方程思想 (几何)

方程思想
类型一 找等量关系
例1 已知：如图，正方形ABCD 的边长为a ，△PQA 是其内接等边三角形。

求PB 的长。

变式1： 如图，在△ABC 中，∠B=30°,∠ACB=120°,D 是BC 上一点，且∠ADC=45°，若CD=8，求BD 的长。

变式2：（潍坊）已知线段AB 的长为a ．以AB 为边在AB 的下方作正方形ACDB ．取AB 边上一点E ．以AE 为边在AB 的上方作正方形AENM ．过E 作EF ⊥CD ．垂足为F 点．若正方形AENM 与四边形EFDB 的面积相等．则AE 的长为________________．
变式3：如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，4=AD ，14=BC ，5=AB ，65=DC ，则梯形ABCD 的面积为
变式4：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 、AF 是两条高线，︒=∠60EAF ,6CE =,3CF =,则线段BE 长为
变式5：如图，已知AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，若AB ＝10cm ，PB ＝4cm ，OP ＝5cm ，则⊙O 的半径等于______________cm 。

A
C
D A
B
C D
P
Q
C
B
D
A
E
B
C
F A D
变式6：如图，已知正方形纸片ABCD 的边长为8，⊙0的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA 恰好与⊙0相切于点A ′(△EF A ′与⊙0除切点外无重叠部分)，延长F A ′交CD 边于点G ，则A ′G 的长是
变式7：如图，已知等腰△ABC 中，顶角∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线，则AD
AC
的值为( ) ．
A ．
12 B
C ．1 D
变式8：如图Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，⊙O 内切Rt △ABC 的三边AB 、BC 、CA
于D 、E 、F ，半径r ＝2，则△ABC 的周长为
变式9：如图，矩形ABCD 中，E 、F 、M 为AB 、BC 、CD 边上的点，且AB ＝6，BC ＝7， AE ＝3，DM ＝2，EF ⊥FM ，则EM 的长为
( )
A ．5
B ．5 2
C ．6
D ．6 2
变式10：如图，在△ABC 中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ 的一边QP 在边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H 。

设EF=x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求其最大值
变式11：如图，AB 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，D 是⊙O 上的一点，DE ⊥AB 于点E ，且DE 的延长线分别交AC 、⊙O 、BC 的延长线于F 、M 、G 。

（1）求证：AE ·BE ＝EF ·EG ；
（2）连结BD ，若BD ⊥BC ，且EF ＝MF ＝2，求AE 和MG 的长。

类型二 折叠问题（勾股） 例2 (2010·青岛)把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF.若AB ＝3cm ，BC ＝5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是________cm 2.
变式1：如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B′处，点A 对应点为A′，且B′C ＝3，则AM 的长是( ) A ．1.5 B ．2 C ．2.25 D ．2.5
变式2：（包头）如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA ，OC
分别落在x 轴、y 轴上，连接AC ，将矩形纸片OABC 沿AC 折叠，使点B 落在点D 的位置，若B （1，2），则点D 的横坐标是__________．
变式3：如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．2
变式4：如图，如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连接CE ，则CE 的长________.
变式5：如图，将矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C′处，BC′交AC 于E ，AD ＝8，AB ＝4，则△BED 的面积为
342
3
A
B
C D
O
x
y
F A
D
O E B C
O
M
G
F
E D C B A
变式6：（1）如图①，在正方形ABCD 中，△AEF 的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求∠EAF 的度数．
（2）如图②，在Rt △ABD 中，∠BAD=90°，AB=AD ，点M ，N 是BD 边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°至△ADH 位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由．
（3）在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，若EG=4，GF=6，BM=32，求AG ，MN 的长．
类型三 运动几何（方程与函数结合）
例3 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AB ＝14cm ，AD ＝18cm ，
BC ＝21cm ，点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1cm ／秒的速度移动，点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以2cm ／秒的速度移动。

如果P 、Q 分别从A 、C 同时出发。

设移动的时间为t 。

求：（1）t 为何值时，梯形PQCD 是等腰梯形；
（2）t 为何值时，AB 的中点E 到线段PQ 的距离为7 cm 。

变式1：如图，ΔABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上（与点A 、C 不重合），Q 点在BC 上。

（1） 当ΔPQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP
的长； （2） 当ΔPQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长；
（3） 试问：在AB 上是否存在点M ，使得ΔPQM
为等腰直角三角 形？若不存在，请简要说服理由；若存在，请求出PQ 的长。

C
Q
A B P Q C
变式2：在矩形ABCD 中，9AB =
，AD =点P 是边BC 上的动点（点P 不与点B ，点C 重合），过点P 作直线PQ BD ∥，交CD 边于Q 点，再把PQC △沿着动直线PQ 对折，点C 的对应点是R 点，设CP 的长度为x ，PQR △与矩形ABCD 重叠部分的面积为y ． （1）求CQP ∠的度数；
（2）当x 取何值时，点R 落在矩形ABCD 的AB 边上？ （3）①求y 与x 之间的函数关系式；
②当x 取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的
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？
变式3：如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，且⊙O 直径BD=6，连接CD 、AO ． （1）求证：CD ∥AO ；
（2）设CD=x ，AO=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）若AO+CD=11，求AB 的长．
D Q
C B P
R A B A D C （备用图1） B A D C （备用图2）。