第2讲 几何问题中的方程思想
八年级数学几何图形第02讲 三角形中的数学思想方法与热点题型(学生版)
第02讲三角形中的数学思想与热点题型（原卷版）第一部分典例剖析+针对训练类型一方程思想典例1在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠A的3倍与∠B的2倍相等，∠B的5倍与∠C的6倍相等，求∠A：∠B：∠C：∠D．典例2（江阴市期中）如图，△ABC，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC＝132°，∠BGC ＝118°，则∠A的度数为（）A．65°B．66°C．70°D．78°针对训练11．（2018秋•安庆期末）已知△ABC中，∠A比它相邻的外角小10°，则∠B+∠C为（）本*号资料皆来源于微信公众号：数学第六感A．85°B．95°C．100°D．110°3．（2020春•江都区期中）如图，△ABC的面积为18，BD＝2DC，AE＝EC，那么阴影部分的面积是．4．（2021•柳南区校级模拟）一个正多边形的一个内角比它的外角的2倍多60°，则它的边数是．2．（2021春•锡山区期中）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠DCE ＝10°，∠B＝60°，求∠A的度数．类型二分类讨论思想典例3（永年区期末）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）* 本号@资料皆*来源于微信公众号：数学第六感①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°．②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数．典例4（平泉市期末）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝；当∠BAD＝∠BDA时，x＝．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．针对训练25．（2017春•景德镇期中）已知一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为6cm，那么这个等腰三角形的周长为（）A．14cm B．16cm C．14cm或16cm D．以上都不对6．将长为24的木棒截成互不相等的且长都为整数的三段，使这三段能构成一个三角形的三条边，则不同的截法有种．。
运用方程思想解决几何问题“六法”_
１
６
所以２
S△ABC ＝３．
x２ －１
２
x＋１
５＝０,解 得 x１ ＝３－ ,
２
２
x２ ＝３＋
３＋
６
６
(舍去),此时Байду номын сангаас 求 出 AF ＝６－ ３－
＝
２
２
(
)
６
所 以 存 在 直 线 EF 将 Rt△ABC 的 周 长 与
＜５．
２
解法探究
２０２４ 年 １ 月下半月
面积同时平分,且 AE 的长为３－
解 x１ ＝ ３,
又 ３＋x１ ＝３＋ ３＞４,所
x２ ＝－ ３(舍去)．
６
．
２
１
(ⅱ )若点 F 与 B 重合,如图 ９,由 S△AEB ＝ S△ABC
２
可知 E 为 AC 的 中 点,由 于 BC ＜AB ,故 BC ＋CE ＜
AE ＋AB ,所以不存在满足题设要求的直线 EF ．
分线,
已知 BD ＝２
０,
EF＝１
５,求
EF 平 分 Rt△ABC 的 周 长,设
解:设矩 形 的 长 AB ＝x,
图５
宽 BC ＝y．在 Rt△BAD 中,
BD２ ＝ AD２ ＋ AB２ ,即
２
因为 EF 是 BD 的垂直平分线,则有 BO＝
x２ ＋y２ ＝２
０．
所以 △OFD≌△OEB．
所以 OE＝OF＝７．
°,所 以 可 得
７１
解法探究
２０２４ 年 １ 月下半月
△BED ∽△BCA ．
DE BD
k
９＋k
方程思想在解决几何问题中的运用
龙源期刊网
方程思想在解决几何问题中的运用
作者：郭永兰
来源：《甘肃教育》2018年第15期
【关键词】数学教学；几何问题；方程思想
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A
【文章编号】 1004—0463（2018）15—0125—01
方程思想是初中数学中的基本思想。
方程思想是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
一般人们把代数称为“数”，把几何图形称为“形”，往往认为方程属于“数”的范畴，只有在解代数问题时才会想到运用方程，而解几何问题时会把方程抛之脑后，其实“数”与“形”在一定条件下是可以相互转化的。
有些几何问题表面上看起来与代数问题无关，只要找到几何图形中隐含的等量关系，就可以利用代数方法“列方程”来解决。
下面举例谈谈方程思想在解决几何问题中的经典运用。
一、运用直角三角形的边与角的关系
在运用三角函数（直角三角形的边与角的关系）解决问题的过程中，往往把所求的量看作未知量，其余有关的量用含有未知量的式子表示出来并集中在一个直角三角形中，再通过直角三角形的边与角的关系列出关于未知量的方程以达到求解的目的。
总之，方程思想应用非常广泛，而熟练地利用方程思想解决问题，要做到以下两点：第一要具备用方程思想解题的意识。
第二要根据已知条件，寻找等量关系列方程。
数学思想是数学的精髓和灵魂，是对数学内容的一种本质认识。
作为数学教师，更应该以培养学生数学思想为目标，让孩子们拥有终身受益的数学思想方法。
编辑：张昀。
例谈方程思想在解题中的应用
数学篇学思导引方程思想就是以方程的观点去分析和研究问题，通过挖掘问题的数量关系，把繁难、陌生的问题转化为简单、熟悉的方程或方程组问题，然后运用所学的方程知识达到顺利解题的目的.用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理构造方程(组).这种思想在代数及几何问题中有着广泛的应用.一、方程思想在解代数题中的应用在解答某些代数式化简、求值、证明问题时，若按照常规思路难以下手时，同学们不妨转变思维视角，从方程思想入手，把已知等式看作是有关某些字母的方程，或将已知、结论中的代数式设为辅助元，构造适当的方程或方程组，将问题转化为方程或方程组问题，从而实现轻松解题.例1设m +2n -8p =0，2m -3n +5p =0，则5m 2+4n 2+3p 210m 2-9n 2+8p 2的值为.分析：此题直接求值难度较大，若能把已知条件中的两个等式看作是关于m ，n 的方程组，通过解方程组得出m ，n ，p 三者的关系，则可以使问题快速得解.解：由题意可得{m +2n -8p =0,2m -3n +5p =0,解方程组可得{m =2p ,n =3p .当p =0时，5m 2+4n 2+3p 210m 2-9n 2+8p 2的值不存在；当p ≠0时，5m 2+4n 2+3p 210m 2-9n 2+8p 2=20p 2+36p 2+3p 240p 2-81p 2+8p 2=59p 233p 2=5933.例2证明不论a 为何实数，代数式a 2-4a +4a 2+1的可能值中，最多有三个偶数.分析：本题不易直接证明.若能利用方程思想，设a 2-4a +4a 2+1=t ，把代数式转化为关于a 的方程，再运用根的判别式，得出代数式的取值范围，即可使问题得证.证明：设a 2-4a +4a 2+1=t ，则a 2-4a +4=ta 2+t (a 2+1≠0)，即(t -1)a 2+4a +(t -4)=0.当t =1时，即a =34时，代数式a 2-4a +4a 2+1的值不是整数.所以上述方程可以看作是关于a 的二次方程.因为a 为实数，所以△=16-4(t -4)(t -1)≥0，化简可得t 2-5t ≥0，解得0≤t ≤5，即0≤a 2-4a +4a 2+1≤5，显然，代数式a 2-4a +4a 2+1的可能值中，最多有0，2，4这三个偶数.评注：方程思想是转化思想的具体体现.许多代数问题借助方程思想均可以实现转化，从而快速找到解题突破口.同学们在平时的解题过程中，不要形成思维定势，局限于常规解法，要及时转变思路，结合题目的结构特点，灵活运用方程知识去思考、分析并解答问题.二、方程思想在解几何题中的应用几何问题中有许多的几何计算题，这些计算题所涉及的几何量之间蕴含着一定的数量关系.在解题时，同学们要仔细审题，结合已知条件、图形特点、几何定理、公式等，挖掘几何量之间的数量关系，合理设出未知数，列27数学篇出方程或方程组，将几何问题转化为代数问题，然后利用方程思想巧妙解题.例3如图，已知正方形EFGH的边长为12,M是GH的中点，EM的垂直平分线NO交EF的延长线于N，MN交FG于Q，求FQ与GQ的长.分析：本题涉及几何量之间的数量关系，对此可以采用方程思想求解.很多同学在设未知数时，直接设所求的目标线段FQ=x,GQ=12-x，再通过Rt△FQN∽Rt△GQM，用x的代数式表示出FN的长.显然，该求解过程较为复杂.若能设FN=x，则EN=12+x，MP=6+x，这样易求出MN、FN的长，再利用Rt△FQN∽Rt△GQM，得出FQ与GQ的比值，即可求出FQ与GQ的长度.所以，结合题中特殊的线段位置关系，本题宜采用间接设元来求解.解：如图所示，过N作NP⊥EN与HG的延长线交于P.设FN=x，那么EN=12+x，MP=6+x.由题意可知，在Rt△MNP中，MN2=MP2+NP2.因为MN=EN，NP=FG=EH，所以(12+x)2=(6+x)2+122，解得x=3，即FN=3.因为Rt△FQN∽Rt△GQM，所以FQGQ=FN GM=36=12，即GQ=2FQ，又FQ+GQ=FG=12，所以FQ=4，GQ=8.评注：在利用方程思想求解几何计算题时，关键是要找出几何量之间的等量关系，选取恰当的几何量作为未知数，建立方程或方程组.有的几何量之间的等量关系从已知中不易获得，这就需要结合图形，挖掘潜在的隐含条件，考虑以某个几何量为桥梁，间接设元，以降低求解的难度.一般地，当题目涉及线段长度或角度比、三角形周长与面积、特殊的图形位置关系时，常常采取间接设元法.总之，方程思想不仅是数学中的基本思想，更是破解数学问题的重要工具.同学们在解题的过程中，要注意根据题意，建立合适的方程或者方程组，灵活运用方程思想，将问题转换为方程问题来解答.上期《〈一次函数〉巩固练习》参考答案1.B；2.C；3.D；4.C；5.D；6.k>0；7.225；8.增大；9.-2；10.y=1.2x+10(0<x≤10)11.（1）y=2x-5；（2）点(-1,-5)不在该函数的图象上．12.解：（1）轿车出发时，两车相距60×1.4＝84（km），（2）若轿车比货车提前0.6小时到达乙地，则C（4.4，300），设线段BC对应的函数表达式为y＝kx+b，将C（4.4，300），B（1.4，0）代入得：ìíî4.4k+b=300,1.4k+b=0,，解得ìíîk=100,b=-140,∴线段BC对应的函数表达式为y＝100x-140；由图象可知，a小时轿车追上货车，∴100a-140＝60a，解得a＝3.5，∴a的值为3.5；（3）∵轿车出发1.6h，与货车的距离小于12km，∴ìíî1.6v-(1.4+1.6)×60<12,(1.4+1.6)×60-1.6v<12,解得：105＜v＜120，∴轿车速度v的取值范围是105＜v＜120．学思导引28。
高中数学寒假专题复习资料第二讲解析几何新人教A版必修2(2021学年)
高中数学寒假专题复习资料第二讲解析几何新人教A版必修2 编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(高中数学寒假专题复习资料第二讲解析几何新人教A版必修２)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二讲解析几何一．直线与圆1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0。
(２)范围：直线l倾斜角的取值范围是［0，π）．2.斜率公式(1)直线l的倾斜角为α≠90°,则斜率k=tａn_α。
(2)P1（ｘ1，ｙ1)，P２(x2,y2)在直线ｌ上，且x1≠ｘ２,则l的斜率k=＼f（y2-y１，x2-x1)。
3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－ｙ0＝k（x-ｘ0)不含直线x=x0斜截式y=ｋx+b不含垂直于ｘ轴的直线不含直线x＝x1(x1≠x2）两点式错误!＝错误!和直线y=ｙ1（y1≠y2）不含垂直于坐标轴和过原点的直截距式错误!＋错误!=1线Ax＋By+Ｃ＝0,平面内所有直线都适用一般式A2＋B2≠04．两条直线平行与垂直的判定(１)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l１，l2，若其斜率分别为ｋ1，ｋ2,则有l1∥l2⇔k1=k２．②当直线l１，l２不重合且斜率都不存在时,l１∥ｌ2。
(２）两条直线垂直:①如果两条直线l1,l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·ｋ2＝－1。
②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2。
苏教版必修2数学课件-第2章平面解析几何初步第2节直线与方程教学课件
3．如何判断点(m，n)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系？ [提示] 将点A(m，n)代入方程左边，若(m－a)2＋(n－b)2＝r2， 点A在圆上；若(m－a)2＋(n－b)2<r2，点A在圆内；若(m－a)2＋(n－ b)2>r2，点A在圆外．
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【例3】 已知圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)． (1)若点M(6，9)在圆上，求半径a； (2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的 取值范围．
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自主预习 探新知
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1．圆的定义及标准方程 (1)圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．其中定点是 圆的圆心；定长是圆的半径．
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(2)圆的标准方程
圆
特殊情况
一般情况
圆心
(0，0)
(a，b)
半径 标准方程
备注
r(r>0)
r(r>0)
_x_2_＋__y_2＝__r_2_
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[解] 法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
a＋b＋5＝0，
则（0－a）2＋（2－b）2＝r2， （－3－a）2＋（3－b）2＝r2，
a＝－3，
解得b＝－2， r＝5.
∴圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
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法二：因为A(0，2)，B(－3，3)，所以线段AB的中点坐标为 －32，52，直线AB的斜率kAB＝－3－3－20＝－13，
_(x_－__a_)_2_＋__(y_－__b_)_2＝__r_2_
确定圆的标准方程的关键是确定_圆__心__和_半__径__
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第2讲 解题有道——四大数学思想
第2讲 解题有道——四大数学思想思想概述 高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识、基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度.数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识、数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.类型一 函数与方程思想函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程(组)，进而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系、互为所用的. 应用1 求解不等式、函数零点的问题【例1】 (1)设0<a <1，e 为自然对数的底数，则a ，a e ，e a －1的大小关系为( ) A.e a －1<a <a e B.a e <a <e a －1 C.a e <e a －1<aD.a <e a －1<a e(2)(2019·浙江新高考联盟考试)已知函数h (x )＝x ln x 与函数g (x )＝kx －1的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1e ，e －1B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋1e C.(1，e －1]D.(1，＋∞)解析 (1)设f (x )＝e x －x －1，x >0， 则f ′(x )＝e x －1>0，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (0)＝0，f (x )>0， ∴e x －1>x ，即e a －1>a .又y ＝a x (0<a <1)在R 上是减函数，得a >a e ， 从而e a －1>a >a e .(2)令h (x )＝g (x )，得x ln x ＋1＝kx ， 即1x ＋ln x ＝k .若方程x ln x －kx ＋1＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不等实根，则函数f (x )＝ln x ＋1x 与y＝k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不相同的交点，f ′(x )＝1x －1x 2，令1x －1x 2＝0可得x ＝1，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时f ′(x )<0，函数是减函数；当x ∈(1，e]时，f ′(x )>0，函数是增函数，函数的极小值，也是最小值为f (1)＝1，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1＋e ，f (e)＝1＋1e ，又－1＋e>1＋1e ，所以，函数的最大值为e －1.所以关于x 的方程x ln x －kx ＋1＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不等实根，则实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋1e .答案 (1)B (2)B探究提高 1.第(1)题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与不等式的性质求解.2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题.(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决. 【训练1】 (1)设函数f (x )＝x 2－cos x ，则方程f (x )＝π4所有实根的和为( )A.0B.π4C.π2D.3π2(2)(2019·郑州模拟)已知函数f (x )＝3x －13x ＋1＋x ＋sin x ，若存在x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则实数k 的取值范围是( ) A.(－1，＋∞) B.(3，＋∞) C.(0，＋∞)D.(－∞，－1)解析 (1)由f (x )＝x 2－cos x ＝π4，得x 2－π4＝cos x ， 令y 1＝x 2－π4，y 2＝cos x .在同一坐标系内作出两函数图象，易知两图象只有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0.∴方程f (x )＝π4的实根之和为π2.(2)由题意知，函数f (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数.又f ′(x )＝2ln 3·3x（3x ＋1）2＋1＋cos x >0在x ∈[－2，1]上恒成立，函数f (x )在x ∈[－2，1]上单调递增.若存在x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立， 则f (x 2＋x )<－f (x －k )f (x 2＋x )<f (k －x )x 2＋x <k －x ，故问题转化为存在x ∈[－2，1]，k >x 2＋2x ， 即k >(x 2＋2x )min ，当x ∈[－2，1]时，y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1的最小值为－1. 故实数k 的取值范围是(－1，＋∞). 答案 (1)C (2)A应用2 函数与方程思想在数列中的应用【例2】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－2，S 5＝0，S 6＝3.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)求nS n 的最小值.解 (1)∵S 4＝－2，S 5＝0，S 6＝3， ∴a 5＝S 5－S 4＝2，a 6＝S 6－S 5＝3， 又{a n }是等差数列，则公差d ＝a 6－a 5＝1， 由于S 5＝5（a 1＋a 5）2＝0，所以a 1＝－2，故S n ＝－2n ＋n （n －1）2＝n 2－5n2.(2)由(1)知nS n ＝n 3－5n 22，设f (x )＝x 3－5x 22， 则f ′(x )＝32x 2－5x (x >0)，令f ′(x )>0，得x >103；令f ′(x )<0，得0<x <103.∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103上单调递减，又f (3)＝－9，f (4)＝－8.∴当n ＝3时，nS n 取到最小值－9.探究提高 1.本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(2)问利用数列前n 项和公式求出nS n ，构造函数，运用单调性求最值.2.数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前n 项和公式即为相应的解析式，但要注意数列问题中n 的取值为正整数，涉及的函数具有离散性特点.【训练2】 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q >0，a 1＋a 2＝4，a 3－a 2＝6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对任意n ∈N *，ka n ，S n ，－1成等差数列，求实数k 的值.解 (1)∵a 1＋a 2＝4，a 3－a 2＝6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝4，a 1（q 2－q ）＝6，∵q >0，∴q ＝3，a 1＝1，∴a n ＝1×3n －1＝3n －1(n ∈N *)， 故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)知a n ＝3n －1，S n ＝1×（1－3n ）1－3＝3n －12，∵ka n ，S n ，－1成等差数列，∴2S n ＝ka n －1. 则2×3n －12＝k ·3n －1－1，解得k ＝3.应用3 函数与方程思想在几何问题中的应用【例3】 设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点. (1)若ED→＝6DF →，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值.解 (1)依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0).如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k2.①由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2；由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2， 得x 0＝21＋2k .所以21＋2k ＝1071＋4k2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为 h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2（1＋2k ＋1＋4k 2）5（1＋4k 2），h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2（1＋2k －1＋4k 2）5（1＋4k 2）.又|AB |＝22＋12＝5，所以四边形AEBF 的面积为 S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝12·5·4（1＋2k ）5（1＋4k 2）＝2（1＋2k ）1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k 1＋4k2＝21＋41k ＋4k≤22，当且仅当4k 2＝1(k ＞0)，即当k ＝12时，上式取等号.所以S 的最大值为2 2.即四边形AEBF 面积的最大值为2 2.探究提高 解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，找准函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长最值(范围)问题的基本方法.【训练3】 已知圆M ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)与直线l 1：x －3y ＋4＝0相切，设点A 为圆上一动点，AB ⊥x 轴于点B ，且动点N 满足AB →＝2NB →，设动点N 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程.(2)直线l 与直线l 1垂直且与曲线C 交于P ，Q 两点，求△OPQ (O 为坐标原点)面积的最大值.解 (1)设动点N (x ，y )，A (x 0，y 0)，因为AB ⊥x 轴于B ，所以B (x 0，0)， 由已知得，r ＝|4|1＋3＝2，所以圆M 的方程为x 2＋y 2＝4. 因为AB→＝2NB →， 所以(0，－y 0)＝2(x 0－x ，－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y ，又A 点在圆上，所以x 20＋y 20＝4，即动点N 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意，设直线l ：3x ＋y ＋m ＝0，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 联立直线l 与椭圆C 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －m ，x 2＋4y 2＝4，消去y ，得13x 2＋83mx ＋4m 2－4＝0，Δ＝192m 2－4×13×(4m 2－4)＝16(－m 2＋13)>0， 解得m 2<13，x 1＋x 2＝－83m13，x 1·x 2＝4（m 2－1）13，又点O 到直线l 的距离d ＝|m |2， |PQ |＝2|x 1－x 2|＝813－m 213， 所以S △OPQ ＝12·|m |2·813－m 213＝2m 2（13－m 2）13≤113(m 2＋13－m 2)＝1，当且仅当m 2＝13－m 2，即m ＝±262时，等号成立. 所以△OPQ 面积的最大值为1. 类型二 数形结合思想数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确. 应用1 数形结合思想在函数与方程中的应用【例4】 (1)记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }的最大值为( ) A.5 B.6 C.8D.10(2)(2019·石家庄模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0， g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A.[－1，0) B.[0，＋∞) C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)解析 (1)在同一坐标系中作出三个函数y ＝x 2＋1，y ＝x ＋3，y ＝13－x 的图象如图：由图可知，在实数集R 上，min{x 2＋1，x ＋3，13－x }为y ＝x ＋3上A 点下方的射线，抛物线AB 之间的部分，线段BC ，与直线y ＝13－x 上点C 下方的部分的组合图.显然，在区间[0，＋∞)上，在C 点时，y ＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }取得最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝13－x得点C (5，8).所以f (x )max ＝8.(2)函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1.答案 (1)C (2)C探究提高 1.第(1)题利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论；第(2)题把函数的零点或方程的根转化为两函数图象的交点问题，利用几何直观求解. 2.探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题.(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合.【训练4】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（－x ）12，x ≤0，log 5x ，x >0，函数g (x )是周期为2的偶函数且当x ∈[0，1]时，g (x )＝2x －1，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.5 B.6 C.7D.8解析 在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图所示，由图象可知当x >0时，有4个零点，当x ≤0时，有2个零点，所以一共有6个零点. 答案 B应用2 数形结合求解不等式与平面向量问题【例5】 (1)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A.－2 B.－32 C.－43D.－1(2)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是()A.25B.5C.4D.1解析 (1)如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0).设P (x ，y )，则P A →＝(－x ，3－y )，PB→＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y ).所以P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y)·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－32.当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB→＋PC →)取得最小值－32.(2)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0表示的平面区域(如图阴影部分).x 2＋y 2的最小值表示阴影部分(含边界)中的点到原点O (0，0)的距离的最小值的平方.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －y ＋1＝0，得A (1，2). ∴(x 2＋y 2)min ＝|OA |2＝12＋22＝5. 答案 (1)B (2)B探究提高 1.平面向量中数形结合关注点：(1)能建系的优先根据目标条件建立适当的平面直角坐标系；(2)重视坐标运算、数量积及有关几何意义求解.2.求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系解决问题.【训练5】 (1)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.(2)(2019·长沙调研)已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A.1 B.2 C. 2D.22解析 (1)在同一坐标系中，作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图.依题意可知2a ≤2－2a ，解得a ≤12.(2)因为(a －c )·(b －c )＝0，所以(a －c )⊥(b －c ).如图所示，设OC→＝c ，OA →＝a ，OB →＝b ， 则CA →＝a －c ，CB →＝b －c ， 所以AC →⊥BC →.又因为OA→⊥OB →，所以O ，A ，C ，B 四点共圆，当且仅当OC 为圆的直径时，|c |最大，且最大值为 2. 答案 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 (2)C应用3 圆锥曲线中的数形结合思想【例6】 已知抛物线的方程为x 2＝8y ，点F 是其焦点，点A (－2，4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________.解析 因为(－2)2<8×4，所以点A (－2，4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ .则△APF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PQ |＋|P A |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |， 当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |. 因为A (－2，4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12.故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12探究提高 1.对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解.2.应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.【训练6】 (2019·昆明诊断)设A ，B 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且|AB |＝3，点P 在直线l ：3x ＋4y －12＝0上运动，则|P A →＋PB →|的最小值为( ) A.3 B.4 C.175D.195解析 设AB 的中点为D ，则P A →＋PB→＝2PD →，∴当且仅当O ，D ，P 三点共线且OP ⊥l 时，|P A →＋PB →|取得最小值. ∵圆心到直线l 的距离为129＋16＝125，|OD |＝1－34＝12，∴|P A →＋PB→|的最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫125－12＝195.答案 D类型三 分类讨论思想分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.应用1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例7】 若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________. 解析 若a >1，有a 2＝4，a －1＝m . 解得a ＝2，m ＝12.此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意. 若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ， 故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意. 答案 14探究提高 指数函数、对数函数的单调性取决于底数a ，因此，当底数a 的大小不确定时，应分0<a <1，a >1两种情况讨论.【训练7】 (1)(2019·济南调研)已知S n 为数列{a n }的前n 项和且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A.8 B.10 C.16D.32(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧sin （πx 2），－1<x <0，e x －1，x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的取值集合是________.解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2. 因为S n ＝2a n －2，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，两式相减得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，则数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，则a n ＝2n ， 有S 5－S 4＝a 5＝25＝32. (2)f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1. 当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， 所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z ).所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12， 因为－1<a <0，所以a ＝－22. 则实数a取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1. 答案 (1)D(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1 应用2 由参数变化引起的分类讨论【例8】 (2018·北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求a ； (2)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围. 解 (1)由f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ， 得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x . f ′(2)＝(2a －1)e 2.由题设知f ′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x .若a >1，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值.若a ≤1，则当x ∈(0，1)时，ax －1≤x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点.综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞).探究提高 1.若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论.2.如果参数有明确的几何意义，在讨论时还应适当地运用数形结合思想.注意分类标准要明确统一，做到“不重不漏”.【训练8】 已知函数f (x )＝mx 2－x ＋ln x .若在函数f (x )的定义域内存在区间D ，使得该函数在区间D 上为减函数，则实数m 的取值范围为________.解析 f ′(x )＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x(x >0)，即2mx 2－x ＋1<0在(0，＋∞)上有解. 当m ≤0时显然成立；当m >0时，由于函数y ＝2mx 2－x ＋1的图象的对称轴x ＝14m >0，故需且只需Δ>0，即1－8m >0，故m <18.综上所述，实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，18.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，18应用3 由图形位置或形状引起的分类讨论【例9】 (1)已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝( ) A.－12 B.12 C.0D.－12或0(2)设点A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，3]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞)D.(0，3]∪[4，＋∞)解析(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示.由图可知，若要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有当直线kx －y ＋1＝0与直线y 轴或y ＝2x 垂直时才满足.结合图形可知斜率k 的值为0或－12.(2)当0<m <3时，焦点在x 轴上，若曲线C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则ab ≥tan 60°＝3，即3m≥3，得0<m ≤1；当m >3时，焦点在y 轴上，依题设，则ab ≥tan 60°＝3，即m3≥3，得m ≥9.故m 的取值范围为(0，1]∪[9，＋∞)，故选A. 答案 (1)D (2)A探究提高 1.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.2.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.【训练9】 (1)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为2，则a 的值为________.解析 (1)不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0. 若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32. ∴曲线C 的离心率为12或32.(2)由三角形面积公式，得12×3×1×sin A ＝2， 故sin A ＝223.因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13.①当cos A ＝13时，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8， 所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝12，所以a ＝2 3.综上所述，a ＝22或2 3. 答案 (1)12或32 (2)22或23 类型四 转化与化归思想转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式. 应用1 特殊与一般的转化【例10】 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A.2aB.1 2aC.4aD.4 a(2)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________.解析(1)抛物线y＝ax2(a>0)的标准方程为x2＝1a y(a>0)，焦点F⎝⎛⎭⎪⎫0，14a.不妨设过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|＝|QF|＝12a ，∴1p＋1q＝4a.(2)由题意，不妨设b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)，则a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ).令y＝|a＋b|＋|a－b|＝（2＋cos θ）2＋sin2θ＋（cos θ－2）2＋sin2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y2＝10＋225－16cos2θ∈[16，20].由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝20＝25，(|a＋b|＋|a－b|)min＝16＝4，即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2 5.答案(1)C(2)42 5探究提高 1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.【训练10】(1)如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么()A.a1a8>a4a5B.a1a8<a4a5C.a 1＋a 8>a 4＋a 5D.a 1a 8＝a 4a 5(2)(2019·许昌模拟)在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a ＋c ＝3b ，则tan A 2tan C 2的值为( )A.15B.14C.12D.23解析 (1)取特殊数列{a n }，其中a n ＝n (n ∈N *).显然a 1·a 8＝8<a 4·a 5＝20.(2)令a ＝4，c ＝5，b ＝3，则符合题意(取满足条件的三边).则由∠C ＝90°，得tan C 2＝1，由tan A ＝43，得tan A 2＝12.所以tan A 2tan C 2＝12×1＝12.答案 (1)B (2)C应用2 正与反、常量与变量的转化【例11】 (1)设y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若t 在[－2，2]上变化时，y 恒取正值，则x 的取值范围是________.(2)若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________.解析 (1)设y ＝f (t )＝(log 2x －1)t ＋(log 2x )2－2log 2x ＋1，则f (t )是一次函数，当t ∈[－2，2]时，f (t )>0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）>0，f （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（log 2x ）2－4log 2x ＋3>0，（log 2x ）2－1>0，解得log 2x <－1或log 2x >3，即0<x <12或x >8，故实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞). (2)g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立.由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x .当x ∈(t ，3)时恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴使函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5. 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 探究提高 1.第(1)题是把关于x 的函数转化为在[－2，2]内关于t 的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以巧妙选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数.2.第(2)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.【训练11】 (1)(2019·日照调研)由命题“存在x 0∈R ，使e |x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的取值是( )A.(－∞，1)B.(－∞，2)C.1D.2(2)已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数.对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________. 解析 (1)命题的否定：“任意x ∈R ，使e |x －1|－m >0”是真命题，∴m <e |x －1|恒成立，∴m 取值范围为(－∞，1).因此(－∞，1)与(－∞，a )相等，故a ＝1.(2)由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）<0，φ（－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1. 故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 答案 (1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 应用3 函数、方程、不等式之间的转化【例12】 已知函数f (x )＝3e |x |.若存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的x ∈[1，m ]，m ∈Z 且m >1，都有f (x ＋t )≤3e x ，试求m 的最大值.解 ∵当t ∈[－1，＋∞)且x ∈[1，m ]时，x ＋t ≥0，∴f (x ＋t )≤3e x e x ＋t ≤e x t ≤1＋ln x －x .∴原命题等价转化为：存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得不等式t ≤1＋ln x －x 对任意x ∈[1，m ]恒成立.令h (x )＝1＋ln x －x (1≤x ≤m ).∵h ′(x )＝1x －1≤0，∴函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数，又x ∈[1，m ]，∴h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m .∴要使得对任意x ∈[1，m ]，t 值恒存在，只需1＋ln m －m ≥－1.∵h (3)＝ln 3－2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·3e >ln 1e＝－1，h (4)＝ln 4－3＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·4e 2<ln 1e＝－1，又函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， ∴满足条件的最大整数m 的值为3. 探究提高 1.函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助.2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.【训练12】 已知e 为自然对数的底数，若对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，总存在唯一的y ∈[－1，1]，使得ln x －x ＋1＋a ＝y 2e y 成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e B.⎝ ⎛⎦⎥⎤2e ，e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，e ＋1e 解析 设f (x )＝ln x －x ＋1＋a ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1， ∴f ′(x )＝1x －1＝1－x x ≥0，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上是增函数， 因此a －1e ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ≤f (x )≤f (1)＝a ， 设g (y )＝y 2e y ，则g ′(y )＝e y y (y ＋2)，则g (y )在[－1，0)上单调递减，在[0，1]上单调递增，且g (－1)＝1e <g (1)＝e.因为对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，存在唯一的y ∈[－1，1]，使得f (x )＝g (y )成立， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －1e ，a ⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，e ，⎩⎨⎧a －1e >1e ，a ≤e ，解得2e<a≤e. 答案 B。
专题七 解析几何 第二讲 圆锥曲线的概念与性质,与弦有关的计算问题——2022届高考理科数学三轮
③|F1A|＋|F1B|＝
2 p
；④以弦
AB
为直径的圆与准线相切．
[典型例题]
1.已知椭圆 T : x2 y2 1(a b 0) 的长半轴为 2，且过点 M 0,1 .
a2 b2 若过点 M 引两条互相垂直的直线 l1 ， l2 ，P 为椭圆上任意一点，
记点 P 到 l1 ， l2 的距离分别为 d1 ， d2 ，则 d12 d22 的最大值为( B )
C. x2 y
D. x2 1 y 2
[解析]
本题考查抛物线的定义、标准方程. 抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的准线方程为 y p .因为 | AF | 4 ，
2 所以由抛物线的定义得 p 3 4 ，解得 p 2 ，
2 所以抛物线 C 的方程为 x2 4 y .故选 A.
因为 | BC | 2 | BF | ，所以 | BC | 2 | BN | ，所以 BC 2 ，所以 BN 2 ，
CF 3
p3
所以 BN BF 4 ， BC 8 ，
3
3
[解析]
所以 CF 4 ,因为 p CF ， AM CA
所以 2 CF 4 4 , AM CF AF 4 AF 4 AM 4
则 d12 d22 x2 (1 y)2 ，因为 P 在椭圆上，所以 x2 4 4 y2 ，
所以
d12
d
2 2
5
3y2
2y
5
3
y
1 2 3
1 3
，
y [1,1]，
[解析]
所以当
y
1 3
时，
பைடு நூலகம்d12
d22
有最大值
16 3
，所以
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第2讲 几何问题中的方程思想
笛卡尔曾在《思维的法则》一书中提出过一个解决各种问题的“万能方法”：
任何问题→数学问题→代数问题→方程求解
可见利用图形中的数量关系，建立方程，把几何问题转化成代数问题，是一种非常重要的方法.
【例1】如图，在△ABC 中 ，AB =AC ，点D 在AC 上，且BD =BC =AD ，求△ABC 各角的度数.
【例2】 如图，已知正方形ABCD 的边长为a ，△PQA 是为等边三角形，求PB 的长。
A
B
C
D
A
B
C D
P
Q
变式1：如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B’C＝3，则AM的长是( )
A．1.5 B．2
C．2.25 D．2.5
变式2：如图，AB＝AC＝20，BC＝32，∠DAC＝90°．求BD的长．
【例3】如图，EF与GH把正方形ABCD分成四个矩形，其中矩形PHCF的面积是矩形AEPG的面积的2倍．求证：HF=BH+DF．
A
B C
D
G
H
E F
P
变式1：如图，△ABC内三个三角形的面积分别为5，8，10，求四边形AEFD的面积。
变式2：如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P，若RtΔGBF的周长为1，求矩形EPHD的面积.
归纳在几何问题中，如果图形中的边或角存在数量关系，通常设1-2个未知量，将其它未知的边或角表示出来，再利用三角形内角和或勾股定理或面积关系建立边或角的等量关系，从而列方程求解.
1.如图，在△ABC中，∠B=30°,∠ACB=120°,D是BC上一点，且∠ADC=45°，若CD=8，求BD的长.
2.已知线段AB的长为a．以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E．以AE为边在AB的上方作正方形AENM．过E作EF⊥CD．垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等．则AE的长为________________．
3.已知 ABCD，AB=4，BC=6，AC=5，求BD的长.
A
B C
D
1.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为________.
2.如图，在△ABC中，∠C= 90°，AD平分∠CAB交CB于D，CD=3,BD=5，求AD的长.
3.如图，已知S△ABC=60，AD：DB=1:3，CE：AE=1:2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由.
4.如图，A（0，4），C（-3，0），点Q为x轴上一点，点P为平面内一点，若四边形APCQ为菱形，求点P的坐标.
A′
D C
5.如图，A 、B 、C 三个村庄在一条东西走向的公路沿线上，AB ＝2km ，BC ＝3km ，在B 村的正北方向有一D 村，测得∠ADC ＝45°，今将△ADC 区域规划为开发区，除其中2km 4的水塘外，均作为建筑及绿化用地，试求此建筑及绿化用地的面积.(一题多解）。