5.5.1-两角和与差的正弦、余弦和正切公式-3.二倍角的正弦、余弦、正切公式

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式

【知识要点】

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)():sin()sincoscoscosS；

(2)():cos()coscossinsinC；

(3)()tantan:tan()1tantanT.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)(2):sin22sincosSα；

(2)2222(2):cos2cossin2cos112sinC；

(3)(2)22tan:tan21tanT.

3．常用的公式变形

(1)tantantan()(1tantan)；

(2)221cos21cos2cos,sin22；

(3)221sin2(sincos),1sin2(sincos),sincos2sin()4.

4．函数()sincos(,fxaxbxab为常数),可以化为2222()sin()cos(),fxabxabx其中()可由,ab的值唯一确定．

两个技巧

(1)拆角、拼角技巧：(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．

考向一三角函数式的化简与求值

化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂等.

[例1] 求值：①0000cos15sin15cos15sin15； ②00sin50(13tan10)；③2cos10sin20.cos20

练习： 1．(1)已知3sin,(,),52则cos22sin()4________.

(2)已知为锐角，5cos,5则tan(2)4( )

A．3 B．17 C．43 D．7 2．已知41,(0,),sin,tan(),253求cos的值．

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

一、教学目标

1.知识与技能：了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力。

2.过程与方法：通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力。

3.情感、态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质。

二、教学重点难点

重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；

难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明。

三、学情分析

鉴于学生的基础一般，前面刚刚学习了两角差的余弦公式，学生对于该公式的简单应用，尚能掌握。在教学的过程中，对比公式的内在联系，学生可能会在角的正弦与余弦能否建立联系上产生困难，教师应当在教学过程中有意识地对学生的思维进行引导；利用联系的观点和对比理解的办法让学生熟悉公式并逐步做到可以简单的应用。

四、教学方法

1.自主性学习法：通过自学掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。

2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的过程。

3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。

五、设计思路

本节课利用两角差的余弦公式推导出其它公式，并且运用两角和与差的三角函数公式解决一些相关的问题，运用公式的关键在于构造角的和差。要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式。

在解题过程中注意角的象限，也就是符号问题，学会灵活运用。在构造过程中，要尽量使其中的角为特殊角或已知角，这样才能尽可能的利用已知条件进行化简或求值。灵活运用公式的关键在于观察分析待化简、要求值的三角函数式的结构特征，联想具有类似特征的相关公式。然后经过适当变形、拼凑，再正用或逆用公式解题。

三角练习题5 二倍角的正弦、余弦和正切公式

三角练习题5 二倍角的正弦、余弦和正切公式1 / 6 三角练习题5二倍角的正弦、余弦和正切公式

一．基础练习：

1．求值：

(1)． sin 15cos 15 (2)．cos2𝜋8−sin2𝜋8 (3)．2 cos 2 75– 1

(4)．cos 2 75 + cos 2 15 + cos 75 cos 15 (5)．tan165°1−tan2165°

2．化简：

(1)．(sin  + cos )2 (2)．cos 4 – sin 4 

(3)．sin x cos x cos 2x (4)．11−tanθ−11+tanθ

3．求证：

(1)．1 + cos 2 + 2 sin 2  = 2 (2)．1−cos2𝜃1+cos2𝜃=tan2𝜃

(3)．1+sin2𝜃−cos2𝜃1+sin2𝜃+cos2𝜃=tan𝜃 (4)．tan 𝑥2+𝜋4 +tan 𝑥2−𝜋4 =2tan𝑥

三角练习题5 二倍角的正弦、余弦和正切公式2 / 6 4．已知sin (–) = 35，求cos 2的值．

5．已知cos  = −45，<<3π2，求sin 2，cos 2，tan 2的值．

6．已知sin 2 = – sin ， π2,𝜋 ，求tan 的值．

7．已知tan 2 = 13，求tan 的值．

8．已知tan 𝜋4+𝛼 =12．

(I) 求tan 的值；

(II) 求sin2𝛼−cos2𝛼1+cos2𝛼的值．

9．已知sin ( + ) = 12，sin (–) = 13．求证：

(I) sin  cos  = 5 cos  sin ；

(II) tan  = 5 tan ．

三角练习题5 二倍角的正弦、余弦和正切公式3 / 6 二．选择题：

5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(2) - (新版)人教版高中数学必修一教案

必修 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

（2）两角和与差的正弦、余弦、正切公式

一、四基要求：

1. 能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，体会公式的特征，掌握其应用。

2. 体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.

二、学习过程：

（一）小测检验（检测上节课所学内容）

1.化简①cos72°cos12°+sin72°sin12°

②22cos15°+22sin15°

2. 已知33cos,,2cos523,求

3.已知已知α，β都是锐角，cosα＝54，cox（α＋β）＝ 1312，求coxβ的值．

4.已知sinα+sinβ=21,cosα+cosβ=31,求cos(α-β)的值。

5.用α，β的正余弦值表示coa(α+β)

（二）新授课

1.创设情景，引入新课

活动一、问题1：回顾两个角差的余弦公式是什么？

问题2：通过刚才小测5，你能得到两角和的余弦公式吗？

引入新课

2.抽象新知，感受过程

活动二、问题3：α+β可以写成两个角的差吗？从而根据两角差的余弦和诱导公式，可以推出两角和的余弦公式：

问题4：上面得到了两角和与差的余弦公式．我们知道，用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化．你能根据C（α＋β），C（α－β）及诱导公式五

（或六），推导出用任意角 α，β的正弦、余弦表示sin（α＋β），sin（α－β）的公式吗？

问题5：你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从C（α±β），S（α±β）出发，结合同角三角函数关系式，推导出用任意角α，β的正切表示tan（α＋β），tan（α－β）的公式吗？

（三）及时反馈，数学应用

活动三、例1：探究：和（差）角公式中，α，β都是任意角．如果令α为某些特殊角，就能得到许多有用的公式．你能从和（差）角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式？利用和差公式，推出所有诱导公式。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

河北武中·宏达教育集团教师课时教案

备课人授课时间

课题 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）

课标要求两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用

教

学

目

标知识目标两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用

技能目标体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.

情感态度价值观使学生体验科学探索的过程

重点两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用

难点两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.

教

学

过

程

及

方

法问题与情境及教师活动学生活动

（一）复习式导入：（1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式：coscoscossinsin．（2）cos？

（3）cossin？（二）新课讲授问题：由两角差的余弦公式，怎样得到两角差的正弦公式呢？探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.sincoscoscoscossinsin2222 sincoscossin．

sinsinsincoscossinsincoscos探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）

sinsincoscossintancoscoscossinsin．

探究3、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan、tan的形式呢？

学生完成

1 河北武中·宏达教育集团教师课时教案

教

学

过

程

及

方

法问题与情境及教师活动学生活动

（分式分子、分母同时除以coscos，得到tantantan1tantan．

注意：,,()222kkkkz

[精品]新人教版必修四高中数学3.1.3《二倍角的正弦、余弦和正切公式》导学案

313《二倍角的正弦、余弦和正切公式》导案

【习目标】

以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用

【重点难点】

教重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；

教难点：二倍角的理解及其灵活运用

【法指导】

复习回顾两角和正弦、余弦和正切公式，为推到二倍角的正弦、余弦和正切公式做好铺垫

【知识链接】

请大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式：

；

我们由此能否得到sin2,cos2,tan2的公式呢？（生自己动手，把上述公式中看成即可）[]

【习过程】

一、公式推导：

sin2sinsincoscossin2sincos；[]

22cos2coscoscossinsincossin；思考：把上述关于cos2的式子能否变成只含有sin或cos形式的式子呢？22222cos2cossin1sinsin12sin；

22222cos2cossincos(1cos)2cos1．

2tantan2tantan2tan1tantan1tan．

注意：2,22kk kz

二、例题讲解

例1、已知5sin2,,1342求sin4,cos4,tan4的值．

例２、已知1tan2,3求tan的值．

[&&]

【基础达标】

1．sin2230’cs2230’=__________________;

2．18cos22_________________;

【教案】5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学设计-人教版(2019)必修一

单元教学设计：5．5．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、内容和内容解析

1．内容

两角和与差的正弦、余弦和正切公式．

2．内容解析

本节的主要内容是两角差的余弦公式；两角和与差的正弦、余弦、正切公式．中心内容是建立相关的六个公式，通过探索、证明和初步应用，体会和认识公式的特征及功能．

引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和与差的三角函数的六个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的三角恒等变换打下基础．本节的学习有着极其重要的地位．发展学生数学直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养．

基于以上分析，本单元的教学重点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的推导过程及运用．

二、目标和目标解析

1．目标

（1）掌握由两角和与差正弦、余弦、正切公式的推导过程；

（2）会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等；

（3）熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变化的常用方法．

2．目标解析

达成上述目标的标志是：

（1）两角差的余弦公式是两角和与差的正弦、余弦和正切公式的基础，后面的公式都是通过它推导出来的，由此看来两角差的余弦公式是重中之重，需要熟练掌握．

（2）通过类比两角差的余弦公式，推导出两角和的正弦、余弦、正切公式及两角差的正弦、余弦、正切公式的过程，培养学生学习数学的兴趣，提升学生的逻辑推理素养．

（3）通过探索公式之间的关系和具体数值的计算，培养学生的计算能力和探索科学知识的欲望，提升数学运算和逻辑推理素养．

三、教学问题诊断分析

对学生而言，前面已经学习了三角函数的概念、诱导公式、三角函数的图象与性质等，对三角函数已经有了初步的认识．前面的内容中学习的是一个角的问题，现在继续学习的是关于两个角的和与差的三角函数的形式，有了前面的基础，学生学习起来还是比较感兴趣的．

练习学生已经学习的三角函数知识探索有关三角函数的问题是很自然，鉴于学生独立运用角的终边与单位圆交点的坐标还有一定的困难，需要引导学生感受教材的探索过程．内容处理上，教材上给出了单位圆以及角的终边与其交点，让学生通过观察图形获得交点坐标的直观认识，这样处理体现了直观想象数学核心素养．