3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 教案
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
一、教学目标
1.知识与技能：了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力。
2.过程与方法：通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力。
3.情感、态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质。
二、教学重点难点
重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；
难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明。
三、学情分析
鉴于学生的基础一般，前面刚刚学习了两角差的余弦公式，学生对于该公式的简单应用，尚能掌握。在教学的过程中，对比公式的内在联系，学生可能会在角的正弦与余弦能否建立联系上产生困难，教师应当在教学过程中有意识地对学生的思维进行引导；利用联系的观点和对比理解的办法让学生熟悉公式并逐步做到可以简单的应用。
四、教学方法
1.自主性学习法：通过自学掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的过程。
3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。
五、设计思路
本节课利用两角差的余弦公式推导出其它公式，并且运用两角和与差的三角函数公式解决一些相关的问题，运用公式的关键在于构造角的和差。要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式。
在解题过程中注意角的象限，也就是符号问题，学会灵活运用。在构造过程中，要尽量使其中的角为特殊角或已知角，这样才能尽可能的利用已知条件进行化简或求值。灵活运用公式的关键在于观察分析待化简、要求值的三角函数式的结构特征，联想具有类似特征的相关公式。然后经过适当变形、拼凑，再正用或逆用公式解题。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）
学习目标：⒈掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导过程．
⒉能灵活应用公式进行简单三角函数式的化简．
教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式．
教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用．
教学方法：讨论式．
教具准备：多媒体投影．
教学过程：
（Ⅰ）复习引入：
师：上节课，我们利用向量方法得到了差角的余弦公式．请默写公式．
生：cos()coscossinsin．
师：有了这个公式以后，我们就可以以此为基础，利用同角三角函数的基本关系和诱导公式得出其它一些公式．
这是我们本节课的任务．
（Ⅱ）讲授新课：
师：请由差角的余弦公式推导出和角的余弦公式，即用任意角、的正弦、余弦值表示角的余弦值．
生：cos()cos[()]
coscos()sinsin()
coscossinsin．
师：这样我们就得到了和角的余弦公式，简记作()C．
cos()coscossinsin．
要注意它与差角的余弦公式之间的差别．
师：我们知道，利用诱导公式可以实现正弦、余弦的互化．请用诱导公式与和（差）角的余弦公式推导和（差）角的正弦公式．
生：sin(α＋β)＝cos[2－(α＋β)]＝cos[(2－α)－β]
＝cos(2－α)cosβ＋sin(2－α)sinβ
＝sinαcosβ＋cosαsinβ．
∴ sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ．
sin[α＋(－β)]＝sinαcos(－β)＋cosαsin(－β)
＝sinαcosβ－cosαsinβ，
即： sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ．
师：这两个公式称为两角和（差）的正弦公式，分别简记作()S、()S
sin()sincoscossin，sin()sincoscossin．
《两角和与差的正弦余弦和正切公式》教学设计范文
《两角和与差的正弦余弦和正切公式》教学设计范文
三角函数式的化简
化简要求：
1）能求出值应求值?
2）使三角函数种类最少
3）项数尽量少
4）尽量使分母中不含三角函数
5）尽量不带有根号
常用化简方法：
线切互化，异名化同名，异角化同角，角的变换，通分，逆用三角公式，正用三角公式。
例1、
三角函数式给值求值：
给值求值是三角函数式求值的重点题型，解决给值求值问题关键：找已知式与所求式之间的角、运算以及函数的差异，角的变换是常用技巧，
给值求值问题往往带有隐含条件，即角的范围，解答时要特别注意对隐含条件的讨论。
例2、
三角函数给值求角
此类问题是三角函数式求值中的难点，一是确定角的范围，二是
两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一) 2
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
课时目标 1.在两角差的余弦公式的基础上，会推导两角和与差的正弦、余弦公式.2.灵活运用两角和与差的正、余弦公式进行求值、化简、证明．
1．两角和与差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝__________________.
C(α＋β)：cos(α＋β)＝__________________.
2．两角和与差的正弦公式
S(α＋β)：sin(α＋β)＝__________________________.
S(α－β)：sin(α－β)＝____________________________.
3．两角互余或互补
(1)若α＋β＝________，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：π4－α与__________互余，π6＋α与________互余．
(2)若α＋β＝________，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．例如：π4＋α与______________互补，____________与23π－α互补．
一、选择题
1．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于(
)
A.12B.33C.22D.32
2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( )
A．－32
B．－12
C.12
D.32
3．若锐角α、β满足cos α＝45，cos(α＋β)＝35，则sin β的值是( )
A.1725 B.35 C.725 D.15
4．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为(
)
A．－1 B．0 C．1 D．±1
5．若函数f(x)＝(1＋3tan x)cos x,0≤x
两角和与差的正余弦公式(当堂训练)
当 堂 检 测
梯度一：基础训练
1、利用两角和（差）的正（余）弦公式求下列各式的值：
（1） )127(sin （2）42sin72sin42cos72cos
（3）
梯度二、变式训练
2、利用两角和（差）的正（余）弦公式化简下列各式：
（1） 110sin20cos70cos380sin （2）xxsin23cos21
梯度三：综合训练
3、已知53sincos)cos(sin，为第二象限角，
求：)4(sin
78cos18sin78sin18cos
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)
归纳与技巧：两角和与差的正弦、余弦和正切公式
基础知识归纳
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；
(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；
(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；
(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；
(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；
(6)T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)T2α：tan 2α＝2tan α1－tan2α.
3．常用的公式变形
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
(2)cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝2sinα±π4.
基础题必做
1． 若tan α＝3，则sin 2αcos2α的值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选D sin 2αcos2α＝2sin αcos αcos2α＝2tan α＝2×3＝6.
2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) A．－22 B.22
C.32 D．1
解析：选B 原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22.
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
备课人 授课时间
课题 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）
课标要求 两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用
教
学
目
标 知识目标 两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用
技能目标 体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.
情感态度价值观 使学生体验科学探索的过程
重点 两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用
难点 两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.
教
学
过
程
及
方
法 问题与情境及教师活动 学生活动
（一）复习式导入：（1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式：coscoscossinsin． （2）cos？
（3）cossin？（二）新课讲授问题：由两角差的余弦公式，怎样得到两角差的正弦公式呢？探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.sincoscoscoscossinsin2222 sincoscossin．
sinsinsincoscossinsincoscos探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）
sinsincoscossintancoscoscossinsin．
探究3、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan、tan的形式呢？
学生完成
1 河北武中·宏达教育集团教师课时教案
教
学
过
程
及
方
法 问题与情境及教师活动 学生活动
（分式分子、分母同时除以coscos，得到tantantan1tantan．
注意：,,()222kkkkz
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(高三一轮提升练习)
一、选择题
1．(2012·成都联考)已知锐角α满足cos 2α＝cos π4－α，则sin 2α等于( )
A.12 B．－12
C.22 D．－22
2．(cos 15°－cos 75°)(sin 75°＋sin 15°)＝( )
A.12 B.22
C.32 D．1
3．在△ABC中，若cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，则sin B的值是( )
A.12 B.22
C.32 D．1
4．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于( )
A.5π12 B.π3
C.π4 D.π6
5．已知f(α)＝1＋cos 2α1tanα2－tanα2，α∈0，π2，则f(α)取得最大值时α的值是( )
A.π6 B.π4
C.π3 D.25π
二、填空题
6．(2011·江苏高考)已知tan x＋π4＝2，则tan xtan 2x的值为__________．
7．(2012·嘉兴模拟)已知cos α＋π4＝13，α∈0，π2，则cos α＝________.
三、解答题 8．已知α为锐角，且sin2α－sin αcos α－2cos2α＝0.
(1)求tan α的值；
(2)求sin α－π3的值．
9．(2012·衡阳模拟)函数f(x)＝cos －x2＋sin π－x2，x∈R.
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式：sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ，cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ，tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)。
1、两角和（差）公式包括两角和差的正弦公式、两角和差的余弦公式、两角和差的正切公式。两角和与差的公式是三角函数恒等变形的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的。正弦公式是描述正弦定理的相关公式，而正弦定理是三角学中的一个基本定理，它指出：在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。几何意义上，正弦公式即为正弦定理。
2、先利用单位圆（向量）推到两角和与差的余弦公式，再利用诱导公式推导正弦公式，最后利用同角三角函数的基本关系推到正切公式。 3、正弦和差公式始终是sin与cos相乘; 余弦和差公式始终是cos与cos相乘，sin与sin相乘，两角和与差的正弦公式：正=正余余正符号同两角和与差的余弦公式：余=余余正正符号异。
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1 授课课题：3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
◆ 课前小测
1、已知3cos,05aa，求cosa的值.
2、已知tan,tana是方程22370xx的两个实数根，求tana的值.
3、化简：
（1）3sincos22xx （2）sin347cos148sin77cos58
（3）sincoscossinaa
2 教 学 内 容
考纲要求
1． 重点：
① 两角和与差的余弦公式
② 两角和与差的正弦公式
③ 两角和与差的正切公式
④ 二倍角的正弦、余弦、正切公式
2、难点：用两角和与差的正弦和余弦公式进行化简及恒等式证明；
知识点回顾
知识点一：两角和与差的余弦公式
1、两角和的余弦公式：C(α－β)：.__________________)cos(
2、两角差的余弦公式：C(α＋β)：._____________cosa
注意：一般情况下，coscoscos（），并且coscoscos（）
公式的逆用：如coscossinsincoscos（）（）
拆角变换：coscoscoscossinsin（）（）
例1、计算cos（-15o）的值为（ ）.
A.226 B.426 C.226 D.426
练1、cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°=( )
A．－12 B.12 C．0 D．1
练2、化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α得( )
3 A．cos α B．cos β