2019-2020学年北京交大附中初二上学期期中数学试卷( 无答案)
2019北京交大附中初二（上）期中数学
2019.11
说明：本试卷共8页，共100分。
考试时长90分钟。
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）
A． B．C．D．
2．正十边形的外角和为（）
A．180°B．360°C．720°D．1440°
3．下列计算正确的是（）
A．a2⋅a3＝a6B．a+2a 2＝3a3
C．4x3⋅2x＝8x4D．（﹣3a2 ）3＝﹣9a6
4．如果（x﹣4）（x+8）＝x2+mx+n，那么m+n的值为（）
A．﹣28 B．28 C．36 D．﹣36
5．如图，已知AB＝DC，需添加下列（）条件后，就一定能判定△ABC≌△DCB．
A．AO＝BO B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．BO＝CO
6．如图，直线是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B 两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管
道最短的方案是（）
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交
AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画圆弧，两弧交于点
F，作射线AF交边BC于点G．若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积是（）
A ．3
B ．10
C ．15
D ．30
8．已知一个等腰三角形一内角的度数为80°，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A ．100°
B ．80°
C ．50°或80°
D ．20°或80°
9．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，ED 垂直平分AB ，若AC ＝12，EC ＝5，且△ACE 的周长为30，则BE 的长为（ ）
第9题图 第10题图
A ．13
B ．12
C ． 10
D ．5
10．△ABC 中，AB ＝AC ＝12厘米，∠B ＝∠C ，BC ＝8厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以2厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．若点Q 的运动速度为v 厘米/秒，则当△BPD 与△CQP 全等时，v 的值为（ ） A ．2
B ．5
C ．1或5
D ．2或3
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11．在平面直角坐标系中，点P （﹣3，﹣5）关于x 轴对称的点的坐标是 ．
12.计算：()0
3π− = ；()
3
2
23xy y x −⋅= ； (
)
b a a 5322
2
− = . 13．已知
一个等腰三角形的两条边长分别为3和8，则这个等腰三角形的周长为 . 14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是△ABC 的边AC 延长线于一点， 且CB ＝CD ，连结BD ，若∠A ＝28°，则∠CBD 的度数为 ．
15．如图，在△ABC 中，AB =4，AC =6，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于O 点，过点O 作BC 的平行线交AB 于M 点，交AC 于N 点，则△AMN 的周长为 ．
16．如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON ，垂足为A ，Q 是射线OM 上的一个动点，如果
P 、Q 两点间的距离最小为8cm ，∠POA ＝30°，那么线段OP 的长为 ．
第14题图 第15题图 第16题图 第17题图
17．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在△ABC 外的A '处，折痕为DE ．如果∠A ＝α，∠CEA ′＝β，∠BDA '＝γ，那么α，β，γ三个角的数量关系是 ．
18．我们规定：等腰三角形中某两个角的度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k ．若k ＝2，则该等腰三角形的顶角度数为 ．
三、解答题（本题共13分，19-21题每小题3分，22题4分） 19.计算：()()3
24
2a a ⋅− 20. 计算： xy xy
3)2(2
2÷−
21. 计算：)2())((n m n n m n m −−−+
22.已知05622
=−−x x ，求()()2
2[211]x x x x x x −−+−÷的值.
四、解答题（本题共33分，23-24题每小题4分，25-26、28题每小题6分, 27题7分）
23．已知两个新建的居民小区A,B 与两条公路12,l l 位置如图所示.在．S ．区域内．．．建一个超市M ，要求超市到两个新建的居民小区A ，B 的距离必须相等，超市到两条公路的距离也必须相等.那么点M 应当选在何处？请在图中，用尺规作图．．．．找出符合条件的点M （不写已知、求证、作法，只保留作图痕迹），并测量MA 的长（精确到0.1cm ）.
N
O
M
B C
A A
B
l 1
l 2
S
O
24. 如图，点A ，F ，C ，D 在同一条直线上，点B 和点E 在
直线AD 的两侧，且AF ＝DC ，BC ∥FE ，∠A =∠D ． 求证：AB =DE ．
25. 如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在
BC 上，且AE =CF.
（1）求证： AE ⊥CF ；
（2）若∠BAE =25°，求∠ACF 的度数． 26. 仔细阅读下面例题，解答问题：
例题: 已知二次三项式m x x +−42有一个因式是)3(+x ，求另一个因式以及m 的值. 解：设另一个因式为)(n x +，得=+−m x x 42)3(+x )(n x + 则n x n x m x x 3)3(42
2
+++=+−
∴ ⎩⎨
⎧=−=+n
m n 34
3
解得：21,7−=−=m n
∴ 另一个因式为)7(−x ，m 的值为－21 . 问题：仿照以上方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式k x x −+322有一个因式是)52(−x ，求另一个因式以及k 的值.
(2) 已知二次三项式1432++ax x 有一个因式是)(a x +，a 是整数，求另一个因式以及a 的值.
27. 如图，已知等腰△ABC 中，∠BAC=30°，AB=AC ，∠PAB=α，点B 关于直线AP 的对称点为点D ，连接AD ，连接BD 交AP 于点G ，连接 CD 交AP 于点E ，交AB 于点F ．
A
B
C
D
F A
B
C
F E
(1) 如图（1）当α=15°时，
①按要求画出图形， ②求出 ∠ACD 的度数，
③探究DE 与BF 的倍数关系并加以证明；
(2) 在直线AP 绕点A 顺时针旋转的过程中（︒<<︒750α），当△AEF 为等腰三角形时，利用备用图直接求出
α的值为 ．
28. 阅读下列材料：
小明遇到一个问题：如图 1，在△ABC 中，∠BAC=120°，∠ABC=40°，试过△ABC 的一个顶点画一条直线，将此三角形分割成两个等腰三角形．他的做法是：如图 2，首先保留最小角∠C ，然后过三角形顶点A 画直线交BC 于点D ．将∠BAC 分成两个角，使 ∠DAC=20°，△ABC 即可被分割成两个等腰三角形．
喜欢动脑筋的小明又继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形．他的做法是：如图 3，先画 △ADC ，使DA=DC ，延长AD 到点B ，使△DBC 也是等腰三角形. 如果DC=BC ，那么∠CDB=∠ABC ，因为∠CDB=2∠A ，所以∠ABC=2∠A.
于是小明得到了一个结论：当三角形中有一个角是最小角的2倍时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形．
请你参考小明的做法，继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形．请写出你的探究结论，并证明．。
2019-2020学年八年级上学期期中考试数学试卷(附解答)
2019-2020学年八年级上学期期中考试数学试卷一．选择题（共10小题）1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列计算结果为x6的是（）A．x3•x2B．x2+x4C．（x4）2D．x7÷x3．如图，已知△ADC中，AB＝AC，BD＝DC，则下列结论错误的是（）A．∠BAC＝∠B B．∠BAD＝∠CAD C．AD⊥BC D．∠B＝∠C4．下列计算正确的是（）A．（x+y）2＝x2+y2B．（2m2）3＝6m6C．（x﹣2）2＝x2﹣4 D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣15．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等C．∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD＝BC6．如图所示，AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，B、D、E在同一直线上，∠1＝22°，∠2＝30°，求∠3的度数（）A．42°B．52°C．62°D．72°7．（x+p）（x+5）＝x2+rx﹣10，则p，r的值分别是（）A．2，﹣3 B．2，3 C．﹣2，3 D．﹣2，﹣38．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝50，S△AED＝38，则△DEF的面积为（）A．6 B．12 C．4 D．89．如图，两个正方形边长分別为a，b，如果a+b＝9，ab＝12，则阴影部分的面积为（）A．21.5 B．22.5 C．23.5 D．2410．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN ＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定二．填空题（共6小题）11．2x2y3•（﹣7x3y）＝．12．点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是．13．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个动点，若PD＝2，则PQ的取值范围为．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，∠EDF＝78°，则∠A的度数为．15．等腰三角形的其中两边长分别为（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2，已知这两边不相等，且x ＞5，则该等腰三角形的周长为（用含x的式子表示）16．计算：40372﹣8072×2019＝．三．解答题（共9小题）17．计算：[（x+2y）2﹣（x﹣2y）（x+2y）]÷2y18．已知如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC．19．如图AB⊥l于点B，CD⊥1于点D，点E，F在直线1上，且BF＝DE，AE＝CF．求证：AE∥CF．20．如图△ABC，请用尺规作出它的外角∠BAE的平分线AD，若AD∥BC，证明：AB＝AC．21．如图在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5，△ABD的周长为14，求△ABC的周长．22．长方形的长和宽分别是a厘米、b厘米，如果长方形的长和宽各减少2厘米．（1）新长方形的面积比原长方形的面积减少了多少平方厘米？（2）如果减少的面积恰好等于原面积的，试确定（a﹣6）（b﹣6）的值．23．我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下：①把被除式、除式按某个字母作降幂接列，井把所块的项用零补齐；②用除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；③用商式的一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项；④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除．例如：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用竖式除法如图：所以6x4﹣7x3﹣x2﹣1除以2x+1，商式为3x3﹣5x2﹣2x﹣1，余式为0．根据阅读材料，请回答下列问题：（1）（x3﹣4x2+7x﹣5）÷（x﹣2）的商是，余式是；（2）x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，求a，b的值．24．等边三角形△ABC，直线1过点C且垂直AC．（1）请在直线1上作出点D，使得△ABD的周长最小．（2）在（1）的条件下，连接AD，BD，求证，AD＝2BD．25．已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），点C的坐标为．（2）如图2，若OA平分∠BAC，BC与x轴交于点E，若点C纵坐标为m，求AE的长．（3）如图3，在（2）的条件下，点F在射线DM上，且∠ABF＝∠ADF，AH⊥BF于点H，试探究BF、HFDF的数量关系．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：C．2．下列计算结果为x6的是（）A．x3•x2B．x2+x4C．（x4）2D．x7÷x【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【解答】解：A．x3•x2＝x5，故本选项不合题意；B．x2与x4不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；C．（x4）3＝x8，故本选项不合题意；D．x7÷x＝x6，故本选项符合题意．故选：D．3．如图，已知△ADC中，AB＝AC，BD＝DC，则下列结论错误的是（）A．∠BAC＝∠B B．∠BAD＝∠CAD C．AD⊥BC D．∠B＝∠C 【分析】证明△ADB≌△ADC即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC，BD＝DC，AD＝AD，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，故B，C，D正确，故选：A．4．下列计算正确的是（）A．（x+y）2＝x2+y2B．（2m2）3＝6m6C．（x﹣2）2＝x2﹣4 D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1【分析】各项化简得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝x2+2xy+y2，不符合题意；B、原式＝8m6，不符合题意；C、原式＝x2﹣4x+4，不符合题意；D、原式＝x2﹣1，符合题意，故选：D．5．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等C．∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD＝BC【分析】根据全等三角形的性质得出对应角相等，对应边相等，推出两三角形面积相等，周长相等，再逐个判断即可．【解答】解：A、∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的面积相等，故本选项错误；B、∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的周长相等，故本选项错误；C、∵△ABD≌△CDB，∴∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，∴∠A+∠ABD＝∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD，故本选项正确；D、∵△ABD≌△CDB，∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，故本选项错误；故选：C．6．如图所示，AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，B、D、E在同一直线上，∠1＝22°，∠2＝30°，求∠3的度数（）A．42°B．52°C．62°D．72°【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠ABD＝∠2＝30°，由三角形外角性质可求解．【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠1＝∠CAE，且AD＝AE，AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ABD＝∠2＝30°，∴∠3＝∠2+∠ABD＝52°，故选：B．7．（x+p）（x+5）＝x2+rx﹣10，则p，r的值分别是（）A．2，﹣3 B．2，3 C．﹣2，3 D．﹣2，﹣3【分析】已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出p，r【解答】解：∵（x+p）（x+5）＝x2+（p+5）x+5p＝x2+rx﹣10，∴p+5＝r，5p＝﹣10，解得：p＝﹣2，r＝3．故选：C．8．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝50，S△AED＝38，则△DEF的面积为（）A．6 B．12 C．4 D．8【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF＝DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF＝S△GDH，设面积为S，然后根据S△ADF＝S△ADH列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S△EDF＝S△GDH，设面积为S，同理Rt△ADF≌Rt△ADH，∴S△ADF＝S△ADH，即38+S＝50﹣S，故选：A．9．如图，两个正方形边长分別为a，b，如果a+b＝9，ab＝12，则阴影部分的面积为（）A．21.5 B．22.5 C．23.5 D．24【分析】根据正方形和三角形的面积的和差即可求解．【解答】解：根据题意，得∵a+b＝9，ab＝12，∴（a+b）2＝92∴a2+2ab+b2＝81，∴a2+b2＝81﹣24＝57，∴阴影部分的面积为：a2﹣b（a﹣b）＝（a2﹣ab+b2）＝（57﹣12）＝22.5．故选：B．10．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN ＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定【分析】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．想办法证明∠HCN＝120°HN＝MN＝x即可解决问题；【解答】解：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，∵∠MON＝30°，∴∠ABM+∠CBN＝30°，∴∠NBH＝∠CBH+∠CBN＝30°，∴∠NBM＝∠NBH，∵BM＝BH，BN＝BN，∴△NBM≌△NBH，∴MN＝NH＝x，∵∠BCH＝∠A＝60°，CH＝AM＝n，∴∠NCH＝120°，∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形，故选：C．二．填空题（共6小题）11．2x2y3•（﹣7x3y）＝﹣14x5y4．【分析】原式利用单项式乘以单项式法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣14x5y4，故答案为：﹣14x5y412．点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．13．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个动点，若PD＝2，则PQ的取值范围为PQ≥2 ．【分析】根据垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PQ＝PD．【解答】解：由垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，∴PQ＝PD＝2，即线段PQ的最小值是2．∴PQ的取值范围为PQ≥2，故答案为PQ≥2．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，∠EDF＝78°，则∠A的度数为24°．【分析】由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，由“SAS”可证△BED≌△CDF，可得∠CDF ＝∠BED，由三角形外角的性质可得∠EDF＝∠B＝70°，即可求∠A的度数．【解答】解：∵AB＝AC∴∠B＝∠C，又∵BE＝CD，BD＝CF∴△BED≌△CDF（SAS）∴∠CDF＝∠BED∵∠EDC＝∠B+∠BED＝∠CDF+∠EDF∴∠EDF＝∠B＝78°∴∠C＝∠B＝78°∴∠A＝180°﹣78°﹣78°＝24°故答案为：24°．15．等腰三角形的其中两边长分别为（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2，已知这两边不相等，且x ＞5，则该等腰三角形的周长为5x2﹣4x﹣19 （用含x的式子表示）【分析】分为两种情况：①当三角形的三边是（x+2）（2x﹣5），（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2时，②当三角形的三边是（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2，（x﹣1）2时，看看是否符合三角形的三边关系定理，符合时求出即可．【解答】解：分为两种情况：①当等腰三角形的腰为（x+2）（2x﹣5）时，三角形的三边是（x+2）（2x﹣5），（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2，此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是：（x+2）（2x﹣5）+（x+2）（2x﹣5）+（x﹣1）2＝2x2﹣x﹣10+2x2﹣x﹣10+x2﹣2x+1＝5x2﹣4x﹣19；②当等腰三角形的腰为（x﹣1）2时，三角形的三边是（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2，（x﹣1）2时，∵（x﹣1）2+（x﹣1）2＝2x2﹣4x+2，（x+2）（2x﹣5）＝2x2﹣x﹣10，x＞5，∴（x﹣1）2+（x﹣1）2﹣（x+2）（2x﹣5）＝（2x2﹣4x+2）﹣（2x2﹣x﹣10）＝﹣3x+12＜0，∴（x﹣1）2+（x﹣1）2＜（x+2）（2x﹣5），∴此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形．故答案为：5x2﹣4x﹣19．16．计算：40372﹣8072×2019＝ 1 ．【分析】把8072×2019变为4038×4036，再套用平方差公式计算得结果．【解答】解：原式＝40372﹣2×4036×2019＝40372﹣4036×4038＝40372﹣（4037﹣1）（4037+1）＝40372﹣（40372﹣1）＝1故答案为：1三．解答题（共9小题）17．计算：[（x+2y）2﹣（x﹣2y）（x+2y）]÷2y【分析】直接利用乘法公式进而化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝[x2+4y2+4xy﹣（x2﹣4y2）]÷2y＝（8y2+4xy）÷2y＝4y+2x．18．已知如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC．【分析】延长AO交BC于点D，先证出△ABO≌△ACO，得出∠BAO＝∠CAO，再根据三线合一的性质得出AO⊥BC即可．【解答】证明：延长AO交BC于点D，在△ABO和△ACO中，，∴△ABO≌△ACO（SSS），∴∠BAO＝∠CAO，∵AB＝AC，∴AO⊥BC．19．如图AB⊥l于点B，CD⊥1于点D，点E，F在直线1上，且BF＝DE，AE＝CF．求证：AE∥CF．【分析】证明△ABE≌△CDF（HL），推出∠AEB＝∠CFD可得结论．【解答】证明：∵AB⊥l于点B，CD⊥1于点D，∴∠ABE＝∠CDF＝90°，∵BF＝DE，∴DF＝BE，∵AE＝CF，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），∴∠AEB＝∠CFD，∴AE∥CF．20．如图△ABC，请用尺规作出它的外角∠BAE的平分线AD，若AD∥BC，证明：AB＝AC．【分析】用尺规作外角∠BAE的平分线AD，再进行证明即可．【解答】解：如图所示：AD即为所求作的图形．证明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠C，∠DAB＝∠B，∵AD平分∠BAE，∴∠DAE＝∠DAB，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．21．如图在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5，△ABD的周长为14，求△ABC的周长．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，AE＝CE＝5，而AB+BDAD＝14，从而得到△ABC的周长．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，AE＝CE＝5，而△ABD的周长是14，即AB+BD+AD＝14，∴AB+BC+AC＝AB+BD+CD+AC＝14+10＝24，即△ABC的周长是24．22．长方形的长和宽分别是a厘米、b厘米，如果长方形的长和宽各减少2厘米．（1）新长方形的面积比原长方形的面积减少了多少平方厘米？（2）如果减少的面积恰好等于原面积的，试确定（a﹣6）（b﹣6）的值．【分析】（1）根据题意表示出原来长方形与新长方形的面积，相减即可得到结果；（2）根据题意列出等式，化简即可求出．【解答】解：（1）ab﹣（a﹣2）（b﹣2）＝ab﹣（ab﹣2a﹣2b+4）＝ab﹣ab+2a+2b﹣4＝2a+2b﹣4，∴新长方形的面积比原长方形的面积减少了（2a+2b﹣4）平方厘米；（2）由题意知2a+2b﹣4＝ab，∴ab＝6a+6b﹣12，（a﹣6）（b﹣6）＝ab﹣6a﹣6b+36＝6a+6b﹣12﹣6a﹣6b+36＝24．23．我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下：①把被除式、除式按某个字母作降幂接列，井把所块的项用零补齐；②用除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；③用商式的一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项；④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除．例如：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用竖式除法如图：所以6x4﹣7x3﹣x2﹣1除以2x+1，商式为3x3﹣5x2﹣2x﹣1，余式为0．根据阅读材料，请回答下列问题：（1）（x3﹣4x2+7x﹣5）÷（x﹣2）的商是x2﹣2x+3 ，余式是 1 ；（2）x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，求a，b的值．【分析】（1）根据整式除法的竖式计算方法，这个进行进行计算即可；（2）根据整式除法的竖式计算方法，要使x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，即余式为0，可以得到a、b的值．【解答】解：（1）（x3﹣4x2+7x﹣5）÷（x﹣2）＝x2﹣2x+3 (1)故答案为：x2﹣2x+3，1．（2）由题意得：∵x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，∴a﹣2＝﹣6，b＝﹣6，即：a＝﹣4，b＝﹣6．24．等边三角形△ABC，直线1过点C且垂直AC．（1）请在直线1上作出点D，使得△ABD的周长最小．（2）在（1）的条件下，连接AD，BD，求证，AD＝2BD．【分析】（1）作点A关于直线l的对称点A′，连接AA′交直线1于点D，此时使得△ABD的周长最小．（2）在（1）的条件下，连接AD，BD，根据对称性和30度角所对直角边等于斜边的一半即可证明AD＝2BD．【解答】解：（1）如图所示：作点A关于直线l的对称点A′，连接AA′，与直线l交于点D，则点D即为所求作的点．（2）根据对称性可知：AC＝A′C，AD＝A′D，∵△ABC为等边三角形，∴AC＝BC＝AB，∠ACB＝60°＝∠BAC，∴A′C＝BC，∴∠A′＝∠A′BC＝30°，∠A′＝∠DAA′＝30°，∴∠ABD＝90°，∴AD＝2BD．25．已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），点C的坐标为（﹣1，4）．（2）如图2，若OA平分∠BAC，BC与x轴交于点E，若点C纵坐标为m，求AE的长．（3）如图3，在（2）的条件下，点F在射线DM上，且∠ABF＝∠ADF，AH⊥BF于点H，试探究BF、HFDF的数量关系．【分析】（1）作CH⊥y轴于H，如图1，易得OA＝3，OB＝1根据等腰直角三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝90°，再利用等角的余角相等得到∠CBH＝∠BAO，则可根据“AAS”证明△ABO≌△BCH，得到OB＝CH＝1，OA＝BH＝3，所以C（﹣1，4）；（2）如图2，过点C作CF⊥AO，交AB的延长线于H，由“ASA”可证△AFC≌△AFH，可得CF＝FH＝m，由“AAS”可证△ABE≌△CBH，可得AE＝CH＝2m；（3）如图3，过点A作AN⊥DF于点N，由“AAS”可证△ABH≌△ADN，可得AN＝AH，BH ＝DN，由“HL”可证Rt△ANF≌Rt△AHF，可得NF＝FH，即可得结论．【解答】解：（1）作CH⊥y轴于H，如图1，∵点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），∴OA＝3，OB＝1，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBH＝90°，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CBH＝∠BAO，在△ABO和△BCH中，∴△ABO≌△BCH（AAS），∴OB＝CH＝1，OA＝BH＝3，∴OH＝OB+BH＝1+3＝4，∴C（﹣1，4），故答案为：（﹣1，4）；（2）如图2，过点C作CF⊥AO，交AB的延长线于H，∴∠CBH＝90°，∵CF⊥AO，∴∠BCH+∠H＝90°，而∠HAF+∠H＝90°，∴∠BCH＝∠HAF，且∠ABC＝∠CBH＝90°，AB＝CB，∴△ABE≌△CBH（AAS），∴AE＝CH，∵AO平分∠BAC，∴∠CAF＝∠HAF，且AF＝AF，∠AFH＝∠AFC，∴△AFC≌△AFH（ASA）∴CF＝FH＝m，∴AE＝CH＝2m；（3）BF＝2FH+DF，理由如下：如图3，过点A作AN⊥DF于点N，∵∠CAE＝∠BAE，∠AOB＝∠AOD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，且∠ADF＝∠ABF，∠AHB＝∠AND＝90°，∴△ABH≌△ADN（AAS）∴AN＝AH，BH＝DN，∵在Rt△ANF和Rt△AHF中，AN＝AH，AF＝AF，∴Rt△ANF≌Rt△AHF（HL）∴NF＝FH，∵BF＝BH+FH＝DN+FH∴BF＝DF+NF+FH＝2FH+DF．。
北京市北京师范大学附属中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试
………外…………○___________班级………内…………○绝密★启用前 北京市北京师范大学附属中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．在下列“禁毒”“和平”“志愿者”“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是( ) A ． B ． C ． D ． 2．下列说法正确的是( ) A ．两个等腰直角三角形全等 B ．面积相等的两个三角形全等 C ．完全重合的两个三角形全等 D ．所有的等边三角形全等 3．点(2,5)P -关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．(2,5)- B ．(2,5) C ．(2,5)-- D ．(2,5)- 4．如图所示，△ABC ≌△ECD ，∠A ＝48°，∠D ＝62°，点B ，C ，D 在同一条直线上，则图中∠B 的度数是( ) A ．38° B ．48° C ．62° D ．70° 5．下列各式分解因式正确的是（ ）○……………装……………○…………线请※※不※※要※※在※※※题※※ ○……………装……………○…………线A ．22()()()(1)a b a b a b a b +-+=++- B ．236(36)x xy x x x y --=- C ．223311(4)44a b ab ab a b -=- D ．256(1)(6)x x x x -+=-- 6．如图，直线MN 是四边形AMBN 的对称轴，点P 是直线MN 上的点，下列判断错误的是（ ）A ．AM BM =B ．MAP MBP ∠=∠C ．ANM BNM ∠=∠D ．AP BN = 7．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）A ．三条中线的交点B ．三条高的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条角平分线的交点8．如图，△ABC 中，∠B =55°，∠C =30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N 作直线MN ，交BC 于点D ，连结AD ，则∠BAD 的度数为（ ）A ．65°B ．60°C ．55°D ．45°9．平面直角坐标系中，已知A （2，0），B （0，2）若在坐标轴上取C 点，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．810．如图，∠AOB=120°，OP 平分∠AOB ，且OP=2.若点M ，N 分别在OA ，OB 上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN 有（ ）○…………外………装………………订……_______姓名：_________________考号：_○…………内………装………………订……A ．1个B ．2个C ．3个D ．3个以上 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 11．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 ． 12．一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是_________边形. 13．如果221()x mx x n ++=+，且0m >，则n 的值是 ____ ． 14．如图，在ABC V 中，8AC =，5BC =，AB 的垂直平分线DE 交AB 与点D ，交AC 于点E ，则BCE V 的周长是__________． 15．若等腰三角形的一个角等于120°，则它的底角为______ 16．如图，ABC V 中，14AB =，AM 平分BAC ∠，15BAM ∠=︒，点D 、E 分别为AM 、AB 上的动点，则BD DE +的最小值是__________． 17．已知4a b +=、5ab =-，则222a b ab +-=__________． 18．如图，过边长为1的等边ABC ∆的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA CQ =时，连接PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为______.………○……………○………订…………※※请※※在※※装※※※※线※※内※※答※※题※※………○……………○………订…………三、解答题 19．因式分解；2()3()m a b n b a ---． 20．因式分解；22(2)(2)a b a b +-+． 21．如图，已知(1,2)A ，(3,1)B ，(4,3)C ． （1）作ABC V 关于y 轴的对称图形111A B C △，写出点1C 的坐标；（2）直线m 平行于x 轴，在直线m 上求作一点P ，使得ABP △的周长最小，请在图中画出P 点．22．如图，长方形台球桌ABCD 上有两个球P ，Q ．（1）请画出一条路径，使得球P 撞击台球桌边AB 反弹后，正好撞到球Q ；（2）请画出一条路径，使得球P 撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q ． 23．如图，已知点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB DF =，AC DE =，A D ∠=∠．（1）求证：AC DE P ；（2）若13BF =，5EC =，求BC 的长．24．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 是高，BD 与CE 相交于点O（1）求证：OB=OC ；（2）若∠ABC=50°，求∠BOC 的度数．…………○…○…………………○……学______…………○…○…………………○…… 25．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1，可以得到222()2a b a ab b +=++这个等式，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式 ． （2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式． （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若10a b c ++=，35ab ac bc ++=，则222a b c ++= ． （4）小明同学用图3中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张长宽分别为a 、b 的长方形纸片拼出一个面积为2)(4)a b a b ++(的长方形，则x y z ++= ． 26．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形． （1）如图，在ABC V 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，设CD ，BE 相交于点O ，若60A ∠=︒，12DCB EBC A ∠=∠=∠．请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形？ （2）在ABC V 中，如果A ∠是不等于60︒的锐角，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且12DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论． 27．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘………○…………装…………○※※请※※不※※要※※在※※装※※………○…………装…………○（1）请说明28是否为“神秘数”； （2）下面是两个同学演算后的发现，请选择一个．．．．“发现”，判断真假，并说明理由． ①小能发现：两个连续偶数22k +和2k （其中k 取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数． ②小仁发现：2016是“神秘数”． 提示：（2）中两个发现，只需解答其中一个，若两个都做，按“小能发现”的解答计分． 28．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题： （1）非等边的等腰三角形有________条对称轴，非正方形的长方形有________条对称轴，等边三角形有___________条对称轴； （2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1-4和图1-5中，分别修改图1-2和图1-3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形； （3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形； （4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴． 29．（1）如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC a =，AB b =，填空：当点A 位于__________时，线段AC 的长取到最大值__________，且最大值为；（用含a 、b 的式子表示）．…○…………装………………○…………………○……学校:___________姓名：____：___________…○…………装………………○…………………○…… （2）如图2，若点A 为线段BC 外一动点，且6BC =，3AB =，分别以AB ，AC 为边，作等边ABD △和等边ACE △，连接CD ，BE ．①图中与线段BE 相等的线段是线段__________，并说明理由； ②直接写出线段BE 长的最大值为__________． （3）如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(40)，，点B 的坐标为(100)，，点P 为线段AB 外一动点，且4PA =，PM PB =，90BPM ∠=︒，请直接写出线段AM 长的最大值为__________，及此时点P 的坐标为__________．（提示：等腰直角三角形的三边长a 、b 、c 满足::a b c =参考答案1．B【解析】【分析】轴对称图形是指将图形沿着某条直线对折，直线两边的图形能够完全重叠，根据定义判断即可.【详解】A、不是轴对称图形，故选项错误；B、是轴对称图形，故选项正确；C、不是轴对称图形，故选项错误；D、不是轴对称图形，故选项错误．【点睛】本题考查轴对称图形的识别，熟记轴对称图形的定义是关键.2．C【解析】【分析】根据选项的条件举出反例，再根据全等三角形的判定进行判断即可．【详解】A．如图：图中的两个等腰直角三角形不全等，故本选项错误；B．当一个三角形的底是2，对应的高是1，而另一个三角形的底是1，对应的高是2，两三角形的面积相等，但是两三角形不全等，故本选项错误．C．能够完全重合的两个三角形全等，故本选项正确；D．两个等边三角形的边不一定相等，故不一定全等，故本选项错误．故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，能够完全重合的两个三角形全等．3．B【解析】【分析】根据“关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．【详解】解：点(2,5)P -关于x 轴对称的点的坐标为：()2,5故选：B ．【点睛】本题考查了关于x 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律． 4．D【解析】【分析】运用△ABC ≌△ECD 求出∠ACB =∠D =62°，再运用三角形内角和定理求出∠B 即可．【详解】∵△ABC ≌△ECD ，∠A =48°，∠D =62°，∴∠ACB =∠D =62°，∴∠B =180°－∠ACB －∠A =180°－62°－48°=70°．故选D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质．解决本题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．5．D【解析】【分析】利用提公因式法、十字相乘法法分别进行分解即可．【详解】A. 22()()()(1)+-+≠++-a b a b a b a b ，故此选项因式分解错误，不符合题意；B. 23-6-(3-6-1)=x xy x x x y ，故此选项因式分解错误，不符合题意；C. 223211(4)44-=-a b ab ab a b ，故此选项因式分解错误，不符合题意； D. 256(1)(6)x x x x -+=--，故此选项因式分解正确，符合题意．【点睛】本题考查了提公因式法与十字相乘法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用其他方法进行分解． 6．D【解析】【分析】根据轴对称图形的性质即可判断.【详解】∵直线MN 是四边形AMBN 的对称轴，点P 是直线MN 上的点，∴AM BM = ，MAP MBP ∠=∠ ， ANM BNM ∠=∠，故选D.【点睛】此题主要考查轴对称图形的性质，熟知轴对称图形的性质是解题的关键.7．D【解析】【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得答案．【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．故选：D ．【点睛】该题考查的是角平分线的性质，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．8．A【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC ，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC ，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故∠C=∠DAC，∵∠C=30°，∴∠DAC=30°，∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°，故选A．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．9．C【解析】【分析】【详解】解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点B，C1，C2，C5，得到以A为顶点的等腰△ABC1，△ABC2，△ABC5；②以B为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点A，C3，C6，C7，得到以B为顶点的等腰△BAC3，△BAC6，△BAC7；③作AB的垂直平分线，交x轴于点C4，得到以C为顶点的等腰△C4AB∴符合条件的点C共7个故选C10．D【解析】【详解】试解：如图在OA 、OB 上截取OE=OF=OP ，作∠MPN=60°．∵OP 平分∠AOB ，∴∠EOP=∠POF=60°，∵OP=OE=OF ，∴△OPE ，△OPF 是等边三角形，∴EP=OP ，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，∴∠EPM=∠OPN ，在△PEM 和△PON 中，PEM PON PE PO EPM OPN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△PEM ≌△PON ．∴PM=PN ，∵∠MPN=60°，∴△PNM是等边三角形，∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．故选D．11．10．【解析】试题分析：因为2+2＜4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2=10，答：它的周长是10，故答案为10．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．12．四【解析】【分析】多边形的外角和为360°，再根据多边形内角和公式算出即可.【详解】多边形的外角和为360°，多边形的内角和等于它的外角和，则内角和为360°，根据多边的内角和公式（n-2）×180°，代入得：（n-2）×180=360，解得n=4，故为四边形.【点睛】本题是对多边形内角和及外角和的考查，熟练掌握多边形外角和及内角和公式是解决本题的关键.13．1【解析】【详解】因为（x+n）2=x2+2nx+n2，m＞0，所以2n＞0，n2=1，所以n=1.故答案为1.14．13【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公式求解即可【详解】Q DE是AB的垂直平分线.∴AE BE=.∴BCE++=++=+=+=BE EC BC AE EC BC AC BC∆的周长为: 8513故答案:13.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和三角形的周长公式,熟练掌握垂直平分线的性质和三角形的周长公式是解题关键.15．30°【解析】【分析】因为三角形的内角和为180°，所以120°只能为顶角，从而可求出底角．【详解】∵120°为三角形的顶角，∴底角为：（180°﹣120°）÷2=30°．故答案为30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出解．16．7【解析】【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可得出答案.【详解】如图：过B点作BF⊥AC于点F，BF与AM交于D点.∵在△ABC中，AB=16，BC=10, AM平分∠BAC,∠BAM=15°，∠BFA=90°,∴∠BAC=2∠BAM=30°,∴AB=2BF,∴BF=7,∵AM 平分∠BAC ，点D 、E 分别为AM 、AB 的动点，∴BD+DE 的最小值是BF,∴BD+DE 最小值为：7,故答案为:7.【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、30°直角三角形的性质，掌握最短路线问题、30°直角三角形的性质是解题的关键.17．18【解析】【分析】先根据完全平方公式得到（a-b ）2的值，然后利用整体代入即可求解．【详解】解:∵4a b +=、5ab =-∴()()()222-+-4445162036==-⨯-=+=a b a b ab ∴()22222--236====182222++-a b a b a b ab ab 故答案为:18【点睛】本题考查完全平方公式．也考查代数式的变形能力．解题关键是熟练掌握完全平方公式：（a±b ）2=a 2±2ab+b 2．18．12【解析】【分析】过P 作PF ∥BC 交AC 于F ，得出等边三角形APF ，推出AP=PF=QC ，根据等腰三角形性质求出EF=AE ，证△PFD ≌△QCD ，推出FD=CD ，推出DE=12AC 即可． 【详解】解：过P 作PF ∥BC 交AC 于F ，∵PF ∥BC ，△ABC 是等边三角形，∴∠PFD=∠QCD ，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，∴△APF 是等边三角形，∴AP=PF=AF ，∵PE ⊥AC ，∴AE=EF ，∵AP=PF ，AP=CQ ，∴PF=CQ ，在△PFD 和△QCD 中PFD QCD PDF CDQ PF CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PFD ≌△QCD ，∴FD=CD ，∵AE=EF ，∴EF+FD=AE+CD ，∴AE+CD=DE=12AC ， ∵AC=1， ∴DE=12； 故答案为：12. 【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．19．()()2+3-a b m n【解析】【分析】提出公因式(a-b)即可【详解】解:原式=()()2+3-a b m n【点睛】本题考查了用提公因式法,把(a-b)看成整体是解题的关键.20．3()(-)+a b a b【解析】【分析】利用平方差公式进行因式分解后，再进行化简即可.【详解】解:原式=[][](2)+(2)(2)(2)+++-+a b a b a b a b=(33)(-)+a b a b=3()(-)+a b a b【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的基础，注意检查分解要彻底．21．(1)如图1所示: ()14,3-C ;(2)如图2所示:点P 即为所求.【解析】【分析】(1) 首先确定A 、B 、C 三点关于y 轴的对称点位置，再连接即可;(2)根据轴对称进行画图即可.【详解】解:(1)如图1所示: ()14,3-C(2)如图2所示:点P 即为所求.【点睛】本题考查了轴对称作图及轴对称-最短路线问题，掌握最短路线问题是解题的关键. 22．（1）如图，点M即为所求；（2）如图，点E，点F即为所求．【解析】【分析】（1）作点P关于AB是对称点P′，连接QP′交AB于M，点M即为所求．（2）作点P关于AB是对称点P′，点Q关于BC的对称点Q′，连接QP′交AB于E，交BC于F，点E，点F即为所求．【详解】解：（1）如图，点M 即为所求．（2）如图，点E ，点F 即为所求．【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题．23．（1）证明见解析；（2）9【解析】【分析】(1)在△ABC 和△DFE 中，利用全等三角形的判定定理SAS 即可证出△ABC ≌△DFE ，进而得出∠ACB ＝∠DEF ，再以及“内错角相等，两直线平行”即可证出结论；(2) 由△ABC ≌△DFE 可得BC=EF ，即BE= CF ，推出BE 的长度，即可得出答案.【详解】证明：（1）在△ABC 和△DFE 中，AB DF A D AC DE ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩＝＝，∴△ABC ≌△DFE （SAS ），∴∠ACB ＝∠DEF ，∴AC ∥DE ．（2）∵△ABC ≌△DFE∴BC=EF∴BC-EC=EF-EC∴BE= CF∵13BF =，5EC =∴2BE+EC=BF∴BE=4∴BC=BE+EC=4+5=9【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，通过证全等三角形找出∠ACB ＝∠DEF 是解题的关键．24．（1）证明见解析；（2）∠BOC=100°【解析】试题分析：（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB ，然后利用高线的定义得到∠ECB=∠DBC ，从而得证；（2）首先求出∠A 的度数，进而求出∠BOC 的度数．试题解析：（1）证明：∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∵BD 、CE 是△ABC 的两条高线，∴∠DBC=∠ECB ，∴OB=OC ；（2）∵∠ABC=50°，AB=AC ，∴∠A=180°﹣2×50°=80°，∴∠BOC=180°﹣80°=100°．考点：等腰三角形的性质．25．(1) ()2222 a b c a b c 2ab 2ac 2bc.++=+++++(2)证明见解析；(3) 30; (4) 7.【解析】【分析】(1)依据正方形的面积=()2 a b c ++ ;正方形的面积=222a +b +c +2ab+2ac+2bc.,可得等式; (2)运用多项式乘多项式进行计算即可;(3)依据()2222a b +c a b c -2ab-2ac-2bc,+=++ 进行计算即可;(4)依据所拼图形的面积为:22xa yb zab ++ , 而()()22222a b a 4b 2a 8ab ab 4b 2a 4b 9ab ++=+++=++ ,即可得到x, y, z 的值,即可求解.【详解】解: (1) 正方形的面积=()2a b c ++ ;大正方形的面积=222a +b +c +2ab+2ac+2bc.故答案为:()2222 a b c a b c 2ab 2ac 2bc.++=+++++(2)证明: (a+b+c) (a+b+c) ,=222a ab ac ab b bc ac bc c ++++++++ ,=222222a b c ab ac bc +++++ .(3)()2222 a b c a b c 2ab 2ac 2bc,++=++---=()210 2 ab ac bc -++ , =100235-⨯ ,=30.故答案为: 30;(4)由题可知，所拼图形的面积为:22xa yb zab ++ ,(2a+b) (a+4b)=222a 8ab ab 4b ,+++=222a 4b 9ab,++∴x=2，y=4, z=9.∴x+y+z=2+4+9=17.故答案为: 17.【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．26．（1）与∠A 相等的角是∠BOD 、∠COE ，四边形DBCE 是等对边四边形；（2）存在等对边四边形DBCE ，证明见解析；【解析】【分析】（1）根据三角形外角的性质可得∠BOD ＝60°，根据对顶角的性质可得∠COE ＝60°；作CG ⊥BE 于G 点，作BF ⊥C ，D 交CD 延长线于F 点通过证明△BCF ≌△CBG ，可得BF ＝CG ，,再证明△BDF ≌△CEG ，即可证明四边形DBCE 是等对边四边形；（2）作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．易证△BCF≌△CBG，进而证明△BDF≌△CEG，所以BD＝CE，所以四边形DBCE是等对边四边形．【详解】（1）∵∠A=60°，12 DCB EBC A ∠=∠=∠∴∠OBC=∠OCB=30°∴∠BOD＝∠COE=∠OBC＋∠OCB＝30°＋30°＝60°，∴与∠A相等的角是∠BOD、∠COE，四边形DBCE是等对边四边形，证明如下：如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．∴∠BFC=∠CGB=∠CGE=90°∵∠DCB＝∠EBC＝12∠A，BC=BC，∴△BCF≌△CBG，∴BF＝CG，∵∠BDF＝∠ABE＋∠DOB，∠BEC＝∠ABE＋∠A，∠A=∠BOD ∴∠BDF＝∠BEC，又∵∠BFD=∠CGE=90°，BF＝CG，∴△BDF≌△CEG，∴BD＝CE，∴四边形DBCE是等对边四边形．（2）存在等对边四边形DBCE，理由如下：如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．∴∠BFC=∠CGB=∠CGE=90°∵∠DCB＝∠EBC＝12∠A，BC=BC，∴△BCF≌△CBG，∴BF＝CG，∵12 DCB EBC A ∠=∠=∠∴∠BOD =∠OBC＋∠OCB＝11+=22∠∠∠A A A，∴∠A=∠BOD，∵∠BDF＝∠ABE＋∠DOB，∠BEC＝∠ABE＋∠A，∴∠BDF＝∠BEC，又∵∠BDF=∠CGE=90°，BF＝CG，∴△BDF≌△CEG，∴BD＝CE，∴四边形DBCE是等对边四边形．【点睛】解决本题的关键是理解等对边四边形的定义，把证明BD=CE的问题转化为证明三角形全等的问题．27．（1）是，证明见解析；（2）①由2k＋2和2k构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍. 证明见解析；②2016是“神秘数”是假命题,证明见解析.【解析】【分析】对于（1）结合神秘数的定义，看是否可以将28写成两个连续偶数的平方差，即可得出答案；(2) 对于①，两个连续偶数构造的神秘数为(2k+2)2-(2k)2，化简看是否是4的倍数；对于②，结合神秘数的定义，看是否可以将2016写成两个连续偶数的平方差，即可得出答案；【详解】（1）28是“神秘数”,理由如下：∵28=82-62∴28是“神秘数”（2）当选择①时，(2k ＋2)2－(2k)2＝(2k ＋2－2k)(2k ＋2＋2k)＝4(2k ＋1)，∴由2k ＋2和2k 构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍.②当选择②时，2016是“神秘数”是假命题,理由: ()()222k 2-2k +=224k +8k+4-4k=8k+4,令8k+4=2016，得k=251.5,∵k 为须整数,∴k=251.5不符合实际，舍去,∴201 6是“神秘数"错误.【点睛】本题主要考查完全平方公式和平方差公式，能熟练利用完全平方公式和平方差公式进行计算； 28．（1）1，2，3；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质、矩形的性质以及等边三角形的性质进行判断即可；（2）中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的，在图1-4和图1-5中，分别仿照类似的修改方式进行画图即可；（3）长方形具有两条对称轴，在长方形的右侧补出与左侧一样的图形，即可构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形；（4）在等边三角形的基础上加以修改，即可得到恰好有3条对称轴的凸六边形．【详解】解：（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，故答案为1，2，3；（2）恰好有1条对称轴的凸五边形如图中所示．（3）恰好有2条对称轴的凸六边形如图所示．（4）恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示．29．CB的延长线上；a+b；CD=BE，证明见解析；9；6；(4-或(4--.【解析】【分析】(1) 根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论; .(2) ①根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD 的最大值，根据(1) 中的结论即可得到结果;(3)连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=4, BN=AM.根据当N在线段BA的延长线时，线段BN 取得最大值，即可得到最大值为6如图2.过P 作PE ⊥x 轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.【详解】解: (1) ∵点A 为线段BC 外一动点，且BC=a, AB=b,∴当点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b. 故答案为: CB 的延长线上，a+b;(2) ①CD=BE,理由:∵△ABD 与△ACE 是等边三角形，∴AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC.∴∠CAD=∠EAB,在△CAD 与△EAB 中，.AD AB CAD EAB AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CAD ≌△EAB (SAS) ，∴CD=BE.②∵线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值,由(1)知，当线段CD 的长取得最大值时，点D 在CB 的延长线上,∴最大值为BD+BC=AB+BC=9;故答案为：CD=BE ，9.（3）如图1：∵将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,则△APN 是等腰直角三角形。
2020-2021学年北京交大附中分校八年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年北京交大附中分校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为()A. 45°B. 55°C. 125°D. 135°2.下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是()A. B. C. D.3.在下列运算中，正确的是()A. a3⋅a2=a6B. (ab2)3=a6b6C. (a3)4=a7D. a4÷a3=a4.如果(x−4)(x+8)=x2+mx+n，那么m+n的值为()A. 36B. −28C. 28D. −365.已知图中的两个三角形全等，则∠1等于()A. 72°B. 60°C. 50°D. 58°6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果∠DCB=30°，CB=3，那么AB的长为()A. 6B. 8C. 4D. 37.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，D、E为圆心，大于12作射线AF交边BC于点G.若CG=3，AB=10，则△ABG的面积是()A. 3B. 10C. 15D. 308.正五边形的外角和为()A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°9.如图，直线是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是()A. B.C. D.10.如图，△ABC中，AC<BC，如果用尺规作图的方法在BC上确定点P，使PA+PC=BC，那么符合要求的作图痕迹是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.若A(x,4)关于y轴的对称点是B(−3,y)，则x=______，y=______.点A关于x轴的对称点的坐标是______．12.已知等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角度数为______．)2019=______．13.计算：32020×(1314.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上(不与点B，C重合).只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是______(写出一个即可)．15.若(x+1)(kx−2)的展开式中不含有x的一次项，则k的值是______．16.已知等腰三角形的两条边分别是4、7，则这个等腰三角形的周长为______．17.如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E.若BE//AC，则∠C=______．18.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为______ ．三、解答题（本大题共8小题，共46.0分）19.计算：(1)(−2xy2)2÷3xy；(2)x(1−x)+(x−2)(x+3)．20.已知5x2−x−1=0，求代数式(3x+2)(3x−2)+x(x−2)的值．21.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．(1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；(2)作出△ABC关于y对称的△A2B2C2；(3)并写出点C2的坐标．22.已知：如图，B，A，E在同一直线上，AC//BD且AC=BE，∠ABC=∠D.求证：AB=BD．23.下面是小康设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知直线l及直线l外一点P．求作：直线l的垂线，使它经过点P．做法：如图，①以P为圆心，以大于P到直线l的距离的长度为半径画弧，交直线l于A、B两点；②连接PA、PB；③作∠APB的角平分线PQ．直线PQ即为所求．根据小康设计的尺规作图过程：(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明．证明：∵PA=______，PQ平分∠APB，∴PQ⊥l(______)(填推理的依据)24.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．25.如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A=120°，∠C=60°，AB=17，AD=12．(1)求证：AD=DC；(2)求四边形ABCD的周长．26.在四边形ABDE中，C是BD边的中点．(1)如图(1)，若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为______；(直接写出答案)(2)如图(2)，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由图形所示，∠AOB的度数为55°，故选B．由图形可直接得出．本题主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：C．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3.【答案】D【解析】解：A、a3⋅a2=a5，故本选项不合题意；B、(ab2)3=a3b6，故本选项不合题意；C、(a3)4=a12，故本选项不合题意；D、a4÷a3=a，故本选项符合题意．故选：D．分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．4.【答案】B【解析】解：∵(x−4)(x+8)=x2+4x−32，(x−4)(x+8)=x2+mx+n，∴m=4，n=−32，∴m+n的值为−28，故选：B．先将(x−4)(x+8)展开，然后与x2+mx+n找准对应的系数，即可得到m、n的值．本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是明确多项式乘以多项式的方法，找准对应的系数．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角．根据三角形内角和定理求得∠2=58°；然后由全等三角形的性质得到∠1=∠2=58°．【解答】解：如图，由三角形内角和定理得到：∠2=180°−50°−72°=58°．∵图中的两个三角形全等，∴∠1=∠2=58°．故选D．6.【答案】A【解析】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD=30°，∴AB=2BC=2×3=6．故选：A．根据同角的余角相等求出∠A=∠BCD，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=2BC，然后代入数据进行计算即可得解．本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：作GH⊥AB于H，由基本尺规作图可知，AG是△ABC的角平分线，∵∠C=90°，GH⊥AB，∴GH=CG=3，×AB×GH=15，∴△ABG的面积=12故选：C．根据角平分线的性质得到GH=CG=3，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和的度数为360°．故选：B．根据多边形的外角和等于360°，即可求解．本题主要考查多边形的外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是360°．9.【答案】D【解析】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．故选：D．利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．本题考查了最短问题、解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10.【答案】C【解析】解：∵PB+PC=BC，而PA+PC=BC，∴PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．故选：C．由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在AB的垂直平分线上，进而得出结论．本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．11.【答案】34(3,−4)【解析】解：∵A(x,4)关于y轴的对称点是B(−3,y)，∴x=3，y=4，∴A点坐标为(3,4)，∴点A关于x轴的对称点的坐标是(3,−4)，故答案为：3；4；(3,−4)．利用关于x、y轴对称的点的坐标特点可得答案．此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标．关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．12.【答案】40°【解析】【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°.利用三角形的内角和求角度是一种很重要的方法，要熟练掌握．已知给出了一个底角为70°，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°即可解本题．【解答】解：因为其底角为70°，所以其顶角=180°−70°×2=40°．故答案为40°．13.【答案】3【解析】解：32020×(13)2019=32019×3×(13)2019=(3×13)2019×3=12019×3=1×3=3．故答案为：3．积的乘方，等于每个因式乘方的积，据此计算即可．本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．14.【答案】BD=CD(答案不唯一)【解析】解：∵AB=AC，∴∠ABD=∠ACD，添加BD=CD，∴在△ABD与△ACD中{AB=AC∠ABD=∠ACD BD=CD，∴△ABD≌△ACD(SAS)，故答案为：BD=CD(答案不唯一)．由题意可得∠ABC=∠ACD，AB=AC，即添加一组边对应相等，可证△ABD与△ACD全等．本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．15.【答案】2【解析】解：(x+1)(kx−2)，=kx2−2x+kx−2，=kx2+(k−2)x−2，∵不含有x的一次项，∴k−2=0，解得：k=2．故答案为：2．根据多项式乘多项式的运算法则，展开后令x的一次项的系数为0，列式求解即可．本题考查了多项式乘多项式的运算法则，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．16.【答案】15或18【解析】解：①4是腰长时，三角形的三边分别为7、4、4，能组成三角形，周长=7+4+4=15，②4是底边长时，三角形的三边分别为7、7、4，能组成三角形，周长=7+7+4=18，综上所述，这个等腰三角形的周长是15或18，故答案为：15或18．分4是腰长与底边两种情况讨论求解．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，能够分类讨论是解题的关键．17.【答案】60°【解析】解：∵AE⊥BE，∴∠E=90°，∵BE//AC，∴∠EAC=90°，∵AB平分∠DAE，∴∠1=∠2，∵AB=AC，点D是BC的中点，∴∠1=∠2=∠3=30°，∴∠BAC=∠1+∠3=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，故答案为：60°．根据平行线的性质证得∠EAC=90°，由等腰三角形的性质和已知条件证得∠1=∠2=∠3=30°，可得∠BAC=60°，进而得到△ABC为等边三角形，由等边三角形的性质可得∠C的度数．本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，证得∠1=∠2=∠3=30°是解决问题的关键．18.【答案】10°【解析】解：由题意得：∠CA′D=∠A=50°，∠B=40°，由外角定理可得：∠CA′D=∠B+∠A′DB，∴可得：∠A′DB=10°．故答案为：10°．根据轴对称的性质可知∠CA′D=∠A=50°，然后根据外角定理可得出∠A′DB．本题考查轴对称的性质，属于基础题，注意外角定理的运用是解决本题的关键．19.【答案】解：(1)原式=4x2y4÷3xyxy3．=43(2)原式=x−x2+x2+x−6=2x−6．【解析】根据整式的运算法则即可求出答案．本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．20.【答案】解：(3x+2)(3x−2)+x(x−2)=9x2−4+x2−2x=10x2−2x−4，∵5x2−x−1=0，∴5x2−x=1，∴原式=2(5x2−x)−4=−2．【解析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式运算法则化简进而把已知代入得出答案．此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．21.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1，即为所求．C1(3,−2)．(2)如图，△A2B2C2即为所求．(3)C2(−3,2)．【解析】(1)分别作出AB，C的对应点A1，B1，C1即可，再根据点C1的位置写出坐标即可．(2)分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．(3)根据点C2的位置写出坐标即可．本题考查作图−轴对称变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．22.【答案】证明：∵AC//BD，∴∠BAC=∠DBE，在△ABC与△BDE中{∠BAC=∠DBE ∠ABC=∠DAC=BE，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴AB=BD．【解析】根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质证明即可．此题考查全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．23.【答案】PB等腰三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合【解析】解：(1)如图所示，直线PQ即为所求．(2)证明：∵PA=PB，PQ平分∠APB，∴PQ⊥l(等腰三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合)．故答案为：PB，等腰三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合．(1)根据角平分线的尺规作图可得；(2)利用等腰三角形的性质求解可得．本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图和等腰三角形的性质．24.【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，∴∠ABC=∠ACB=60°.∠DBC=30°．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD =∠CDE +∠CED ，∴∠CDE =∠CED =12∠BCD =30°． ∴∠DBC =∠DEC ．∴DB =DE(等角对等边)．【解析】根据等边三角形的性质得到∠ABC =∠ACB =60°，∠DBC =30°，再根据角之间的关系求得∠DBC =∠CED ，根据等角对等边即可得到DB =DE ．此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到∠CDE =30°是正确解答本题的关键．25.【答案】证明：(1)在BC 上取一点E ，使BE =AB ，连结DE ．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ．在△ABD 和△EBD 中，{AB =BE ∠ABD =∠EBD BD =BD∴△ABD≌△EBD(SAS)；∴DE =AD =12，∠BED =∠A ，AB =BE =17，∵∠A =120°，∴∠DEC =60°．∵∠C =60°，∴∠DEC =∠C ．∴DE =DC ，∴AD =DC ．(2)∵∠C =60°，DE =DC ，∴△DEC 为等边三角形∴EC =CD =AD ．∵AD =12，∴四边形ABCD的周长=17+17+12+12+12=70．【解析】(1)在BC上取一点E，使BE=AB，连结DE，证得△ABD≌△EBD，进一步得出∠BED=∠A，利用等腰三角形的判定与性质与等量代换解决问题；(2)首先判定△DEC为等边三角形，求得BC，进一步结合(1)的结论解决问题．此题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等边三角形的判定与性质，结合图形，灵活解答．26.【答案】AE=AB+DE【解析】解：(1)AE=AB+DE；理由：在AE上取一点F，使AF=AB，∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC，在△ACB和△ACF中，{AB=AF∠BAC=∠FAC AC=AC，∴△ACB≌△ACF(SAS)，∴BC=FC，∠ACB=∠ACF，∵C是BD边的中点，∴BC=CD，∴CF=CD，∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°，∴∠ECF=∠ECD，在△CEF和△CED中，{CF=CD∠ECF=∠ECD CE=CE，∴△CEF≌△CED(SAS)，∴EF=ED，∵AE=AF+EF，故答案为：AE=AB+DE；(2)猜想：AE=AB+DE+12BD．证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG，∵C是BD边的中点，∴CB=CD=12BD，∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC，在△ACB和△ACF中，{AB=AF∠BAC=∠FAC AC=AC，∴△ACB≌△ACF(SAS)，∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA，同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE，∵CB=CD，∴CG=CF，∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°−120°=60°，∴∠FCA+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△FGC是等边三角形，BD，∴FG=FC=12∵AE=AF+EG+FG，BD．∴AE=AB+DE+12(1)在AE上取一点F，使AF=AB，由三角形全等的判定可证得△ACB≌△ACF，根据全等三角形的性质可得BC=FC，∠ACB=∠ACF，根据三角形全等的判定证得△CEF≌△CED，得到EF=ED，再由线段的和差可以得出结论；(2)在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG，根据全等三角形的判定证得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得BD，从而可证得结论．CF=CG，进而证得△CFG是等边三角形，就有FG=CG=12本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．。
北京交大附中第二分校2019-2020学年八年级(上)期中数学试卷 含解析
2019-2020学年八年级（上）期中数学试卷一．选择题（共10小题）1．运用图腾解释神话、民俗民风等是人类历史上最早的一种文化现象．下列图腾中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知一个三角形的两条边长分别为3cm，6cm，则它的第三条边的长度可以是（）A．3cm B．5cm C．9cm D．11cm3．五边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°4．如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．55．作△ABC满足∠A＝88°，∠B＝42°，分别延长AC、BC至点D、E，使CD＝CE，连接DE，那么∠E的度数为（）A．70°B．68°C．66°D．65°6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E．若CD＝3cm，则D到AB的距离是（）cm．A．2 B．3 C．4 D．57．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为（）厘米．A．16 B．18 C．26 D．288．已知等腰三角形的一个角为80°，则其顶角为（）A．20°B．50°或80°C．10°D．20°或80°9．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，DE∥AB，交AC于点E，ED＝3，则AE的长为（）A．1.5 B．2 C．3 D．3.510．已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°C．MN∥CD D．MN＝3CD二．填空题（共8小题）11．已知点P（3，﹣2）与点Q关于x轴对称，则Q点的坐标为．12．如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使△ABE ≌△ACD，添加的条件是：．13．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为cm2．（结果保留一位小数）14．图中的四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：．15．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，BC＝4cm，AB＝cm．16．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是．17．若a m＝3，a n＝4，则a m+n＝．18．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE 和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标．三．解答题（共8小题）19．计算：（1）a•a3﹣5a4+（2a2）2（2）6x（x﹣3y）（3）（x﹣2）（x+3）（4）（28a3﹣14a2+7a）÷7a20．已知，如图，DN＝EM，且DN⊥AB于D，EM⊥AC于E，BM＝CN，求证：∠B＝∠C．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点在BC边上，且AD＝AE．求证：BD＝CE．22．如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案（要求保留作图痕迹）23．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣5，1），B（﹣4，4），C（﹣1，﹣1）．（1）在图1中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）直接写出△A1B1C1的面积；（3）在图2中y轴上找出点P，使PB+PC的值最小（保留作图痕迹）．24．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）证明：△ADE≌△CFE；（2）若∠B＝∠ACB，CE＝5，CF＝7，求DB．25．探索题．（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1……观察以上等式，发现规律，利用所得规律，解决下列问题：（1）直接写出（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝．（2）直接写出（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+……x2+x+1）＝．（3）直接写出26+25+24+23+22+2+1的值．26．△ABC是等边三角形，点C关于AB对称的点为C′，点P是直线C′B上的一个动点，连接AP，作∠APD＝60°交射线BC于点D．（1）若点P在线段C′B上（不与点C′，点B重合）①如图1，当点P是线段C′B的中点时，直接写出线段PD与线段PA的数量关系．②如图2，点P是线段C′B上任意一点，证明PD与PA的数量关系．（2）若点P在线段C′B的延长线上，①依题意补全图3；②直接写出线段BD，AB，BP之间的数量关系为：．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．运用图腾解释神话、民俗民风等是人类历史上最早的一种文化现象．下列图腾中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．【解答】解：A、是轴对称图形，故不合题意；B、是轴对称图形，故不合题意；C、不是轴对称图形，故符合题意；D、是轴对称图形，故不合题意．故选：C．2．已知一个三角形的两条边长分别为3cm，6cm，则它的第三条边的长度可以是（）A．3cm B．5cm C．9cm D．11cm【分析】根据三角形的三边关系：三角形第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．【解答】解：设它的第三条边的长度为xcm，依题意有6﹣3＜x＜6+3，则3＜x＜9．故选：B．3．五边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°【分析】n边形的内角和是（n﹣2）180°，由此即可求出答案．【解答】解：五边形的内角和是（5﹣2）×180°＝540°．故选B．4．如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据全等三角形的对应边相等推知BD＝AC＝7，然后根据线段的和差即可得到结论．【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∴BD＝AC＝7，∵BE＝5，∴DE＝BD﹣BE＝2，故选：A．5．作△ABC满足∠A＝88°，∠B＝42°，分别延长AC、BC至点D、E，使CD＝CE，连接DE，那么∠E的度数为（）A．70°B．68°C．66°D．65°【分析】由三角形的内角和定理即可求∠ACB的度数，再根据对顶角相等和等腰三角形的性质可求∠E的度数．【解答】解：∵△ABC满足∠A＝88°，∠B＝42°，∴∠ACB＝180°﹣88°﹣42°＝50°，∴∠DCE＝50°，∵CD＝CE，∴∠E＝（180°﹣50°）÷2＝65°．故选：D．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E．若CD＝3cm，则D到AB的距离是（）cm．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【解答】解：∵AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DE＝CD＝3，故选：B．7．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为（）厘米．A．16 B．18 C．26 D．28【分析】利用线段垂直平分线的性质得AE＝CE，再等量代换即可求得三角形的周长．【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴AE＝CE，∴AE+BE＝CE+BE＝10，∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝10厘米+8厘米＝18厘米，故选：B．8．已知等腰三角形的一个角为80°，则其顶角为（）A．20°B．50°或80°C．10°D．20°或80°【分析】等腰三角形一内角为80°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．【解答】解：（1）当80°角为顶角时，其顶角为80°（2）当80°为底角时，得顶角＝180°﹣2×80°＝20°；故选：D．9．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，DE∥AB，交AC于点E，ED＝3，则AE的长为（）A．1.5 B．2 C．3 D．3.5【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质解答．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵DE∥AB，∴AE＝CE，∴DE＝AE＝AB＝3，故选：C．10．已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°C．MN∥CD D．MN＝3CD【分析】由作图知CM＝CD＝DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．【解答】解：由作图知CM＝CD＝DN，∴∠COM＝∠COD，故A选项正确；∵OM＝ON＝MN，∴△OMN是等边三角形，∴∠MON＝60°，∵CM＝CD＝DN，∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝∠MON＝20°，故B选项正确；设∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝α，则∠OCD＝∠OCM＝，∴∠MCD＝180°﹣α，又∵∠CMN＝∠CON＝α，∴∠MCD+∠CMN＝180°，∴MN∥CD，故C选项正确；∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，∴3CD＞MN，故D选项错误；故选：D．二．填空题（共8小题）11．已知点P（3，﹣2）与点Q关于x轴对称，则Q点的坐标为（3，2）．【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．【解答】解：根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴点P（3，﹣2）关于x轴对称的点Q为（3，2）．故答案为：（3，2）．12．如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使△ABE ≌△ACD，添加的条件是：∠B＝∠C．【分析】添加条件是∠B＝∠C，根据全等三角形的判定定理ASA推出即可，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．【解答】解：∠B＝∠C，理由是：∵在△ABE和△ACD中∴△ABE≌△ACD（ASA），故答案为：∠B＝∠C．13．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为 1.9 cm2．（结果保留一位小数）【分析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．【解答】解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．经过测量，AB＝2.2cm，CD＝1.7cm，∴S△ABC＝AB•CD＝×2.2×1.7≈1.9（cm2）．故答案为：1.9．14．图中的四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：m（a+b）＝ma+mb．【分析】根据图形，从两个角度计算面积即可求出答案．【解答】解：从整体来计算矩形的面积：m（a+b），从部分来计算矩形的面积：ma+mb，所以m（a+b）＝ma+mb，故答案为：m（a+b）＝ma+mb．15．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，BC＝4cm，AB＝8 cm．【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”和“30度角所对的直角边等于斜边的一半”解答．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，∴∠A＝90°×＝30°，∵BC＝4cm，∴AB＝2BC＝8cm．故答案是：8．16．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是22 ．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：∵4+4＝8＜9，0＜4＜9+9＝18∴腰的不应为4，而应为9∴等腰三角形的周长＝4+9+9＝22故填：22．17．若a m＝3，a n＝4，则a m+n＝12 ．【分析】直接根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．【解答】解：∵a m＝3，a n＝4，∴a m+n＝a m•a n＝3×4＝12．故答案为：12．18．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE 和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标（1，5）或（1，﹣1）或（5，﹣1）．【分析】根据题意画出符合条件的所有情况，根据点A、B、C的坐标和全等三角形性质求出即可．【解答】解：如图所示：有3个点，当E在E、F、N处时，△ACE和△ACB全等，点E的坐标是：（1，5），（1，﹣1），（5，﹣1），故答案为：（1，5）或（1，﹣1）或（5，﹣1）．三．解答题（共8小题）19．计算：（1）a•a3﹣5a4+（2a2）2（2）6x（x﹣3y）（3）（x﹣2）（x+3）（4）（28a3﹣14a2+7a）÷7a【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则计算得出答案；（2）直接利用单项式乘以多项式进而得出答案；（3）直接利用多项式乘以多项式计算得出答案；（4）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）a•a3﹣5a4+（2a2）2＝a4﹣5a4+4a4＝0；（2）6x（x﹣3y）＝6x2﹣18xy；（3）（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6；（4）（28a3﹣14a2+7a）÷7a＝4a2﹣2a+1．20．已知，如图，DN＝EM，且DN⊥AB于D，EM⊥AC于E，BM＝CN，求证：∠B＝∠C．【分析】证明△BND≌△CME即可得出结论．【解答】证明：∵BM＝CN，∴BN＝CM，∵DN⊥AB于D，EM⊥AC于E，∴∠BDN＝∠CEM＝90°，∵DN＝EM，∴Rt△BND≌Rt△CME（HL），∴∠B＝∠C．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点在BC边上，且AD＝AE．求证：BD＝CE．【分析】先过A作AP⊥BC于P，而AB＝AC，根据三角形三线合一定理可得BP＝CP，同理可得DP＝EP，再根据等式性质易证BD＝CE．【解答】证明：过A作AP⊥BC于P，∵AB＝AC，AP⊥BC，∴BP＝CP，同理有DP＝EP，∴BP﹣DP＝CP﹣EP，即BD＝CE．22．如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案（要求保留作图痕迹）【分析】到M大学和N大学的距离相等，应在线段MN的垂直平分线上；到公路AO、OB 的距离相等，应在公路OA、OB夹角的平分线上，那么仓库应为这两条直线的交点．【解答】解：仓库D在∠AOB的平分线OE和MN的垂直平分线的交点上和∠AOB的邻补角平分线OE和MN的垂直平分线的交点上，理由是：∵D在∠AOB的角平分线上，∴D到两条公路的距离相等，∵D在MN的垂直平分线上，∴DM＝DN，∴D为所求．同理可得出：D′也符合要求．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣5，1），B（﹣4，4），C（﹣1，﹣1）．（1）在图1中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）直接写出△A1B1C1的面积；（3）在图2中y轴上找出点P，使PB+PC的值最小（保留作图痕迹）．【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）依据割补法进行计算，即可得到△A1B1C1的面积；（3）连接C1B，交y轴于点P，连接PC，依据两点之间，线段最短，即可得到PB+PC的值最小．【解答】解：（1）如图1所示，△A1B1C1即为所求；（2）△A1B1C1的面积为：4×5﹣×2×4﹣×1×3﹣×3×5＝20﹣4﹣1.5﹣7.5＝7；（3）如图2，连接C1B，交y轴于点P，连接PC，则PB+PC的值最小．24．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）证明：△ADE≌△CFE；（2）若∠B＝∠ACB，CE＝5，CF＝7，求DB．【分析】（1）根据AAS或ASA证明△ADE≌△CFE即可；（2）利用全等三角形的性质求出AD，AB即可解决问题；【解答】（1）证明：∵E是边AC的中点，∴AE＝CE．又∵CF∥AB，∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F，在△ADE与△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）．（2）解：∵△ADE≌△CFE，CF＝7，∴CF＝AD＝7，又∵∠B＝∠ACB，∴AB＝AC，∵E是边AC的中点，CE＝5，∴AC＝2CE＝10．∴AB＝10，∴DB＝AB﹣AD＝10﹣7＝3．25．探索题．（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1……观察以上等式，发现规律，利用所得规律，解决下列问题：（1）直接写出（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1 ．（2）直接写出（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+……x2+x+1）＝x n+1﹣1 ．（3）直接写出26+25+24+23+22+2+1的值63 ．【分析】（1）仿照阅读材料中的等式写出第5个等式即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）利用得出的规律化简，计算即可求出值．【解答】解：（1）（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1；故答案为：x6﹣1；（2）（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x+1）＝x n+1﹣1；故答案为：x n+1﹣1；（3）原式＝（2﹣1）（26+25+24+23+22+2+1）＝26﹣1＝63，故答案为：6326．△ABC是等边三角形，点C关于AB对称的点为C′，点P是直线C′B上的一个动点，连接AP，作∠APD＝60°交射线BC于点D．（1）若点P在线段C′B上（不与点C′，点B重合）①如图1，当点P是线段C′B的中点时，直接写出线段PD与线段PA的数量关系PD＝PA．②如图2，点P是线段C′B上任意一点，证明PD与PA的数量关系．（2）若点P在线段C′B的延长线上，①依题意补全图3；②直接写出线段BD，AB，BP之间的数量关系为：BD＝BP+AB．【分析】（1）①如图1中，连接AC′，可证△ABC′是等边三角形，由PB＝PC′，推出PA⊥BC′，可求∠BDP＝∠BPD＝30°，可得PB＝PD，由“SAS”可证△ABD≌△ABP，可得AP＝AD，由等边三角形的性质可求解；②如图2中，作∠BPE＝60°交AB于点E，只要证明△PBD≌△PEA（ASA）即可解决问题；（2）①根据要求画出图形即可解决问题；②结论：BD＝BP+AB．如图3中，在BD上取一点E，使得BE＝PB．只要证明△BPA≌△EPD（SAS），即可解决问题．【解答】（1）①解：如图1中，连接AC′．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵点C'与点C关于AB对称，∴∠C'BA＝∠CBA＝60°，BC′＝BC＝BA，∴△ABC′是等边三角形，∵PB＝PC′，∴PA⊥BC′，且∠APD＝60°，∴∠BPD＝30°，且∠PBD＝120°∴∠BDP＝∠BPD＝30°，∴PB＝BD，且∠ABC＝∠ABC'＝60°，AB＝AB，∴△ABD≌△ABP（SAS）∴AP＝AD，且∠APD＝60°，∴△APD是等边三角形，∴AP＝PD，故答案为AP＝PD．②证明：如图2中，作∠BPE＝60°交AB于点E．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵点C'与点C关于AB对称，∴∠C'BA＝∠CBA＝60°＝∠BPE，∴∠PEB＝60°．∴△PBE是等边三角形，∴PB＝PE，AEP＝120°＝∠PBD．∵∠BPD+∠DPE＝60°，∠APE+∠DPE＝60°，∴∠BPD＝∠APE，在△PBD和△PEA中，∴△PBD≌△PEA（ASA）．∴PD＝PA．（2）①解：补全图形，如图3所示：②解：结论：BD＝BP+AB．理由：如图3中，在BD上取一点E，使得BE＝PB．∵∠EBP＝60°，BE＝BP，∴△EBP是等边三角形，由（1）可知：△PAD是等边三角形，∴∠BPE＝∠APD＝60°，∴∠APB＝∠EPD，∵PB＝PE，PA＝PD，∴△BPA≌△EPD（SAS），∴AB＝DE，∴BD＝BE+ED＝BP+AB．故答案为BD＝BP+AB．。
2019-2020学年八年级上学期期中考试数学试卷含解析
2019-2020学年八年级上学期期中考试数学试卷一．选择题（共10小题）1．计算：＝（）A．2 B．﹣2 C．D．2．下列分式是最简分式的是（）A．B．C．D．3．下列长度的各组线段中可组成三角形的是（）A．1，2，3 B．2，5，8 C．6，2，2 D．3，5，34．把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（）A．扩大4倍B．扩大2倍C．缩小2倍D．不变5．方程＝1的解是（）A．无解B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝16．化简a÷b•的结果是（）A．B．a C．ab2D．ab7．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C，D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（）A．30°B．20°C．15°D．100°8．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．同一三角形内等角对等边C．同角的余角相等D．全等三角形对应角相等9．某公司承担了制作600套校服的任务，原计划每天制作x套，实际上平均每天比原计划多制作了5套，因此提前6天完成任务．根据题意，下列方程正确的是（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连结CF和DE，若∠A＝70°，∠DCF＝50°，BC＝8．则AB长为（）A．4 B．2C．8 D．4二．填空题（共5小题）11．H7N9病毒的直径为30纳米（1纳米10﹣9米），30纳米用科学记数法可表示为米．12．计算（﹣）3的结果是．13．如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂直平分线，BF＝12，CF＝3，则AC＝．14．已知x﹣＝6，求x2+的值为．15．如图，△ABC中，AB＝BD，点D，E分别是AC，BD上的点，且∠ABD＝∠DCE，若∠BEC ＝105°，则∠A的度数是．三．解答题（共8小题）16．计算：（2m2n﹣3）2•3m﹣3n4．17．计算：+﹣118．解方程：．19．如图，△ABC中，BD＝EC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：△ABE≌△ACD20．如图，点E在△ABC的外部，点D在BC上，DE交AC于点F，∠1＝∠2＝∠3，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADE．21．节能环保的油电混合动力汽车，既可用油做动力行驶，也可用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．（1）求汽车行驶中每千米用电费用是多少元？（2）甲、乙两地的距离是多少千米？22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，PD＝PA，（1）尺规作图：作BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，连接DE，求证：DE⊥DP．23．如图，在等边△ABC的顶点B、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别都以每分钟1个单位的速度由C向A和由B向C爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、P处，请问：（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等吗？（2）在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA有变化吗？若无变化是多少度？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．计算：＝（）A．2 B．﹣2 C．D．【分析】根据负整数指数幂解答即可．【解答】解：＝2，故选：A．2．下列分式是最简分式的是（）A．B．C．D．【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【解答】解：A、该分式的分子、分母中含有公因数a，则它不是最简分式．故本选项错误；B、该分式的分子、分母中含有公因数3，则它不是最简分式．故本选项错误；C、该分式符合最简分式的定义．故本选项正确．D、分母为（x+1）（x﹣1），所以该分式的分子、分母中含有公因式（x+1），则它不是最简分式．故本选项错误；故选：C．3．下列长度的各组线段中可组成三角形的是（）A．1，2，3 B．2，5，8 C．6，2，2 D．3，5，3【分析】根据三角形的三边满足两边之和大于第三边来进行判断．【解答】解：A、2+1＝3，不能构成三角形，故不符合题意；B、2+5＝7＜8，不能构成三角形，故不符合题意；C、2+2＝4＜6，不能构成三角形，故不符合题意；D、3+3＞5，可以构成三角形，故符合题意；故选：D．4．把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（）A．扩大4倍B．扩大2倍C．缩小2倍D．不变【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的性质进行化简，即可得出选项．【解答】解：＝，即分式的值不变，故选：D．5．方程＝1的解是（）A．无解B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝1【分析】移项可得﹣1＝＝0，可得x＝0；【解答】解：＝1，∴移项可得﹣1＝＝0，∴x＝0，经检验x＝0是方程的根，∴方程的根是x＝0；故选：C．6．化简a÷b•的结果是（）A．B．a C．ab2D．ab【分析】分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．【解答】解：a÷b•＝a••＝，故选：A．7．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C，D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（）A．30°B．20°C．15°D．100°【分析】由于△ABC是等边三角形，那么∠B＝∠1＝60°，而CD＝CG，那么∠CGD＝∠2，而∠1是△CDG的外角，可得∠1＝2∠2，同理有∠2＝2∠E，等量代换有4∠E＝60°，解即可求∠E．【解答】解：如右图所示，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠1＝60°，∵CD＝CG，∴∠CGD＝∠2，∴∠1＝2∠2，同理有∠2＝2∠E，∴4∠E＝60°，∴∠E＝15°．故选：C．8．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．同一三角形内等角对等边C．同角的余角相等D．全等三角形对应角相等【分析】先交换原命题的题设与结论得到四个逆命题，然后判断它们的真假．【解答】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题；B、同一三角形内等角对等边的逆命题是同一三角形内等边对等角，是真命题；C、同角的余角相等的逆命题是余角相等的角是同角，也可以是等角，是假命题；D、全等三角形对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；故选：B．9．某公司承担了制作600套校服的任务，原计划每天制作x套，实际上平均每天比原计划多制作了5套，因此提前6天完成任务．根据题意，下列方程正确的是（）A．B．C．D．【分析】设原计划每天制作x套，实际平均每天制作（x+5）套，根据实际提前6天完成任务，列方程即可．【解答】解：设原计划每天制作x套，实际平均每天制作（x+5）套，由题意得，﹣＝6．故选：C．10．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连结CF和DE，若∠A＝70°，∠DCF＝50°，BC＝8．则AB长为（）A．4 B．2C．8 D．4【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据线段垂直平分线的性质得到FB＝FC，得到∠FCB＝∠CBD，根据三角形内角和定理得到∠BCA＝∠A，根据等腰三角形的判定定理解答．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵EF是BC的垂直平分线，∴FB＝FC，∴∠FCB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠CBD＝∠FCB，∠ABD+∠CBD+∠FCB+∠A+∠DCF＝180°，解得，∠FCB＝20°，∴∠BCA＝70°，∴∠BCA＝∠A，∴AB＝BC＝8，故选：C．二．填空题（共5小题）11．H7N9病毒的直径为30纳米（1纳米10﹣9米），30纳米用科学记数法可表示为3×10﹣8米．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：30纳米＝30×10﹣9米＝3×10﹣8米．故答案为：3×10﹣8．12．计算（﹣）3的结果是﹣．【分析】根据分式的乘方法则计算，得到答案．【解答】解：（﹣）3＝﹣＝﹣，故答案为：﹣．13．如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂直平分线，BF＝12，CF＝3，则AC＝15 ．【分析】利用垂直平分线的性质得出AF＝BF，从而求出AC的长．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AF＝BF∴AC＝AF+CF＝BF+CF＝12+3＝15．14．已知x﹣＝6，求x2+的值为38 ．【分析】把x﹣＝6两边平方后化简整理解答即可．【解答】解：将x﹣＝6两边平方，可得：，解得：，故答案为：38．15．如图，△ABC中，AB＝BD，点D，E分别是AC，BD上的点，且∠ABD＝∠DCE，若∠BEC ＝105°，则∠A的度数是85°．【分析】设∠A＝∠BDA＝x，∠ABD＝∠ECD＝y，构建方程组即可解决问题．【解答】解：∵BA＝BD，∴∠A＝∠BDA，设∠A＝∠BDA＝x，∠ABD＝∠ECD＝y，则有，解得x＝85°，故答案为85°．三．解答题（共8小题）16．计算：（2m2n﹣3）2•3m﹣3n4．【分析】先算乘方，再根据单项式乘单项式的运算法则进行计算即可得出答案．【解答】解：（2m2n﹣3）2•3m﹣3n4＝（4m4n﹣6）（3m﹣3n4）＝12mn﹣2＝．17．计算：+﹣1【分析】先把要求的式子进行变形，再根据分式的加减法则进行计算即可得出答案．【解答】解：+﹣1＝﹣﹣1＝1﹣1＝0．18．解方程：．【分析】去分母，将分式方程转化为整式方程，即可解决问题．【解答】解：∵，∴1440﹣1260＝6x，即180＝6x，解得：x＝30．经检验：x＝30是原方程的解．19．如图，△ABC中，BD＝EC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：△ABE≌△ACD【分析】利用SAS证明△ABE和△ACD全等即可．【解答】证明：∵BD＝CE，∴BE＝CD，在△ABE和△ACD中，∵，∴△ABE≌△ACD（SAS）．20．如图，点E在△ABC的外部，点D在BC上，DE交AC于点F，∠1＝∠2＝∠3，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADE．【分析】根据角的和差和三角形的内角和得到∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠E，然后根据全等三角形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：∵∠1＝∠2＝∠3，∠AFE＝∠CFD，∴∠1+∠DAF＝∠2+∠DAF，∠C＝180°﹣∠3﹣∠DFC，∠E＝180°﹣∠2﹣∠AFE，∴∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠E，在△ABC与△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（AAS）．21．节能环保的油电混合动力汽车，既可用油做动力行驶，也可用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．（1）求汽车行驶中每千米用电费用是多少元？（2）甲、乙两地的距离是多少千米？【分析】（1）直接利用行驶的路程不变得出方程进而得出答案；（2）利用（1）中所求即可得出答案．【解答】解：（1）设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为（x+0.5）元，根据题意可得：＝，解得：x＝0.3，经检验得：x＝0.3是原方程的解，答：汽车行驶中每千米用电费用是0.3元；（2）甲、乙两地的距离是：30÷0.3＝100（千米）．22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，PD＝PA，（1）尺规作图：作BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，连接DE，求证：DE⊥DP．【分析】（1）利用基本作图作BD的垂直平分线EF；（2）先由PA＝PD得到∠A＝∠PDA，再根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，则∠B ＝∠EDB，从而得到∠PDA+∠EDB＝90°，从而可判断PD⊥DE．【解答】（1）解：如图，EF为所作；（2）证明：∵PA＝PD，∴∠A＝∠PDA，∵EF垂直平分BD，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°﹣∠PDA﹣∠EDB＝90°，∴PD⊥DE．23．如图，在等边△ABC的顶点B、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别都以每分钟1个单位的速度由C向A和由B向C爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、P处，请问：（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等吗？（2）在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA有变化吗？若无变化是多少度？【分析】（1）根据等边三角形性质得出∠CAB＝∠C＝∠ABP＝60°，AB＝BC，根据SAS 推出△BDC≌△APB即可．（2）根据△BDC≌△APB得出∠CBD＝∠BAP，根据三角形外角性质求出∠DQA＝∠ABC，即可求出答案．【解答】解：（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等，理由是：∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠C＝∠ABP＝60°，AB＝BC，在△BDC和△APB中，，∴△BDC≌△APB（SAS），∴BD＝AP．（2）蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小无变化，理由：∵△BDC≌△APB，∴∠CBD＝∠BAP，∴∠DQA＝∠DBA+∠BAP＝∠DBA+∠CBD＝∠ABC＝60°，即蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小无变化，始终是60°．。
2019-2020学年北师大版八年级数学第一学期期中测试题(附答案)
2019-2020学年度第一学期期中考试八年级数学试卷(满分：150分，考试用时120分钟)一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每道小题的四个选项中，只有一个选项正确，请把你认为正确的选项填在相应的答题卡上）1．上海是世界知名金融中心，以下能准确表示上海市地理位置的是()A．在中国的东南方B．东经121.5°C．在中国的长江出海口D．东经121°29′，北纬31°14′2．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是() A.3，4， 5 B．1，2， 3 C．6，7，8 D．2，3，43．下列最简二次根式是()A.13 B.20 C.7 D.1214．要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物5 m，顶端离地面12 m，则梯子的长度为()A．12 m B．13 m C．14 m D．15 m5．在实数0.3，0，7，π2，0.123 456…中，无理数的个数是()A．2 B．3 C．4 D．56．油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油量Q(升)与流出时间t(分钟)的函数关系是()A．Q＝0.2t B．Q＝20－0.2t C．t＝0.2Q D．t＝20－0.2Q7．若一次函数y＝kx－4的图象经过点(－2，4)，则k等于()A．－4 B．4 C．－2 D．28．如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是()A．2.5 B．2 2 C. 3 D. 59．下列各语句中错误的个数为()①最小的实数和最大的实数都不存在；②任何实数的绝对值都是非负数；③任何实数的平方根都是互为相反数；④若两个非负数的和为零，则这两个数都为零．A．4 B．3 C．2 D．110．若P(a，0)中，a＜0，则点P位于()A．x轴正半轴B．x轴负半轴C．y轴正半轴D．y轴负半轴11．已知点P(1，－2)，Q(－1，2), R (－1，－2)，H(1，2)，则下面选项中关于y轴对称的是()A．P和Q B．P和H C．Q和R D．P和R12．一次函数y＝kx＋6，y随x的增大而减小，则这个一次函数的图象不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限13．设m＝32，n＝23，则m、n的大小关系为()A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．不能确定14．今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间，设他从山脚出发后所用时间为t(分钟)，所走的路程为s(米)，s与t之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是()A．小明中途休息用了20分钟B．小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米C．小明在上述过程中所走的路程为6 600米D．小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度15．如果a＜0，b＜0，且a－b＝6，那么a2－b2的值是()A．6 B．－6 C．6或－6 D．无法确定二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡相应题号后的横线上）16．16的算术平方根是________，－8的立方根是________．17．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则a2－|a－b|＝______．18.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，点E在BC上，将△ABC 沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为________．19．如图，点A(a，4)在一次函数y＝－3x－5的图象上，图象与y轴的交点为B，那么△AOB的面积为________．20．如图，象棋盘中的小方格均是边长为1个长度单位的正方形，如果“炮”的坐标为(－2，1)(x 轴与边AB平行，y轴与边BC平行)，那么“卒”的坐标为________．三、解答题（本大题共7小题，各题分值见题号后，共80分，请解答在答题卡相应题号后，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）21．(10分)计算：(1)18－72＋50；(2)(7＋3)(7－3)．22.(8分)已知一次函数y＝kx＋b，在x＝0时的值为4，在x＝－1时的值为－2，求这个一次函数的表达式．23．(10分)已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是2的平方根，求5（a＋b）a2＋b2－2cd＋x的值．24．(12分)如图是某学校的平面示意图．A，B，C，D，E，F分别表示学校的第1，2，3，4，5，6号楼．(1)写出A，B，C，D，E的坐标；(2)位于原点北偏东45°的是哪座楼，它的坐标是多少？25.(12分)如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？26．(12分)已知m＋n－5的算术平方根是3，m－n＋4的立方根是－2，试求2m＋13m－n＋2 的值．27.(16分)在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到如53，23，23＋1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：5 3＝5×33×3＝533；(一)23＝2×33×3＝63；(二)23＋1＝2×（3－1）（3＋1）（3－1）＝2（3－1）（3）2－12＝3－1.(三)以上这种化简的步骤叫做分母有理化．23＋1还可以用以下方法化简：23＋1＝3－13＋1＝（3）2－123＋1＝（3＋1）（3－1）3＋1＝3－1.(四)(1)请用不同的方法化简25＋3.①参照(三)式得25＋3＝________________________________；②参照(四)式得25＋3＝________________________________；(2)化简：13＋1＋15＋3＋17＋5＋…＋12n＋1＋2n－1.八年级数学试卷参考答案1．D 2.B 3.C 4.B 5.B 6.B 7.A 8.D 9.D 10.B 11.D 12.C 13.A 14.C 15.B16.4 －2 17.－b 18.3219.7.5 20.(3，2) 21.(1)2 2.(2)4.22.根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，－k ＋b ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6，b ＝4.所以这个一次函数的表达式为y ＝6x ＋4. 23.由题意知a ＋b ＝0，cd ＝1，x ＝±2.当x ＝2时，原式＝－2＋2＝0.当x ＝－2时，原式＝－2－2＝－2 2.故原式的值为0或－2 2.24.(1)A(2，3)、B(5，2)、C(3，9)、D(7，5)、E(6，11)．(2)在原点北偏东45°的点是点F ，其坐标为(12，12)．25.小鸟至少飞行10 m ．26.根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n －5＝9，m －n ＋4＝－8.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝13.所以3m －n ＋2＝－8，2m ＋1＝3.所以2m ＋13m －n ＋2＝3－8＝－2.27.(1)2×（5－3）（5＋3）（5－3）＝2（5－3）5－3＝5－3 5－35＋3＝（5）2－（3）25＋3＝（5＋3）（5－3）5＋3＝5－3 (2)原式＝3－12＋5－32＋7－52＋…＋2n ＋1－2n －12＝3－1＋5－3＋7－5＋…＋2n ＋1－2n －12＝2n ＋1－12.。
2019-2020学年北京八中八年级(上)期中数学试卷
2019-2020学年北京八中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下面四幅画分别是体育运动长鼓舞，武术，举重、摔跤抽象出来的简笔画，其中是轴对称图形的是()A．B．C．D．2．（3分）计算25-的结果是()A．10-B．25-C．125D．125-3．（3分）如图，ABC DEC∆≅∆，70A∠=︒，60ACB∠=︒，则E∠的度数为()A．70︒B．50︒C．60︒D．30︒4．（3分）下列各式从左到右的变形是因式分解的是()A．()a b c ab ac-=-B．2223(1)2x x x-+=-+ C．24(2)(2)x x x-=+-D．2(1)(2)32x x x x++=++5．（3分）下列分式中，是最简分式的是()A．2xxB．242xx y-C．22x yx y-+D．23x-6．（3分）如图，用尺规作图作AOC AOB∠=∠的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是()A．以点F为圆心，OE长为半径画弧B ．以点F 为圆心，EF 长为半径画弧C ．以点E 为圆心，OE 长为半径画弧D ．以点E 为圆心，EF 长为半径画弧7．（3分）若1x =-，则下列分式值为0的是( )A ．2x xB ．1x x +C ．1x x-D ．21x x-8．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )A ．ABC ∆的三条中线的交点B ．ABC ∆三边的中垂线的交点C ．ABC ∆三条角平分线的交点D ．ABC ∆三条高所在直线的交点9．（3分）下列各式从左到右的变形正确的是( ) A ．1x yx y-+=-- B ．11x x y y +=+C ．11x x y y =++ D ．22233()x x y y-=10．（3分）已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为( )秒时．ABP ∆和DCE ∆全等．A ．1B ．1或3C ．1或7D ．3或7二、填空题（11～13每题2分，其他每题3分，共21分） 11．（2分）（1）分式132x x +-有意义的条件是 ． （2）分式211x x --的值为0的条件是 ．12．（2分）如图，点B 、A 、D 、E 在同一直线上，BD AE =，//BC EF ，要使ABC DEF ∆≅∆，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一个即可）13．（2分）某微生物的直径为0.000 005 035m ，用科学记数法表示该数为 ． 14．（3分）若关于x 的二次三项式2x kx b ++因式分解为(1)(3)x x --，则k b +的值为 ． 15．（3分）如果2210a a +-=，那么代数式24()2a a a a --的值是 ．16．（3分）如图的25⨯的正方形网格中，ABC ∆的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与ABC ∆成轴对称的格点三角形一共有 个，请在图中至少画一个满足题意的图形．（请画在答题纸的图形上）17．（3分）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：3322()()x y x y x xy y +=+-+； 立方差公式：3322()()x y x y x xy y -=-++；根据材料和已学知识，化简22332428x x x x x x ++---结果为 ；当3x =时分式的值为 ． 18．（3分）如图，点A ，C ，D ，E 在Rt MON ∆的边上，90MON ∠=︒，AE AB ⊥且AE AB =，BC CD ⊥且BC CD =，BH ON ⊥于点H ，DF ON ⊥于点F ，12OM =，6OE =，3BH =，4DF =，8FN =，图中阴影部分的面积为 ．三、解答题（共49分）19．（9分）分解因式： （1）26mx my -； （2）232x x -+；（3）229()()a x y b y x -+-． 20．（8分）计算：（1）2222424436x y x x x x xy-+⋅+++； （2）53(2)224m m m m -+-÷--． 21．（5分）解分式方程：2311xx x x +=--． 22．（4分）如图，AB AD =，AC AE =，BAE DAC ∠=∠．求证：C E ∠=∠．23．（5分）先化简：22211()a a a a a a---÷+，然后从1-，0，1，2中选一个你认为合适的a 值，代入求值．24．（6分）阅读下面材料，并补全证明过程：在学习“全等三角形”一章时，课本中介绍了一个平分角的仪器：老师倡议班上同学动手制作这个仪器，并思考平分角的仪器能否进行三等分角？同学们展开了研究，有的同学在二等分角的仪器基础上进行了拓展，设计制作了三等分角仪器，如图3．小易同学对制作等分角工具的数学活动非常感兴趣，他通过查阅资料，发现了一个工具——“勾尺”：“勾尺”的直角顶点为P ，“宽臂”的宽度PQ QR ==，勾尺的一边为MN ，且满足M ，N ，Q 三点共线（所以)PQ MN ⊥．小易自己制作了一把勾尺，通过实践探索发现：勾尺既可以把角二等分，也可以把角三等分，以下是他想到的两种二等分角的方法． 方法一：简要步骤：1．如图4，将勾尺OP 边与已知角BC 边重合，沿勾尺MN 边画直线EF ； 2．如图5，将勾尺OP 边与已知角BA 边重合，沿勾尺MN 边画直线GH ， 3．如图6，直线EF 与GH 交于点D ，作射线BD ；射线BD 即为ABC ∠的平分线． （1）证明过程：过点D 分别作DS BC ⊥于S ，DT BA ⊥于T ，勾尺宽臂的宽度相同， DS DT ∴=，BD ∴平分(ABC ∠ )．方法二：简要步骤：1．如图7移动勾尺到合适位置，使其顶点P 落在BC 边上，使勾尺的MN 边经过点B ，同时让点R 落在BA 边上；2．标记此时点Q 所在位置，作射线BQ ．射线BQ 是ABC ∠的平分线．证明过程： ；（2）您还有其他利用勾尺将已知角二等分的画法吗？请画出数学示意图并写出简要步骤．25．（6分）列方程解应用题：“绿色环保，健康出行”新能源汽车越来越占领汽车市场，以“北汽”和“北汽新能源500EV “为例，分别在某加油站和某充电站加油和充电的电费均为300元，而续航里程之比则为1:4，经计算新能源汽车相比燃油车节约0.6元/公里．（1）分别求出燃油车和新能源汽车的续航单价（每公里费用）；（2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的小区及用户将享受0.48元/度的优惠专用电费，以新能源500EV 为例，充电55度可续航400公里，试计算每公里所需电费，并求出与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比．26．（6分）如图，在ABC ∆中，已知45ABC ∠=︒，过点C 作CD AB ⊥于点D ，过点B 作BM AC ⊥于点M ，连接MD ，过点D 作DN MD ⊥，交BM 于点N ．（1）求证：DBN DCM ∆≅∆；（2）设CD 与BM 相交于点E ，若点E 是CD 的中点，试探究线段NE 、ME 、CM 之间的数量关系，并证明你的结论．附加题27．（5分）将44⨯的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种．28．（6分）一张边长为a 的大正方形卡片和三张边长为b 的小正方形卡片1()2a b a <<如图1，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3．已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大29ab -，则小正方形卡片的面积是 ．29．（9分）已知，如图1，A 在x 轴负半轴上，(0,4)B -、点(6,4)E -在射线BA 上． （1）求证：点A 为BE 的中点；（2）在y 轴正半轴上有一点F ，使45FEA ∠=︒，求点F 的坐标；（3）如图2，点M 、N 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，MN NB MA ==，点I 为MON ∆的内角平分线的交点，AI 、BI 分别交y 轴正半轴、x 轴正半轴于P 、Q 两点，IH ON ⊥于H ，求证：2OP PQ OQ HI ++=．参考答案一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下面四幅画分别是体育运动长鼓舞，武术，举重、摔跤抽象出来的简笔画，其中是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、不是轴对称图形，故错误；B 、不是轴对称图形，故错误；C 、是轴对称图形，故正确；D 、不是轴对称图形，故错误．故选：C ．2．（3分）计算25-的结果是( ) A ．10- B ．25- C ．125D ．125-【解答】解：22115525-==． 故选：C ．3．（3分）如图，ABC DEC ∆≅∆，70A ∠=︒，60ACB ∠=︒，则E ∠的度数为( )A ．70︒B ．50︒C ．60︒D ．30︒【解答】解：70A ∠=︒，60ACB ∠=︒， 50B ∴∠=︒， ABC DEC ∆≅∆， 50E B ∴∠=∠=︒，故选：B ．4．（3分）下列各式从左到右的变形是因式分解的是( )A ．()a b c ab ac -=-B ．2223(1)2x x x -+=-+C ．24(2)(2)x x x -=+-D ．2(1)(2)32x x x x ++=++【解答】解：A 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C 、是因式分解，故本选项正确；D 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；故选：C ．5．（3分）下列分式中，是最简分式的是( )A ．2x xB ．242x x y -C ．22x y x y-+D ．23x - 【解答】解：A 、2x x x=，不是最简分式，不符合题意；B 、2422x xx y x y=--，不是最简分式，不符合题意； C 、22x y x y x y-=-+，不是最简分式，不符合题意； D 、23x -，是最简分式，符合题意； 故选：D ．6．（3分）如图，用尺规作图作AOC AOB ∠=∠的第一步是以点O 为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA 、OB 于点E 、F ，那么第二步的作图痕迹②的作法是( )A ．以点F 为圆心，OE 长为半径画弧B ．以点F 为圆心，EF 长为半径画弧C ．以点E 为圆心，OE 长为半径画弧D ．以点E 为圆心，EF 长为半径画弧【解答】解：用尺规作图作AOC AOB ∠=∠的第一步是以点O 为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA 、OB 于点E 、F ，第二步的作图痕迹②的作法是以点E 为圆心，EF 长为半径画弧． 故选：D ．7．（3分）若1x =-，则下列分式值为0的是( )A ．2x xB ．1x x +C ．1x x-D ．21x x-【解答】解：当1x =-时，211101x x --==-．故选：D ．8．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )A ．ABC ∆的三条中线的交点B ．ABC ∆三边的中垂线的交点C ．ABC ∆三条角平分线的交点D ．ABC ∆三条高所在直线的交点【解答】解：凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择ABC ∆三条角平分线的交点．故选：C ．9．（3分）下列各式从左到右的变形正确的是( ) A ．1x yx y-+=-- B ．11x x y y +=+C ．11x x y y =++ D ．22233()x x y y-=【解答】解：（B ）分子分母同时加1，左右两边不一定相等，故B 错误； （C ）原式已为最简分式，故C 错误； （D ）原式229x y=，故D 错误；故选：A ．10．（3分）已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为( )秒时．ABP ∆和DCE ∆全等．A．1B．1或3C．1或7D．3或7【解答】解：因为AB CD=，若90ABP DCE∠=∠=︒，2BP CE==，根据SAS证得ABP DCE∆≅∆，由题意得：22BP t==，所以1t=，因为AB CD=，若90BAP DCE∠=∠=︒，2AP CE==，根据SAS证得BAP DCE∆≅∆，由题意得：1622AP t=-=，解得7t=．所以，当t的值为1或7秒时．ABP∆和DCE∆全等．故选：C．二、填空题（11～13每题2分，其他每题3分，共21分）11．（2分）（1）分式132xx+-有意义的条件是23x≠．（2）分式211xx--的值为0的条件是．【解答】解：（1）分式132xx+-有意义的条件是：23x≠．故答案为：23x≠；（2）分式211xx--的值为0的条件是：210x-=，10x-≠，解得：1x=-．故答案为：1x=-．12．（2分）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD AE=，//BC EF，要使ABC DEF∆≅∆，则只需添加一个适当的条件是BC EF=或BAC EDF∠=∠．（只填一个即可）【解答】解：若添加BC EF =， //BC EF ，B E ∴∠=∠， BD AE =，BD AD AE AD ∴-=-，即BA ED =，在ABC ∆和DEF ∆中， BC EF B E BA ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABC DEF SAS ∴∆≅∆；若添加BAC EDF ∠=∠， //BC EF ，B E ∴∠=∠， BD AE =，BD AD AE AD ∴-=-，即BA ED =，在ABC ∆和DEF ∆中， B E BA EDBAC EDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABC DEF ASA ∴∆≅∆，故答案为：BC EF =或BAC EDF ∠=∠13．（2分）某微生物的直径为0.000 005 035m ，用科学记数法表示该数为 65.03510-⨯ ． 【解答】解：0.000 005 6035 5.03510-=⨯， 故答案为：65.03510-⨯．14．（3分）若关于x 的二次三项式2x kx b ++因式分解为(1)(3)x x --，则k b +的值为 1- ．【解答】解：由题意得：22(1)(3)43x kx b x x x x ++=--=-+， 4k ∴=-，3b =，则431k b +=-+=-． 故答案为：1-15．（3分）如果2210a a +-=，那么代数式24()2a a a a --的值是 1 ．【解答】解：24()2a a a a --2242a a a a -=- 2(2)(2)2a a a a a +-=- (2)a a =+ 22a a =+， 2210a a +-=， 221a a ∴+=，∴原式1=，故答案为：1．16．（3分）如图的25⨯的正方形网格中，ABC ∆的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与ABC ∆成轴对称的格点三角形一共有 4 个，请在图中至少画一个满足题意的图形．（请画在答题纸的图形上）【解答】解：如图所示：都是符合题意的图形． 故在网格中与ABC ∆成轴对称的格点三角形一共有4个， 故答案为：4．17．（3分）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方和公式：3322()()x y x y x xy y +=+-+； 立方差公式：3322()()x y x y x xy y -=-++；根据材料和已学知识，化简22332428x x x x x x ++---结果为 22x - ；当3x =时分式的值为 ．【解答】原式22324(2)(2)(24)x x x x x x x x ++=---++ 3122x x =--- 22x =-， 把3x =代入原式22325=+． 故答案为：22x -，25． 18．（3分）如图，点A ，C ，D ，E 在Rt MON ∆的边上，90MON ∠=︒，AE AB ⊥且AE AB =，BC CD ⊥且BC CD =，BH ON ⊥于点H ，DF ON ⊥于点F ，12OM =，6OE =，3BH =，4DF =，8FN =，图中阴影部分的面积为 50 ．【解答】解：90EAO BAH ∠+∠=︒，90EAO AEO ∠+∠=︒， BAH AEO ∴∠=∠，在AEO ∆和BAH ∆中， 90AEO BAHO BHA AE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()AEO BAH AAS ∴∆≅∆，同理()BCH CDF AAS ∆≅∆，3AO BG ∴==，6AH EO ==，4CH DF ==，3BH CF ==， 梯形DEOF 的面积1()802EF DH FH =+⋅=，192AEO ABH S S AF AE ∆∆==⋅=， 162BCH CDF S S CH DH ∆∆==⋅=，∴图中实线所围成的图形的面积80292650S =-⨯-⨯=，故答案为：50． 三、解答题（共49分） 19．（9分）分解因式： （1）26mx my -； （2）232x x -+；（3）229()()a x y b y x -+-． 【解答】解：（1）原式2(3)m x y =-；（2）原式(1)(2)x x =--；（3）原式229()()a x y b x y =---22()(9)x y a b =-- ()(3)(3)x y a b a b =-+-．20．（8分）计算：（1）2222424436x y x x x x xy-+⋅+++； （2）53(2)224m m m m -+-÷--． 【解答】解：（1）原式2(2)(2)2(2)3(2)x y x y x x x x y -++=⋅++ 23(2)x yx x -=+；（2）原式252(2)()123m m x m +-=-⋅-- 2452(2)23m m m m ---=⋅-- 2(3)(3)3m m m -+=- 26m =+．21．（5分）解分式方程：2311xx x x +=--． 【解答】解：去分母得：223x x x +-=， 解得：3x =，经检验3x =是分式方程的解．22．（4分）如图，AB AD =，AC AE =，BAE DAC ∠=∠．求证：C E ∠=∠．【解答】证明：BAE DAC ∠=∠ BAE CAE DAC CAE ∴∠+∠=∠+∠CAB EAD ∴∠=∠，且AB AD =，AC AE =()ABC ADE SAS ∴∆≅∆ C E ∴∠=∠23．（5分）先化简：22211()a a a a a a---÷+，然后从1-，0，1，2中选一个你认为合适的a 值，代入求值．【解答】解：原式222211a a a a a a-+-=÷+ 2(1)(1)(1)(1)a a a a a a -+=-+ 1a =-，当2a =时，原式1121a =-=-=-．24．（6分）阅读下面材料，并补全证明过程：在学习“全等三角形”一章时，课本中介绍了一个平分角的仪器：老师倡议班上同学动手制作这个仪器，并思考平分角的仪器能否进行三等分角？同学们展开了研究，有的同学在二等分角的仪器基础上进行了拓展，设计制作了三等分角仪器，如图3．小易同学对制作等分角工具的数学活动非常感兴趣，他通过查阅资料，发现了一个工具——“勾尺”：“勾尺”的直角顶点为P ，“宽臂”的宽度PQ QR ==，勾尺的一边为MN ，且满足M ，N ，Q 三点共线（所以)PQ MN ⊥．小易自己制作了一把勾尺，通过实践探索发现：勾尺既可以把角二等分，也可以把角三等分，以下是他想到的两种二等分角的方法． 方法一：简要步骤：1．如图4，将勾尺OP 边与已知角BC 边重合，沿勾尺MN 边画直线EF ； 2．如图5，将勾尺OP 边与已知角BA 边重合，沿勾尺MN 边画直线GH ， 3．如图6，直线EF 与GH 交于点D ，作射线BD ；射线BD 即为ABC ∠的平分线． （1）证明过程：过点D 分别作DS BC ⊥于S ，DT BA ⊥于T ， 勾尺宽臂的宽度相同， DS DT ∴=，BD ∴平分(ABC ∠ 到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 )．方法二：简要步骤：1．如图7移动勾尺到合适位置，使其顶点P 落在BC 边上，使勾尺的MN 边经过点B ，同时让点R 落在BA 边上；2．标记此时点Q 所在位置，作射线BQ ．射线BQ 是ABC ∠的平分线．证明过程： ；（2）您还有其他利用勾尺将已知角二等分的画法吗？请画出数学示意图并写出简要步骤．【解答】解：（1）方法一：如图6中，过点D 分别作DS BC ⊥于S ，DT BA ⊥于T ，勾尺宽臂的宽度相同，DS DT∴=，∴平分ABCBD∠（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上）．故答案为：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上．方法二：如图8中，=，⊥，PQ QRBQ PR∴=，BR BPQBR QBP∴∠=∠，∴平分ABCBQ∠．（2）如图9中，利用“勾尺”分别在BC，BA上截取BM BN OP==，==，BH BG PR连接NH，GM交于点O，作射线BO，则BO平分ABC∠．GB BH=，∠=∠，BM BN=，GBM HBN∴∆≅∆，()GBM HBN SAS∴∠=∠，BMG BAH=，=，BG BHBN BM∴=，NG MH∠=∠，NOG MOH∴∆≅∆，NOG MOH AAS()∴=，OG OHBO BO =，()BOG BOH SSS ∴∆≅∆，GBO HBO ∴∠=∠，BO ∴平分ABC ∠．25．（6分）列方程解应用题：“绿色环保，健康出行”新能源汽车越来越占领汽车市场，以“北汽”和“北汽新能源500EV “为例，分别在某加油站和某充电站加油和充电的电费均为300元，而续航里程之比则为1:4，经计算新能源汽车相比燃油车节约0.6元/公里．（1）分别求出燃油车和新能源汽车的续航单价（每公里费用）；（2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的小区及用户将享受0.48元/度的优惠专用电费，以新能源500EV 为例，充电55度可续航400公里，试计算每公里所需电费，并求出与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比．【解答】解：（1）设燃油车的续航里程为x 公里，则新能源汽车的续航里程为4x 公里， 由题意得：3003000.64x x-=， 解得：375x =，经检验，375x =是原方程的解，则燃油车的续航单价为：3003750.8÷=（元/公里），新能源汽车的续航单价为：300\(4375)0.2÷⨯=（元/公里），答：燃油车的续航单价为0.8元/公里，新能源汽车的续航单价为0.2元/公里；（2）新能源500EV 续航400公里所需费用为：0.485526.4⨯=（元)，∴新能源500EV 每公里所需电费为：26.44000.066÷=（元)，则0.0660.88.25%÷=，答：新能源500EV 每公里所需电费为0.066元，与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比为8.25%．26．（6分）如图，在ABC ∆中，已知45ABC ∠=︒，过点C 作CD AB ⊥于点D ，过点B 作BM AC ⊥于点M ，连接MD ，过点D 作DN MD ⊥，交BM 于点N ．（1）求证：DBN DCM ∆≅∆；（2）设CD 与BM 相交于点E ，若点E 是CD 的中点，试探究线段NE 、ME 、CM 之间的数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：45ABC ∠=︒，CD AB ⊥，45ABC DCB ∴∠=∠=︒，BD DC ∴=，90BDC MDN ∠=∠=︒，BDN CDM ∴∠=∠，CD AB ⊥，BM AC ⊥，90ABM A ACD ∴∠=︒-∠=∠，在DBN ∆和DCM ∆中，BDN CDM BD DCDBN DCM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()DBN DCM ASA ∴∆≅∆．（2）结论：NE ME CM -=．证明：由（1）DBN DCM ∆≅∆ 可得DM DN =．作DF MN ⊥于点F ，又ND MD ⊥，DF FN ∴=，在DEF ∆和CEM ∆中，DEF CEM DFE CME DE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEF CEM AAS ∴∆≅∆，ME EF ∴=，CM DF =，CM DF FN NE FE NE ME ∴===-=-．易证CME BDE ∆∆∽， ∴2CM BD EM DE==，2CM EM∴=，3NE EM=，::1:2:3EM CM NE∴=．综上所述，CM NE ME=-，::1:2:3EM CM NE=．附加题27．（5分）将44⨯的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种．【解答】解：如图所示，（答案不唯一）28．（6分）一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片1()2a b a<<如图1，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3．已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大29ab-，则小正方形卡片的面积是3．【解答】解：由图可得，图2中阴影部分的面积是：2(2)b a -，图3中阴影部分的面积是：()()a b a b --， 则2()()(2)29a b a b b a ab ----=-，化简，得23b =，故答案为：3．29．（9分）已知，如图1，A 在x 轴负半轴上，(0,4)B -、点(6,4)E -在射线BA 上．（1）求证：点A 为BE 的中点；（2）在y 轴正半轴上有一点F ，使45FEA ∠=︒，求点F 的坐标；（3）如图2，点M 、N 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，MN NB MA ==，点I 为MON ∆的内角平分线的交点，AI 、BI 分别交y 轴正半轴、x 轴正半轴于P 、Q 两点，IH ON ⊥于H ，求证：2OP PQ OQ HI ++=．【解答】（1）证明：过E 点作EG x ⊥轴于G ， (0,4)B -，(6,4)E -，4OB EG ∴==，在AEG ∆和ABO ∆中，90EAG BAO EGA BOA EG BO ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()AEG ABO AAS ∴∆≅∆，AE AB ∴=，∴点A 为BE 的中点；（2）解：过A 作AD AE ⊥交EF 的延长线于D ，过D 作DK x ⊥轴于K ，如图11-所示： 则90EGA DAE AKD ∠=∠=∠=︒，90GAE AEG GAE DAK ∴∠+∠=∠+∠=︒，AEG DAK ∴∠=∠，45FEA ∠=︒，ADE ∴∆是等腰直角三角形，AE AD ∴=，在AEG ∆和DAK ∆中，EGA AKD AEG DAK AE DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEG DAK AAS ∴∆≅∆，EG AK ∴=，AG DK =，(0,4)B -，(6,4)E -，(3,0)A ∴-，6OG =，4EG =，3OA ∴=，3AG DK ==，4AK EG ==，1OK AK OA ∴=-=，(1,3)D ∴，设(0,)F y ，梯形EGKD 的面积=梯形EGOF 的面积+梯形FOKD 的面积， ∴111(34)(34)(4)6(3)1222y y ⨯+⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯， 解得：227y =， ∴点F 的坐标为22(0,)7；（3）证明：如图2，连接MI 、NI ， I 为MON ∆内角平分线交点，NI ∴平分MNO ∠，MI 平分OMN ∠，在MIN ∆和MIA ∆中，MN MA NMI AMI MI MI =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MIN MIA SAS ∴∆≅∆，MIN MIA ∴∠=∠，同理可得，MIN NIB ∠=∠， NI 平分MNO ∠，MI 平分OMN ∠，90MON ∠=︒， 135MIN ∴∠=︒，135MIN MIA NIB ∴∠=∠=∠=︒，135336045AIB ∴∠=︒⨯-︒=︒，连接OI ，过I 作IS OM ⊥于S ，IH ON ⊥，OI 平分MON ∠，IH IS OH OS ∴===，90HIS ∠=︒，45HIP QIS ∠+∠=︒， 在SM 上截取SC HP =，连接CI ，在HIP ∆和SIC ∆中，IH IS IHP ISC HP SC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()HIP SIC SAS ∴∆≅∆，IP IC ∴=，HIP SIC ∠=∠，45QIC QIP ∴∠=︒=∠，在QIP ∆和QIC ∆中，IP IC QIP QIC QI QI =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()QIP QIC SAS ∴∆≅∆，PQ QC QS HP∴==+，∴++=+++=+=．2OP PQ OQ OP PH OQ OS OH OS HI。
2022-2023学年北京市交通大学附属中学八年级上学期期中考试数学试卷含详解
2022-2023学年北京交大附中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列图标中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列命题是真命题的是（）A.同位角相等B.内错角相等C.同旁内角互补D.邻补角互补3.如图，△ACB ≌△A′C B′，∠B=50°，则∠B′的度数为（）A.20°B.30°C.35°D.50°4.已知：ABC 是等腰三角形，AB AC =，AD 是底边BC 上的高，下面结论不一定成立的是（）A.BD CD =B.BD AD =C.AD 平分BAC ∠D.B C∠=∠5.现有两根木条，它们的长分别为50cm ，35cm ，如果要钉一个三角形木架，那么下列四根木条中应选取（）A.0.85m 长的木条B.0.15m 长的木条C.1m 长的木条D.0.5m 长的木条6.如图，AB=DE ，AC=DF ，BC=EF ，∠B =50°，∠C =30°，则∠D 的度数为（）A.30°B.50°C.60°D.100°7.如图，用“SAS”证明△ABC ≌△ADE ，若已知AB ＝AD ，AC ＝AE ，则还需添加条件为（）A.∠B ＝∠DB.∠C ＝∠EC.∠1＝∠2D.∠3＝∠48.如图，AOC BOC ∠=∠，CM OA CN OB ⊥⊥，，垂足分别为M N ，，下列结论不一定正确的是（）A.CM CN =B.OM ON =C.=ON CMD.MCO NCO∠=∠9.如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，//FC AB ，若4AB =，3CF =，则BD 的长是()A.0.5B.1C.1.5D.210.如图1，ABC 中，AB AC =，D 为BC 中点，把ABC 纸片沿AD 对折得到ADC △，如图2，点E 和点F 分别为AD ，AC 上的动点，把ADC △纸片沿EF 折叠，使得点A 落在ADC △的外部，如图3所示．设12α∠-∠=，则下列等式成立的是（）A.BAC α∠=B.2BAC α∠=C.2BAC α∠=D.32BAC α∠=二、填空题（本大题共6小题，共18分）11.已知等腰三角形的一个底角是70︒，则这个等腰三角形的顶角是_______．12.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．13.要测量河岸相对两点A ，B 的距离，已知AB 垂直于河岸BF ，先在BF 上取两点C ，D ，使CD CB =，再过点D 作BF 的垂线段DE ，使点A ，C ，E 在一条直线上，如图，测出20DE =米，则AB 的长是______米．14.如图，在ABC 中，10AB =，6AC =，则BC 边上的中线AD 的取值范围是______．15.如图，在ABC 中，346AB AC BC EF ===，，，是BC 的垂直平分线，P 是直线EF 上的任意一点，则PA PB +的最小值是______．16.在平面直角坐标系内点A ，点B 的坐标是分别为（0，3），（4，3），在坐标轴上找一点C ，使ABC 是等腰三角形，则符合条件的点C 的个数是_____．三、解答题（本大题共9小题，共52分。
2019-2020学年八年级上学期期中考试数学试卷附参考答案
2019-2020学年八年级上学期期中考试数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．若分式的值不存在，则x的取值是（）A．x＝﹣2 B．x≠﹣2 C．x＝3 D．x≠32．若分式的值等于0，则x的取值是（）A．x＝0 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝3或x＝﹣3 3．下列式子变形，正确的是（）A．＝B．＝﹣C．＝D．＝4．下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．5．用科学记数法表示：0.00002018是（）A．2.018×10﹣5B．2.018×10﹣4C．201.8×10﹣7D．2018×10﹣56．计算：（）﹣3的结果是（）A．﹣B．C．D．﹣7．如图，图中三角形的个数共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．如图，CD是△ABC的角平分线，∠A＝30°，∠B＝66°，则∠BDC的度数是（）A．96°B．84°C．76°D．72°9．下列语句：①你叫什么名字；②负数的绝对值等于它的相反数；③相等的角是对顶角；④明天下雨吗？属于命题的是（）A．①②B．②③C．③④D．①②③④10．在△ABC和△DEF中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（）A．AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DEC．AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E D．AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF11．如图，∠CAB＝60°，CD垂直平分AB，垂足为点D，∠CAB的平分线交CD于点E，连接EB，则∠BEC的度数是（）A．120°B．110°C．100°D．90°12．如图，∠ADB＝∠ACB＝90°，AC与BD相交于点O，且OA＝OB，下列结论：①AD＝BC；②AC＝BD；③∠CDA＝∠DCB；④CD∥AB，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分13．若分式的值为0，则x的值是．14．分式，，的最简公分母是．15．若3x＝10，3y＝5，则3x﹣y＝．16．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是．17．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝70°，EF是AC边的垂直平分线，垂足为E，交BC 于点F，则∠AFE的度数等于．18．已知ab＝1，m＝+，则﹣m2018的值等于．三、解答题：本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．先约分，再求值：，其中x＝﹣2，y＝﹣．20．计算：（1）•（2）÷（3）（）2（4）（）321．计算（1）（）3•（）2•（）2（2）（）4•（）3÷（）522．计算：（1）+﹣（2）﹣﹣23．如图，已知AB∥ED，CD∥BF，AE＝CF．求证：AB＝ED．24．如图，AB＝CD，AD＝BC，E、F分别是AC上的点，且AE＝CF（1）求证：AB∥CD；（2）求证：BE＝DF．25．如图，已知AD∥BC，点E是CD上一点，AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，延长BE交AD 的延长线于点F（1）求证：△ABE≌△AFE；（2）若AD＝2，BC＝6，求AB的长．26．甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用的时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20吨的污水．（1）分别求甲、乙两种污水处理器的污水处理效率；（2）若某厂每天同时开甲、乙两种污水处理器处理污水共4小时，且甲、乙两种污水处理器处理污水每吨需要的费用分别30元和50元，问该厂每个月（以30天计）需要污水处理费多少？参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．若分式的值不存在，则x的取值是（）A．x＝﹣2 B．x≠﹣2 C．x＝3 D．x≠3【分析】直接利用分式有意义的条件得出x的值，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值不存在，∴2x+4＝0，解得：x＝﹣2，则x的取值是：﹣2．2．若分式的值等于0，则x的取值是（）A．x＝0 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝3或x＝﹣3 【分析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值等于0，∴|x|﹣3＝0，2x﹣6≠0，解得：x＝﹣3，故选：C．3．下列式子变形，正确的是（）A．＝B．＝﹣C．＝D．＝【分析】根据分式的基本性质解答．【解答】解：A、原式＝，故本选项错误；B、原式＝﹣，故本选项正确；C、原式＝，故本选项错误；D、原式＝，故本选项错误；故选：B．4．下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，判断的方法是把分子、分母分解因式，然后对每一选项进行整理，即可得出答案．【解答】解：A．＝，不符合题意；B．＝，不符合题意；C．＝，不符合题意；D．是最简分式，符合题意；5．用科学记数法表示：0.00002018是（）A．2.018×10﹣5B．2.018×10﹣4C．201.8×10﹣7D．2018×10﹣5【分析】根据科学记数法的形式选择即可．【解答】解：0.00002018＝2.018×10﹣5，故选：A．6．计算：（）﹣3的结果是（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】先根据负整数指数幂的定义进行变形，再求出即可．【解答】解：（）﹣3＝（）3＝，故选：B．7．如图，图中三角形的个数共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】根据三角形的定义，找出图中所有的三角形，数出其个数即可得出结论．【解答】解：图中是三角形的有：△AOC、△BOD、△AOB、△ABC、△ABD．故选：C．8．如图，CD是△ABC的角平分线，∠A＝30°，∠B＝66°，则∠BDC的度数是（）A．96°B．84°C．76°D．72°【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再根据CD是△ABC的角平分线，即可求出∠ACD的度数；再根据三角形内角和外角的关系即可求出∠BDC的度数．【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝66°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣66°＝84°，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACD＝∠ACB＝×84°＝42°．∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝30°+42°＝72°．故选：D．9．下列语句：①你叫什么名字；②负数的绝对值等于它的相反数；③相等的角是对顶角；④明天下雨吗？属于命题的是（）A．①②B．②③C．③④D．①②③④【分析】根据命题是判断性语句，可得答案．【解答】解：①你叫什么名字，没有作出判断，不是命题；②负数的绝对值等于它的相反数，正确，是命题；③相等的角是对顶角，正确，是命题；④明天下雨吗？是疑问句，不是命题，故选：B．10．在△ABC和△DEF中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（）A．AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DEC．AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E D．AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF【分析】根据题意画出图形，再由全等三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：如图所示，A、AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，符合SAS定理，∴△ABC≌△DEF，故本选项正确；B、∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DE，符合ASA定理，∴△ABC≌△DEF，故本选项正确；C、∵AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，不符合全等三角形的判定定理，故本选项错误；D、∵AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，符合SSS定理，∴△ABC≌△EFD，故本选项正确．故选：C．11．如图，∠CAB＝60°，CD垂直平分AB，垂足为点D，∠CAB的平分线交CD于点E，连接EB，则∠BEC的度数是（）A．120°B．110°C．100°D．90°【分析】根据三角形的外角的性质可知：∠BEC＝∠B+∠EDB，想办法求出∠B，∠EDB即可解决问题；【解答】解：∵AE平分∠CAB，∠CAB＝60°，∴∠EAD＝∠CAB＝30°，∵CD垂直平分线段AB，∴EA＝EB，∠EDB＝90°，∴∠B＝∠EAD＝30°，∴∠BEC＝∠EDB+∠B＝90°+30°＝120°，故选：A．12．如图，∠ADB＝∠ACB＝90°，AC与BD相交于点O，且OA＝OB，下列结论：①AD＝BC；②AC＝BD；③∠CDA＝∠DCB；④CD∥AB，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由△ABC≌△BAD（AAS），推出AD＝BC，AC＝BD，故①②正确，再证明CO＝OD，可得∠CDA＝∠DCB，故③正确，由∠CDO＝∠OAB，可得CD∥AB，故④正确；【解答】解：∵OA＝OB，∴∠DAB＝∠CBA，∵∠ACB＝∠BDA＝90°，AB＝BA，∴△ABC≌△BAD（AAS），∴AD＝BC，AC＝BD，故①②正确，∵BC＝AD，BO＝AO，∴CO＝OD，∴∠CDA＝∠DCB，故③正确，∵∠COD＝∠AOB，∴∠CDO＝∠OAB，∴CD∥AB，故④正确，故选：D．二．填空题（共6小题）13．若分式的值为0，则x的值是0 ．【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．【解答】解：∵分式的值为0，∴x＝0．将x＝0代入x+1＝1≠0．当x＝0时，分式分式的值为0．故答案为：0．14．分式，，的最简公分母是12a2b2c．【分析】根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式确定；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．【解答】解：因为三分式中的常数项系数的最小公倍数是12，a的最高次幂是2，b的最高次幂是2，c的最高次幂是1，所以三分式的最简公分母是12a2b2c．故答案为：12a2b2c．15．若3x＝10，3y＝5，则3x﹣y＝ 2 ．【分析】先根据同底数幂的除法进行变形，再代入求出即可．【解答】解：∵3x＝10，3y＝5，∴3x﹣y＝3x÷3y＝10÷5＝2，故答案为：2．16．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是两个角相等三角形是等腰三角形．【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．17．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝70°，EF是AC边的垂直平分线，垂足为E，交BC 于点F，则∠AFE的度数等于50°．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠B＝70°，根据三角形的内角和得到∠C ＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝40°，根据线段垂直平分线的性质得到CF＝AF，EF⊥AC，于是得到结论．【解答】解：∵AC＝BC，∠B＝70°，∴∠CAB＝∠B＝70°，∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝40°，∵EF是AC边的垂直平分线，∴CF＝AF，EF⊥AC，∴∠EAF＝∠C＝40°，∴∠AFE＝90°﹣40°＝50°，故答案为：50°．18．已知ab＝1，m＝+，则﹣m2018的值等于﹣1 ．【分析】先利用异分母分式的加减法法则，计算m的值，再求出﹣m2018的值．【解答】解：m＝+＝＝∵ab＝1，∴m＝＝1∴﹣m2018＝﹣12018＝﹣1故答案为：﹣1三．解答题（共8小题）19．先约分，再求值：，其中x＝﹣2，y＝﹣．【分析】先把分子分母因式分解，再约分得到原式＝，然后把x、y的值代入计算即可．【解答】解：原式＝＝，当x＝﹣2，y＝﹣时，原式＝＝．20．计算：（1）•（2）÷（3）（）2（4）（）3【分析】（1）先分解因式，再根据分式的乘法法则求出即可；（2）先把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出即可；（3）根据分式的乘方法则求出即可；（4）根据分式的乘方法则求出即可．【解答】解：（1）•＝•＝﹣2x（x+1）＝﹣2x2﹣2x；（2）原式＝•＝；（3）（）2＝；（4）（）3＝﹣＝﹣．21．计算（1）（）3•（）2•（）2（2）（）4•（）3÷（）5【分析】（1）先算乘方，再算乘法即可；（2）先算乘方，把除法变成乘法，再算乘法即可．【解答】解：（1）原式＝••＝；（2）原式＝••＝﹣．22．计算：（1）+﹣（2）﹣﹣【分析】（1）直接通分进而利用分时加减运算法则计算得出答案；（2）直接通分进而利用分时加减运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）+﹣＝+﹣＝；（2）﹣﹣＝﹣﹣＝＝﹣．23．如图，已知AB∥ED，CD∥BF，AE＝CF．求证：AB＝ED．【分析】根据平行线性质得到∠A＝∠DEC，∠C＝∠AFB，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：∵AB∥ED，CD∥BF，∴∠A＝∠DEC，∠C＝∠AFB，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，在△ABF与△EDC中，∴△ABF≌△EDC，（ASA），∴AB＝ED．24．如图，AB＝CD，AD＝BC，E、F分别是AC上的点，且AE＝CF（1）求证：AB∥CD；（2）求证：BE＝DF．【分析】（1）由全等三角形的判定定理SSS证得△ABD≌△CDB，则该全等三角形的对应角相等，即∠ABD＝∠CDB，故AB∥CD；（2）欲证明BE＝DF，只需推知△ABE≌△CDF即可．【解答】证明：（1）在△ABD与△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD；（2）由（1）知，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，又AB＝CD，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF．25．如图，已知AD∥BC，点E是CD上一点，AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，延长BE交AD 的延长线于点F（1）求证：△ABE≌△AFE；（2）若AD＝2，BC＝6，求AB的长．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠EAF，∠ABF＝∠EBC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EBC＝∠F，然后求出∠ABF＝∠F，再利用“角角边”证明△ABE 和△AFE全等即可；（2）根据全等三角形对应边相等可得BE＝FE，然后利用“角边角”证明△BCE和△FDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BC＝DF，然后根据AD+BC整理即可得证．【解答】证明：（1）∵AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，∴∠BAE＝∠EAF，∠ABF＝∠EBC，∵AD∥BC，∴∠EBC＝∠F，∠ABF＝∠F，在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（AAS）；（2）∵△ABE≌△AFE，∴BE＝EF，在△BCE和△FDE中，，∴△BCE≌△FDE（ASA），∴BC＝DF，∴AD+BC＝AD+DF＝AF＝AB，即AD+BC＝AB．∵AD＝2，BC＝6，∴AB＝8．26．甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用的时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20吨的污水．（1）分别求甲、乙两种污水处理器的污水处理效率；（2）若某厂每天同时开甲、乙两种污水处理器处理污水共4小时，且甲、乙两种污水处理器处理污水每吨需要的费用分别30元和50元，问该厂每个月（以30天计）需要污水处理费多少？【分析】（1）首先设甲种污水处理器每小时处理污水x吨，则设乙种污水处理器每小时处理污水（x+20）吨，根据题意可得等量关系：甲种污水处理器处理25吨的污水＝乙种污水处理器处理35吨的污水所用时间，根据等量关系，列出方程，再解即可．（2）根据题意列出计算式解答即可．【解答】解：（1）设甲种污水处理器每小时处理污水x吨，由题意得，，解之得，x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，所以x＝50，x+20＝70，答，甲种污水处理器每小时处理污水50吨，乙种污水处理器每小时处理污水70吨．（2）30×4×50×30+30×4×70×50＝180000+420000＝600000（元），答：该厂每个月（以30天计）需要污水处理费600000元．。
北京师大附中2019-2020学年八年级(上)期中数学试卷 含解析
2019-2020学年八年级（上）期中数学试卷一．选择题（共10小题）1．下列各式：，，x2+y2，5，，，其中分式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知，那么等于（）A．B．C．D．3．如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠A＝∠D D．AB＝BC4．使分式有意义的x的取值范围是（）A．x≠0 B．x≠﹣1 C．x≠1 D．x≠25．如图，AB＝CD，AD＝CB，判定△ABD≌△CDB的依据是（）A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS6．下列各式中最简分式是（）A．B．C．D．7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝4cm，则点D到AB的距离DE是（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm8．若分式方程有增根，则a的值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣29．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB10．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是（）A．AD＝BE B．BE⊥ACC．△CFG为等边三角形D．FG∥BC二．填空题（共8小题）11．用科学记数法表示：0.00000108＝．12．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第块．13．若（2x+5）﹣3有意义，则x满足的条件是．14．计算：．15．如果多项式y2﹣（m﹣1）y+1是完全平方式，那么m的值为．16．当x＝时，分式的值为0．17．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝°．18．已知：（n＝1，2，3，…），记b1＝2（1﹣a1），b2＝2（1﹣a1）（1﹣a2），…，b n＝2（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），则通过计算推测出b n的表达式b n＝．（用含n的代数式表示）三．解答题（共11小题）19．分解因式：（1）（2）a3﹣2a2b+ab220．计算：（1）（2）（3）21．先化简1﹣÷，再任取一个你喜欢的x的值，代入求值．22．解方程：﹣＝1．23．已知：如图，D是BC上一点，AB＝BD，DE∥AB，∠A＝∠DBE．求证：AC＝BE．24．北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．25．阅读下面的材料，解决问题．例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，∴m+n＝0，n﹣3＝0，∴m＝﹣3，n＝3．问题：（1）若2x2+4x﹣2xy+y2+4＝0，求x y的值；（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求c的取值范围．26．一块含45°的直角三角板ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为射线CB上一点，且不与点C，点B重合，连接AD．过点A作线段AD的垂线l，在直线l上，截取AE＝AD（点E与点C在直线AD的同侧），连接CE．（1）当点D在线段CB上时，如图1，线段CE与BD的数量关系为，位置关系为；（2）当点D在线段CB的延长线上时，如图2，①请将图形补充完整；②（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．27．【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝．【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．28．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p ≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）＝．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝．（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝1；（2）如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．29．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝α，直线AE与BD交于点F．（1）如图1所示，①求证AE＝BD．②求∠AFB（用含α的代数式表示）．（2）将图1中的△ACD绕点C顺时针旋转某个角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），得到如图2所示的图形，若∠AFB＝150°，请直接写出此时对应的α的大小（不用证明）．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列各式：，，x2+y2，5，，，其中分式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据分式的定义对上式逐个进行判断，得出正确答案．【解答】解：，这2个式子分母中含有字母，因此是分式．其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故选：B．2．已知，那么等于（）A．B．C．D．【分析】由题干条件求出a、b的关系，然后求出．【解答】解：由原式子可得出：5（a﹣b）＝3a，即：2a＝5b；所以＝，故选：B．3．如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠A＝∠D D．AB＝BC【分析】由条件可得∠A＝∠D，结合AE＝DF，则还需要一边或一角，再结合选项可求得答案．【解答】解：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D，∵AE＝DF，∴要使△EAC≌△FDB，还需要AC＝BD，∴当AB＝CD时，可得AB+BC＝BC+CD，即AC＝BD，故选：A．4．使分式有意义的x的取值范围是（）A．x≠0 B．x≠﹣1 C．x≠1 D．x≠2【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：∵使分式有意义，∴x﹣2≠0，解得：x≠2．故选：D．5．如图，AB＝CD，AD＝CB，判定△ABD≌△CDB的依据是（）A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS【分析】根据AB＝CD、AD＝CB、BD＝DB，利用全等三角形判定定理SSS即可证出△ABD ≌△CDB．【解答】解：在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS）故选：A．6．下列各式中最简分式是（）A．B．C．D．【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【解答】解：A、原式＝﹣1，不是最简分式；B、是最简分式；C、原式＝，不是最简分式；D、原式＝＝，不是最简分式；故选：B．7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝4cm，则点D到AB的距离DE是（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD．【解答】解：∵∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝CD，∵CD＝4cm，∴点D到AB的距离DE是4cm．故选：B．8．若分式方程有增根，则a的值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【分析】分式方程的增根即为使分式方程无意义的解，即使分式分母为零的解，可得方程的增根是x＝2．先求出分式方程的根，使其等于2，可求a的值．【解答】解：程方成左右同时乘2（x﹣2），得2+6（x﹣2）＝a解得：x＝∵x＝2是分式方程的增根，∴＝2∴a＝2故选：B．9．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知BC是公共边，具备了一组边对应相等．所以由全等三角形的判定定理作出正确的判断即可．【解答】解：根据题意知，BC边为公共边．A、由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；B、由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；C、由BO＝CO可以推知∠ACB＝∠DBC，则由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；D、由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项正确．故选：D．10．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是（）A．AD＝BE B．BE⊥ACC．△CFG为等边三角形D．FG∥BC【分析】A、证明△ACD≌△BCE即可得出答案；B、根据等边三角形性质得出AB＝BC，只有F为AC中点时，才能推出AC⊥BE．C、由△ACG≌△BCF，推出CG＝CF，根据∠ACG＝60°即可证明；D、根据等边三角形性质得出∠CFG＝∠ACB＝60°，根据平行线的判定推出即可．【解答】解：A、∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACD＝∠ECB，在△ACD与△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，正确，故本选项错误；B、根据已知不能推出F是AC中点，即AC和BF不垂直，所以AC⊥BE错误，故本选项正确；C、△CFG是等边三角形，理由如下：∵∠ACG＝180°﹣60°﹣60°＝60°＝∠BCA，∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE＝∠CAD，在△ACG和△BCF中∵，∴△ACG≌△BCF（ASA），∴CG＝CF，又∵∠ACG＝60°∴△CGH是等边三角形，正确，故本选项错误；D、∵△CFG是等边三角形，∴∠CFG＝60°＝∠ACB，∴FG∥BC，正确，故本选项错误；故选：B．二．填空题（共8小题）11．用科学记数法表示：0.00000108＝ 1.08×10﹣6．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00000108＝1.08×10﹣6．故答案为：1.08×10﹣6．12．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 2 块．【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故答案为：2．13．若（2x+5）﹣3有意义，则x满足的条件是．【分析】根据负整数指数幂的底数不等于0列式计算即可得解．【解答】解：∵（2x+5）﹣3有意义，∴2x﹣5≠0，∴x满足的条件是x≠﹣．故答案为：x≠﹣．14．计算：＝1 ．【分析】题目中只有乘除运算，按照运算法则按顺序计算即可．【解答】解：原式＝x＝1故答案为1．15．如果多项式y2﹣（m﹣1）y+1是完全平方式，那么m的值为3或﹣1 ．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．【解答】解：∵多项式y2﹣（m﹣1）y+1是完全平方式，∴m﹣1＝±2，解得：m＝3或﹣1，故答案为：3或﹣116．当x＝﹣1 时，分式的值为0．【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．【解答】解：依题意，得x2﹣1＝0，且x2﹣2x+1≠0，∴（x﹣1）（x+1）＝0且（x﹣1）2≠0，解得，x＝﹣1．故答案是：﹣1．17．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝135 °．【分析】观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题．【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，∴∠1＝∠DBE，又∵∠DBE+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°．∵∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝∠1+∠3+∠2＝90°+45°＝135°．故答案为：135．18．已知：（n＝1，2，3，…），记b1＝2（1﹣a1），b2＝2（1﹣a1）（1﹣a2），…，b n＝2（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），则通过计算推测出b n的表达式b n＝．（用含n的代数式表示）【分析】根据题意按规律求解：b1＝2（1﹣a1）＝2×（1﹣）＝＝，b2＝2（1﹣a1）（1﹣a2）＝×（1﹣）＝＝，…．所以可得：b n的表达式b n＝．【解答】解：根据以上分析b n＝2（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n）＝．三．解答题（共11小题）19．分解因式：（1）（2）a3﹣2a2b+ab2【分析】（1）原式利用平方差公式计算即可求出值；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝（x+y）（x﹣y）；（2）原式＝a（a2﹣2ab+b2）＝a（a﹣b）2．20．计算：（1）（2）（3）【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和绝对值的意义求解可得；（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得；（3）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣1﹣（﹣1）＝﹣2﹣+1＝﹣1﹣；（2）原式＝÷•＝••＝；（3）原式＝﹣＝＝﹣．21．先化简1﹣÷，再任取一个你喜欢的x的值，代入求值．【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后选一个使得原分式有意义的x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：1﹣÷＝1﹣＝1﹣＝＝，当x＝2时，原式＝＝．22．解方程：﹣＝1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x（x+2）﹣2＝x2﹣4，去括号得：x2+2x﹣2＝x2﹣4，解得：x＝﹣1，经检验x＝﹣1是分式方程的解．23．已知：如图，D是BC上一点，AB＝BD，DE∥AB，∠A＝∠DBE．求证：AC＝BE．【分析】证明△ABC≌△BDE（AAS），即可求解．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠CBA，而∠A＝∠DBE，AB＝BD，∴△ABC≌△BDE（ASA），∴AC＝BE．24．北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．【分析】首先设普通快车的平均行驶速度为x千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为1.5x千米/时，利用高铁列车比普通快车用时少了20分钟得出等式进而求出答案．【解答】解：设普通快车的平均行驶速度为x千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为1.5x千米/时．根据题意得：﹣＝，解得：x＝180，经检验，x＝80是所列分式方程的解，且符合题意．则1.5x＝1.5×180＝270．答：高铁列车的平均行驶速度为270千米/时．25．阅读下面的材料，解决问题．例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，∴m+n＝0，n﹣3＝0，∴m＝﹣3，n＝3．问题：（1）若2x2+4x﹣2xy+y2+4＝0，求x y的值；（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求c的取值范围．【分析】（1）已知等式左边变形后，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出x与y的值，即可求出所求；（2）已知等式配方变形后，利用非负数的性质求出a与b的值，再利用三角形三边关系求出c的范围即可．【解答】解：（1）∵2x2+4x﹣2xy+y2+4＝0，∴x2 +4x+4+x2﹣2xy+y2＝0，∴（x+2）2+（x﹣y）2＝0，∴x＝﹣2，y＝﹣2，∴x y＝（﹣2）﹣2＝；（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，∴a＝5，b＝4，∴1＜c＜9．26．一块含45°的直角三角板ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为射线CB上一点，且不与点C，点B重合，连接AD．过点A作线段AD的垂线l，在直线l上，截取AE＝AD（点E与点C在直线AD的同侧），连接CE．（1）当点D在线段CB上时，如图1，线段CE与BD的数量关系为CE＝BD，位置关系为CE⊥BD；（2）当点D在线段CB的延长线上时，如图2，①请将图形补充完整；②（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得CE＝BD，∠ACE＝∠ABC，即可证BD⊥CE；（2）①由题意画出图形；②由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得CE＝BD，∠ACE＝∠ABC，即可证BD⊥CE；【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，且AD＝AE，AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝90°，∴BD⊥CE，故答案为：CE＝BD，CE⊥BD；（2）①如图2所示：②仍成立．证明：∵AD⊥AE，∴∠DAE＝90°，∵∠BAC＝90°＝∠DAE，∴∠DAB＝∠EAC，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABD，∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝∠ABD＝135°，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACB＝90°，∴CE⊥BD．27．【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝30 ．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝9 ．【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．．【分析】（1）依据正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；（2）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可；（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2a2+5b2+2ab，即可得到x，y，z的值．（4）根据原几何体的体积＝新几何体的体积，列式可得结论．【解答】解：（1）由图2得：正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，…（2分）故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，∴102＝a2+b2+c2+2×35，∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，故答案为：30；…（4分）（3）由题意得：（2a+b）（a+2b）＝xa2+yb2+zab，∴2a2+5ab+2b2＝xa2+yb2+zab，∴，∴x+y+z＝9，故答案为：9；…（6分）（4）∵原几何体的体积＝x3﹣1×1•x＝x3﹣x，新几何体的体积＝（x+1）（x﹣1）x，∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．故答案为：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．…（8分）28．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p ≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）＝．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝．（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝1；（2）如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．【分析】（1）根据题意可设m＝n2，由最佳分解定义可得F（m）＝＝1；（2）根据“吉祥数”定义知（10y+x）﹣（10x+y）＝18，即y＝x+2，结合x的范围可得2位数的“吉祥数”，求出每个“吉祥数”的F（t），比较后可得最大值．【解答】解：（1）对任意一个完全平方数m，设m＝n2（n为正整数），∵|n﹣n|＝0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝＝1；（2）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y+x，∵t为“吉祥数”，∴t′﹣t＝（10y+x）﹣（10x+y）＝9（y﹣x）＝18，∴y＝x+2，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79，∴F（13）＝，F（24）＝＝，F（35）＝，F（46）＝，F（57）＝，F（68）＝，F（79）＝，∵＞＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值是．29．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝α，直线AE与BD交于点F．（1）如图1所示，①求证AE＝BD．②求∠AFB（用含α的代数式表示）．（2）将图1中的△ACD绕点C顺时针旋转某个角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），得到如图2所示的图形，若∠AFB＝150°，请直接写出此时对应的α的大小（不用证明）．【分析】（1）①由“SAS”可证△ACE≌△DCB，可得AE＝BD；②由全等三角形的性质可得∠AEC＝∠DBC，由三角形内角和定理可求解；（2）由“SAS”可证△ACE≌△DCB，可得∠AEC＝∠DBC，由三角形内角和定理可求解．【解答】证明：（1）①∵∠ACD＝∠BCE＝α，∴∠ACE＝∠DCB，且AC＝DC，CB＝CE，∴△ACE≌△DCB（SAS）∴AE＝BD，②∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC＝∠DBC，∵∠AFB＝180°﹣∠EAC﹣∠DBC＝180°﹣（∠EAC+∠AEC），且∠AEC+∠EAC＝∠BCE＝α，∴∠AFB＝180°﹣α；（2）∵∠ACD＝∠BCE＝α，∴∠ACE＝∠DCB，且AC＝DC，CB＝CE，∴△ACE≌△DCB（SAS）∴∠AEC＝∠DBC，∵CB＝CE，∠ECB＝α，∴∠CEB+∠CBE＝180°﹣α；∵∠AFB＝∠AEB+∠FBE＝∠AEC+∠CEB+∠FBE＝∠DBC+∠FBE+∠CEB＝∠CBE+∠CEB，∴∠AFB＝180°﹣α，且∠AFB＝150°，∴α＝30°。