单元二静力学

单元二：静力学1.[弹簧]：如图所示，原长L O 为100公分的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内，弹簧的一端固定在槽的O 端，另一端连接一小球，这一装置可以从水平位置开始绕O 点缓缓地转到铅直位置，设弹簧的形变总是在其弹性限度内，试在下述(a)、(b)两种情况下，分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O 点转到铅直位置时小球离开原水平面的高度h o 。

(a)在转动过程中，发现小球距原水平面的高度变化出现40公分的极大。

(b)在转动过程中，发现小球离原水平面的高度不断增大。

【答案】 (a)37.5cm (b)100cm ＞ho ＞50cm 2. [虎克定律]：一很轻的水平金属丝在相距为 的两个支柱上，刚好张紧，但此时张力可以忽略不计。

金属丝的弹力常数为K ，一个质量m 的质点系于金属丝中点，并令其下。

计算让质点开始回升前所下落之高度h 。

【答案】312)Kmg (=h3. [力平衡]：如图所示，AB,BC,CD 和DE 为质量可忽略的等长细线，长度均为5公尺，A 、E 端悬挂在水平天花板上，AE=14公尺，B 、D 是质量均为m o =7公斤的相同小球，质量为M 的重物挂于C 点，平衡时C 点离天花板的垂直距离为7公尺，则质量M 若干？ 【答案】 M=18kg4. [弹力与张力]：如图所示，一半径为R 的刚性光滑球体静止放置，质量为M 的圆环状均匀弹性绳水平套在球体上，已知绳环原长时的半径为a=R/2，套在球体上时绳环的半径变为b=a 2。

假设弹性绳满足虎克定律，求此弹性绳之弹力常数K 。

【答案】)RMg(π21+2=K 2 5. [弹力与张力]：如图所示，静止的圆锥体铅直放置， 顶角为α，有一质量为m 并分布均匀的细炼条圆环水平地套在圆锥体上。

忽略炼条与锥面之间的摩擦力，试求炼条中的张力T 。

O【答案】2αcot π2mg =T6. [弹力与张力]：重W 自然长度为a 弹力常数为k 的弹性圈放置在顶角为2α的光滑垂直的正圆锥体上，如图所示。

试求平衡时圈面离圆锥顶点的距离h 。

【答案】)a cot k2W(2cot h +αππα=7. [张力]：如图所示，两垂直杆MN 与PQ 相距2公尺，一根长2.4公尺的绳的两端拴在这两杆上，第一次令两拴点等高，第二次使两拴点不等高，用一光滑的钓子把一重50牛顿的物体挂在绳子上，请问那一次绳子的张力较大？又绳子张力分别为若干牛顿？ 【答案】 一样大，张力N 45=T 8. [张力与力]由绳索1、2、3面。

杆AD 、BE 、与CF D 、E 、F 分别位于杆BE 、CF 和的中点，在F P ，求绳索张力1T ，2T 及3T (计)。

【答案】P 74=T 1，P 72=T 2，P 71=T 39. [张力与平衡]个小球A 与B ，置于半径为R 长度重为μ，OC 【答案】=φtan 10. [张力]：三个不相同的均质小球放在光滑水平桌面上，用一根橡皮筋把三球束縳起来。

三个小球的质量均为m ，半径均为R 。

再如图所示，将一个质量为3m ，半径也为R 的均质小球放在原三球中间正上方，因受橡皮筋约束，下面三小球并未分离。

设系统处处无摩擦，试求放置第四个小球后，橡皮筋张力的增加量。

【答案】mg 6611. [正向抗力]：均质杆AB ，长度为a ，一端靠在光滑铅直墙上，另一端靠在光滑固定的侧面上，侧面为柱面，柱轴垂直Oxy 面。

如果要使杆子在Oxy 面内的任意位置均是平衡位置，则侧面应是什么形状的柱面？【答案】 椭圆柱面，椭圆方程为222a =)a y 2(+x －12. [正向力]等，且半径均为r ，R 个圆柱体不致被压而分开之条件为r )721(R +≤【答案】13. [正向力]：四个相同的球静止在光滑的大半球形碗内，它们的中心同在一水平面内，今以另一相同的球放在四球之上，若碗的半径大于球的半径K 倍时，则四球将互相分离。

求K 值。

(所有的接触面都是光滑的) 【答案】 1+132=K14. [力矩平衡]：如图所示，直径都是d 的金属球置于直径为D 的筒内，已知2d ＞D 试证筒的质量M 至少等于Dm )d D (2－能倒扣住两金属球而不 翻倒。

【答案】15. [力矩与平衡]：有6个完全相同的刚性长条形薄片A i B i (I=1,2……6)，其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的重力均不计。

现将此6个薄片架在一水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起恰在碗口上，另一端小突起位于其下方薄片的正中央，由正上方俯视如图所示。

若将一质量为m 的质点放在薄片66B A 上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起6A 的距离。

求薄片66B A 中点所受的(由另一小薄片的小突起1A 所施的)压力。

【答案】 mg/4216. [力矩与平衡]：一均匀圆桌面由三条相互等距的桌腿在圆桌边缘上支撑着，桌腿重量忽略不计。

某人坐在正对着一条桌腿的圆桌边上，恰好使圆桌以另两条桌腿着地点联机为轴而倾倒。

圆桌倾倒后他再坐到圆桌面的最高点上，恰好又能使圆桌恢复过来。

求桌面半径与桌腿长度之比值。

【答案】217. [力矩与平衡]：右图为一半径为R 质量为m 1的均匀圆球O 与一质量为m 2的重物E 分别用细绳AD 和ACE 悬挂于同一点A ，并处于平衡。

已知悬点A 到球心O 的距离为 ，不考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD 与铅直线的夹角θ之正弦值sin θ。

【答案】)m m (Rm sin 212+=θ18. [力矩与正向力]：如图所示，一质量为m 的均匀光滑圆棒，静止在瓷盆中，与铅直线成60o角，棒的一端与盆底接触，另一端露在盆口之外，盆口外部分占捧全长的61求盆口处及盆底作用于棒的力的量值和方向。

【答案】mg 1033F 1=，mg 1037F 2=；1133tan =θ 19. [力矩与正向力]：有一半球形的光滑碗，其上搁置一长为 2的均匀细棒，如碗的半径为R ，且有2R＞ ＞R 36，求细棒平衡时与水平方向的夹角θ为多少？ 【答案】21)R 8(R 8θcos 2+±=20. [正向力与平衡]为a 直棒AB ，其A 端靠在墙上，B 棒倾斜与水平成60∘角时棒恰好静止。

求棒的长度。

【答案】a )1311(+21. [抗力与平衡]：如图所示，一根细棒，上端A 处用绞炼与天花板相连，下端B 用绞炼与另一细棒相连，两棒长度相等，两棒只限于图示的垂直面内运动，且不计绞炼处的摩擦。

当在C 端加一适当的外力(在纸面内)可使两棒平衡在图标位置处，即两棒间夹角为90∘，且C 端正处在A 端的正下方。

(1)不管两棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向的范围内？(2)如果AB 棒的质量1公斤，BC 棒的质量2公斤，求此外力的和方向。

【答案】 (1)在角ACB 内向右上方(2) ]N [5825F =；583sin =θ22. [合力作用点]：如图所示，在正三角形ABC 的三个顶点沿三边分别作用三个共平面力。

2F A =牛顿，4F B =牛顿，8F C =牛顿，则这三个力的合力的作用线与y 轴的交点的坐标为何？ 【答案】 3323. [力矩与平衡]度均为 ，质量均为m 通过光滑铰链与铅直墙相连，状态达到平衡，是多少？ 【答案】 mg 2324. [刚体平衡]：轻质横杆OB ，其O 端用铰链固定在墙上，B 点用轻绳挂紧，使杆处于水平状态。

在B 点挂重为W 的物体，如图所示，AB 与OB 的夹角为θ。

在把重物的悬点向O 端移动的过程中，求墙对杆的作用力的最小量值。

【答案】Wcos θ25. [抗力与平衡]：如图所示，薄均质三角板，三边长AB 、BC 、AC 分别为2R 、R 3、R ，将此板板面垂直地放在光滑的、半径为R的铅直圆环中，在静止时，三角板的斜边AB 与水平的夹角θ为多大？【答案】 o30θ=26.[力矩与平衡]：如图所示，代表某一铅直平面，在此面内有两根均匀细杆AB 和BC ，质量相同，长度分别为21 , 它们共同接触水平地面，端点记为B ，各自的另一端A 和C 分别靠在相对的两堵垂直墙上。

已知墙面间距离为 ，且 >+≠>>212121 , , , ，且系统处处无摩擦，试求两杆平衡时它们与水平地面倾斜角φ1、φ2各多大？【答案】φ1=φ2= 211cos+－27. [抗力与平衡]：如图所示，一轻质木板EF 长为L ，E 端用铰炼固定在铅直墙面上，另一端用水平轻绳FD 拉住。

木板上依次放着(2n+1)个圆柱体，半径均为R ，每个圆柱体重量均为W ，木板与墙的夹角为α，一切摩擦都可略去，求FD 绳上的张力T 。

【答案】)tan n 2cos s in 1s in 1(WR L 1n 2T 22α+α∙α+α+=28. [抗力与平衡]：一空心圆环形圆管沿一条直径截成两部分，一半竖立在铅垂平面内，如图所示，管口联机在一水平线上，向管内入与管壁相切的小钢珠，左、右侧第一个钢珠都与圆管截面相切。

已知单个钢珠重W ，共2n 个，求从左边起第k 个和第k+1个纲珠之间的相互作用正向力量值N k 。

假设系统中处处无摩擦。

【答案】)2/sin()2/sin(n wn k N k ππ=29. [重力与平衡]：用20块质量均匀分布相同光滑积木块，在光滑水平面上一块迭一块地搭成单孔桥。

已知每一称木块的长度为L ，横截面是边长为h(h=L/4)的正方形。

要求此桥具有最大的跨度（即桥孔底宽）。

如右示意图，计算跨度K 与桥孔高度H 的比值。

【答案】 K/H=1.25830. [力矩与平衡]：如图所示，物体A 、B 及滚轮C 质量均为M 。

滚轮C 由固定在一起的两个同心圆盘组成，半径分别为2r 和r 各接触面静摩擦系数均为μ，求维持系统平衡时，μ最小值为多少？ 【答案】 1/331. [力矩与平衡]：一个半径为r 的均匀球，球重W ，靠在铅直墙边，球跟墙面和水平地面间的静摩擦系数均为μ，现在球上加一铅直向下的力F ，如图所示。

为了使球作逆时针方向转动，则力F 之作用线与球心O 之水平距离为何？(以F ，W ，μ，r 表之) 【答案】 F)μ1(r)μ1(μ)W F (2+++32. [摩擦与平衡]：如图所示，质量M 1之物体P与质量为M 2之物体Q 以细绳连接跨过一光滑小滑轮，放置于与水平成45∘角之两倾斜面上，呈静力平衡，设物体与斜面之摩擦系数为0.5。

问：(a)若将此系统以顺时钟方向慢慢旋转，旋转θ角时物体开始滑动， 则tan θ为若干？(b)若将此系统以逆时钟方向慢慢旋转，旋转θ角时物体开始滑动， 则tan θ为若干？ 【答案】(a) 212133tan M M M M +=－θ(b) 211233tan M M M M +=－θ33. [摩擦与平衡]为μ，水平面与斜面间之夹角为Φ系统开始运动，角度Φ有一最大值试求此Φ之余弦cos Φ的值为多少？ 【答案】cos Φ=1或cos Φ1μ1μ22+=－34. [摩擦与夹具]：如图所示，用夹具夹一半径为R 的球体，夹具每个臂与球面之间的摩擦系数均为μ，为了能够夹住球体，试问夹具的臂长L 至少应为多少？设重力的影响可忽略。