图N5、（19-20丰台期末）26．如图，∠90MAN =︒，B ，C 分别为射线AM ，AN 上的两个动点，将线段AC绕点A 逆时针．．．旋转30︒到AD ，连接BD 交AC 于点E ． （1）当∠ACB =30°时，依题意补全图形，并直接写出DE BE的值；（2）写出一个∠ACB 的度数，使得12DE BE，并证明．6、（19-20石景山期末）27．如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上的一动点（不与点B ，C 重合），点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接AE ．连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF ．（1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）； （2）求证：BF DF ⊥；（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并证明．FEP DCBA7、（19-20大兴期末）27.已知：如图，B,C,D 三点在⨀A 上，︒=∠45BCD ，PA 是钝角△ABC 的高线，PA 的延长线与线段CD 交于点E. (1) 请在图中找出一个与∠CAP 相等的角，这个角是 ；(2) 用等式表示线段AC ，EC ，ED 之间的数量关系，并证明.8、（19-20房山期末）27.在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，以点B 为圆心、1为半径作圆，设点M 为⊙B 上一点，线段CM 绕着点C 顺时针旋转90°，得到线段CN ，连接BM 、AN ．（1）在图27-1中，补全图形，并证明BM ＝AN .（2）连接MN，若MN与⊙B相切，则∠BMC的度数为________________. （3）连接BN，则BN的最小值为___________；BN的最大值为___________图27-1 备用图备用图9、（19-20门头沟期末）27．如图，∠MON=60°，OF平分∠MON，点A在射线OM上， P，Q是射线ON上的两动点，点P在点Q的左侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交OM，OF，ON于点D，B，C，连接AB，PB．（1）依题意补全图形；（2）判断线段 AB，PB之间的数量关系，并证明；（3）连接AP，设APkOQ，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．备用图10、（19-20密云期末）27. 已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边中点．点M为线段B C上的一个动点（不与点C，点D重合），连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，连接EC．（1）如图1，若点M在线段BD上．①依据题意补全图1；②求∠MCE的度数．图1（2）如图2，若点M在线段CD上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC、CE、CM之间的数量关系．图211、（19-20平谷期末）27．如图，正方形ABCD，将边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BE，连接AE，CE．（1）求∠BAE的度数；（2）连结BD，延长AE交BD于点F．Array①求证：DF=EF；②直接用等式表示线段AB，CF，EF的数量关系．12、（19-20顺义期末）27．已知：如图，在正方形ABCD中，点E在AD边上运动，从点A出发向点D运动，到达D点停止运动．作射线CE，并将射线CE绕着点C逆时针旋转45°，旋转后的射线与AB边交于点F，连接EF.（1）依题意补全图形；（2）猜想线段DE，EF，BF的数量关系并证明；（3）过点C作CG⊥EF，垂足为点G，若正方形ABCD的边长是4，请直接写出点G运动的路线长．C C（备用图）13、（19-20通州期末）27.如图，MO⊥NO于点O,△OAB为等腰直角三角形，∠OAB=90°，当△OAB绕点O旋转时，记∠MOA=a(0°≤a≤90°)。
2020年版北京市初三数学分类汇编-代数综合学生版(1)
2020上学期期末年代数综合学生版1西城区． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = x 2 – 2 m x – 2m – 2．（1）若该抛物线与直线y = 2交于A ，B 两点，点B 在y 轴上．求该抛物线的表达式及点A 的坐标； （2）横坐标为整数的点称为横整点．① 将（1）中的抛物线在 A ，B 两点之间的部分记作G 1(不含A ，B 两点)，直接写出G 1上的横整点的坐标；② 抛物线y = x 2 – 2 m x – 2m – 2与直线y = –x – 2 交于C ，D 两点，将抛物线在C ，D 两点之间的部分记作G 2（不含C ，D 两点），若G 2上恰有两个横整点，结合函数的图象，求m 的取值范围．2 东城区 ． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =a x 2-4ax 与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)．(1)求点A ，B 的坐标；(2)已知点C (2，1)，P (1，-32a )，点Q 在直线PC 上，且Q 点的横坐标为4． ①求Q 点的纵坐标（用含a 的式子表示）；②若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围 ．3朝阳区．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx =+经过点(3，3) .(1)用含a 的式子表示b ；(2)直线4+4y x a =+与直线4y =交于点B ，求点B 的坐标（用含a 的式子表示）；(3)在(2)的条件下，已知点A (1，4)，若抛物线与线段A B 恰有一个公共点，直接写出 a (a ＜0)的取值范围.4大兴.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线11-412-=）（x y 与x 轴的交点为A , B （点A 在点B 的左侧）. （1）求点A,B 的坐标;（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点.①直接写出线段AB 上整点的个数；②将抛物线11-412-=）（x y 沿x 翻折，得到新抛物线，直接写出新抛物线在x 轴上方的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）整点的个数.5石景山．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24(0)y ax ax c a =-+≠与y 轴交于点A ，将点A向右平移2个单位长度，得到点B .直线335y x =-与x 轴，y 轴分别交于点C ，D . （1）求抛物线的对称轴；（2）若点A 与点D 关于x 轴对称， ①求点B 的坐标；②若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围.6丰台区．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：221y mx mx m =++-沿x 轴翻折得到抛物线2C .（1）求抛物线2C 的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．① 当1m =时，求抛物线1C 和2C 围成的封闭区域内(包括边界)整点的个数；② 如果抛物线1C 和2C 围成的封闭区域内(包括边界)恰有7个整点，求出m 的取值范围．7顺义区．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =1m x 2+nx −m 与y 轴交于点A ，将点A 向左平移3个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上． （1）求点B 的坐标（用含m 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P (-1,-m )，Q (-3,1)．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围． 8通州9平谷区．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2230y ax ax a =--?与y 轴交于点A ．（1）直接写出点A 的坐标；（2）点A 、B 关于对称轴对称，求点B 的坐标；（3）已知点(4,0)P ，1(,0)Q a-．若抛物线与线段PQ 恰有两个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．10昌平区．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1） ①直接写出抛物线的对称轴是________；①用含a 的代数式表示b ；（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．点A 恰好为整点，若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（不含边界）恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．11门头沟．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2420y ax ax a a =-+≠的顶点为P ，且与y 轴交于点A ，与直线y a =-交于点B ，C （点B 在点C 的左侧）.（1）求抛物线()2420y ax ax a a =-+≠的顶点P 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线与线段AC 围成的封闭区域（不含边界）为“W 区域”.①当2a =时，请直接写出“W 区域”内的整点个数；②当“W 区域”内恰有2个整点时，结合函数图象，直接写出a 的取值范围.12房山区.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1+2-2-=2m mx mx y 与x 轴交于点A ，B .（1）若2=AB ，求m 的值；（2）过点)20(，P 作与x 轴平行的直线，交抛物线于点M ，N .当2≥MN 时，求m 的取值范围.13密云区. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2258y ax ax a =-++(0a ≠)．（1）写出抛物线顶点的纵坐标 (用含a 的代数式表示)；（2）若该抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 和点B ，且点A 在点B 的左侧，AB =4． ① 求a 的值；② 记二次函数图象在点 A ，B 之间的部分为W (含 点A 和点B )，若直线 y kx b =+ (0k ≠)经过（1，-1），且与 图形W14海淀．26在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线G ：2240)y ax ax a =-+≠（.（1）当a =1时，①抛物线G 的对称轴为x =_____________；②若在抛物线G 上有两点12(2,),(,)y m y ，且21y y >，则m 的取值范围是____________； （2）抛物线G 的对称轴与x 轴交于点M ，点M 与点A 关于y 轴对称，将点M 向右平移3个单位得到点B ，若抛物线G 与线段AB 恰有一个公共点，结合图象，求a 的取值范围.1西城．解：（1）∵抛物线y=x2-2m x-2m-2与直线y=2交于A，B两点，点B在y轴上，∴点B的坐标为（0，2）．∴-2m -2= 2．∴m = -2．∴抛物线的表达式为y=x2+4x+ 2．∵A，B两点关于直线x =-2对称，∴点A的坐标为（-4，2）．（2）① y=x2+4x+2的图象，如图1所示．G1上的横整点分别是（-3，-1），（-2，-2），（-1，-1）．②对于任意的实数m，抛物线y=x2-2m x-2m–2与直线y= -x-2总有一个公共点（-1，-1），不妨记为点C．当m≤-1时，若G2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为-3，-2，如图2.∴ -2≤32m<-．当m＞-1时，若G2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为0，1，如图3.∴12m<≤1．图2 图3综上，G2恰有两个横整点，m的取值范围是-2≤32m<-或12m<≤1．图12东城6.解： (1)令y =0，则a x 2-4ax =0.解得 120, 4.x x ==∴ A (0,0)，B (4,0).…………………………2分 (2)①设直线PC 的解析式为.y kx b =+将点P (1,-32a )，C (2,1)代入上式，解得31,13.2k a b a =+=-- ∴y=(1+32a)x -1-3a.∵点Q 在直线PC 上，且Q 点的横坐标为4， ∴Q 点的纵坐标为3+3a .…………………………4分 ②当a ＞0时，如图1，不合题意；当a ＜0时，由图2，图3可知，3+3a≥0. ∴a≥-1．∴符合题意的a 的取值范围是 -1≤a ＜0．…………………………6分图1 图23朝阳．解：（1）将点（3，3）代入2+=y ax bx ，得9a +3b =3. ∴3+1=-b a .（2）令4+4=4+x a ，得=4-x a . ∴B 4,4)(-a .（3）312=-或＜-a a .4大兴．（1）∵11)(2+--=x m x y 的对称轴为1=x∴121=-m ………………………………1分 ∴3=m ，∴函数的表达式为122+-=x x y …………………2分 （2）①()23-=x y ………3分②29>t ………………………………………………6分 5石景山．解：（1）∵24y ax ax c =-+2(2)4a x a c =--+，∴抛物线的对称轴是直线2x =． ………………………… 2分 （2）①∵直线335y x =-与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ， ∴点C 的坐标为(5,0)，点D 的坐标为(0,3)-． ∵抛物线与y 轴的交点A 与点D 关于x 轴对称， ∴点A 的坐标为(0,3)．∵将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，∴点B 的坐标为(2,3)． ………………………… 3分 ②抛物线为243(0)y ax ax a =-+≠，顶点为(2,34)P a -． （ⅰ）当0a >时，如图1.令5x =，得25203530y a a a =-+=+>， 即点(5,0)C 总在抛物线上的点(5,53)E a +的下方． ∵P B y y <∴点(2,3)B 总在抛物线顶点P 的上方，结合函数图象，可知当0a >时，抛物线与线段BC 恰有一个公共点．（ⅱ）当0a <时，如图2.当抛物线过点(5,0)C 时， 252030a a -+=，解得35a =-.结合函数图象，可得35a -≤.综上所述，a 的取值范围是35a -≤或0a >. …………………… 6分6丰台.（1）顶点坐标为（1-，1）；…….…....………….....…………….…...….….....…………2分 （2）①当1m =时，21:2C y x x =+，22:2C y x x =--． ….…...….….....…………3分 根据图象可知，1C 和2C 围成的区域内(包括边界)整点有5个．…4分②抛物线在1C 和2C 围成的区域内 (包括边界)结合函数图象，可得抛物线与x 轴的一个交点的横坐标的取值范围为 1≤2x ＜．将（1，0）代入221y mx mx m =++-，得到 14m =， …….....………5分 将（2，0）代入221y mx mx m =++-，得到 19m =，结合图象可得 19m ＜≤14． ….…...…..….....………….........………6分7顺义．解：（1）依题意得：A （0，-m ）．………………………………………………… 1分∴B （-3，-m ）． ………………………………………………………… 2分 （2）∵点A ，B 关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为x ＝32-；………………………………………… 4分DECB AM N（3）当m ＞0时，点A （0，-m ）在y 轴负半轴， 此时，点P ，Q 位于抛物线内部（如图1）． 所以，抛物线与线段PQ 无交点． ……………………… 5分 当m ＜0时，点A （0，-m ）在y 轴正半轴， 当AQ 与x 轴平行，即A （0，1）时（如图2）， 图1抛物线与线段PQ 恰有一个交点Q （-3，1）．6分 8通州9·················· 1 ∴()2,3B -． ··········································································· 2 （3）当抛物线过点P （4,0）时，38a =， ················································ 3 ∴8,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭．此时，抛物线与线段PQ 有两个公共点．当抛物线过点1(,0)Q a- 时，a =1，此时，抛物线与线段PQ 有两个公共点． ∵抛物线与线段PQ 恰有两个公共点，∴318a ≤≤． ·............................................................................. 5 当抛物线开口向下时，3a <-．. (6)综上所述，当318a ≤≤或3a <-时，抛物线与线段PQ 恰有两个公共点．10昌平．（1）①对称轴是：x ＝1． …………………………………………………………………… 1分①b ＝－2a ． …………………………………………………………………… 3分 （2）－2≤a ＜－1或1＜a ≤2． …………………………………………………………………… 6分 育新回龙观学校惠红民老师给出的26题解析：育新回龙观学校支颖梅老师第（2）问思路：因为AB=2，点A 是整点，所以点C 到AB 的距离应该是大于1并且小于等于2. 点C 到AB 的距离表示为c —a ，减去c 的差的绝对值，即a 的绝对值。
北京市西城区2020 年新人教版九年级上期末数学试卷含答案解析
2020-2021学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．抛物线y=(x﹣1)2+2的对称轴为()A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=2 D．直线x=﹣22．我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是()A．B．C．D．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长度为()A．2 B．8 C．D．4．将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 (x﹣1)2﹣2，下列平移方式中，正确的是()A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A(1，2)，B(2，0)，D(5，0)，则点A的对应点C的坐标是()A．(2，5) B．(，5) C．(3，5) D．(3，6)6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADB的度数为()A．55°B．45°C．35°D．25°7．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为()A．5 B．C．3 D．8．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料．右图是一段弯形管道，其中∠O=∠O’=90°，中心线的两条弧的半径都是1000mm，这段变形管道的展直长度约为(取π3.14)()A．9280mm B．6280mm C．6140mm D．457mm9．当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10m，树高h(单位:m)的范围是()A．3＜h＜5 B．5＜h＜10 C．10＜h＜15 D．15＜h＜20200．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B (0，3)，则a的取值范围是()A．a＜0 B．﹣3＜a＜0 C．a＜ D．＜a＜二、填空题(本题共18分，每小题3分)11．二次函数y=x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为．12．如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是(写出一个即可)13．如图，⊙O 的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB=60°，则△PAB的周长为．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=kx+m(k≠0)的抛物线y2=ax2+bx+c(a ≠0)交于点A(0，4)，B(3，1)，当y1≤y2时，x的取值范围是．15．如图，在△ABC中，∠BAC=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接C'C．若C'C∥AB，则∠BAB'=°．16．考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，需要找出圆心．(1)请利用尺规作图确定这块残片的圆心O；(2)写出作图的依据:．三、解答题(本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算:4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．18．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．(1)求证:∠AEB=∠ADC；(2)连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．19．已知二次函数y=x2+4x+3．(1)用配方法将二次函数的表达式化为y=a (x﹣h)2+k 的形式；(2)在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；(3)根据(2)中的图象，写出一条该二次函数的性质．2020图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B．点E在AD边上，CD=CE．(1)求证:△ABD∽△CAE；(2)若AB=6，AC=，BD=2，求AE的长．21．一张长为30cm，宽2020的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．22．一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．(1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．23．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB=弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．(1)求证:DC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，sinD=，求线段AF的长．24．测量建筑物的高度在《相似》和《锐角三角函数》的学习中，我们了解了借助太阳光线、利用标杆、平面镜等可以测量建筑物的高度．综合实践活动课上，数学王老师让同学制作了一种简单测角仪:把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物(如图1)；将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚好看到需测量物体的顶端，这样可以得出需测量物体的仰角α的度数(如图2，3)．利用这种简单测角仪，也可以帮助我们测量一些建筑物的高度．天坛是世界上最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界…文化遗产．它以严谨的建筑分布，奇特的建筑构造和瑰丽的建筑装饰闻名于世．祈年殿是天坛主体建筑，又称祈谷殿(如图4)．采用的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦为蓝色，象征蓝天．祈年殿的殿座是圆形的祈谷坛．请你利用所学习的数学知识，设计一个测量方案，解决“测量天坛祈年殿的高度”的问题．要求:(1)写出所使用的测量工具；(2)画出测量过程中的几何图形，并说明需要测量的几何量；(3)写出求天坛祈年殿高度的思路．25．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM．(1)求证:AM=BM；(2)若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的长．26．阅读下列材料:有这样一个问题:关于x 的一元二次方程a x2+bx+c=0(a＞0)有两个不相等的且非零的实数根．探究a，b，c满足的条件．小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程:①设一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)对应的二次函数为y=ax2+bx+c(a＞0)；②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a，b，c满足的条件，列表如下:方程根的几何意义:请将(2)补充完整方程两根的情况对应的二次函数的大致图象a，b，c满足的条件方程有两个不相等的负实根方程有两个不相等的正实根(1)参考小明的做法，把上述表格补充完整；(2)若一元二次方程mx2﹣(2m+3)x﹣4m=0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，求实数m的取值范围．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B(A在B 的左侧)．(1)抛物线的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．求抛物线的表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；(3)当m=4时，抛物线上有两点M(x1，y1)和N(x2，y2)，若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．28．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF=90°，AE=EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．(1)如图1，点F在△ABC内，求证:CD=MN；(2)如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；(3)将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC=a，AF=b(b＜a)，直接写出EN的最大值与最小值．29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义:对于⊙C及⊙C外一点P，M，N 是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．(1)如图，⊙O的半径为1，①已知点A(1，1)，直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；(2)⊙C的半径为1，①点C的坐标为(1，2)，直线l:y=kx+b(k＞0)经过点D(﹣2+1，0)，若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y=x+关于⊙C的“视角”大于12020直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．2020-2021学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．抛物线y=(x﹣1)2+2的对称轴为()A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=2 D．直线x=﹣2【考点】二次函数的性质．【分析】由抛物线解析式可求得答案．【解答】解:∵y=(x﹣1)2+2，∴对称轴为直线x=1，故选A．2．我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是()A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解:A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；D、轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选C．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长度为()A．2 B．8 C．D．【考点】解直角三角形．【分析】根据角的正切值与三角形边的关系求解．【解答】解:∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∴tanA===，∴BC=2．故选A．4．将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 (x﹣1)2﹣2，下列平移方式中，正确的是()A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【解答】解:∵y=﹣3x2的顶点坐标为(0，0)，y=﹣3(x﹣1)2﹣2的顶点坐标为(1，﹣2)，∴将抛物线y=﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y=﹣3(x﹣1)2﹣2．故选D．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A(1，2)，B(2，0)，D(5，0)，则点A的对应点C的坐标是()A．(2，5) B．(，5) C．(3，5) D．(3，6)【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系．【解答】解:∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B(2，0)，D(5，0)，∴=，∵A(1，2)，∴C(，5)．故选:B．6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADB的度数为()A．55°B．45°C．35°D．25°【考点】圆周角定理．【分析】推出Rt△ABC，求出∠B的度数，由圆周角定理即可推出∠ADC的度数．【解答】解:∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=55°，∴∠B=35°，∴∠ADC=∠B=35°．故选C．7．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为()A．5 B．C．3 D．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值．【解答】解:设⊙O的半径为r，则OA=r，OC=r﹣1，∵OD⊥AB，AB=4，∴AC=AB=2，在Rt△ACO中，OA2=AC2+OC2，∴r2=22+(r﹣1)2，r=，故选D．8．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料．右图是一段弯形管道，其中∠O=∠O’=90°，中心线的两条弧的半径都是1000mm，这段变形管道的展直长度约为(取π3.14)()A．9280mm B．6280mm C．6140mm D．457mm【考点】弧长的计算．【分析】先计算出扇形的弧长再加上直管道的长度3000即可．【解答】解:图中管道的展直长度=2×+3000=1000π+3000≈1000×3.14+3000=6140mm．故选C．9．当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10m，树高h(单位:m)的范围是()A．3＜h＜5 B．5＜h＜10 C．10＜h＜15 D．15＜h＜2020考点】平行投影．【分析】利用坡度算出坡角最大或最小时树高的范围即可．【解答】解:AC=10．①当∠A=30°时，BC=ACtan30°=10×≈5.7．②当∠A=45°时，BC=ACtan45°=10．∴5.7＜h＜10，故选B．10．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B (0，3)，则a的取值范围是()A．a＜0 B．﹣3＜a＜0 C．a＜ D．＜a＜【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．【分析】根据图象得出a＜0，b＞0，由抛物线与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B (0，3)，得出a+b=﹣3，得出﹣3＜a＜0即可．【解答】解:根据图象得:a＜0，b＞0，∵抛物线与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B (0，3)，∴，∴a+b=﹣3，∵b＞0，∴﹣3＜a＜0，故选:B．二、填空题(本题共18分，每小题3分)11．二次函数y=x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为1．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点得到△=(﹣2)2﹣4m=0，然后解关于m的方程即可．【解答】解:根据题意得△=(﹣2)2﹣4m=0，解得m=1．故答案为1．12．如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是EF∥BC(写出一个即可)【考点】相似三角形的判定．【分析】利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似进行添加条件．【解答】解:当EF∥BC时，△AEF∽△ABC．故答案为EF∥BC．13．如图，⊙O 的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB=60°，则△PAB的周长为3．【考点】切线的性质．【分析】根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，推出△PAB是等边三角形，根据直角三角形的性质得到PA=AO=，于是得到结论．【解答】解:∵PA、PB是半径为1的⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，而∠APB=60°，∴∠APO=30°，△PAB是等边三角形，∴PA=AO=，∴△PAB的周长=．故答案为:3．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=kx+m(k≠0)的抛物线y2=ax2+bx+c(a ≠0)交于点A(0，4)，B(3，1)，当y1≤y2时，x的取值范围是0≤x≤3．【考点】二次函数与不等式(组)．【分析】根据函数图象以及点A、B的坐标，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．【解答】解:∵两函数图象交于点A(0，4)，B(3，1)，∴当y1≤y2时，x的取值范围是0≤x≤3．故答案为:0≤x≤3．15．如图，在△ABC中，∠BAC=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接C'C．若C'C∥AB，则∠BAB'=50°．【考点】旋转的性质；平行线的性质．【分析】根据旋转的性质得AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C=∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB=65°，则∠AC′C=∠ACC′=65°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′=50°，所以∠B′AB=50°．【解答】解:解:∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，∴AC′=AC，∠B′AB=∠C′A C，∴∠AC′C=∠ACC′，∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∴∠AC′C=∠ACC′=65°，∴∠CAC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠B′AB=50°，故答案为50．16．考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，需要找出圆心．(1)请利用尺规作图确定这块残片的圆心O；(2)写出作图的依据:线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆．【考点】作图—应用与设计作图；垂径定理的应用．【分析】(1)直接在圆形残片上确定3点，进而作出两条垂直平分线的交点得出圆心即可；(2)利用垂直平分线的性质得出圆心的位置．【解答】(1)如图所示，点O即为所求作的圆心；(2)作图的依据:线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆．三、解答题(本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算:4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解:原式=4×﹣3×+2××=1﹣．18．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．(1)求证:∠AEB=∠ADC；(2)连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．【分析】(1)由等边三角形的性质知∠BAC=60°，AB=AC，由旋转的性质知∠DAE=60°，AE=AD，从而得∠EAB=∠DAC，再证△EAB≌△DAC可得答案；(2)由∠DAE=60°，AE=AD知△EAD为等边三角形，即∠AED=60°，继而由∠AEB=∠ADC=105°可得．【解答】解:(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE=60°，AE=AD．∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．∴∠EAB=∠DAC．在△EAB和△DAC中，∵，∴△EAB≌△DAC．∴∠AEB=∠ADC．(2)如图，∵∠DAE=60°，AE=AD，∴△EAD为等边三角形．∴∠AED=60°，又∵∠AEB=∠ADC=105°．∴∠BED=45°．19．已知二次函数y=x2+4x+3．(1)用配方法将二次函数的表达式化为y=a (x﹣h)2+k 的形式；(2)在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；(3)根据(2)中的图象，写出一条该二次函数的性质．【考点】二次函数的三种形式；二次函数的图象．【分析】(1)利用配方法把二次函数解析式配成顶点式；(2)利用描点法画出二次函数图象；(3)利用二次函数的性质求解．【解答】解:(1)y=x2+4x+3=x2+4x+22﹣22+3=(x+2)2﹣1；(2)列表:x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…30﹣103…如图，(3)当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大．2020图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B．点E在AD边上，CD=CE．(1)求证:△ABD∽△CAE；(2)若AB=6，AC=，BD=2，求AE的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】(1)由CE=CD，推出∠CDE=∠CED，推出∠ADB=∠CEA，由∠DAC=∠B，即可证明．(2)由(1)△ABD∽△CAE，得到，把AB=6，AC=，BD=2，代入计算即可解决问题．【解答】(1)证明:∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．∴∠ADB=∠CEA．∵∠DAC=∠B，∴△ABD∽△CAE．(2)解:由(1)△ABD∽△CAE，∴．∵AB=6，AC=，BD=2，∴AE=．21．一张长为30cm，宽2020的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．【考点】一元二次方程的应用；展开图折叠成几何体．【分析】设剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为(30﹣2x)cm，宽为(2020x)cm，然后根据底面积是81cm2即可列出方程求出即可．【解答】解:设剪掉的正方形纸片的边长为x cm．由题意，得(30﹣2x)(2020x)=264．整理，得x2﹣25x+84=0．解方程，得x1=4，x2=21(不符合题意，舍去)．答:剪掉的正方形的边长为4cm．22．一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．(1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．【考点】二次函数的应用．【分析】(1)以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示，利用待定系数法即可解决问题．(1)求出x=1时的y的值，与4.4+0.5比较即可解决问题．【解答】解:(1)本题答案不唯一，如:以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示．∴A(﹣4，0)，B(4，0)，C(0，6)．设这条抛物线的表达式为y=a(x﹣4)(x+4)．∵抛物线经过点C，∴﹣16a=6．∴a=﹣∴抛物线的表达式为y=﹣x2+6，(﹣4≤x≤4)．(2)当x=1时，y=，∵4.4+0.5=4.9＜，∴这辆货车能安全通过这条隧道．23．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB=弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．(1)求证:DC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，sinD=，求线段AF的长．【考点】切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．【分析】(1)连接OC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2．得到∠DCB+∠3=90°．于是得到结论；(2)根据三角函数的定义得到OD=5，AD=8．根据圆周角定理得到∠2=∠4．推出OC∥AF．根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】(1)证明:连接OC，BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．∵OA=OC，∴∠1=∠2．∵∠DCB=∠BAC=∠1．∴∠DCB+∠3=90°．∴OC⊥DF．∴DF是⊙O的切线；(2)解:在Rt△OCD中，OC=3，sinD=．∴OD=5，AD=8．∵=，∴∠2=∠4．∴∠1=∠4．∴OC∥AF．∴△DOC∽△DAF．∴．∴AF=．24．测量建筑物的高度在《相似》和《锐角三角函数》的学习中，我们了解了借助太阳光线、利用标杆、平面镜等可以测量建筑物的高度．综合实践活动课上，数学王老师让同学制作了一种简单测角仪:把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物(如图1)；将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚好看到需测量物体的顶端，这样可以得出需测量物体的仰角α的度数(如图2，3)．利用这种简单测角仪，也可以帮助我们测量一些建筑物的高度．天坛是世界上最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界…文化遗产．它以严谨的建筑分布，奇特的建筑构造和瑰丽的建筑装饰闻名于世．祈年殿是天坛主体建筑，又称祈谷殿(如图4)．采用的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦为蓝色，象征蓝天．祈年殿的殿座是圆形的祈谷坛．请你利用所学习的数学知识，设计一个测量方案，解决“测量天坛祈年殿的高度”的问题．要求:(1)写出所使用的测量工具；(2)画出测量过程中的几何图形，并说明需要测量的几何量；(3)写出求天坛祈年殿高度的思路．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意画出图形，根据正切的概念解答即可．【解答】解:(1)测量工具有:简单测角仪，测量尺；(2)设CD表示祈年殿的高度，测量过程的几何图形如图所示；需要测量的几何量如下:①在点A，点B处用测角仪测出仰角α，β；②测出A，B两点之间的距离s；(3)设CD的高度为x m．在Rt△DBC中，，在Rt△DAC中，，∵AB=AC﹣BC，∴，解得，x=．25．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM．(1)求证:AM=BM；(2)若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的长．【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．【分析】(1)由垂径定理可求得AF=BF，可知DE为AB的垂直平分线，可得AM=BM；(2)连接AO，BO，可求得∠ACB=60°，可求得∠AOF，由DE的长可知AO，在Rt △AOF中得AF，在Rt△AMF中可求得AM，在Rt△ACM中，由，可求得CM，则可求得BC的长．【解答】(1)证明:∵直径DE⊥AB于点F，∴AF=BF，∴AM=BM；(2)连接AO，BO，如图，由(1)可得AM=BM，∵AM⊥BM，∴∠MAF=∠MBF=45°，∴∠CMN=∠BMF=45°，∵AO=BO，DE⊥AB，∴∠AOF=∠BOF=，∵∠N=15°，∴∠ACM=∠CMN+∠N=60°，即∠ACB=60°，∵∠ACB=．∴∠AOF=∠ACB=60°．∵DE=8，∴AO=4．在Rt△AOF中，由，得AF=，在Rt△AMF中，AM=BM==．在Rt△ACM中，由，得CM=，∴BC=CM+BM=+．26．阅读下列材料:有这样一个问题:关于x 的一元二次方程a x2+bx+c=0(a＞0)有两个不相等的且非零的实数根．探究a，b，c满足的条件．小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程:①设一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)对应的二次函数为y=ax2+bx+c(a＞0)；②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a，b，c满足的条件，列表如下:方程根的几何意义:请将(2)补充完整a，b，c满足的条件方程两根的情况对应的二次函数的大致图象方程有两个不相等的负实根方程有一个负实根，一个正实根方程有两个不相等的正实根(1)参考小明的做法，把上述表格补充完整；(2)若一元二次方程mx 2﹣(2m +3)x ﹣4m=0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，求实数m 的取值范围．【考点】抛物线与x 轴的交点；二次函数图象与系数的关系．【分析】(1)由二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数与系数的关系容易得出答案；(2)根据题意得出关于m 的不等式组，解不等式组即可． 【解答】解:(1)补全表格如下:方程两根的情况二次函数的大致图象得出的结论方程有一个负实根，一个正实根故答案为:方程有一个负实根，一个正实根，，；(2)解:设一元二次方程mx 2﹣(2m +3)x ﹣4m=0对应的二次函数为:y=x 2﹣(2m +3)x ﹣4m ，∵一元二次方程mx 2+(2m ﹣3)x ﹣4=0有一个负实根，一个正实根， 且负实根大于﹣1， ∴解得0＜m ＜2．∴m 的取值范围是0＜m ＜2．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B(A在B 的左侧)．(1)抛物线的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．求抛物线的表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；(3)当m=4时，抛物线上有两点M(x1，y1)和N(x2，y2)，若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】(1)先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；(2)根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式；(3)根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论．【解答】解:(1)抛物线y=﹣x2+mx+n的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．∴点A(﹣5，0)，点B(﹣1，0)．∴抛物线的表达式为y=﹣(x+5)( x+1)∴y=﹣x2﹣6x﹣5．(2)如图1，依题意，设平移后的抛物线表达式为:y=﹣x2+bx．∴抛物线的对称轴为直线，抛物线与x正半轴交于点C(b，0)．∴b＞0．记平移后的抛物线顶点为P，∴点P的坐标(，﹣+)，∵△OCP是等腰直角三角形，∴=﹣∴b=2．∴点P的坐标(1，1)．(3)如图2，当m=4时，抛物线表达式为:y=﹣x2+4x+n．∴抛物线的对称轴为直线x=2．∵点M(x1，y1)和N(x2，y2)在抛物线上，且x1＜2，x2＞2，∴点M在直线x=2的左侧，点N在直线x=2的右侧．∵x1+x2＞4，∴2﹣x1＜x2﹣2，∴点P到直线x=2的距离比点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近，∴y1＞y2．28．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF=90°，AE=EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．(1)如图1，点F在△ABC内，求证:CD=MN；(2)如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；(3)将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC=a，AF=b(b＜a)，直接写出EN的最大值与最小值．【考点】几何变换综合题．【分析】(1)利用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半和三角形的中位线即可；(2)构造出△EMN≌△DNC进而利用互余即可得出结论；(3)借助(2)的结论，先判断出点N是以点D为圆心，为半径的圆上，即可得出结论．【解答】解:(1)证明:在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线．∴CD=AB．在△ABF中，点M，N分别是边AF，BF的中点，∴MN=AB，∴CD=MN．(2)答:CN与EN的数量关系CN=EN，CN与EN的位置关系CN⊥EN．证明:连接EM，DN，如图．与(1)同理可得CD=MN，EM=DN．在Rt△ABC中，CD是斜边AB边上的中线，∴CD⊥AB．在△ABF中，同理可证EM⊥AF．∴∠EMF=∠CDB=90°．∵D，M，N分别为边AB，AF，BF的中点，∴DN∥AF，MN∥AB．∴∠FMN=∠MND，∠BDN=∠MND．∴∠FMN=∠BDN．∴∠EMF+∠FMN=∠CDB+∠BCN．∴∠EMN=∠NDC．∴△EMN≌△DNC．∴CN=EN，∠1=∠2．∵∠1+∠3+∠EMN=10°，∴∠2+∠3+∠FMN=90°．∴∠2+∠3+∠DNM=90°，即∠CNE=90°．∴CN⊥EN．(3)点N是以点D为圆心，为半径的圆上，在Rt△ABC中，AC=BC=a，∴AB=a，∵CD为AB边上的中线．∴CD=AB=，∴CN最大=CD+=，CN最小=CD﹣=由(2)知，EN=CN，∴EN最大=，EN最小=即:EN的最大值为，最小值为．29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义:对于⊙C及⊙C外一点P，M，N 是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．(1)如图，⊙O的半径为1，①已知点A(1，1)，直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；(2)⊙C的半径为1，①点C的坐标为(1，2)，直线l:y=kx+b(k＞0)经过点D(﹣2+1，0)，若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y=x+关于⊙C的“视角”大于12020直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．。
2024年北京初三九年级上学期数学期末考《几何综合》
2024年1月九上期末——几何综合1.【东城】27.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，连接DA，将线段DA绕点D顺时针旋转60°得到线段DE．（1）如图1，当点D与点B重合时，连接AE，交BC于点H，求证：AE⊥BC；（2）当BD≠CD时(图2中BD＜CD，图3中BD>CD)，F为线段AC的中点，连接EF．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题：①依题意，补全图形；②猜想∠AFE的大小，并证明．2.【西城】27．在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，CM AB ⊥于点M ．点P 在射线CM 上，连接AP ，作CD AP ⊥于点D ．连接MD ，作CE MD ⊥于点E ，作//DF AB 交直线CE 于点F ，连接MF ．图1图2备用图（1）当点P 在线段CM 上时，在图1中补全图形，并直接写出ADM ∠的度数；（2）当点P 在线段CM 的延长线上时，利用图2探究线段DF 与AM 之间的数量关系，并证明；（3）取线段MF 的中点K ，连接BK ，若8AC =，直接写出线段BK 的长的最小值．3.【海淀】27.如图，在ABC △中，AB AC =，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，连接DE ，EDC B ∠∠=.（1）求证：ED EC =；（2）连接BD ，点F 为BD 的中点，连接AF ，EF .①依题意补全图形；②若AF EF ⊥，求BAC ∠的大小.4.【朝阳】27．已知线段AB 和点C ，将线段AC 绕点A 逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AD ，将线段BC 绕点B 顺时针旋转180°-α，得到线段BE ，连接DE ，F 为DE 的中点，连接AF ，BF .（1）如图1，点C 在线段AB 上，依题意补全图1，直接写出∠AFB 的度数；（2）如图2，点C 在线段AB 的上方，写出一个α的度数，使得3AF =成立，并证明.图1图25.【石景山】27．如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=°，60BAC ∠=°．D 是边BA 上一点（不与点B 重合且12BD BA <），将线段CD 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE ，连接DE ，AE ．（1）求CAE ∠的度数；（2）F 是DE 的中点，连接AF 并延长，交CD 的延长线于点G ，依题意补全图形．若G ACE ∠=∠，用等式表示线段FG ，AF ，AE 之间的数量关系，并证明．6.【丰台】27．已知在△ABC中，AB=AC，0°<∠BAC<90°，将线段AC绕点A逆时针旋转α得到线段AD，连接ＢD，CD．（1）如图1，当∠BAC=α时，∠ＡBD=（用含有α的式子表示）；（2）如图2，当α=90°时，连接BD，作∠BAD的角平分线交BC的延长线于点F，交BD于点E，连接DF．①依题意在图2中补全图形，并求∠DBC的度数；②用等式表示线段AF，CF，DF之间的数量关系，并证明．7.【昌平】27.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点M为BC的中点，连接AM，点D为线段CM上一动点，过点D作DE⊥BC，且DE=DM，（点E在BC的上方），连接AE，过点E作AE的垂线交BC边于点F.（1）如图1，当点D为CM的中点时，①依题意补全图形；②直接写出BF和DE的数量关系为______________；（2）当点D在图2的位置时，用等式表示线段BF与DE之间的数量关系，并证明.图1图227题图127题图28.【通州】27．如图，ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 在AB 的延长线上，取AD 的中点F ，连结CD 、CF ，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90︒得到线段CE ，连结AE 、BE ．（1）依题意，请补全图形；（2）判断BE 、CF 的数量关系及它们所在直线的位置关系，并证明．9.【房山】27.如图，在等边三角形ABC 中，E ，F 分别是BC ，AC 上的点，且BE CF =，AE ，BF 交于点G .（1）AGF ∠=°；（2）过点A 作AD ∥BC （点D 在AE 的右侧），且AD BC =，连接DG .①依题意补全图形；②用等式表示线段AG ，BG 与DG 的数量关系，并证明.10.【大兴】27.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点P为BA的延长线上一点,连接PC,以点P为中心,将线段PC顺时针旋转90°得到线段PD,连接BD.(1)依题意补全图形;(2)求证:∠ACP=∠DPB;(3)用等式表示线段BC,BP,BD之间的数量关系,并证明.11.【门头沟】27.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，过点C在△ABC外作射线CP，且∠ACP=α，点A关于CP的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CP于点M，N.（1）依题意补全图形；（2）当α=30°时，直接写出∠CNB的度数；（3）当0°<α<45°时，用等式表示线段BN，CM之间的数量关系，并证明．12.【燕山】27．如图，△ABC为等边三角形，点M为AB边上一点(不与点A，B重合)，连接CM，过点A作AD⊥CM于点D，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE．(1)依题意补全图形，直接写出∠AEB的大小，并证明；(2)连接ED并延长交BC于点F，用等式表示BF与FC的数量关系，并证明．13.【顺义】27．在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P是对角线AC上一点（不与点A重合），点E，F分别是边AB，AD上的点，且∠EPF＝60°，射线PE，PF分别与DA，BA的延长线交于点M，N．（1）如图1，若点P与C重合，且PA平分∠EPF，求证：AM＝AN；（2）连接BP，若∠ABP＝45°，BP＝3，且PA不平分∠EPF．①依题意补全图2；②用等式表示线段AM，AN的数量关系，并证明．14.【密云】27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D为AB边上的一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接AE、BE．（1）依据题意，补全图形；（2）直接写出∠A C E+∠B C D的度数；（3）若点F为BD中点，连接CF交AE于点P，用等式表示线段A E与CF之间的数量关系，并证明．15.【平谷】27.如图，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，D为AB边中点，E为△ABC外部射线CD上一点，连接AE，过C作CF⊥AE于F.（1）依题意补全图形，（2）找出图中与∠EAD相等的角，并证明；（3）连接DF，猜想∠CFD的度数，并证明.。
北京市各区2020届九年级上学期期末数学试卷精选汇编：代数综合专题(含答案)
代数综合专题西城区26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2–2m x–2m–2．（1）若该抛物线与直线y= 2交于A，B两点，点B在y轴上．求该抛物线的表达式及点A的坐标；（2）横坐标为整数的点称为横整点．①将（1）中的抛物线在 A，B两点之间的部分记作G1(不含A，B两点)，直接写出G1上的横整点的坐标；②抛物线y=x2–2m x–2m–2与直线y=–x–2交于C，D两点，将抛物线在C，D两点之间的部分记作G2（不含C，D两点），若G2上恰有两个横整点，结合函数的图象，求m的取值范围．26．解：（1）∵抛物线y=x2-2m x-2m-2与直线y=2交于A，B两点，点B在y轴上，∴点B的坐标为（0，2）．∴-2m - 2= 2．∴m = -2．∴抛物线的表达式为y=x2+4x+ 2．∵A，B两点关于直线x =-2对称，∴点A的坐标为（-4，2）．（2）①y=x2+4x+2的图象，如图1所示．G1上的横整点分别是（-3，-1），（-2，-2），（-1，-1）．②对于任意的实数m，抛物线y=x2-2m x-2m–2与直线y= -x-2总有一个公共点（-1，-1），不妨记为点C．当m≤-1时，若G2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为-3，-2，如图2.∴ -2≤32m<-．当m＞-1时，若G2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为0，1，如图3.∴12m<≤1．图1图2 图3综上，G2恰有两个横整点，m的取值范围是-2≤32m<-或12m<≤1．··························································································6分东城区26 ．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a-4ax与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)．(1)求点A，B的坐标；(2)已知点C(2，1)，P(1，-a)，点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4．①求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围海淀区．26在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：2240)y ax ax a=-+≠（.（1）当a =1时，①抛物线G 的对称轴为x =_____________；②若在抛物线G 上有两点12(2,),(,)y m y ，且21y y >，则m 的取值范围是____________；（2）抛物线G 的对称轴与x 轴交于点M ，点M 与点A 关于y 轴对称，将点M 向右平移3个单位得到点B ，若抛物线G 与线段AB 恰有一个公共点，结合图象，求a 的取值范围.26．解：（1）①1； ②m >2或m <0;（2）∵抛物线G ：224y ax ax =-+的对称轴为x =1，且对称轴与x 轴交于点M ， ∴点M 的坐标为（1，0）. ∵点M 与点A 关于y 轴对称， ∴点A 的坐标为（-1，0）. ∵点M 右移3个单位得到点B , ∴点B 的坐标为（4，0）.依题意，抛物线G 与线段AB 恰有一个公共点， 把点A （-1，0）代入224y ax ax =-+可得43a =-；把点B （4，0）代入224y ax ax =-+可得12a =-；把点M （1，0）代入224y ax ax =-+可得4a =. 根据所画图象可知抛物线G 与线段AB 恰有一个 公共点时可得 41432a a -<≤-=或.大兴区25.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴的交点为A , B （点A 在点B 的左侧）.（1）求点A,B 的坐标;（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点. ①直接写出线段AB 上整点的个数；沿x 翻折，得到新抛物线，直接写出新抛物线在x 轴上方的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）整点的个数.25.解：（1）得中，令）（在,01-1412=-=y x y 1,321-==x x ……………………………………………………………..1分∴点A 的坐标为（-1，0），点B 的坐标为（3，0）………………………..2分 （2）①5；……………………………………………………………………..3分②6. ……………………………………………………………………..5分石景山26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24(0)y ax ax c a =-+≠与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B .与x 轴，y 轴分别交于点C ，D .（1）求抛物线的对称轴；（2）若点A 与点D 关于x 轴对称， ①求点B 的坐标；②若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围.26．解：（1）∵24y ax ax c =-+2(2)4a x a c =--+，∴抛物线的对称轴是直线2x =． ………………………… 2分 （2）①∵直线335y x =-与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ， ∴点C 的坐标为(5,0)，点D 的坐标为(0,3)-． ∵抛物线与y 轴的交点A 与点D 关于x 轴对称， ∴点A 的坐标为(0,3)．∵将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，∴点B 的坐标为(2,3)． ………………………… 3分 ②抛物线为243(0)y ax ax a =-+≠，顶点为(2,34)P a -． （ⅰ）当0a >时，如图1.令5x =，得25203530y a a a =-+=+>， 即点(5,0)C 总在抛物线上的点(5,53)E a +的下方． ∵P B y y <∴点(2,3)B 总在抛物线顶点P 的上方，结合函数图象，可知当0a >时，抛物线与线段BC 恰有一个公共点．（ⅱ）当0a <时，如图2. 当抛物线过点(5,0)C 时， 252030a a -+=，解得35a =-.结合函数图象，可得35a -≤.综上所述，a 的取值范围是35a -≤或0a >. …………………… 6分丰台区25．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：221y mx mx m =++-沿x 轴翻折得到抛物线2C . （1）求抛物线2C 的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．① 当1m =时，求抛物线1C 和2C 围成的封闭区域内(包括边界)整点的个数；② 如果抛物线1C 和2C 围成的封闭区域内(包括边界)恰有7个整点，求出m 的取值范围．25.（1）顶点坐标为（1-，1）；…….…....………….....…………….…...….….....…………2分 （2）①当1m =时，21:2C y x x =+，22:2C y x x =--． ….…...….….....…………3分 根据图象可知，1C 和2C 围成的区域内(包括边界)整点有5个．…4分②抛物线在1C 和2C 围成的区域内 (包括边界) 恰有7个整点，结合函数图象，可得抛物线与x 轴的一个交点的横坐标的取值范围为 1≤2x ＜．将（1，0）代入221y mx mx m =++-，得到 14m =， …….....………5分 将（2，0）代入221y mx mx m =++-，得到 19m =，结合图象可得 19m ＜≤14． ….…...…..….....………….........………6分顺义区26．在平面直角坐标系 中，抛物线与 轴交于点A ，将点A 向左平移3个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含m 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P (-1,-m )，Q (-3,1)．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围．26．解：（1）依题意得：A （0，-m ）．………………………………………………… 1分 ∴B （-3，-m ）． ………………………………………………………… 2分 （2）∵点A ，B 关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为x ＝32-；………………………………………… 4分（3）当m ＞0时，点A （0，-m ）在y 轴负半轴， 此时，点P ，Q 位于抛物线内部（如图1）．所以，抛物线与线段PQ 无交点． ……………………… 5分当m ＜0时，点A （0，-m ）在y 轴正半轴，当AQ 与x 轴平行，即A （0，1）时（如图2）， 图1 抛物线与线段PQ 恰有一个交点Q （-3，1）．6分26轴交于点A ．（1）直接写出点A 的坐标；（2）点A 、B 关于对称轴对称，求点B 的坐标；（3）已知点(4,0)P ，PQ 恰有两个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．26．解：（1）()0,3-； ················································································· 1 （2）∵212b ax a a-=-=-=； ∴()2,3B -． ··········································································· 2 （3）当抛物线过点P （4,0）时，38a =， ················································ 3 ∴8,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭．此时，抛物线与线段PQ有两个公共点．当抛物线过点1(,0)Qa-时，a=1，此时，抛物线与线段PQ有两个公共点．∵抛物线与线段PQ恰有两个公共点，∴318a≤≤． (5)当抛物线开口向下时，3a<-． (6)综上所述，当318a≤≤或3a<-时，抛物线与线段PQ恰有两个公共点．昌平区26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线2y ax bx c=++与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）①直接写出抛物线的对称轴是________；②用含a的代数式表示b；（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．点A恰好为整点，若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．26．（1）①对称轴是：x＝1．…………………………………………………………………… 1分②b＝－2a．…………………………………………………………………… 3分（2）－2≤a＜－1或1＜a≤2．……………………………………………………………………6分门头沟26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线()2420y ax ax a a=-+≠的顶点为P，且与y轴交于点A，与直线y a=-交于点B，C（点B在点C的左侧）.（1）求抛物线()2420y ax ax a a=-+≠的顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线与线段AC围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”.①当2a=时，请直接写出“W区域”内的整点个数；②当“W区域”内恰有2个整点时，结合函数图象，直接写出a的取值范围.房山区.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1+2-2-=2m mx mx y 与x 轴交于点A ，B . （1）若2=AB ，求m 的值；（2）过点)20(，P 作与x 轴平行的直线，交抛物线于点M ，N .当2≥MN 时，求m 的取值范围.26. （1）抛物线对称轴为直线1=22--=mmx . …………1分 ⸪点A 、B 关于直线1=x 对称，AB =2∴ 抛物线与x 轴交于点（0，0）、（2，0）.…………2分将（0，0）代入1+2-2-=2m mx mx y 中， 得0=1+2-m 即21=m . …………3分 （2）抛物线1+2-2-=2m mx mx y 与x 轴有两个交点∴0>Δ 即()0>1+-2(4-2-2）m m m …………4分 解得： 0<31>m m 或①若0>m ，开口向上，如图26-1当2≥MN 时，有2≤1+2-m 解得21-≥m 图26-1结合※可得31>m …………5分②若0<m ，开口向下，如图26-2当2≥MN 时，有2≥1+2-m 解得21-≤m 结合※可得21-≤m …………6分 综上所述m 的取值范围为31>m 或21-≤m 图26-2密云区26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2258y ax ax a =-++(0a ≠)． （1）写出抛物线顶点的纵坐标 (用含a 的代数式表示)；（2）若该抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 和点B ，且点A 在点B 的左侧，AB =4． ① 求a 的值；② 记二次函数图象在点 A ，B 之间的部分为W (含 点A 和点B )，若直线 y kx b =+ (0k ≠)经过（1，-1），且与 图形W 有公共点，结合函数图象，求 b 的取值范围．25. （1）4a +8 ………………………………1分（2）①解：∵抛物线的对称轴是x =1又∵ 抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 和点B ，AB =4∴ 点A 和点B 各距离对称轴2个单位 ∵ 点A 在点B 的左侧∴A （-1,0），B （3，0） ………………………………3分 ∴将B （3，0）代入2258y ax ax a =-++ ∴9a -6a +5a+8=0a=-1 ………………………………4分②当 y kx b =+(0k ≠)经过（1，-1）和A （-1,0）时， 当 y kx b =+(0k ≠)经过（1，-1）和B （3，0）时， ∴………………………………6分朝阳区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx =+经过点(3，3) . (1)用含a 的式子表示b ；(2)直线4+4y x a =+与直线4y =交于点B ，求点B 的坐标（用含a 的式子表示）；(3)在(2)的条件下，已知点A (1，4)，若抛物线与线段A B 恰有一个公共点，直接写出10k b k b +=-⎧⎨-+=⎩12b =-130k b k b +=-⎧⎨+=⎩32b =-1322b b ≥-≤-或a(a＜0)的取值范围.通州区26.在平面直角坐标系中，存在抛物线以及两点和.(1)求该抛物线的顶点坐标;(2)若该抛物线经过点，求此抛物线的表达式;(3)若该抛物线与线段只有一个公共点，结合图象，求的取值范围.26. （1）顶点坐标为（）·····1分（2）·····2分·····3分(3)如图1抛物线顶点在线段上时，............................... 4分如图2抛物线顶过点时，·····5分综上： 或····6分燕山区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m =-+-． (1) 求抛物线顶点C 的坐标(用含m 的代数式表示)；(2) 已知点A (0，3)，B (2，3)，若该抛物线与线段AB 有公共点，结合函数图象，求出m 的取值范围．26．解：(1) 2221y x mx m -+-＝＝2()1x m --∴抛物线顶点为C (m ，－1)． ………………………2分(2)把A (0，3)的坐标代入2221y x mx m =-+-得231m -＝， 解得 2m ±＝．把B (2，3)的坐标代入2221y x mx m -+-＝得2232221m m -⨯+-＝， 即240m m -＝， 解得 0m ＝，或4m ＝．结合函数图象可知：20m -≤≤，或24m ≤≤． ………………………6分。
北京市各区2020届九年级上学期期末数学试卷精选汇编：反比例函数专题(含答案)
反比例函数专题海淀24．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是直线1322y x =+上一点，过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为点B 和点C ，反比例函数ky x=的图象经过点A ． （1）若点A 是第一象限内的点，且AB AC =，求k 的值； （2）当AB AC >时，直接写出k 的取值范围．24. 解：（1）依题意，设点(,)A x y ,(,0)B x ,(0,)C y (0,0)x y >>.∴AB y =，AC x =. ∵AB AC =， ∴x y =. ∵点A 在直线1322y x =+上, ∴点A 的坐标为(3,3)A .∵点A 在函数ky x=（k ≠0）的图象上， ∴9k =．（2）190k k -<<≠且.东城22． 在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)ky x x =>的图象和ABC △都在第一象限内，52AB AC ==，//BC x 轴，且4BC =，点A 的坐标为(3,5)． （1）若反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点B ，求此反比例函数的解析式；（2）若将ABC △向下平移m （m>0）个单位长度，A ，C 两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m 的值．朝阳24．点A是反比例函数1(0)y xx=＞的图象l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数3(0)y xx=＞的图象l2于点B，直线AC∥y轴，交l2于点C，直线CD∥x轴，交l1于点D．(1)若点A(1，1)，求线段AB和CD的长度；(2)对于任意的点A(a，b)，判断线段AB和CD的大小关系，并证明．石景山22．在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)my x x=>的图象G 经过点(3,2)A ， 直线:1(0)l y kx k =-≠与y 轴交于点B ，与图象G 交于点C ． （1）求m 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 在点A ，C 之间的部分与线 段BA ，BC 围成的区域（不含边界）为W ．①当直线l 过点(2,0)时，直接写出区域W 内的整点个数；②若区域W 内的整点不少于．．．4个，结合函数图象，求k 的取值范围．22．解：（1）∵函数(0)my x x=>的图象G 经过点(3,2)A ， ∴6m =． ………………………… 1分 （2）① 1； ………………………… 2分 ②∵直线:1(0)l y kx k =-≠与y 轴交于点B ， ∴点B 的坐标为(0,1)-，如图． （ⅰ）当直线1l 在BA 下方时， 若点(5,1)在直线1l 上， 则511k -=，解得25k =． 结合图象，可得205k <<．（ⅱ）当直线2l 在BA 上方时， 若点(1,3)在直线2l 上， 则13k -=，解得4k =． 结合图象，可得4k >． 综上所述，k 的取值范围是205k <<或4k >． ………………… 5分丰台20．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与反比例函数ky x=的图象的两个交点分别为点P (m ，1)和点Q ． （1）求k 的值和点Q 的坐标；（2）如果点A 为x 轴上的一点，且∠90PAQ =︒，直接写出点A 的坐标． 20. 解：（1）∵点P (m ，1)在直线y x =上， ∴1m =． ……1分 ∵点P (1，1)在k y x=上，∴1k =． ……2分∵点Q 为直线y x =与ky x=的交点， ∴点Q 坐标为(1-，1-)．……3分 （2）1A,0) , 2A (0)． ……5分顺义25. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，2)，正方形OABC 的顶点B 在函数x k y =(k ≠ 0，x <0) 的图象上，直线l ：y x b =-+与函数xky =(k ≠ 0，x <0) 的图象交于点D ，与x 轴交于点E ． （1）求k 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当一次函数y x b =-+的图象经过点A 时，直接写出△DCE 内的整点的坐标；25．解：（1）依题意知：B （-2，2）．………………………………………………… 1分∴反比例函数解析式为4y x-=． ∴k 的值为-4． …………………………………………………………… 2分 （2）①△DCE 内的整点的坐标为 （-1，1），（-1，2）， （0，1） ；…… 5分 ② 当b =2时，△DCE 内有3个整点，当b =3时，△DCE 内有6个整点， ∴b 的取值范围是2＜b ≤3．…………………………………………… 6分平谷22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，曲线()0ky x x=>经过点A ． （1）求曲线()0ky x x=>的表达式； （2）直线y=ax +3(a ≠0)与曲线()0ky x x=>围成的封闭区域为图象G ．①当1a =-时，直接写出图象G 上的整数点个数是；（注：横，纵坐标均为整数的点称为整点，图象G 包含边界．） ②当图象G 内只有3个整数点时，直接写出a 的取值范围．22．解：（1）∵A （1,1），∴k =1． ······························· 1 ∴()10y x x=>． ················· 2 （2）①3； ·································· 3 ②213a -≤<-． (5)门头沟23．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与双曲线()0ky k x=≠交于点A （2，a ）． （1）求a 与k 的值；（2）画出双曲线()0ky k x=≠的示意图； （3）设点(),P m n 是双曲线()0ky k x=≠上一点（P 与A 不重合），直线PA 与y 轴交于点()0,B b ，当2AB BP =房山22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x +2与函数xky =（k ≠0）的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为（1，a ）． （1）求k 的值；（2）已知点P （m ，0），过点P 作平行于y 轴的直线，交直线y ＝x +2于点C ，交函数xky =（k ≠0）的图象于点D ． ①当m ＝2时，求线段CD 的长；②若PC ＞PD ，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．密云23．在平面直角坐标系中，直线 y = x 与反比例函数的图象交于点A （2，m ）.（1）求m 和k 的值；（2）点P （x P ，y P ）是函数 图象上的任意一点，过点P 作平行于x 轴的直线，交直线y=x 于点B .① 当y P = 4时，求线段BP 的长；② 当3BP ≥时，结合函数图象，直接写出点P 的纵坐标y P 的取值范围．(0)k y x x=>(0)k y x x=>22.（1）把A （1，a ）代入y ＝x +2得a ＝3…………1分把A （1，3）代入xky =得3=k …………2分 （2）① 当m ＝2时，C （2，4），D （2，23）…………3分⸫CD =25=23-4. …………4分② m< -3或m > 1 …………6分燕山23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数ky x=(0x <)的图象经过点A (－1，6)． (1) 求k 的值；(2) 已知点P (a ，－2a ) (0a <)，过点P 作平行于x 轴的直线，交直线22y x =--于点M ，交函数ky x=(0x <)的图象于点N ． ① 当a ＝－1时，求线段PM 和PN 的长；② 若PN ≥2PM ，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．23．解：(1) ∵函数ky x=(0x <)的图象经过点A (－1，6)，∴k ＝－1×6＝－6． ………………………1分(2)① 当a ＝－1时，点P 的坐标为(－1，2)． ………………………2分 ∵直线22y x =--，反比例函数的解析式为6y x=-，PN ∥x 轴， ∴M (－2，2)，N (－3，2)，∴PM ＝1，PN ＝2． ………………………4分 ② a ≤－3，或－1≤a ＜0． ………………………6分。
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2020年初三上学期期末几何综合1西城. △ABC是等边三角形，点P在BC的延长线上，以P为中心，将线段PC逆时针旋转n°（0 ＜n＜180）得线段PQ，连接AP，BQ．（1）如图1，若PC=AC，画出当BQ∥AP时的图形，并写出此时n的值；（2）M为线段BQ的中点，连接PM. 写出一个n的值，使得对于BC延长线上任意一点P，总有1MP AP，=2并说明理由．图1 备用图2东城区．在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．（1）如图1，当△ABC为锐角三角形时，①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明;（2）如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．图1图23朝阳．已知∠MON=120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA=OB，点C在线段OB上（不与点O，B重合），连接CA. 将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA´，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA´交于点D.(1)根据题意补全图1；(2)求证：①∠OAC=∠DCB；②CD =CA （提示：可以在OA 上截取OE =OC ，连接CE ）；(3)点H 在线段AO 的延长线上，当线段OH ，OC ，OA 满足什么等量关系时，对于任意的点C 都有∠DCH =2∠DAH ，写出你的猜想并证明.4大兴区.已知：如图，B,C,D 三点在⨀A 上，︒=∠45BCD ，PA 是钝角△ABC 的高线，PA 的延长线与线段CD 交于点E. (1) 请在图中找出一个与∠CAP 相等的角，这个角是 ；(2) 用等式表示线段AC ，EC ，ED 之间的数量关系，并证明.备用图图1NMA5石景山区．如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上的一动点（不与点B ，C 重合），点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接AE ．连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF ． （1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）； （2）求证：BF DF ⊥；（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间 的数量关系，并证明．6丰台区．如图，∠90MAN =︒，B ，C 分别为射线AM ，AN 上的两个动点，将线段AC 绕点A 逆时针．．．旋转30︒到AD ，连接BD 交AC 于点E ．（1）当∠ACB =30°时，依题意补全图形，并直接写出DE BE的值；（2）写出一个∠ACB 的度数，使得12DE BE=，并证明．FEP DC BA7顺义区．已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 在AD 边上运动，从点A 出发向点D 运动，到达D 点停止运动．作射线CE ，并将射线CE 绕着点C 逆时针旋转45°，旋转后的射线与AB 边交于点F ，连接EF . （1） 依题意补全图形；（2） 猜想线段DE ，EF ，BF 的数量关系并证明；（3） 过点C 作CG ⊥EF ，垂足为点G ，若正方形ABCD 的边长是4，请直接写出点G 运动的路线长．（备用图）8平谷区．如图，正方形ABCD ，将边BC 绕点B 逆时针旋转60°，得到线段BE ，连接AE ，CE ．（1）求∠BAE 的度数；（2）连结BD ，延长AE 交BD 于点F ．①求证：DF=EF ；②直接用等式表示线段AB ，CF ，EF 的数量关系．CBCB9昌平区。
已知等边∠ABC，点D为BC上一点，连接AD.（1）若点E是AC上一点，且CE＝BD，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出∠APE的大小；（2）将AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明.10通州ABDC DCBA11门头沟．如图，∠MON=60°，OF平分∠MON，点A在射线OM上，P，Q是射线ON上的两动点，点P在点Q的左侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交OM，OF，ON于点D，B，C，连接AB，PB．（1）依题意补全图形；（2）判断线段AB，PB之间的数量关系，并证明；（3）连接AP，设APk OQ，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．备用12房山区.在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以点B为圆心、1为半径作圆，设点M为⊙B上一点，线段CM绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CN，连接BM、AN．（1）在图27-1中，补全图形，并证明BM＝AN .（2）连接MN，若MN与⊙B相切，则∠BMC的度数为________________.（3）连接BN，则BN的最小值为___________；BN的最大值为___________27-1 备用图备用图OMNFOMNF13密云区.已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边中点．点M为线段B C上的一个动点（不与点C，点D重合），连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，连接E C．（1）如图1，若点M在线段BD上．①依据题意补全图1；②求∠MCE的度数．（2）如图2，若点M在线段CD上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC、CE、CM之间的数量关系．14海淀．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1, 记∠ABC=α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．（1）当△ABD为等边三角形时，①依题意补全图1；②PQ的长为_____________；（2）如图2，当α=45°，且43BD 时, 求证：PD=PQ；（3）设BC = t, 当PD=PQ时，直接写出BD的长.（用含t的代数式表示）图1图 1A1西城.．解：（1）如图．当BQ ∥AP 时，n = 60． （2）n = 120．证明：延长PM 至N ，使得MN =PM ，连接BN ，AN ，QN ，如图．∵ M 为线段BQ 的中点， ∴ 四边形BNQP 是平行四边形． ∴ BN ∥PQ ，BN=PQ ． ∴ ∠NBP =60°．∵ △ABC 是等边三角形，∴ AB=AC ，∠ABC =∠ACB = 60°． ∴ ∠ABN =∠ACP =120°．∵ 以P 为中心，将线段PC 逆时针旋转120°得到线段PQ ， ∴ PQ =PC ． ∴ BN =PC ． ∴△ABN ≌△ACP ． ∴∠BAN =∠CAP ，AN=AP ． ∴∠NAP =∠BAC = 60°． ∴ △ANP 是等边三角形． ∴ PN =AP ．又 MP =PN ， ∴ MP =AP ． ······························································· 7分2东城．解：（1）①依题意，补全图形，如图1所示.猜想：∠BAE =∠BCD. 理由如下：∵CD ⊥AB ,AE ⊥BC ，1212∴∠BAE﹢∠B=90°,∠BCD﹢∠B=90°.∴∠BAE=∠BCD.…………………………2分图1②证明：如图2，在AE上截取AF=CE.连接DF.∵∠BAC=45°,CD⊥AB,∴△ACD是等腰直角三角形.∴AD=CD.又∠BAE=∠BCD,∴△ADF≌△CDE（SAS）.∴DF=DE, ∠ADF=∠CDE.∵AB⊥CD, 图2∴∠ADF﹢∠FDC=90°.∴∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.∴△EDF是等腰直角三角形.2.∴EF=DE∵AF+EF=AE,∴CE+√2DE=AE.…………………………5分（3）依题意补全图形，如图3所示.线段AE，CE，DE的数量关系：CE-√2DE=AE.……………………………7分3朝阳．（1）解：补全图形，如图.（2）证明：①根据题意∠ACD=120°.∴∠DCB+∠ACO=60°.∵∠MON=120°，∴∠OAC +∠ACO=60°.∴∠OAC=∠DCB.②在OA上截取OE=OC，连接CE.∴∠OEC=30°.∴∠AEC=150°.∴∠AEC=∠CBD.∵OA=OB，∴AE=BC.∴△AEC≌△CBD.∴CD=AC.(3) OH-OC= OA.证明：在OH上截取OF=OC，连接CF，∴△OFC 是等边三角形，FH=OA.∴CF=OC，∠CFH=∠COA=120°.∴△CFH≌△COA.∴∠H=∠OAC.∴∠BCH=60°+∠H =60°+∠OAC.∴∠DCH=60°+∠H +∠DCB=60°+2∠OAC.∵CA=CD，∠ACD=120°，∴∠CAD=30°.∴∠DCH=2∠DAH.4大兴.（1）∠CDB………………………………………………………………………1分（2）AC，EC，ED满足的数量关系：EC2+ED2=2AC2. …………………………2分证明：连接EB ，与AD 交于点F ∵点B ，C 两点在⊙A 上, ∴AC=AB ， ∴∠ACP =∠ABP .∵PA 是钝角△ABC 的高线, ∴PA 是△CAB 的垂直平分线. ∵PA 的延长线与线段CD 交于点E ，∴EC=EB . ……………………………………………………………………………3分 ∴∠ECP =∠EBP .∴∠ECP—∠ACP =∠EBP —∠ABP . 即∠ECA =∠EBA . ∵AC=AD ， ∴∠ECA =∠EDA ∴∠EBA=∠EDA∵∠AFB =∠EFD , ∠BCD =45°, ∴∠AFB+∠EBA =∠EFD+∠EDA=90°即∠BAD =∠BED =90°……………………………………………………4分 ∴EB 2+ED 2=BD 2. ……………………………………………………6分 ∵BD 2=2AB 2， ∴EB 2+ED 2=2AB 2，∴E C 2+ED 2=2AC 2…………………………………………………………7分5石景山．（1）45α+°； ………………………… 2分（2）证明：∵四边形ABCD 是正方形，如图1． ∴90BAD ∠=°，AB AD =． ∵点E 与点B 关于直线AP 对称， ∴3ABF ∠=∠，AE AB =． ∴AE AD =． ∴12∠=∠． ∵23180∠+∠=°，∴在四边形ABFD 中，1180ABF ∠+∠=°． ∴180BFD BAD ∠+∠=°． ∴90BFD ∠=°．321FEP DCBA图1∴BF DF ⊥． ………………………… 4分 （3）线段，BF ，CF 之间的数量关系为：2AF BF CF =+．………………………… 5分 证明：过点B 作BM BF ⊥交AF 于点M ，如图2． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB CB =，90ABC ∠=°． ∴4CBF ∠=∠．∵点E 与点B 关于直线AP 对称，90BFD ∠=°， ∴45MFB ∠=°．∴BM BF =，2FM BF =． ∴AMB △≌CFB △． ∴AM CF =． ∵AF FM AM =+，∴2AF BF CF =+． ………………………… 7分6丰台.解：（1）正确补全图形；………………1分3DE BE =． ………………3分（2）解：∠45ACB =︒． ……………………………………………………4分证明：∵45ACB ∠=︒，∴AB AC =． ∵AC AD =，∴AB AD =． ……………………………………………………………5分 过点D 作DF AC ⊥于点F ，∴90DFE ∠=︒∵30CAD ∠=︒，∴1122DF AD AB ==．∵90BAE ∠=︒，∴90DFE BAE ∠=∠=︒． ∵FED ∠=∠AEB ． ∴△FED ∽△AEB ． ∴12DE DF BE AB ==． …………………………………………………………7分7顺义．解：（1）补全图形如图1． …………………………………………… 1分AF 图24321MFEP DC B AM N A B CDEFF BC D E A F BC D E A图1 图2（2）线段DE ，EF ，BF 的数量关系是 EF=DE+BF ．……… 2分 证明：延长AD 到点H ，使DH=BF ，连接CH （如图2）． 易证△CDH ≌△CBF ．∴CH= CF ，∠DCH =∠BCF ． ∵∠ECF =45°，∴∠ECH =∠ECD +∠DCH= ∠ECD +∠BCF =45°． ∴∠ECH =∠ECF =45°． 又∵CE= CE ，∴△ECH ≌△ECF ． ∴EH= EF ．∴EF=DE+BF ． …………………………………………… 6分（3）点G 运动的路线长为 2π ． ……………………… 7分8平谷．解：（1）补全图形如图1． …………………………………………… 1分图1 图2（2）线段DE ，EF ，BF 的数量关系是 EF=DE+BF ．……… 2分 证明：延长AD 到点H ，使DH=BF ，连接CH （如图2）． 易证△CDH ≌△CBF ．∴CH= CF ，∠DCH =∠BCF ． ∵∠ECF =45°，∴∠ECH =∠ECD +∠DCH= ∠ECD +∠BCF =45°． ∴∠ECH =∠ECF =45°． 又∵CE= CE ，∴△ECH ≌△ECF ． ∴EH= EF ．∴EF=DE+BF ． …………………………………………… 6分（3）点G 运动的路线长为 2π ． ……………………… 7分9昌平.（1）补全图形. ………………………………………………………… 1分∠APE =60° ……………………………………………………………… 2分（2）补全图形.………………………………………………………………3分CD AQ 21= ..………………………………………………………………4分证明：在∠ABD 和∠BEC 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠=CE BD C ABD BCAB 60 ∴∠ABD ∠∠BEC （SAS ） ∴∠BAD =∠CBE .∵∠APE 是△ABP 的一个外角，∴∠APE =∠BAD +∠ABP =∠CBE +∠ABP =∠ABC =60°.∠AF 是由AD 绕点A 逆时针旋转120°得到， ∠AF =AD ，∠DAF =120°. ∠∠APE =60°， ∠∠APE +∠DAP =180°.∠AF ∠BE...……………………………………………………………………………………………5分 ∠∠1=∠2∵∠ABD ∠∠BEC ， ∠AD =BE . ∠AF =BE .在∠AQF 和∠EQB 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BE AF EQBAQF 21 ∠AQF ∠∠EQB （AAS ）∠AQ =QE ..……………………………………………………………………………………………6分 ∠AE AQ 21=∠AE =AC －CE ，CD =BC －BD ， 且AE =BC ，CD =BD .∠AE =CD ...……………………………………………………………………………………………7分 ∠CD AQ 21=10通州11门头沟．（本小题满分7分）（1）补全图形正确．………………………………1分 （2）AB =PB ．………………………………………2分证明：如图，连接BQ ．∵BC 的垂直平分OQ ，∴ OB =BQ ，……………………3分 ∴∠BOP =∠BQP ． 又∵ OF 平分∠MON ， ∴∠AOB = ∠BOP ．∴∠AOB = ∠BQP ．…………4分 又∵PQ=OA ， ∴ △AOB ≌△PQB ，…………………………………………………………5分∴AB =PB ．（3）12k =．………………………………………………………………………………7分 12房山.（1）如图27-1，补全图形 …………1分证明：⸪∠ACB ＝∠MCN ＝90°∴∠MCB ＝∠NCA …………2分 ⸪CM ＝CN ，CB ＝CA ∴△MCB ≌△NCA∴BM ＝AN …………3分图27-1（2） 45°或135° …………4分（3） 1 ； 3 …………6分13密云. (1) ① 补全图1：………………………………2分② 解：过点M 作BC 边的垂线交CA 延长线于点F ∴ ∠FMC =90° ∴ ∠FMA+∠AMC=90°∵将线段AM 绕点M 顺时针旋转90°，得到线段ME ∴∠AME=90°∴ ∠CME+∠AMC=90°∴∠FMA= ∠CME………………………………3分在Rt △FMC 中,∠FCM=45°∴∠F=∠FCM=45° ∴FM=MC………………………………4分在△FMA 和△CME 中∴∴ ∠MCE=∠F=45° ……………5分（2）AC CE -=……………7分14海淀．（1）解：①补全图形如下图所示.② PQ =2.（2）作PF BQ ⊥于F ，AH PF ⊥于H .∵PA AD ⊥, ∴∠PAD =90°.FM MCFMA CME AM ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩FAM CME ∆≅∆由题意可知∠1=45°. ∴2901451∠=︒-∠=︒=∠. ∴PA AD =. ∵90ACB ∠=︒, ∴90ACD ∠=︒∵AH PF ⊥，PF BQ ⊥， ∴90AHP AHF PFC ∠=∠=∠=︒. ∴四边形ACFH 是矩形. ∴90,CAH AH CF ∠=︒=. ∵90,CAH DAP ∠=∠=︒∴3490DAH DAH ∠+∠=∠+∠=︒. ∴34∠=∠.又∵90,ACD AHP ∠=∠=︒ ∴ACD AHP ≌△△. ∴1AH AC ==. ∴1CF AH ==.∵4,1,3BD BC == B ，Q 关于点D 对称，∴14,.33CD BD BC DQ BD =-===∴21.32DF CF CD DQ =-== ∴F 为DQ 中点. ∴PF 垂直平分DQ . ∴PQ =PD .（3）2223t BD t+=.。