第四章 统计推断
一尾检验与两尾检验的步骤相同，不同的是一尾检 验将显著水平 的概率值放到一侧，而不是将其均分到 左、右两侧，因此实际上采用的假设检验临界值是 u2 和 t 2 。
在相同 水平下，一尾检验否定区范围大于两尾 检验，所以一尾检验更易否定H0(对差异识别能力强)， 因此，选用一尾检验，应根据专业知识和试验目的来判 断是否有充足的依据。
统计上，把否定H0的概率标准叫显著水平。用 表示， 是个小概率，在生物学研究中，一般取0.05和0.01两个等级。 假设检验的步骤可概括为： （1）对样本所属总体提出无效假设H0，并设立备择假设HA； （2）确定检验的显著水平 ，在假定H0成立的前提下，根据 统计量的抽样分布，计算实得差异（表面效应）由抽样误差 造成的概率； （3）根据这个概率与显著水平 比较的结果，由小概率事 件实际不可能性原理进行差异显著性推断。 （4）根据统计推断结果，结合相应的专业知识，给出一个专 业的结论。
查附表得：P U 2.5 0.00621 ；故： P X 0 125 2 0.00621 0.0124
在总体平均数为2250g(在H0成立下)，方差为62500g2 的正态总体中以样本容量为25进行抽样，抽得的一个样本 平均数与总体平均数相差125g以上，由抽样误差造成的概 率为0.0124。
总体 (N)
总体特征(参数)一般未知
统计推断 假设检验 （定性）
随机抽样 样本容量n 样本1 样本2 样本N
n
参数估计（定量） 样本特征(统计量)可知
样本3
图1 随机抽样和统计推断示意图
三、假设检验 1．假设检验的基本原理 我们结合一个实例说明统计假设检验的基本原理。 例如：将20只老鼠随机分为数目相等的两组，一组作对照 不注射催产素，另一组注射，然后在规定的时间内测定每 组各个体的血糖值。 假定测定的结果对照组平均值为：=109.17， 注射催产素组为：=106.88， 两样本平均数并不相等，其差值（表面效应）为： =109.17-106.88=2.29，
第二节 对单个和两个总体平均数的假设检验
一、单个平均数的假设检验
单个平均数的假设检验是检验一个样本所属的总体平 均数μ与一个特定总体平均数μ0间是否存在显著差异的一 种统计方法，也可理解为检验一个样本是否来自某一特定 总体的统计分析方法。根据统计假设检验的基本原理可知， 假设检验的关键是根据统计量的分布计算实得差异（表面 效应）由抽样误差造成的概率。
5．假设检验的两类错误
当原假设实际上是正确的，而依据某一样本作出拒绝愿假设的判 断，这就将正确的假设误认为是错误的，我们将这种“以真为假”的 错误称为弃真错误，习惯叫它第一类错误或I型错误。 犯这种错误的原因在于我们是根据小概率事件原理来确定否定域 进而进行推断的，但事实上小概率事件并不是绝对不发生，一旦发生 了就否定原假设，因而就犯了弃真错误。犯弃真错误错误的概率就等 于我们所规定的小概率，即显著性水平。 我们可以通过选择显著性 水平来控制犯弃真错误的概率。
抽样误差出现的概率可利用前面所介绍的抽样分布来 计算，这里只要设定一概率标准，例如，表面效应由误差 造成的概率不大于5%便可推断表面效应不大可能由误差 所引起
统计假设检验的基本原理:
是根据试验目的对要比较的总体提出假设， 先承认待检验的假设成立，然后观察在此假设前 提下样本的出现是否属于小概率事件，如果是小 概率事件，则有充分的理由怀疑或否定原假设， 反之则不能否定原假设。
在生物学研究中两尾检验应用最为广泛。
在假设检验中,只有一个否定域（一侧）的假设检 验叫一尾检验。即否定域在检验统计量抽样分布的 一侧.
H 0： 0；H A： 0(左尾或左侧检验)或 H 0： 0；H A： 0(右尾或右侧检验) 课本(P63 )： H 0： 0；H A： 0(左尾或左侧检验) 或H 0： 0；H A： 0(右尾或右侧检验)
相伴概率：是指在原假设成立时检验统计量观测 值以及所有比它更为极端的可能值出现的概率之 和,用P表示。
例如：在上述例子中，检验统计量U的观测值为2.5， 如果是右尾检验，相伴概率就是：P=P U >2.5 0.00621， 这说明这是个发生概率很小的事件，小于我们常用标准0.05 或0.01；如果是双尾检验，相伴概率就是：P=P U >2.5 P U 2.5 P U >2.5 0.0124，同样也是个很小的概 率。但如果是左侧检验，相伴概率就是：P=P U 2.5 0.9938；这就不是一个小概率事件。
62500 X 0 2375g； 2500 g n 25 X X X 0 2375 2250 125 U 2.50 X X 50 2500
2 X
2
X 0 125 P X 0 125 P 2.5 x 50 P U 2.5 2 P U 2.5
的总体均值之间存在极显著差异。
因此,假设检验步骤简写成:
1、建立假设； 2、计算检验统计量； 3、确定否定域(临界值),作出统计推断
4．两尾(双侧)检验和一尾(单侧)检验
既考虑左边否定域又考虑右边否定域，即考虑统计量 抽样分布曲线两侧(两个尾部)的检验称之为两尾检验。
H0： 0；HA： 0
2．统计假设检验基本步骤
例: 设某一肉用仔鸡常规饲养条件下50d体重的总 体平均值为： 0 =2250g，方差为： 2 =62500 g 2。从该群体中随机选择25羽初生雏鸡，在常规饲 养基础上添加某种中药添加剂饲养50d，测得该样本 平均值为： x =2375g，问添加中药添加剂是否对仔 鸡50d体重有影响？ 假设检验的基本步骤为：
上例中 | u | 2.5，大于 u 0.05 = 1.96，所以u落在否定 区域内，但又小于 u 0.01 = 2.58，所以实得差异由误差造 成的概率在0.01～0.05间，“差异显著”。故否定 H0。 假设检验的第二步也可以不直接计算实得差异（表面 效应）由抽样误差造成的概率，而是用实得差异相对应的 检验统计量的值与假设检验的临界值比较，判断差异显著 性。方法如下：
（1）根据实际需要对未知或不完全知道的总体提出假设 无效假设H0：对需推知的总体参数提出的假设。(被直 接检验的假设称为原假设) 备择假设HA：在拒绝无效假设后可供选择的假设。
H0和HA是一对立事件，且构成完全事件系，即否定H0 就 意味着接受HA，接受H0 就意味着否定HA。 本例，无效假设H0为： 0 2250 ，即用中药饲养的25 羽雏鸡组成的样本所属的总体平均值与指定的正常饲养情况 下的总体平均值之间无实质差异。 备择假设HA为： 0 2250 ，即用中药作添加剂和不 用中药作添加剂，该肉鸡种50d体重的确存在着显著差异。
第四章 统计推断
第一节
统计推断的意义与原理
一、统计推断的意义和内容 统计推断,就是根据统计量的分布和概率理论，由样本 统计量来推断总体的参数。 统计推断包括统计假设检验和参数估计两部分内容。
统计假设检验又称显著性检验，它是根据某种实际需 要，对未知的或不完全知道的总体参数提出一些假设，然 后根据样本的实际结果和统计量的分布规律，通过一定的 计算，作出在一定概率意义下应当接受哪种假设的方法。 显著性检验的方法很多 ，常用的有t检验、F检验和2检验 等。尽管这些检验方法的用途及使用条件不同，但其检验 的基本原理是相同的。 参数估计包括两个方面，一是参数的点估计，二是参 数的区间估计。 二、统计量的抽样分布与统计推断的关系
（一）、总体方差已知时单个平均数的假设检验
当总体方差 2 已知时，根据样本平均数抽样分布的性 质，无论样本容量是大是小，均可用u分布计算实得差异 由抽样误差造成的概率，所以称u检验。
（2）在假定H0成立的前提下，根据统计量的抽样分布，计 算实得差异由抽样误差造成的概率。(构造合适的统计量)
就越大， X X X 发生的可能性就越小，说明抽样误差造成的概率就越小，计算 X 偏离
程度大小用P X 0 X i 0 表示。因此计算实得差异由抽样误差
另一种错误，原假设实际上是错的，而依据某一样本作出了接受 原假设的推断，也就是将错误的假设误认为是正确的，我们将这种“ 以假为真”的错误叫做纳伪错误，习惯叫它第2类错误或II型错误。 犯这种错误的原因是在原假设（错误的）下检验统计量抽样分布 的接受域与检验统计量的真实抽样分布发生部分重叠，当检验统计量 的取值落在了这个重叠的区域中时，我们将它当成了原假设下抽样分 布的抽样值。因而犯了纳伪错误。犯这种错误的概率等于真实抽样分 布中重叠部分的面积，用 表示。
1当 U
u0.05时，P 0.05，统计假设检验接受H 0，即要比较的
总体均值之间无显著差异。
2 当u0.05 U 3 当 U
u0.01时， P 0.05，假设检验否定H 0，接受H A， 0.01
即要比较的总体均值之间存在显著差异。 u0.01时，P 0.01，假设检验否定H 0，接受H A，即要比较
在H0成立的前提下，根据统计量的分布，计算实得 差异（表面效应）由抽样误差造成的概率大于0.05，则实 得差异（表面效应）由抽样误差造成的可能性较大，没有 理由认为实得差异（表面效应）由两总体平均值不同而造 成，检验的结果应当接受H0，两个总体平均值“差异不显 著”；如果实得差异（表面效应）由抽样误差造成的概率 在0.01～0.05之间，表示两个总体平均值“差异显著”， 应否定H0，接受HA；如果其概率值小于0.01，同样否定 H0，接受HA，表示两总体间存在“极显著差异”。
（3）根据小概率事件实际不可能性原理判断是否 接受H0
本例，在假定H0成立的前提下，经计算一个样本平 均数与总体平均数相差125以上，这一事件由抽样误差造 成的概率为0.0124，小于0.05，所以是一个小概率事件， 根据小概率事件实际不可能性原理，可以获得如下结论：
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统计推断1
小概率事件在一次观察中是不应发生的， 但是它现在发生了！！说明了什么？ 一个合理的解释就是它本不是“小概率事件”， 是人们把概率算错了，算错的原因就是在 一开始就做了一个错误的假设 米
换句话说，此时应该认为： 即年来男孩的身高有明显增长。
【例2 】某地进行了两个水稻品种对比试验， 在相同条件下，两个水稻品种分别种植10个 小区，获得两个水稻品种的平均产量（kg/亩） 为:
第四章 统计推断
第一节 统计推断概述
研究样本的目的是以各种样本统计量的 抽样分布为基础去推断总体。 如何从一些包含有随机误差，又不完全的信息 中得出科学的、尽可能正确的结论是统计学 要解决的主要问题。
从样本中获得的信息所包含的不确定性，
主要来自以下几个方面：
（1）测量过程引入的随机误差；
（2）取样随机性所带来的变化，由于只取出 少数样品测量，那么取出的这一批样品的测量 结果与抽取另外一批当然会有差别； （3）我们所关心的性质确实发生了某种变化。 显然，只有第三种变化才是我们要检测的。
对于从有误差的实验数据中得出结论的科学工作者
来说，统计学是一种不可或缺的工具。
一、 统计推断的途径
1、 统计假设检验** 2、总体参量估计。
二、假设检验的基本思想 先看两个实例 【例1】 某地区10年前普查时，13岁男孩子的 平均身高是1.51米，现抽查200个12.5~13.5岁 的男孩子，身高平均值为1.53米，标准差为 0.073米，问：10年来该地区男孩身高是否有 明显增长？
3、选择显著性水平与建立拒绝域 （2）建立拒绝域
① 分位数法（临界值法） ② 概率法（P值法） 利用显著性水平(概率值）构成接受域和拒绝域。 根据统计量数值的大小，先计算（或查表）出 （X>统计量数值）出现的概率，这个概率称为P值， 用P值与显著性水平相比较进行判断。
第4章 统计推断2
成对数据平均数的比较
在生物学或医学试验中，经常将试验配成若干配对，分 别作以不同处理，例如：用高粱的若干父本与两个不同 母本杂交，同一父本的两个杂交种是一个配对；用若干 同窝的两只动物作不同处理，每一窝的两只动物是一个 配对；在做药效试验时，测定若干试验动物服药前后的 有关数值，服药前后的一对数值是一个配对，等等。
2 2 x1 120.17( g ) s1 451.97( g ) 2 2 x2 101.00( g ) s2 425.33( g )
n1 12 n2 7
（１）假设 H0:σ12=σ22=σ2
HA: σ12 ≠ σ22
（2）水平 选取显著水平α＝0.05 （3）检验
s12 451.97 F 2 1.063 s2 425.33
差异？
B法：调查200株，平均天数为70.3d
试比较两种调查方法所得黑麦从播种到开花天数有无显著差别。
分 析
（１）这是两个样本（成组数据）平均数比较的假设检 验，σ12=σ22=(6.9d)2,样本为大样本，用u检验。
（２）因事先不知A、B两方法得到的天数孰高孰低，用 双尾检验。
6
（１）假设 （2）水平 （3）检验
2 e 2 1 2 2
s x1 x2
2 2 se se 10 .005 n1 n2
x1 x2 t 1.916 sx x
1 2
x1 x2 t 1.916 sx x
1 2
df=(n1-1)+(n2-1)=17 t 0.05(17) =2.110 P>0.05
差值样本的平均数等于样本平均数的差值
25
样本差数的方差
s
2 d
第四章 统计推断
所以一尾检验更易否定H0(对差异识别能力强)，因此，选用一
尾检验，应根据专业知识和试验目的来判断是否有充足的依据。
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相伴概率：是指在原假设成立时检验统计量观测 值以及所有比它更为极端的可能值出现的概率之 和,用P表示。
例如：在上述例子中，检验统计量U的观测值为2.5，
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这是否意味着注射与不注射催产素两种不同的处理，老鼠体
内血糖含量一定存在有显著差异，即两相应总体血糖含量不等
（ ≠ ）呢？1 2
由于抽样的原因，两样本平均数之差（ x1 x2），即 表面效应，或实得差异中一定包含有抽样误差造成的部分， 同时也可能包含有由于处理不同造成的总体平均数不等的部分，
125
2.5
50
P U 2.5 2P U 2.5
查附表得：P U 2.5 0.00621；故：
P X 0 125 2 0.00621 0.0124
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在总体平均数为2250g(在H0成立下)，方差为62500g2的正态
总体中以样本容量为25进行抽样，抽得的一个样本平均数与总体 平均数相差125g以上，由抽样误差造成的概率为0.0124。
无效假设H0：对需推知的总体参数提出的假设。(被直 验的假设称为原假设)
接检
备择假设HA：在拒绝无效假设后可供选择的假设。
H0和HA是一对立事件，且构成完全事件系，即否定H0 就意味着 接受HA，接受H0 就意味着否定HA。
本例鸡，组无成效的假样设本H0所为属：的总体平均0 值2与25指0，定即的用正中常药饲饲养养情的况25下羽的雏总
和原假设提供的信息，可以构造统计量：U X ;由于原总体服从正 n
尾检验，应根据专业知识和试验目的来判断是否有充足的依据。
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相伴概率：是指在原假设成立时检验统计量观测 值以及所有比它更为极端的可能值出现的概率之 和,用P表示。
例如：在上述例子中，检验统计量U的观测值为2.5，
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这是否意味着注射与不注射催产素两种不同的处理，老鼠体
内血糖含量一定存在有显著差异，即两相应总体血糖含量不等
（ ≠ ）呢？1 2
由于抽样的原因，两样本平均数之差（ x1 x2），即 表面效应，或实得差异中一定包含有抽样误差造成的部分， 同时也可能包含有由于处理不同造成的总体平均数不等的部分，
125
2.5
50
P U 2.5 2P U 2.5
查附表得：P U 2.5 0.00621；故：
P X 0 125 2 0.00621 0.0124
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在总体平均数为2250g(在H0成立下)，方差为62500g2的正态
总体中以样本容量为25进行抽样，抽得的一个样本平均数与总体 平均数相差125g以上，由抽样误差造成的概率为0.0124。
无效假设H0：对需推知的总体参数提出的假设。(被直 验的假设称为原假设)
接检
备择假设HA：在拒绝无效假设后可供选择的假设。
H0和HA是一对立事件，且构成完全事件系，即否定H0 就意味着 接受HA，接受H0 就意味着否定HA。
本例鸡，组无成效的假样设本H0所为属：的总体平均0 值2与25指0，定即的用正中常药饲饲养养情的况25下羽的雏总
和原假设提供的信息，可以构造统计量：U X ;由于原总体服从正 n
第4章统计推断PPT课件
x x （3.41）
t
s x
sn
9
t分布的特征：
（1）曲线左右对称，围绕平均数μt=0向两侧递降。
（2） t分布受自由度df=n-1的制约，每个自由度都有一
条t分布曲线。
（3）和正态分布相比，t分布的顶部偏低，尾部偏高， df〉30时，其曲线接近正态分布曲线，当df→+∞时，则和正态 曲线重合。
拒绝域比较，若没落入，则认为有显著差异，单未 达极显著差异，拒绝H0
若也落入α＝0.01拒绝域，则认为差异极显著，拒
绝H0
36
例3.1 已知豌豆重量（mg）服从N（377.2，3.32）。
在改善栽培条件后，随机抽取9粒，籽粒平均重 X =379.2，若标准差仍为3.3，问改善栽培条件是否显 著提高了豌豆籽粒重量？
解：1.小麦的株高是服从正态分布的随机变量
2.假设：
H0: σ=σ0(14cm)
HA: σ<σ0(14cm)
关于备择假设的说明：小麦经过提纯后株高只 能变得更整齐，绝不会变得更离散。即σ只能小于σ0 。因此， HA: σ<σ0
3.显著性水平：规定α=0.01
40
4.统计量的值： 2n 1 0 2S2 ~2n1
正态分布和t分布：双侧检验－－取绝对值与分位数 比 ；单侧检验－－下单尾是小于负分位数拒绝H0； 上单尾是大于分位数拒绝H0。
χ2分布:下侧分位数和上侧分位数
35
5.计算统计量
把样本观测值代入统计量公式，求得统计量取值 ，检查是否落入拒绝域。
若没落入，则认为无显著差异，接受H0
若落入α＝0.05的拒绝域，则应进一步与α＝0.01的
10
注: t1(n)t(n) 分位点
第4章 统计推断
第四章 统计推断
第一节 假设检验的方法 第二节 单个样本平均数假设测验 第三节 两个样本平均数假设测验 第四节 参数的区间估计
学习目的
理解假设检验与区间估计的原理
掌握假设检验的步骤 对实际问题进行统计测验及总体参数估 计
第一节 假设检验的方法
统 计 推 断 的 概 念
总体
抽样分布
样本1
表2 两种栽培方法的地瓜产量 单位（kg/亩）
有机
2722.2
2866.7
2675.9
2169.2
2253.9
2315.1
标准
951.4
1417
1275.3
2228.5
2462.6
2715.4
(一) 成组数据的平均数比较
1. u检验
两个样本总体方差已知，或总体方差未知， 但为大样本时采用 例1 已知早稻佳辐品种σ2=1.35，用A、B两种方 法取样，A取15个样点，平均产量x1=7.69；B法取9 个样点，平均产量x2=8.77。检验两种取样法测得
t = d sd
[例4-7] 选生长期、发育
进度、植株大小和其他方
面皆比较一致的两块地的 红心地瓜苗配成一对，共 有6对。每对中一块地按 标准化栽培，另一块地进
表 两种栽培方法的地瓜产量 单位（kg/亩）
有机 2722.2 2866.7 2675.9 2169.2 2253.9 2315.1
标准 951.4 1417 1275.3 2228.5 2462.6 2715.4
两尾测验与一尾测验
假设 双尾测验 左尾测验 右尾测验
H0 HA
μ=μ0 μ≠μ0
μ≥μ0 μ<μ0
μ≤μ0 μ>μ0
第一节 假设检验的方法 第二节 单个样本平均数假设测验 第三节 两个样本平均数假设测验 第四节 参数的区间估计
学习目的
理解假设检验与区间估计的原理
掌握假设检验的步骤 对实际问题进行统计测验及总体参数估 计
第一节 假设检验的方法
统 计 推 断 的 概 念
总体
抽样分布
样本1
表2 两种栽培方法的地瓜产量 单位（kg/亩）
有机
2722.2
2866.7
2675.9
2169.2
2253.9
2315.1
标准
951.4
1417
1275.3
2228.5
2462.6
2715.4
(一) 成组数据的平均数比较
1. u检验
两个样本总体方差已知，或总体方差未知， 但为大样本时采用 例1 已知早稻佳辐品种σ2=1.35，用A、B两种方 法取样，A取15个样点，平均产量x1=7.69；B法取9 个样点，平均产量x2=8.77。检验两种取样法测得
t = d sd
[例4-7] 选生长期、发育
进度、植株大小和其他方
面皆比较一致的两块地的 红心地瓜苗配成一对，共 有6对。每对中一块地按 标准化栽培，另一块地进
表 两种栽培方法的地瓜产量 单位（kg/亩）
有机 2722.2 2866.7 2675.9 2169.2 2253.9 2315.1
标准 951.4 1417 1275.3 2228.5 2462.6 2715.4
两尾测验与一尾测验
假设 双尾测验 左尾测验 右尾测验
H0 HA
μ=μ0 μ≠μ0
μ≥μ0 μ<μ0
μ≤μ0 μ>μ0
《数学教育测量与评价》第 4 章 成绩的推断统计
4.2 推断统计的基本思想和一般步骤
一 参数估计
参数估计（parameter estimation）是利用从总体中抽取的 样本来估计总体的未知参数的方法。人们常常需要根据手中的 数据，分析或推断数据反映的本质规律。即根据样本数据如何 选择统计量去推断总体的分布或数字特征等。统计推断是数理 统计研究的核心问题。所谓统计推断是指根据样本对总体分布 或分布的数字特征等做出合理的推断。参数估计是统计推断的 一种基本形式，是数理统计学的一个重要分支，分为点估计和 区间估计两部分。
二 总体参数和样本统计量
数理统计中把代表总体特征的量数成为参数，代表样本特 征的量数称为统计量。总体参数是根据总体中所有个体的相应 数值或属性计算的反映总体某种属性或特征的指标，又称为总 体指标。常用的总体指标有总体平均数（或总体中数）、总体 标准差（或总体方差 ）、总体相关系数等。
样本统计量是由样本中所有个体的相应观测数值或属性计 算出来的反映样本特征的指标，又称样本指标或抽样指标，用 来估计总体指标。统计量用来估计总体参数，因此与总体参数 相对应，统计量有样本平均数（或样本中数）、样本标准差 （或样本方差 ）、样本相关系数等。
通常，当样本容量较大时，样本平均数的抽样分布近似服 从正态分布，其分布以总体平均数为中心，即平均数抽样分布 的平均数等于总体平均数(平均数的抽样分布的平均数指的是 所有样本的平均数的平均数，可以验证它与总体的平均数相 等)。平均数抽样分布的标准差称为其抽样误差或者标准误， 可以用统计方法估计其大小。抽样误差的大小与样本容量的平 方根成反比，对特定总体，样本容量越大，抽样误差越小，用 样本统计量估计总体参数的可靠性就越高。但是，样本容量与 抽样误差之间不存在直线关系，即样本容量增加到一定程度时， 抽样误差减少的速度变得很慢，但是此时抽样成本就很高了， 从而样本容量也不是越大越好。
统计学第四章 统计推断1
求解似然方程
ˆ
1 1 7 i1 xi x 4
27
7
27
【例】总体均匀分布 X ∼ U(a,b)，其中，a,b 是未知参数。设 X1,..., X n 为来自该总体的随机样本， x1 ,..., xn 为样本观察值，求未知参 数 a,b 的极大似然估计
1 x [a, b] b a f (x, a, b) 解：总体服从均匀分布，即 0 x [a, b]
ˆ X,
n n 1 1 ˆ 2 X i2 X 2 ( X i X ) 2 . n i 1 n i 1
16
16
例总体X的概分布为
X
1
1
2
„
1 „
θ
1
试求未知参数θ的估计量。
pi
E ( X ) 1
1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) 2 (1 2 ) [ ] 2 2
12
（一） 矩估计法
统计学中，矩是指以期望值为基础而定 义的数字特征，如数学期望、方差、协方差等。 矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊最早提 出来的，其理论基础是大数定理。 设X为随机变量，对任意的正整数k ，称E(Xk)、
E[(X-EX)] k分别为随机变量X的k 阶原点矩和k 阶中心矩。
由样本矩去估计总体矩的方法称为矩估计法； 由矩估计法得到的估计量称为矩估计量。
13
k E ( X ) 存在，则 由大数定律，若总体 k 阶原点矩
1 n k lim P X i E ( X k ) 0 n ，即样本的 n i 1
k 阶原点矩依概率收敛于总体
k k E ( X ) E ( X ) 知时，自然会想到用子样 k 阶 k 阶原点矩 ，所以当
【生物统计】4第四章统计推断
正态总体平均数的区间估计
当 2未知
x
x
~ N(0,1)
2
(n 1) s 2
2
~ 2 (n 1)
x
x
x x (n 1) s ~ t (n 1) 2 sx (n 1) s n
参数估计 - 区间估计
x P(t t ) 1 sx
2
n
参数估计 - 点估计
均方误差：
2 2 ˆ ˆ ˆ E( ) Var( ) [E( ) ]
一致性：估计值随着样本的增大而更加接近 真值 有效性: 抽样方差达到最小的无偏估计 充分性: 估计函数包含了关于被估参数的全 部信息
参数估计 - 区间估计
以一定的置信度对参数可能取值范围的估计
(n 1) s ( x1 x ) 1.5460
2 2
ˆ x 是的无偏估计量 E( x )
参数估计 - 点估计
样本方差的期望
E[ ( xi x ) 2 ] E{ [(x ) (x )]2 } E[ ( x ) 2 2( x ) ( x ) n( x ) 2 ] E[ ( x ) n( x ) ] E ( x ) nE( x )
正态总体样本平均数的分布
正态总体样本平均数的分布
设样本来自正态总体 N( , 2)，则样本平均数也 服从正态分布，其总体均数为 ，方差为 2/n。
X ~ N(, 2 )
x ~ N( , ) n
2
正态总体样本平均数的分布
正态总体样本平均数的分布
设样本来自正态总体 N( , 2)，则样本平均数也 服从正态分布，其总体均数为 ，方差为 2/n。
当 2未知
x
x
~ N(0,1)
2
(n 1) s 2
2
~ 2 (n 1)
x
x
x x (n 1) s ~ t (n 1) 2 sx (n 1) s n
参数估计 - 区间估计
x P(t t ) 1 sx
2
n
参数估计 - 点估计
均方误差：
2 2 ˆ ˆ ˆ E( ) Var( ) [E( ) ]
一致性：估计值随着样本的增大而更加接近 真值 有效性: 抽样方差达到最小的无偏估计 充分性: 估计函数包含了关于被估参数的全 部信息
参数估计 - 区间估计
以一定的置信度对参数可能取值范围的估计
(n 1) s ( x1 x ) 1.5460
2 2
ˆ x 是的无偏估计量 E( x )
参数估计 - 点估计
样本方差的期望
E[ ( xi x ) 2 ] E{ [(x ) (x )]2 } E[ ( x ) 2 2( x ) ( x ) n( x ) 2 ] E[ ( x ) n( x ) ] E ( x ) nE( x )
正态总体样本平均数的分布
正态总体样本平均数的分布
设样本来自正态总体 N( , 2)，则样本平均数也 服从正态分布，其总体均数为 ，方差为 2/n。
X ~ N(, 2 )
x ~ N( , ) n
2
正态总体样本平均数的分布
正态总体样本平均数的分布
设样本来自正态总体 N( , 2)，则样本平均数也 服从正态分布，其总体均数为 ，方差为 2/n。
《应用统计学》(04)第4章 用样本推断总体
1500 1520 1510 1470
*
应用统计学
Applied Statistics
一个总体均值的区间估计
(例题分析—小样本)
解：已知Ｘ~N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131 根据样本数据计算得：x 1490 ， s 24.77 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
资 料 来 源 ： GUDMUND R.IVERSEN 和 MARY GERGRN著，《统计学—基本概念和方法》
4-5
*
应用统计学
Applied Statistics
统计应用
小儿麻痹症实验
1954年，为了检验沙克疫苗对小儿麻痹症预防的有效 性而进行了一项实验。大约有20万名儿童注射了无效 的盐水，而另外20万名儿童注射了疫苗 这项实验是“双盲的”，因为接受注射的儿童不知道 是被注射了疫苗还是安慰剂，进行注射并评价结果的 医生也不知道 在20万名注射疫苗的儿童中，只有33人后来患了小儿 麻痹症，而注射了盐水的 20万名儿童中后来有 115 人 患了小儿麻痹症。根据这些结果和其他一些结果的统 计分析得出结论，沙克疫苗在预防小儿麻痹症方面确 实是有效的
4 - 20
应用统计学
Applied Statistics
无偏性
(unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数
P(ˆ ) 无偏 有偏Biblioteka A4 - 21
B
ˆ
*
应用统计学
Applied Statistics
有效性
(efficiency)
量，有更小标准差的估计量更有效
怎样解决下面的问题？
一个水库里有多少鱼？ 一片原始森林里的木材储蓄量有多少？
第4章 统计推断 120
H0
1 2
1 2 1 2
H1
1 2
1 2 1 2
医学统计学
12
三 、双尾检验与单尾检验
２
否定区 接受区
２
否定区
双尾 检验
接受区 否定 区
单尾 检验
二 、假设检验的步骤
2.确定检验水准 检验水准(size of a test)亦称显著 性根水据准选(定sig的ni显fic著an性ce水le平ve(l)0，.0符5或号0为.0α1。)，决定接受 还它是是拒判绝别H差0. 异有无统计意义的概率水准，其大小 应根据分析的要求确定。通常取α= 0.05。
u值。
医学统计学
15
二 、假设检验的步骤
4.确定概率P值 P值是指在H0所规定的总体中作随机抽样，获得等于
或及的样大前本于提（下间出或的小现差于观异）察由样现抽有本样统以误计及差更量所的极致概端的率情概。况即的率概在。率H0为。真
│t│≥ tα,υ ,则P≤ α；
可以认为差别不由抽样误差引起，可以拒绝H0
医学统计学
14
二 、假设检验的步骤
3.选定检验方法和计算统计量
的根选检据验择研方究法适设。计当如的完类的全型随统和机统计设计计推方中断，法的两目计样的本要算均求数H选的用0比不较同 可不成同用的t立检统验计的，检样可验本方能含法量，性较可大即得时到（概不n同>率1的00有统）计,可多量用，大Z如检t验值。和
假设检验的原理
反证法：当一件事情的发生只有两种可能A和B， 为了肯定其中的一种情况A，但又不能直接证实A， 这时否定另一种可能B，则间接的肯定了A。
小概率原理：概率很小的事件在一次抽样试验中