3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(学案)
1
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
班级 姓名 学号
一、学习目标：
1. 能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的
内在联系。
2.能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。
学习重难点：
1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；
2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.
二、学习过程
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角差的余弦公式：
cos()
=
利用()推导cos()
cos()
=
动手完成两角和与差正弦和正切公式.
sin()cos[()]2
=
sin()
=
观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.
tan()= tan()
=
注意：,,()222kkkkz
（二）例题讲解
例1、已知3sin,5是第四象限角，求sin,cos,tan444的值.
变式训练1：
（1） 已知35sin,cos513，且为第一象限角，为第二象限角。求sin()和
sin()
的值。
2
（2）已知443cos(),cos(),2552，,2求cos2的值。
例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）sin72cos42cos72sin42；（2）cos20cos70sin20sin70；（3）1tan151tan15．
变式训练2：
（1）cos44sin14sin44cos14;（2）sin(54)cos(36)cos(54)sin(36);xxxx
（3）sin3cos;1212 （4） 2cos6sinxx； （5）cos10(tan103).sin50 （6）3tan15;13tan15
变式训练3：
求值：（1）tan20tan403tan20tan40 （2）3tan50tan20tan50tan203
例3、（1）已知21tan(),tan(),554求tan()5的值；
（2）已知11tan(),tan,,(0,)27，求角2的值。
（三）反思总结
3
(四)当堂检测
1 sin7cos37sin83sin37、的值为_______
2
1tan752 tan75
、的值为______
3 sin2sin3cos2cos3, ______xxxxx、若则的值是
.________3sin,2,23,51cos 4则若、
._________15tan3115tan3 5、
._________sinsincoscos 6、
7. 已知21tan,tan,544求tan4的值．
8. 若.)tan(,21coscos,21sinsin,则均为锐角，且
9、函数xy2cos)1(2cosx的最小正周期是___________________.
10、为第二象限角，）的值。求为第一象限角，2tan(.135cos,53sin
412
11.sin(),cos(),2521322tan.2已知且为第二象限角，为第三象限角，
求
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
二次备课3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二） 【学习目标】1、知识与技能目标理解两角和与差的余弦、正弦和正切公式，体会三角恒等变换特点的过程；2、过程与方法目标掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及ααcos sin b a +类型的变换3、情感态度与价值观目标：使学生体会到一般与特殊，换元等数学思想在三角恒恒等变化中的作用【学习重点】两角和、差正弦和正切公式的运用；【学习难点】两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.【学习过程】一、复习引入：（1）基本公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (-=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ （2）练习：教材P132面第6题。
思考：怎样求ααcos sin b a +类型？二、讲解新课：例1、化简2cos 6sin x x - 解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？()()132cos 6sin 22cos sin 22sin30cos cos30sin 22sin 3022x x x x x x x ⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭思考：22是怎么得到的？()()222226=+，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于12和32的. 归纳：ba b a b a =++=+ϕϕαααtan )sin(cos sin 22 例2、已知：函数R x x x x f ∈-=,cos 32sin 2)(（1） 求)(x f 的最值。
（2）求)(x f 的周期、单调性。
二次备课 例3．已知A 、B 、C 为△ABC 的三內角，向量)3,1(-=m ，)sin ,(cos A A n = ，且1=∙n m ，（1） 求角A 。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)(正式)
简记为T( )
称为两角差的正切公式.
展：教师引导学生，学生回答问题
两角和与差的正切公式
tanα+ tanβ tan(α+β)= 1 - tanαtanβ
tanα- tanβ tan(α-β)= 1+ tanαtanβ
注意：1必须在定义域范围内使用上述公式。
即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存 在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱 tan( ) 不 导公式来解。如:已知tan =2,求 2 能用 T
展：教师引导学生，学生回答问题，也可以学生板书 公式的活用
2 1 例3. 已知 tan , tan( ) , 5 4 4 求 tan( ). 4
解： tan( ) tan(( ) ( )) 4 4 tan( ) tan( ) 3 4 . 22 1 tan( ) tan( ) 4
(2) ， tan = 1. 4 1 tan tan tan 1 tan 1 tan tan tan tan .
注意题目当中“1” 的变换技巧
3.1.2
两角和与差的正弦
、余弦、正切公式（二）
学习目标 1.掌握两角和与差的正切公式；(重点） 2.能够利用公式进行简单的三角函数式
的求值、化简和证明. (重、难点）
导
复习旧课
两角差余弦公式：
(C( ) )
cos( ) cos cos sin sin
两角和余弦公式：
(C( ) )
cos( ) cos cos sin sin
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.12 两角和与差的正弦、余弦、正切公式知识点一 两角和的余弦公式解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子．分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．1．sin7°cos37°－sin83°sin37° 2.sin50°－sin20°cos30°cos20°3、sin14°cos16°＋sin76°cos74°4、sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8°5、已知角α的终边经过点(－3,4)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为6．求函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域．类型二 给值求值1、已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)．2、已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，求sin x 的值。
3．已知锐角α，β满足sin α＝255，cos β＝1010，求α＋β。
类型三 辅助角公式对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx=bcosx =++++a b x a a bx b a b222222(sin cos )··。
上式中的a a b22+与b a b22+的平方和为1，故可记a a b22+=cos θ，b a b22+=sin θ，则。
)x sin(b a )sin x cos cos x (sin b a y 2222θ++=θ+θ+=1、求值（1）cos π12＋3sin π12 （2）sin π12－3cos π12（3）2cos π12＋6sin π12 （4）当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ≤2π)取得最大值时，求x.2、求周期求函数y x x x =+-+24432cos()cos()sin ππ的最小正周期。
3.1.2两角和与差的正余弦公式
亲 们 ， 要 加 油 哦 ！
一.创设情境，导入新课
如图所示，轮船甲、乙分别位于灯塔B的正西A处和正北C处， 测得A、C相距50海里，A、B相距40海里，乙船继续行驶到 达D处。这时测得∠DAC=30°，求这时两船间的距离。
解：由题意知，AB=40，AC=50，
D
北
AB AD cos(30 )
推导过程：
cos （ ） cos - -
cos[ ( )] cos cos( ) sin sin( )
cos （ ） cos cos - sin sin
二、群策群力，合作探究
sin( ) ?
sin( ) ?
SC CS, 符号同
例1： 如图所示，轮船甲、乙分别位于灯塔B的正西A处和正北C处， 测得A、C相距50海里，A、B相距40海里，乙船继续行驶到 达D处。这时测得∠DAC=30°，求这时两船间的距离。
解：由题意知，AB=40，AC=50，
三、典例分析，巩固所学
cos(30 ) cos30 cos sin 30 sin
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
知识梳理，总结归纳
双 基 回 眸
当堂检测，活学活用 典例分析，巩固所学 群策群力，合作探究 创设情境，导入新课
展 望 未 来
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
评分规则： 1、口答正确得2分，不正确酌情得分。 2、展示正确得3分，不正确酌情得分。 3、纠正别组的错误的，双倍得分。 得分最高者为优胜小组。
cos （ - ） cos sin （ - ） sin 2 2
sin （ ） sin - - sin cos （- ） - cos sin （- ） sin cos cos sin
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
一、 设疑自探
利用两角差的余弦公式推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式
二、 解疑合探
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：
பைடு நூலகம்
cos cos cos sin sin ； cos cos cos sin sin ．
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
数学组 教 学 目 标 1.知识目标 2.能力目标 3.德育目标 时间 课型：新授课
理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法
体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用 增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神
重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用 难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用 教学流程： （包括：1、设疑自探；2、解疑合探；3、质疑再探；4、运用拓展。 ）
这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解 决今天的问题有帮助吗？ 让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.
sin cos cos cos cos sin sin 2 2 2 2
tan tan ． 1 tan tan
注意：
2
k ,
2
k ,
2
k (k z )
以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？
tan tan
五、 小结
312两角和与差的正弦、余弦、正切公式(教、学案).docx
3. 1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、 教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣, 理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变 换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。
二、 教学目标1. 掌握两角和与差公式的推导过程；2•培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力； 3.发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。
三、 教学重点难点重点：两角和与差公式的应用和旋转变换公式；难点：两角和与差公式变aSina-kbCosa 为一个角的三角函数的形式。
四、 学情分析 五、 教学方法1. 温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点2. 学案导学：见后面的学案。
3. 新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑一情境导入、展示目标一合作探究、精 讲点拨一反思总结、当堂检测一发导学案、布置预习六、 课前准备 多媒体课件 七、 课时安排：1课时 八、 教学过程（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：cos （a + 0） = COSGCOS 0-sinosin 0 ； cos （a-0） = cosacos/? + sinasin 0 .这是两角和与差的余弦公式，下而大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决 今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.=sin a cos + cos sin 0 ・sin (a - /?) = sin [a+{-/3)] = sin acos (-^) + cos a sin (-/?) = sin acos p - cos a sin 0让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学牛动手）sin (G + 0) = cos号-(。
3.1《两角和(差)的正弦、余弦、正切公式》教学设计
3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式（名师：余枝）一、教学目标：（一）核心素养本节课是三角恒等变形的基础，是正弦线、余弦线、诱导公式的延伸，通过本节课的学习，了解两角和与差的正弦、余弦和正切公式的重要性，通过公式的推导，培养学生探索精神，进一步提高学生的推理能力和运算能力，使学生体会一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用.（二）教学目标1.两角和的余弦公式的推导及应用；2.两角和与差的正弦公式的推导及应用；3.两角和与差的正切公式的推导及应用；4.运用公式进行化简、求值、证明.（三）学习重点1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导；2．熟练掌握公式的应用.（四）学习难点公式的推导及综合运用，合理选取公式，熟练掌握公式的逆用.二、教学过程（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第128页至第131页．（2）想一想：利用两角差的余弦公式如何推导两角和的余弦公式？如何熟记和角公式与差角公式？2．预习自测（1）sin(3045)________+=.．解析：【知识点】两角和的正弦公式的应用【数学思想】逻辑推理【解题过程】12sin(3045)sin 30cos 45cos30sin 452+=+=⨯=点拨：熟记公式（2）cos55cos5sin 55sin 5________-=. 答案：12． 解析：【知识点】两角差的余弦公式 【数学思想】逻辑推理【解题过程】1cos55cos5sin 55sin 5cos(555)cos 602-=+== 点拨：熟记公式（3）若tan()24a π-=，则tan _______a =.答案：3-．解析：【知识点】两角差的正切公式的应用 【数学思想】逻辑推理【解题过程】tan tantan 14tan()241tan 11tan tan 4παπααπαα---===+⨯+，所以tan 3α=- 点拨：注意公式的逆用（4）已知3sin 5α=-a 是第四象限角，求sin(),cos(),tan()444πππααα-+-的值.；7- 解析：【知识点】两角和与差的弦、切公式的应用 【数学思想】逻辑推理【解题过程】因为3sin 5α=- a 是第四象限角，所以43cos ,tan 54αα==-，利用公式可得：sin()4πα-=cos()4πα+=tan()74πα-=-点拨：熟记公式.(二)课堂设计 1．知识回顾（1）两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-的推导； （2）公式()C αβ-的应用. 2．问题探究探究一 从公式()C αβ-出发，如何探求两角和的余弦公式()C αβ+？ ●活动 从公式()C αβ-出发，引导学生推导余弦公式()C αβ+我们已经知道两角差的余弦公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-，其中αβ、是任意角.大胆猜想两角和的余弦公式呢？从角αβ+与αβ-的关系进行联想，我们容易知道()+=αβαβ--，再根据诱导公式，所以[]cos()cos ()cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=- 于是我们得到了两角和的余弦公式，简记作()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-【设计意图】引导学生发现和探究新知，培养学生探索知识的能力． 探究二 如何用αβ、的正、余弦来表示()sin αβ± ●活动① 回顾两角和与差的余弦公式和诱导公式()C αβ-：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-sin()cos ,cos()sin 22ππαααα-=-=【设计意图】引导学生思维上的转变.●活动② 利用两角和与差的余弦公式推导两角和与差的正弦公式sin()cos ()cos ()cos()cos sin()sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤+=-+=--=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦得到两角和与差的正弦公式，简记作()S αβ+；()S αβ-.()S αβ+：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ()S αβ-：βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-【设计意图】让学生掌握公式的推导过程. 探究三 探究如何推导两角和与差的正切公式 ●活动① 怎样用αβ、的正切表示()tan αβ±()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-当cos cos 0αβ≠时，分子和分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 我们得到两角和与差的正切公式，简记作()T αβ+；()T αβ-.()T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-()T αβ-：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+注意：)(2,2,2z ∈+≠+≠+≠+k k k a k ππβππππβα【设计意图】引导学生探究：化切为弦，化未知为已知，再化弦为切，利用单角的正切来表示和差的正切.●活动② 理解6个和、差角公式的内在联系【设计意图】借助对公式的更深入的理解，是学生能更加灵活运用公式.●活动③ 巩固基础，检查反馈例1 ①已知3cos ,(,)52πθθπ=-∈，求sin()3πθ+的值②已知12sin ,13θθ=-是第三象限角，求cos()6πθ+的值【知识点】和角公式的正确使用 【数学思想】逻辑推理【解题过程】①4sin 25πθπθ∈∴==（，）413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=②θ是第三象限角，5cos 13θ∴==-5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=【思路点拨】熟记公式 【答案】①sin()3πθ+=；②cos()6πθ+= 同类训练 已知tan 3α=，求tan()4πα+的值.【知识点】两角和的正切公式的应用 【数学思想】逻辑推理【解题过程】tan tan314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯- 点拨：熟记公式答案：tan()24πα+=-例2 求下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos 72sin 42- （2）cos 20cos 70sin 20sin 70-（3）1tan151tan15+-【知识点】公式的逆用 【数学思想】归纳推理【解题过程】（1）sin 72cos 42cos 72sin 42-=1sin(7242)sin 302-== （2）cos 20cos 70sin 20sin 70-=cos(2070)cos900+==（3）1tan151tan15+-=tan 45tan15tan(4515)tan 6031tan 45tan15+=+==-【思路点拨】正确认识公式的正用和逆用 【答案】12，0 同类训练 计算：（1）sin 7cos37sin 83sin 37︒︒-︒︒（2）21tan 75tan 75 -︒︒答案：12-；-解析：【知识点】和、差角公式 【数学思想】归纳推理 【解题过程】（1）sin 7cos37sin 83sin 37︒︒-︒︒=1sin 7cos37cos 7sin 37sin(737)sin(30)2︒︒-︒︒=︒-︒=-=-（2）tan 75tan(4530)2=+==原式=-点拨：利用公式可求特殊角的三角函数值 例3 化简：（1）1cos 2x x（2cos x x +【知识点】和、差角公式的逆用 【数学思想】转化思想【解题过程】1cos cos cos sin sin cos()2333x x x x x πππ-=-=+1cos cos )2(cos sin sin cos )2sin()2666x x x x x x x πππ+=+=+=+ 点拨：从题目所给是结构可以看出，它们呈现和（差）角公式的部分形态，所以可以考虑对公式进行变形使用，事实上，此处只需要进行逆用公式即可.答案：cos()3x π+；2sin()6x π+同类训练 化简（1cos )x x -（2x x -【知识点】公式的逆用 【数学思想】转化思想cos )2sin()4x x x π-=-)3x x x π-=+点拨：对和（差）角公式进行正确地逆用.事实上，对公式正确逆用，这是学好任何一个数学公式的必经之路.答案：2sin()4x π-；)3x π+●活动5 强化提升、灵活应用 例4 已知3123,cos(),sin()24135πβαπαβαβ<<<-=+=-，求cos 2α的值 答案：3365-解析：【知识点】使用和差角公式时，利用角的关系化异角为同角 【数学思想】化归思想【解题过程】33,2442ππβαππβ<<<∴-<-<- 30,42ππαβπαβ∴<-<<+<5sin()134cos()5αβαβ∴-==+= 33cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()65ααβαβαβαβαβαβ∴=-++=-+--+=-点拨：常见角的变换：2()()ααβαβ=++- ()ααββ=+-2(),2()αβαβααβαβα+=++-=-+()(),()()222222αββααββααβαβ+-=---=+-+同类训练 已知αβ、是锐角，且11sin )14ααβ=+=-，求sin β解析：【知识点】合理使用和差角公式 【数学思想】转化思想【解题过程】α是锐角，且sin α=1cos 7α∴== 又11cos(),014αβαβπ+=-<+<，sin()αβ∴+==sin sin()sin()cos cos()sin βαβααβααβα∴=+-=+-+=点拨：善于抓住角的关系进行角的转化 3.课堂总结 知识梳理两角和与差的正弦、余弦、正切公式及推导()C αβ-：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-()S αβ+：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ()S αβ-：βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- ()T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-()T αβ-：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+重难点归纳（1）利用和差角公式求一些特殊角的三角函数值； （2）利用角的变换求值；（3）能解决形如：sin cos y a x b x =+的函数问题；（4）利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角恒等变换 （三）课后作业 基础型 自主突破1．sin(17)cos(28)sin(28)cos(17)x x x x +-+-+的值是（ ）A ．12 B ．12-C ．D ．答案：D解析：【知识点】公式的简单应用【解题过程】原式=2sin(1728)sin 45x x ++-== 点拨：熟记公式2．已知123cos ,(,2)132πααπ=∈，则cos()4πα+等于（ ）ABCD ．答案：B解析：【知识点】公式的正用【解题过程】5sin 13α==-，cos()cos cos sin sin 444πππααα+=-=点拨：计算角的三角函数值时需注意角的范围3．在△ABC 中，sin sin cos cos A B A B <，则△ABC 是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰三角形 答案：B解析：【知识点】公式的灵活运用 【数学思想】逻辑推理【解题过程】cos cos sin sin 0A B A B -> cos()0A B ∴+>cos()0C π∴->，即cos 0,cos 0C C -><，2C ππ∴<<点拨：利用三角形内角和定理进行角的转换 4．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的（ ）A ．最大值为1，最小值为1-B ．最大值为1，最小值为21- C ．最大值为2，最小值为2-D ．最大值为2，最小值为1-【知识点】公式的逆用【数学思想】归纳推理【解题过程】1()2(sin )2sin()23f x x x x π==+，[,]22x ππ∈-，则5[,]366x πππ+∈- ()f x ∴最大值为2，最小值为1-点拨：先转化成sin()y x ωϕ=+的形式答案：D5．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值（ ） A ．21 B ．22 C ．22- D ．22±【知识点】公式的灵活运用【数学思想】转化的思想【解题过程】因为2tan()7,tan tan 3αβαβ+=⋅=所以tan tan tan(),1tan tan αβαβαβ++=-⋅ 7tan tan 3αβ+= 所以1tan 2,tan 3αβ==或1tan ,tan 23αβ==；所以tan()αβ-等于1或1-则cos()αβ-=点拨：利用切化弦解决问题答案：D6．已知tan()2,4πα+=则212sin cos cos ααα+的值为________. 答案：23解析：【知识点】三角函数中“1”的替换【数学思想】转化思想 【解题过程】1tan tan()241tan πααα++==- 1tan 3α∴= 222221sin cos tan 122sin cos cos 2sin cos cos 2tan 13αααααααααα++∴===+++ 点拨：熟悉齐次分式的切化弦能力型 师生共研7．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B =______. 答案：3π解析：【知识点】公式的灵活运用【数学思想】逻辑推理【解题过程】tan tan tan tan()(1tan tan )tan A B C A B AB C ++=+⨯-+ tan (1tan tan )tan tan tan tan tan tan tan tan tan C A B CC A B C C A B C =-⨯-+=-++==2tan tan tan B A C ==tan 60B B ∴=∴=点拨：熟悉公式的变形8．若13cos cos sin sin ,cos(),55αβαβαβ-=-=则tan tan _______αβ=. 答案：12解析：【知识点】利用公式进行和差化积【数学思想】转化思想【解题过程】13cos cos sin sin ,cos cos sin sin ,55αβαβαβαβ-=+= 两式相加得：2cos cos 5αβ=，两式相减得：1sin sin 5αβ=，sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ== 点拨：找到角的关系，进行恒等变换探究型 多维突破9．已知(0,)αβπ∈、且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值 答案：34π- 解析：【知识点】灵活运用公式【数学思想】归纳推理思想【解题过程】()1tan tan 3ααββ=-+=⎡⎤⎣⎦()tan(2)tan 1αβαβα∴-=-+=⎡⎤⎣⎦11tan tan (0,)37αβαβπ=<=->∈、 50,6622ππαβπππαβ∴<<<<∴-<-<-324παβ∴-=- 点拨：求三角函数值时要确定角的范围10．已知向量a =(cos ,sin )αα，b= (cos ,sin )ββ，|a -b |= (1)求cos()αβ-的值(2)若0,022ππαβ<<-<<，且5sin 13β=-，求sin α的值 答案：35；3365 解析：【知识点】灵活运用公式【数学思想】归纳推理思想【解题过程】由|a -b|==，即4322cos(),cos()55αβαβ--=-= 由0,022ππαβ<<-<<，得0αβπ<-<，又35cos(),sin ,513αββ-==- 所以412sin(),cos ,513αββ-==[]33sin sin ()sin()cos cos()sin 65ααββαββαββ=-+=-+-= 点拨：三角恒等变形与向量的紧密联系自助餐1．若sin()cos cos()sin ,m αβααβα---=且β为第三象限角，则cos β的值为（ ）AB．CD．答案：B解析：【知识点】公式的简单应用【数学思想】【解题过程】由题知：sin()sin ,cos mm αβαββ--=∴=-==点拨：正确使用诱导公式2．αβγ、、都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan （ ） A ．3π B ．4πC ．π65 D ．π45 答案：B解析：【知识点】两角和的正切公式【数学思想】整体代换 【解题过程】11tan ,tan 25αβ==7tan()1904αβπαβ∴+=<∴<+<tan()tan 3tan()1,(0,)1tan()tan 4αβγπαβγαβγαβγ++∴++==++∈-+ 4παβγ∴++=点拨：角的合理转化3．若A 、B 是△ABC 的内角，且(1tan )(1tan )2+A B +=，则A B +等于_____. 答案：4π解析：【知识点】两角和与差的正切公式的逆用【数学思想】转化思想【解题过程】由题知1tan tan tan tan 2+A B A B ++=，则tan tan 1tan tan A B A B +=- tan tan tan()11tan tan A B A B A B +∴+==-且A 、B 是 △ABC 的内角，故4A B π+=点拨：求角的大小可以先求这个角的某个三角函数值4．已知cos()sin 6παα-+=则7sin()________6πα+=. 答案：45- 解析：【知识点】和角公式的逆用【数学思想】建模思想【解题过程】13cos()sin sin sin sin 622πααααααα-+=++=+=14cos )sin()sin()266574sin()sin()sin()6665ππααααπππαπαα+=+=∴+=∴+=++=-+=- 点拨：学会处理sin cos y a x b x =+型的函数问题5．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π解析：【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用【数学思想】转化思想【解题过程】原式=sin[(3)]cos[(3)]cos(3)sin(3)242664cos(3)sin(3)cos(3)sin(3)46641sin[(3)(3)]sin()64642x x x x x x x x x x ππππππππππππππ-+⋅-+-++=++-++=+-+=-== 点拨：解题时诱导公式可帮助三角函数名的转化6．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值.答案：2解析：【知识点】求根公式【数学思想】化归思想 【解题过程】设22150(2sin 50)4(sin 50)2sin(5045)x ±---==± 12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====3275tan )2tan(+==- αβ点拨：利用本章的公式进行恒等变形.。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
备课人授课时间课题 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）课标要求两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用教学目标知识目标两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用技能目标体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.情感态度价值观使学生体验科学探索的过程重点两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用难点两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动（一）复习式导入：（1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sinαβαβαβ-=+．（2）()cosαβ+=？（3）cossin=α？（二）新课讲授问题：由两角差的余弦公式，怎样得到两角差的正弦公式呢？探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.()()sin cos cos cos cos sin sin2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sinαβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos αβαβαβαβαβα-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sintancos cos cos sin sinαβαβαβαβαβαβαβ+++==+-．探究3、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tanα、tanβ的形式呢？学生完成。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 教学目标
理解并掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式及其推导过程，并能应用公式解决基本的三角函数式的化简、求值、证明等问题.
教学重、难点
1. 教学重点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的探究及公式之间的内在联系.
2. 教学难点：公式的灵活应用和计算的准确性.
教学过程
一 复习引入
1. 回顾 )(βα-C ：
2. 思考如何由公式)(βα-C 推导两角和与差的的三角函数的其他公式.
二 新课教学
1. 推导两角和的余弦公式，即)(βα+C
2. 推导两角和与差的正弦公式，即)(βα+S 和)(βα-S
3. 推导两角和与差的正切公式，即)(βα+T 和)(βα-T
4. 六个公式之间的联系
例3 已知53sin -=α，α是第四象限角，求)4sin(απ-，)4cos(απ+， )4tan(απ
-的值.
思考：对于任意角α，等式)4sin(απ-=)4cos(απ+都成立吗？若成立，给出证明.
练习：P 131 1题
例4. 利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（5）sin 72cos 42cos72sin 42- ；
（6）cos 20cos70sin 20sin 70- ；
（7）1tan151tan15+-
练习：P 131 5题
小结：
作业：P 132 6、7.P 137 7、13:(5)-(10)。
3.1 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
＝33.
[类题通法] 1．解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整 体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体 变形，否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化 为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解 题时要逆用或变用公式．
三、综合迁移·深化思维 (1)sin(α ＋ β) ＝ sin α ＋ sin β 能 否 成 立？若成立，在什么情况下成立？
提示：不一定成立，当 α＝2kπ或 β ＝2kπ或 α＝β＝kπ，k∈Z 时成立．
(2)两角和与差的正切公式对任意 α，β 均成立吗？
提示：不是的．在两角和的正切公式中，使用条
cos
αα＝54＝34.
5
∴tan β＝tan[α－(α－β)]
＝1＋tatnanαα－·tatna（n（α－α－β）β）
＝1＋34－34×12 12＝121， tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝1－tatnanαα＋·tatna（n（α－α－β）β）
＝1－34＋34×12 12＝2.
[针对训练]
3．已知 cos α ＝45，α ∈(0，π )，tan(α－β)＝12， 求 tan β 及 tan(2α－β)．
解：∵cos α＝45>0，α∈(0，π)，
∴α∈0，π2 ，sin α>0.
∴sin α＝ 1－cos2α＝
1－452＝35，
3
∴tan
α＝sin
(2) 选 择 求 角 的 三 角 函 数 值 的 方 法 ： 若 角 的 取 值 范 围 是 0，π2 ， 则 选 正 弦 函 数 、 余 弦 函 数 均 可 ； 若 角 的 取 值 范 围 是 －π2，π2，则选正弦函数；若角的取值范围是(0，π)，则选余弦 函数．