线性代数向量及其线性运算课件
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《向量的线性运算》课件
02 向量的线性运算
向量的加法
总结词
向量加法是向量运算中的基本运算之一，它遵循平行四边形法则。
详细描述
向量加法是将两个向量首尾相连，然后由第一个向量的起点指向第二个向量的终 点的向量。这个新的向量称为原来两个向量的和。在几何上，向量加法可以由平 行四边形的对角线向量得出。
向量的数乘
总结词
数乘是向量的一种线性运算，它通过 乘以一个标量来改变向量的长度和方 向。
《向量的线性运算》 ppt课件
目录
Contents
• 向量的基本概念 • 向量的线性运算 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的外积
01 向量的基本概念
向量的定义
总结词
向量是一个既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
详细描述
向量是物理学、工程学和数学中常用的概念，它表示一个既有大小又有方向的 量。在二维或三维空间中，向量通常用有向线段表示，起点为原点，终点为任 意点。
详细描述
数乘是将一个向量与一个标量相乘， 得到的结果是原向量的长度按比例缩 放，同时方向可能改变。数乘满足结 合律和分配律，但不满足交换律。
向量的减法
总结词
向量减法是通过将一个向量的起点与另一个向量的终点相连，得到的结果向量就是两个向量的差。
详细描述
向量减法是将两个向量首尾相连，由第一个向量的起点指向第二个向量的起点，这个新的向量称为原 来两个向量的差。在几何上，向量减法可以由三角形法则得出。
向量积不满足交换律，即a×b≠b×a；向量积也不满足结合 律，即(a+b)×c≠a×c+b×c。
05 向量的外积
外积的定义
总结词
基于向量的坐标表示
详细描述
第一节向量及其线性运算共55页PPT
第一节向量及其线性运算
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
END
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
END
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
高等代数课件-§1 向量及其线性运算
其中O是任意取定的一点.
向，并且 0 AM AB ，所以 AM k AB,0 k 1. 任取一点O，由上式得 OM OA k (OB OA) ， 即 OM (1 k )OA kOB
AM OM OA ( OA OB) ( )OA (OB OA) AB
于是 AM 与 AB 共线，所以M在直线AB上.由于 0≤μ ≤1，所以M在线段AB上.
情形1 ：若λ ,μ 同号，则λ a与μ a同向，因 此 a a a a a a
同时 a a a , 于是 a a a , 并且当λ ,μ 同号时，显然 a a与 a 同 向，所以 a a a.
（2）λ(μa)=(λμ)a； （3）(λ+μ)a=λa+μa； （4）λ (a+b)=λ a+λ b. (1.1) (1.2)
关于（1）和（2）可用定义1.3直接验证.
（3）的证明 时，则等式（1.1）显然成立.
若a= 0 或者λ ,μ 中有一个为零
下面设λ ,μ 都不等于零，并且a≠ 0 .
2. 一个向量a可以用一条有向线段 AB 来表示，
3.我们今后把向量的大小也称为向量的长 度。向量a的长度记作 a . 量的方向不确定.
4.长度为零的向量称为零向量。记作 0 。零向
5.长度为1的向量称为单位向量.与a同向的单 a0 . 位向量记作 6.与a长度相等并且方向相反的向量称为a的 反向量，记作-a .
DC =μ b.
唯一性: 假如c=λ a+μb=λ 1a+μ 1b,则有 (λ -λ 1)a+(μ -μ 1)b= 0 ， 因为a与b不共线，根据推1.1即得 λ -λ 1=0，μ -μ 1=0， 于是λ =λ 1，μ =μ 1.
向量及其线性运算ppt课件
ax
az )
ay
az
bx by bz
22
例5 求解以向量为未知元的线性方程组
5
x
3
y
a,
其中
a
(2,1,2),
3x 2 y b, b (1,1,2).
解 如同解以实数为未知元的线性方程组一样，
可解得 x 2a 3b, y 3a 5b.
向量的模 26
例 7 求证以M1(4,3,1)、 M 2 (7,1,2)、 M3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6, M2M3 M3M1 , 原结论成立.
两式相减，得
(
)a
0，
即
a 0，
a 0， 故 0， 即 .
8
此定理是建立数轴的理论依据
数轴：点、方向、单位长度
． 1 ．x
O i Px
点P 向量 OP = xi 实数 x
轴上点P的坐标为x的充分必要条件是 OP = xi . 另外 设a0表示与非零向量a 同方向的单位向量，
zR
M1
P o
d M1M2 ?
M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
az )
ay
az
bx by bz
22
例5 求解以向量为未知元的线性方程组
5
x
3
y
a,
其中
a
(2,1,2),
3x 2 y b, b (1,1,2).
解 如同解以实数为未知元的线性方程组一样，
可解得 x 2a 3b, y 3a 5b.
向量的模 26
例 7 求证以M1(4,3,1)、 M 2 (7,1,2)、 M3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6, M2M3 M3M1 , 原结论成立.
两式相减，得
(
)a
0，
即
a 0，
a 0， 故 0， 即 .
8
此定理是建立数轴的理论依据
数轴：点、方向、单位长度
． 1 ．x
O i Px
点P 向量 OP = xi 实数 x
轴上点P的坐标为x的充分必要条件是 OP = xi . 另外 设a0表示与非零向量a 同方向的单位向量，
zR
M1
P o
d M1M2 ?
M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
5-1第一节向量及其线性运算 50页PPT文档
a { ( a a x x , b a x y ) ,i a ( z a } y b y ) j ( a z b z ) k ; ( a x ) i ( a y ) j ( a z ) k .
例 ： 设 M 1 ( 1 , 3 , 4 ) , M 2 ( 2 , 1 , 3 ) , 求 O M 1 + O M 2 , O M 1 O M 2 M 1 M 2 .
PP2 x21212 x22,
PP1 2PP2 , x2112 x22
x1, 所求点为 (1 ,0 ,0 ),( 1 ,0 ,0 ).
二、向量的概念
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a或 M1M2
M 1
向量的以 模M ：1向为 量起 点 的， 大M 小.2为 | a终 |或点 |的 M有 1M 向 2线 | 段 .
例1 化简 a b 51b b 3a 2 5
解 a b 51b b 3a 2 5
(13)a 15 21 55 b
2a 5b. 2
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的
四边形必是平行四边形.
例 2 设A(x1, y1,z1)和B(x2, y2,z2)为两已知 点，而在AB直线上的点M 分有向线段AB为
两部分AM、MB，使它们的值的比等于某数
( 1)，即AM，求分点的坐标.
MB
解 设 M(x,y,z)为直线上的点， z
B
A { x M x 1 ,y y 1 ,z z 1 } A M
o
y
x
z
由图分析可知
M2M3 M3M1, 原结论成立.
例 2 设 P在 x轴 上 ， 它 到 P1(0, 2,3)的 距 离 为 到 点 P2(0,1,1)的 距 离 的 两 倍 ， 求 点 P的 坐 标 .
例 ： 设 M 1 ( 1 , 3 , 4 ) , M 2 ( 2 , 1 , 3 ) , 求 O M 1 + O M 2 , O M 1 O M 2 M 1 M 2 .
PP2 x21212 x22,
PP1 2PP2 , x2112 x22
x1, 所求点为 (1 ,0 ,0 ),( 1 ,0 ,0 ).
二、向量的概念
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a或 M1M2
M 1
向量的以 模M ：1向为 量起 点 的， 大M 小.2为 | a终 |或点 |的 M有 1M 向 2线 | 段 .
例1 化简 a b 51b b 3a 2 5
解 a b 51b b 3a 2 5
(13)a 15 21 55 b
2a 5b. 2
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的
四边形必是平行四边形.
例 2 设A(x1, y1,z1)和B(x2, y2,z2)为两已知 点，而在AB直线上的点M 分有向线段AB为
两部分AM、MB，使它们的值的比等于某数
( 1)，即AM，求分点的坐标.
MB
解 设 M(x,y,z)为直线上的点， z
B
A { x M x 1 ,y y 1 ,z z 1 } A M
o
y
x
z
由图分析可知
M2M3 M3M1, 原结论成立.
例 2 设 P在 x轴 上 ， 它 到 P1(0, 2,3)的 距 离 为 到 点 P2(0,1,1)的 距 离 的 两 倍 ， 求 点 P的 坐 标 .
向量及其线性运算ppt课件
向量的共线 :因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行 又称两向量共线 .
向量的共面 :若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
第一讲 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、向量线性运算的坐标表示式 五、向量的模、方向角和投影
a∥b
( 为唯一实数)
注 定理1是建立数轴的理论根据
点P
向量OP =xi
实数x 点P的坐标
例1 设M为 ABCD 对角线的交点,
D
C
bM 用a与b表示 MA, MB , MC , MD . A a B
第一讲 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、向量线性运算的坐标表示式 五、向量的模、方向角和投影
B(0, y, z)
C( x,0, z)
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
SUCCESS
THANK YOU
2019/5/6
坐标轴和坐标面的坐标 特征:
z
坐标轴 :
x轴
o
y
坐标面 :
x
向量的坐标表示
z
x,y,z轴上的单位向量
C
任意向量
向径
点M的坐标
ko i
1．向量的加法 2．向量的减法 3．向量与数的乘法
运算法则 是一个数
,
与
a
的乘积是一个向量,
记作
a
.
规定
a a
注
则
1 a
a为单位向量,记作 ea
运算律
结合律 分配律
向量的共面 :若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
第一讲 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、向量线性运算的坐标表示式 五、向量的模、方向角和投影
a∥b
( 为唯一实数)
注 定理1是建立数轴的理论根据
点P
向量OP =xi
实数x 点P的坐标
例1 设M为 ABCD 对角线的交点,
D
C
bM 用a与b表示 MA, MB , MC , MD . A a B
第一讲 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、向量线性运算的坐标表示式 五、向量的模、方向角和投影
B(0, y, z)
C( x,0, z)
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
SUCCESS
THANK YOU
2019/5/6
坐标轴和坐标面的坐标 特征:
z
坐标轴 :
x轴
o
y
坐标面 :
x
向量的坐标表示
z
x,y,z轴上的单位向量
C
任意向量
向径
点M的坐标
ko i
1．向量的加法 2．向量的减法 3．向量与数的乘法
运算法则 是一个数
,
与
a
的乘积是一个向量,
记作
a
.
规定
a a
注
则
1 a
a为单位向量,记作 ea
运算律
结合律 分配律
线性代数向量及其线性运算 ppt课件
称为数ｋ与向量α的数量积.
设β=kα，那么两个向量之间是什么样的关系？ 引申到多个向量，关系又如何？
一定义 给定 A : 向 1,2, 量 ,m 和 组 b 向 ,如量 果 一 组 1 ， 2 ， 数 ,m ，使
b 1 1 2 2 m m
则向b是 量向量 A的 组线性组合， 向量这 b能时称 由向量组 A线性表示．
iT a i1a i2L a i n
矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维 数，二者必须分清.
三、向量组、矩阵、线性方程组
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所 组成的集合叫做向量组．
记作： A :1 ,2 ,L ,s .or. i
例如 对于一个 m矩n阵有ｎ个ｍ维列向量.
解 n维单位坐标向量组 的构 矩成 阵 I (e1,e2,,en)
是n阶单位矩. 阵由I10， 及定理2的推论知 n维单位坐标向量组线 无性 关。
自己练习：
1、设向量组 1k 3 0T, 21 k 2T, 30 2 1Τ线性相关，则ｋk3.or.k1 .
2、设向量组1Ta 0 c,2Tb c 0, 3T0ab线性无关，则 a , b , c 必满足 abc.0
A
a i1 a i2
a in
T i
a m 1 a m 2
a mn
T m
向量组 A :1 T ,2 T ,L ,m T 为矩阵Ａ的行向量组．
四、线性方程组AX=b的向量表示
a11x1a12x2 a1nxn b1, a21x1a22x2 a2nxn b2, am1x1am2x2 amnxn bm.
P91定理
推论 ｎ个ｎ维向量线性无关 a ij 0 . 推论 ｎ个ｎ维向量线性相关 a ij 0 .
设β=kα，那么两个向量之间是什么样的关系？ 引申到多个向量，关系又如何？
一定义 给定 A : 向 1,2, 量 ,m 和 组 b 向 ,如量 果 一 组 1 ， 2 ， 数 ,m ，使
b 1 1 2 2 m m
则向b是 量向量 A的 组线性组合， 向量这 b能时称 由向量组 A线性表示．
iT a i1a i2L a i n
矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维 数，二者必须分清.
三、向量组、矩阵、线性方程组
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所 组成的集合叫做向量组．
记作： A :1 ,2 ,L ,s .or. i
例如 对于一个 m矩n阵有ｎ个ｍ维列向量.
解 n维单位坐标向量组 的构 矩成 阵 I (e1,e2,,en)
是n阶单位矩. 阵由I10， 及定理2的推论知 n维单位坐标向量组线 无性 关。
自己练习：
1、设向量组 1k 3 0T, 21 k 2T, 30 2 1Τ线性相关，则ｋk3.or.k1 .
2、设向量组1Ta 0 c,2Tb c 0, 3T0ab线性无关，则 a , b , c 必满足 abc.0
A
a i1 a i2
a in
T i
a m 1 a m 2
a mn
T m
向量组 A :1 T ,2 T ,L ,m T 为矩阵Ａ的行向量组．
四、线性方程组AX=b的向量表示
a11x1a12x2 a1nxn b1, a21x1a22x2 a2nxn b2, am1x1am2x2 amnxn bm.
P91定理
推论 ｎ个ｎ维向量线性无关 a ij 0 . 推论 ｎ个ｎ维向量线性相关 a ij 0 .
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解 任意两个ｎ维向量的和仍是一个ｎ维向量； 任意ｎ维向量乘以一个数仍是一个ｎ维向量．
易知 该集合对加法封闭，对数乘也封闭， 所以，所有ｎ维向量的集合构成一个向量空间.
2、结构
解析几何
向量
(n 3)
线性代数
坐
既有大小又有方向的量
有次序的实数组成的数组
几何形象：可 随 意 平行移动的有向线段
标
代数形象：向 量 的
为数域 F 上的向量.
2) 运算规律
k ( + ) =k + k , (k + l ) = k + l , k ( l ) = ( kl ) , 1 = , 0 = 0 , (-1) = - , k 0 = 0 . 如果 k 0, 0, 那么
k0.
3、向量与矩阵的关系
2. 向量的加法
1) 定义 定义 2 . 4 向量
= ( a1 + b1 , a2 + b2 , … , an + bn )T
称为向量
= ( a1 , a2 , … , an)T, = (b1 , b2 , … , bn )T
的和，记为
=+.
2) 运算规律
交换律 + = + .
结合律 + ( + ) = ( + ) + . 3) 运算规律的几何验证
矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维 数，二者必须分清.
三、向量组、矩阵、线性方程组
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所 组成的集合叫做向量组．
记作： A : 1,2 ,L ,s .or. i
例如 对于一个 m 矩n 阵有ｎ个ｍ维列向量.
1 2
j
n
a11 a12 a1 j a1n
n xn b
方程组的解x1=c1, x2=c2,…., xn=cn,可以用n维列向量：
x=（c1,c2,…., cn)T
来表示。此时称为方程组的一个解向量。（P78）
五、向量空间
1、定义 设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足 ①对加法封闭 if V , V V; ②对数乘封闭 if V , R V . 那么就称向量组Ｖ为向量空间（Vector Space）． 例３ ｎ维向量的集合是一个向量空间,记作 Rn.
A
a21
a22
a2 j a2n
am1 am2 amj amn
向量组 A : 1,2 ,L ,n 称为矩阵Ａ的列向量组.
类似的，矩阵有ｍ个ｎ维行向量.
a11 a12 a1n
T 1
a21 a22
a2n
T 2
A
ai1 ai2
ain
T i
am1 am2 amn
T m
向量组
A :
m
四、线性方程组AX=b的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
x x
11
22
下4面) 用 负向3 维 量向量来验证向量加法的交换律 合律. 定义 向量 ( - a1 , - a2 , … , - an )T 称为向量
=用(a1几, a何 2, …的, 方 an)法的求负两 向个 量向 ，记量为-，. 的和向量
+ 的步骤是：把 的起点移到 的终点，然
显然，对于所有的 ，都有 +0=， +(-)=0.
以后我们用小写希腊字母 ，， 等来代表向
量.
三、n 维向量的运算 1. 两个向量相等 定义 2 . 3 如果 n 维向量
= ( a1 , a2 , … , an)T, = (b1 , b2 , … , bn )T
的对应分量都相等，即 ai = bi ( i = 1, 2, … , n ) ,
就称这两个向量是相等的，记作 = .
ｎ维向量写成一列，称为列矩阵，也就是列向量，
记作α,β,γ.
如：
a1
a2
M
an
（Column Vector）
注意 １、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；
２、当没有明确说明时，都当作实的列向量.
几何上的向量可以认为是它的特殊情形，即 n = 2, 3 且 F 为实数域的情形. 在 n > 3 时，n 维向 量就没有直观的几何意义了. 我们所以仍称它为向 量，一方面固然是由于它包括通常的向量作为特殊 情形， 另一方面也由于它与通常的向量一样可以定 义运算，并且有许多运算性质是共同的，因而采取 这样一个几何的名词有好处.
5) 向量减法运算
定义 - = + ( - ) .
3. 数量乘积
1) 定义 定义 2 . 5 设 k 为数域 F 中的数，向量
( ka1 , ka2 , … , kan )
称为向量 = ( a1, a2, …, an ) 与数 k 的数量乘积， 记为 k .
向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运 算. 显然，数域 F 上的向量经过线性运算后，仍
a ( x, y, z, , , )
２、定义 ｎ个数 a1,a2 ,L ,an 组成的有序数组
a1 a2 L an
称为一个ｎ维向量，其中 ai 称为第 i 个分量. ｎ维向量写成一行，称为行矩阵，也就是行向量，
记作 T , T , T .
如： T a1 a2 L an
（Row Vector）
a11
A
a21
M
a12 L a22 L M
am1
am1
L
a1n
a2n
M
amn
按行分块
A
1T
T 2
M
T m
ｍ个ｎ维行向量.
按列分块
A 1 2 L n
其第ｉ个行向量记作
iT ai1 ai2 L ain
ｎ个ｍ维列向量.
a1 j
其第ｊ个列向量记作
j
a2 j
M
amj
坐标表示式
系
aT a1 a2 L an
解析几何
空间
(n 3)
线性代数
点空间：点的集合
几 何 形 象： 空间直线、曲线、 空间平面或曲面
线性代数向量及其线性运算
注意：集中精力，仔细理解
一、ｎ维向量（Vector）
１、引入 确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
机身的仰角 机翼的转角
( ) (2 2 )
机身的水平转角 (0 2 )
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
所以，确定飞机的状态，会产生一个有序数组
易知 该集合对加法封闭，对数乘也封闭， 所以，所有ｎ维向量的集合构成一个向量空间.
2、结构
解析几何
向量
(n 3)
线性代数
坐
既有大小又有方向的量
有次序的实数组成的数组
几何形象：可 随 意 平行移动的有向线段
标
代数形象：向 量 的
为数域 F 上的向量.
2) 运算规律
k ( + ) =k + k , (k + l ) = k + l , k ( l ) = ( kl ) , 1 = , 0 = 0 , (-1) = - , k 0 = 0 . 如果 k 0, 0, 那么
k0.
3、向量与矩阵的关系
2. 向量的加法
1) 定义 定义 2 . 4 向量
= ( a1 + b1 , a2 + b2 , … , an + bn )T
称为向量
= ( a1 , a2 , … , an)T, = (b1 , b2 , … , bn )T
的和，记为
=+.
2) 运算规律
交换律 + = + .
结合律 + ( + ) = ( + ) + . 3) 运算规律的几何验证
矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维 数，二者必须分清.
三、向量组、矩阵、线性方程组
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所 组成的集合叫做向量组．
记作： A : 1,2 ,L ,s .or. i
例如 对于一个 m 矩n 阵有ｎ个ｍ维列向量.
1 2
j
n
a11 a12 a1 j a1n
n xn b
方程组的解x1=c1, x2=c2,…., xn=cn,可以用n维列向量：
x=（c1,c2,…., cn)T
来表示。此时称为方程组的一个解向量。（P78）
五、向量空间
1、定义 设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足 ①对加法封闭 if V , V V; ②对数乘封闭 if V , R V . 那么就称向量组Ｖ为向量空间（Vector Space）． 例３ ｎ维向量的集合是一个向量空间,记作 Rn.
A
a21
a22
a2 j a2n
am1 am2 amj amn
向量组 A : 1,2 ,L ,n 称为矩阵Ａ的列向量组.
类似的，矩阵有ｍ个ｎ维行向量.
a11 a12 a1n
T 1
a21 a22
a2n
T 2
A
ai1 ai2
ain
T i
am1 am2 amn
T m
向量组
A :
m
四、线性方程组AX=b的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
x x
11
22
下4面) 用 负向3 维 量向量来验证向量加法的交换律 合律. 定义 向量 ( - a1 , - a2 , … , - an )T 称为向量
=用(a1几, a何 2, …的, 方 an)法的求负两 向个 量向 ，记量为-，. 的和向量
+ 的步骤是：把 的起点移到 的终点，然
显然，对于所有的 ，都有 +0=， +(-)=0.
以后我们用小写希腊字母 ，， 等来代表向
量.
三、n 维向量的运算 1. 两个向量相等 定义 2 . 3 如果 n 维向量
= ( a1 , a2 , … , an)T, = (b1 , b2 , … , bn )T
的对应分量都相等，即 ai = bi ( i = 1, 2, … , n ) ,
就称这两个向量是相等的，记作 = .
ｎ维向量写成一列，称为列矩阵，也就是列向量，
记作α,β,γ.
如：
a1
a2
M
an
（Column Vector）
注意 １、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；
２、当没有明确说明时，都当作实的列向量.
几何上的向量可以认为是它的特殊情形，即 n = 2, 3 且 F 为实数域的情形. 在 n > 3 时，n 维向 量就没有直观的几何意义了. 我们所以仍称它为向 量，一方面固然是由于它包括通常的向量作为特殊 情形， 另一方面也由于它与通常的向量一样可以定 义运算，并且有许多运算性质是共同的，因而采取 这样一个几何的名词有好处.
5) 向量减法运算
定义 - = + ( - ) .
3. 数量乘积
1) 定义 定义 2 . 5 设 k 为数域 F 中的数，向量
( ka1 , ka2 , … , kan )
称为向量 = ( a1, a2, …, an ) 与数 k 的数量乘积， 记为 k .
向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运 算. 显然，数域 F 上的向量经过线性运算后，仍
a ( x, y, z, , , )
２、定义 ｎ个数 a1,a2 ,L ,an 组成的有序数组
a1 a2 L an
称为一个ｎ维向量，其中 ai 称为第 i 个分量. ｎ维向量写成一行，称为行矩阵，也就是行向量，
记作 T , T , T .
如： T a1 a2 L an
（Row Vector）
a11
A
a21
M
a12 L a22 L M
am1
am1
L
a1n
a2n
M
amn
按行分块
A
1T
T 2
M
T m
ｍ个ｎ维行向量.
按列分块
A 1 2 L n
其第ｉ个行向量记作
iT ai1 ai2 L ain
ｎ个ｍ维列向量.
a1 j
其第ｊ个列向量记作
j
a2 j
M
amj
坐标表示式
系
aT a1 a2 L an
解析几何
空间
(n 3)
线性代数
点空间：点的集合
几 何 形 象： 空间直线、曲线、 空间平面或曲面
线性代数向量及其线性运算
注意：集中精力，仔细理解
一、ｎ维向量（Vector）
１、引入 确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
机身的仰角 机翼的转角
( ) (2 2 )
机身的水平转角 (0 2 )
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
所以，确定飞机的状态，会产生一个有序数组