3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
sin ( ) sin[ ()] sin cos() cos sin() sin cos cos sin .
两角差的正弦公式
sin ( ) sin cos cos sin
简记： S
( )
异名积，符号同.
sin( ) cos ( ) 2
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角
和与差的正弦公式？
sin( ) cos 2 cos ( ) 2 cos( ) cos sin( ) sin 2 2 sin cos cos sin .
2 4 2 3 7 2 ( ) ; 2 5 2 5 10
cos( ) cos cos sin sin 4 4 4 2 4 2 3 = ( ) 2 5 2 5 7 2 = . 10
例2 利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)sin 72°cos 42° cos 72°sin 42° . (2) cos 20°cos 70° sin 20°sin 70° .
解：(1)原式 sin(72o 18o ) sin 90o 1.
3 (2)原式 sin(14 74 ) sin(60 ) . 2 1 (3)原式 cos(34 26 ) cos 60 . 2
3.化简:(1) 2(sin x cos x). (2) 2 cos x 6 sin x.
两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
S( ) 简记：
公式的结构特征:
左边是复角 的正弦,右边是单角 ， 的
正、余弦积与余、正弦积的和.
3.由和角正弦公式，你能得到差角的正弦公式吗？
（ ）
1.公式推导
C( )
C( )
S( )
S( )
2.和差角公式 余弦： 同名积 正弦： 异名积 3.公式应用 符号反 符号同
不知道他自己的人的尊严，他就完全不能 尊重别人的尊严。 ——席勒
逆用公式时注意观察是否只有两个角
1 3 例3 化简：（） 1 cos x sin x 2 2 (2) 3 sin x cos x.
1 3 (2) 3 sin x cos x 解：（1 ） cos x sin x 2 2 3 1 o o 2( sin x cos x) sin 30 cos x cos 30 sin x 2 2 sin(30o x); 2(sin x cos 30 cos x sin 30 )
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）
相传“变脸”是古代人类面对凶猛的野兽时为了 生存，把自己脸部用不同的方式勾画出不同形态，以
吓唬入侵的野兽.川剧把“变脸”搬上舞台，用绝妙
的技巧使它成为一门独特的艺术.
在三角函数中也有这样的表演者. 两角差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin
两角和的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin
简记： C （）
公式的结构特征: 左边是复角 的余弦,右边是单角 , 的余弦积与正弦积的差.
课堂探究 2
两角和与差的正弦公式
1.利用哪些公式可以实现正弦、余弦的互化？
sin cos( ) 2
3 例1 已知 sin , 是第四象限角，求 sin( ), 5 4 cos( )的值. 4
3 解：由sin =- , 是第四象限角，得 5 4 2 2 3 cos 1 sin 1 ( ) , 5 5 于是有sin( ) sin cos cos sin 4 4 4
2
2 2 5 所以cos 1 sin 1 （ ） ； 3 3
3 3 又 cos ， (, ) ， 4 2
2
3 2 7 所以sin 1 cos 1 ( ) . 4 4
所以 cos( ) cos cos sin sin 5 3 2 7 3 52 7 ( ) ( ) ( ) . 3 4 3 4 12
a 2 bபைடு நூலகம் sin( ) .
2 3 1. 已知 sin ， ( , ) ， cos ， 3 2 4 3 ( , )， 求 cos( ) ， sin( ) . 2
2 解：因为 sin ， ( , ) 3 2
解：（1）由公式S( ) 得， sin 72o cos 42o cos 72o sin 42o 1 sin(72 42 ) sin 30 . 2 （2）由公式C ( ) 得，
o o o
cos 20 cos 70 sin 20 sin 70 cos(20 70 ) cos 90 0.
由公式 C(α-β) 出发，你能推出两角和与差的三
角函数的其他公式吗？
1.掌握两角和与差的正弦、余弦公式的推导.
(难点）
2.能够利用公式进行简单的三角函数式的求值、
化简和证明.（重点、难点）
课堂探究 1
两角和的余弦公式的推导
cos( ) ?
( )
cos( ) cos[ ()] cos cos() sin sin() cos cos sin sin .
2 2 解：（1）原式 （ 2 sin x cos x) 2 2 2sin( x ). 4
1 3 (2)原式 2 （ 2 cos x sin x) 2 2 2 2 sin( x). 6
3 4.已知 sin( ) cos cos( )sin ， 5 5 是第三象限角,求 sin( )的值. 4 3 解：由题意知sin[( - )- ]= , 5 3 3 即sin(- )= , 所以 sin ， 5 5 4 因为 为第三象限角,所以cos =- . 5 5 5 5 所以 sin( ) sin cos cos sin 4 4 4 3 2 4 2 7 2 ( ) ( ) ( ) ( ) . 5 2 5 2 10
sin( ) sin cos cos sin 2 3 5 7 (6 35) ( ) ( ) ( ) . 3 4 3 4 12
2.求下列各式的值： (1)sin72 cos18 cos 72 sin18 . (2) cos 74 sin14 sin 74 cos14 . (3) sin 34 sin 26 cos 34 cos 26 .
2sin( x 30 ).
公式的 逆用
【提升总结】
a sin b cos 一般地： a b (sin
2 2
a a 2 b2
cos
b a 2 b2
)
a 2 b2 (sin cos cos sin )
b 其中 tan . a
高中数学学案 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)1.两角和的余弦公式cos(α＋β)＝cos_αcos _β－sin_αsin _β,简记为C (α＋β),使用的条件为α,β为任意角． 2．两角和与差的正弦公式名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正弦 S (α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos _β＋cos_αsin _βα,β∈R两角差 的正弦S (α－β) sin(α－β)＝sin_αcos _β－cos_αsin _βα,β∈R状元随笔 公式的记忆方法 (1)理顺公式间的联系．C (α＋β)――→以－β代βC (α－β)――→诱导公式S (α－β)――→以－β代βS (α＋β) (2)注意公式的结构特征和符号规律．对于公式C (α－β),C (α＋β),可记为“同名相乘,符号反”． 对于公式S (α－β),S (α＋β),可记为“异名相乘,符号同”． 公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β), sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β), cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β), cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)． [小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的．( ) (2)存在α,β∈R ,使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意的α,β∈R ,sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√2．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( ) A ．0 B.12C.32D ．1 解析：sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105° ＝sin 15°cos75°＋cos 15°sin 75° ＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1. 答案：D3．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,若sin α＝35,则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.75B.15 C ．－75 D ．－15解析：易得cos α＝45,则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αco s π4－sin αsi n π4＝15.答案：B4．计算sin 7π12＝________.解析：sin 7π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝sin π3cos π4＋cos π3sin π4＝32×22＋12×22＝6＋24. 答案：6＋24类型一 给角求值例1 求值：(1)cos 105°；(2)cos 31°＋cos 91°sin 29°.【解析】 (1)cos 105°＝cos(60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝12×22－32×22＝2－64. (2)cos 31°＋cos 91°sin 29°＝cos 31°＋cos (60°＋31°)sin 29°＝cos 31°＋cos 60°cos 31°－sin 60°sin 31°sin 29°又因为π2<β<π,所以β＝2π3.对比例题β的范围更改则α＋β的范围更改,再由sin(α＋β)求cos(α＋β)最后利用sinβ＝sin[(α＋β)－α]公式求值．3.1.2[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分) 1．sin 105°的值为( ) A.3＋22 B.2＋12 C.6－24 D.2＋64解析：sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝22×12＋22×32＝2＋64. 答案：D2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝12.答案：D3．若cos α＝－45,α是第三象限的角,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－7210 B.7210C ．－210 D.210解析：因为cos α＝－45,α是第三象限的角,所以sin α＝－35,由两角和的正弦公式可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
4
13
4
5
所以 cos(3＋)＝－12，sin( －)＝－4 .
4
13
4
5
所以sin(α+β)= －cos[ ＋（＋）]＝－cos[(3＋)－( －)]＝
2
4
4
－[cos(3＋)cos( －)＋sin(3＋)sin( －)]＝[(－12) 3＋ 5 (－4)]＝56 .
4
4
4
4
13 5 13 5 65
2α与
cos 2β的值.
【思路导引】由2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),利用两角和与
差的余弦公式求解.
【解题策略】给值求值的方法
(1)直接法:当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”
的和或差的形式.
(2)逆用公式:通过提取一个常数,逆用公式求值,一般地asin α+bcos α=
5
13
所以cos α= 4,sin β= , 12
5
13
所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
＝3 (－ 5 )－4 12＝－63 . 5 13 5 13 65
角度2 逆用公式求值
【典例】求值: 3sin ＋cos .
12 12
【思路导引】提取常数,逆用两角和的正弦公式求解.
答案:-2
类型二 给值求角问题(数学运算)
【典例】已知sin α= 5 ,sin β= 10 ,且α和β均为钝角,求α+β的值.
5
10
四步 内容
理解 题意
条件:(1)sin α= 5 ,sin β= 10 ,
5
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
换元
换为
2
S : sin( ) sin cos cos sin
cos(
)
sin
2
探究：如何由余弦公式推出正弦公式
C : cos( ) cos cos sin sin 换元 Nhomakorabea换为
2
S : sin( ) sin cos cos sin
cos( ) sin
tan sin cos
P144 例3
练习：
P146 练习 1，2，3，4
小结
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
2
你能想出其他方法吗？
探究：如何由余弦公式推出正弦公式
S : sin( ) sin cos cos sin
换元
换为
S : sin( ) sin cos cos sin
探究：正切和差公式
T :
tan( ) tan tan 1 tan tan
T :
tan( ) tan tan 1 tan tan
3
2
4
解：Q sin 2 , ( , 3 ) cos 5
3
2
3
Q cos 3 , IV
4
sin 7
4
cos( ) cos cos sin sin
3 (
5 ) ( 2)(
7 )
43
3
4
2 73 5 12
探究：如何由余弦公式推出正弦公式
C : cos( ) cos cos sin sin
§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
2(sin
6
cos cos
6
sin )
2sin( ) 右边. 6
2013-1-9 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 9
§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
2 3 3 例5.已知 sin , ( , ), cos , ( , ), 3 2 4 2 求 sin( )的值。
12 5 由cos( ) sin( ) 13 13 3 4 由sin( ) cos( ) 5 5 3 12 4 5 56 sin 2 sin[( ) ( )] ( ) ,
6
（2） 75 sin （3） 15 sin
2013-1-9
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
3 例2.已知cos = ， 0， ，求 sin( ). 5 6 2
3 解： cos = ， 0， 5 2
2 5 解： sin = ， ， cos 3 3 2 3 7 3 cos =- ， , sin 4 4 2
sin( ) sin cos cos sin
2
2
cos[ ( )] cos[( ) ] 2 2 cos( ) cos sin( ) sin 2 2
sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
5
2013-1-9
两角和与差的正弦公式
asin 日 + bcosT = J a 1 2+b 2sin ®a= cos —b ■. a 2b 2a 2b 2二，a 2b 2sin v其中 cos 9 =a, Ja 2+b 2sinMa 2+b 2或 asin r bcos 二a 2b 2cos 丁 -:，其中 cos =sin =(2)求证:叱 2cos 「「也；sin ：sin :3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (第1课时)30 **学习目标**1 •能用诱导公式推导两角和与差的正弦公式； 2.进一步熟悉化角技巧，初步掌握合一变换；3 •能对公式正用、逆用、活用，解决化简、求值、证明题的同时初步掌握有关三角函数性 质的题的解法. **要点精讲**1 .两角差的正弦公式： sin 「- - - sin cos '-cos 〉sin ； 2.两角和的余弦公式：sin ： ： = sin ： cos^ cos ：3 .对于a sin v - bcosv 可作如下变换:我们把上述变换称为合一变换，它实质上是两角和与差的正余公式的逆用. **范例分析**例 1.求值：(1) sin 75： ； ( 2) sin x 60〃 2sin x -60〃 -、：3cos 120 -x2b 2例3. (1)化简：、、2cosx -sin x(2)求函数f(x) =sin(x ) - sin x的周期、值域、单调区间。
3例4. (1)在L ABC中，已知2cosBcosC =1 -cosA，2sin BcosC = 1 sin B - C ，试判断此三角形的形状.(2)在ABC 中，如果4sin A 2cosB =1, 4cos A 2sin B =3、3，则.C 等于( )A. 30B. 150C. 30 或150D. 60；或120；**规律总结**1.在例2中，观察角之间的联系：2 - -- - ，2〉「=(二' ■■-■) ^:^.将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，这种代换方法称之为角的变换.2.变角”、变函数名”、变结构”是三角变换的三个主要方向，合一变换是一种结构变换.其中「角可以是特殊角，也可以不是特殊角。
第三章 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)答案
2019-2020学年高一数学必修四校本作业课题：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)班级_______姓名________座号________一、选择题1．下列式子中恒成立的是( )A ．cos(α＋β)cos β＋sin(α－β)sin β＝cos αB ．cos β＝cos α＋β2cos α－β2＋sin α＋β2sin α－β2C ．sin αsin β－cos αcos β＝cos(α＋β)D ．cos α＝cos(α＋β)sin β＋sin(α＋β)cos β解析：cos β＝cos[(α＋β2)－(α－β2)]＝cos α＋β2cos α－β2＋sin α＋β2sin α－β2答案：B2．若2sin(θ＋π3)＝3sin(π3－θ)，则tan θ＝( )A ．－32 B.35 C.233 D ．2 3解析：若2sin(θ＋π3)＝3sin(π3－θ)， 则2sin θcos π3＋2cos θsin π3＝3sin π3cos θ－3cos π3sin θ，化简可得52sin θ＝32cos θ，∴tan θ＝35，故选B.答案：B3．已知在△ABC 中，cos B cos C >sin B sin C ，那么△ABC 是() A ．锐角三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形解析：cos B cos C >sin B sin C则cos B cos C －sin B sin C >0即cos(B ＋C )>0即cos A ＝cos[π－(B ＋C )]＝－cos(B ＋C )<0∴A 为钝角答案：D4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期和最大值分别为( ) A ．π，1B ．π， 2C ．2π，1D ．2π， 2答案 A解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝32sin2x ＋12cos2x ＋12cos2x －32sin2x ＝cos2x. ∴T ＝π，最大值为1.5．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45(α为锐角)，则sin α等于( ) A.33＋410 B.3＋4310 C.3－4310 D.33－410考点 两角和与差的正弦公式题点 利用和与差的正弦公式求值答案 D解析 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3. 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35. 所以sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6＝35×32－45×12＝33－410. 6．在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰非直角三角形解析：由题设知sin[(A －B )＋B ]≥1，∴sin A ≥1，而sin A ≤1，∴sin A ＝1，A ＝π2， ∴△ABC 是直角三角形．答案：C7．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－1B ．1 C. 3 D ．不存在解析：∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝tan(π4－α)，又∵α、β均为锐角，∴β＝π4－α，即α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tan π4＝1，故选B.答案：B8．若0＜α＜π2＜β＜π，且cos β＝－13，sin(α＋β)＝79，则sin α的值是() A.127 B.527C.13D.2327解析：由0＜α＜π2＜β＜π，知π2＜α＋β＜32π，且cos β＝－13，sin(α＋β)＝79，得sin β＝223，cos(α＋β)＝－429.∴sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝13.故选C.答案：C二、填空题9． (1)sin15°＝__________．(2)cos75°＝__________．(3)sin75°＝__________．(4)tan15°＝__________．(5)若cos θ＝－35，θ∈(π2，π)，则sin(θ＋π3)＝________．(6)若tan α＝3，则tan(α＋π4)＝__________．(7) sin47°－sin17°cos30°cos17°＝__________．(8)tan12°＋tan33°1－tan12°tan33°＝__________．解析：(1)sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝6－24. (2)cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝6－24. (3)sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝6＋24. (4)tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝2－ 3. (5)∵cos θ＝－35，θ∈(π2，π)，∴sin θ＝45. 于是sin(θ＋π3)＝sin θcos π3＋cos θsin π3＝4－3310. (6)tan(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝3＋11－3＝－2. (7)原式sin47°－sin17°cos30°cos17°＝sin （30°＋17°）－sin17°cos30°cos17° ＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17° ＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12. (8)原式＝tan(12°＋33°)＝tan45°＝1.答案：(1)6－24 (2)6－24 (3)6＋24(4)2－3 (5)4－3310(6)－2 (7)1 (8)1 10．在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C ＝________ 答案 255解析 sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22(cos B ＋1－cos 2B )＝22×⎝⎛⎭⎫1010＋31010＝255. 11．若cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝________． 解析：由已知得cos[(α＋β)－α]＝cos β＝－45， ∵450°<β<540°，∴sin β＝35， ∴sin(60°－β)＝32·(－45)－12×35＝－3＋4310. 答案：－3＋4310三、解答题12．已知函数f (x )＝A sin(x ＋π4)，x ∈R ，且f (5π12)＝32. (1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈(0，π2)，求f (34π－θ)． 解：(1)依题意有f ⎝⎛⎭⎫5π12＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π4 ＝A sin 2π3＝32A ＝32，所以A ＝ 3. (2)由(1)得f (x )＝3sin(x ＋π4)，x ∈R ， f (θ)＋f (－θ)＝3sin(θ＋π4)＋3sin(－θ＋π4) ＝3(sin θcos π4＋cos θsin π4)＋3[sin(－θ)cos π4＋cos(－θ)sin π4] ＝23cos θsin π4＝6cos θ＝32∴cos θ＝64， ∵θ∈(0，π2)， ∴sin θ＝1－cos 2θ＝1－38＝104∴f ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝3sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＋π4＝3sin θ＝30413．已知α、β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，求α＋β. 下面给出一位同学的解答：解：∵α、β都是锐角，∴cos α＝1－sin 2α＝1－15＝255， cos β＝1－sin 2β＝1－110＝31010. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55×31010＋255×1010＝22. ∴α＋β＝π4. 这种解法有没有错误呢？如果有，错在什么地方呢？正确解法又如何呢？ 解：错误在于α、β都是锐角，0<α＋β<π∴α＋β＝π4或α＋β＝34π， 故α＋β＝π4不一定正确． 由于0<α＋β<π，故选用sin(α＋β)不能区分π4或34π，故应选用cos(α＋β)求值． ∵sin α＝55，sin β＝1010，∴cos α＝255，cos β＝31010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22.∴α＋β＝π4.。
课件7：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
例 2 求下列各式的值：
1＋tan (1)1－tan
75°； 75°
(2)tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°；
(3)tan 70°－tan 10°－ 3tan 70°tan 10°
解：(1)方法 1：原式＝1t－ ant4a5n°4＋5°ttaann7755°°＝
tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3.
A.－ 3
B. 3
C.－
3 3
3 D. 3
【解析】tanta2n02°t0a°n－(－ta5n05°0)－° 1＝ttaann2500°°t－ant5a0n°2＋0°1＝tan130°
＝ 3.故选 B.
3．(2014 年贵州模拟)tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°·tan 40° ＝________.
得csoins((αα＋－ββ))＝scions ααccooss
β＋cos β＋sin
αsin αsin
ββ＝1t＋antαan＋αttaannββ＝1－3 3
＝－23.
规律总结
1．公式 Tα ± β 中 α≠kπ＋π2，β≠kπ＋π2，α±β≠kπ＋π2(k∈Z)． 2．两角和的正切公式 tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ的常用变形： (1)1t－antαan＋αttaannββ＝tan(α＋β)； (2)1－tan αtan β＝tatnanα(＋α＋taβn)β；
(3)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (4)tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)－tan α－tan β.
()
1
1
A.5
课件9：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
类型 1 灵活应用和、差角公式化简三角函数式
例1
(1)
sin
47°－sin 17°cos cos 17°
30°＝(
)
A．－
3 2
B．－12
C．12
D．
3 2
【解析】sin
47°－sin 17°cos cos 17°
30°
＝sin（17°＋30c°o）s －17s°in 17°cos 30°
＝sin
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝45×7102＋35×－102＝
2 2.
又 α∈0，π2，∴α＝π4.
探究点 辅助角公式的应用 探究 1 函数 y＝sin x＋cos x(x∈Z)的最大值为 2 对吗？
为什么？
【提示】 不对．因为 sin x＋cos x
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
学习目标 1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、 余弦公式，并灵活运用．(重点) 2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角 与差的正切公式．(难点) 3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、 易错点)
基础·初探
教材整理 1 两角和与差的余弦公式
【解析】 逆用两角和的余弦公式可得 cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝ cos 90°＝0. 【答案】 0
教材整理 2 两角和与差的正弦公式
1．公式
名称
简记 符号
公式
两角和的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝
_s_i_n_α_c_o_s__β_＋__c_o_s_α_s_i_n_β_
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4
2
2
(2) 3 sin x cos x.
解：（1）1 cos x 3 sin x (2) 3 sin x cos x
2
2
sin 30 cos x cos 30 sin x
2( 3 sin x 1 cos x)
2
2
sin(30 x);
2(sin x cos 30 cos x sin 30 )
解：原式 sin(72 18 ) sin 90 1.
第十三页，共31页。
例1 已知 sin 3 , 是第四象限角，求 sin( ),
5
4
cos( )的值.
4
解：由sin=-
3 5
,
是第四象限角，得
cos 1 sin2 1 ( 3)2 4 , 55
于是有sin( ) sin cos cos sin
第七页，共31页。
探究(tànjiū)二：两角和与差的正弦公式
1.利用哪些公式可以实现正弦(zhèngxián)、余弦的互 化？
提示(tíshìs)i:n cos( ) 2
sin(
)
cos
2
(
)
第八页，共31页。
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角和与 差的正弦(zhèngxián)公式？
(2) 2 cos x 6 sin x.
解：（1）原式 （2 2 sin x 2 cos x)
2
2
2sin(x ).
4
(2)原式 2 （2 1 cos x 3 sin x)
2
2
2 2 sin( x).
6
第二十一页，共31页。
1.(2015·四川高考)下列函数中,最小正周期为π且图象关
3.1.2第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式 课件
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑- 思考内化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
超级记忆法
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
超级记忆法-记忆规律
记忆前
第三章 三角恒等变换
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切 公式
第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式
第三章 三角恒等变换
学习导航
学习目标
结合两角差 的余弦公式
―理―解→
两角和与差的正弦、 余弦推导过程及各 公式之间的联系
―掌―握→
两角和与差的正弦、 余弦公式的应用
重点难点 重点：公式的正用、逆用及变式应用． 难点：灵活运用公式解决相关的求值、化简．
＝12sin x＋ 23cos x＋sin x－ 3cos x＋ 23cos x－32sin x
＝(12＋1－32)sin x＋( 23－
3＋
3 2 )cos
x＝0.
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
(2)原式＝sin[α＋β＋α]s－in 2αcosα＋βsin α
＝sinα＋βcos
α－cosα＋βsin sin α
＝csions 8100°°＝1.
第三章 三角恒等变换
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
小案例—哪个是你