5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(2).
5.5.1-两角和与差的正弦、余弦和正切公式-3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
7
由②可求出2sin cos =
③.
25
4 2
∴ cos + sin = −
④，将②③④代入①得，
5
原式=
7
×
25
4 2
− 5
3 2
5
=
28
− .
75
2
= 1 ± sin 2）
【学会了吗|变式题】
3π
4
π
4
2.(2024·九省联考)已知 ∈ ( ，π)，tan 2 = −4tan( + )，则
( A
1+sin 2
2cos2 +sin 2
=
)
1
4
A.
3
4
B.
3π
4
−4 tan +1
1−tan
【解析】因为 ∈ ( ，π)，tan 2 = −4tan +
2tan
=
1−tan2
化简得2tan2 + 5tan
所以
tan =
3
2
C.1
D.
π
4
，
，
+ 2 = 2tan + 1 tan + 2 = 0，解得tan = −2或
用二倍角公式作准备）
2π
=
2π
4π
8π
23 sin 17 cos 17 cos 17 cos 17
π
24 sin 17
4π
=
方法2 设原式= , = sin
则 =
4π
π
24 sin 17
=
1
2π
4π
8π
第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件(共13张PPT) 高一数学人教A版必修第一册
（3）
1+tan15°
1−tan15°
；
解：（1）原式 = sin (72°– 42°) = sin 30°=
1
；
2
（2）原式 = cos (20°+ 70°) = cos 90°= 0 ；
（3）原式 =
1+tan15°
1−tan15°
= tan (45°+ 15°) = tan (60°) = 3 .
5.5.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
学习目标
新课讲授
课堂总结
1. 类比两角差的余弦公式的推导过程，能推导两角和与差的正弦、余弦、
正切公式；（重点）
2. 会利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数化简、
求值等.（难点）
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点 1 ：两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2 4
×
2
5
−
2
3
×(− )
2
5
=
7 2
；
10
于是有 sin ( − α) = sin ·cos α − cos
4
cos ( + α) = cos
tan(α −
)
4
4
4
3
；
4
4
3
tan α – tan 4
tan α – 1 – 4 – 1
=
=
=
=−7.
1 + tan α · tan 4 1 + tan α
tan α + tan β
T(α + β)：tan (α + β) =
(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C (α－β)) ②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C (α＋β)) ③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S (α－β)) ④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S (α＋β)) ⑤tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β))⑥tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β))(2)公式变形①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．二倍角公式 (1)公式①sin 2α＝2sin_αcos_α，②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， ③tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(2)公式变形①cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin )4(πα±.3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(×)(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×)(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(×) (6)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(√) (7)若α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.(√)(8)不存在实数α，β，使得cos(α＋β)＝sin α＋cos β.(×) (9)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(√) (10)y ＝1－2cos 2x 的x 无意义．(×)考点一 三角函数式的给角求值命题点1.已知非特殊角求函数式的值2.已知含参数的角化简函数或求值[例1] (1)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°)5tan 5tan 1(0-； 解：原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°)5cos 5sin 5sin 5cos (0000- ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32. (2)化简：sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β. 解：法一：(复角→单角，从“角”入手)原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1) ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(4cos 2α·cos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1)＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12 ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12 ＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12. 法二：(从“名”入手，异名化同名)原式＝sin 2α·sin 2β＋(1－sin 2α)·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－cos 2β·)2cos 21(sin 2αα+＝1＋cos 2β2－cos 2β·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2α＋12(1－2sin 2α) ＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12.法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次) 原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos 2β ＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12·cos 2α·cos 2β＝12.[方法引航] 给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分.(2)观察名，尽可能使函数统一名称.(3)观察结构，利用公式，整体化简.1．求值sin 50°(1＋3tan 10°)．解：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°) ＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.2．在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为________．解析：因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan A ＋C 2＝3， 所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2 ＝tan )22(C A +)2tan 2tan 1(CA -＋3tan A 2tan C 2 ＝3)2tan 2tan1(CA -＋3tan A 2tan C 2＝ 3. 考点二 三角函数式的给值求值[例2] (1)(2016·高考全国丙卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－15 C.15 D.45解析：法一：cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45.故选D. 法二：由tan θ＝－13，可得sin θ＝±110，因而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝45.答案：D(2)已知tan )4(πα+＝12，且－π2＜α＜0，则)4cos(2sin sin 22πααα-+等于( )A ．－255B ．－3510C ．－31010 D.255 解析：由tan )4(πα+＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2＜α＜0，所以sin α＝－1010. 故)4cos(2sin sin 22πααα-+＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.答案：A(3)已知α∈)2,0(π，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则12cos 2sin )4sin(+++ααπα＝________.解析：2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0， 由于α∈)2,0(π，sin α＋cos α≠0， 则2sin α＝3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213， ∴12cos 2sin )4sin(+++ααπα＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(－sin 2α＋cos 2α)＝268.答案：268[方法引航] 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系.(3)已知三角函数时，先化简三角函数式，再利用整体代入求值.1．在本例(1)中，已知条件不变，求tan )6(θπ+的值．解：tan )6(θπ+＝tan π6＋tan θ1－tan π6tan θ＝33－131＋33×13＝53－613.2．在本例(1)中，已知条件不变，求2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θ的值． 解：原式＝2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan 2θ－tan θ－3tan 2θ＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋13－3⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋1＝－115.3．已知cos )2(απ-＋sin )32(απ-＝235，则cos )32(πα+＝________.解析：由cos )2(απ-＋sin )32(απ-＝235，得sin α＋sin 2π3cos α－cos 23πsin α＝235∴32sin α＋32cos α＝235， 即3sin )6(πα+＝235，∴sin )6(πα+＝25，因此cos )32(πα+＝1－2sin 2)6(πα+＝1－2×2)52(＝1725.答案：1725考点三 已知三角函数式的值求角[例3] (1)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，0＜β＜α＜π2，则β＝________. 解析：∵cos α＝17，0＜α＜π2.∴sin α＝437.又cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2.∴0＜α－β＜π2，则sin(α－β)＝3314. 则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝497×14＝12，由于0＜β＜π2，所以β＝π3.答案：π3(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13＞0，∴0＜α＜π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2)31(1312-⨯＝34＞0，∴0＜2α＜π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－34π. 答案：－34π[方法引航] 1.解决给值求角问题应遵循的原则 (1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且①若角的范围是)2,0(π，选正、余弦皆可；②若角的范围是(0，π)，选余弦较好；③若角的范围是)2,2(ππ-，选正弦较好． 2．解给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值． (2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．1．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π4 解析：选C.∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22＞0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈)2,23(ππ，∴α＋β＝7π4. 2．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈),2(ππ，β∈)2,0(π，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝55，β∈)2,0(π，得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈),2(ππ，β∈)2,0(π，∴π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝5π4.[方法探究]三角恒等变换在化简、求值、证明中的综合应用三角恒等变换要重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[典例] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： (1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； (2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； (3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； (4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解] (Ⅰ)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (Ⅱ)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.[高考真题体验]1．(2016·高考全国甲卷)若cos )4(απ-＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725解析：选D.因为cos )4(απ-＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D. 2．(2016·高考全国丙卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( ) A.6425 B.4825 C ．1 D.1625 解析：选A.法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. 3．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：选D.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.4．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设α∈)2,0(π，β∈)2,0(π，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：选 B.由条件得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin )2(απ-，因为－π2＜α－β＜π2，0＜π2－α＜π2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.5．(2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1.答案：－16．(2016·高考四川卷)cos 2π8－sin 2π8＝________.解析：由二倍角公式，得cos 2π8－sin 2π8＝cos )82(π⨯＝22.答案：22课时规范训练 A 组 基础演练1．tan 15°＋1tan 15°＝( )A ．2B ．2＋3C ．4 D.433 解析：选C.法一：tan 15°＋1tan 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15° ＝1cos 15°sin 15°＝2sin 30°＝4.法二：tan 15°＋1tan 15°＝1－cos 30°sin 30°＋1sin 30°1＋cos 30°＝1－cos 30°sin 30°＋1＋cos 30°sin 30°＝2sin 30°＝4.2.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3 D. 2解析：选C.原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.3．已知θ∈(0，π)，且sin )4(πθ-＝210，则tan 2θ＝( ) A.43 B.34 C ．－247 D.247解析：选C.由sin )4(πθ-＝210，得22(sin θ－cos θ)＝210，所以sin θ－cos θ＝15. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ－cos θ＝15sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝45cos θ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－247，故选C. 4．若θ∈]2,4[ππ，sin 2θ＝378，则sin θ等于( ) A.35 B.45 C.74 D.34解析：选D.由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝2)473(+，又θ∈]2,4[ππ，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.5．已知sin 2(α＋γ)＝n sin 2β，则tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)的值为( ) A.n －1n ＋1 B.n n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n －1解析：选D.由已知可得sin[(α＋β＋γ)＋(α－β＋γ)]＝n sin[(α＋β＋γ)－(α－β＋γ)]，则sin(α＋β＋γ)·cos(α－β＋γ)＋cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝n [sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)－cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)]，即(n ＋1)cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝(n －1)sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)，所以tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)＝n ＋1n －1，故选D. 6．若sin )2(θπ+＝35，则cos 2θ＝________. 解析：∵sin )2(θπ+＝cos θ＝35，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×2)53(－1＝－725. 答案：－7257．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝________.解析：∵点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上∴sin α＝－2cos α，于是sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.答案：－28．设sin 2α＝－sin α，α∈),2(ππ，则tan 2α的值是________． 解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈),2(ππ，sin α≠0，∴cos α＝－12.又∵α∈),2(ππ，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan )3(ππ+＝tan π3＝ 3. 答案： 39．化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)． 解：由θ∈(0，π)，得0＜θ2＜π2，∴cos θ2＞0， ∴2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2.又(1＋sin θ＋cos θ))2cos 2(sin θθ-＝)2cos 2)(sin 2cos 22cos 2sin 2(2θθθθθ-+ ＝2cos θ2)2cos 2(sin 22θθ- ＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cos θ2＝－cos θ. 10．已知α∈),2(ππ，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈),2(ππ，求cos β的值． 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－32.(2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×)53(-＝－43＋310. B 组 能力突破 1．已知sin α＋cos α＝22，则1－2sin 2)4(απ-＝( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32解析：选C.由sin α＋cos α＝22，得1＋2sin αcos α＝12，∴sin 2α＝－12.因此1－2sin 2)4(απ-＝cos2)4(απ-＝sin 2α＝－12. 2．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f )12(π的值为( )A ．43 B.833 C ．4 D ．8解析：选D.∵f (x )＝2)sin cos cos sin (2)sin cos (tan xx x x x x x +⨯=+＝2×1cos x ·sin x ＝4sin 2x ， ∴f )12(π＝4sin π6＝8. 3．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，∴cos α＝255，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×)1010(-＝22. ∴β＝π4.4．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为________．解析：tan α＋tan β＝lg(10a )＋lg 1a ＝lg 10＝1，∵α＋β＝π4，所以tan π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝11－tan αtan β， ∴tan αtan β＝0，则有tan α＝lg(10a )＝0或tan β＝lg 1a ＝0.所以10a ＝1或1a ＝1，即a ＝110或1.答案：110或15．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)∵tan(π＋α)＝－13，∴tan α＝－13.∵tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-＝sin 2α＋4cos2α10cos2α－sin 2α＝2sin αcos α＋4cos2α10cos2α－2sin αcos α＝2cosα(sin α＋2cos α)2cos α(5cos α－sin α)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎪⎫－13＝516.(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α＋β)－tan α1＋tan(α＋β)tan α＝516＋131－516×13＝3143.。
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式高一数学(人教A版2019必修第一册)
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式【考点梳理】考点一两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R两角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R 考点二两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R两角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R考点三：两角和与差的正切公式名称公式简记符号条件两角和的正切tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβT(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)两角差的正切tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβT(α－β)α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)考点四：二倍角的正弦、余弦、正切公式【题型归纳】题型一：两角和与差的余弦公式一：用和差余弦公式进行化简求值1．（2022·四川泸州·高一期末）已知πcos cos 13θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则πcos 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．12B ．23C ．33D ．222．（2022·全国·高一）已知23παβ-=，且1cos cos 3αβ+=，则cos()αβ+的值为（）A ．79B ．79-C ．19D ．19-3．（2022·全国·高一）已知()2cos 22αβ-=-，()2sin 22αβ-=，且ππ42α<<，π04β<<，则()cos αβ+=（）A ．1B ．0C ．-1D ．22-二：逆用和差余弦公式进行化简求值4．（2022·全国·高一）13sin15cos1522-︒︒的值为（）A ．22B ．22-C ．12D ．12-5．（2022·甘肃酒泉·高一期末）cos72cos 27sin 72sin 27︒︒+︒︒的值是（）A ．22B ．32C ．12D ．12-6．（2022·内蒙古·赤峰二中高一）已知1sin sin 3-=αβ，22cos cos 3αβ-=-，α，(0,)2πβ∈，则αβ-=（）A ．3π-B ．6π-C ．3πD ．3π±题型二：两角和与差的正弦公式一：用和差正弦公式进行化简求值7．（2022·全国·高一课时练习）已知π0π2αβ<<<<，3sin 5α=，()4cos 5αβ+=-，则sin β的值为（）A ．2425或0B ．0C ．3365D ．24258．（2022·全国·高一课时练习）已知α，β均为锐角，且5sin 5α=，10cos 10β=，则αβ-的值为（）A ．π4B ．π4-C ．3π4D ．3π4-9．（2022·陕西汉中·高一期末）已知sin sin 13πθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则tan 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．63B ．33C ．±2D ．±22二：逆用和差正弦公式进行化简求值10．（2022·北京·中关村中学高一阶段练习）若3sin sin 10αβ-=，2παβ+=，则cos α=（）A ．31010B ．31010-C ．1010D ．1010-11．（2022·重庆巴蜀中学高一期中）sin10cos 50sin100cos 40︒︒+︒︒=（）A ．22B ．264+C ．32D ．1212．（2022·江苏·镇江市实验高级中学高一期中）31sin15cos1522︒+︒的值为（）A ．12B ．32C ．22D ．1题型三：两角和与差的正切公式一：用和差正切公式进行化简求值13．（2022·全国·高一课时练习）在ABC 中，tan tan tan 33A B C ++=，2tan tan tan B A C =，则角B =（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒14．（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高一期末）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+的值为（）A ．16B ．322C ．2213D ．131815．（2022·辽宁抚顺·高一期末）若()tan 804sin420α+︒=︒，则()7tan 20α+︒的值为（）A ．3B ．23C ．3-D ．37二：逆用和差正切公式进行化简求值16．（2022·甘肃兰州·高一期末）1tan151tan15+︒=-︒（）A ．33B ．1C ．3D ．313-17．（2022·江苏·金沙中学高一阶段练习）已知()()1tan 211tan 22a =+︒+︒，()()1tan 231tan 24b =+︒+︒，则（）A ．2a b ==B ．4ab =C ．229a b +=D ．2225a b =-18．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）已知α，β均为锐角，且()()13tan 13tan 4αβ--=，则αβ+=（）A ．3πB ．23πC ．34πD ．2π题型四：两角和与差的三角函数综合应用19．（2022·全国·高一单元测试）已知1tan ,tan()222ααβ=-=．(1)求sin α的值；(2)求tan(2)βα-的值．20．（2022·云南昭通·高一期末）（1）知tan 3α=，计算2sin cos 5cos sin αααα+-；（2）已知,αβ都是锐角，()45sin ,cos 513ααβ=+=，求cos β的值.21．（2022·四川成都·高一期末）（1）已知1cos 7α=，()13cos 14αβ-=，且02πβα<<<，求β；（2）若()1cos 5αβ+=，()3cos 5αβ-=，求tan tan αβ的值．题型五：二倍角公式的运用22．（2022·江西省丰城中学高一期中）若1sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 2cos αα+=（）.A ．3132B ．3132-C ．49-D ．7823．（2021·湖北黄石·高一期中）已知πtan 224α⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求tan α；(2)求1cos2sin21cos2sin2αααα++-+的值.24．（2022·湖北·高一期末）已知2sin cos222αα-=(1)求sin α的值；(2)若αβ，都是锐角，()3cos 5αβ+=，求sin β的值.【双基达标】一、单选题25．（2022·贵州六盘水·高一期末）若π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin(π)5θ-=，则sin 2θ=（）A ．35B ．1225C ．255D ．242526．（2022·甘肃张掖·高一期末）若()4sin π5α-=，则cos 2α＝（）A ．－2425B ．725C ．－725D ．242527．（2022·浙江·高一期中）若tan 3θ=，则()cos 1sin 2sin cos θθθθ--=（）A ．25-B ．25C ．15-D ．1528．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高一期末）下列各式中，值为12的是（）A ．sin15cos15︒︒B ．22ππcos sin 1212-C ．cos 42sin12sin 42cos12︒︒-︒︒D ．2tan 22.51tan 22.5︒-︒29．（2022·四川省内江市第六中学高一阶段练习（理））已知1cos 43x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 2cos 4xx π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（）A ．23-B ．23C ．23-D ．2330．（2022·江西省万载中学高一）求值：()()()sin 120cos570cos 300sin 1050-︒⋅︒+-︒⋅-︒31．（2022·全国·）已知tan ,tan αβ是一元二次方程23520x x +-=的两个根，且0,,,22⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππαβπ．(1)求tan()αβ-的值；(2)求αβ+的值．【高分突破】一、单选题32．（2022·甘肃·卓尼县柳林中学高一期末）21tan(),tan()54αβαβ+=-=，则tan 2α=（）A ．16B ．2213C ．322D ．131833．（2022·陕西渭南·高一期末）已知角α满足2cos 2cos αα=，且,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则cos α=（）A ．1B ．33C ．33-D ．1-34．（2022·北京市第五中学高一阶段练习）若ππ22α-<<，ππ22β-<<，且tan α，tan β是方程23340x x ++=的两个根，则αβ+=（）A ．π3B ．2π3-C ．π3或43πD ．π3或2π3-35．（2022·江西九江·高一期末）已知34sin sin ,cos cos 55+=+=αβαβ，则cos()αβ-=（）A ．12-B ．13-C ．12D ．3436．（2022·山东临沂·高一期末）sin 70sin 40sin 50cos110︒︒-︒︒=（）A ．12B ．12-C ．32D ．32-37．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π4sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α的值为（）A ．210-B ．210C ．7210D ．7210-二、多选题38．（2022·全国·高一）下列计算中正确的是（）A ．132sin15cos15222-︒=-︒B ．1sin 20cos10cos160sin102-︒︒︒=︒C ．sin 3cos 21212ππ-=-D ．62sin1054+︒=39．（2022·全国·高一单元测试）下列选项中正确的有（）A ．若α是第二象限角，则21tan 11sin αα-=-B ．212sin100cos 2801cos3701cos 170︒-︒-︒︒-=C ．2cos10sin 203sin 70︒-︒=︒D ．1tan1531tan15+︒=-︒40．（2022·全国·高一）设θ的终边在第二象限，则1sin cossin22θθθ--的值可能为（）A ．1B ．-1C ．-2D ．241．（2022·全国·高一课时练习）下列各式中，值为32的是（）A ．2sin15cos15︒︒B ．212sin 15-︒C ．22sin 15cos 15︒+︒D ．23tan151tan 15-︒︒42．（2022·江苏·南京市中华中学高一期中）下列各式中值为1的是（）A ．sincos1212ππB ．sin 72cos18cos 72sin18︒︒+︒︒C ．tan12tan 331tan12tan 33︒︒︒︒+-D ．222(cossin )88ππ-43．（2022·贵州黔东南·高一期中）下列化简正确的是（）A ．22sin 18cos 18cos36︒-︒=︒B ．tan 57tan1211tan 57tan12︒-︒=+︒︒C ．1sin15sin 754︒︒=D ．22tan1tan 88ππ=-44．（2022·辽宁·东港市第二中学高一期中）已知函数()3sin 4cos f x x x =+，则（）A ．π是函数()f x 的一个周期B ．直线()Z 2k x k π=∈为函数()f x 的对称轴C ．函数()f x 的最大值是5D ．()4f x =在[]0,π有三个解三、填空题45．（2022·天津南开·高一期末）cos 66cos84sin 66sin 84︒︒︒︒-的值是_____.46．（2022·江西九江·高一期末）化简：sin 2cos sin 1cos21cos 1cos αααααα⋅⋅=++-__________．47．（2022·全国·高一课时练习）计算：tan 35tan 251tan 35tan 25+=-︒︒︒︒______________．48．（2022·全国·高一课时练习）若5π7π22α<<，则1sin 1sin αα++-=_______________．49．（2022·全国·高一课时练习）tan 70tan10tan120tan 70tan10︒-︒︒︒+︒=______．50．（2022·全国·高一课时练习）设函数2()|sin |2cos 1f x x x =+-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是______．51．（2022·全国·高一课时练习）已知tan θ是方程2610x x -+=的一根，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____.52．（2022·全国·高一专题练习）设1tan 2α=，()4cos 5πβ+=-，()0,βπ∈，则()tan 2αβ-的值为____.53．（2022全国·高一专题练习）已知π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,5sin 5θ=,则cos 2tan θθ=____.四、解答题54．（2022·陕西·延安市第一中学高一）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455--，）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．55．（2022·全国·高一单元测试）已知cos α55=，sin （α﹣β）1010=，且α、β∈（0，2π）．求：（Ⅰ）cos （2α﹣β）的值；（Ⅱ）β的值．56．（2021·江苏·高一）已知α为第二象限角，且sin 2cos 0αα+=.（1）求cos α，tan 2α的值；（2）求1sin 1sin 1sin 1sin αααα+---+的值.57．（2020·全国·高一）已知sin 22sin sin 4242απαπα=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求25sin 23sin cos ααα-的值．58．（2022·全国·高一）已知02πα<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．(1)求sin α的值；(2)若02πβ-<<，3cos 243βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求αβ-的值．59．（2019·陕西省黄陵县中学高一期末）已知函数()()()22cos cos 2f x a x x θ=++为奇函数，且04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中()0a R θπ∈∈，，.（1）求a θ，的值；（2）若2452f απαπ⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，求sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案详解】1．C【分析】根据两角和的余弦公式可得π3cos 16θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求解.【详解】πcos cos 13θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭133331πcos cos sin cos sin 3(cos sin )3cos()12222226θθθθθθθθ∴+-=-=-=+=，π3cos 63θ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭.故选：C 2．B【分析】由,2222αβαβαβαβαβ+-+-=+=-，结合已知及和差角余弦公式可得12coscos223αβαβ+-=，进而可得1cos 23αβ+=，最后由倍角余弦公式求值.【详解】因为1cos cos 3αβ+=，所以12cos cos 223αβαβ+-=，因为23παβ-=，所以1cos22αβ-=，于是1cos 23αβ+=，所以27cos()2cos 129αβαβ+⎛⎫+=-=-⎪⎝⎭．故选：B 3．B【分析】判断2αβ-，2αβ-的范围，求得()2sin 22αβ-=，()2cos 22αβ-=，将()cos αβ+化为()()cos 22αβαβ⎡⎤---⎣⎦，利用两角差的余弦公式即可求得答案.【详解】因为ππ42α<<，π04β<<,所以π2π4αβ<-<，ππ242αβ-<-<,因为()2cos 22αβ-=-，所以()2sin 22αβ-=,因为()2sin 22αβ-=，所以()2cos 22αβ-=,所以()()()cos cos 22αβαβαβ⎡⎤+=---⎣⎦()()()()cos 2cos 2sin 2sin 2αβαβαβαβ=--+--222202222=-⨯+⨯=,故选：B 4．B【分析】利用两角和的余弦公式即可求解.【详解】解：1331sin15cos15cos15sin152222︒⎛⎫--︒-︒ ⎪ ⎪⎝⎭︒=()2cos 3015cos452=-︒+︒=-︒=-.故选：B.5．A【分析】根据余弦的差角公式即可化简求值.【详解】()2cos72cos 27sin 72sin 27cos 7227cos 452︒︒+︒︒=︒-︒=︒=．故选：A 6．C【分析】对两个等式平方相加，根据同角的三角函数关系式、两角差的余弦公式进行求解即可.【详解】因为1sin sin 3-=αβ，22cos cos 3αβ-=-，所以222222cos cos 1(sin )sin ))(()3(3αβαβ--+-=+，2222sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos 1αβαβαβαβ⇒+-++-=，112sin sin 2cos cos 2cos()1cos()2αβαβαβαβ⇒=+⇒-=⇒-=，因为α，(0,)2πβ∈，所以22ππαβ-<-<，因为1sin sin 03αβ-=>，而α，(0,)2πβ∈，所以αβ>，因此02παβ<-<，故αβ-=3π，故选：C 7．D【分析】根据两角差的正弦公式，结合同角三角函数的关系与()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦求解即可.【详解】∵π0π2αβ<<<<，∴π3π22αβ<+<，∵3sin 5α=，()4cos 5αβ+=-，∴4cos 5α=，()3sin 5αβ+=±.则()()()24sin sin sin cos cos sin 25βαβααβααβα=+-=+-+=⎡⎤⎣⎦或0.∵ππ2β<<，∴24sin 25β=.故选：D 8．B【分析】利用同角三角函数的平方关系求出α余弦、β正弦，再由两角差的正弦展开式计算可得答案.【详解】∵α，β均为锐角，且5sin 5α=，10cos 10β=，∴225cos 1sin 5αα=-=，2310sin 1cos 10ββ=-=，∴()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-5102531025105102=⨯-⨯=-.又∵α，β均为锐角∴ππ22αβ-<-<.∴π4αβ-=-.故选：B.9．D【分析】根据两角和的正弦公式展开，之后再用辅助角公式可得3sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据同角三角函数的关系求解即可.【详解】sin sin()13πθθ++=，则13sin sin cos 122θθθ++=，即33sin cos 122θθ+=，故313sin cos 223θθ+=，所以3sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故236cos 1633πθ⎛⎫⎛⎫+=±-=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以323tan 6263πθ⎛⎫+==± ⎪⎝⎭±故选：D 10．D【分析】利用诱导公式、逆用差角的正弦公式将已知变形为sin()1αϕ-=，再求出αϕ-即可求解作答.【详解】由2παβ+=得2πβα=-，3sin sin 10αβ-=化为：3sin cos 10αα-=，即31sin cos 11010αα-=，令cos ,sin 113100ϕϕ==，于是有sin()1αϕ-=，则有π2π,Z 2k k αϕ-=+∈，即π2π,Z 2k k αϕ=++∈，所以10cos sin 10α=-ϕ=-.故选：D 11．C【分析】利用诱导公式及和角正弦公式即可求值.【详解】3sin10cos50sin100cos 40sin10cos50cos10sin 50sin 602︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒=.故选：C 12．C【分析】根据两角和正弦公式，化简即可求解.【详解】由两角和正弦公式，可得31sin15cos15cos30sin15sin 30cos1522︒+︒=︒︒+︒︒()2sin 1530sin 452=︒+︒=︒=.故选：C.13．C【分析】由180A B C ++=︒可知()tan tan A C B +=-，即tan tan 1tan t tan an A CB A C+=--，再将题干等式代入化简，即可得出答案.【详解】因为180A B C ++=︒，所以()tan tan A C B +=-，因为tan tan tan 33A B C ++=，所以tan tan 33tan A C B +=-.又2tan tan tan B A C =，所以由()tan tan tan 1tan tan A CA C A C++=-得233tan tan 1tan B B B--=-所以()2tan 1tan 33tan B B B --=-，所以3tan 33B =，所以tan 3B =.又0180B ︒<<︒，所以60B =︒.故选：C.14．B【分析】根据()tan()tan 44ππααββ⎡⎤⎛⎫+=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦利用两角差的正切公式计算可得.【详解】解：因为2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，所以()tan()tan 44ππααββ⎡⎤⎛⎫+=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()tan tan 41tan tan 4παββπαββ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭213542122154-==+⨯.故选：B 15．A【分析】()()tan 80tan 2060αα⎡⎤+︒=+︒+︒⎣⎦，结合诱导公式、正切和公式化简展开，可解得()tan 20α+︒，即可求解【详解】由题4sin4204sin6023︒=︒=，故()()()()()()tan 20+tan60tan 20+3tan 80tan 2060231tan 20tan601tan 203αααααα+︒︒+︒+︒=+︒+︒===-+︒⋅︒-+︒⋅，可解得()3tan 207α+︒=，故()7tan 203α︒+=，故选：A 16．C【分析】逆用正切的和差公式与特殊角的三角函数值即可求解.【详解】()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15+︒︒+︒==︒+︒=︒=-︒-︒︒.故选：C.17．B【分析】根据两角和的正切可求4ab =，再根据tan1523︒=-得到()2367434a <-<，从而可得正确的选项.【详解】因为tan 21tan 241tan 451tan 21tan 24︒+︒=︒=-︒︒，故tan 21tan 241tan 21tan 24︒+︒=-︒︒，故()()21tan 211tan 24=+︒+︒，同理()()21tan 221tan 23=+︒+︒，故4ab =，故B 成立.而tan15tan 21tan 231,0tan 22tan 241,︒<︒<︒<<︒<︒<故a b <，故A 错误.而tan 45tan 30tan15231tan 45tan 30︒-︒︒==-+︒︒，故()233a >-因()2343,a b ab <<=-，故()2323a -<<，所以()2367434a <-<，又若229a b +=，则22169a a +=，解得29172a -=，因为()()367433674 1.733 2.448->-⨯=，9179 4.123 2.438522--<=，故22169a a +=无解，故D 错误.若2245a b =-，则221645a a=-，则26256222a =-<-⨯=，这与()22.448367443a -<<<矛盾，故D 错误.故选：B.18．B【分析】对已知的式子化简，然后利用两角和的正切公式可求出结果【详解】由()()13tan 13tan 4αβ--=，得13tan 3tan 3tan tan 4βααβ--+=，所以13tan 3tan 3tan tan 4βααβ--+=所以()()3tan tan 31tan tan βααβ-+=-，所以tan tan 331tan tan 3αβαβ+=-=--，所以tan()3αβ+=-，因为,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()0,αβπ+∈，所以23παβ+=，故选：B19．(1)45；(2)2.【分析】（1）根据给定条件，利用二倍角的正弦公式结合正余弦齐次式法计算作答.（2）利用二倍角的正切公式及和角的正切公式计算作答.（1）因1tan 22α=，则222212sincos2tan242222sin 2sin cos 1225sin cos tan 1()12222ααααααααα⨯=====+++.（2）因1tan 22α=，则2212tan2422tan 131tan 1()22ααα⨯===--，又tan()2αβ-=，所以42tan()tan 3tan(2)tan[()]241tan()tan 123αβαβααβααβα+-+-=--+=-=-=---⨯．20．（1）72；（2）6365.【分析】（1）对原式弦化切后求值即可；（2）由已知()sin ,cos ααβ+及同角三角函数平方和是1求出()cos ,sin ααβ+，对β变形成()βαβα=+-，再利用两角差的余弦公式计算.【详解】解：（1）tan 3α=，2sin cos 2tan 175cos sin 5tan 2αααααα++∴==--；（2）4sin 5α=且α是锐角，3cos 5α∴=，()5cos 13αβ+=且()0,αβπ+∈，()()212sin =1cos 13αβαβ∴+-+=，()()()5312463cos cos cos cos sin sin 13513565βαβααβααβα⎡⎤∴=+-=+++=⨯+⨯=⎣⎦.21．（1）3π；（2）12．【分析】（1）根据1cos 7α=及α的范围，可得sin α的值，同理可得sin()αβ-的值，由题意()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦，根据两角差的余弦公式，展开化简，结合β的范围，即可得答案.（2）根据两角和、差的余弦公式，展开化简，可得sin sin αβ、cos cos αβ的值，两式相除，即可得答案.【详解】（1）因为1cos 7α=，02πα<<，所以243sin 1cos 7αα=-=，又13cos()14αβ-=，02πβα<<<，所以02παβ<-<，所以233sin()1cos ()14αβαβ-=--=所以()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-113433317147142=⨯+⨯=，因为02βπ<<，所以3πβ=（2）1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，3cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=，解得1sin sin 5αβ=，2cos cos 5αβ=，所以1sin sin 15tan tan 2cos cos 25αβαβαβ===．22．C【分析】利用诱导公式及二倍角公式化简求值.【详解】由已知1sin cos 23παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以22114cos 2cos 2cos 1cos 21339αααα⎛⎫+=-+=⨯-+=- ⎪⎝⎭，故选：C.23．(1)34；(2)43.【分析】（1）根据两角和的正切公式，结合正切二倍角公式进行求解即可；（2）根据二倍角的正弦公式和余弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.（1）由πtantantan 1π1242tan()222tan π24231tan tan 1tan 242αααααα+++=⇒=⇒=⇒=--，所以22122tan332tan 141tan 1()23ααα⨯===--；（2）221cos 2sin 212cos 12sin cos 2cos (cos sin )14.1cos 2sin 21(12sin )2sin cos 2sin (sin cos )tan 3ααααααααααααααααα+++-++====-+--++24．(1)12(2)43310-【分析】（1）两边同平方，根据二倍角公式和同角平方关系，即可求解.(2)通过凑角()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦,利用正弦和差公式，即可求解.(1)解：2221sin cos sin 2sin cos cos 1sin 2222222a αααααα⎛⎫-=-+=-= ⎪⎝⎭，1sin 2a =.(2)因为αβ，都是锐角,所以0αβ<+<π，()()24sin 1cos 5αβαβ+=-+=，13sin cos 22a a =⇒=，()()()43sin cos c 0s 31433si o 55n sin sin 221αβααβααββα-=-+=+-=+-=⨯⨯⎡⎤⎣⎦25．D【分析】结合诱导公式，同角三角函数的基本关系式、二倍角公式求得正确答案.【详解】4sin(π)sin 5θθ-==，由于π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以23cos 1sin 5θθ=-=，所以4324sin 22sin cos 25525θθθ==⨯⨯=.故选：D 26．C【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式化简计算作答.【详解】依题意，4sin 5α=，所以2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭.故选：C 27．D【分析】利用同角三角函数关系，结合正弦的二倍角公式，带值计算即可.【详解】()cos 1sin 2sin cos θθθθ--()()222cos sin cos 2sin cos cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ+--==--()()222cos sin cos tan 121cos sin cos sin cos tan 1105θθθθθθθθθθ--=-====++.故选：D.28．D【分析】根据三角函数的和差公式、倍角公式逐一算出每个选项对应式子的值，然后可选出答案.【详解】11sin15cos15sin 3024︒︒=︒=，22πππ3cos sin cos 121262-==，()1cos 42sin12sin 42cos12sin 1242sin 302︒︒-︒︒=︒-︒=-︒=-，2tan 22.511tan 451tan 22.522=︒=-︒︒，故选：D.29．A【分析】利用二倍角公式和两角和与差的余弦公式对已知式子化简，然后代值求解即可.【详解】因为1cos 43x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以22cos 2cos sin cos cos sin sincos 444x x x x x x πππ-=⎛⎫+- ⎪⎝⎭()()()cos sin cos sin 2cos sin 2x x x x x x -+=+cos sin 22x x-=2cos 422x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1223322⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-，故选：A 30．1【分析】利用诱导公式进行化简，在逆用正弦和角公式求出答案.【详解】()()()sin 120cos570cos 300sin 1050-︒⋅︒+-︒⋅-︒()()()()sin 60180cos 570360cos 300360sin 10501080=︒-︒⋅︒-︒+-︒+︒⋅-︒+︒sin 60cos 210cos60sin 30=-︒︒+︒︒()sin 60cos 18030cos60sin 30=-︒︒+︒+︒︒sin 60cos 30cos 60sin 30=+︒︒︒︒()sin 6030sin 901=︒+︒=︒=.31．(1)7(2)34π【分析】（1）根据0,,,22⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππαβπ，得到1tan ,tan 23αβ==-，再利用两角差的正切公式求解；（2）利用两角和的正切公式求解.（1）解方程23520x x +-=得121,23x x ==-．因为0,,,22⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππαβπ，所以1tan ,tan 23αβ==-，则12tan tan 3tan()711tan tan 1(2)3αβαβαβ+--===++⨯-．（2）1(2)tan tan 3tan()111tan tan 1(2)3αβαβαβ+-++===---⨯-．因为0,,,22⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππαβπ，所以3,22ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，从而34αβπ+=．32．D【分析】根据正切函数的和角公式，由()()2ααβαβ=++-，可得答案.【详解】21tan()tan()1354tan 2tan[()()]211tan()tan()18154αβαβααβαβαβαβ+++-=++-===-+--⨯．故选：D.33．A【分析】利用余弦的二倍角公式对已知式子化简可求得答案【详解】由2cos 2cos αα=，得222cos 1cos αα-=，2cos 1α=，因为,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以cos 1α=，故选：A 34．B【分析】根据根与系数之间的关系，结合两角和差的正切公式进行化简求解即可．【详解】解：tan α、tan β是方程23340x x ++=的两个根，tan tan 33αβ∴+=-，tan tan 40αβ=>，tan 0α∴<，tan 0β<，即α、π(2β∈-,0)，则tan tan 33tan()31tan tan 14αβαβαβ+-+===--，则2π3αβ+=-，故选：B ．35．A【分析】对题干条件平方后相加，结合余弦的差角公式得到答案.【详解】因为3sin sin 5αβ+=，所以22sin sin 2sin sin 259αβαβ++=（1），因为4cos cos 5αβ+=，所以22cos cos αβ+162cos cos 25αβ+=（2），（1）+（2）得22cos()1αβ+-=，∴1cos()2αβ-=-.故选：A ．36．C【分析】根据诱导公式以及两角和与差的余弦公式即可求解.【详解】sin 50sin(9040)cos 40︒=︒-︒=︒；cos110cos(18070)cos70︒=︒-︒=-︒；∴原式sin 70sin 40cos 40cos 70︒︒+︒︒=()3cos 7040cos 302=︒-︒=︒=.故选：C 37．B【分析】利用同角三角函数的基本关系求出πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角差的正弦公式可求得sin α的值.【详解】因为π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππ442α<+<，所以，2ππ3cos 1sin 445αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，ππππππ2sin sin sin cos cos sin 44444410αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.38．ABCD【分析】结合诱导公式及正余弦的和差角公式分别进行化简，即可求解【详解】解：对于A ，13sin15cos15sin15cos 6022︒︒︒-=︒-()sin 60cos15sin 1560︒︒-︒=︒()2sin 452︒=-=-，故正确；对于B ，sin 20cos10︒︒-cos160sin10sin 20cos10cos 20sin10=+︒︒︒︒︒︒=1sin(2010)sin 302︒︒︒+==，正确；对于C ，sin3cos2sin cos sin cos 2sin 2sin 212121233121234πππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，正确；对于D ，()321262sin105sin 6045sin 606022224cos 45cos sin 45︒︒︒︒︒+︒︒+=+=⨯+⨯==，正确.故选：ABCD 39．ABCD【分析】对于A ，可利用同角三角函数基本关系化简；对于B ，可利用()2sin cos 12sin cos αααα-=-及同角三角函数基本关系化简；对于C ，可先利用两角差的余弦公式及诱导公式统一角之后再进行化简；对于D ，可利用二倍角的正切公式化简.【详解】对于A ，因为α是第二象限角，所以sin 0,cos 0αα><，从而21cos tan 1tan 1sin sin ααααα-==-，所以A 正确；对于B ，212sin100cos 28012sin 80cos80sin 80cos801cos10sin10cos10sin10cos3701cos 170---===--︒-︒︒︒︒︒-︒︒，所以B 正确；对于C ，()2cos 3020sin 202cos10sin 203cos 203sin 70cos 20cos 20︒︒︒︒︒︒---==︒=，所以C 正确；对于D ，()1tan15tan 45tan15tan 451531tan151tan 45tan15++==+=--⋅︒︒︒︒，所以D 正确.故选：ABCD.40．AB 【分析】先求得2θ的范围，由此进行分类讨论，结合二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，化简求得所求表达式的值.【详解】∵θ的终边在第二象限，∴π2π2ππ2k k θ+<<+，Z k ∈，∴ππππ24222k k θ+<<+，Z k ∈，222sin cos sincos sin cos 2sin cos 221sin 222222cos sin cos sin cos sincos sin22222222θθθθθθθθθθθθθθθθθ⎛⎫--+- ⎪-⎝⎭===----，故当ππ2π2π422k k θ+<<+，Z k ∈时，sin cos 022θθ->，sincos1sin 221cos sin cos sin 2222θθθθθθθ--==---当5π3π2π2π422k k θ+<<+，Z k ∈时，sin cos 022θθ-<，cossin1sin 221cos sin cos sin 2222θθθθθθθ--==--.故选：AB 41．BD【分析】利用二倍角正弦公式可判断A;利用二倍角余弦公式判断B;利用同角三角函数的关系判断C;利用二倍角的正切公式判断D.【详解】对于A ，12sin15cos15sin 302︒︒=︒=,错误；对于B ，2312sin 15cos 302-︒=︒=,正确；对于C ，22sin 15cos 151︒+︒=,错误；对于D ，223tan1532tan1533tan 301tan 1521tan 1522︒︒=⋅=︒=-︒-︒，正确,故选:BD.42．BCD【分析】利用两角和差的三角函数公式及倍角公式对选项逐一判断即可．【详解】解：对于A ：1111sincossin 121226224πππ==⨯=，选项A 错误；对于B ：sin 72cos18cos 72sin18sin(7218)sin 901︒︒+︒︒=︒+︒=︒=，选项B 正确；对于C ：tan12tan 33tan(1233)tan 4511tan12tan 33︒+︒=︒+︒=︒=-︒︒，选项C 正确；对于D ：2222(cos sin )2cos218842πππ-==⨯=，选项D 正确．故选：BCD ．43．BCD【分析】利用二倍角公式公式及和差角公式计算可得；【详解】解：对于A ：()2222sin 18cos 18cos 18sin 18cos 36︒-︒=-︒-︒=-︒，故A 错误；对于B ：()tan 57tan12tan 45tan 571211tan 57tan12︒-︒︒=︒-︒==+︒︒，故B 正确；对于C ：11sin15sin 75sin15cos15sin 3024︒︒=︒︒=︒=，故C 正确；对于D ：22tan8tan141tan 8πππ==-，所以22tan 1tan 88ππ=-，故D 正确；故选：BCD 44．ABC【分析】利用周期函数定义判断A ；利用轴对称的意义推理判断B ；求出函数()f x 的最大值判断C ；探讨()4f x =在[0,]2π上的解的情况判断D 作答.【详解】对于A ，因()()3sin()4cos()3sin 4cos f x x x x x f x πππ+=+++=+=，π是函数()f x 的一个周期，A 正确；对于B ，Z k ∈，()3sin()4cos()3|sin |4|cos |()f k x k x k x x x f x πππ-=-+-=+=，因此，直线()Z 2k x k π=∈为函数()f x 的对称轴，B 正确；对于C ，当02x π≤≤时，()3sin 4cos 5sin()f x x x x ϕ=+=+，锐角ϕ由4sin 53cos 5ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩确定，(,)43ππϕ∈当2x ϕπ=-时，()max 5f x =，由选项B 知，()f x 在[]0,π上的最大值为5，由选项A 知，()f x 在R 上的最大值为5，C 正确；对于D ，当02x π≤≤时，由选项C 及()4f x =得4sin()5x ϕ+=，此时0x =，或2(0,)2x ππϕ=-∈，即()4f x =在π[0,)2上有两个解，由选项B 知，()4f x =在(,]2ππ有两个解，因此，()4f x =在[]0,π有四个解，D 不正确.故选：ABC 45．32-##132-【分析】利用余弦的和差公式、诱导公式及特殊角的三角函数值可解.【详解】()cos 66cos84sin 66sin 8cos 6684co 104s 5︒︒︒︒=︒+︒=-︒()3cos 18030cos302=︒-︒=-︒=-.故答案为：32-.46．1【分析】使用二倍角公式及同角三角函数平方关系化简求值.【详解】因为sin 22sin cos ααα=，2cos 22cos 1αα=+，22sin cos 1αα+=，所以222sin 2cos sin 2sin cos cos sin sin 11cos21cos 1cos 2cos 1cos 1cos 1cos ααααααααααααααα⋅⋅=⋅⋅==++-+--．故答案为：147．3【分析】由正切和差角公式即可得到答案.【详解】原式()tan 3525tan 603=︒+︒︒==．故答案为:3.48．2sin2α-【分析】利用同角关系“221sincos 22αα=+”，以及二倍角的正弦公式sin 2sincos 22ααα=，把根号配成完全平方式，开出来，根据α的范围去绝对值整理得答案.【详解】1sin 1sin 12sin cos 12sin cos2222αααααα++-=++-22sin cos sin cos 2222αααα⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sincossincos2222αααα=++-，由于5π7π22α<<，所以5π7π424α<<，当25π3π42α<<时，sin cos 022αα<<，原式sin cos sin cos 2sin 22222ααααα⎛⎫⎛⎫=-+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当432π7π2α≤<时，sin cos 022αα->>，原式sin cos sin cos 2sin 22222ααααα⎛⎫⎛⎫=-+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上，原式2sin 2α=-．故答案为：2sin 2α-.49．3【分析】利用两角差的正切公式化简求值即可.【详解】解：()()tan 70101tan 70tan103tan 70tan10tan120tan 70tan10tan 70tan10︒-︒+︒︒-︒-︒+︒︒︒=︒︒33tan 70tan1033tan 70tan10+︒︒-==︒︒．故答案为：3.50．0【分析】判断函数的奇偶性，转化为函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值，进而利用二倍角余弦公式转化为二次函数最值问题即可.【详解】∵2()|sin |2cos 1f x x x =+-|sin |cos 2x x =+为偶函数，∴只需求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值，此时2()sin cos22sin sin 1f x x x x x =+=-++，令[]sin 0,1t x =∈，则221y t t =-++，函数的对称轴为[]10,14t =∈，∴当1t =时，min 2110y =-++=.故答案为：0.51．13【分析】依题意可得2tan 6tan 10θθ+=-，再根据同角三角函数的基本关系将切化弦，整理得22sin 6sin cos cos 0θθθθ-+=，即可求出sin 2θ，再根据二倍角余弦公式及诱导公式计算可得.【详解】解：tan θ是方程2610x x -+=的一根，2tan 6tan 10θθ∴+=-，则22sin s 0co in 61co s s θθθθ-+=，可得22sin 6sin cos cos 0θθθθ-+=，可得1sin cos 6θθ=，1sin 22sin cos 3θθθ∴==，211cos 211sin 2123cos 42223πθπθθ⎛⎫++-⎪-⎛⎫⎝⎭∴+==== ⎪⎝⎭．故答案为：1352．724【分析】首先求出tan 2α，再根据同角三角函数的基本关系求出tan β，最后利用两角差的正切公式计算可得.【详解】解：1tan 2α=，222tan 14tan 21tan 3112ααα∴===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()4cos cos 5πββ+=-=-，()0,βπ∈，4cos 5β∴=，3sin 5β=，3tan 4β=，()tan 2tan 7tan 21tan 2tan 24αβαβαβ-∴-==+．故答案为：72453．65##1.2【分析】根据同角公式和二倍角的余弦公式可求出结果.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5sin 5θ=，所以2125cos 1sin 155θθ=-=-=，5sin 15tan cos 2255θθθ===，则2241cos 2cos sin 6551tan tan 52θθθθθ--===.故答案为：6554．（Ⅰ）45；（Ⅱ）5665-或1665.【分析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得sin α，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得cos α，再根据同角三角函数关系得()cos αβ+，最后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式求结果.【详解】详解：（Ⅰ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得4sin 5α=-，所以()4sin πsin 5αα+=-=.（Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得3cos 5α=-，由()5sin 13αβ+=得()12cos 13αβ+=±.由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=.点睛：三角函数求值的两种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.55．（Ⅰ）210；（Ⅱ）4π．【分析】（Ⅰ）由α，β的范围求出α﹣β的范围，由题意和平方关系求出sin α和cos （α﹣β），由两角和的余弦公式求出cos （2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]的值；（Ⅱ）由两角差的余弦公式求出cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]的值，再由β的范围求出β的值．【详解】（Ⅰ）∵02παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，∴α﹣β∈（2π-，2π），∵5cos 5α=，()10sin 10αβ-=，∴sin α2251sin 5α=-=，cos （α﹣β）()23101cos 10αβ=-+=，∴cos （2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]＝cos （α﹣β）cosα﹣sin （α﹣β）sin α31051025210510510=⨯-⨯=，（Ⅱ）由（Ⅰ）得，cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cos αcos （α﹣β）+sinαsin （α﹣β）5310251025105102=⨯+⨯=，又∵02πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴β4π=．【点睛】关键点点睛：拆角2()αβαβα-=-+，()βααβ=--是本题解题关键.56．（1）5cos 5α=-,4tan 23α=；（2）4.【分析】（1）根据22sin cos 1αα+=，解出cos α，sin α，求出tan α，根据正切的二倍角公式求出tan 2α；（2）化简得到1sin 1sin 2tan 1sin 1sin ααααα+--=--+，从而求出答案.【详解】（1）因为sin 2cos 0αα+=且22sin cos 1αα+=，解方程组得到5cos 5α=，25sin 5α=-（舍去）或5cos 5α=-，25sin 5α=所以tan 2α=-()()22222tan 4tan 21tan 312ααα⨯-===---；（2）()()()()1sin 1sin 1sin 1sin 2sin 2tan 1sin 1sin cos 1sin 1sin ααααααααααα+--+--===--+-+=4.【点睛】主要是考查了三角函数的化简与求值的运用，属于基础题。
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式1PPT课件(人教版)
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第一课时 两角差的余弦公式
学习目标： 1.掌握两角差的余弦公式； 2.明确公式的推导过程； 3.能利用公式进行相关计算.
教学重点： 掌握两角差的余弦公式. 教学难点： 公式的推导过程.
根据两点间的 距离公式
思考 两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？
跟踪训练1 化简下列各式： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
解 原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝ 22.
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
解 原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
55×3 1010＝
2 2.
又 sin α<sin β，∴0<α<β<π2，
∴－π2<α－β<0.故 α－β＝－π4.
反 已知三角函数值求角的解题步骤
思
感 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. 悟 (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三
角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
1－172＝4
7
3 .
∵β＝α－(α－β)∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝12.
∵0<β<π2，∴β＝π3.
随堂练习
1.cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(透课堂)-2021-2022学年高一数学【考题透析】满
2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第一册)第五章三角函数5.5 三角恒等变换5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式【知识导学】考点一两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin βα，β∈R两角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βα，β∈R考点二两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βα，β∈R两角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin βα，β∈R考点三：两角和与差的正切公式名称公式简记符号条件两角和的正切tan(α＋β) ＝tan α＋tan β1－tan αtan βT(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)两角差的正切tan(α－β) ＝tan α－tan β1＋tan αtan βT(α－β)α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)考点四：二倍角的正弦、余弦、正切公式【考题透析】透析题组一：两角和与差的余弦公式1．（2021·北京·中国农业大学附属中学高一期末）设510,0,,sin2παβαβ⎛⎫∈==⎪⎝⎭，则αβ+的大小是（）A ．34π-B ．34πC ．14πD ．34π或14π2．（2021·新疆·新和县实验中学高一期末）若02παβπ<<<<，且1cos 3β=-，()1sin 3αβ+=，则cos α=（ ）A B ． C ． D 3．（2021·贵州·兴仁市凤凰中学高一期末）sin 74sin 46sin16sin 44-=（ ）A ．12B ．12-C D ．透析题组二：逆用和差余弦公式进行化简求值4．（2021·四川新都·高一期末）求值：cos 45cos15sin 45sin15-=（ ）A ．12B C ．12-D ．5．（2021·江苏·仪征中学高一月考）若1cos(),63πα-=-那么sin()cos 6παα++的值为（ ）A B ．C ．D6．（2021·河南·郑州四中高一月考）已知2cos66a =，cos53sin 5b =-，2sin 47sin 66sin 24sin 43c ，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a b c <<透析题组三：：用和差正弦公式进行化简求值7．（2021·北京·中国农业大学附属中学高一期末）sin22cos82cos22sin82-︒︒︒︒的值是（ ）A ．12 B ．12-C D ．8．（2021·江苏东海·高一期中）计算：2sin10cos20sin 20︒-︒=︒（ ）A ．1-B ．2-C ．D ．9．（2021·新疆·乌苏市第一中学高一期中）已知3cos 5α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于（ ）.A ．BCD ．透析题组四：逆用和差正弦公式进行化简求值10．（2021·全国·高一课时练习）计算sin 46cos14sin 44cos76︒︒+︒︒的结果等于（ ）A ．12B 2C D11．（2021·四川省大竹中学高一月考）sin37cos7cos37sin7︒︒-︒︒的值为（ ）A ．B ．12-C ．12D12．（2021·安徽合肥·高一期末）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭19cos tansin )12παααα+=-，则α=（ ） A ．6πB ．4π C ．12π D ．512π透析题组五：两角和与差的正切公式 一：用和差正切公式进行化简求值13．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）已知11tan(),tan ,,(0,)27αββαβπ-==-∈，则2αβ-=（ ）A ．34π-B ．4π-C ．4π D ．54π14．（2021·云南·昆明八中高一月考）已知sin 2cos 0αα-=，则tan 4πα⎛-⎫⎪⎝⎭=（ ）A ．-4B ．4C ．1-3D ．1315．（2021·全国·高一课时练习）计算tan82tan 221tan82tan 22︒︒︒︒-=+（ ）A ．1-B ．1CD ．二：逆用和差正切公式进行化简求值16．（2021·河南商丘·48tan 60tan18tan 48tan18--°°°°°=（ ）A ．1BC ．2D ．317．（2021·上海·高一期中）1tan 27tan 33tan 27tan 33-︒︒=︒+︒（ ）A B C ．tan 6︒ D ．1tan 6︒18．（2021· ）①tan 25tan 353tan 25tan 35++；②()2sin35cos 25cos35cos65+；③1tan151tan15︒︒+-；④1tan151tan15︒︒-+. A ．①② B ．③ C ．①②③D ．②③④透析题型六二倍角公式的运用19．（2021·全国·高一单元测试）已知225sin sin 240θθ+-=，且θ是第二象限的角，则cos 2θ等于（ ）．A ．35B ．35±C ．45±D ．4520．（2021·江西·九江一中高一期中）已知cos()4πα+=0απ<<)，则3cos(2)2sin cos πααα-=+（ ）A ．B ．CD21．（2021·河北张家口·高一期末）若tan 2θ=-，则2sin 2cos 1θθ+的值为（ ）A ．23-B ．23C ．43-D ．43透析题型七：两角和与差的三角函数综合应用22．（2021·全国·高一课时练习）求下列各式的值： （1）sin72cos18cos72sin18︒︒+︒︒； （2）cos72cos12sin72sin12︒︒+︒︒ （3）tan12tan 331tan12tan 33︒︒︒︒+- （4）cos74sin14sin74cos14；（5）sin34sin 26cos34cos26︒︒︒︒-； （6）sin 20cos110cos160sin70︒︒︒︒+．23．（2021·全国·高一课时练习）（1）已知4cos 5α=，求44sin cos αα+的值； （2）已知1sin cos 2αα+=，求sin 2α的值. （3）已知3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（4）已知1tan 22βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1tan 23αβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求()tan αβ+的值.24．（2021·全国·高一课时练习）化简：（1）()2sin15cos15︒+︒；（2）sin cos 22θθ；（3）44cos sin αα-；（4）22cos20sin 10+︒-︒；（5）111tan 1tan θθ--+；（6）()ππ12sin cos 0π44ααα⎛⎫⎛⎫---<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【考点同练】一、单选题25．（2021·全国·高一单元测试）已知()1cos 3αβ-=，3cos 4β=，0,2παβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则（ ）．A ．0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．()0,απ∈D ．0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭26．（2021·全国·高一课时练习）化简sin 200cos140cos160sin 40︒︒-︒︒，得（ ） A ．32B ．sin 20︒C ．cos20︒D ．1227．（2021·甘肃张掖·高一期末（理））如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB ，且射线OA 和射线OB 关于x 轴对称，射线OA 与单位圆的交点为34,55A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos()βα-的值是（ ）A ．2425-B ．2425C ．725D ．725-28．（2021·全国·高一课时练习）若角α满足1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2tan 1tan a a +＝（ ）A ．79B ．724C ．718D ．71229．（2021·河南·高一期末）已知角α的终边过点()3,4-，则sin 22cos 1αα-+的值为（ ） A ．2-B ．25-C ．2925-D ．130．（2021·贵州·镇远县文德民族中学校高一月考）已知tan α=tan2α=（ ）A ．BC ．-D ．31．（2021·云南省玉溪第一中学高一月考）已知,αβ都是锐角，3sin =5，()12cos 13αβ+=-，则sin =β（ ）A ．1BC ．1665-D ．166532．（2021·江苏·邳州宿羊山高级中学高一月考）cos57cos12sin 57sin12+的值为（ ）A ．0B ．12C D 33．（2021·江西省修水县英才高级中学高一月考）sin10cos50sin50cos10+=°°°°（ ）A ．12B C D ． 34．（2021·江苏如皋·高一月考）已知3sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．BC ．18D ．18-35．（2021·江苏·tan12tan18︒+︒+︒⋅︒的值是（ ）A B C ．0D ．136．（2021·全国·高一课时练习）若θ为锐角，cos()4πθ+=1tan tan θθ+=（ ） A ．512B ．2512C ．247D ．72437．（2021·云南·罗平县第二中学高一月考）已知22()2cossin 2xf x x =+，则()f x 的最大值为（ ） A ．3B ．94C ．2D ．2338．（2021·江苏如皋·3()2ππα<<的结果为（ ）A ．sin2αB ．sin2α- C ．cos2αD ．cos2α-39．（2021·陕西渭滨·高一期末）已知sin 2sin 1αβ+=，cos 2cos αβ+=cos 2()αβ-=（ ） A ．12 B ．12-C ．78-D ．78二、多选题40．（2021·江苏淮安·高一月考）下列各式中，值为12的是（ ） A ．2tan 22.51tan 22.5︒︒-B ．2tan15cos 15⋅C 212π212πD ．cos76°cos16°+cos14°sin16°41．（2021·江苏省前黄高级中学高一月考）若cos2cos 0θθ+=，则sin 2sin θθ+等于（ ）A ．0B C ．D42．（2021·辽宁·大连市第一中学高一月考）已知函数()()2cos 0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象上，对称中心与对称轴12x π=的最小距离为4π，则下列结论正确的是（ ） A ．()506f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭B ．当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ≥C ．若()2cos2g x x =，则()6g x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．若444sin cos 5αα-=-，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭43．（2021·江苏·东台创新高级中学高一月考）下列计算正确的选项有（ ） A ．sin158°cos48°+cos22°sin48°＝1 B ．sin20°cos110°+cos160°sin70°＝1C ．1tan151tan15+︒-︒D ．cos74sin14sin 74cos14︒︒-︒︒=三、填空题44．（2021·全国·高一单元测试）已知角θ的终边过点P （1，2），则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.45．（2021·四川·成都外国语学校高一月考（文））已知α∈（0，2π），β∈（﹣π，﹣2π），sinα，co sβ＝，则α+2β的值为______46．（2021·河北张家口·高一期末）已知α，(0,)βπ∈，()1sin 3αβ-=，1cos 4β=-，则cos α=______.47．（2021·陕西·西安电子科技大学附中高一月考）若α、β为锐角，且()12cos 13αβ+=，()3cos 25αβ+=，则cos α为_________四、解答题48．（2021·广东·揭阳第一中学高一期末）（1）已知tan 3α=，求()2sin cos αα+；（2）计算：()sin 40tan103-.49．（2021·全国·高一课时练习）已知α是第一象限角，且5cos 13α=，求()πsin 4cos 24παα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+的值． 50．（2021·全国·高一课时练习）如图， A ， B 是单位圆O 上的点，且A 点坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭， B 在第二象限， C 是圆O 与x 轴的正半轴的交点，△AOB 为正三角形，求tan ∠BOC 的值.51．（2021·全国·高一课时练习）计算： （1）sin14cos16sin16cos14+︒︒︒︒； （2）sin 21cos81sin69cos9︒︒-︒︒；（3）()()()()cos 70sin 170sin 70cos 10αααα︒+︒--︒+︒+； （4）()tan75tan15cos75cos15︒-︒︒︒.【答案精讲】1．C 【分析】先利用同角三角函数的关系，求解cos ,cos αβ，再由两角和的余弦公式得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=，结合αβ+的范围即得解 【详解】由题意,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故(0,)αβπ+∈，且cos 0,cos 0αβ>>cos αβ∴==cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴+=-=由于cos()0αβ+>，故(0,)2παβ+∈4παβ∴+=故选：C 2．D 【分析】利用()cos cos ααββ=+-⎡⎤⎣⎦求解即可. 【详解】 因为02παβπ<<<<，所以322ππαβ<+<，又因为1cos 3β=-，所以sin β=因为()1sin 3αβ+=，所以()cos αβ+=，所以()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ=+-=+++⎡⎤⎣⎦1133⎛⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭故选：D 3．A 【分析】转化sin 74cos16,sin 46cos 44==，再利用两角和的余弦公式即得解 【详解】由题意，1sin 74sin 46sin16sin 44cos16cos 44sin16sin 44cos602-=-== 故选：A 【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式综合，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题 4．A 【分析】逆用两角和的余弦公式即可求解. 【详解】()1cos 45cos15sin 45sin15cos 4515cos602-=+==， 故选：A. 5．B 【分析】对sin()cos 6παα++化简，再利用两角差的余弦公式可得结果【详解】解：因为1cos(),63πα-=-所以sin()cos 6παα++sin cos cos sincos 66ππααα=++3cos 2αα=+1sin 2αα⎫=⎪⎪⎭sin sin cos cos 66ππαα⎫=+⎪⎭6πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭13⎛⎫=-= ⎪⎝⎭故选：B 6．C 【分析】本题首先可通过诱导公式以及两角和的余弦公式得出2cos65b =、2cos67c ，然后通过函数2cos y x =在区间()0,90上是减函数即可得出结果. 【详解】13cos53sin 52cos5sin 52cos 6052cos6522b ，2sin 47sin 66sin 24sin 432cos43cos24sin 24sin 43c2cos 43242cos672cos66a =，因为函数2cos y x =在区间()0,90上是减函数，656667，所以2cos652cos662cos67，即b ac >>，故选：C . 7．D 【分析】利用两角差的正弦公式，即得解 【详解】由题意，()()sin 22cos82cos 22sin 82sin 2282sin 60︒︒-︒︒=︒-︒=-︒=故选：D 8．D 【分析】将sin10变为()sin 3020-展开化简可求得结果. 【详解】()132cos 20sin 20cos 202sin 3020cos 20222sin10cos 20sin 20sin 20sin 20sin 2020⎛⎫-- ⎪---⎝⎭====故选：D. 9．C 【分析】利用同角的三角函数的基本关系式可求sin α，再利用两角和的正弦可求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】因为3cos 5α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故4sin 5α，所以7sin sin cos cos sin 4445πππααα⎛⎫+=+== ⎪⎝⎭故选：C. 10．C 【分析】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案. 【详解】原式()()sin 46cos14sin 9046cos 9014=︒︒+︒-︒︒-︒ ()sin 46cos14cos 46sin14sin 4614sin 60=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=故选：C 11．C 【分析】逆用差角正弦公式知sin37cos7cos37sin 7sin(377)︒︒-︒︒=︒-︒，即可求值. 【详解】由1sin 37cos7cos37sin 7sin(377)sin 302︒︒-︒︒=︒-︒=︒=. 故选：C 12．D 【分析】利用辅助角公式化简即可求得. 【详解】解：193sin cos tansin )12παααα+=-， 即11912cos 2tan sin )2122παααα⎫+=-⎪⎪⎝⎭， 即19sin tancos 6126πππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 易知：cos 06πα⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，sin 196tan 12cos 6παππα⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即19tan tan 612ππα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故()19,612k k z ππαπ+=+∈， 即()17,12k k z παπ=+∈， 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令1k =-， 得512πα=. 故选：D. 13．A 【分析】利用两角和与差的正切公式求得tan 2()αβ-，再根据角的范围求解. 【详解】因为11tan(),tan 27αββ-==-，所以[]()()11tan tan 127tan tan ()0111tan tan 3127αββααββαββ--+=-+===>--⋅+⨯, 则π(0,)2α∈,因为1tan 07β=-<, 则,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以,202ππαβπαβ-<-<--<-<, 22122tan α33tan 2α1tan α411331tan 2tan 47tan(2)1311tan 2tan 147αβαβαβ+--===+⋅-⨯， 所以324παβ-=-,14．C 【分析】已知sin 2cos 0αα-=，可得tan 2α=，根据两角差的正切公式计算即可得出结果. 【详解】已知sin 2cos 0αα-=，则tan 2α=，∴ tantan 1tan 1214tan ===41tan 1231tan tan 4παπααπαα---⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭+.故选：C. 15．C 【分析】由正切的差角公式，即得解 【详解】由题意，tan82tan 22tan(8222)tan 601tan82tan 22︒︒︒︒︒︒︒-=-==+ 故选：C 16．A 【分析】根据式子结构，构造两角和正切公式的逆运用，直接求值即可. 【详解】48tan 60tan18tan 48tan18--°°°°°)tan 48tan18tan 48tan18--=°°°°()()1tan 48tan18tan 48tan1ta 188n 48=-⎤⎦+-°°°°°°()tan301tan 48tan18tan 48tan18=+-⎤⎦°°°°°1tan 48tan18tan 48tan181=+-=°°°°．故选：A 17．A 【分析】利用两角和的正切公式计算可得； 【详解】 解：()tan 27tan 33tan 2733tan 601tan 27tan 33︒+︒=︒+︒=︒=-︒︒，所以1tan 27tan 33tan 27tan 33-︒︒=︒+︒故选：A【分析】利用()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-即可得①正确；cos65sin 25=，进而利用正弦和角公式即可得②正确；由tan 451=与正切的和差角公式即可得③正确④错误. 【详解】解：对于①，由于()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-， 所以tan 25tan 353tan 25tan 35++()()tan 25351tan 25tan353tan 25tan35tan 25353⎡⎤=+-+=+=⎣⎦；对于②，由于cos65sin 25=，所以()()2sin35cos 25cos35cos652sin35cos 25cos35sin 252sin 603+=+==； 对于③，因为tan 451=， 1tan15tan 45tan15tan 6031tan151tan 45tan15︒︒︒︒︒︒++===--对于④，因为tan 451=， 1tan15tan 45tan153tan 301tan151tan 45tan153︒︒︒︒︒︒-+-===+ 故选：C. 【点睛】本题考查三角恒等变化化简求值，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的过程中需注意()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-与1tan15tan 45tan151tan151tan 45tan15︒︒︒︒︒︒++=--的关系.19．B 【分析】根据已知条件可得24sin 25θ=，进而可得cos θ的值，再由余弦的二倍角公式即可得cos 2θ的值. 【详解】由225sin sin 240θθ+-=可得：()()25sin 24sin 10θθ-+=， 可得24sin 25θ=或sin 1θ=-（舍），因为θ是第二象限的角，所以7cos 25θ===-，因为()π2ππ2πZ 2k k k θ+<<+∈，所以()ππππZ 422k k k θ+<<+∈， 所以2θ是第一象限或第三象限角，由2cos 2cos 12θθ=-可得3cos25θ==±， 故选：B. 20．B 【分析】首先对cos()46πα+=-sin 2α并进一步精确α的范围，同时结合sin 2α求出sin cos αα+，再利用诱导公式化对所求问题化简，进而求解.【详解】∵cos()4πα+=∴22cos[2()]sin 22cos ()1449ππααα+=-=+-=-，即2sin 2=2sin cos 09ααα=>，∵0απ<<，∴sin 0α>，∴cos 0α>， 故02πα<<，∴sin cos αα+==故3cos(2)sin 22sin cos sin cos 33παααααα--==-++ 故选：B. 21．A 【分析】利用二倍角公式转化后进行弦化切，代入即可求解. 【详解】由题知tan 2θ=-，2222sin 22sin cos 2tan 2cos 1sin 2cos tan 23θθθθθθθθ===-+++.故选：A. 22． （1）1 （2）12 （3）1 （4）（5）12-（6）1- 【分析】由条件利用两角和差的三角公式、诱导公式，即可求出各题． （1）解：()sin72cos18cos72sin18sin 7218sin901︒︒+︒︒=︒+︒=︒=； （2）解：()1cos72cos12sin 72sin12cos 7212cos602︒︒+︒︒=︒-︒=︒=； （3） 解：()tan12tan 33tan 1233tan 4511tan12tan 33︒+︒=︒+︒=︒=-︒︒；（4）解：()()cos 74sin14sin 74cos14sin 1474sin 60sin 60︒︒-︒︒=︒-︒=-︒=-︒=； （5）解：1sin 34sin 26cos34cos 26cos 3426cos602()︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-；（6）解：sin 20cos110cos160sin 70sin 20cos70cos 2i ()0s n 70︒︒+︒︒=︒-︒-︒︒ sin 2070sin9(1)0=-︒+︒=-︒=-．23．（1）337625；（2）34-；（3）2cos 2α-；（4）724【分析】（1）根据同角三角函数关系，可得2sin α的值，代入所求，即可得答案； （2）左右同时平方，根据同角三角函数关系及二倍角公式，即可得答案； （3）根据同角三角函数关系及二倍角公式，化简可得所求=sin cossincos2222αααα-++，根据α的范围，可得sin,cos22αα的范围，分析即可得答案；（4）根据两角和的正切公式，结合题干条件，可得tan 2αβ+⎛⎫⎪⎝⎭的值，根据二倍角正切公式，代入计算，即可得答案. 【详解】 （1）因为4cos 5α=，所以229sin 1cos 25αα=-=，所以244494337sin cos 255625αα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）因为1sin cos 2αα+=，左右同时平方可得：()21sin cos 4αα+=，所以221sin cos 2sin cos 4αααα++=， 所以3sin 22sin cos 4ααα==- （3）=sin cos sin cos 2222αααα=-++，因为3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0sin 1cos 22αα<<-<< 所以sincossincossincossin cos 2cos 222222222ααααααααα⎛⎫-++=--+=- ⎪⎝⎭； （4）tan tan 2222tan 1tan tan 2tan 7122βααββααβααββαβ⎛⎫+⎡⎤⎛⎫=== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()22tan 72tan 241tan 2αβαβαβ+⎛⎫⎪⎝⎭+==+⎛⎫- ⎪⎝⎭24．（1）32（2）1sin 2θ（3）cos2α （4︒ （5）tan 2θ （62α【分析】（1）结合同角的平方关系，逆用正弦的二倍角公式化简整理即可求出结果；（2）逆用正弦的二倍角公式化简即可求出结果；（3）结合平方差公式以及同角的平方关系，逆用余弦的二倍角公式即可求出结果； （4）利用同角的平方关系以及余弦的二倍角公式化简整理即可求出结；（5）结合同角的商数关系切化弦整理，再结合平方差公式以及降幂公式整理即可求出结果； （6）逆用正弦的二倍角公式，再结合同角的平方关系以及逆用余弦的二倍角公式. （1）()222sin15cos15sin 15cos 152sin15cos15︒+︒=︒+︒+︒︒1sin30=+︒ 112=+32= （2）1sin cos sin 222=θθθ （3）()()224422cos sin cos sin -=-αααα()()2222cos sin cos sin =+-αααα22cos sin =-αα cos2=α （4）===︒（5）1111sin sin 1tan 1tan 11cos cos -=--+-+θθθθθθ11cos sin cos sin cos cos =--+θθθθθθ cos cos cos sin cos sin =--+θθθθθθ()()()()cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin +-+=-+θθθθθθθθθθ()()()22cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin +--=-+θθθθθθθθθθ222cos sin cos sin =-θθθθsin 2cos 2=θθtan2θ=（6）===因为0πα<<，所以022απ<<，所以sin02α>，因此原式2=α.25．B 【分析】由已知得()0,απ∈，再利用同角之间的关系及两角差的余弦公式计算cos 0α<，即可得解. 【详解】()1cos 3αβ-=，0,2παβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，()sin αβ∴-==3cos 4β=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin β∴==()0,απ∴∈又cos cos()cos()cos sin()sin ααββαββαββ=-+=---13034=⨯=< ,2παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭故选：B 26．A 【分析】应用诱导公式及逆用差角正弦公式化简求值即可. 【详解】由cos160cos(360160)cos 200︒=︒-︒=︒，sin 40sin(18040)sin140︒=︒-︒=︒，∴sin 200cos140cos160sin 40sin 200cos140cos200sin140︒︒-︒︒=︒︒-︒︒=sin(200140)︒-︒=sin 60︒故选：A 27．D 【分析】由三角函数的定义可得cos α，sin α，cos β，sin β的值，再由差角的余弦公式计算即得. 【详解】由任意角的三角函数的定义可得，3cos 5α=-，4sin 5α， 因34,55A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且射线OA 和射线OB 关于x 轴对称，则射线OB 与单位圆的交点为34,55B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，于是得3cos 5β=-，4sin 5β=-，因此，33449167cos()cos cos sin sin 5555252525βαβαβα⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以cos()βα-的值是725-. 故选：D 28．C 【分析】利用两角和的余弦公式化简已知等式可得cos sin αα-=2sinαcosα的值，根据同角三角函数基本关系式化简所求即可求解． 【详解】因为)1cos cos sin 43πααα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，可得cos sin αα-=两边平方，可得72sin cos 9αα=， 所以22sin tan 7cos sin cos 1tan 18sin 1cos αααααααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 故选：C.29．C 【分析】先求得sin ,cos αα，结合二倍角公式求得正确答案. 【详解】因为角α的终边过点()3,4-， 所以4sin 5α=-，3cos 5α=，所以()3429sin 22cos 12cos sin 112115525αααα⎛⎫-+=-+=⨯⨯--+=- ⎪⎝⎭.故选：C 30．D 【分析】结合二倍角的正切公式计算即可. 【详解】因为tan α=所以22tan tan 21tan ααα==-故选：D 31．D 【分析】由()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦，结合同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得正确结论. 【详解】 由于0,022ππαβ<<<<，所以0αβ<+<π，所以()45cos ,sin 513ααβ+=，所以()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin αβααβα=+-+ 541231613513565=⨯+⨯=. 故选：D 32．D 【分析】利用两角差的余弦公式求得正确结论. 【详解】原式()cos 5712cos 45=︒-︒=︒=故选：D 33．C 【分析】由已知结合两角和的正弦公式即可求解． 【详解】sin10cos50sin50cos10︒︒+︒︒sin(1050)sin 60=︒+︒=︒， 故选：C. 34．D 【分析】利用二倍角余弦公式及配凑角法，即可得到结果. 【详解】∵3sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2sin 2cos 212sin 6266ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2311248⎛⎫=-⨯=- ⎪⎝⎭.故选：D. 35．D 【分析】将tan12tan18tan(1218)(1tan12tan18)︒+︒=︒+︒-︒︒ 代入所求的式子，即可求解. 【详解】tan12tan18︒︒+︒⋅︒)tan12tan18tan12tan18︒︒︒⋅=++︒()1218(1tan12tan18tan12tan1)8︒+︒-︒⋅︒⋅+︒=︒tan12tan18tan12t 8)1an1-︒⋅︒︒⋅=︒=+. 故选：D 36．B 【分析】由cos()410πθ+=-，得1cos sin 5θθ-=-，两边同时平方得：12sin cos 25θθ=，故有22sin cos 12sin cos 25θθθθ=+，再化弦为切即可得出答案.【详解】解：由cos()4πθ+=2210θθ-=， 所以1cos sin 5θθ-=-，两边同时平方得：112sin cos 25θθ-=，则12sin cos 25θθ=， 故有22sin cos 12sin cos 25θθθθ=+，所以2tan 12tan 125θθ=+，则112125tan tan θθ=+， 所以1tan tan θθ+=2512. 故选：B. 37．B 【分析】先根据降幂公式以及平方关系化简()f x ，将其转化为关于cos x 的二次函数形式，结合二次函数的性质可求解出()f x 的最大值. 【详解】因为()2222192cos sin 1cos 1cos cos 224x f x x x x x ⎛⎫=+=++-=--+ ⎪⎝⎭，当1cos 2x =时，()f x 有最大值，且()max 94f x =，故选：B. 38．A【分析】利用给定角的范围确定出cos α与sin 2α的正负，再利用二倍角的余弦公式化简变形即得.【详解】 因32ππα<<，则cos 0α<，且3224παπ<<，即有sin 02α>，sin 2α=.故选：A 39．C 【分析】先利用已知条件计算()cos αβ-，再利用二倍角的余弦公式计算即得结果. 【详解】由sin 2sin 1αβ+=，cos 2cos αβ+=两式平方后相加可得，2222sin cos 4cos 4sin 4sin sin 4cos cos 4ααββαβαβ+++++=， 即54sin sin 4cos cos 4αβαβ++=，得1sin sin cos cos 4αβαβ+=-，所以()1cos 4αβ-=-，故()()221cos 22cos 121478αβαβ⎛⎫-=--=⨯--= ⎪⎝-⎭.故选：C. 40．ACD 【分析】由二倍角公式，同角关系式、两角和的正弦公式化简计算． 【详解】2tan 22.511tan 451tan 22.522︒︒=︒=-； 22sin1511tan15cos 15cos 15sin15cos15sin 30cos1524︒=⋅︒=︒⋅︒=︒=︒；212π212π162π==；1cos76cos16cos14sin16sin14cos16cos14sin16sin 302︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒=． 故选：ACD ． 41．ABC 【分析】根据余弦的二倍角公式求得cos 1θ=-或1cos 2θ=，再分别求得sin θ，运用正弦的二倍角公式可得选项. 【详解】由cos2cos 0θθ+=得22cos 1cos 0θθ-+=，所以cos 1θ=-或1cos 2θ=.当cos 1θ=-时，有sin 0θ=；当1cos 2θ=时，有sin θ=.于是sin 2sin sin (2cos 1)0θθθθ+=+=故选：ABC. 42．BD 【分析】先求出()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再对四个选项一一验证：对于A ：计算56f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭再计算()56f x f x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭，进行验证； 对于B ：直接求出()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域即可；对于C ：直接求出6g x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，进行验证；对于D ：先求出cos2α和sin 2α再求4f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可.【详解】∵对称中心与对称轴12x π=的最小距离为4π，∴=44T π，即=T π.而2T πω=,∴=2ω.又因为12x π=为对称轴，且||2ϕπ<∴2=122k ππϕπ⨯++，解得：=6πϕ-.所以()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于A ：5532cos 22cos 22sin 26662f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而 ()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()52cos 22sin 22cos 20666f x f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=--=+≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ：当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，25666,x πππ⎡⎤⎢⎥⎫⎣-∈ ⎪⎝⎭⎦⎛，所以()2cos 26f x x π⎛⎫⎡=-∈ ⎪⎣⎝⎭，故B 正确；对于C ：当()2cos2g x x =时，2cos 2=2cos 2()663g x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ：当444sin cos 5αα-=-，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()422242224sin cos sin cos sin cos =sin cos =cos 2=5ααααααααα-=-+---∴4cos 2=5α又因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()20,απ∈，∴3sin 25α，所以=2cos 2=2sin 2=2sin2cos 2cos 2sin 446666f ππππππααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++----+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭34=55+，故D 正确. 故选：BD. 【点睛】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题. 43．CD 【分析】利用三角函数的诱导公式及两角和与差的三角函数公式的逆应用，逐一计算四个选项是否正确即得结果. 【详解】对于A ，sin158°cos48°+cos22°sin48°＝sin22°cos48°+cos22°sin48°＝sin （22°+48°）＝sin70°≠1，故A 错误；对于B ，sin20°cos110°+cos160°sin70°＝sin20°（﹣cos70°）+（﹣cos20°）sin70°＝﹣（sin20°cos70°+cos20°sin70°）＝﹣sin （20°+70°）＝﹣1，故B 错误； 对于C，()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15+︒︒+︒==︒+︒=︒=-︒-︒︒C 正确；对于D ，cos74°sin14°﹣sin74°cos14°＝sin （14°﹣74°）＝﹣sin60°=D 正确. 故选：CD. 44．3- 【分析】先利用任意角的三角函数的定义求出tan θ的值，再利用两角和的正切公式求解即可 【详解】因为角θ的终边过点P （1，2），所以tan 2θ=，所以tan tan214tan 34121tan tan 4πθπθπθ++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-， 故答案为：3- 45．54π-【分析】先利用已知条件和同角三角函数的关系求出cos ,sin αβ，再求出tan ,tan αβ，然后利用正切的二倍角公式求出tan 2β的值，再求出(2)tan αβ+的值，从而可求出2αβ+的值 【详解】 因为α∈（0，2π），β∈（﹣π，﹣2π），sinα，co sβ＝，所以cos 10α===sin β==， 所以sin sin 1tan 7,tan cos cos 2αβαβαβ====， 所以22tan 14tan 211tan 314βββ===--，所以tan tan 2tan(2)1tan tan 2αβαβαβ++=-47314173+==--⨯因为α∈（0，2π），β∈（﹣π，﹣2π）， 所以(2)2,2παβπ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，所以524παβ+=-， 故答案为：54π-46．【分析】根据角的变换ααββ=-+，利用两角和的余弦公式计算即可，注意分析角的范围. 【详解】由α，(0,)βπ∈，cos 0β<知2πβπ<<，sin β∴=由2ππβ-<-<-， 2ππαβ∴-<-<，sin()0αβ->， 02αβπ∴<-<，cos()αβ∴-=ααββ=-+，，cos cos()cos()cos sin()sin ααββαββαββ∴=-+=-⋅--=.故答案为：47．5665【分析】本题首先可通过同角三角函数关系求出()5sin 13αβ+=、()4sin 25αβ+=，然后根据两角差的余弦公式即可得出结果. 【详解】因为α、β为锐角，()12cos 13αβ+=，()3cos 25αβ+=，所以02παβ<+<，022παβ<+<，则()5sin 13αβ+=，()4sin 25αβ+==， ()()cos cos 2ααβαβ⎡⎤=+-+⎣⎦()()()()cos 2cos sin 2sin αβαβαβαβ=+++++312455651351365=⨯+⨯=， 故答案为：5665. 48．（1）85；（2）1-.【分析】（1）由()22222sin cos 2tan sin cos 11sin cos 1tan αααααααα+=+=+++可得答案；（2）由()sin10sin103cos10sin 40tan103sin 403sin 40cos10cos10⎛⎫--=-=⋅⎪⎝⎭2sin 40cos40cos10=-可得答案.【详解】（1）tan 3α=，()222222sin cos 2tan 238sin cos 111sin cos 1tan 135αααααααα⨯∴+=+=+=+=+++； （2）()sin10sin103cos10sin 40tan103sin 403sin 40cos10cos10⎛⎫--=-=⋅⎪⎝⎭()13sin10cos102sin 40sin 1060222sin 40cos10cos10--=⋅=2sin 40sin502sin 40cos40cos10cos10=-=-sin801cos10=-=-. 49． 【分析】根据同角三角函数关系，可求得sin α的值，根据两角和的正弦公式、诱导公式、二倍角余弦公式，化简计算，即可得答案. 【详解】因为α是第一象限角，且5cos 13α=，所以12sin 13α=， 所以()22πsin 4222cos 24πcos sin cos sin 14αααααααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭===-+-- 50【详解】由题可知445tan 335AOC ∠==，所以()tan tan 60BOC AOC ∠=∠+tan tan 601tan tan 60AOC AOC ∠+=-∠⋅43413=-==. 51．（1）12（2） （3） （4【分析】（1）根据两角和的正弦公式，即可求出结果；（2）根据诱导公式()()sin 90=cos cos 90=sin αααα︒-︒-，化简，再根据两角和的余弦公式，即可求出结果；（3）根据诱导公式()sin 180=sin αα︒-，再根据两角差的正弦公式，即可求出结果； （4）先根据sin tan cos ααα=化简，再根据两角差的正弦公式，即可求出结果； （1）解：()1sin14cos16sin16cos14sin 1416sin 302︒︒︒+︒=+=︒=︒︒； （2）解：()()sin 21cos81sin69cos9sin 21cos81sin 9021cos 9081︒︒-︒︒=︒︒-︒-︒︒-︒ sin 21cos81cos21sin81=︒︒-︒︒()sin 8121sin 60=-︒-︒=-︒= （3）解：()()()()cos 70sin 170sin 70cos 10αααα︒+︒--︒+︒+()()()()=cos 70sin 18010+sin 70cos 10αααα︒+︒-︒-︒+︒+⎡⎤⎣⎦()()()()=cos 70sin 10+sin 70cos 10αααα︒+︒-︒+︒+()()sin 7010sin 60αα=-︒+-︒+=-︒=⎡⎤⎣⎦； （4）解：()sin 75sin15tan 75tan15cos 75cos15=cos 75cos15cos 75cos15︒︒⎛⎫︒-︒︒︒-︒︒ ⎪︒︒⎝⎭ sin 75cos15cos 75sin15=cos 75cos15cos 75cos15︒︒-︒︒⎛⎫︒︒ ⎪︒︒⎝⎭()sin 75cos15cos 75sin15sin 7515sin 60=︒︒-︒︒=︒-︒=︒=。
数学人教A版必修第一册5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
.
y
A (1, 0)
P (cos(α-β), sin(α-β)) A1 (cos β, sin β) P1 (cosα, sinα)
d ( x1 x2 )2 ( y1 y2 ) 2
AP =A1P1
∵ = 1 1 ∴ 根据两点间的距离公式可得：
∴ cos( − ) − 1
4
4
4
2
3
2 4
=
× −
+
×
2
5
2 5
2
=
10
15
4、已知 sin =
, 是第二象限角，求 cos( − )的值.
17
3
解： ∵ 是第二象限角
∴ cos = − 1 −
sin2
8
=−
17
15 3 − 8
∴ cos −
= cos cos + sin sin =
P1P2= ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) .
2
2
∟
两点间距离公式：
M2(x2, 0)
O
x
Q
P1(x1, y1) N1(0, y1)
∟
由此得到平面内P1(x1, y1), P2(x2, y2)
M1(x1, 0)
.
∟
P2(x2, y2)
∟
=(x1–x2)2+(y1–y2)2,
∟
P1P22=P1Q2+QP22
2 3 2 1 6 2
；
2 2 2 2
4
cos15°=?
探究
你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
所以 cos(α＋ β )＝－1114，
所以 sin β＝sin[(α＋ β )－α]
＝sin(α＋ β )cos α－cos (α＋ β )sin α
＝5143×17－－1114×4 7 3＝
3 2.
又因为 0＜ β ＜π2，所以 β ＝π3.
[迁移探究] (变换条件)若把本例中的“0＜ β＜π2” 改为“π2＜ β ＜π”，求角 β 的值．
解：因为 0＜α＜π2，cos α＝17，所以 sin α＝473. 又因为π2＜ β ＜π，所以π2＜α＋ β ＜32π. 因为 sin(α＋ β )＝5143，所以 cos (α＋ β )＝－1114，
所以 sin β＝sin [(α＋ β )－α]＝ sin(α＋ β )cos α－cos(α＋ β )sin α＝ 5143×17－－1114×473＝ 23. 又因为π2＜ β ＜π，所以 β＝23π.
归纳升华 1．(1)逆用两角和的正弦公式可得：asin x＋bcos x＝ a2＋b2·sin(x＋θ )；(2)将含有 sin ωx，cos ωx 的一次式 子化简成 Asin(ωx＋φ )的形式，为进一步研究函数的性质 提供了方便．
2．与特殊角有关的几个结论： sin x±cos x＝ 2sinx±π4； sin x± 3cos x＝2sinx±π3＝2cosx±π6.
2.两角和与差的正切公式
名称
公式
使用条件
两角和的 tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋π2
正切
tan α＋tanβ _1_－__ta_n__α_t_a_n_β__ (k∈Z)
两角差的 正切
tan(α－β)＝ tan α－tanβ
α，β，α－β≠kπ＋π2
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)
归纳与技巧：两角和与差的正弦、余弦和正切公式基础知识归纳1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．常用的公式变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4.基础题必做1． 若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选Dsin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. 2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( )A ．－22B.22C.32D ．1解析：选B 原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22. 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )A ．－53 B ．－19C.19D.53解析：选B cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19.4．(教材习题改编)若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________ 解析：由已知条件sin α＝－1－cos 2α＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝－7210. 答案：－72105．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝25，则tan α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝25， 即5tan α＋5＝2－2tan α. 则7tan α＝－3，故tan α＝－37.答案：－37解题方法归纳1.两角和与差的三角函数公式的理解：(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．三角函数公式的应用 典题导入[例1] 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2. (2)∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65， ∴2sin α＝1013，2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝65. 即sin α＝513，cos β＝35.∴cos α＝1213，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝1665.解题方法归纳两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．以题试法1．(1)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________.(2) 已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－17C ．－43D ．－7 解析：(1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45. ∴原式＝－75.(2)依题意得，sin α＝255，故tan α＝2，tan 2α＝2×21－4＝－43，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝1－431＋43＝－17. 答案：(1)－75 (2)B三角函数公式的逆用与变形应用典题导入[例2] 已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2cos 2x2－3sin x ＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，∴周期T ＝2π，f (x )的值域为[－1,3]．(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13. ∵α为第二象限角，∴sin α＝223. ∴cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.解题方法归纳运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．以题试法2．(1) 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋cos α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为( ) A.45 B.35 C.32D.35(2)若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．解析：(1)由条件得32sin α＋32cos α＝435， 即12sin α＋32cos α＝45. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45. (2)－1＝tan 3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β. ∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2，即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 答案：(1)A (2)2角 的 变 换 典题导入[例3] (1) 若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.(2) 设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． [自主解答] (1)由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2.故tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43.(2)因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425， cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝2425×22－725×22＝17250. [答案] (1)43 (2)17250解题方法归纳1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； 2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3．常见的配角技巧： α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)； α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]； π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α；α＝π4－⎝⎛⎭⎫π4－α.以题试法3．设tan ()α＋β＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.1318 B.1322 C.322D.16解析：选C tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322.1． 设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选A 由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3.2． 已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1解析：选C cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－1. 3． 已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( ) A.14 B ．－14C.12D ．－12解析：选A 依题意得，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝14.4．已知函数f (x )＝x 3＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为4，则函数g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x 的最大值和最小正周期为( )A ．1，πB ．2，π C.2，2πD.3，2π解析：选B 由题意得f ′(x )＝3x 2＋b ， f ′(1)＝3＋b ＝4，b ＝1. 所以g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 故函数的最大值为2，最小正周期为π. 5． 设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin ()α＋β＝35，则cos β＝( ) A.2525B.255C.2525或255D.55或525 解析：选A 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α、β均为锐角，因此0<α<α＋β<π， cos α>cos(α＋β)，注意到45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525.6．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53解析：选A 将sin α＋cos α＝33两边平方，可得1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝53.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－153，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)·(cos α＋sin α)＝－53. 7． 满足sin π5sin x ＋cos 4π5cos x ＝12的锐角x ＝________.解析：由已知可得 cos 4π5cos x ＋sin 4π5sin x ＝12，即cos ⎝⎛⎭⎫4π5－x ＝12，又x 是锐角，所以4π5－x ＝π3，即x ＝7π15.答案：7π158．化简2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝________. 解析：原式＝tan(90°－2α)·12sin 2αcos 2α＝sin (90°－2α)cos (90°－2α)·12sin 2αcos 2α ＝cos 2αsin 2α·12sin 2αcos 2α＝12. 答案：129． 已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.解析：依题设及三角函数的定义得： cos β＝－13，sin(α＋β)＝45.又∵0<β<π，∴π2<β<π，π2<α＋β<π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－35×⎝⎛⎭⎫－13＋45×223 ＝3＋8215.答案：3＋821510．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，求tan 2α和sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值． 解：∵tan α＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43，且sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴5sin 2α＝1，而α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝55，cos α＝255. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×255＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝45－15＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 11．已知：0<α<π2<β<π，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45. (1)求sin 2β的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值．解：(1)法一：∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin β＝22cos β＋22sin β＝13， ∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin 2β＝29，∴sin 2β＝－79. 法二：sin 2β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2β＝2cos 2⎝⎛⎭⎫β－π4－1＝－79. (2)∵0<α<π2<β<π， ∴π4<β<－π4<34π，π2<α＋β<3π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4>0，cos (α＋β)<0. ∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin (α＋β)＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝223，cos (α＋β)＝－35. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos (α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝－35×13＋45×223＝82－315. 12． 函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π－x 2，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (α)＝2105，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值． 解：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π－x 2＝sin x 2＋cos x 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4， 故f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π. (2)由f (α)＝2105，得sin α2＋cos α2＝2105， 则⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＝⎝⎛⎭⎫21052， 即1＋sin α＝85，解得sin α＝35，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α＝1－sin 2α＝ 1－925＝45， 故tan α＝sin αcos α＝34， 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝34＋11－34＝7.1．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ⎝⎛⎭⎫1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( ) A ．1B.110 C ．1或110 D ．1或10解析：选C tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg (10a )＋lg ⎝⎛⎭⎫1a 1－lg (10a )·lg ⎝⎛⎭⎫1a ＝1⇒lg 2a ＋lg a ＝0， 所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110. 2．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：123．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95， 即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45.又2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43. (2)∵β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，β－π4∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45， 于是sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫β－π4cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425. 又sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝－cos 2β， ∴cos 2β＝－2425， 又∵2β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin 2β＝725， 又∵cos 2α＝1＋cos 2α2＝45⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴cos α＝255，sin α＝55. ∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝255 ×⎝⎛⎭⎫－2425－55×725＝－11525.1． 已知函数f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π.(1)求f (x )的零点；(2)求f (x )的最大值和最小值．解：(1)令f (x )＝0，得sin x ·(3sin x ＋cos x )＝0， 所以sin x ＝0或tan x ＝－33. 由sin x ＝0，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，得x ＝π；由tan x ＝－33，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，得x ＝5π6. 综上，函数f (x )的零点为5π6，π.(2)f (x )＝32(1－cos 2x )＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3. 所以当2x －π3＝2π3，即x ＝π2时，f (x )的最大值为3； 当2x －π3＝3π2，即x ＝11π12时，f (x )的最小值为－1＋32. 2．已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值； 解：∵0<β<π2<α<π， ∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2<π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β ＝ 1－⎝⎛⎭⎫232＝53，sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2 ＝ 1－⎝⎛⎭⎫－192＝459. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527. ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 教案
两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案
三维教学目标
1.知识与技能
能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系. 能应用公式解决比较简单的有关应用的问题.
2.过程与方法
通过层层探究体会数学思维的形成特点.
3.情感目标与价值观
通过公式变形体会转化与化归的思想方法.
教学重点:推导两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式,并能区别两角和与差的正弦、余弦、正切公式．
教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的理解和灵活运用．
突破措施：学生在前面诱导公式及两角差的余弦公式的基础上，比较自然的推出
两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式．
学情分析：三角函数是高考的重点内容，本节主要是公式的推导和应用，难度不大，要让学生加强记忆，且熟练应用．
教学设计：
=
cos15_____
情景导入
有了两角差的余弦公式，我们能解决一些问题，但范围有
限，因此自然想得到两角差的正弦、正切公式，以及两角和的
72cos 42cos72sin 42
-20cos70sin 20sin 70-；（3）．1tan15
1tan15
+-
练习：求下列各式的值：
72
cos18cos72sin18
tan12tan 33tan12tan 33
++
34sin 26cos34cos 2620cos 40cos 20cos50
-+
)
131cos sin 22
x x - (2)cos x -
板书设计：。