用方程思想解几何题解析
[全]高考数学解题技巧：函数与方程思想的八类应用(附例题详解)
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[全]高考数学解题技巧：函数与方程思想的八类应用（附例题详解）1．函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。
2．方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。
3．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a 属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。
4．函数方程思想的几种重要形式（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。
函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点；（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；（3）数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；（4）函数f(x)＝nbax)(（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；（5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；（6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
运用方程思想解决几何问题“六法”_
１
６
所以２
S△ABC ＝３．
x２ －１
２
x＋１
５＝０,解 得 x１ ＝３－ ,
２
２
x２ ＝３＋
３＋
６
６
(舍去),此时Байду номын сангаас 求 出 AF ＝６－ ３－
＝
２
２
(
)
６
所 以 存 在 直 线 EF 将 Rt△ABC 的 周 长 与
＜５．
２
解法探究
２０２４ 年 １ 月下半月
面积同时平分,且 AE 的长为３－
解 x１ ＝ ３,
又 ３＋x１ ＝３＋ ３＞４,所
x２ ＝－ ３(舍去)．
６
．
２
１
(ⅱ )若点 F 与 B 重合,如图 ９,由 S△AEB ＝ S△ABC
２
可知 E 为 AC 的 中 点,由 于 BC ＜AB ,故 BC ＋CE ＜
AE ＋AB ,所以不存在满足题设要求的直线 EF ．
分线,
已知 BD ＝２
０,
EF＝１
５,求
EF 平 分 Rt△ABC 的 周 长,设
解:设矩 形 的 长 AB ＝x,
图５
宽 BC ＝y．在 Rt△BAD 中,
BD２ ＝ AD２ ＋ AB２ ,即
２
因为 EF 是 BD 的垂直平分线,则有 BO＝
x２ ＋y２ ＝２
０．
所以 △OFD≌△OEB．
所以 OE＝OF＝７．
°,所 以 可 得
７１
解法探究
２０２４ 年 １ 月下半月
△BED ∽△BCA ．
DE BD
k
９＋k
巧用方程思想妙解几何试题
‘ ． ．
＝
因 此 ＬＢ Ｄ 的 度 数 为 １０ ． Ａ ０。
三 求 图 形 的 面 积
因此ｓ ＝ × × ：５ｋ ， △。 ÷ ５ ６ １（ｍ）建筑用地及绿
Ｄ
例 ５ 如 图 ５ Ａ， Ｃ三 个 村 ， Ｂ， 庄在一条东西走 向的公路沿线 上 ， Ａ ＝２ ｉ， Ｃ ＝ ｋ ， Ｂ ｋ Ｂ ｎ ３ ｉ 在 村 的 正 Ｅ ｎ 北方 向有 一 ＿ 村 ， 得 ／ Ｄ ： Ｄ 测 ＿Ａ Ｃ ４ 。今 将 ＡＡ Ｃ 区 域 规 划 为 开 发 ５． Ｄ
Ｃ
区， 除其中 ４ ｉ ｋ 的水 塘外 ， ｎ 均作 为
在 ＡＡ Ｅ中 ， ＬＡ Ｂ＋ＬＢ Ｅ＝１０ Ｂ ２ Ｅ Ａ ８。
Ｉ （０ ＋ １（ ￣２ ３ 。 ） Ｐ
１ ０ｏ。 ．
６。 ０ ）：１Ｏ ８。
在 Ｒ ＡＡ Ｇ中 ， （ ｔ Ｃ 有 一２ ＋（ 一 ） ５． ） ３ ＝ 解 这 个 方 程 得 。 ６ ： 一１ 舍 去 ） ＝ ， （ ．
；。。。．。。．。。。 ＋．．＋．．＋＋＋
Ｄ
例 ２ 如 图 ２ 四边 形 Ａ Ｃ 为 梯 ， ＢＤ
形 ，Ｂ／ Ｄ， Ｂ Ａ ／Ｃ ＬＡ Ｃ＝９ 。 Ａ ＝９厘 ０ ，Ｂ
米 ， Ｃ＝ Ｂ ８厘 米 ， Ｄ ＝７厘 米 ， 为 Ａ Ｃ Ｄ
的 中点 ， 过 作 Ａ 的 垂 线 交 Ｂ Ｄ Ｃ
＝
＝ ６，
ｒ ＋ 卢＝ ，
①
ｌ＋ ＝０ ＋ｔ 口 ３。 Ｏ ．
② 一① ， 得 ＝３ 。 ． ０一
・
．
②
设 Ｂ ，０ Ｆ＝ Ｆ＝８一 Ｆ＝ 贝 Ｅ Ａ ． 根据勾股定 理得 Ｅ ２ Ｅ 曰 ． Ｆ ＝Ｂ ＋
列一元二次方程解几何问题
9
2 (中考·黔西南州)某校准备修建一个面积为180平方
米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的
宽为x米，则可列方程为( )
A．x(x－11)＝180
B．2x＋2(x－11)＝180
C．x(x＋11)＝180
D．2x＋2(x＋11)＝180
4．四周一片（ ），听不到一点声响。 5．越是在紧张时刻，越要保持头脑的（ ）。
八、句子工厂。
1．世界上有多少人能亲睹她的风采呢？ （陈述 句）
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文 化宝库 中一颗 璀璨的 明珠。 （缩写 句子） ___________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ 3．我在她面前只停留了短短的几分钟。 她已经 成了我 灵魂的 一部分 。（用 关联词 连成一 句话） __________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _____
1、世上没有绝望的处境，只有对处境 绝望的 人。 2、挑水如同武术，武术如同做人。循序 渐进， 逐步实 现目标 ，才能 避免许 多无谓 的挫折 。
3、别想一下造出大海，必须先由小河川 开始。 4、自信是所有成功人士必备的素质之一 ，要想 成功， 首先必 须建立 起自信 心，而 你若想 在自己 内心建 立信心 ，即应 像洒扫 街道一 般，首 先将相 当于街 道上最 阴湿黑 暗之角 落的自 卑感清 除干净 ，然后 再种植 信心， 并加以 巩固。 信心建 立之后 ，新的 机会才 会随之 而来。
用一元二次方程解几何问题
为7x cm,依题意得
(27 18x)(21 14x) 3 27 21 4
解得
x1
6
3 4
3
(不合意，舍去)，x2
=
6—3 4
3
∴上、下边衬的宽均为 1.8 cm ，左、右
边衬的宽均为 1.4 cm
感悟新知
思考：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单
地解决上面的问题? 请你试一试．
解： 设正中央的矩形两边长分别为9x cm，7x cm.
认知基础练
6 用配方法解一元二次方程x2＋2x－1＝0， 可将方程配方为( A ) A．(x＋1)2＝2 B．(x＋1)2＝0 C．(x－1)2＝2 D．(x－1)2＝0
认知基础练
3 【2020·贵阳十七中期中】将代数式x2－10x＋5配方 后，发现它的最小值为( B ) A．－30 B．－20 C．－5 D．0
方法技巧练
【点拨】根据a2＋b2＝12a＋8b－52，可以求得a，b的 值 ， 由 a ， b ， c 为 正 整 数 且 是 △ABC 的 三 边 长 ， c 是 △ABC的最短边长，即可求得c的值．
方法技巧练
解：将已知等式两边同时加上 2， 得 x2＋x12＋2＋2x＋1x＝2， 即x＋1x2＋2x＋1x＝2. 设 x＋1x＝y，则x＋1x2＋2x＋1x＝2 可化为 y2＋2y ＝2.配方，得 y2＋2y＋1＝2＋1，∴(y＋1)2＝3.
方法技巧练
开平方，得 y＋1＝± 3. 解得 y1＝ 3－1，y2＝－ 3－1. ∴x＋1x＝ 3－1 或 x＋1x＝－ 3－1. 经检验，不存在实数 x 使 x＋1x＝ 3－1，故舍去． ∴x＋1x＝－ 3－1.
认知基础练
2 将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( D ) A．(a＋2)2－1 B．(a＋2)2－5 C．(a＋2)2＋4 D．(a＋2)2－9
高考解析几何题“设而不求”解题法的应用
高考解析几何题“设而不求”解题法的应用数学问题的解答中，思维方法往往是解题的突破口。
若思维得法，解题就会一气呵成。
“设而不求法”指利用题设条件，巧妙设元，通过整体替换再消元或减元，达到运算中以简驭繁的目的的一种解题方法。
“设而不求”解题思想是高考解析几何题常利用的方法之一，它通过设而不求的策略，可以使复杂的问题简单化，解题准确、快捷。
解析几何问题“设而不求”的解题思想的常见方法有：设而不求整体化归、利用韦达定理、代点相减法、利用曲线系方程整体消元法等。
一、设而不求，整体化归通过巧设坐标或参数，应用性质进行化归，整体消元，绕开复杂的运算过程，从而使问题得到迅速解决。
例1.（2011高考模拟）如图1，已知椭圆x2+2y2=8和定点p（4，1），过p作直线交椭圆于a、b两点，在线段ab上取点q，使ap/pb=-aq/qb，求动点q的轨迹方程。
分析：b、q、a、p在同一线段上，且ap/pb=-aq/qb，故可设ap/pb=k，于是b、q、a、p坐标之间的联系就找到了，把b、a点的坐标及k 设而不求，通过消元的办法找出q点坐标的关系式，即求出q点的轨迹方程。
解：设q（x，y），a（x1，y1），b（x2，y2），ap/pb=k，则4=■，1=■x=■，y=■∴4x=■，2y=■两式相加得4x+2y=■=8所以q点的轨迹方程为2x+2y=4（在已知椭圆内）点评：通过坐标或参数设而不求，巧妙化归，整体消元，解题过程变得顺畅、完美。
例2.（2010高考模拟）p0（x0，y0）是双曲线的■-■=1上的一点，过点p作两渐近线的平行线，分别与另一渐近线交于q、r，求证四边形orpq的面积为定值。
分析：设oq、or的倾斜角分别为？琢，？茁，夹角为？兹，且有tａｎ？琢＝■，tａｎ？茁＝-■，cos？琢＝■，cos？茁＝-■，则直线pr的方程为y=■（x-x0）+y0，直线qr的方程为y=-■（x-x0）+y0，分别与双曲线方程联立解得xr=■-■y0，xq=■+■y0。
用方程思想解几何题市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
8
A B'
D
？x 6-x
6E
6-x
106Biblioteka BC102
8
A B'
D
？x
6E
6-x
10 6
B
C
10
2
8
A B'
？x 1
2
6E
10
B
10
D
6
3
C
A
2x Bx E
6+x
D
2x-3
F
3
6
C
A
2x B xE
6+x
D
32x 3
2x-3
F
3
6
C
A
6+x
D
2x
60° 32x 3
3x
2x-3
F
B x 6+E x
(3)令 y3＝x， 设其图象与抛物线 C1 的交点的横坐标为 x0，x′0，且 x0＜x′0，
∵抛物线 C2 可看作是抛物线 y＝12x2 左右平移得到的， 观察图象，随着抛物线 C2 向右不断平移，x0，x′0 值不断增大， ∴当满足 2＜x≤m 时，y2≤x 恒成立时，m 的最大值在 x′0 处取得． 可得，当 x0＝2 时，所对应的 x′0 即为 m 的最大值．
于是将 x0＝2 代入12(x－h)2＝x，有12(x－h)2＝2， 解得 h＝4 或 h＝0(舍)，
∴y1＝12(x－4)2， 此时，由 y2＝y3，得12(x－4)2＝x，解得 x0＝2，x′0＝8， ∴m 的值最大为 8.
A B'
D
？
6E
B
C
10
1
解析几何中的参数方程
解析几何中的参数方程解析几何是研究几何图形及其相关量的数学分支，它的方法是利用代数和解析工具来研究空间中的几何对象。
参数方程是解析几何中的一种重要工具，它通过引入参数来给出曲线上点的坐标，进而使得曲线的性质更易于研究。
本文将从几何直观、符号解释以及几何应用等方面来解析几何中的参数方程。
一、几何直观解析几何中的参数方程的基本思想是通过引入参数所构成的函数，使得曲线上任意一点(x, y, z)都可以表示为某个参数t的函数，即：x = x(t)y = y(t)z = z(t)其中t是自变量，常常被称为参数。
这种表示法将曲线表达为以自变量t作为参数的函数形式，因此被称为参数方程或者参数式。
从几何上看，参数方程可以看作是一种在空间中运动的“机器人”，不断调整自己的参数值，从而产生一条曲线，如图1所示。
（图1 参数曲线）参数方程的优点在于它可以描述一些曲线的特殊性质，比如对于一个平面曲线，如果形状比较复杂，很难用一般的函数式表达式来描述，此时采用参数方程就可以轻松地完成这一任务。
例如，我们考虑一个圆的参数方程：x = r costy = r sint其中r为圆的半径，参数t变化范围为0到2π，代表旋转角的取值，当t从0变化到2π时，可以得到整个圆的轮廓。
这个参数方程的几何意义是，我们可以设想一个点在圆上运动，它的横坐标和纵坐标分别等于该点的极坐标表示中的r和θ，其中t可以看成时间，表示时间的推移，t每增加一个单位，就让这个点沿着圆弧运动了一个单位。
二、符号解释对于一条曲线，我们通常采用向量的表示方法来建立它的参数方程。
假设有一条曲线C，其中P(x, y, z)是曲线上的一个点，Q(x+h, y+k, z+l)是曲线上离点P一步长度的点，如图2所示：（图2 离点P一步长度的点Q）那么向量QP有如下的分解：QP = h i + k j + l k其中i、j、k分别表示沿x、y、z轴正方向的单位向量。
因此，曲线C可以表示为：P(x, y, z) = P(x(t), y(t), z(t))Q(x+h, y+k, z+l) = P(x(t+Δt), y(t+Δt), z(t+Δt))则有向量QP可以表示为：QP = Q(x+h, y+k, z+l) - P(x, y, z)= [x(t+Δt) - x(t)] i + [y(t+Δt) - y(t)] j + [z(t+Δt) - z(t)] k= Δx i + Δy j + Δz k其中Δx、Δy、Δz为向量QP在三个方向上的分量。
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求AC的长. AC=8
A
解直角三角形中边角关系
B
C
如图，EB是直径，O是圆心，CB、CD切半圆于B、 D、CD交BE延长线于A点，若BC=6，AD=2AE， 求半圆的面积。
C
D
A
E
O
B
如图，已知矩形ABCD中，E是AB上一点， 沿EC折叠，使点B落在AD边的B‘处，若AB=6， BC=10，求AE的长。
用方程思想解应用题的一般步骤：
①审 ②设 ③列 ④解 ⑤验 ⑥答
1、Rt⊿ABC中，∠C= Rt∠， AC=6，
24 BC=8，则斜边AB上的高线CD=———5———
B
2、如图， ⊿ABC中，D、E是AB、AC上的 点，且DE∥BC，若DE=2，BC=3，DB=1则
AD的长是———2———
D
B
C
3.设好未知数后，要尽量把已知条件在图上标出来； 4. 要尝试一题多解,选择最优方案
如图，在 ABCD中，AE、AF是两条高
线，∠EAF=60°，CE=6，CF=3，
（1）求线段BE的长。
（2）求 ABCD的面积。 A
D
60°
F
B E
3 C
6
1
2
3
4
2
8
A B'
x？ 1
2
6E
10
B
10
D
6
3
C
2
（3）设AD=m，若在线段
AD上存在两个点P，使得以 点P、A、B为顶点的三角形 和以点P、C、D为顶点的三
角形相似？求m的值。
A 1B
P
பைடு நூலகம்
D
C
6
课堂小结
1.要善于用方程思想解决几何问题； 2.几何图形中常用的等量关系是： ①面积不变性 ② 勾股定理 ③ 相似三角形 的性质 ④直角三角形的边与角的关系 ；
面积不变性
B
2、如图， ⊿ABC中，D、E是AB、AC上的
点，且DE∥BC，若DE=2，BC=3，BD=1,
则AD的长是———2———
相似性质
D
B
C
A D
A
E C
3、如图，⊙O的弦AB⊥半径OE于D，若AB=12，
DE=2，则⊙O的半径是———1—0——
勾股定理
o
AD
B
E
4、 在RtABC中， C Rt, AB AC 2, SinB 4 ,
(3)将抛物线 C1 作适当的平移，得抛物线 C2∶y2＝12(x－h)2，若 2<x≤m 时，y2≤x 恒成立，求 m 的最大值．
解：(1)∵y1＝12x2－x＋1＝12(x－1)2＋12，
∴抛物线 C1 的顶点坐标为1，12. (2)①根据题意，可得点 A(0，1)， ∵F(1，1)， ∴AB∥x 轴，得 AF＝BF＝1，
(3)令 y3＝x， 设其图象与抛物线 C1 的交点的横坐标为 x0，x′0，且 x0＜x′0，
A D
A
E C
3、如图，⊙O的弦AB⊥半径OE于D，若AB=12，
DE=2，则⊙O的半径是———1—0——
o
AD
B
E
4、 在RtABC中， C Rt, AB AC 2, SinB 4 ,
5
求AC的长. AC=8
A
B
C
常用的等量关系：
1、Rt⊿ABC中，∠C= Rt∠， AC=6，
24 BC=8，则斜边AB上的高线CD=———5———
8
A B'
D
？x 6-x
6E
6-x
10
6
B
C
10
2
8
A B'
D
？x
6E
6-x
10 6
B
C
10
2
8
A B'
？x 1
2
6E
10
B
10
D
6
3
C
A
2x Bx E
6+x
D
2x-3
F
3
6
C
A
6+x
D
2x Bx E
32x 3
6
2x-3
F
3
C
A
6+x
D
2x
60° 32x 3
3x
2x-3
F
B x 6+Ex 6
D
C
6
由。
如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，
AB∥CD，AB=1，CD=6，
（2）若设AD=m，在线段
A 1B
AD上存在唯一的一个点P，
P
使得以点P、A、B为顶点的
三角形和以点P、C、D为顶
点的三角形相似？求m的取
值范围。
D
C
6
如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，
AB∥CD，AB=1，CD=6，
∴A1F＋B1F＝2；
②P1F＋Q1F＝2 成立； 理由如下，如图，过点 P(xp，yp)作 PM⊥AB 于点 M.则 FM＝1－xp，PM＝1－yp， (0＜xp＜1)，∴Rt△PMF 中，由勾股定理， 得 PF2＝FM2＋PM2＝(1－xp)2＋(1－yp)2，又点 P(xp，yp)在抛物线 C1 上， 得 yp＝12(xp－1)2＋12，即(xp－1)2＝2yp－1， ∴PF2＝2yp－1＋(1－yp)2＝y2p，即 PF＝yp. 过点 Q(xQ，yQ)作 QN⊥AB，与 AB 的延长线交于点 N， 同理可得 QF＝yQ. ∵∠PMF＝∠QNF＝90°，∠MFP＝∠NFQ，∴△PMF∽△QNF， 有QPFF＝PQMN，这里，PM＝1－yp＝1－PF，QN＝yQ－1＝QF－1， ∴QPFF＝Q1－F－PF1，即P1F＋Q1F＝2.
3
C
A
6+x
30°
2x
Bx E
6
D
2x-3
F
3
C
A
B
P
D
C
A
B
P
A
B
D
综合训练1
1 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高,
点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，
设AE＝x，△AEF的面积为y．
( 1）求线段AD的长； （2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，
A B'
D
？
6E
B
C
10
1
2
3
4
如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，
AB∥CD，AB=1，CD=6，
（1）若AD=5，在线段AD
A 1B
上是否存在点P，使得以点P、
P
A、B为顶点的三角形和以点
P、C、D为顶点的三角形相
似？若存在，这样的点P有
几个？它们到点A的距离是 多少？若不存在，请说明理
①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）
②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；
（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜
边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时
平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理
由．
C
A D
B
[综合训练 2] 已知抛物线 C1∶y1＝12x2－x＋1，点 F(1，1)． (1)求抛物线 C1 的顶点坐标； (2)①若抛物线 C1 与 y 轴的交点为 A，连接 AF，并延长交抛物 线 C1 于点 B，求证：A1F＋B1F＝2； ②取抛物线 C1 上任意一点 P(xP，yP)(0<xP<1)，连接 PF，并延 长交抛物线 C1 于点 Q(xQ，yQ)，试判断P1F＋Q1F＝2 是否成立？请说 明理由；