用方程思想解几何题
茶陵县五中九年级数学上册第二章一元二次方程6应用一元二次方程第1课时利用一元二次方程解决几何问题教案
6 应用一元二次方程第1课时利用一元二次方程解决几何问题【知识与技能】使学生会用一元二次方程解应用题.【过程与方法】进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生运用数学的意识.【情感态度】通过列方程解应用题，进一步体会运用代数中方程的思想方法解应用题的优越性.【教学重点】实际问题中的等量关系如何找.【教学难点】根据等量关系设未知数列方程.一、情境导入，初步认识列方程解应用题的步骤是什么？①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答.【教学说明】初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决.但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用.二、思考探究，获取新知问题：有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）分析：设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为(2x+6)尺，宽为（2x+3）尺，利用台布的面积是桌面面积的2倍构建方程可获得结论.解：设四周垂下的宽度为x尺时，依题意可列方程为（6+2x）(3+2x)=2×6×3.整理方程，得2x2+9x-9=0.解得x1≈0.84，x2≈-5.3(不合题意，舍去).即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.【教学说明】注意引导学生分析、理清题目中的数量关系，挖掘已知条件与要解决问题，激发学生解决问题的欲望，体会数形结合思想的应用.三、运用新知，深化理解1.见教材P52例1.2.直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为（ B ）A.37B.5C.38D.73.从正方形铁皮的一边切去一个2cm宽的长方形，若余下的长方形的面积为48cm2，则原来正方形的铁皮的面积为64cm2.4.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中间的矩形图案的长为6m，宽为3m，若整个地毯的面积为40m2，求花边的宽.解：设花边的宽为x m，依题意有（6+2x）（3+2x）=40，解得x1=1，x2=112-（不合题意应舍去）.即花边的宽度为1m.5.如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.（1）若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽；（2）如果墙长为18m，则（1）中长方形鸡场的长和宽分别是多少？（3）能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由.分析:如图，若设BC = x m，则AB的长为352x-m，若设AB = x m，则BC=(35-2x)m，再利用题设中的等量关系，可求出（1）的解；在（2）中墙长a = 18m意味着BC边长应小于或等于18m，从而对（1）的结论进行甄别即可；（3）中可借助（1）的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得到结论.解:（1）设BC=xm，则AB=CD=352x-m，依题意可列方程为x·352x-=150，解这个方程，得x1=20，x2=15.（2）当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15m和10m;（3）不能围成面积为160m2的长方形鸡场，理由如下：设BC = x m，由（1）知AB=352x-m，从而有x·352x-=160，方程整理为x2-35x+320=0.此时Δ=352-4×1×320=1225-1280＜0，原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160m2的鸡场.6.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.（1）如果P，Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2？（2）点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？分析：（1）如果P，Q同时出发，x s后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，此时△PCQ的面积为12×2x（6-x），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意值；（2）△ABC的面积的一半等于12×12AC·BC=12（cm2），令12×2x（6-x）=12，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在.解：（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2.由题意得AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，则12·（6-x）·2x=8.整理，得x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4.所以P，Q同时出发2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.（2）由题意，得S△AB C=12AC·BC=12×6×8=24（cm2），令12×2x×（6-x）=12×24，x2-6x+12=0，b2-4ac=62-4×12=-12<0，该方程无实数解，所以不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻.四、师生互动、课堂小结1.回顾、整理并总结，让学生在活动中积累实践经验，理解建立数学模型的重要性.2.独立完成以上例题.1.布置作业：教材“习题2.9”中第2、3、4题.2.完成练习册中相应练习.本课时无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己的机会，在此过程中发现并总结学生存在的思维误区，便于今后的教学.课堂上注意激发学生的学习热情，帮助学生形成积极主动的求知态度.实际问题与二次函数一、知识点1、实物抛物线一般步骤①据题意，结合函数图象求出函数解析式；②确定自变量的取值范围；②据图象，结合所求解析式解决问题.2、实际问题中求最值①分析问题中的数量关系，列出函数关系式；②研究自变量的取值范围；③确定所得的函数；④检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；④解决提出的实际问题.3、结合几何图形①根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；③根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；④利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题二、标准例题：例1：如图，斜坡AB长10米，按图中的直角坐标系可用y=33-x+5表示，点A，B分别在x轴和y轴上．在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛物线可用y=13-x2+bx+c表示．（1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）；（2）求水柱离坡面AB的最大高度；（3）在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？【答案】（1）y=-1 3x2+433x+5；（2）当x=532时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为254；（3）水柱能越过树，理由见解析【解析】（1）∵AB=10、∠OAB=30°，∴OB=12AB=5、OA =10×32=53，则A（53，0）、B（0，5），将A、B坐标代入y=-13x2+bx+c，得：17553035b cc⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩，解得：4335bc⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y=-13x2+433x+5；（2）水柱离坡面的距离d=-13x2+433x+5-（-33x+5）=-13x2+533x=-13（x2-53x）=-13（x-532）2+254，∴当x=532时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为254；（3）如图，过点C作CD⊥OA于点D，∵AC =2、∠OAB =30°， ∴CD =1、AD =3， 则OD =43，当x =43时，y =-13×（43）2+433×43+5=5＞1+3.5， 所以水柱能越过树．总结：本题考查了二次函数的应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．例2：某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用20m 长的篱笆围成一个矩形ABCD （篱笆只围,AB BC 两边），设AB x =m .（1）若花园的面积为962m ，求x 的值；（2）若在P 处有一棵树与墙,CD AD 的距离分别是11m 和5m ，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S 的最大值.【答案】（1）x 的值为8或12；（2）当9x =时，S 的值最大，最大值为99【解析】解：（1）(20)96x x -=，18x =，212x =x 的值为8或12（2）依题意得52011x x ≥⎧⎨-≥⎩，得59x ≤≤ 2(20)(10)100S x x x =-=--+当59x ≤≤时，S 随x 的增大而增大，所以，当9x =时，S 的值最大，最大值为99总结：此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系与不等关系进行求解. 例3：一家商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件（1）若降价3元，则平均每天销售数量为件；（2）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？（3）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润的最大值是多少元？【答案】（1）26；（2）每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元；（3）当每件商品降价1 5元时，该商店每天销售利润最大值为1250元．【解析】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3＝26件．故答案为：26；（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元，根据题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200 整理，得x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20要求每件盈利不少于25元∴x2＝20应舍去，解得x＝10答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．（3）设每件商品降价n元时，该商店每天销售利润为y元则：y＝（40﹣n）（20+2n）y＝﹣2n2+60n+800n＝﹣2＜0∴y有最大值当n＝15时，y有最大值＝1250元，此时每件利润为25元，符合题意即当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大值为1250元．总结：本题主要考查一元二次方程的应用问题，特别注意函数的取值范围，再求最大值是要先分析函数的取值范围，在计算函数值的最大值.例4：随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售第一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系.（1）求y与x之间的关系式；（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可用1122p x=+来描述。
[全]高考数学解题技巧：函数与方程思想的八类应用(附例题详解)
![[全]高考数学解题技巧：函数与方程思想的八类应用(附例题详解)](https://img.taocdn.com/s3/m/ea53aff8ba1aa8114531d97e.png)
[全]高考数学解题技巧：函数与方程思想的八类应用（附例题详解）1．函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。
2．方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。
3．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a 属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。
4．函数方程思想的几种重要形式（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。
函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点；（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；（3）数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；（4）函数f(x)＝nbax)(（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；（5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；（6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
运用方程思想解决几何问题“六法”_
１
６
所以２
S△ABC ＝３．
x２ －１
２
x＋１
５＝０,解 得 x１ ＝３－ ,
２
２
x２ ＝３＋
３＋
６
６
(舍去),此时Байду номын сангаас 求 出 AF ＝６－ ３－
＝
２
２
(
)
６
所 以 存 在 直 线 EF 将 Rt△ABC 的 周 长 与
＜５．
２
解法探究
２０２４ 年 １ 月下半月
面积同时平分,且 AE 的长为３－
解 x１ ＝ ３,
又 ３＋x１ ＝３＋ ３＞４,所
x２ ＝－ ３(舍去)．
６
．
２
１
(ⅱ )若点 F 与 B 重合,如图 ９,由 S△AEB ＝ S△ABC
２
可知 E 为 AC 的 中 点,由 于 BC ＜AB ,故 BC ＋CE ＜
AE ＋AB ,所以不存在满足题设要求的直线 EF ．
分线,
已知 BD ＝２
０,
EF＝１
５,求
EF 平 分 Rt△ABC 的 周 长,设
解:设矩 形 的 长 AB ＝x,
图５
宽 BC ＝y．在 Rt△BAD 中,
BD２ ＝ AD２ ＋ AB２ ,即
２
因为 EF 是 BD 的垂直平分线,则有 BO＝
x２ ＋y２ ＝２
０．
所以 △OFD≌△OEB．
所以 OE＝OF＝７．
°,所 以 可 得
７１
解法探究
２０２４ 年 １ 月下半月
△BED ∽△BCA ．
DE BD
k
９＋k
初二数学几何题解题技巧
初二数学几何题解题技巧（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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巧用方程思想妙解几何试题
‘ ． ．
＝
因 此 ＬＢ Ｄ 的 度 数 为 １０ ． Ａ ０。
三 求 图 形 的 面 积
因此ｓ ＝ × × ：５ｋ ， △。 ÷ ５ ６ １（ｍ）建筑用地及绿
Ｄ
例 ５ 如 图 ５ Ａ， Ｃ三 个 村 ， Ｂ， 庄在一条东西走 向的公路沿线 上 ， Ａ ＝２ ｉ， Ｃ ＝ ｋ ， Ｂ ｋ Ｂ ｎ ３ ｉ 在 村 的 正 Ｅ ｎ 北方 向有 一 ＿ 村 ， 得 ／ Ｄ ： Ｄ 测 ＿Ａ Ｃ ４ 。今 将 ＡＡ Ｃ 区 域 规 划 为 开 发 ５． Ｄ
Ｃ
区， 除其中 ４ ｉ ｋ 的水 塘外 ， ｎ 均作 为
在 ＡＡ Ｅ中 ， ＬＡ Ｂ＋ＬＢ Ｅ＝１０ Ｂ ２ Ｅ Ａ ８。
Ｉ （０ ＋ １（ ￣２ ３ 。 ） Ｐ
１ ０ｏ。 ．
６。 ０ ）：１Ｏ ８。
在 Ｒ ＡＡ Ｇ中 ， （ ｔ Ｃ 有 一２ ＋（ 一 ） ５． ） ３ ＝ 解 这 个 方 程 得 。 ６ ： 一１ 舍 去 ） ＝ ， （ ．
；。。。．。。．。。。 ＋．．＋．．＋＋＋
Ｄ
例 ２ 如 图 ２ 四边 形 Ａ Ｃ 为 梯 ， ＢＤ
形 ，Ｂ／ Ｄ， Ｂ Ａ ／Ｃ ＬＡ Ｃ＝９ 。 Ａ ＝９厘 ０ ，Ｂ
米 ， Ｃ＝ Ｂ ８厘 米 ， Ｄ ＝７厘 米 ， 为 Ａ Ｃ Ｄ
的 中点 ， 过 作 Ａ 的 垂 线 交 Ｂ Ｄ Ｃ
＝
＝ ６，
ｒ ＋ 卢＝ ，
①
ｌ＋ ＝０ ＋ｔ 口 ３。 Ｏ ．
② 一① ， 得 ＝３ 。 ． ０一
・
．
②
设 Ｂ ，０ Ｆ＝ Ｆ＝８一 Ｆ＝ 贝 Ｅ Ａ ． 根据勾股定 理得 Ｅ ２ Ｅ 曰 ． Ｆ ＝Ｂ ＋
方程思想在解决几何问题中的运用
龙源期刊网
方程思想在解决几何问题中的运用
作者：郭永兰
来源：《甘肃教育》2018年第15期
【关键词】数学教学；几何问题；方程思想
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A
【文章编号】 1004—0463（2018）15—0125—01
方程思想是初中数学中的基本思想。
方程思想是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
一般人们把代数称为“数”，把几何图形称为“形”，往往认为方程属于“数”的范畴，只有在解代数问题时才会想到运用方程，而解几何问题时会把方程抛之脑后，其实“数”与“形”在一定条件下是可以相互转化的。
有些几何问题表面上看起来与代数问题无关，只要找到几何图形中隐含的等量关系，就可以利用代数方法“列方程”来解决。
下面举例谈谈方程思想在解决几何问题中的经典运用。
一、运用直角三角形的边与角的关系
在运用三角函数（直角三角形的边与角的关系）解决问题的过程中，往往把所求的量看作未知量，其余有关的量用含有未知量的式子表示出来并集中在一个直角三角形中，再通过直角三角形的边与角的关系列出关于未知量的方程以达到求解的目的。
总之，方程思想应用非常广泛，而熟练地利用方程思想解决问题，要做到以下两点：第一要具备用方程思想解题的意识。
第二要根据已知条件，寻找等量关系列方程。
数学思想是数学的精髓和灵魂，是对数学内容的一种本质认识。
作为数学教师，更应该以培养学生数学思想为目标，让孩子们拥有终身受益的数学思想方法。
编辑：张昀。
方程思想
方程思想方程思想就是一种重要的数学思想。
所谓方程思想就是指从分析问题的数量关系入手,将问题中的已知量与未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组),然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式。
用方程思想解题的关键就是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
一、掌握代数题构建方程模型的方法----A、用概念、定义B、公式C、基本的数量关系。
1、若单项式-3a2-m b与b n+1a2就是同类项,求代数式m2-(-3mn+3n2)+2n2的值2.关于x的方程0--xx-m m就是一元二次方程,则+3)3(12=m ;=3、直线y=2x+m与两坐标轴围成的三角形面积为5,则m=4、某书店老板去批发市场购买某种图书,第一次购书共用了100元,按该书定价2、8元并很快售完、由于该书畅销,第二次购书时,每本的批发价比第一次高0、5元,共用去了150元,所购图书数量比第一次多10本,当这批书按定价2、8元售出时,出现滞销,便以定价的5折售完剩余的图书,问:该老板第二次售书就是赔钱,还就是赚钱了? (不考虑其她因素)若赔钱,赔多少,若赚,赚多少?二、掌握几何题构建方程模型的方法1.如图,已知在RtΔABC中,∠C=90º,AD就是ΔABC的角平分线,点E在AB 上,DE∥CA,如果CD=12,BD=15,求AE、BE的长。
E分析:借助“勾股定理”与“相似图形对应线段成比例定理”,建立方程(组)。
2.如图,两个半径为r的等圆,互相外切且与直角三角形的三边内切,∠C=90°,AC=8,BC=6,求r。
DA B EC O O 分析:借助 建立方程。
3、如图,⊙O 的弦AB ⊥半径OE 于D,若AB=12,DE=2,则⊙O 的半径就是分析:借助 建立方程。
4、如图4,就是用8个完全相同的小长方形镶嵌而成的长方形图案。
已知该图案的宽为40cm,其中一个小长方形的面积为 。
巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题
巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题【内容提要】：数学思想是数学的灵魂，任何数学问题的解决都是数学思想作用的结果，因此正确理解和掌握数学思想是数学学习的关键。
今天所说的方程思想就是一种十分重要的数学思想。
本文对初中数学中方程思想在勾股定理中的应用作了探讨，并结合具体案例说明了方程的思想与勾股定理解决折叠问题的应用。
关键词：方程思想；勾股定理；折叠问题；方程思想在勾股定理中的应用案例一、方程思想是什么呢？从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
通过方程里面的已知量求出未知量的过程就是解方程，用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
二、勾股定理与方程思想的地位与作用勾股定理是几何中最重要的定理之一，它也是直角三角形的一条重要性质，同时由勾股定理及其逆定理，能够把形的特征转化成数量关系，它把形与数密切地联系起来，因此，它在理论上也有重要地位。
方程思想是初中数学中一种基本的数学思想方法，方程可以清晰的反应已知量和未知量之间的关系，架起沟通已知量和未知量的桥梁。
利用勾股定理作为相等关系建立方程可以解决许多相关问题。
三、初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）在三大图形变换中是比较重要的，折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果。
折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用.在初中数学中经常涉及到折叠的典型问题，只要从中抽象出基本图形的基本规律，就能找到解决这类问题的常规方法。
1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换，折叠重合部分一定全等。
2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等。
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①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）
②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；
（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜
边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时
平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理
由．
C
A D
B
[综合训练 2] 已知抛物线 C1∶y1＝12x2－x＋1，点 F(1，1)． (1)求抛物线 C1 的顶点坐标； (2)①若抛物线 C1 与 y 轴的交点为 A，连接 AF，并延长交抛物 线 C1 于点 B，求证：A1F＋B1F＝2； ②取抛物线 C1 上任意一点 P(xP，yP)(0<xP<1)，连接 PF，并延 长交抛物线 C1 于点 Q(xQ，yQ)，试判断P1F＋Q1F＝2 是否成立？请说 明理由；
用方程思想解应用题的一般步骤：
①审 ②设 ③列 ④解 ⑤验 ⑥答
1、Rt⊿ABC中，∠C= Rt∠， AC=6，
24 BC=8，则斜边AB上的高线CD=———5———
B
2、如图， ⊿ABC中，D、E是AB、AC上的 点，且DE∥BC，若DE=2，BC=3，DB=1则
AD的长是———2———
D
B
C
D
C
6
由。
如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，
AB∥CD，AB=1，CD=6，
（2）若设AD=m，在线段
A 1B
AD上存在唯一的一个点P，
P
使得以点P、A、B为顶点的
三角形和以点P、C、D为顶
点的三角形相似？求m的取
值范围。
D
C
6
如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，
AB∥CD，AB=1，CD=6，
A D
A
E C
3、如图，⊙O的弦AB⊥半径OE于D，若AB=12，
DE=2，则⊙O的半径是———1—0——
o
AD
B
E
4、 在RtABC中， C Rt, AB AC 2, SinB 4 ,
5
求AC的长. AC=8
A
B
C
常用的等量关系：
1、Rt⊿ABC中，∠C= Rt∠， AC=6，
24 BC=8，则斜边AB上的高线CD=———5———
3.设好未知数后，要尽量把已知条件在图上标出来； 4. 要尝试一题多解,选择最优方案
如图，在 ABCD中，AE、AF是两条高
线，∠EAF=60°，CE=6，CF=3，
（1）求线段BE的长。
（2）求 ABCD的面积。 A
D
60°
F
B E
3 C
6
1
2
3
4
2
8
A B'
x？ 1
2
6E
10
B
10
D
6
3
C
2
5
求AC的长. AC=8
A
解直角三角形中边角关系
B
C
如图，EB是直径，O是圆心，CB、CD切半圆于B、D 、CD交BE延长线于A点，若BC=6，AD=2AE，求半圆 的面积。
C
D
A
E
O
B
如图，已知矩形ABCD中，E是AB上一点， 沿EC折叠，使点B落在AD边的B‘处，若AB=6， BC=10，求AE的长。
8
A B'
D
？x 6-x
6E
6-x
10
6
B
C
10
2
8
A B'
D
？x
6E
6-x
10 6
B
C
10
2
8
A B'
？x 1
2
6E
10
B
10
D
6
3
C
A
2x Bx E
6+x
D
2x-3
F
3
6
C
A
6+x
D
2x Bx E
32x 3
6
2x-3
F
3
C
A
6+x
D
2x
60° 32x 3
3x
2x-3
F
B x 6+Ex 6
3
C
A
6+x
30°
2x
Bx E
6
D
2x-3
F
3
C
A
B
P
D
C
A
B
P
A
B
D
综合训练1
1 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高,
点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，
设AE＝x，△AEF的面积为y．
( 1）求线段AD的长； （2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，
面积不变性
B
2、如图， ⊿ABC中，D、E是AB、AC上的
点，且DE∥BC，若DE=2，BC=3，BD=1,
则AD的长是———2———
相似性质
D
B
C
A D
A
E C
3、如图，⊙O的弦AB⊥半径OE于D，若AB=12，
DE=2，则⊙O的半径是———1—0——
勾股定理
o
AD
B
E
4、 在RtABC中， C Rt, AB AC 2, SinB 4 ,
A B'
D
？
6E
B
C
10
1
2
3
4
如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，
AB∥CD，AB=1，CD=6，
பைடு நூலகம்
（1）若AD=5，在线段AD
A 1B
上是否存在点P，使得以点P、
P
A、B为顶点的三角形和以点
P、C、D为顶点的三角形相
似？若存在，这样的点P有
几个？它们到点A的距离是 多少？若不存在，请说明理
（3）设AD=m，若在线段
AD上存在两个点P，使得以 点P、A、B为顶点的三角形 和以点P、C、D为顶点的三
角形相似？求m的值。
A 1B
P
D
C
6
课堂小结
1.要善于用方程思想解决几何问题； 2.几何图形中常用的等量关系是： ①面积不变性 ② 勾股定理 ③ 相似三角形 的性质 ④直角三角形的边与角的关系 ；
(3)将抛物线 C1 作适当的平移，得抛物线 C2∶y2＝12(x－h)2，若 2<x≤m 时，y2≤x 恒成立，求 m 的最大值．
解：(1)∵y1＝12x2－x＋1＝12(x－1)2＋12，
∴抛物线 C1 的顶点坐标为1，12. (2)①根据题意，可得点 A(0，1)， ∵F(1，1)， ∴AB∥x 轴，得 AF＝BF＝1，
∴A1F＋B1F＝2；
②P1F＋Q1F＝2 成立； 理由如下，如图，过点 P(xp，yp)作 PM⊥AB 于点 M.则 FM＝1－xp，PM＝1－yp， (0＜xp＜1)，∴Rt△PMF 中，由勾股定理， 得 PF2＝FM2＋PM2＝(1－xp)2＋(1－yp)2，又点 P(xp，yp)在抛物线 C1 上， 得 yp＝12(xp－1)2＋12，即(xp－1)2＝2yp－1， ∴PF2＝2yp－1＋(1－yp)2＝y2p，即 PF＝yp. 过点 Q(xQ，yQ)作 QN⊥AB，与 AB 的延长线交于点 N， 同理可得 QF＝yQ. ∵∠PMF＝∠QNF＝90°，∠MFP＝∠NFQ，∴△PMF∽△QNF， 有QPFF＝PQMN，这里，PM＝1－yp＝1－PF，QN＝yQ－1＝QF－1， ∴QPFF＝Q1－F－PF1，即P1F＋Q1F＝2.
(3)令 y3＝x， 设其图象与抛物线 C1 的交点的横坐标为 x0，x′0，且 x0＜x′0，