§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
2(sin
6
cos cos
6
sin )
2sin( ) 右边. 6
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§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
2 3 3 例5.已知 sin , ( , ), cos , ( , ), 3 2 4 2 求 sin( )的值。
12 5 由cos( ) sin( ) 13 13 3 4 由sin( ) cos( ) 5 5 3 12 4 5 56 sin 2 sin[( ) ( )] ( ) ,
6
（2） 75 sin （3） 15 sin
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§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
3 例2.已知cos = ， 0， ，求 sin( ). 5 6 2
3 解： cos = ， 0， 5 2
2 5 解： sin = ， ， cos 3 3 2 3 7 3 cos =- ， , sin 4 4 2
sin( ) sin cos cos sin
2
2
cos[ ( )] cos[( ) ] 2 2 cos( ) cos sin( ) sin 2 2
sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
5
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§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
三.范例分析：
例1.不查表求sin105、sin75与sin15 .
解： （1） 105 sin sin （60 45）
= sin 60 cos 45 cos 60 sin 45 3 2 1 2 2 2 2 2 6 2 4 6 2 4 6 2 4
65
11
§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
课堂练习 <<教材>> P.131-132 书面作业 <<教材>> P.137 习题3.1 A组5.7.8 练习1.2.3. 5
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12
例4.求证： 3 sin 2sin( ) cos 6 证明1：右边=2(sin cos cos sin ) 6 6 1 3 =2( cos sin ) 2 2 cos 3 sin 左边
1 3 证明2：左边 2( cos sin ) 2 2
cos( ) cos cos sin sin
简记为:C(α-β)
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2
§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
二.讲解新课： 1.两角和与差的正弦 根据 sin cos( ) 可得 sin( ) cos[ ( )]
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§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
两角和与差的正弦公式 1）两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin 简记为:S(α +β
)
2）两角差的正弦公式
用 代
§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
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§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
一.复习引入： 两角和的余弦公式:
cos( ) cos cos sin sin
简记为:C(α+β) 两角差的余弦公式:
3 3 解： ,0 , 2 4 2 4
5 13 5 13 16 同理得 sin 2 sin[( ) ( )] 。 65
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sin cos cos sin = sin 2 cos2
2 2 2 2
cos2 sin 2 =1- 2 sin cos2
=1- cot 2 tan 2 右边
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§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
(7)sin(36 ) cos(54 ) cos(36 )sin(54 ) ? (8)sin 70 cos 25 sin 20 sin 25 ？
6 2 6 2 (3) , (4) ; 4 4 2 (5)0;(6) sin A;(7)1;(8) 。 2
7
§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
sin( ) sin( ) 例3.求证： 1 cot 2 tan 2 . sin 2 cos 2 (sin cos cos sin )(sin cos cos sin ) 证明：左边= sin 2 cos 2
sin( ) sin cos cos sin 简记为:S (α-β)
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4
§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
公式强化训练：
(1)sin( A B) ?; (2)sin( ) ? (3)sin105 ?; (4) cos15 ? (5)sin 75 cos105 cos 75 sin105 ? (6)sin( A B) cos B cos( A B)sin B ?
2
4 3 sin 1 cos 1 5 5 sin( ) sin cos cos sin 6 6 6 4 3 3 1 4 3 3 . 5 2 5 2 10
2
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2 3 5 7 6 35 (- ) ( )( ) 3 4 3 4 12
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§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
3 12 3 例6.已知 , cos( ) ,sin( ) , 2 4 13 5 求 sin 2 ,sin 2的值。 分析 : 2 ( ) ( )； ( ) ( ) 2
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
换元
换为
2
S : sin( ) sin cos cos sin
cos(
)
sin
2
探究：如何由余弦公式推出正弦公式
C : cos( ) cos cos sin sin 换元 Nhomakorabea换为
2
S : sin( ) sin cos cos sin
cos( ) sin
tan sin cos
P144 例3
练习：
P146 练习 1，2，3，4
小结
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
2
你能想出其他方法吗？
探究：如何由余弦公式推出正弦公式
S : sin( ) sin cos cos sin
换元
换为
S : sin( ) sin cos cos sin
探究：正切和差公式
T :
tan( ) tan tan 1 tan tan
T :
tan( ) tan tan 1 tan tan
3
2
4
解：Q sin 2 , ( , 3 ) cos 5
3
2
3
Q cos 3 , IV
4
sin 7
4
cos( ) cos cos sin sin
3 (
5 ) ( 2)(
7 )
43
3
4
2 73 5 12
探究：如何由余弦公式推出正弦公式
C : cos( ) cos cos sin sin
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
sin ( ) sin[ ()] sin cos() cos sin() sin cos cos sin .
两角差的正弦公式
sin ( ) sin cos cos sin
简记： S
( )
异名积，符号同.
sin( ) cos ( ) 2
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角
和与差的正弦公式？
sin( ) cos 2 cos ( ) 2 cos( ) cos sin( ) sin 2 2 sin cos cos sin .
2 4 2 3 7 2 ( ) ; 2 5 2 5 10
cos( ) cos cos sin sin 4 4 4 2 4 2 3 = ( ) 2 5 2 5 7 2 = . 10
例2 利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)sin 72°cos 42° cos 72°sin 42° . (2) cos 20°cos 70° sin 20°sin 70° .
解：(1)原式 sin(72o 18o ) sin 90o 1.
3 (2)原式 sin(14 74 ) sin(60 ) . 2 1 (3)原式 cos(34 26 ) cos 60 . 2
3.化简:(1) 2(sin x cos x). (2) 2 cos x 6 sin x.
两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
S( ) 简记：
公式的结构特征:
左边是复角 的正弦,右边是单角 ， 的
2022人教版高中数学必修四课后提升作业 二十六 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
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课后提升作业二十六两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2021·全国卷Ⅰ)sin20°cos10°-cos160°sin10°= ( )A.-√32B.√32C.-12D.12【解析】选D.原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12.2.化简cos(x+y)siny-sin(x+y)cosy等于( )A.sin(x+2y)B.-sin(x+2y)C.sinxD.-sinx【解析】选D.cos(x+y)siny-sin(x+y)cosy=sin[y-(x+y)]=-sinx.3.(2022·大连高一检测)sin163°sin223°+sin253°sin313°等于( )A.-12B.12C.-√32D.√32【解析】选B.sin163°sin223°+sin253°sin313°=sin(90°+73°)sin(270°-47°)+sin(180°+73°)sin(360°-47°) =cos73°(-cos47°)-sin73°(-sin47°)=-(cos73°cos47°-sin73°sin 47°)=-cos(73°+47°)=-cos120°=12.4.(2022·杭州高一检测)已知α,β都是锐角,若sinα=√55,sinβ=√1010,则α+β等于( )A.π4B.3π4C.π4和3π4D.-π4和-3π4【解题指南】先求cos(α+β)的值及α+β的范围再确定α+β的值.【解析】选A.由α,β都为锐角,所以cosα=√1−sin2α=2√55,cosβ=√1−sin2β=3√1010.所以cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ=√22,所以α+β=π4.【补偿训练】若cos(α-β)=√55,cos2α=√1010,并且α,β均为锐角且α<β,则α+β的值为( )A.π6B.π4C.3π4D.56π【解析】选C.由于α,β均为锐角,且α<β,所以-π2<α-β<0,所以sin(α-β)=-2√55,又0<2α<π,故sin2α=3√1010,所以cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos2α·cos(α-β)+sin2α·sin(α-β)=√1010×√55+3√1010×(−2√55)=-√22. 由于α+β∈(0,π),所以α+β=34π.5.若函数f(x)=(1+√3tanx)cosx,0≤x<π2,则f(x)的最大值为 ( )A.1B.2C.1+√3D.2+√3 【解题指南】先逆用两角和的正弦公式化简函数式,再求最值. 【解析】选B.f(x)=cosx+√3sinx=2(sin π6cosx +cos π6·sinx)=2sin (x +π6),又0≤x<π2,则π6≤x+π6<2π3.所以当x+π6=π2时,f(x)有最大值2.6.(2022·兰州高一检测)若sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=0,则 sin(α+2β)+sin(α-2β)等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.±1 【解析】选C.由于sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β =sin(α+β-β)=sin α=0, 所以sin(α+2β)+sin(α-2β) =2sin αcos2β=0.7.(2022·浏阳高一检测)已知sin α=13,cos(α+β)=-1,则sin(2α+β)= ( )A.-13B.13C.-23D.23【解析】选A.由于cos(α+β)=-1,则sin(α+β)=0, 所以sin(2α+β)=sin(α+α+β) =sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)=13×(-1)+0=-13.8.在△ABC 中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC 的外形肯定是 ( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形【解析】选C.在△ABC 中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, 所以2cosBsinA=sinAcosB+cosAsinB,即sinAcosB-cosAsinB=0, 即sin(A-B)=0,所以A-B=0,A=B, 从而△ABC 是等腰三角形.【补偿训练】在△ABC 中,若tanC=√3,且sinAcosB=cos(120°-B)sinB,则△ABC 的外形是 ( )A.等腰三角形B.等腰但非直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形 【解析】选D.由于tanC=√3,0°<C<180°, 所以C=60°,所以120°-B=A. 由于sinAcosB=cos(120°-B)sinB,所以sinAcosB=cosAsinB, sinAcosB-cosAsinB=0,sin(A-B)=0, 又-180°<A-B<180°, 所以A-B=0°,所以A=B. 所以△ABC 是等边三角形.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2022·烟台高一检测)已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=35,β是第三象限角,则sin (β+5π4)= .【解析】依题意可将已知条件变形为 sin[(α-β)-α]=-sin β=35,sin β=-35.所以sin (β+5π4)=sin βcos 5π4+cos βsin 5π4=(−35)×(−√22)+(−45)×(−√22)=3√210+4√210=7√210. 答案:7√21010.在△ABC 中,3sinA-4sinB=6,4cosB+3cosA=1,则C 的大小为 . 【解题指南】依据题意,把已知的两等式两边平方后,左右相加,然后利用同角三角函数间的基本关系、两角和的正弦公式及诱导公式化简后即可得到cosC 的值,利用特殊角的三角函数值及角C 的范围即可求出C 的度数. 【解析】由于3sinA-4sinB=6,4cosB+3cosA=1, 两式平方相加,可得9+16+24cos(A+B)=37, 所以cos(A+B)=12.由于A+B+C=π,所以cos(A+B)=-cosC, 则cosC=-12,又由于0°<C<180°,故C=120°.答案:120° 三、解答题11.(10分)已知函数f(x)=Asin (x +π3),x ∈R,且f (5π12)=3√22.(1)求A 的值.(2)若f(θ)-f(-θ)=√3,θ∈(0,π2),求f (π6−θ).【解析】(1)由f (5π12)=Asin (5π12+π3)=Asin 3π4=A √22=3√22,可得A=3.(2)f(θ)-f(-θ)=√3,则3sin (θ+π3)-3sin (π3−θ)=√3, 3(12sinθ+√32cosθ)-3(√32cosθ−12sinθ)=√3,sin θ=√33.由于θ∈(0,π2),所以cos θ=√63,f (π6−θ)=3sin (π6−θ+π3)=3sin (π2−θ)=3cos θ=√6.【补偿训练】已知,0<α<π2<β<π,cos (β−π4)=13,sin(α+β)=45.(1)求sin2β的值. (2)求cos (α+π4)的值.【解析】(1)由于cos (β−π4)=cos π4cos β+sin π4sin β=√22cos β+√22sin β=13,所以cos β+sin β=√23,所以1+sin2β=29,所以sin2β=-79.(2)由于0<α<π2<β<π, 所以π4<β-π4<3π4,π2<α+β<3π2,所以sin (β−π4)>0,cos(α+β)<0. 由于cos (β−π4)=13,sin(α+β)=45, 所以sin (β−π4)=2√23,cos(α+β)=-35,所以cos (α+π4)=cos [α+β−(β−π4)] =cos(α+β)cos (β−π4)+sin(α+β)sin (β−π4)=-35×13+45×2√23=8√2−315.关闭Word文档返回原板块。
人教版高中数学必修四教案：3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教材分析本节内容是数学4第三章三角恒等变换第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式的第二课时，是在学习了差角的余弦公式的基础上，进一步对差角的正弦、正切及和角的正弦、余弦和正切公式的探究.本节的六个公式是本章的重要内容，也是三角恒等变换的基础，对三角函数式的化简，求值、三角恒等式的证明等问题起着重要的支撑作用，同时，它又为后面学习倍角公式作铺垫.本节课的重点是公式的推导及公式的简单应用，难点是公式的记忆和灵活应用.通过公式的推导过程，揭示了公式间的联系，加深对公式的理解和记忆.教学中既要有意识地训练学生思维的有序性和对思维过程表述的准确性、简洁性，又要渗透转化、换元、分类讨论的数学思想，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.课时分配本节内容用1课时的时间完成，首先在两角差的余弦公式的基础上，引导学生自主探究得到两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并掌握公式的结构和变形形式.然后，通过例题运用公式解决简单的数学问题.教学目标重点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的探究过程，公式结构及应用.难点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的记忆和灵活应用.知识点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式.能力点：能以两角差的余弦公式为基础，结合诱导公式与同角三角函数关系式，推导出差角、和角的正弦、余弦和正切公式.教育点：经历公式的探究过程，注重知识间的联系，培养学生的探索精神，提高学生的推理能力和运算能力.自主探究点：以两角差的余弦公式为基础，探究差角、和角的正弦、余弦和正切公式的推导方法. 考试点：灵活使用差角、和角的公式进行三角函数式的化简、求值和恒等变形.易错易混点：使用公式时，学生容易在分析角的范围上出错.拓展点：如何利用差角、和角公式把形如sin cos a x b x +式子化简为形如sin()A x ωϕ+的三角式. 教具准备 多媒体课件课堂模式 学案导学一、 引入新课师：同学们，上节课我们学习了差角的余弦公式，请大家首先回顾一下这个公式的形式是怎样的. 生：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+. ——同名积，符号反师：由于公式()cos αβ-只可以用来解决与差角的余弦相关的三角变换问题，因而在应用中有很大的局限性，遇到差角的正弦、正切及和角的正弦、余弦、正切时，公式()cos αβ-就不能直接应用了，因此，我们有必要将公式()cos αβ-作进一步拓广，希望得到两角和与差的三角系列公式.这节课我们就来探究差角的正弦、正切公式及和角的正弦、余弦、正切公式.【设计意图】从熟悉的差角余弦公式出发，让学生意识到进一步探究差角、和角的正弦、余弦和正切公式的意义，是对旧知的扩展，进而引出本节课题，自然流畅.二、探究新知探究一：探究公式()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-.问题：由公式()C αβ-出发，如何推导公式：()cos ?αβ+=【师生活动】师：引导学生从两个方面展开联想：①函数名称的联系；②角的联系，αβ+与αβ-之间的联系.重点指出，要想利用差角的公式得到和角的公式，如果从形式上能将和角变成差角的形式，那就近了一步.生：自主思考，一般得出：①将αβ+转化为()αβ--；②在公式()cos αβ-中，以β-代β. 师生：利用换元的思想推导出()C αβ+，并进一步理解公式间的联系，共同分析对比()C αβ-与()C αβ+两公式的结构形式.()()cos cos cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 即()C αβ+：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-. ——同名积，符号反【设计意图】让学生参与公式的探究过程，加深理解公式间的联系，有利于公式的记忆，培养学生换元的数学思想.探究二：探究公式()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±.问题：在公式()C αβ-与()C αβ+的基础上，怎样推导()sin ?αβ+=与()sin ?αβ-=【师生活动】师：我们的目标是求两角和与差的正弦公式，而我们已经知道了相应的余弦公式，那么，一个自然的想法是什么？就是利用余弦公式求正弦公式.如何把()sin αβ+改写成余弦？生：自主探究，从原有知识结构中提取正弦与余弦的关系，将公式推导出来.()()sin cos cos ()cos()cos sin()sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤+=-+=--=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+即()S αβ+：()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+. ——异名积，符号同以β-代β得()S αβ-：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-. ——异名积，符号同师生：共同整理推导过程，让学生认识到解决问题的关键是应用诱导公式把正弦化为余弦，体会转化与化归思想方法在解决问题中的重要性，并进一步分析所得公式的结构形式与()C αβ-、()C αβ+的区别.【设计意图】结合旧知，探究新知，既巩固已学知识，又加深理解公式间的联系，同时有利于公式的记忆，培养学生转化与化归的数学思想.探究三：探究公式()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 问题：怎样用,αβ的正切表示()tan αβ+、()tan αβ-呢？【师生活动】师：由两角和与差的正弦、余弦公式如何探究两角和与差的正切公式？以和角为例，请自主探究.生：自主探究.一般能从同角三角函数的关系式出发进行探究，教师可作个别指导.但是，多数学生可能只是将和角的正弦、余弦公式代入展开而不去化简.()()()sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos sin sin αβααβαβααβααβαβαβ++=→+==+- 师：上述公式是用单角的正、余弦表示和角的正切，那么，通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？引导学生观察思考，当cos cos 0αβ≠时，分式的分子、分母同时除以cos cos αβ，得出和角的正切公式()T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-. 师：进一步提出引申思考的问题：在上述公式的推导过程中，角,αβ有什么条件要求吗？除此之外，公式本身还有什么限制吗？生：自主思考，可以得出α、β、αβ+都不等于()2k k Z ππ+∈.师生：指明公式成立的条件，使公式完整.进一步让学生类比思考差角的正切公式的推导，自主得出差角公式，并与和角公式比较，分析结构，帮助记忆.差角的正切公式()T αβ-：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+. 【设计意图】让学生经历探究公式的过程，变老师教为学生学，突出学习的主体地位，有利于理解和掌握新知，训练学生动手动脑相结合的学习习惯.师：依据以上公式的推导过程，请思考差角、和角的6个公式之间有怎样的内在联系？【师生活动】生：自主分析，找出公式间的逻辑关系.师生：在学生自主探究的基础上，师生共同总结公式之间的紧密逻辑关系，并用框图形式表示出来.【设计意图】及时梳理知识，完善知识体系.整体把握公式间的逻辑关系，巩固对公式的理解与掌握，为下一步公式的灵活使用打好基础.三、理解新知公式的结构特点：()cos cos cos sin sin αβαβαβ=±m . ——同名积，符号反()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±. ——异名积，符号同()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 注意：,,()222k k k k Z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈ 【设计意图】准确把握三组公式，为公式的灵活使用打好基础.四、运用新知例1．已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 分析：利用同角的平方关系22sin cos 1αα+=，求cos α，进而求tan α，再代入公式求值即可. 解：由3sin 5α=-，α是第四象限角，得4cos 5α===， 所以 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- . 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭. 在本题中sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭与 cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭两结果一样，那么，对于任意角α，此等式成立吗？我们能否用第一章的知识证明？变式：如果本例中的条件“α是第四象限角”去掉，结果怎样表述呢？【设计意图】训练学生的解题能力，发现不同题目解题过程的区别与联系.变式中对求解过程的表述上会有更高的要求，培养学生分类讨论的思想方法.巩固练习：（1）已知35sin ,cos 513αβ==-，且α为第一象限角，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.求sin()αβ+和sin()αβ-的值.（2）已知,αβ均为锐角，且4cos 5α=，1tan()3αβ-=，求cos β的值. 答案：（1）3365，6365-； （2. 例2．利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos72sin 42-o o o o；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-o o o o ； （3）1tan151tan15+-oo． 分析：本题的关键在于观察分析待化简求值的三角式的结构特征，再联想具有此特征的有关公式，经过适当变形，再顺用或逆用公式解决.解：（1）由公式()S αβ-，得：()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==o o o o o o o ； （2）由公式()C αβ+，得：()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==o o o o o o o ；（3）由公式()T αβ+及tan 451=o，得：()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15++==+==--o o o o o o o o o ． 巩固练习：（1）cos 44sin14sin 44cos14-o o o o；（2）sin(54)cos(36)cos(54)sin(36)x x x x -++-+o o o o ；（3答案：（1）12-. （2）1. （3）1-. 例3．已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，求sin()4πα+的值. 分析：注意到已知角与待求角之间的关系：()()44ππααββ+=+--，从而把待求角转化为已知角的差的形式，再利用差角的正弦公式求解. 解：3,,4παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ， 3(,2)2παβπ∴+∈，3(,)424πππβ-∈. 3sin()5αβ+=-Q ， 4cos()5αβ∴+=. 12sin()413πβ-=Q ， 5cos()413πβ∴-=-. sin()sin[()()]sin()cos()cos()sin()4444ππππααββαββαββ∴+=+--=+-++-3541263()()51351365=-⨯-+⨯=.巩固练习：（1）已知sin α=，sin()αβ-=，,αβ均为锐角，求sin β的值.答案：2. 【设计意图】使学生掌握把待求角转化为已知角的和与差的形式的变化技巧.让学生在精析精练中，突破重点、难点，体会公式的灵活应用，从而巩固新知，提高能力.五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识？主要涉及到哪些数学思想方法？1.知识：①()cos cos cos sin sin αβαβαβ=±m .()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±.()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 其中,,()222k k k k Z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈ 2．思想：转化与化归思想，特殊与一般思想，分类讨论思想.【设计意图】师生共同回忆所学内容，发挥学生学习的主体性，帮助学生记忆公式，梳理知识，培养良好的学习方法.六、布置作业1.阅读教材 P128-131；2.书面作业：必做题：P137 习题3.1 A 组7,8，9，10.选做题：（1）已知3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，512sin 413πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3(,)44ππα∈，(0,)4πβ∈，求()sin αβ+的值.（2）已知sin α=，sin()αβ-=,αβ均为锐角，求αβ+的值.3．课外思考：化简：（1）1cos 2x x ；（2）sin cos x x -；（3x x ； （4）sin cos a x b x +.【设计意图】设计作业1,2，是引导学生先复习，准确掌握6个公式后，再做作业.书面作业的布置，是为了训练学生使用差角、和角公式，解决简单的数学问题，在公式的应用中，加深对公式的理解和掌握.课外思考题的设计是为了引导学生探究如何利用差角、和角公式把形如sin cos a x b x +的式子化简为形如sin()A x ωϕ+的三角式.七、教后反思1.本教案的亮点：从学生熟悉的两角差的余弦公式出发，以旧引新，符合学生的认知规律，加强知识间的联系，结构自然顺畅.例题与习题设计恰当，突出本节课的三个知识点(三组公式)，主要选择基础题目，并安排了适当量的随堂练习，帮助学生总结解题方法和技巧，及时巩固新知.2.本节课公式较多，公式的推导、记忆与应用，都用时较多，各校学生基础不同，建议教师对巩固练习题目灵活掌握，但一定要在公式的推导上留给学生足够的时间.3.本节课的弱项：本节课容量较大，课堂上有限的时间不易照顾到对公式的全面应用，有关公式的灵活、变形使用还有待于在后续课堂上加强.八、板书设计。
两角和与差的正弦公式
asin 日 + bcosT = J a 1 2+b 2sin ®a= cos —b ■. a 2b 2a 2b 2二，a 2b 2sin v其中 cos 9 =a, Ja 2+b 2sinMa 2+b 2或 asin r bcos 二a 2b 2cos 丁 -:，其中 cos =sin =(2)求证:叱 2cos 「「也；sin ：sin :3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (第1课时)30 **学习目标**1 •能用诱导公式推导两角和与差的正弦公式； 2.进一步熟悉化角技巧，初步掌握合一变换；3 •能对公式正用、逆用、活用，解决化简、求值、证明题的同时初步掌握有关三角函数性 质的题的解法. **要点精讲**1 .两角差的正弦公式： sin 「- - - sin cos '-cos 〉sin ； 2.两角和的余弦公式：sin ： ： = sin ： cos^ cos ：3 .对于a sin v - bcosv 可作如下变换:我们把上述变换称为合一变换，它实质上是两角和与差的正余公式的逆用. **范例分析**例 1.求值：(1) sin 75： ； ( 2) sin x 60〃 2sin x -60〃 -、：3cos 120 -x2b 2例3. (1)化简：、、2cosx -sin x(2)求函数f(x) =sin(x ) - sin x的周期、值域、单调区间。
3例4. (1)在L ABC中，已知2cosBcosC =1 -cosA，2sin BcosC = 1 sin B - C ，试判断此三角形的形状.(2)在ABC 中，如果4sin A 2cosB =1, 4cos A 2sin B =3、3，则.C 等于( )A. 30B. 150C. 30 或150D. 60；或120；**规律总结**1.在例2中，观察角之间的联系：2 - -- - ，2〉「=(二' ■■-■) ^:^.将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，这种代换方法称之为角的变换.2.变角”、变函数名”、变结构”是三角变换的三个主要方向，合一变换是一种结构变换.其中「角可以是特殊角，也可以不是特殊角。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一） 学习目标：⒈掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导过程．⒉能灵活应用公式进行简单三角函数式的化简．教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式．教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用．教学方法：讨论式．教具准备：多媒体投影．教学过程：（Ⅰ）复习引入：师：上节课，我们利用向量方法得到了差角的余弦公式．请默写公式． 生：cos()αβ-cos cos sin sin αβαβ=+．师：有了这个公式以后，我们就可以以此为基础，利用同角三角函数的基本关系和诱导公式得出其它一些公式．这是我们本节课的任务．（Ⅱ）讲授新课：师：请由差角的余弦公式推导出和角的余弦公式，即用任意角α、β的正弦、余弦值表示角αβ+的余弦值．生：cos()cos[()]αβαβ+=--cos cos()sin sin()αβαβ=-+-cos cos sin sin αβαβ=-．师：这样我们就得到了和角的余弦公式，简记作．要注意它与差角的余弦公式之间的差别．师：我们知道，利用诱导公式可以实现正弦、余弦的互化．请用诱导公式与和（差）角的余弦公式推导和（差）角的正弦公式．生：sin (α＋β)＝cos [2π－(α＋β)]＝cos [(2π－α)－β] ＝cos (2π－α)cos β＋sin (2π－α)sin β ＝sin αcos β＋cos αsin β．∴ sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β．sin [α＋(－β)]＝sin αcos (－β)＋cos αsin (－β)＝sin αcos β－cos αsin β，即： sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．师：这两个公式称为两角和（差）的正弦公式，分别简记作()S αβ+、()S αβ-师：你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，有上面得到的公式推导出和（差）角的正切公式吗？生：tan()αβ+sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ++==+-． ① 师：上面的结论作为公式应用合适吗？为什么？生：这个结论实际上就是将同角三角函数的基本关系代如，然后再用和角的正弦、差角的余弦公式展开，不适合做公式应用．师：与和（差）角的正弦、余弦公式相比较，我们应该将上面结论中的正弦、余弦函数换成正切函数．请同学们继续进行公式的推导．生：①式右端分子、分母同时除以cos cos αβ，得tan()αβ+tan tan 1tan tan αβαβ+=- ()()T αβ+． 同理 tan()αβ-tan tan 1tan tan αβαβ-=+ ()()T αβ-． 师：公式()S αβ+，()C αβ+，()T αβ+给出了任意角α、β的三角函数值与其和角αβ+的三角函数值之间的关系，我们把这三个公式都叫做和角公式．类似地，()S αβ-，()C αβ-，()T αβ-都叫作差角公式．这六个公式之间具有怎样的逻辑关系？你能用框图的形式表示出这种关系吗？生：（用框图表示六个公式间的逻辑关系，形式不唯一）．例3已知4sin 5α=-，α是第四象限角，求sin()4πα-，cos()4πα+，tan()4πα-的值．分析：解答此题时，应注意角4πα-和4πα+之间的关系．解：略．例4利用和（差）角公式计算下列各式的值：⑴sin 72cos 42cos72sin 42-；⑵cos 20cos70sin 20sin 70-； ⑶1tan151tan15+-． 分析：和（差）角公式把αβ±的三角函数是转化成了α，β的三角函数式．如果反过来，从右到左使用公式，我们就可以将三角函数式化简．解：略．（Ⅲ）课后练习：课本144P 练习 150P 习题3.1 A 组 ⒍（Ⅳ）课时小结:⑴三角变换的基本要求是：思维有序、表述条理．⑵三角变换中角的拆分的多样性，决定了变换的多样性．⑶三角公式的应用也具有多样性，要注意正勇、逆用、变形用． （Ⅴ）课后作业：⒈课本150P 习题3.1 A 组 ⒎⒏⒐⒑⒒⒉预习课本145P ～148P ，思考下列问题：⑴怎样应用和（差）角的三角函数公式推导二倍角的三角函数公式？ ⑵二倍角的余弦公式有哪些形式？⑶你对二倍角公式中的“倍”是怎样理解的？板书设计：教学后记:。
课件7：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
例 2 求下列各式的值：
1＋tan (1)1－tan
75°； 75°
(2)tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°；
(3)tan 70°－tan 10°－ 3tan 70°tan 10°
解：(1)方法 1：原式＝1t－ ant4a5n°4＋5°ttaann7755°°＝
tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3.
A.－ 3
B. 3
C.－
3 3
3 D. 3
【解析】tanta2n02°t0a°n－(－ta5n05°0)－° 1＝ttaann2500°°t－ant5a0n°2＋0°1＝tan130°
＝ 3.故选 B.
3．(2014 年贵州模拟)tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°·tan 40° ＝________.
得csoins((αα＋－ββ))＝scions ααccooss
β＋cos β＋sin
αsin αsin
ββ＝1t＋antαan＋αttaannββ＝1－3 3
＝－23.
规律总结
1．公式 Tα ± β 中 α≠kπ＋π2，β≠kπ＋π2，α±β≠kπ＋π2(k∈Z)． 2．两角和的正切公式 tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ的常用变形： (1)1t－antαan＋αttaannββ＝tan(α＋β)； (2)1－tan αtan β＝tatnanα(＋α＋taβn)β；
(3)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (4)tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)－tan α－tan β.
()
1
1
A.5
课件9：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
类型 1 灵活应用和、差角公式化简三角函数式
例1
(1)
sin
47°－sin 17°cos cos 17°
30°＝(
)
A．－
3 2
B．－12
C．12
D．
3 2
【解析】sin
47°－sin 17°cos cos 17°
30°
＝sin（17°＋30c°o）s －17s°in 17°cos 30°
＝sin
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝45×7102＋35×－102＝
2 2.
又 α∈0，π2，∴α＝π4.
探究点 辅助角公式的应用 探究 1 函数 y＝sin x＋cos x(x∈Z)的最大值为 2 对吗？
为什么？
【提示】 不对．因为 sin x＋cos x
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
学习目标 1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、 余弦公式，并灵活运用．(重点) 2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角 与差的正切公式．(难点) 3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、 易错点)
基础·初探
教材整理 1 两角和与差的余弦公式
【解析】 逆用两角和的余弦公式可得 cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝ cos 90°＝0. 【答案】 0
教材整理 2 两角和与差的正弦公式
1．公式
名称
简记 符号
公式
两角和的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝
_s_i_n_α_c_o_s__β_＋__c_o_s_α_s_i_n_β_
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4
2
2
(2) 3 sin x cos x.
解：（1）1 cos x 3 sin x (2) 3 sin x cos x
2
2
sin 30 cos x cos 30 sin x
2( 3 sin x 1 cos x)
2
2
sin(30 x);
2(sin x cos 30 cos x sin 30 )
解：原式 sin(72 18 ) sin 90 1.
第十三页，共31页。
例1 已知 sin 3 , 是第四象限角，求 sin( ),
5
4
cos( )的值.
4
解：由sin=-
3 5
,
是第四象限角，得
cos 1 sin2 1 ( 3)2 4 , 55
于是有sin( ) sin cos cos sin
第七页，共31页。
探究(tànjiū)二：两角和与差的正弦公式
1.利用哪些公式可以实现正弦(zhèngxián)、余弦的互 化？
提示(tíshìs)i:n cos( ) 2
sin(
)
cos
2
(
)
第八页，共31页。
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角和与 差的正弦(zhèngxián)公式？
(2) 2 cos x 6 sin x.
解：（1）原式 （2 2 sin x 2 cos x)
2
2
2sin(x ).
4
(2)原式 2 （2 1 cos x 3 sin x)
2
2
2 2 sin( x).
6
第二十一页，共31页。
1.(2015·四川高考)下列函数中,最小正周期为π且图象关
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3 1 tan75= tan(45+30)= 3 3 3 12 6 3 = 2+ 3 6 3 3 3 1 3
2.化简：
1 t an 1 t an t an ; t an t an 2 . 1 t an t an
答案： 1 tan tan ; 2 tan .
tan71o - tan26o 1- 3tan75o 3、求值： (1) o o (2) 1+ tan71 tan26 3 + tan75o
答案： (1) 1； (2) -1.
小结：
通过对和差公式的探索、推导和初步应 用，体会和认识公式的特征及功能.
sin sin cos cos sin
简记为: S( )
公对 式比
两角和与差的正弦角公式：
sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin
注意：
cos , tan 的 . 值 4 4
3 解：由sin =- , 是第四象限的角，得 5
4 cos 1 sin 1 ( ) , 5
2 3 2 5
sin 3 所以 tan cos 4
于是有 2 4 2 3 7 2 sin( ) sin cos cos sin ( ) ; 4 4 4 2 5 2 5 10
探公 究式
两角和的余弦公式推导：
把 转 为 ， 有 化 则
cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin .