人教A版高中数学必修五2.4.1等比数列的概念及通项公式 课件(共34张PPT)
G2 ab 或 G ab
定义式
通项公 式
中项 公式
an - an-1 d , n 2
an a1 (n - 1)d
a b 2 A或A a b 2
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.若an＋1＝qan，n∈N*，且q≠0，则{an}是等比数列.( × ) 2.任何两个数都有等比中项.( × ) 3.等比数列 1，21，41，81，…中，第 10 项为219.( √ ) 4.常数列既是等差数列，又是等比数列.( × )
第1课时 等比数列的概念及通项公式
复习回顾
等差数列
最值问题 实际问题 带绝对值求和
概念 通项公式 求和公式 相关性质
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.通过实例，理解等比数列的概念. 2.掌握等比中项的概念并会应用. 3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.
1,2,4,8,16,32,......
跟踪训练3 在等比数列{an}中： (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； 解 由等比数列的通项公式得，a6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)已知a3＝20，a6＝160，求an. 解 设等比数列的公比为q，
a1q2＝20，
q＝2，
则
解得
a1q5＝160，
a1＝5.
所以an＝a1qn－1＝5×2n－1，n∈N*.
(2)－1,1,2,4,8，…； 解 记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， ∵aa21＝－1≠aa32＝2， ∴此数列不是等比数列. (3)a1，a2，a3，…，an，….
解 当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…， 显然此数列为等比数列，且公比为a.
12345
5.若{an}为等比数列，且3a4＝a6－2a5，则公比是 －1或3 . 解析 设公比为q(q≠0)，则3a1q3＝a1q5－2a1q4， 因为a1q3≠0，所以q2－2q－3＝0， 解得q＝－1或q＝3.
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.等比数列的判断或证明 (1)利用定义：aan＋n 1＝q(与 n 无关的常数). (2)利用等比中项：a2n＋1＝anan＋2(n∈N*，且数列各项均不为零). 2.两个同号的实数 a，b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(± ab)， 而不是一个( ab)，这是容易忽视的地方.
定义式
A－a＝b－A
Ga ＝Gb
公式
A＝a＋b 2
G＝± ab
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有 两 个，且互为_相_ _反__数_
备注 任意两个数a与b都有等差中项 只有当ab＞0时，a与b才有等比中项
3.等比数列的通项公式：
思考：如何用 a1和 q表示 an？
等差数列an an-1 d , n 2
……
a a q n-1
n
1
3.等比数列的通项公式： an a1qn-1
思考：如何用 a1 和 q 表示 an？
❖ 方法：累加法
等 a2 - a1 d
差 数
a3 - a2 d
列
a4 - a3 d
……
+）an - an-1 d
类比
累乘法
等 比 数 列
a2 q a1
a3 q a2
a4 q
A.－21
1 B.2
√C.－23
3 D.2
解析 ∵{an}中的项必然有正有负，
∴q<0.又|q|＞1，
∴{|an|}递增或递减. 由此可得{an}的连续四项为－24,36，－54,81. ∴q＝－23.
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2.等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于
√A.－24
B.0
C.12
D.24
解析 由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0， 解得x＝－3或x＝－1(舍去)， 所以等比数列的前3项是－3，－6，－12， 则第4项为－24.
是不为
0
的常数)⇔{an}是公比为
q
的等比数列.
(2)等比中项法：a2n＝an－1·an＋1(n≥2，an，an－1，an＋1 均不为 0)⇔{an}是等比
数列.
跟踪训练2 数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…). (1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列； 解 a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
例3 在等比数列{an}中. (1)已知 a2＝4，a5＝－21，求 an；
a1q＝4， 解 设等比数列的公比为 q，则a1q4＝－12.
a1＝－8， 解得q＝－21.
∴an＝a1qn－1＝(－8)－12n－1＝－12n－4.
(2)已知 a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝12，求 n. 解 设等比数列{an}的公比为q.
a2 a1 d
a3 a2 d
归 纳
(a1 d ) d
法
a1 2d
a4 a3 d
类比
(a1 2d) d
a…1
3d
…
an a1 (n -1)d
等比数列 an an-1q, n 2
a2 a1q
a3
aa12qq2
(a1q)q
a4 a3q (a1q2 )q
a1q3
∴an＋1＋1＝2(n∈N*). an＋1
∴数列{an＋1}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
解 由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列.
∴an＋1＝2·2n－1＝2n.
即an＝2n－1.
反思感悟 等比数列的判定方法
(1)定义法： an ＝q(n≥2，q an－1
判断一个数列是否为等比数列的依据
2.递推公式形式的定义：aan－n 1＝q(n>1)或aan＋n 1＝q，n∈N*.
3.等比数列各项均 不能 为0.
知识点二 等比中项与等差中项的异同
对比项
等差中项
等比中项
若a，A，b成等差数列，则A叫 若a，G，b成 等比 数列，则G叫做
定义
做a与b的等差中项
a与b的 等比 中项
3.等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个 量可求得第四个量.
知识点四 等比数列的类型
思考：等比数列的公比与该数列的类型有关系吗？ (1)数列：1，2，4，8，16，… (2)数列：8,4,2,1, 1 , 1 , 1 ,
2 48
(3)数列：-1，-2，-4，-8，-16，…
12345
3.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为
A.4
B.8
√C.6
D.32
解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1，2n－1＝32， 所以n＝6.
12345
4. 45和80的等比中项为 －60或60. 解析 设45和80的等比中项为G， 则G2＝45×80，∴G＝±60.
(4)数列：- 8，- 4，- 2，-1，1 ，- 1 ，- 1 ， ......
248
(5)数列：4，4，4，4，4，4，4，…
(6)数列：-1，2，-4，8，-16，… (7)数列：1，-2，4，-8，16，…
知识点四 等比数列的类型
已知数列{an}是等比数列，q是公比，则：
q>1 0<q<1
…a3…
×） an q
a n -1
共n – 1 项
an - a1 (n -1)d
an q n-1 a1
等比数列
名称
类比
从第2项起,每一项与它列
从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数
公比 q 0
常数
公差 d R
an q, n 2 an-1
an a1 q n-1
2 题型探究
PART TWO
多维探究
题型一 等比数列的判定
命题角度1 已知数列前若干项判断是否为等比数列 例1 判断下列数列是否为等比数列. (1)1，3，32，33，…，3n－1，…； 解 记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，…. ∵aan－n 1＝33nn－－12＝3(n≥2，n∈N*)， ∴数列为等比数列，且公比为3.
题型三：等比中项的应用
例4 已知在等比数列 an中，a3a4a5 8,求a2a3a4a5a6的值
跟踪训练4
已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a3 5, a7a8a9 10,
则a4a5a6等于（） A
A.5√2
B.7
C.6
D.4√2
3 达标检测
PART THREE
1.等比数列{an}的公比|q|＞1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18, 36,81}中.则q等于
共同特点: 从第二项起，每一项与其前一项的比是
同一个常数
类比“等差数列”，这样的数列可以叫做“等比数列”。
知识点一 等比数列的概念 1.定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的 前 一项的 比 等于同一 常数， 那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比 ，通常用字母q表
示(q≠0).
√C.①②④
解析 ①②显然是等比数列；
由于x可能为0，③不是；
a不能为0，④符合等比数列定义，故④是.
D.①②③④
命题角度2 已知递推公式判断是否为等比数列
例2 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列； 证明 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1).由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
定义式
通项公 式
中项 公式
an - an-1 d , n 2
an a1 (n - 1)d
a b 2 A或A a b 2
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.若an＋1＝qan，n∈N*，且q≠0，则{an}是等比数列.( × ) 2.任何两个数都有等比中项.( × ) 3.等比数列 1，21，41，81，…中，第 10 项为219.( √ ) 4.常数列既是等差数列，又是等比数列.( × )
第1课时 等比数列的概念及通项公式
复习回顾
等差数列
最值问题 实际问题 带绝对值求和
概念 通项公式 求和公式 相关性质
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.通过实例，理解等比数列的概念. 2.掌握等比中项的概念并会应用. 3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.
1,2,4,8,16,32,......
跟踪训练3 在等比数列{an}中： (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； 解 由等比数列的通项公式得，a6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)已知a3＝20，a6＝160，求an. 解 设等比数列的公比为q，
a1q2＝20，
q＝2，
则
解得
a1q5＝160，
a1＝5.
所以an＝a1qn－1＝5×2n－1，n∈N*.
(2)－1,1,2,4,8，…； 解 记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， ∵aa21＝－1≠aa32＝2， ∴此数列不是等比数列. (3)a1，a2，a3，…，an，….
解 当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…， 显然此数列为等比数列，且公比为a.
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5.若{an}为等比数列，且3a4＝a6－2a5，则公比是 －1或3 . 解析 设公比为q(q≠0)，则3a1q3＝a1q5－2a1q4， 因为a1q3≠0，所以q2－2q－3＝0， 解得q＝－1或q＝3.
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课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.等比数列的判断或证明 (1)利用定义：aan＋n 1＝q(与 n 无关的常数). (2)利用等比中项：a2n＋1＝anan＋2(n∈N*，且数列各项均不为零). 2.两个同号的实数 a，b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(± ab)， 而不是一个( ab)，这是容易忽视的地方.
定义式
A－a＝b－A
Ga ＝Gb
公式
A＝a＋b 2
G＝± ab
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有 两 个，且互为_相_ _反__数_
备注 任意两个数a与b都有等差中项 只有当ab＞0时，a与b才有等比中项
3.等比数列的通项公式：
思考：如何用 a1和 q表示 an？
等差数列an an-1 d , n 2
……
a a q n-1
n
1
3.等比数列的通项公式： an a1qn-1
思考：如何用 a1 和 q 表示 an？
❖ 方法：累加法
等 a2 - a1 d
差 数
a3 - a2 d
列
a4 - a3 d
……
+）an - an-1 d
类比
累乘法
等 比 数 列
a2 q a1
a3 q a2
a4 q
A.－21
1 B.2
√C.－23
3 D.2
解析 ∵{an}中的项必然有正有负，
∴q<0.又|q|＞1，
∴{|an|}递增或递减. 由此可得{an}的连续四项为－24,36，－54,81. ∴q＝－23.
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2.等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于
√A.－24
B.0
C.12
D.24
解析 由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0， 解得x＝－3或x＝－1(舍去)， 所以等比数列的前3项是－3，－6，－12， 则第4项为－24.
是不为
0
的常数)⇔{an}是公比为
q
的等比数列.
(2)等比中项法：a2n＝an－1·an＋1(n≥2，an，an－1，an＋1 均不为 0)⇔{an}是等比
数列.
跟踪训练2 数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…). (1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列； 解 a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
例3 在等比数列{an}中. (1)已知 a2＝4，a5＝－21，求 an；
a1q＝4， 解 设等比数列的公比为 q，则a1q4＝－12.
a1＝－8， 解得q＝－21.
∴an＝a1qn－1＝(－8)－12n－1＝－12n－4.
(2)已知 a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝12，求 n. 解 设等比数列{an}的公比为q.
a2 a1 d
a3 a2 d
归 纳
(a1 d ) d
法
a1 2d
a4 a3 d
类比
(a1 2d) d
a…1
3d
…
an a1 (n -1)d
等比数列 an an-1q, n 2
a2 a1q
a3
aa12qq2
(a1q)q
a4 a3q (a1q2 )q
a1q3
∴an＋1＋1＝2(n∈N*). an＋1
∴数列{an＋1}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
解 由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列.
∴an＋1＝2·2n－1＝2n.
即an＝2n－1.
反思感悟 等比数列的判定方法
(1)定义法： an ＝q(n≥2，q an－1
判断一个数列是否为等比数列的依据
2.递推公式形式的定义：aan－n 1＝q(n>1)或aan＋n 1＝q，n∈N*.
3.等比数列各项均 不能 为0.
知识点二 等比中项与等差中项的异同
对比项
等差中项
等比中项
若a，A，b成等差数列，则A叫 若a，G，b成 等比 数列，则G叫做
定义
做a与b的等差中项
a与b的 等比 中项
3.等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个 量可求得第四个量.
知识点四 等比数列的类型
思考：等比数列的公比与该数列的类型有关系吗？ (1)数列：1，2，4，8，16，… (2)数列：8,4,2,1, 1 , 1 , 1 ,
2 48
(3)数列：-1，-2，-4，-8，-16，…
12345
3.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为
A.4
B.8
√C.6
D.32
解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1，2n－1＝32， 所以n＝6.
12345
4. 45和80的等比中项为 －60或60. 解析 设45和80的等比中项为G， 则G2＝45×80，∴G＝±60.
(4)数列：- 8，- 4，- 2，-1，1 ，- 1 ，- 1 ， ......
248
(5)数列：4，4，4，4，4，4，4，…
(6)数列：-1，2，-4，8，-16，… (7)数列：1，-2，4，-8，16，…
知识点四 等比数列的类型
已知数列{an}是等比数列，q是公比，则：
q>1 0<q<1
…a3…
×） an q
a n -1
共n – 1 项
an - a1 (n -1)d
an q n-1 a1
等比数列
名称
类比
从第2项起,每一项与它列
从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数
公比 q 0
常数
公差 d R
an q, n 2 an-1
an a1 q n-1
2 题型探究
PART TWO
多维探究
题型一 等比数列的判定
命题角度1 已知数列前若干项判断是否为等比数列 例1 判断下列数列是否为等比数列. (1)1，3，32，33，…，3n－1，…； 解 记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，…. ∵aan－n 1＝33nn－－12＝3(n≥2，n∈N*)， ∴数列为等比数列，且公比为3.
题型三：等比中项的应用
例4 已知在等比数列 an中，a3a4a5 8,求a2a3a4a5a6的值
跟踪训练4
已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a3 5, a7a8a9 10,
则a4a5a6等于（） A
A.5√2
B.7
C.6
D.4√2
3 达标检测
PART THREE
1.等比数列{an}的公比|q|＞1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18, 36,81}中.则q等于
共同特点: 从第二项起，每一项与其前一项的比是
同一个常数
类比“等差数列”，这样的数列可以叫做“等比数列”。
知识点一 等比数列的概念 1.定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的 前 一项的 比 等于同一 常数， 那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比 ，通常用字母q表
示(q≠0).
√C.①②④
解析 ①②显然是等比数列；
由于x可能为0，③不是；
a不能为0，④符合等比数列定义，故④是.
D.①②③④
命题角度2 已知递推公式判断是否为等比数列
例2 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列； 证明 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1).由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
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人教A版高中数学必修五2.4.1等比数列的概念及通项公式课件(共34张PPT)
例3 在等比数列{an}中.
②要判(定1每)一已项，知不能有a例2外＝. 4，a5＝－21，求 an；
解 a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，
a q＝4， 题型二 等比数列通项公式的应用
a与b的等比中项有 个，且互为__
解 设等比数列的公比为 q，则 网课结束日，学校见面时。 1 若an＋1＝qan，n∈N*，且q≠0，则{an}是等比数列. a q ＝－ . 对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于__; 2 (3)数列：-1，-2，-4，-8，-16，…
√C.①②④
解析 ①②显然是等比数列；
由于x可能为0，③不是；
a不能为0，④符合等比数列定义，故④是.
D.①②③④
命题角度2 已知递推公式判断是否为等比数列
例2 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列； 证明 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1).由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
(2)－1,1,2,4,8，…； 解 记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， ∵aa21＝－1≠aa32＝2， ∴此数列不是等比数列. (3)a1，a2，a3，…，an，….
解 当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…， 显然此数列为等比数列，且公比为a.
3.等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个 量可求得第四个量.
知识点四 等比数列的类型
思考：等比数列的公比与该数列的类型有关系吗？ (1)数列：1，2，4，8，16，… (2)数列：8,4,2,1, 1 , 1 , 1 ,
(人教新课标)高二数学必修5第二章 数列2-4《等比数列》课件(共26张PPT)
即：
an a1 q n1
此式对n=1也成立
∴ an a1 qn1 (n N )
例4：求下列等比数列的第4，5项：
（1） 5，-15，45，…
an a1 qn1
（2）1.2，2.4，4.8，…
（3）
变式2：在等比数列{an}中，已知
a3 ，2求0,aan.6 160
（2）若q=0，等式an+1=anq，对n∈N+仍恒成立，此时数列{an}从第二项起均为 零，显然也不符合等比数列的定义，故等比数列中的公比q不能为零。
（3）公比q=1时是什么数列？既是等差又是等比数列为非零常数列；
（4） q>0数列递增吗？q<0数列递减吗？
aq1
0 1
或
0a1
an a1 * qn1
解得 因此， 答：这个数列的第1项与第2项分别是
等差数列中有性质：若n+m=p+q则am+an=ap+aq
等比数列有相似的性质吗？ 若n+m=p+q, 则bn bm=bp bq
证明:
例7：(1)在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝ __________.
1 知识点: 等比数列的概念, 通项公式,等比中项的概念. 2 本节课用到的思维策略:观察、分析、归纳、猜想、类比等逻辑思 维能力，由特殊到一般的认知规律。 3 数学思想方法：方程的思想，函数的思想。
课后练习 课后习题
＝a·q34 ＝(a·q17)2＝25.
(2)∵a1a9＝a3a7＝64， ∴a3，a7 是方程 x2－20x＋64＝0 的两根． 解得aa73＝ ＝146 或aa73＝ ＝416 . ①若 a3＝4，a7＝16，则由 a7＝a3q4 得，q4＝4， ∴a11＝a7q4＝16×4＝64. ②若 a7＝4，a3＝16，则由 a7＝a3q4 得，q4＝14， ∴a11＝a7q4＝4×14＝1. 故 a11＝64，或 a11＝1.
人教版数学必修五2.4《等比数列》课件 (共17张PPT)
an 数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 q (q 0) ． an 1
（4） 0 q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递减； a1 0 ， {an } 递增；
q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递增； a1 0 ， {an } 递减；
例 3、等比数列 an 中， a4 , a12 是方程 x 20 x 16 0 的两个根，
2
则 a4 与 a12 的等比中项为( C ) （A） 4 （B） 4 （C） 4 （D） 16
例 4、在各项都为正数的等比数列 {an } 中， a6 a10 a3 a5 41 ，
an （5）欲证等比数列，只需证 q (n 2) ， an1
还需说明 a1 0 ， q 0 ．
二、等比数列的通项公式
an q an 1
叠乘法
a2 q a1 a3 q a2 a4 q a3
不完全归纳法
a2 a1 q
a3 a2 q a1 q2
a4 a3 q a1 q3
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an a p aq ．
四、等比数列的性质
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an bn } ， {k an } (k 0) ，
1 1 { } 仍为等比数列，公比分别为 q1 q2 ， q1 ， ． an q1
a4 a8 4 ，则 a4 a8 （ B ）
（A） 6 （B） 7 （C） 8 （D） 9
四、等比数列的性质
（1）在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列 的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项， 即 an an1 an1 (n 2) ．
高中数学人教版必修5课件：2.4.1等比数列(共21张PPT)
• G=＿＿＿。
自主学习(2min)
• 仿照“等差数列通项公式的推导”，完成任务：
已知数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，
你能写出这个等比数列的第n项吗？
a1=a1 a2=a1 q a3=a2 q=a1q2 a4=a3q=a1q3 …
不完全归纳法
an=
.
3、等比数列的通项公式：
• 一般地，如果等比数列{an}的首项为a1，公
请说出公比q。
√(1)2，8，32，128，…
q=4
(√2)-1，-0.5，-0.25，-0.125，… q=0.5
(√3)2，2，2，2，…
q=1
(√4)1，-3，9，-27，…
q=-3
×(5)1，2，4，16，64，…
×(6)1, 0, 1, 0, 1
先抢为快
抢答1:公比q的取值范围是什么呢？ 正数、负数，但是不能为零。
抢答2:当公比q=1时的等比数列是什么样的数列？
常数列 抢答3:常数列一定是等差数列吗？一定是等比数
列吗？为什么？
常数列都是等差数列，但却不一定都是等比列。 如数列0，0，0，0，…是等差不是等比数列。
抢答4：既是等差数列，又是等比数列的数列存 在吗？举例说明。
2、等比数列中项：
• 与等差中项类似，如果在a与b中间插入一 个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫 做a与b的等比中项。
3、等比数列的通项公式：an= a1qn-1
4、学习的思想方法：类比思想方法
课后作业
• 1.P53 A组第1(1)~(3)题
1、等比数列的定义：
• 一般地，如果一个数列从第2项起， 每一项
与它的前一项的比等于同一个常数，这个
自主学习(2min)
• 仿照“等差数列通项公式的推导”，完成任务：
已知数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，
你能写出这个等比数列的第n项吗？
a1=a1 a2=a1 q a3=a2 q=a1q2 a4=a3q=a1q3 …
不完全归纳法
an=
.
3、等比数列的通项公式：
• 一般地，如果等比数列{an}的首项为a1，公
请说出公比q。
√(1)2，8，32，128，…
q=4
(√2)-1，-0.5，-0.25，-0.125，… q=0.5
(√3)2，2，2，2，…
q=1
(√4)1，-3，9，-27，…
q=-3
×(5)1，2，4，16，64，…
×(6)1, 0, 1, 0, 1
先抢为快
抢答1:公比q的取值范围是什么呢？ 正数、负数，但是不能为零。
抢答2:当公比q=1时的等比数列是什么样的数列？
常数列 抢答3:常数列一定是等差数列吗？一定是等比数
列吗？为什么？
常数列都是等差数列，但却不一定都是等比列。 如数列0，0，0，0，…是等差不是等比数列。
抢答4：既是等差数列，又是等比数列的数列存 在吗？举例说明。
2、等比数列中项：
• 与等差中项类似，如果在a与b中间插入一 个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫 做a与b的等比中项。
3、等比数列的通项公式：an= a1qn-1
4、学习的思想方法：类比思想方法
课后作业
• 1.P53 A组第1(1)~(3)题
1、等比数列的定义：
• 一般地，如果一个数列从第2项起， 每一项
与它的前一项的比等于同一个常数，这个
2.4.1《等比数列》课件(人教A版必修5)
是项数相同的等比数列，那么数 例3：已知数列 a ，
n n
列
an bn
是等比数列吗？
解 : 设数列a n 的公比为p, 数列b n 的公比为q, 那么数列a n bn 的第n项与第n 1项分别为： a1 p n 1 b1q n 1与a1 p n b1q n a n 1 bn 1 因为 pq(常数) a n bn
不是
类型二、等比数列通项公式的应用
2、一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项以 及通项公式. 解：设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么 a1q2 12, a1q3 18. 两 3 16 16 3 式相除得 q . 代入上式得 a1 .因此，a2 a1q 8. ， 3 3 2 2 n 1 通项公式为 a 16 3 n 3 2 n 1 16 16 3 与8 答：这个数列的第1项和第2项分别是 3 ，a n 3 2 .
（2）等比数列通项公式
an 的首项为a1，公比为q，则它的通项公式 设等比数列 n1 an= a1q （定义式） 设等比数列an 的第m项为am（m<n），公比为q，则它的 nm a q 通项公式为an= m
（3）等比数列的等比中项
如果在a与b 中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么 G叫做a与b 的 ， 其中，a，b （同号，异号)，且G2= ,即G=__ ___.
§2.4.1等比数列
（第一课时）
【学习目标】 1、理解等比数列定义，会用定义判断
等比数列.
2、掌握等比数列的通项公式.
3、掌握等比中项的定义和性质，并能
解决相应问题.
一、复习回顾： (1)等差数列的定义：
n n
列
an bn
是等比数列吗？
解 : 设数列a n 的公比为p, 数列b n 的公比为q, 那么数列a n bn 的第n项与第n 1项分别为： a1 p n 1 b1q n 1与a1 p n b1q n a n 1 bn 1 因为 pq(常数) a n bn
不是
类型二、等比数列通项公式的应用
2、一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项以 及通项公式. 解：设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么 a1q2 12, a1q3 18. 两 3 16 16 3 式相除得 q . 代入上式得 a1 .因此，a2 a1q 8. ， 3 3 2 2 n 1 通项公式为 a 16 3 n 3 2 n 1 16 16 3 与8 答：这个数列的第1项和第2项分别是 3 ，a n 3 2 .
（2）等比数列通项公式
an 的首项为a1，公比为q，则它的通项公式 设等比数列 n1 an= a1q （定义式） 设等比数列an 的第m项为am（m<n），公比为q，则它的 nm a q 通项公式为an= m
（3）等比数列的等比中项
如果在a与b 中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么 G叫做a与b 的 ， 其中，a，b （同号，异号)，且G2= ,即G=__ ___.
§2.4.1等比数列
（第一课时）
【学习目标】 1、理解等比数列定义，会用定义判断
等比数列.
2、掌握等比数列的通项公式.
3、掌握等比中项的定义和性质，并能
解决相应问题.
一、复习回顾： (1)等差数列的定义：
人教A版高中数学必修五等比数列教学教学PPT课件
(2) 1 , 1 , 1 , 1
2 4 8 16
公比 q，-1，1，…
公 比q= -1 摆动数列
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等
于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等比数列， 这
个常数叫做等a 比n数1列的q公(q 比是 ，公常 比数 通常,且 用字q母q0表） 示。 an
a n1
比 (2)若 a、 G、 b成 等 比 数 列 ， G 2 ab,
则 G叫 a与 b的 等 比 中 项
数 (3)an am q nm ,(m , n N *)
(4)若 m n p q， 则 am an a p aq
列 (5)an2 an1 an1, (n 2)
例4：在等比数列a n中 ， a52,a求1010 , a 15 。
方法一：由题意到方程组解得 方法二：利用性质2 方法三：利用性质3
五.小结
1、等比数列的定义，怎样判断一个数列是否 是等比数列； 2、等比中项的概念 ； 3、等比数列的通项公式及应用(知三求一) ； 4、本节课采用的主要思想——类比思想和方 程思想。
六、作业设计
（2）等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的
例1：求下列等比数列的第4项： （ 1 ） 5，-15，45，…
an a1•qn1
解: a45( 3 )4 1 135
(2) 2 , 1 , 3 , 3 28
解:
a4
23
3 4
41
9 32
例2：一个等比数列第三项与第四项分别是 12与18，求它的第1项和第2项。
例3:已知 a 为n 公差为2的等差数列，若
2.4 等比数列
知识回顾
2018秋数学人教A版必修5课件：第二章2-4第1课时等比数列的概念与通n项公式 精品
类型 2 等比中项 [典例 2] 已知等比数列的前三项和为 168，a2－a5 ＝42，求 a5，a7 的等比中项． 解：设该等比数列的公比为 q，首项为 a1，
a1＋a1q＋a1q2＝168， 因为
a1q－a1q4＝42.
a1（1＋q＋q2）＝168.
①
所以
a1q（1－q3）＝42.
②
因为 1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
等比中项为：± 22.
答案：±
2 2
类型 3 等比数列的判定(互动探究)
[典例 3] (1)已知{an}，{bn}都是等比数列，那么( ) A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列 B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等 比数列 C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等 比数列 D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列
pq≠0，所以{an·bn}一定是等比数列．
(2)证明：法一：因为 an＞0，所以 an＋3＞0.
又因为 an＋1＝2an＋3，
an＋1＋3 2an＋3＋3 2（an＋3）
所以
＝
＝
＝2.
an＋3
an＋3
an＋3
所以数列{an＋3}是首项为 a1＋3，公比为 2 的等比数
列．
法二：因为 an＞0，所以 an＋3＞0. 又因为 an＋1＝2an＋3， 所以 an＋2＝4an＋9. 所以(an＋2＋3)(an＋3)＝(4an＋12)(an＋3)＝(2an＋6)2 ＝(an＋1＋3)2. 即 an＋3，an＋1＋3，an＋2＋3 成等比数列， 所以数列{an＋3}是等比数列．
(2) 在 数 列 {an} 中 ， 若 an ＞ 0 ， 且 an ＋ 1 ＝ 2an ＋ 3(n∈N*)．证明：数列{an＋3}是等比数列．
人教A版高中数学必修五课件《2.4等比数列(1)等比数列的定义及通项公式》
an1 2. 通项公式：an a1qn1 。
问题再探
探究 3：已知等比数列an 的公比为 q，
求证：an anqnn。
探究 4：完成教材 P 52练习T1，体会通项 公式的运用。
探究5：（1）在9与243中间插入两个数， 使它们同这两个数减等 比数列。 （2）在160与5中间插入4个数，使它们 同这两个数减等比数列 。
高中数学课件
灿若寒星整理制作
问题探究
探究1：已知数列an满足aa1 n
an1
1
1（n 2
1），
试求数列an 的通项公式 an。
探究
2：已知数列a n
中，a1已知，且
an an1
q（0 q
0），试求数列an
的通项公式
a
。
n
学法小结
等比数列（G P） 1. 定义：an q（n 2，q 0，q为常数）；
《考向标》1－P43
思维拓展
拓展1：在数列an 、bn 中，对任意
自然数n， an1 an
3，bn是an与an1的等差中
项，则bn ________。
拓展2：已知数列an满足a1 1，an1
2an （1 n N *）。
（1）求证：数列an 1是等比数列；
（2）求an的表达式。
典例精析
例1：一个等比数列的第 3项与第4项 分别是12和18，求它的第1项和第2项。
例2：已知数列an 和bn 是项数相同的
等比数列，那么an
bn， abnn
也一定是等
比数列吗？
例3：某种放射性物质不断 变化为其他 物质，每经过一年剩留 的物质是原来的84%， 这种物质的半衰期为多 少？
问题再探
探究 3：已知等比数列an 的公比为 q，
求证：an anqnn。
探究 4：完成教材 P 52练习T1，体会通项 公式的运用。
探究5：（1）在9与243中间插入两个数， 使它们同这两个数减等 比数列。 （2）在160与5中间插入4个数，使它们 同这两个数减等比数列 。
高中数学课件
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问题探究
探究1：已知数列an满足aa1 n
an1
1
1（n 2
1），
试求数列an 的通项公式 an。
探究
2：已知数列a n
中，a1已知，且
an an1
q（0 q
0），试求数列an
的通项公式
a
。
n
学法小结
等比数列（G P） 1. 定义：an q（n 2，q 0，q为常数）；
《考向标》1－P43
思维拓展
拓展1：在数列an 、bn 中，对任意
自然数n， an1 an
3，bn是an与an1的等差中
项，则bn ________。
拓展2：已知数列an满足a1 1，an1
2an （1 n N *）。
（1）求证：数列an 1是等比数列；
（2）求an的表达式。
典例精析
例1：一个等比数列的第 3项与第4项 分别是12和18，求它的第1项和第2项。
例2：已知数列an 和bn 是项数相同的
等比数列，那么an
bn， abnn
也一定是等
比数列吗？
例3：某种放射性物质不断 变化为其他 物质，每经过一年剩留 的物质是原来的84%， 这种物质的半衰期为多 少？
数学必修Ⅴ人教新课标A版2-4-1等比数列课件(36张)
2.4 等比数列 第1课时 等比数列
等差数列定义
1, 3, 5, 7, 9，…;
(1)
3, 0, -3, -6, … ; (2)
1 ， 2 ， 3 ， 4 ，… 10 10 10 10
（3）
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与
它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就
叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等 比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
G ab
【即时练习】 已知{an}是等比数列，且 an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝ 25，那么 a3＋a5＝( A )
A．5 B．10 C．15 D．20
【解题关键】∵{an}是等比数列，∴a3 是 a2 与 a4 的等 比中项，a5 是 a4 与 a6 的等比中项，因此条件式可以转 化为 a3 与 a5 的关系式．
A．90 B．100 C．145 D．190
【解析】设公差为 d，由题意得 a22＝a1·a5， ∵a1＝1，∴(1＋d)2＝1＋4d， ∴d2－2d＝0，∵d≠0，∴d＝2， ∴S10＝10×1＋10× 2 9×2＝100，故选 B.
例1 某种放射性物质不断变化为其他物质，每
经过一年剩留的这种物质是原来的84%.这种物
数列的通项公式的推导过程，补全首项是 a1 ，公比 是q的等比数列 {an} 的通项公式.
1. 2n-1
1 2. 2n-1
3. 10 （1 ）n-1 2
4. 10 000 （1.05）n
5. 3n
6（ . -
1）n
1 2n
an
a q(n-1) 1
如果一个数列 a1, a2 , a3 , …，an , …，
等差数列定义
1, 3, 5, 7, 9，…;
(1)
3, 0, -3, -6, … ; (2)
1 ， 2 ， 3 ， 4 ，… 10 10 10 10
（3）
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与
它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就
叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等 比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
G ab
【即时练习】 已知{an}是等比数列，且 an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝ 25，那么 a3＋a5＝( A )
A．5 B．10 C．15 D．20
【解题关键】∵{an}是等比数列，∴a3 是 a2 与 a4 的等 比中项，a5 是 a4 与 a6 的等比中项，因此条件式可以转 化为 a3 与 a5 的关系式．
A．90 B．100 C．145 D．190
【解析】设公差为 d，由题意得 a22＝a1·a5， ∵a1＝1，∴(1＋d)2＝1＋4d， ∴d2－2d＝0，∵d≠0，∴d＝2， ∴S10＝10×1＋10× 2 9×2＝100，故选 B.
例1 某种放射性物质不断变化为其他物质，每
经过一年剩留的这种物质是原来的84%.这种物
数列的通项公式的推导过程，补全首项是 a1 ，公比 是q的等比数列 {an} 的通项公式.
1. 2n-1
1 2. 2n-1
3. 10 （1 ）n-1 2
4. 10 000 （1.05）n
5. 3n
6（ . -
1）n
1 2n
an
a q(n-1) 1
如果一个数列 a1, a2 , a3 , …，an , …，
人教版高中数学必修5 2.4.1 等比数列的概念及通项公式课件ppt
【解】 (1)由 an＝a1·qn－1，得13＝9823n－1，即23n－1＝233，得 n＝4. (2)∵an＋4＝a4q(n＋4)－4＝a4qn， 又 an＋4＝a4，∴qn＝1， ∴当 n 为偶数时，q＝±1；当 n 为奇数时，q＝1.
人教A版 必修5
Thanks!
有人说过：你如果能将一张纸对折 42次，我就能顺着它在今天晚上爬上月 球。（假设纸的厚度为0.1毫米。） 这个实例所包含的数学问题:
1 ，2 ，4 ，8 ，16 ，32 ，…
今天我们来学习另一类特殊的数列：等比数列.
知识引入
引例1
① 如下图是某种细胞分裂的模型：
细胞分裂个数可以组成下面的数列：
1 2 4 8 16 …
思考：
对于等差数列{an}中，
an+1-an=d 或an+1=an+d 数列{an}为等差数列
若an+1=anq(n∈N+,q为常数），则数列{an}是否是等 比数列？反之能成立吗？
（1）若an=0,等式an+1=anq对n∈N恒成立，但从第二项起， 每一项与它前一项的比就没有意义，故等比数列中任何一项
引例2
“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”
1
比较下列数列
(1) 1, 2, 22 , 23 , …… , 263
(2) 1 , 1 , 1 , 1 , …… 2 4 8 16
（3）9，92，93，94，95，96， （97 4）6，6，6,6,…
探究
有何共同特点？
从第2项起，每一项与前一项的比 都等于同一常数.
4．已知等比数列{an}的前三项依次为 a－1，a＋1，a＋4，则 an＝
.
【解析】 由已知可知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)， 解得 a＝5，所以 a1＝4，a2＝6， 所以 q＝aa21＝64＝32， 所以 an＝4×32n－1. 【答案】 4×32n－1