韦达定理与一元二次不等式(教学设计)

韦达定理与一元二次不等式
一、教学目标
通过本节课学习，要达到以下三个目标：
（1）知识目标：进一步学习一元二次不等式的解法，体会韦达定理在一元二次不等式中的应用。

（2）能力目标：体会数形结合、转化、分类讨论等数学思想方法，提高运算能力、逻辑思维能力。

（3）情感目标：激发学习数学的热情，培养勇于探索、勇于创新的精神，体会事物之间普遍联系的辩证思想，同时
认识到数学知识源自生产生活实际，是人类文化的结晶
这一特点。

二、教材分析
中学阶段涉及的一元二次内容由二次函数作为铺垫，高中阶段研究圆锥曲线中又有二次曲线，一元二次方程的根公式向我们提示了两根与系数间的密切关系，而韦达定理介绍的根与系数的关系是在求根公式的基础上，根与系数的进一步发现，这一发现在数学学科中具有较强的实用价值，学生在处理有关一元二次方程的问题时，比如一元二次不等式问题，就会多一些思想和方法，让解题更为简单、更为灵活，同时也为今后进一步的学习打下基
础。

三、学情分析
刚从初中升入高一的高职学生，基础薄弱，学习习惯较差，对初
中所学习知识的储备不够丰富，而且数形结合思想方面的缺失，望图生畏，这导致教师在教学过程中带来一定的困难。

所以教师必须认识到这些在教学时不可盲目地拔高和追求一次到位，而在今后的学习中不滚动式、螺旋式逐步深化，多关注学生的学习过程。

四、重难点分析
（1）重点：一元二次不等式中韦达定理的应用
（2）难点：根据一元二次不等式的解集写出对应的一元二次不等式
五、教学方法
培养学生学会学习，学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务，如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。

”在教学过程中教师只是起到帮助建构和促进的作用。

所以本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法，让教师的主导性和学生的主体性有机结合，使学生能够愉快的自觉学习，通过学生自己观察、分析、探索等步骤，自己发现解决问题的方法，并得到一般性结论，形成完整的数学模型，再运用所得理论和方法去解决问题。

一句话：还课堂以生命力，还学生以活力。

六、教学过程
（一）情景引入
韦达（法国人）“代数学之父”（插入介绍韦达的视频）
你知道最早有意识地使用字母来表示数的人是谁吗？他就是法国数学家韦达。

韦达一生都致力于数学的研究，做出了很多重要贡献，成为那个时代最伟大的数学家，自从韦达系统使用字母表示数后，引出了大量数学发现，解决了古代的许多复杂问题。

（设计意图：引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性，扣紧本节的主题）
（二）复习思考
（韦达定理是什么？解一元二次不等式有哪3招？）
1、已知方程3x2−19x+m=0的一个根是1，求它的另一根及m的值。

2、设x1,x2是方程2x2+4x−3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。

3、不等式−x2+5x−6>0的解集是：
（设计意图：复习初中的学习的韦达定理和上节课中解一元二次不等式的步骤，为本节课的教学打下基础）
（三）新知探究
1、探究一：例1：已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<2}
求a,b的值。

（设计意图：学生根据已有的知识，探索由一元二次不等式的解写出对应不等式，从模仿到创新，提高学生对知识的迁移能力，让学生在探索过程中，充分
感受到成功的情感体验。

）
练一练：①若不等式−2x2+bx+c<0的解集为{x|−1
2
<x<2},则实数b=______ , 实数c=______。

②一元二次不等式ax2+bx+2<0的解集是(−1
2，1
3
)，则a+b的值
是：______。

（设计意图：学生仿照例题求出类似的题，内化韦达定理在一元二次不等式中的应用，可使解题简单快捷，并总结得到类题通法。

）
2、探究二：例2：已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|−1<x<2}求关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集。

（设计意图：探索由写出一元二次不等式再到求解另一个不等式，渗透对知识点的正用和逆用，进一步提高学生运用知识的能力掌握利用数形结合的思想的解题方法。

）
3、练习巩固：
①已知关于x的不等式x2+px+q≤0的解集为{x|1≤x≤5}
求关于x的不等式qx2+px+1<0的解集。

②已知关于x的不等式ax2+2x+c>0的解集为(−1
3,1 2 )
求−cx2+2x−a>0的解集。

（设计意图：变式训练，深化认识，增加思维的梯度的同时，提高学生的模式识别能力和总结归纳的能力，渗透转化思想和数形结合的思想。

）
4、总结归纳：
①一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方
程ax2+bx+c=0的根，也是函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐
标。

②二次函数y =ax 2+bx +c 的图象在x 轴上方的部分是由不等式ax 2+bx +c >0的x 的值构成的；图象在x 轴下方的部分是由不等式ax 2+bx +c <0的x 的值构成的。

③
（设计意图：形成知识模块，从知识的归纳延伸到思想方法的提炼，优化学生的认知结构。

）
5、布置作业：
同步练习；（必做）
（1） 若不等式x 2+ax +b <0解集是{x |2<x <3}，求a,b 的值；
（2） 若关于x 的二次不等式ax 2+x +b ≥0解集是{x |−2≤x ≤3}，求
a,b 的值；
（3） 已知a 是实数，不等式x 2−6x +a ≤0的解集是[1，5]，求不等式
ax 2−6x +1<0的解集。

思考题：（选做）
（1） 已知方程ax 2+bx +2=0的两根为−12和2, ① 求a,b 的值； ②解不等式ax 2+bx −1>0
（2） 已知关于x 的不等式ax 2+bx +c <0的解集为{x |x <−2或x >
−1
2
} 求关于x 的不等式ax 2−bx +c >0的解集。

（设计意图：为了使所有学生巩固所学知识，布置了“必做题”；“选做题”，又为学有余力者留有自由发展的空间。

） ax 2+bx +c =y ax 2+bx +c =0 ax 2+bx +c >0 三者之间相互依存，相互转化
七、教学反思
1、课难点根据一元二次不等式的解集写出对应的一元二次不等
式，这是解一元二次不等式的逆运用，所以对这节课效果的
好坏，体现在对这一逆运算是否实现的程度上，因此练习和
作业都围绕这方面来设计。

2、分析教材，联系实际，将本节内容用一元二次方程根与系的
关系做桥梁，架建韦达定理在一元二次不等式中的运用，推
动一元二次不等式的正用和逆用的随意切换，从而提高逻辑
思维能力和渗透数形结合的思想。