2016-2017学年高二下学期期中考试文科数学word版含解析
2016-2017学年内蒙古巴彦淖尔市高二下学期期中考试文科数学第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．下列不等式的解集是空集的是( ) A ．012>+-x x B ．0122>++-x x C ．522>-x x D ．22>+x x 【答案】C 【解析】试题分析：对于A ：由043)21(122>+-=+-x x x 恒成立，知其解集为R ；对于B ：由0122>++-x x ⇔0122<--x x ⇔1210)1)(12(<<-⇔<-+x x x ，所以解集不是空集；对于C ：由522>-x x 01654)2(,05222<-=⨯--=∆<+-⇔ x x ∴其解集是空集.故选C.考点：一元二次不等式.2．不等式组221030x x x ⎧-<⎪⎨-<⎪⎩的解集是（ ）A ．{x|0<x<1}B ．{x|－1<x<1}C ．{x|0<x<3}D ．{x|－1<x<3}【答案】A 【解析】试题分析：因为221030x x x ⎧-<⎪⎨-<⎪⎩1030110)3(12<<⇔⎩⎨⎧<<<<-⇔⎩⎨⎧<-<⇔x x x x x x 所以选A.考点：一元二次不等式组. 3．过曲线21x y x +=（0x >）上横坐标为1的点的切线方程为( ) A ．310x y +-= B.350x y +-= C ．10x y -+= D.10x y --= 【答案】B 【解析】试题分析：由22111x x x x y +=+=得:32'121,2xx y y x --===,31'-===x y k ,所以切线方程为:053)1(32=-+--=-y x x y 即故选B.考点：函数导数的几何意义.4．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧+=--=ty tx 321 (t 为参数)所表示的图形分别为( )A ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线 【答案】A 【解析】试题分析：将极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程得:x y x =+⇔=⇔222cos θρρ知表示圆;而将参数方程⎩⎨⎧+=--=ty tx 321 (t 为参数)消去参数化为普通方程得:013=++y x 知表示直线，故选A.考点：1.极坐标方程;2.参数方程.5．过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是( )A ．ρcos θ＝4B ．ρsin θ＝4C ．ρsin θ．ρcos θ【答案】C 【解析】试题分析：如图:设所求直线的任意一点),(θρP ,过A,P 分别作极轴的垂线,垂足分别为C,D;因为直线AP 与极轴平行,所以PD=AC=24sin2=π,而在OPD ∆中有θρsin =PD ,故得2sin =θρ,选C.考点：极坐标方程.6．函数)(x f y =在点（x 0，y 0）处的切线方程为12+=x y ，则xx x f x f x ∆∆--→∆)2()(lim 000等于( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4 【答案】D 【解析】试题分析：由函数)(x f y =在点（x 0，y 0）处的切线方程为12+=x y 知:2)(0'=x f ,再由函数导数的定义可知:)()()(lim0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆;从而4)(2)2()())2((lim 2]2)())2((2[lim )2()(lim0'0002000000==∆--∆-+=∆--∆-+⋅=∆∆--→∆-→∆→∆x f x x f x x f x x f x x f x x x f x f x x x 故选D.考点：函数导数的定义.7．函数x e x y )3(2-=的单调递增区间是( )A ．)0,(-∞B ． ),0(+∞C ． )1,3(-D ． ),1()3,(+∞--∞和 【答案】C 【解析】试题分析：由已知得:0)32()3()2(22'>-+-=-+-=x x x e x x e x e x y 得130322<<-⇔<-+x x x ,故选C.考点：函数的单调性. 8．已知g(x)为三次函数f(x)＝3a x 3＋2a x 2－2ax(a≠0)的导函数，则它们的图象可能是 ( )【答案】D 【解析】试题分析：注意到原函数是三次函数,所以其导函数必为二次函数,再注意导函数与X 轴的交点必为原函数的极值点,且导函数图象在X 轴上方对应的范围内原函数必然是增函数, 导函数图象在X 轴下方对应的范围内原函数必然是减函数,观察四个选择可知它们的图象只可能是D 考点：函数的导数与函数性质之间的关系.9．已知b a b a ,,0,0>>的等差中项是12，且11x a y b a b =+=+，，则y x +的最小值是( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】B 【解析】 试题分析：由已知得1=+b a ,且0,0>>b a ;5233)()11(111111=⋅+≥++=+⋅++=++=+++=+∴ba ab b a a b b a b a b a b b a a y x 当且仅当b a a b =即21==b a 时等号成立,故选B. 考点：基本不等式.10．已知c b a ,,满足a b c <<且0<ac ，则下列选项中不一定能成立的是( )A ．c b a a <B ．0>-c a bC ．ca cb 22> D ．0<-ac ca 【答案】C 【解析】试题分析：由已知c b a ,,满足a b c <<且0<ac 得到:0,0<>c a ,所以A 、B 、D 一定成立，故选C. 考点：不等式的基本性质.11．已知曲线M 与曲线N ：ρ＝θ－5sin θ关于极轴对称，则曲线M 的方程为( ) A ．ρ＝－10cos 6πθ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．ρ＝10cos 6πθ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．ρ＝－10cos 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．ρ＝10cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】B 【解析】试题分析：设点),(θρP 是曲线M 上的任意一点,点),(θρP 关于极轴的对称点),('θρ-P 必在曲线N 上,所以)6cos(10)sin 6sincos 6(cos10sin 5cos 35)sin(5)cos(35πθθπθπθθρθθρ-=+=+=⇔---=故选B.考点：极坐标方程. 12．已知函数1()(*)n f x x n N +=∈的图象与直线1x =交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则12013log x ＋22013log x ＋…＋20122013log x 的值为（ ） A ．－1 B ．1－log 20132012 C ．-log 20132012 D ．1 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得nx n x f )1()('+=,所以图象在点P 处的切线的斜率1)1('+==n f k ,又1)1(=f ,所以函数1()(*)n f x x n N +=∈在点P 处的切线方程为:)1)(1(1-+=-x n y ,从而1111+=+-=n nn x n ,则12013log x ＋22013log x ＋…＋20122013log x120131log 201320123221(log )(log 201320132012212013-==⋅⋯⋅⋅=⋅⋯⋅⋅=）x x x 故选A.考点：1.函数导数的几何意义;2.对数运算.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝6π(ρ∈R)的距离是 . 【答案】3 【解析】试题分析：将圆ρ＝4sin θ及直线θ＝6π化成直角坐标方程可得:4)2(42222=-+⇔=+y x y y x 知圆心坐标为(0,2),直线方程化为0333=-⇔=y x x y ,所以所求距离为:3312322=+⋅- 考点：极坐标方程. 14．不等式11x<的解集为 . 【答案】{}10><x x x 或 【解析】 试题分析：1,0010101111><⇔>-⇔<-⇔<-⇔<x or x xx x x x x ,故应填: {}10><x x x 或考点：简单分式不等式. 15．若关于x 的不等式ax x x 22212>+-的解集为{}20<<x x ，则实数a 的值为____________. 【答案】21 【解析】试题分析：由已知得0和2是方程: ax x x 22212=+-即0)1(42=-+x a x 的二实数根,所以有2102)1(422=⇔=⨯-+a a 考点：一元二次不等式.16．函数()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ．【答案】4 【解析】试题分析：因为[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，所以当10≤<x 时，有3313013xx a x ax -≥⇔≥+-恒成立，令3232331313)(--+=-=-=x x x x x x x g ，)12(336)(443'--=+-=---x x x x x g 知当210<<x 时0)('>x g ，当21=x 时0)('=x g ，当121<<x 时0)('<x g ；所以在10≤<x 时4)21()(max ==g x g 知4≥a ；当01<≤-x 时，有3313013xx a x ax -≤⇔≥+-恒成立，由上知)12(336)(443'--=+-=---x x x x x g 在01<≤-x 上恒大于0，所以)(x g 在[-1，0）上是增函数，故在[-1，0）上4)1()(min =-=g x g ，所以有4≤a ，又注意到当x=0时，不论a 为何值不等式()f x ≥0总成立；综上可知a=4. 考点：不等式恒成立.三、解答题（题型注释）17．解关于x 的不等式0521>--++x x . 【答案】}3,2{>-<x x x 或【解析】试题分析：对于含两个绝对值符号的不等式通常用零点分段讨论法.具体来说,就是令01=+x 和02=-x 得到2,121=-=x x 这两个值将实数集划分成三段:+∞<≤<≤--<<∞-x x x 2,21,1然而在每一段上分别解不等式,最后将三个解集求并即得原不等式的解集. 试题解析： 原不等式等价于:⎩⎨⎧>-≥⎩⎨⎧>-<≤-⎩⎨⎧>---<062202210421x x or x or x x 解得:3,,2>-<x or x ,故填}3,2{>-<x x x 或考点：绝对值不等式.18．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点M 的极坐标为(4，2π)．若直线l 过点P ，且倾斜角为3π，圆C 以M 为圆心, 4为半径． (1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；(2)试判定直线l 和圆C 的位置关系．【答案】(1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 235211,(t 为参数),θρsin 8=; (2) 直线l 和圆C 相离.【解析】试题分析：(1)由已知可直接写出直线l 的参数方程和圆的极坐标方程； (2)将圆心M 的的坐标化为直角坐标和将直线l 的参数方程化成普通方程，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后与圆的半径比较大小就可判定得直线l 和圆C 的位置关系．试题解析：(1) 直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=3sin53cos 1ππt y t x ,(t 为参数)，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 235211,(t 为参数)；圆C 的极坐标方程为)2cos(8θπρ-=即θρsin 8=.(2)因为点M(4，2π)对应的直角坐标为(0,4),而直线l 的普通方程为：0353=---y x ；所以圆心M 到直线l 的距离为4239133540>+=+---=d ，故知直线l 和圆C 相离. 考点：1.直线的参数方程;2.极坐标方程;3.直线与圆的位置关系. 19．设函数()412--+=x x x f . (1)解不等式()0>x f ；(2)若()m x x f >-+43对一切实数x 均成立，求m 的取值范围． 【答案】(1) {}51-<>x x x 或;(2) 9<m 【解析】试题分析：(1) 不等式()0>x f 即0412>--+x x 是含两个绝对值符号的不等式,用零点分段讨论法解;(2)由 ()m x x f >-+43对一切实数x 均成立m x x >-++⇔4212对一切实数x 均成立,令4212)(-++=x x x g ,则min )(x g m <,应用三角不等式可求得)(x g 的最小值,从而问题获得解决.试题解析：(1)当4≥x 时,由05)4(12)(>+=--+=x x x x f ,得5->x ,所以4≥x ; 当421<≤-x 时,由()033412>-=-++=x x x x f ,得1>x ,所以41<<x ; 当21-<x 时,由()05>--=x x f ,得5-<x ,所以5-<x ;综上，不等式的解集为{}51-<>x x x 或 (2) 由 ()m x x f >-+43对一切实数x 均成立m x x >-++⇔4212对一切实数x 均成立,令4212)(-++=x x x g ,因为9)28()12(28124212)(=-++≥-++=-++=x x x x x x x g 所以9)(m i n =x g ,故知9<m考点：1.绝对值不等式;2.不等式的恒成立. 20．a 为实数，))(4()(2a x x x f --= (1)求导数)(x f '；(2)若0)1(=-'f ，求)(x f 在[－2，2] 上的最大值和最小值.【答案】⑴.423)(2--='ax x x f (2) 最大值为,29最小值为.2750-【解析】试题分析：⑴将括号打开函数变成多项式函数来求导数;也可利用积的导数法则来求解;(2)由0)1(=-'f 结合(1)的结果可求出a 值，从而获得)(x f 的具体解析式，进而获得导数)(x f '，令其等于零，求得其可能极值，并求出端点的函数值，比较其大小就可求出)(x f 在[－2，2] 上的最大值和最小值. 试题解析：⑴由原式得,44)(23a x ax x x f +--=∴.423)(2--='ax x x f⑵由0)1(=-'f 得21=a , 此时有43)(),21)(4()(22--='--=x x x f x x x f .由0)1(=-'f 得34=x 或x=-1 ,又,0)2(,0)2(,29)1(,2750)34(==-=--=f f f f 所以f(x)在[－2,2]上的最大值为,29最小值为.2750-考点：1.函数求导;2.函数的最值.21．已知函数：f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，过曲线y ＝f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y ＝3x ＋1 (1)y ＝f(x)在x ＝－2时有极值，求f(x)的表达式；(2)函数y ＝f(x)在区间[－2,1]上单调递增，求b 的取值范围．【答案】(1) f(x)＝x 3＋2x 2－4x ＋5; (2) b≥0 【解析】试题分析：(1)先由函数导数的几何意义用含a,b,c 的代数式表达出函数在点P 处的切线方程，再与已知的切线相比较可得关于a,b,c 的两个方程；另又因为y ＝f(x)在x ＝－2时有极值，所以f′(－2)＝0再得到一个关于a,b,c 的方程，三个字母三个方程，通过解方程组就可求得字母a,b,c 的值，从而求得f(x)的表达式； (2) 由函数y ＝f(x)在区间[－2,1]上单调递增，知其导函数f′(x)在[－2,1]上恒有f′(x)≥0，注意到(1)中的①式:2a+b=0,所以有2b a -=，从而有3x 2－bx ＋b≥0在[－2,1]上恒成立，分离参数转化为函数的最值问题，可求得b 的取值范围.试题解析：(1)由f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c,求导数得f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ， 过y ＝f(x)上点P(1，f(1))的切线方程为：y －f(1)＝f′(1)(x－1)， 即y －(a ＋b ＋c ＋1)＝(3＋2a ＋b)(x －1)而过y ＝f(x)上P(1，f(1))的切线方程为：y ＝3x ＋1⎩⎨⎧=-+-=++∴12323c a b a 即⎩⎨⎧=+-=+②c a ①b a 32 又∵y ＝f(x)在x ＝－2时有极值，故f′(－2)＝0 ∴－4a ＋b ＝－12③由①②③相联立解得a ＝2，b ＝－4，c ＝5,所以f(x)＝x 3＋2x 2－4x ＋5 (2)y ＝f(x)在区间[－2,1]上单调递增又f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，由(1)知2a ＋b ＝0∴f′(x)＝3x 2－bx ＋b依题意f′(x)在[－2,1]上恒有f′(x)≥0，即3x 2－bx ＋b≥0在[－2,1]上恒成立注意到01),1,2[>--∈x x ，所以3x 2－bx ＋b≥0在[－2,1]上恒成立等价于：)1,2[,12-∈-≥x x x b ，令)1,2[,1)(2-∈-=x x x x g )1,2[2,0,0)1()2(3)(212'-∉===--=x x x x x x g 得知当)0,2[-∈x 时0)('>x g ，当)1,0(∈x 时0)('<x g ，所以)(x g 在[-2，1）上有最大值为0)0(=g ，故知0≥b ，且当x=1时f′(x)≥0也成立,所以0≥b考点：1.导数的几何意义;2.函数的极值与最值.22．设3x =是函数23()()()x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点. (1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；(2）设0a >，225()()4xg x a e =+在区间[0，4]上是增函数.若存在]4,0[,21∈x x 使得1)()(21<-x g x f 成立，求a 的取值范围. 【答案】(1）b ＝－3－2a , 当a<－4时f (x) 的减区间有（－∞，3）和（―a ―1，＋∞）,增区间为（3，―a ―1）; 当a>－4时f (x) 的减区间有（－∞，―a ―1）和（3，＋∞）,增区间为（―a ―1，3）; (2）（0，23）. 【解析】试题分析：(1）由3x =是函数23()()()xf x x ax b ex R -=++∈的一个极值点,可得0)3('=f ,从而就可用用a 表示出b 来；这样就可以用a 的代数式将)('x f 表达出来，令其等于零解得两个实根，注意由已知这两个实根应该不等而得到：a ≠－4 ，然后通过讨论两根的大小及)('x f 的符号就可确定函数()f x 的单调区间；(2）由（1）可求得当当a>0时，()f x 在区间[0，4]上的最大值和最小值，由已知也可求得)(x g 在区间[0，4]上的最大值的最小值；而存在]4,0[,21∈x x 使得1)()(21<-x g x f 成立等价于1)()(min max <-x g x f ，解此不等式就可求得a 的取值范围.试题解析：(1）f `(x)＝－[x 2＋(a －2)x ＋b －a ]e 3－x,由0)3('=f ，得 －[32＋(a －2)3＋b －a ]e3－3＝0，即得b ＝－3－2a ，则 f `(x)＝[x 2＋(a －2)x －3－2a －a ]e3－x＝－[x 2＋(a －2)x －3－3a ]e 3－x＝－(x －3)(x ＋a+1)e3－x.令f `(x)＝0，得x 1＝3或x 2＝－a －1，由于x ＝3是极值点，所以21x x ≠，那么a ≠－4. 当a<－4时，x 2>3＝x 1，则在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（3，―a ―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；在区间（―a ―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数. 当a>－4时，x 2<3＝x 1，则在区间（－∞，―a ―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（―a ―1，3）上，f (x)>0，f (x)为增函数； 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数. (2）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min{f (0)，f (4) }，f (3)]，而f (0)＝－（2a ＋3）e 3<0，f (4)＝（2a ＋13）e －1>0，f (3)＝a ＋6，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a ＋3）e 3，a ＋6].又225()()4xg x a e =+在区间[0，4]上是增函数， 且它在区间[0，4]上的值域是[a 2＋425，（a 2＋425）e 4]，由于（a 2＋425）－（a ＋6）＝a 2－a ＋41＝（21-a ）2≥0，所以只需且仅须(a 2＋425）－（a ＋6）<1且a>0，解得0<a<23.故a 的取值范围是（0，23）.考点：1.函数的单调性与极值;2.函数的最值与不等式的存在成立.。
2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文)试题Word版含答案
2016-2017学年高二下学期期中考试数学（文）试题时间:120分 满分150分本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考试结束后，只交答题纸和答题卡，试题自己保留。
注意事项1．答题前，考生在答题纸和答题卡上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的班级、姓名、考号填写清楚。
请认真核准考号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3. 填空题和解答题的答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效.第Ⅰ卷一. 选择题(每小题5分,满分60分)1. 复数i-12等于 A ．i +1 B ．i -1 C ．i +-1 D ．i --12．工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为x y9060ˆ+=，下列判断正确的是 A ．劳动生产率为1000元时，工资为50元B ．劳动生产率提高1000元时，工资提高150元C ．劳动生产率提高1000元时，工资提高90元D ．劳动生产率为1000元时，工资为90元3．设a ，b ，c 均为正实数，c b a P -+=，a c b Q -+=，b a c R -+=，则“0>⨯⨯R Q P ”是“R Q P 、、同时大于0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在一次实验中，当变量x 的取值分别为1、21、31、41时，变量y 的值一次为2、3、4、5，则y 与x 之间的回归曲线方程为 A ．1ˆ+=x yB ．12ˆ+=x yC ．32ˆ+=x yD ．11ˆ+=x y 5．若21)1(i z +=，i z -=12，则21z z =A ． i +1B ．i +-1C ．i -1D ．i --16．已知数列1，2a a +，432a a a ++，6543a a a a +++，… ，则数列的第k 项是 A ．k k k a a a 21++++ B ．121--+++k k k a a aC ．k k k a a a 21+++-D ．221--+++k k k a a a7．将点()32，变换成点()2,3的伸缩变换是A ．⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 2332 B ．⎪⎩⎪⎨⎧='='y y xx 3223C ．⎩⎨⎧='='x y yx D ．⎩⎨⎧-='+='11y y x x8．P 点的直角坐标()31，-化成极坐标为A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛π322，B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛π322，C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛π342，D ．⎪⎭⎫⎝⎛π342，9．极坐标方程)4cos(θπρ-=表示的曲线是A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆10．在曲线⎪⎩⎪⎨⎧-=+=11532t y t x ，（t 为参数）上的点是A ．()1-1，B ．()21,4C ．()89,7D ．⎪⎭⎫⎝⎛158，11．若⎪⎭⎫ ⎝⎛3,3πA ，73,6B π⎛⎫⎪⎝⎭ ，则AOB ∆的面积为A ．43B ．3C ．49D ．912．曲线的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2111t y t x ，（t 为参数，0≠t ），它的普通方程是 A．()()1112=--y xB ．()()212x x x y --= C ．()112+-=x xy D ．()1112--=x y第Ⅱ卷二.填空题(每小题5分,满分20分)13．设[]πθ2,0∈，当=θ 时，()θθθsin cos sin 1-++=i z 是实数．14．已知⎪⎭⎫⎝⎛3675π，A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛364312π，B 两点间的距离为 _____． 15．在极坐标系中，点⎪⎭⎫ ⎝⎛62π，到直线2sin =θρ的距离等于________． 16．实数x ，y 满足191622=+y x ，则y x z +=的取值范围是 ．三.解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17．化下列极坐标方程为直角坐标方程（1）θθρsin 2cos +=（2）1sin 2cos 2cos sin 23+-=θρθρθθρ18．已知()z z z f -+=1，且()i z f 310+=-，求复数z ．19．已知圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为2=ρ，24cos 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛--πθρρ （1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．20．已知直线参数方程为⎩⎨⎧-=+-=ty t x 4231，（t 为参数）,它与曲线()1222=--x y 交于A ,B 两点．求： （1）AB 的长;（2）点(1,2)P -到线段AB 中点C 的距离. 21．已知直线l ：44sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθρ和圆C ：()04cos 2≠⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=k k πθρ，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2， （1）求圆心C 的直角坐标;（2）求实数k 的值．22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ϕϕsin cos 1y x ，（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程;（2）直线l 的极坐标方程是333sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ，射线3πθ=：OM 与圆C 的交点为P O 、，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长2016-2017学年高二下学期期中考试数学（文）试题参考答案1—5ACCDB 6—10DBADA 11—12CB13、454ππ或 14、17 15、1 16、[]5,5- 17.解：(1)02,2sin cos sin cos 22222=--++=+∴+=∴+=y x y x y x y x 即，θρθρρθθρ(2)1sin 2cos 2cos sin 23+-=θρθρθθρ()1sin sin cos sin cos sin 22222222+--=-∴θρθρθρθρθρθρ ()12222+--=-∴y y x y x y ,()()01122=-+--y y y x , ()()01122=+--y x y ,010122=+-=-∴y x y 或18.解：()()z z z f z z z f +-=--+=1,1设()bi a z R b a bi a z -=∈+=，则，由()()i bi a bi a i z f 3101310+=-++-+=-，得所以()⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-310122b a b a ，解方程组得⎩⎨⎧-==35b a 所以复数i z 35-=19.解：（1）442222=+=∴=y x ，即，ρρ 22cos 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛--πθρρ 022222=---+∴y x y x（2）将两圆的直角坐标相减，得经过两圆交点的直线方程为1=+y x 化极坐标方程为1sin cos =+θρθρ20.解：（1）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线的方程并化简得02672=-+t t设B A 、对应的参数分别为21t t ，，则72762121-=⋅-=+t t t t ， 所以，线段AB 的长度 ()()237104543212212122=-+=-⋅-+=t t t t t t AB （2）根据中点坐标的性质可得AB 的中点C 对应的参数为73221-=+t t 所以，由t 的几何意义可得点()21，-P 到线段AB 中点C 的距离为715 21.解：（1）θρθρρθθρsin 2cos 2sin 2cos 22k k k k -=-= ，∴圆C 的直角坐标方程为02222=+-+ky kx y x 即2222222k k y k x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-， 所以圆心的直角坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k 2222， （2）422cos 22sin =⋅-⋅θρθρ ，所以直线l 的直角坐标方程为 024=+-y x ，22242222=-++∴k k k 即k k +=+24,两边平方得32+=k k⎩⎨⎧+=>∴220k k k 或⎩⎨⎧+=-<320k k k 解得1-=k 22.解：（1）由题意可得圆C 的普通方程为()1122=+-y x ， 又θρθρsin cos ==y x ，，所以圆C 的极坐标方程为θρcos 2=（2）设点()11θρ，P ，由⎪⎩⎪⎨⎧==3cos 2πθθρ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3111πθρ设点()22θρ，Q ，由()⎪⎩⎪⎨⎧==+333cos 3sin πθθθρ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3322πθρ 所以2=PQ。
2016-2017年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
） D．2x+sinx
C．x+sinx
【考点】63：导数的运算．
【解答】解：函数 f（x）=x2+cosx 的导数 f′（x）为 2x﹣sinx， 故选：B． 3． （4 分）函数 f（x）= x3+ x2 的单调递增区间是（ A． （﹣∞，﹣1） ， （0，+∞） C． （﹣1，0） ）
B． （﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） D． （﹣∞，0） ， （1，+∞）
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2016-2017 学年北京市海淀区高二 （下） 期中数学试卷 （文 科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1． （4 分）下列各数中，是纯虚数的是（ A．i2 B．π ） C．1+ i
A．只有三个极大值点，无极小值点 B．有两个极大值点，一个极小值点 C．有一个极大值点，两个极小值点 D．无极大值点，只有三个极小值点 6． （4 分）函数 f（x）=lnx 与函数 g（x）=ax2﹣a 的图象在点（1，0）的切线相 同，则实数 a 的值为（ A．1 B．﹣ ） C． ） D． 或﹣
（Ⅰ）求 a2，a3，a4，并猜想数列{an}的通项公式；
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（Ⅱ）设数列{an}的前 n 项和为 Sn，求证：数列{Sn}不是等差数列． 18． （12 分）已知函数 f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣ ，其中 a∈R． （Ⅰ）求证：当 a=1 时，函数 y=f（x）没有极值点； （Ⅱ）求函数 y=f（x）的单调增区间．
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【考点】6B：利用导数研究函数的单调性． 【解答】解：函数 f（x）= x3+ x2， f′（x）=x2+x=x（x+1） ， 令 f′（x）＞0，解得：x＞0 或 x＜﹣1，
高二下学期文科期中考试试题(含答案)
绝密★启用前音一中2016-2017学年度下学期期中考试试题高二文科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟。
卷I一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2<9}，则A∩B等于()A．{－2，－1,0,1,2,3}B．{－2，－1,0,1,2} C．{1,2,3}D．{1,2}2.若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3.在极坐标系中，下列各点与点同一点的是()．A．B．C．D．4.已知复数z的共轭复数＝1＋2i (i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5.若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．150°6.从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程＝0.56x＋，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为() A．70.09kg B．70.12kg C．70.55kg D．71.05kg7.命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋<0D．∃x0∈R，|x0|＋≥08.在极坐标系中，以A(0,2)为圆心，2为半径的圆的极坐标方程是()A．ρ＝4sinθB．ρ＝2C．ρ＝4cosθD．ρ＝2sinθ＋2cosθ9.函数f(x)＝＋lg的定义域为()A．(2,3)B．(2,4]C．(2,3)∪(3,4]D．(－1,3)∪(3,6]10.若函数f(x)＝则f＝()A．9B．C．－9D．－11.在同一平面直角坐标系中，直线x-2y=2变成42''=-yx的伸缩变换是（）A．⎪⎩⎪⎨⎧==yyxx41''B.⎪⎩⎪⎨⎧==yyxx''4C.⎪⎩⎪⎨⎧==yyxx414''D.⎪⎩⎪⎨⎧==yyxx4''12.在直角坐标系xoy中，直线l经过点P（-1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的单位长度，建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为01cos6-2=+θρρ，若直线l与曲线C有公共点，则α的取值范围为（）A．⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ，，4340Y B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，43C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π， D. [)π，卷II二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝.14.已知集合A＝{x|a－1≤x≤1＋a}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x，则当x<0时，f(x)＝________．16.已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是____________．三、解答题(共6小题,满分70分)17.（本小题满分10分）已知p：函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)内单调递增，q：函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1大于零恒成立．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．18. （本小题满分12分）某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：P(K2≥k) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k3.841 5.024 6.635 7.87910.828(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程＝x ＋； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．19. （本小题满分12分）甲、乙两个学校高三年级分别有1 100人，1 000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120,150]内为优秀．(1)计算x ，y 的值； (2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，若按是否优秀来判断，是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异？20. （本小题满分12分）已知直线l 经过点P (1，1)，倾斜角(1) 写出直线l 的参数方程；(2) 设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．21. （本小题满分12分）已知函数f (x )＝|x －2|＋2|x －a |(a ∈R )． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )>3；(2)不等式f (x )≥1在区间(－∞，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．22. （本小题满分12分）函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x ＞0时，恒有f (x )＞1. (1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)＜2.-∧-∧-=--=∧-=---=∑∑tb y a t t y y t tb i ni i ini ,)())((211音一中2016-2017学年度下学期期中考试试题高二文科数学参考答案1.【答案】D【解析】由x2<9解得－3<x<3，∴B＝{x|－3<x<3}，又因为A＝{1,2,3}，所以A∩B＝{1,2}，故选D. 2.【答案】A【解析】由，解得m＝－2或m＝1，所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．3.【答案】D【解析】由极坐标的定义可得在极坐标系中，与表示同一点，答案为D．4.【答案】D【解析】由＝1＋2i得z＝1－2i,∴z对应点为(1，－2)，选D5.【答案】D【解析】由直线的参数方程知，斜率k＝＝＝－＝tanθ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150°.6.【答案】B【解析】＝＝170，＝＝69.∵回归直线过点(，)，∴将点(170,69)代入＝0.56x＋中得＝－26.2，∴回归直线方程＝0.56x－26.2，代入x＝172cm，则其体重为70.12kg.7.【答案】C【解析】易知该命题的否定为“∃x0∈R，|x0|＋<0”．8.【答案】A【解析】由圆的圆心A(0,2)和圆的半径r＝2，得到圆的平面直角坐标方程：x2＋(y－2)2＝4，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得到圆的极坐标方程：ρ＝4sinθ.9.【答案】C【解析】依题意，有4－|x|≥0，解得－4≤x≤4①；且>0，解得x>2且x≠3②；由①②求交集得函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．故选C.10.【答案】B【解析】∵f＝log4＝－2，∴f＝f(－2)＝3－2＝，选B.11.【答案】D12.【答案】A13.【答案】123【解析】记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f (8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f (9)＝123.所以a10＋b10＝123.14.【答案】(2,3)【解析】集合B中，x2－5x＋4≥0，∴x≥4或x≤1.又∵集合A中a－1≤x≤1＋a∵A∩B＝∅，∴a＋1<4且a－1>1，∴2<a<3.15.【答案】－【解析】当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝2－x＝x.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x(x<0)．16.【答案】【解析】因为函数f(x)在R上单调递减，所以解得≤a≤.作出函数y＝|f(x)|，y＝2－的图象如图．由图象可知，在[0，＋∞)上，|f(x)|＝2－有且仅有一个解；在(－∞，0)上，|f(x)|＝2－同样有且仅有一个解，所以3a<2，即a<.综上可得≤a<，所以a的取值范围是.17.【答案】(1，2)∪[3，＋∞)【解析】设p，q都为真．则由p：函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)内单调递增⇔－≤－1，解得m≥2.由q：函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1大于零恒成立⇔Δ＝[4(m－2)]2－4×4×1＜0，解得1＜m＜3.∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p，q 中只有一个为假，另一个为真．(1)当p真，q假时，根据命题与集合之间的对应关系，得p真时，m≥2，q假时，m≤1或m≥3.∴p 真q假时，⇒m≥3.(2)当p 假，q真时，根据命题与集合之间的对应关系，得p 假时，m＜2，q真时，1＜m＜3.∴p假q真时，⇒1＜m＜2.综合(1)(2)可得，m的取值范围为(1，2)∪[3，＋∞)．18.【答案】（1）＝6.5(x－2 006)＋260.2；（2）见解析【解析】(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求线性回归方程．为此对数据预处理如下：对预处理后的数据，容易算得＝0，＝3.2.＝＝＝6.5，＝－＝3.2.由上述计算结果，知所求线性回归方程为－257＝(x－2 006)＋＝6.5(x－2 006)＋3.2，即＝6.5(x－2 006)＋260.2.①(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量约为6.5×(2 012－2 006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．19.【答案】（1）x＝6，y＝7（2）有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．【解析】填表如下：由表格计算，得K2＝≈6.109＞5.024，故有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．20.【答案】(1) 直线的参数方程为即(2) 把直线代入x2＋y2＝4，得，化简，得t2＋(＋1)t－2＝0，故t1t2＝－2，则点P到A、B两点的距离之积为2.【解析】21.【答案】（1）不等式的解集为（2）a的取值范围为(－∞，1]∪[3，＋∞)．【解析】(1)当a＝1时，原不等式可化为①解得②此时无解；③解得∴不等式的解集为(2)当a>2时，f(x)＝当a＝2时，f(x)＝当a<2时，f(x)＝∴f(x)的最小值为f(2)或f(a)，则解得a≤1或a≥3.故实数a的取值范围为(－∞，1]∪[3，＋∞)．22.【答案】(1)设x1＜x2，∴x2－x1＞0.∵当x＞0时，f(x)＞1，∴f(x2－x1)＞1.f(x2)＝f((x2－x1)＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1＞0⇒f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在R上为增函数．(2)∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，f(2)＝2×2－1＝3，∴f(a2＋a－5)＜2＝f(1)．∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5＜1⇒－3＜a＜2，即a∈(－3,2)．。
2016_2017学年高二数学下学期期中试题文(含解析)
2016-2017学年下期半期考试高二年级数学试题（文）一、选择题（每小题5分，共60分。
）1. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解答：∵U={x∈N|x<6}={0,1,2,3,4,5}，P={2,4},Q={1,3,4,6}，∴C U P={0,1,3,5}，∴(∁U P)∩Q={1,3}.故选：C.2. 函数，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解答：f( x)=sin x+e x，∴f′(x)=cos x+e x，∴f′(0)=cos0+e0=1+1=2，故选：B3. 已知表示两条不同直线，表示平面．下列说法正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】..............................如图, ,但相交,错;,但,错;,但 ,错;故本题选4. 已知向量．若与垂直，则实数的值为 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】解答：根据题意,向量，则=(,3)，又由与垂直,则有()⋅=0即()⋅=(−)×+3t=0，解可得t=1；故选：A.5. 已知为函数的极小值点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解答：f′(x)=3x2−3，令f′(x)>0，解得：x>1或x<−1，令f′(x)<0，解得：−1<x<1，故f(x)在(−∞,−1)递增,在(−1,1)递减,在(1,+∞)递增，故1是极小值点，故a=1，故选：D.6. 函数单调递减区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】f′(x)=，令f′(x)<0，解得：1<x<e，故f(x)在(1,e)递减，故选：D.点睛：求函数的单调区间的“两个”方法方法一(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．方法二(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性7. 函数的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：因为函数可知在给定区间上x=取得最大值是，选C8. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：该几何体是四棱锥，，．考点：三视图，棱锥的体积．9. 若对任意的，恒有成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解答：因为对任意的x>0,恒有ln x⩽px−1⇒p⩾恒成立，设f(x)=只须求其最大值，因为f′(x)=,令f′(x)=0⇒x=1，当0<x<1时,f′(x)>0，当x>1时,f′(x)<0，故f(x)在x=1处取最大值且f(1)=1.故p的取值范围是[1,+∞).故选D.10. 甲、乙两人约定在下午间在某地相见，且他们在之间到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数(甲乙两人各自到达的时刻)组成。
2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(文)Word版含解析
2016-2017学年高二下学期期中数学试卷（文科数学）一、选择题1．已知f（x）=，则的值是（）A．B．﹣C．2 D．ln22．下列说法正确的是（）A．若f′（x0）不存在，则曲线y=f（x）在点（x，y）处就没有切线B．若曲线y=f（x）在点（x0，y）处有切线，则f′（x）必存在C．若f′（x0）不存在，则曲线y=f（x）在点（x，y）处的切线斜率不存在D．若曲线y=f（x）在点（x0，y）处没有切线，则f′（x）有可能存在3．过抛物线y2=16x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．8 B．10 C．14 D．164．下列求导运算正确的是（）A．（x+）′=1+B．（log2x）′=C．（3x）′=3x log3e D．（x2cosx）′=﹣2xsinx5．如图所示，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+5，则f（3）+f'（3）=（）A．B．1 C．2 D．06．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是（）A．5，﹣15 B．5，﹣4 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣167．过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则△ABF2（F2为右焦点）的周长是（）A．12 B．14 C．22 D．288．设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，若在双曲线C的下支上存在一点P使得|PF1|=4|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．[，+∞）B．（1，] C．[，+∞）D．（1，]9．已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是（）A．B．C．D．210．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（）A．8 B．9 C．10 D．1211．已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．（，﹣1）B．（，1）C．（，﹣1）D．（，1）12．已知f'（x）是函数f（x）（x∈R且x≠0）的导函数，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，记a=，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a二、填空题13．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为．14．已知曲线y=asinx+cosx在x=0处的切线方程是x﹣y+1=0，则实数a的值为．15．设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）= ．16．已知函数f（x）=mx2﹣mx﹣1，对于任意的x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，则m的取值范围是．三、解答题17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（0，5），（0，﹣5），椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；（2）焦点在坐标轴上，且经过A（，﹣2）和B（﹣2，1）两点．18．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？19．已知曲线C：y=经过点P（2，﹣1）．（1）求曲线C在点P处的切线方程；（2）求过点O（0，0），且与曲线C相切的切线方程．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点F1，F2距离之和为4，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．点P（2，1）为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．21．已知函数f（x）=1n（ax+1）+（x≥0，a为正实数）．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）的最小值为1，求a的取值范围．22．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．（1）求抛物线的标准方程；（2）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连结QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．2016-2017学年高二下学期期中数学试卷（文）参考答案与试题解析一、选择题1．已知f（x）=，则的值是（）A．B．﹣C．2 D．ln2【考点】6F：极限及其运算．【分析】由f（x）=，求导，f′（x）=﹣，由导数的定义可知=f′（2）=﹣，即可求得答案．【解答】解：f（x）=，求导，f′（x）=﹣，=f′（2）=﹣，故选：B．2．下列说法正确的是（）A．若f′（x0）不存在，则曲线y=f（x）在点（x，y）处就没有切线B．若曲线y=f（x）在点（x0，y）处有切线，则f′（x）必存在C．若f′（x0）不存在，则曲线y=f（x）在点（x，y）处的切线斜率不存在D．若曲线y=f（x）在点（x0，y）处没有切线，则f′（x）有可能存在【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据导数的几何意义，可得若f′（x0）不存在，则曲线y=f（x）在点（x，y）处的切线斜率不存在．【解答】解：根据导数的几何意义，可得若f′（x0）不存在，则曲线y=f（x）在点（x，y）处的切线斜率不存在．故选：C．3．过抛物线y2=16x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．8 B．10 C．14 D．16【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】抛物线 y2=16x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+8，由此易得弦长值．【解答】解：由题意，p=8，故抛物线的准线方程是x=﹣4，∵抛物线 y2=16x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点∴|AB|=x1+x2+8，又x1+x2=6∴∴|AB|=x1+x2+8=14故选C．4．下列求导运算正确的是（）A．（x+）′=1+B．（log2x）′=C．（3x）′=3x log3e D．（x2cosx）′=﹣2xsinx【考点】63：导数的运算．【分析】由导数的运算法则逐个选项验证可得．【解答】解：选项A，（x+）′=1﹣，故错误；选项B，（log2x）′=，故正确；选项C，（3x）′=3x ln3，故错误；选项D，（x2cosx）′=2xcosx﹣x2sinx，故错误．故选：B5．如图所示，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+5，则f（3）+f'（3）=（）A．B．1 C．2 D．0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】在点P处的斜率就是在该点处的导数，f′（3）就是切线y=﹣x+5的斜率，问题得解．【解答】解：在点P处的斜率就是在该点处的导数，f′（3）就是切线y=﹣x+5的斜率，即f′（3）=﹣1，∵f（3）=﹣3+5=2，∴f（3）+f'（3）=2﹣1=1，故选：B．6．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是（）A．5，﹣15 B．5，﹣4 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣16【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】对函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5求导，利用导数研究函数在区间[0，3]上的单调性，根据函数的变化规律确定函数在区间[0，3]上最大值与最小值位置，求值即可【解答】解：由题意y'=6x2﹣6x﹣12令y'＞0，解得x＞2或x＜﹣1故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在（0，2）减，在（2，3）上增又y（0）=5，y（2）=﹣15，y（3）=﹣4故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是5，﹣15故选A7．过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则△ABF2（F2为右焦点）的周长是（）A．12 B．14 C．22 D．28【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程求得a=4，由双曲线的定义可得 AF2+BF2=22，△ABF2的周长是（ AF1+AF2）+（ BF1+BF2）=（AF2+BF2）+AB，计算可得答案．【解答】解：由双曲线的标准方程可得 a=4，由双曲线的定义可得AF2﹣AF1=2a，BF2﹣BF1=2a，∴AF2+BF2﹣AB=4a=16，即AF2+BF2﹣6=16，AF2+BF2=22．△ABF2（F2为右焦点）的周长是（ AF1+AF2）+（ BF1+BF2）=（AF2+BF2）+AB=22+6=28．故选 D．8．设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，若在双曲线C的下支上存在一点P使得|PF1|=4|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．[，+∞）B．（1，] C．[，+∞）D．（1，]【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=3|PF2|=2a，再根据点P在双曲线的下支上，可得|PF2|≥c﹣a，从而求得此双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：∵|PF1|=4|PF2|，∴由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=3|PF2|=2a，∴|PF2|=a，∵点P在双曲线的下支，∴a≥c﹣a，即a≥c，∴e≤，∵e＞1，∴1＜e≤，∴双曲线的离心率e的取值范围为（1，]．故选：D．9．已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是（）A．B．C．D．2【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系．【分析】求出椭圆的方程为+y2=1，联立得出A（0，1），B（，），即可得出两点距离．【解答】解：∵e=，2c=2，c=1∴a=，c=1，则b==1，∴椭圆的方程为+y2=1，联立化简得：3x﹣4x=0，x=0，或x=，代入直线得出y=1，或y=则A（0，1），B（，）∴|AB|=，故选：B10．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（）A．8 B．9 C．10 D．12【考点】K5：椭圆的应用．【分析】先设出|PF1|=m，|PF2|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，代入△F1PF2的勾股定理中求得mn的值，即可求出△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可知m+n=2a，∴m2+n2+2nm=4a2，∴m2+n2=4a2﹣2nm由勾股定理可知m2+n2=4c2，求得mn=18，则△F1PF2的面积为9．故选B．11．已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．（，﹣1）B．（，1）C．（，﹣1）D．（，1）【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当P，Q和焦点三点共线且点P在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案．【解答】解：∵y2=4x∴p=2，焦点坐标为（1，0）过M作准线的垂线于M，由PF=PM，依题意可知当P，Q和M三点共线且点P在中间的时候，距离之和最小如图，故P的纵坐标为﹣1，然后代入抛物线方程求得x=，故选A．12．已知f'（x）是函数f（x）（x∈R且x≠0）的导函数，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，记a=，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】构造函数g（x）=，求出函数的导数，根据函数的单调性以及数的大小比较判断即可．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，∵x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，∴g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，g（x）在（0，+∞）递减，∵20.2＞20=1，0.22═0.04，log25＞log24=2，故g（log25）＜g（20.2）＜g（0.22），即c＜a＜b，故选：C．二、填空题13．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（1，2）．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据题意，方程中x2、y2的分母均大于0，且y2的分母较大，由此建立关于m的不等式组，解之即可得到实数m的取值范围．【解答】解：∵方程表示焦点在y轴上的椭圆，∴可得，解之得1＜m＜2即实数m的取值范围为（1，2）故答案为：（1，2）14．已知曲线y=asinx+cosx在x=0处的切线方程是x﹣y+1=0，则实数a的值为 1 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意求导y′=acosx﹣sinx，从而可得acos0﹣sin0=1；从而解得．【解答】解：y′=acosx﹣sinx，∵曲线y=asinx+cosx在x=0处的切线方程是x﹣y+1=0，而x﹣y+1=0的斜率为1；故acos0﹣sin0=1；解得，a=1；故答案为：1．15．设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）= 2 ．【考点】63：导数的运算；3T：函数的值．【分析】由题设知，可先用换元法求出f（x）的解析式，再求出它的导数，从而求出f′（1）．【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，令e x=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x，∴f′（x）=+1，故f′（1）=1+1=2．故答案为：2．16．已知函数f（x）=mx2﹣mx﹣1，对于任意的x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，则m的取值范围是（﹣∞，）．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】mx2﹣mx﹣1＜﹣m+5恒成立⇔m（x2﹣x+1）＜6恒成立，继而可求得m＜恒成立，依题意，可求得（）=，从而可得m的取值范围．min【解答】解：依题意，x∈[1，3]，mx2﹣mx﹣1＜﹣m+5恒成立⇔m（x2﹣x+1）＜6恒成立，∵x2﹣x+1=（x﹣）2+＞0，∴m＜恒成立，x∈[1，3]，又当x=3时，x2﹣x+1取得最大值7，=，∴m＜（）min即m的取值范围是：m＜．故答案为：（﹣∞，）．三、解答题17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（0，5），（0，﹣5），椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；（2）焦点在坐标轴上，且经过A（，﹣2）和B（﹣2，1）两点．【考点】K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆的定义求出a，可得b，即可求出椭圆的方程；（2）设出椭圆方程，代入点的坐标，建立方程组，即可求得椭圆的标准方程．【解答】解：（1）由题意，2a=26，c=5，∴a=13，b=12，∴椭圆的标准方程： =1；（2）依题意，可设椭圆的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0），则点A（，﹣2）和B（﹣2，1）代入可得，∴m=，n=，∴椭圆的标准方程为=1．18．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】首先分析题目求长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器当容器的高为多少时，容器的容积最大．故可设容器的高为x，体积为V，求出v关于x的方程，然后求出导函数，分析单调性即可求得最值．【解答】解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，则有V=（90﹣2x）（48﹣2x）x=4x3﹣276x2+4320x，（0＜x＜24）求导可得到：V′=12x2﹣552x+4320由V′=12x2﹣552x+4320=0得x1=10，x2=36．所以当x＜10时，V′＞0，当10＜x＜36时，V′＜0，当x＞36时，V′＞0，所以，当x=10，V有极大值V（10）=19600，又V（0）=0，V（24）=0，所以当x=10，V有最大值V（10）=19600故答案为当高为10，最大容积为19600．19．已知曲线C：y=经过点P（2，﹣1）．（1）求曲线C在点P处的切线方程；（2）求过点O（0，0），且与曲线C相切的切线方程．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）代入（2，﹣1），可得t=1，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求方程；（2）设出切点，求得切线的斜率和切线的方程，代入原点，解方程可得m，切线的斜率，进而得到切线的方程．【解答】解：（1）由题意可得=﹣1，解得t=1，即有y=，导数为y′=，曲线C在点P处的切线斜率为1，可得曲线C在点P处的切线方程为y+1=x﹣2，即为x﹣y﹣3=0；（2）设切点为（m，），可得切线的斜率为，切线的方程为y﹣=（x﹣m），代入点（0，0），可得﹣=﹣，解得m=，切线的斜率为4，即有与曲线C相切的切线方程为y=4x．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点F1，F2距离之和为4，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．点P（2，1）为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为常数2a=，得，离心率，于是，从而可得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程为，把其与椭圆的方程联立，求出弦长，即为△PAB的底，由点线距离公式求出△PAB的高，然后用基本不等式求最值．【解答】解：（1）由条件得：，解得，所以椭圆的方程为（2）设l的方程为，点A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得x2+2mx+2m2﹣4=0．令△=4m2﹣8m2+16＞0，解得|m|＜2，由韦达定理得．则由弦长公式得|AB|=•=•．又点P到直线l的距离，∴，当且仅当m2=2，即时取得最大值．∴△PAB面积的最大值为2．21．已知函数f（x）=1n（ax+1）+（x≥0，a为正实数）．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）的最小值为1，求a的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）先对函数求导，然后根据导数的几何意义可求切线斜率k=f′（1），进而可求切线方程（Ⅱ）先对函数求导，可得．通过讨论a﹣2的正负，判断导数在[0，+∞）上的符号，以判断函数的单调区间（Ⅲ）结合（II）中函数单调区间，可求函数取得最小值的条件及最小值，从而可求a的范围【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=1n（x+1）+则．…所以f′（1）=0．又f（1）=ln2，因此所求的切线方程为y=ln2．…（Ⅱ）．…（1）当a﹣2≥0，即a≥2时，因为x≥0，所以f′（x）＞0，所以函数f（x）在[0，+∞）上单调递增．…（2）当a﹣2＜0，即0＜a＜2时，令f′（x）=0，则ax2+a﹣2=0（x≥0），所以．因此，当x∈[0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，．所以函数f（x）的单调递增区间为（，+∞），，函数f（x）的单调递减区间为[0，）…（Ⅲ）当a≥2时，函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，则f（x）的最小值为f（0）=1，满足题意．…当0＜a＜2时，由（Ⅱ）知函数f（x）的单调递增区间为（，+∞），函数f（x）的单调递减区间为[0，）则f（x）的最小值为f（），而f（0）=1，不合题意．所以a的取值范围是[2，+∞）．…22．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．（1）求抛物线的标准方程；（2）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连结QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）设抛物线的方程为x2=2py（p＞0），求出准线方程，运用抛物线的定义和中位线定理，可得2（3+）=8，解得p，即可得到抛物线的方程；（2）设直线PQ的方程为y=kx+6，代入抛物线的方程，运用韦达定理，结合导数求得切线的斜率，再由两点的方斜率公式，以及三点共线的条件：斜率相等，化简整理解方程可得k的值，客人得到直线m的方程．【解答】解：（1）设抛物线的方程为x2=2py（p＞0），准线方程为y=﹣，由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=|AB|=2（3+）=8，解得p=2，即有抛物线的方程为x2=4y；（2）设直线PQ的方程为y=kx+6，代入抛物线的方程，可得x2﹣4kx﹣24=0，设P （x 1，），Q （x 2，），可得x 1+x 2=4k ，x 1x 2=﹣24， 由y=x 2的导数为y′=x ，设R （t ，﹣1），可得k PR ==x 1，可得t=x 1﹣，再由Q ，F ，R 共线，可得=，消去t ，可得=，即有16x 1x 2=4（x 12+x 22）﹣16﹣（x 1x 2）2，即有16×（﹣24）=4[（4k ）2+2×24]﹣16﹣242， 解方程可得k=±，即有直线m 的方程为y=±x+6．。
辽宁省六校协作体2016-2017学年高二下学期期中数学试
2016-2017学年辽宁省六校协作体高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．复数z=2﹣i（i是虚数单位）的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣1 D．22．已知集合A={x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}，，则A∩B=（）A．{x|1≤x≤2} B．{x|1≤x＜2} C．{x|2≤x≤4} D．{x|2＜x≤4}3．若点P（sinθ，cosθ）在直线2x+y=0上，则tan2θ=（）A．B．C．﹣ D．4．已知数列{a n}为等差数列，若a8=4，则数列{a n}的前15项和S15=（）A．12 B．32 C．60 D．1205．设α，β，γ表示平面，l表示直线，则下列命题中，错误的是（）A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于βB．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γC．如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于βD．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于β6．某空间几何体的三视图如图所示，图中主视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形，腰长为4，俯视图中的四边形为正方形，则这个几何体的体积是（）A．B．C．16 D．327．已知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的正弦值为（）A．B．C．D．8．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（）A．6 B．4 C．2 D．09．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，倾斜角为钝角的直线l过F且与C交于A，B两点，若|AB|=，则l的斜率为（）A．±B．﹣C．±D．﹣10．我国魏晋期间的伟大的数学家刘徽，是最早提出用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，他创立了“割圆术”，得到了著名的“徽率”，即圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14．如图就是利用“割圆术”的思想设计的一个程序框图，则输出的求n的值为（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）（）A．12 B．24 C．36 D．4811．设=（）A．4 B．5 C．6 D．1012．设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对于任意的实数x，有f（x）=3x2﹣f（﹣x），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+＜3x，若f（m+3）﹣f（﹣m）≤9m+，则实数m 的取值范围是（）A．；即f（x）的值域为．18．如图1，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，BC=AC=1，现将△DAC沿AC折起，得到三棱锥D ﹣ABC（如图2），且DA⊥BC，点E为侧棱DC的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面DBC；（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积；（Ⅲ）在∠ACB的角平分线上是否存在点F，使得DF∥平面ABE？若存在，求DF的长；若不存在，请说明理由【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明AE⊥CD；结合AC⊥BC，AD⊥BC，推出BC⊥平面ACD．得到AE⊥BC；证明AE⊥平面BCD，即可推出平面ABE⊥平面BCD．（Ⅱ）利用V E﹣ABC=V B﹣ACE，结合BC是三棱锥的高，求解．（Ⅲ）取AB中点O，连接CO并延长至点F，使CO=OF，连接AF，DF，BF．说明射线CO是角∠ACB的角分线．正面OE∥DF，推出DF∥平面ABE．然后最后求解DF即可．【解答】（本小题共14分）解：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，有AD=BC=AC，又因为E为侧棱DC的中点，所以AE⊥CD；又因为AC⊥BC，AD⊥BC，且AC∩AD=A，所以BC⊥平面ACD．又因为AE⊂平面ACD，所以AE⊥BC；因为BC∩CD=C，所以AE⊥平面BCD，又因为AE⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面BCD．…（Ⅱ）解：因为V E﹣ABC=V B﹣ACE，BC⊥平面ACD，所以BC是三棱锥的高，故，又因为BC=1，，，所以，所以有…（Ⅲ）解：取AB中点O，连接CO并延长至点F，使CO=OF，连接AF，DF，BF．因为BC=AC，所以射线CO是角∠ACB的角分线．又因为点E是的CD中点，所以OE∥DF，因为OE⊂平面ABE，DF⊄平面ABE，所以DF∥平面ABE．因为AB、FC互相平分，故四边形ACBF为平行四边形，有BC∥AF．又因为DA⊥BC，所以有AF⊥AD，又因为AF=AD=1，故．…19．某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图1）和女生身高情况的频率分布直方图（图2）．已知图1中身高在170～175cm的男生人数有16人．（1）根据频率分布直方图，完成下列的2×2列联表，并判断能有多大（百分比）的把握认为“身高与性别有关”？（2）在上述80名学生中，从身高在170﹣175cm 之间的学生按男、女性别分层抽样的方法，抽出5人，从这5人中选派3人当旗手，求3人中恰好有一名女生的概率．【考点】BO ：独立性检验的应用；CC ：列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】（1）计算男生、女生人数，求出2×2列联表中对应的数据，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）按分层抽样方法抽出男生、女生人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值． 【解答】解：（1）男生人数：，女生人数：80﹣40=40，男生身高≥170cm 的人数=（0.08+0.04+0.02+0.01）×5×40=30，女生身高≥170cm的人数0.02×5×40=4，所以可得到下列2×2列联表：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣计算观测值34.58＞10.828，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以能有99.9%的把握认为身高与性别有关；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）在170﹣175cm之间的学生男生有16人，女生人数有4人；按分层抽样的方法抽出5人，则男生占4人，女生占1人；设男生为A1，A2，A3，A4，女生为B；从5人任选3名有：（A1，A2，A3），（A1，A2，A4），（A1，A2，B），（A1，A3，A4），（A1，A3，B），（A1，A4，B），（A2，A3，A4），（A2，A3，B），（A2，A4，B），（A3，A4，B），共10种可能，3人中恰好有一名女生有：（A1，A2，B），（A1，A3，B），（A1，A4，B），（A2，A3，B），（A2，A4，B），（A3，A4，B）共6种可能，故所求概率为P=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．已知椭圆C：的离心率e=，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的方程；（2）A，B两点为椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A，B的一点，记直线PA，PB斜率分别为K PA，K PB，求K PA•K PB的值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）利用离心率以及已知条件列出方程组求解即可得到椭圆方程．（2）求出A（﹣2，0），B（2，0），设P坐标为（x，y），求出直线PA，PB斜率分别为，，利用，点P 在椭圆C上，转化求解即可．【解答】解：（1）由题有，解得，所以b2=a2﹣c2=3，所以椭圆C的方程为．（2）由（1）有A，B两点坐标为A（﹣2，0），B（2，0），设P坐标为（x，y），则直线PA，PB斜率分别为，，所以，又因为点P在椭圆C上，所以，化为，所以．21．已知f（x）=lnx+．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）若对任意x＞0，均有x（2lna﹣lnx）≤a恒成立，求正数a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为2lna≤lna+1，求出a的范围即可．【解答】解：（1）f（x）=lnx+，（x＞0），f′（x）=﹣=，（x＞0），当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增；无极值；当a＞0时，0＜x＜a时，f′（x）＜0，f（x）在（0，a）上递减，x＞a时，f′（x）＞0，f（x）在（a，+∞）上递增，f（x）极小值=f（a）=lna+1；（2）若对任意x＞0，均有x（2lna﹣lnx）≤a恒成立，即对任意x＞0，均有2lna≤lnx+恒成立，由（1）得：f（x）的最小值是lna+1，故问题转化为：2lna≤lna+1，即lna≤1，故0＜a≤．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ（1）若l的参数方程中的t=时，得到M点，求M的极坐标和曲线C的直角坐标方程；（2）若点P（1，1），l和曲线C交于A，B两点，求．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）t=代入直线l的参数方程求出M（0，2），从而求出点M的极坐标，由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．（2）联立直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程得，由此利用韦达定理能求出的值．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），l的参数方程中的t=时，得到M点，∴点M的直角坐标为M（0，2），∴，，∴点M的极坐标为M（2，），∵曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2﹣6x+y2=0．（2）联立直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程得：，则，∴=====．选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＞1解集；（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）＞1解集．（2）根据题意可得|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣2m|有解，即|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣2m|，再利用绝对值的意义求得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值，从而求得m的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|表示数轴上的x对应点到﹣2对应点的距离减去它到1对应点的距离，而0对应点到﹣2对应点的距离减去它到1对应点的距离正好等于1，故不等式f（x）＞1解集为{x|x＞0}．（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，即|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣2m|有解，故|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣2m|．利用绝对值的意义可得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值为3+4=7，∴|1﹣2m|≤7，故﹣7≤2m﹣1≤7，求得﹣3≤m≤4，m的范围为．2017年6月19日。
内蒙古包头市2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
内蒙古包头市2016-2017学年高二下学期期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．复数的共轭复数是（）A．3﹣4i B．C．3+4i D．2．若a，b是实数，且a＞b，则下列结论成立的是（）A．（）a＜（）b B．＜1 C．lg（a﹣b）＞0 D．a2＞b23．函数f（x）=x3﹣3x2+1的单调递减区间是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）4．观察式子：1+，1+，…，则可归纳出式子为（）A．（n≥2）B．1+（n≥2）C．1+（n≥2）D．1+（n≥2）5．与参数方程为（t为参数）等价的普通方程为（）A．x2+=1 B．x2+=1（0≤x≤1）C．x2+=1（0≤y≤2）D．x2+=1（0≤x≤1，0≤y≤2）6．关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≥m在R上恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（3，+∞）D．（﹣∞，3]7．表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.58．曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0的坐标为（）A．（1，0） B．（2，8） C．（1，0）或（﹣1，﹣4） D．（2，8）或（﹣1，﹣4）9．已知定义在R上的函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）10．对于在R上可导的任意函数f（x），若其导函数为f′（x），且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）≤2f（1） B．f（0）+f（2）＜2f（1） C．f（0）+f（2）≥2f（1） D．f（0）+f（2）＞2f（1）11．设曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x﹣3y+2=0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．f（x），g（x）（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0，f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＜0且的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．求曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率．14．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，则曲线C上的点到直线（t为参数）的距离的最小值为．15．已知x与y 之间的一组数据：则y与x的线性回归方程．16．已知函数y=x3﹣ax2+x﹣5若函数在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18～22题每小题10分，共70分）17．已知a＞0，b＞0，判断a3+b3与a2b+ab2的大小，并证明你的结论．18．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．19．甲乙两班进行数学考试，按照大于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到下列联表．已知在100人中随机抽取1人为优秀的概率为．（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，若按95%的可能性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？参考公式：k2=．20．已知函数f（x）=﹣x+xlnx（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若y=f（x）﹣m﹣1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．21．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．22．已知f （x ）=lnx ，g （x ）=ax 2+bx （a ≠0），h （x ）=f （x ）﹣g （x ），f （x ）=lnx ，g （x ）=ax 2+bx （a ≠0），h （x ）=f （x ）﹣g （x ）， （1）若a=3，b=2，求h （x ）的极值点；（2）若b=2且h （x ）存在单调递减区间，求a 的取值范围．内蒙古包头市2016-2017学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．复数的共轭复数是（）A．3﹣4i B．C．3+4i D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法运算把给出的复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，则其共轭复数可求．【解答】解：=．所以，数的共轭复数是．故选：B．2．若a，b是实数，且a＞b，则下列结论成立的是（）A．（）a＜（）b B．＜1 C．lg（a﹣b）＞0 D．a2＞b2【考点】71：不等关系与不等式．【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论．【解答】解：∵a＞b，∴，与1的大小关系不确定，lg（a﹣b）与0的大小关系不确定，a2与b2的大小关系不确定．因此只有A正确．故选：A．3．函数f（x）=x3﹣3x2+1的单调递减区间是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，令f′（x）＜0，解出即可．【解答】解：f′（x）=3x2﹣6x，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故函数的递减区间是（0，2），故选：D．4．观察式子：1+，1+，…，则可归纳出式子为（）A．（n≥2）B．1+（n≥2）C．1+（n≥2）D．1+（n≥2）【考点】F1：归纳推理．【分析】根据题意，由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母分析可得答案．【解答】解：根据题意，由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母可知，C正确；故选C．5．与参数方程为（t为参数）等价的普通方程为（）A．x2+=1 B．x2+=1（0≤x≤1）C．x2+=1（0≤y≤2）D．x2+=1（0≤x≤1，0≤y≤2）【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】先由参数方程求出参数t得取值范围，进而求出x、y的取值范围，再通过变形平方即可消去参数t．【解答】解：由参数方程为，∴，解得0≤t≤1，从而得0≤x≤1，0≤y≤2；将参数方程中参数消去得x2+=1．因此与参数方程为等价的普通方程为．故选D．6．关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≥m在R上恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（3，+∞）D．（﹣∞，3]【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】由题意可得|x﹣1|+|x+2|的最小值大于或等于m，而由绝对值三角不等式求得|x﹣1|+|x+2|的最小值为3，从而求得m的范围．【解答】解：∵关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≥m在R上恒成立，故|x﹣1|+|x+2|的最小值大于或等于m．而由|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，可得|x﹣1|+|x+2|的最小值为3，故有m≤3，故选：D7．表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5【考点】BQ：回归分析的初步应用．【分析】先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t的一次方程，解方程，得到结果．【解答】解：∵由回归方程知=，解得t=3，故选A．8．曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0的坐标为（）A．（1，0） B．（2，8） C．（1，0）或（﹣1，﹣4） D．（2，8）或（﹣1，﹣4）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用直线平行的性质，结合导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切点的坐标．【解答】解：因为直线y=4x﹣1的斜率为4，且切线平行于直线y=4x﹣1，所以函数在p0处的切线斜率k=4，即f'（x）=4．因为函数的导数为f'（x）=3x2+1，由f'（x）=3x2+1=4，解得x=1或﹣1．当x=1时，f（1）=0，当x=﹣1时，f（﹣1）=﹣4．所以p0的坐标为（1，0）或（﹣1，﹣4）．故选C．9．已知定义在R上的函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，根据函数极值的意义得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：f′（x）=ax2+2x+a，由题意得，解得：a∈（﹣1，0）∪（0，1），故选：D．10．对于在R上可导的任意函数f（x），若其导函数为f′（x），且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）≤2f（1） B．f（0）+f（2）＜2f（1） C．f（0）+f（2）≥2f（1） D．f（0）+f（2）＞2f（1）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≥0，对x与1的大小关系分类讨论即可得出函数f （x）的单调性．【解答】解：∵函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≥0，∴x＞1时，f′（x）≥0，此时函数f（x）单调递增；x＜1时，f′（x）≤0，此时函数f（x）单调递减，因此x=1函数f（x）取得极小值．∴f（0）≥f（1），f（2）≥f（1），∴f（0）+f（2）≥2 f（1），故选：C．11．设曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x﹣3y+2=0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】将参数方程化为普通方程，求出圆心和半径，再求圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系，观察即可得到点的个数．【解答】解：曲线C的参数方程为（θ为参数），化为普通方程为圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=9，圆心为（2，1），半径为3．则圆心到直线的距离d==．则直线与圆相交，则由3﹣＞，故在直线x﹣3y+2=0的上方和下方各有两个，共4个．故选D．12．f（x），g（x）（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0，f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＜0且的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系；3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】构造函数h（x）=，由已知可得x＜0时，h′（x）＜0，从而可得函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又由已知可得函数h（x）为奇函数，故可得h（0）=g（﹣2）=g（2）=0，且在（0，+∞）单调递减，可求得答案．【解答】解：∵f（x）和g（x）（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数∴f（﹣x）=﹣f（x）g（﹣x）=g（x）∵当x＜0时，f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＜0当x＜0时，，令h（x）=，则h（x）在（﹣∞，0）上单调递减∵h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g（x）=﹣h（x）∴h（x）为奇函数，根据奇函数的性质可得函数h（x）在（0，+∞）单调递减，且h（0）=0∵f（﹣2）=﹣f（2）=0，∴h（﹣2）=﹣h（2）=0h（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞）故选A．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．求曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率．【考点】62：导数的几何意义．【分析】求出函数的导数，求出切点的导函数值即可【解答】解：y==1+，∴y′=﹣，∴k=y′|x=3=﹣=﹣，故答案为：﹣14．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，则曲线C上的点到直线（t为参数）的距离的最小值为﹣1．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．配方可得圆心C，r．由曲线C上的点到直线（t为参数），消去参数t可得普通方程：2x﹣y+2=0，利用点到直线的距离可得圆心C到直线的距离d．即可得出曲线C上的点到直线（t为参数）的距离的最小值为d﹣r．【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．配方为（x﹣1）2+y2=1．可得圆心C（1，0），r=1．由曲线C上的点到直线（t为参数），消去参数t可得普通方程：2x﹣y+2=0，∴圆心C到直线的距离d==．∴曲线C上的点到直线（t为参数）的距离的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．15．已知x与y 之间的一组数据：则y与x的线性回归方程y=2x+1．【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据表格中的数据确定出，，x i y i，4•，x i2，42的值，进而求出a与b 的值，即可确定出y与x的线性回归方程．【解答】解：∵=1.5，=4，x i y i=34，4•=24，x i2=14，42=9，∴b==2，a=4﹣2×1.5=1，则y与x的线性回归方程为y=2x+1，故答案为：y=2x+1．16．已知函数y=x3﹣ax2+x﹣5若函数在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是a≤．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求导数得到f′（x）=x2﹣2ax+1，根据条件可得到f′（x）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立，得到关于a的不等式组，这样即可解出a的范围，即得出实数a的取值范围．【解答】解：∵y=f（x）=x3﹣ax2+x﹣5，∴f′（x）=x2﹣2ax+1；∵f（x）在[2，+∞）上是增函数；∴f′（x）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立；∴△=4a2﹣4≤0，或；解得﹣1≤a≤1，或a≤；∴a≤；故答案为：a≤．三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18～22题每小题10分，共70分）17．已知a＞0，b＞0，判断a3+b3与a2b+ab2的大小，并证明你的结论．【考点】R6：不等式的证明．【分析】法一，分析法：证明使a3+b3＞a2b+ab2成立的充分条件成立，即要证a3+b3≥a2b+ab2成立，只需证（a+b）（a2﹣ab+b2）≥ab（a+b）成立，只需证a2﹣ab+b2≥ab成立，（a﹣b）2≥0显然成立，从而得到证明；法二，综合法：a2﹣2ab+b2≥0，通过变形，应用不等式的性质可证出结论．法三，比较法：将两个式子作差变形，通过提取公因式化为完全平方与一个常数的积的形式，判断符号，得出大小关系．【解答】证明：法一：（分析法）要证a3+b3≥a2b+ab2成立，只需证（a+b）（a2﹣ab+b2）≥ab（a+b）成立又因为a＞0，只需证a2﹣ab+b2≥ab成立，（a﹣b）2≥0显然成立，由此命题得证．法二：（综合法）a2﹣2ab+b2≥0∴a2﹣ab+b2≥ab（*）而a，b均为正数，∴a+b＞0，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）≥ab（a+b）∴a3+b3≥a2b+ab2．法三：比较法（作差）（a3+b3）﹣（a2b+ab2）=（a3﹣a2b）+（b3﹣ab2）…又∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，而（a﹣b）2≥0．∴（a+b）（a﹣b）2≥0．…故（a3+b3）﹣（a2b+ab2）≥0即a3+b3≥a2b+ab2…18．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．【考点】QJ：直线的参数方程；J9：直线与圆的位置关系；QK：圆的参数方程．【分析】（1）利用公式和已知条件直线l经过点P（1，1），倾斜角，写出其极坐标再化为一般参数方程；（2）由题意将直线代入x2+y2=4，从而求解．【解答】解：（1）直线的参数方程为，即．（2）把直线代入x2+y2=4，得，t1t2=﹣2，则点P到A，B两点的距离之积为2．19．甲乙两班进行数学考试，按照大于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到下列联表．已知在100人中随机抽取1人为优秀的概率为．（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，若按95%的可能性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？参考公式：k2=．【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（1）由100人中随机抽取1人为优秀的概率为，我们可以计算出优秀人数为30，我们易得到表中各项数据的值．（2）我们可以根据列联表中的数据，代入公式K2，计算出K2值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．【解答】解：（1）（2），按95%的可能性要求，能认为“成绩与班级有关系”20．已知函数f（x）=﹣x+xlnx（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若y=f（x）﹣m﹣1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）求出导函数，利用导函数的符号，求解函数的单调区间．（2）y=f（x）﹣m﹣1在（0，+∞）内有两个不同的零点，可转化为f（x）=m+1在（0，+∞）内有两个不同的根，可转化为y=f（x）与y=m+1图象上有两个不同的交点，画出函数的图图象，判断求解即可．【解答】解：（1）f'（x）=lnx，令f'（x）＞0，解得x＞1；令f'（x）＜0，解得0＜x＜1；∴f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）（2）y=f（x）﹣m﹣1在（0，+∞）内有两个不同的零点，可转化为f（x）=m+1在（0，+∞）内有两个不同的根，也可转化为y=f（x）与y=m+1图象上有两个不同的交点，由（Ⅰ）知，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，f（x）min=f（1）=﹣1，由题意得，m+1＞﹣1即m＞﹣2①，由图象可知，m+1＜0，即m＜﹣1②，由①②可得﹣2＜m＜﹣1．21．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．22．已知f（x）=lnx，g（x）=ax2+bx（a≠0），h（x）=f（x）﹣g（x），f（x）=lnx，g（x）=ax2+bx （a≠0），h（x）=f（x）﹣g（x），（1）若a=3，b=2，求h（x）的极值点；（2）若b=2且h（x）存在单调递减区间，求a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）利用导数求单调性，在确定极值（2），，函数h（x））存在单调递减区间，只需h′（x）＜0有解，即当x ＞0时，则ax2+2x﹣1＞0在（0，+∞）上有解，分以下：（1）当a＞0，（2）当a＜0情况讨论即可【解答】解：（1）∵a=3，b=2，∴，∴，令h′（x）=0，则3x2+2x﹣1=0，x1=﹣1，x，则当0时，h′（x）＞0，则h（x）在（0，）上为增函数，当x时，h′（x）＜0，则h（x）在（上为减函数，则h（x）的极大值点为；（2）∵b=2，∴，∴，∵函数h（x））存在单调递减区间，∴h′（x）＜0有解．即当x＞0时，则ax2+2x﹣1＞0在（0，+∞）上有解．（1）当a＞0时，y=ax2+2x﹣1为开口向上的抛物线，y=ax2+2x﹣1＞0在（0，+∞）总有解．故a＞0符合题意；（2）当a＜0时，y=ax2+2x﹣1为开口向下的抛物线，要y=ax2+2x﹣1＞0在（0，+∞）总有解，则△=4+4a＞0，且方程ax2+2x﹣1=0至少有一个正根，此时，﹣1＜a＜0'综上所述，a的取值范围为（﹣1，0）∪（0，+∞）．。
吉林省松原市2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(文科)Word版含解析 (2)
吉林省松原市2016-2017学年高二下学期期中数学试卷（文科）一、选择题（共12题，各5分，共60分）1．若a、b是任意实数，且a＞b，则（）A．a2＞b2B．C．lg（a﹣b）＞0 D．2．若a，b∈R+，且，，则M与N的大小关系是（）A．M＞N B．M＜N C．M≥N D．M≤N3．若x＜0，则2+3x+的最大值是（）A．2+4B．2±4C．2﹣4D．以上都不对4．直线y=2x+1的参数方程是（）A．（t为参数）B．（t为参数）C．（t为参数） D．（θ为参数）5．参数方程（θ为参数）化为普通方程是（）A．2x﹣y+4=0 B．2x+y﹣4=0C．2x﹣y+4=0，x∈D．2x+y﹣4=0，x∈6．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为（）A．B．﹣ C．D．﹣7．已知过曲线（θ为参数，0≤θ≤π）上一点P与原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是（）A．（0，3）B．C．（﹣3，0）D．8．如果a，b∈R，且ab＜0那么下列不等式成立的是（）A．|a+b|＞|a﹣b| B．|a+b|＜|a﹣b| C．|a﹣b|＜||a|﹣|b|| D．|a﹣b|＜|a|+|b|9．若直线（t为参数）与直线4x+ky=1垂直，则常数k=（）A．7 B．5 C．4 D．610．曲线的参数方程为（t是参数），则曲线是（）A．线段 B．双曲线的一支 C．圆D．射线11．直线：3x﹣4y﹣9=0与圆：，（θ为参数）的位置关系是（）A．相切 B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心12．直线和圆x2+y2=16交于A，B两点，则AB的中点坐标为（）A．（3，﹣3）B．C．D．二、填空题（共4题，各5分，共20分）13．直线（t为参数）上到点A（1，2）的距离为4的点的坐标为．14．函数y=x的最大值为．15．不等式|x﹣4|≤3 的整数解的个数是．16．已知a，b，c是正实数，且a+b+c=1，则的最小值为．三、解答题（共6题，70分）17．已知12＜a＜60，15＜b＜36，求a﹣b及的取值范围．18．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：（1）（φ为参数）；（2）（t为参数）19．在直角坐标系xoy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系．已知点p的极坐标为（4，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ）=a且点P在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）设曲线C的参数方程为（θ为参数），求曲线C上的点到直l的最大值．20．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．21．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，设直线l的参数方程是（t为参数）．（1）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值．22．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（I）解不等式f（x）＞2；（II）求函数y=f（x）的最小值．吉林省松原市2016-2017学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12题，各5分，共60分）1．若a、b是任意实数，且a＞b，则（）A．a2＞b2B．C．lg（a﹣b）＞0 D．【考点】72：不等式比较大小．【分析】由题意可知a＞b，对于选项A、B、C举出反例判定即可．【解答】解：a、b是任意实数，且a＞b，如果a=0，b=﹣2，显然A不正确；如果a=0，b=﹣2，显然B无意义，不正确；如果a=0，b=﹣，显然C，lg＞0，不正确；满足指数函数的性质，正确．故选D．2．若a，b∈R+，且，，则M 与N的大小关系是（）A．M＞N B．M＜N C．M≥N D．M≤N【考点】72：不等式比较大小；7F：基本不等式．【分析】由a≠b，a，b∈R+，可得，相加整理可得要证的结论．【解答】解：∵a≠b，∴，∴，即，即 M＞N．故选：A．3．若x＜0，则2+3x+的最大值是（）A．2+4B．2±4C．2﹣4D．以上都不对【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用；3H：函数的最值及其几何意义．【分析】由题意，可变为2+3x+=2﹣，利用基本不等式求出最值得出正确选项【解答】解：2+3x+=2﹣，∵x＜0时，（﹣3x）+（﹣）≥2=4，∴2+3x+=2﹣≤2﹣4，故x＜0时，2+3x+的最大值是2﹣4，故选：C4．直线y=2x+1的参数方程是（）A．（t为参数）B．（t为参数）C．（t为参数）D．（θ为参数）【考点】QJ：直线的参数方程．【分析】由已知y=2x=1，可化为点斜式方程：y+1=2（x+1），令x+1=t，则y+1=2t，即可化为直线的参数方程．【解答】解：∵y=2x+1，∴y+1=2（x+1），令x+1=t，则y+1=2t，可得，即为直线y=2x+1的参数方程．故选：B．5．参数方程（θ为参数）化为普通方程是（）A．2x﹣y+4=0 B．2x+y﹣4=0C．2x﹣y+4=0，x∈D．2x+y﹣4=0，x∈【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】由于cos2θ=1﹣2sin2θ，由已知条件求出cos2θ和sin2θ代入化简可得结果．【解答】解：由条件可得 cos2θ=y+1=1﹣2sin2θ=1﹣2（x﹣2），化简可得2x+y﹣4=0，x∈，故选D．6．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】I3：直线的斜率；QJ：直线的参数方程．【分析】把直线的参数方程消去参数化为普通方程可得 y=﹣x+，从而得到直线的斜率．【解答】解：∵直线的参数方程为（t为参数），消去参数化为普通方程可得 y=﹣x+．故直线的斜率等于﹣．故选：D．7．已知过曲线（θ为参数，0≤θ≤π）上一点P与原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是（）A．（0，3）B．C．（﹣3，0）D．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】先求出该曲线的普通方程为x2+y2=9（x≥0），由点P与原点O的直线PO的倾斜角为，能求出P点坐标．【解答】解：曲线（θ为参数，0≤θ≤π）消去数得：该曲线的普通方程为x2+y2=9（x≥0），设P（3sinθ，3cosθ），∵点P与原点O的直线PO的倾斜角为，∴P（0，3）．故选：A．8．如果a，b∈R，且ab＜0那么下列不等式成立的是（）A．|a+b|＞|a﹣b| B．|a+b|＜|a﹣b| C．|a﹣b|＜||a|﹣|b|| D．|a﹣b|＜|a|+|b|【考点】R4：绝对值三角不等式．【分析】由条件可得a、b异号，故有|a+b|＜|a﹣b|，从而得出结论．【解答】解：由a，b∈R，且ab＜0，可得a、b异号，不妨令a=3，b=﹣1，检验可得只有选项B：|a+b|＜|a﹣b|成立，故选：B．9．若直线（t为参数）与直线4x+ky=1垂直，则常数k=（）A．7 B．5 C．4 D．6【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】首先，将参数方程化为普通方程，然后，利用直线与直线的垂直关系，确定k的值．【解答】解：∵直线（t为参数），消去参数，得x﹣y+2=0，∵x﹣y+2=0与直线4x+ky=1垂直，∴k=4，故选：C．10．曲线的参数方程为（t是参数），则曲线是（）A．线段 B．双曲线的一支 C．圆D．射线【考点】QJ：直线的参数方程．【分析】判断此曲线的类型可以将参数方程化为普通方程，再依据变通方程的形式判断此曲线的类型，由此参数方程的形式，可采用代入法消元的方式将其转化为普通方程【解答】解：由题意由（2）得t2=y+1代入（1）得x=3（y+1）+2，即x﹣3y﹣5=0，其对应的图形是一条直线又由曲线的参数方程知y≥﹣1，x≥2，所以此曲线是一条射线故选D11．直线：3x﹣4y﹣9=0与圆：，（θ为参数）的位置关系是（）A．相切 B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】根据圆的参数方程变化成圆的标准方程，看出圆心和半径，计算圆心到直线的距离，比较距离与半径的大小关系，得到位置关系．【解答】解：∵圆：，（θ为参数）∴圆的标准方程是x2+y2=4圆心是（0，0），半径是2，∴圆心到直线的距离是d==＜r∴直线与圆相交，且不过圆心，故选D．12．直线和圆x2+y2=16交于A，B两点，则AB的中点坐标为（）A．（3，﹣3）B．C．D．【考点】IF：中点坐标公式；QJ：直线的参数方程．【分析】把直线的参数方程化为普通方程后代入圆x2+y2=16化简可得 x2﹣6x+8=0，可得x1+x2=6，即AB的中点的横坐标为3，代入直线的方程求得AB的中点的纵坐标．【解答】解：直线即y=，代入圆x2+y2=16化简可得x2﹣6x+8=0，∴x1+x2=6，即AB的中点的横坐标为3，∴AB的中点的纵坐标为3﹣4=﹣，故AB的中点坐标为，故选D．二、填空题（共4题，各5分，共20分）13．直线（t为参数）上到点A（1，2）的距离为4的点的坐标为（﹣3，6）或（5，﹣2）．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】由两点间距离公式直接求解即可．【解答】解：点P（x，y）为直线上的点，解得或，故P（﹣3，6）或（5，﹣2）．故答案为：（﹣3，6）或（5，﹣2）．14．函数y=x的最大值为．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据基本不等式的性质解答即可．【解答】解：x＜0时，y＜0，x＞0时，y＞0，显然函数y=x取得最大值时，x＞0，而x＞0时，y=x=≤==，当且仅当x2=1﹣x2，即x=时“=”成立，故答案为：．15．不等式|x﹣4|≤3 的整数解的个数是7 ．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】去绝对值求出不等式的解集，从而求出整数解的个数即可．【解答】解：∵|x﹣4|≤3，∴﹣3≤x﹣4≤3，∴1≤x≤7，故不等式的整数解的个数是7个，故答案为：7．16．已知a，b，c是正实数，且a+b+c=1，则的最小值为9 ．【考点】7F：基本不等式．【分析】由则=3+（+）+（+）+（+），利用基本不等式即可求出【解答】解：a+b+c=1，则=++，=1+++1+++1++，=3+（+）+（+）+（+），≥3+2+2+2=9，当且仅当a=b=c=时取等号，故的最小值为9，故答案为：9三、解答题（共6题，70分）17．已知12＜a＜60，15＜b＜36，求a﹣b及的取值范围．【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：∵15＜b＜36，∴﹣36＜﹣b＜﹣15．∴12﹣36＜a﹣b＜60﹣15，∴﹣24＜a﹣b＜45．又＜＜，∴＜＜，∴＜＜4．∴﹣24＜a﹣b＜45，＜＜4．18．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：（1）（φ为参数）；（2）（t为参数）【考点】QL：椭圆的参数方程；QJ：直线的参数方程．【分析】（1）由消掉参数φ即可确定它表示什么曲线；（2）由消掉参数t即可明确它表示什么曲线．【解答】解：（1）∵，∴+=cos2φ+sin2φ=1，即+=1，∴表示焦点在x轴，长轴为10，短轴为8的椭圆；（2）由消掉参数t得： =，整理得4x+3y﹣4=0．∴表示斜率为﹣且经过（1，0）的直线．19．在直角坐标系xoy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系．已知点p的极坐标为（4，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ）=a且点P在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）设曲线C的参数方程为（θ为参数），求曲线C上的点到直l的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）直接利用极坐标方程点在线上求出参数a的值．（2）利用点到直线的距离求出结果．（1）已知点p的极坐标为（4，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ）【解答】解：=a，已知点P在直线l上，所以：，解得：a=2．直线l的极坐标方程为ρcos（θ）=2，则：x+y﹣4=0．（2）由于，则：曲线上点到直线的距离d==，所以：．20．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．【考点】QJ：直线的参数方程；J9：直线与圆的位置关系；QK：圆的参数方程．【分析】（1）利用公式和已知条件直线l经过点P（1，1），倾斜角，写出其极坐标再化为一般参数方程；（2）由题意将直线代入x2+y2=4，从而求解．【解答】解：（1）直线的参数方程为，即．（2）把直线代入x2+y2=4，得，t1t2=﹣2，则点P到A，B两点的距离之积为2．21．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，设直线l的参数方程是（t为参数）．（1）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值．【考点】JE：直线和圆的方程的应用；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）极坐标直接化为直角坐标，可求结果．（2）直线的参数方程化为直角坐标方程，求出M，转化为两点的距离来求最值．【解答】解：（1）曲C的极坐标方程可化为：ρ2=2ρsinθ，又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ．所以，曲C的直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0．（2）将直线L的参数方程化为直角坐标方程得：．令y=0得x=2即M点的坐标为（2，0）又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为（0，1）半径，∴．22．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（I）解不等式f（x）＞2；（II）求函数y=f（x）的最小值．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（I）将绝对值符号去掉，函数写成分段函数，再分段求出不等式的解集，即可确定不等式的解集；（II）分别求函数的值域，即可求出函数的最小值．【解答】解：函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|=，（I）令﹣x﹣5＞2，则x＜﹣7，∵x，∴x＜﹣7；令3x﹣3＞2，则x，∵﹣，∴；令x+5＞2，则x＞﹣3，∵x≥4，∴x≥4，∴f（x）＞2的解集为：{x|x＜﹣7或x＞}；（II）当x时，﹣x﹣5≥﹣当﹣时，﹣＜3x﹣3＜9，当x≥4时，x+5≥9∴函数y=f（x）的最小值为﹣．。
内蒙古包头市2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文)试题Word版含答案
内蒙古包头市2016-2017学年高二下学期期中考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，与复数i z 43+-=的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.曲线x x y sin =在点()0,πP 处的切线方程是（ ）A ．2ππ+-=x y B ．2ππ+=x y C ．2ππ--=x y D ．2ππ-=x y 3.变量y x ,之间的一组相关数据如表所示：若y x ,之间的线性回归方程为ˆˆ12.28yb x =+，则ˆb 的值为（ ） A ． 92.0- B ． 94.0- C ．96.0- D ．98.0- 4.点M 的直角坐标是()3,1-，则点M 的极坐标为（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π C.⎪⎭⎫ ⎝⎛32,2π D ．()Z k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+,32,2ππ5.=-+ii 131（ ）A ．i 21+B ．i 21+- C.i 21- D ．i 21-- 6.在复平面中，满足等式21=--+z i z 的z 所对应点的轨迹是（ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C.一条射线 D ．两条射线7.用反证法证明命题“若022=+b a ，则b a ,全为()R b a ∈,0”，其反设正确的是（ ）A ．b a ,至少有一个不为0B ．b a ,至少有一个为0 C.b a ,全不为0 D ．b a ,中只有一个为08.已知()22(1)f x x x f '=+⋅，则()0f '等于（ ）A ．2-B ．2 C. 1 D ．4-9.已知直线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=020cos 220sin 1:t y t x l （t 为参数），则直线的倾斜角为（ ）A ．0110B ．070 C.020 D ．016010.已知函数()x f 的导函数()()()02≠++='a c b x a x f 的图像如图所示，则函数()x f 的图像可能是（ ）A ．B ．C.D ．11.下面是使用类比推理恰当的是（ ）A ．“若33⋅=⋅b a ，则b a =”类推出“若00⋅=⋅b a ，则b a =”B ．“若()bc ac c b a +=+”类推出“()bc ac c b a ⋅=⋅” C.“()bc ac c b a +=+”类推出 “()0≠+=+c cb ca cb a ”D ．“()nnna b a b =”类推出“()nnna b a b +=+”12.已知nna ⎪⎭⎫⎝⎛=31，把数列{}n a 的各项排成如图的三角形，记()t s A ,表示第s 行的第t 个数，则()=12,11A（ ）1a2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a…………………A ．6713⎛⎫ ⎪⎝⎭B ． 6813⎛⎫⎪⎝⎭C. 11213⎛⎫⎪⎝⎭D ．11313⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.计算()()=-⨯--i i 378 ．14.设函数()x f '是奇函数()()R x x f ∈的导函数，()01=-f ,当0>x 时，()()0>-'x f x f x ,则使得()0>x f 成立的x 取值范围是 ．15.经过点⎪⎭⎫⎝⎛4,2πP ，且垂直与极轴的直线的极坐标方程是 ． 16.在极坐标系中，极点为O ，曲线θρsin 6:1=C 与曲线24sin :2=⎪⎭⎫⎝⎛+πθρC ，则曲线1C 上的点到曲线2C 的最大距离为 ．17.学校艺术节对同一类的D C B A ,,,四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或D 作品得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“D A ,两项作品未获得一等奖”； 丁说：“是C 作品获得一等奖”.若这四位同学只有两位的话是对的，则获得一等奖的是 ． 18.已知数列{}n a 满足()2111211,2,2222nnn n n n a a a n S a a a -⎛⎫=+=≥=⋅+⋅++⋅ ⎪⎝⎭，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得=⋅-+123n n n a S ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.在中学生测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评，某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表一：男生表二：女生(1)从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；(2)由表中统计数据填写22⨯列联表，试采用独立性检验进行分析，能否在犯错误的概率不超过1.0的前提下认为“测评结果优秀与性别有关”，参考数据与公示：()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22，其中d c b a n +++=临界值表：20.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y （单位：千元）的数据资料，算得720,184,20,801012101101101====∑∑∑∑====i i i i i i i i i x y x y x（1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程a bx y +=； （2）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.附：线性回归方程a bx y +=中，x b y a x xyn y x b ni ini i i -=-=∑∑==,121，其中y x ,为样本平均值. 21.极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为().sin cos 2θθρ+=（1）求C 的直角坐标方程；（2）直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x l 23121:（t 为参数）与曲线C 交于B A ,两点，与y 轴交于E ，求EB EA +的值.22.设函数()22+--=x x x f 最大值为M ，（1）求实数M 的值；（2）若()()t t x f R x 22,2+-≥∈∀恒成立，求实数t 的取值范围23.已知函数()().xe k x xf -=（1）求()x f 的单调区间；（2）当3=k 时，求()x f 在区间[]3,0上的最小值.内蒙古包头市2016-2017学年高二下学期期中考试数学（文）试题答案一、选择题1-5:CACCB6-10: CADAD11、12：CC二、填空题13.i 2421+- 14. ()()+∞-,10,1 15. 2cos =θρ 16.223+17.B 18.1+n三、解答题19.解： （1） 设从高一年级男生中抽出m 人，则40050045500+=m ，25=∴m ，,21820,52025=-==-=∴y x表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为c b a ,,，尚待改进的2人为B A ,，则从这5人中任选2人的所有可能结果为：()()()()()()()()()()B c A c B b A b B a A a B A c b c a b a ,,,,,,,,,,,共10种设事件C 表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C 的结果为：()()()()()()B c A c B b A b B a A a ,,,,,,,共6种.()53106==∴C P ，故所求概率为.53（2）22⨯列联表而()7.2125.12025153010155154522<=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K，所以没有90％的把握认为“测评结果优秀与性别有关”. 20.解:（1）由题意知21020,81080,10=====y x n ，又242810184,80810720101221012=⨯⨯-=-=⨯-=⨯-∑∑==y x n y x x n x i i i i i ，由此得4.083.02,3.08024-=⨯-===a b ，故所求回归方程为.4.03.0-=∧x y（2）由于变量y 的值随x 的值增加而增加()03.0>=b ,故x 与y 之间是正相关.（3）将7=x 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为7.14.073.0=-⨯=y （千元） . 21解: （1） 曲线C 的极坐标方程为()θθρsin cos 2+=θρθρρsin 2cos 22+=∴y x yx 2222+=+∴即()()21122=-+-y x（2）将（1）的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程, 得012=--t t ，所以().54212212121=-+=-=+=+t t t t t t t t EB EA22.解:（1）由题意得，()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<---≤=+--=2,2222,22,2222x x x x x x x f∴函数()x f 的最大值M 是22；（2）由（1）知，函数()x f 的最小值M 是22-，()()t t x f R x 22,2+-≥∈∀ 恒成立，()t t 22222+-≥-∴， 化简得，()022222≤++-t t ，解得22≤≤t ，所以不等式的解集是[].2,223.解：（1） ()().1xe k x xf +-='令()0='x f ，得,1-=k x所以()x f 的单调递减区间是()1,-∞-k ；单调递增区间是().,1+∞-k（2）3=k 时，()().3xe x xf -=因为：()x f 在[]2,0单调递减，在[]3,2单调递增， 所以：()x f 在区间[]3,0上的最小值为()22ef -=。
《解析》湖北省武汉外国语学校2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
2016-2017学年湖北省武汉外国语学校高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．﹣＞0 B．﹣＜0 C．＞D．＜2．观察下列各式：m+n=1，m2+n2=3，m3+n3=4，m4+n4=7，m5+n5=11，…，则m9+n9=（）A．29 B．47 C．76 D．1233．不等式≤x﹣2的解集是（）A．（﹣∞，0）∪（2，4）B．[0，2）∪[4，+∞）C．[2，4]D．（﹣∞，2]∪（4，+∞）4．设a，b∈（﹣∞，0），则（）A．都不大于﹣2 B．都不小于﹣2C．至少有一个不大于﹣2 D．至少有一个不小于﹣25．函数f（x）=（3﹣x2）•ln|x|的大致图象为（）A．B．C．D．6．函数y=ln（3x﹣x3）的单调递增区间是（）A．（0，1） B．（﹣1，1）C．D．7．做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为（）A．B．C．D．8．已知a＞0，b＞0，，则的最小值为（）A．4 B． C．8 D．169．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（0，）D．（0，1）10．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2017）3f（x+2017）+27f（﹣3）＞0的解集是（）A．（﹣2020，﹣2017）B．（﹣∞，﹣2017）C．（﹣2018，﹣2017）D．（﹣∞，﹣2020）11．已知a≥2，f（x）=x3+3|x﹣a|，若函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M，m，则M﹣m的值为（）A．8 B．﹣a3﹣3a+4 C．4 D．﹣a3+3a+212．已知函数，x1，x2为两不同实数，当f（x1）=f（x2）时，有（）A．x1+x2＞0 B．x1+x2＜0 C．x1+x2=0 D．无法确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设曲线处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a=．14．若函数f（x）=﹣x3+6x2+m的极大值为12，则实数m=．15．已知函数f（x）的导函数f′（x）=3+cosx，x∈（﹣1，1），且f（0）=0，如果f（1﹣x）+f（1﹣x2）＜0，则实数x的取值范围为．16．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．18．设，先分别求f（0）+f（1），f（﹣1）+f（2），f（﹣2）+f（3），然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．19．已知函数f（x）=，g（x）=af（x）﹣|x﹣1|．（Ⅰ）当a=0时，若g（x）≤|x﹣2|+b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数b 的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，求g（x）的最大值．20．设函数f（x）=ae x（x+2），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．（1）求函数f（x），g（x）的解析式；（2）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞﹣4）上的最小值．21．已知函数f（x）=x﹣ax2﹣ln（1+x），其中a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．22．已知函数f（x）=（ax+1）lnx﹣ax+3，a∈R，g（x）是f（x）的导函数，e 为自然对数的底数．（1）讨论g（x）的单调性；（2）当a＞e时，证明：g（e﹣a）＞0；（3）当a＞e时，判断函数f（x）零点的个数，并说明理由．2016-2017学年湖北省武汉外国语学校高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．﹣＞0 B．﹣＜0 C．＞D．＜【考点】71：不等关系与不等式．【分析】利用不等式的性质即可得出．【解答】解：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．故选：D．2．观察下列各式：m+n=1，m2+n2=3，m3+n3=4，m4+n4=7，m5+n5=11，…，则m9+n9=（）A．29 B．47 C．76 D．123【考点】F1：归纳推理．【分析】由题意可得到可以发现从第三项开始，右边的数字等于前两项的右边的数字之和，问题得以解决．【解答】解：∵1+3=4，3+4=7，4+7=11，7+11=18，11+18=29，18+29=47，29+47=76…∴可以发现从第三项开始，右边的数字等于前两项的右边的数字之和，∴m9+n9=76，故选：C．3．不等式≤x﹣2的解集是（）A．（﹣∞，0）∪（2，4）B．[0，2）∪[4，+∞）C．[2，4]D．（﹣∞，2]∪（4，+∞）【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】将原不等式转化为或，再由二次不等式和一次不等式的解法，即可得到解集．【解答】解：不等式≤x﹣2即为，即有≤0，即为或，即有或，即0≤x＜2或x≥4，则解集为[0，2）∪[4，+∞）．故选B．4．设a，b∈（﹣∞，0），则（）A．都不大于﹣2 B．都不小于﹣2C．至少有一个不大于﹣2 D．至少有一个不小于﹣2【考点】FD：反证法的应用．【分析】利用反证法证明，假设都大于﹣2，然后找出矛盾，从而得到结论．【解答】解：假设都大于﹣2，即a+＞﹣2，b+＞﹣2，将两式相加，得a++b+＞﹣4，又因为a+≤﹣2，b+≤﹣2，两式相加，得a++b+≤﹣4，与a++b+＞﹣4，矛盾所以至少有一个不大于﹣2．故选C．5．函数f（x）=（3﹣x2）•ln|x|的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊值，判断即可．【解答】解：函数f（x）=（3﹣x2）•ln|x|是偶函数，排除A，D选项，（3﹣x2）•ln|x|=0，当x＞0时，解得x=1，或x=，是函数f（x）=（3﹣x2）•ln|x|在x＞0时的两个零点，当x=时，f（）=（3﹣（）2）•ln||=＜0，可得选项B不正确，故选：C．6．函数y=ln（3x﹣x3）的单调递增区间是（）A．（0，1） B．（﹣1，1）C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】令t=3x﹣x3＞0，求得函数的定义域，本题即求函数t在定义域内的增区间．再利用导数研究函数的单调性，从而得出结论．【解答】解：令t=3x﹣x3＞0，求得函数的定义域为{x|x＜﹣，或0＜x＜}，且y=lnt，即求函数t在定义域内的增区间．∵t′=3﹣3x2，令t′=0，求得x=±1，由t′的符号可得t的减区间为（﹣∞，﹣1）、（1，+∞）；增区间为（﹣1，1）．再结合函数的定义域可得函数t在定义域内的增区间为（0，1），故选：A7．做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为（）A．B．C．D．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】设锅炉的高h与底面直径d的比为k=，运用圆柱的表面积公式和体积公式，结合导数，求得极值点且为最值点，即可得到．【解答】解：设锅炉的高h与底面直径d的比为k=，由V=h=•kd=kd3，可得d=，h=kd=，设造价为y，则y=2π•（）2•a+πdh•b，则y′=+令y′=0，解得k=，可得此时y取得最小值．故当造价最低时，锅炉的高与底面直径的比为．故选C．8．已知a＞0，b＞0，，则的最小值为（）A．4 B． C．8 D．16【考点】7F：基本不等式．【分析】先求出ab=1，从而求出的最小值即可．【解答】解：由，有ab=1，则，故选：B．9．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（0，）D．（0，1）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】方法一：求导，由题意可知g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．则根据函数的单调性求得g（x）的极大值，则g（）=ln＞0，即可求得实数a的取值范围．方法二：先求导函数，函数f（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，等价于f′（x）=lnx ﹣ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=ax﹣1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．【解答】解：方法一：f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣ax．令g（x）=lnx+1﹣ax，∵函数ff（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x）=﹣a=，当a≤0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，令g′（x）＞0，解得0＜x＜，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得x＞，此时函数g（x）单调递减．∴当x=时，函数g（x）取得极大值．当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→﹣∞，要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则g（）=ln＞0，解得0＜a＜1．∴实数a的取值范围是（0，1）．故选：D．方法二：解：由题意，f′（x）=lnx+1﹣ax，令f′（x）=lnx﹣ax+1=0得lnx=ax﹣1，函数f（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜1时，y=lnx与y=ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，1）．故选：D．10．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2017）3f（x+2017）+27f（﹣3）＞0的解集是（）A．（﹣2020，﹣2017）B．（﹣∞，﹣2017）C．（﹣2018，﹣2017）D．（﹣∞，﹣2020）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：由3f（x）+xf′（x）＞0，（x＜0），得：3x2f（x）+x3f′（x）＞0，即[x3f（x）]′＞0，令F（x）=x3f（x），则当x＜0时，得F′（x）＞0，即F（x）在（﹣∞，0）上是增函数，∴F（x+2017）=（x+2017）3f（x+2017），F（﹣3）=﹣27f（﹣3），即不等式等价为F（x+2017）＞F（﹣3），∵F（x）在（﹣∞，0）是增函数，∴由F（x+2017）＞F（﹣3）得，x+2017＞﹣3，即x＞﹣2020，而x+2017＜0，故x＜﹣2017，故选：A．11．已知a≥2，f（x）=x3+3|x﹣a|，若函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M，m，则M﹣m的值为（）A．8 B．﹣a3﹣3a+4 C．4 D．﹣a3+3a+2【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】根据a≥1，结合[﹣1，1]，化简f（x）=x3+3|x﹣a|的解析式，运用导数，判断单调性，进而根据函数的单调性，即可求M﹣m．【解答】解：∵a≥1，x∈[﹣1，1]，∴x﹣a≤0，∴f（x）=x3+3|x﹣a|=x3﹣3x+3a，∴f′（x）=3x2﹣3，当x∈[﹣1，1]时，f′（x）≤0恒成立，故函数f（x）在[﹣1，1]上为减函数，故M﹣m=f（﹣1）﹣f（1）=﹣1+3+3a﹣（1﹣3+3a）=4，故选：C．12．已知函数，x1，x2为两不同实数，当f（x1）=f（x2）时，有（）A．x1+x2＞0 B．x1+x2＜0 C．x1+x2=0 D．无法确定【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【分析】构造函数，利用导数证明函数的单调性，即可得出结论．【解答】解：当x＜1时，由于＜0，e x＞0，得到f（x）＞0；同理，当x ＞1时，f（x）＜0．当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，不妨设x1＜x2．由题意可知：x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，1）．下面证明：∀x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x），即证（1﹣x）e x﹣＜0．令g（x）=（1﹣x）ex﹣，则g′（x）=﹣xe﹣x（e2x﹣1）．当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．即（1﹣x）ex﹣＜0．∴∀x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x）．而x2∈（0，1），∴f（x2）＜f（﹣x2）．从而，f（x1）＜f（﹣x2）．由于x1，﹣x2∈（﹣∞，0），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴x1＜﹣x2，即x1+x2＜0．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设曲线处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a=1．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数处的导数，即为曲线在此点的切线斜率，再利用两直线垂直的性质求出a．【解答】解：y=的导数为y′=，当x=时，y′=1，故y=在点（，2）处的切线斜率为1，故与它垂直的直线x+ay+1=0 的斜率为=﹣1，∴a=1，故答案为：1．14．若函数f（x）=﹣x3+6x2+m的极大值为12，则实数m=﹣20．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】根据函数的极值是12，对函数求导使得导函数等于0，验证函数在这两个数字左右两边的导函数值，看出在x=4处取得极值，代入得到结果．【解答】解：∵函数y=﹣x3+6x2+m的极大值为12，∴y′=﹣3x2+12x=0，∴x=0，x=4，∴函数在（0，4）上单调递增，在（4，+∞）上单调递减，∴﹣64+96+m=12，∴m=﹣20，故答案为：﹣20．15．已知函数f（x）的导函数f′（x）=3+cosx，x∈（﹣1，1），且f（0）=0，如果f（1﹣x）+f（1﹣x2）＜0，则实数x的取值范围为（1，）．【考点】6A：函数的单调性与导数的关系；3F：函数单调性的性质．【分析】由导函数可求原函数f（x），判断函数f（x）单调性和奇偶性，利用奇偶性将不等式f（1﹣x）+f（1﹣x2）＜0 等价于f（1﹣x）＜f（x2﹣1）．利用单调性去掉函数符号f 即可解得所求，注意自变量本身范围．【解答】解：∵f'（x）=3+cosx，知f（x）=3x+sinx+c，而f（0）=0，∴c=0．即f（x）=3x+sinx，易知此函数是奇函数，且在整个区间单调递增，因为f'（x）=3+cosx在x∈（﹣1，1）恒大于0，根据奇函数的性质可得出，在其对应区间上亦是单调递增的．由f（1﹣x）+f（1﹣x2）＜0 可得f（1﹣x）＜﹣f（1﹣x2），即：f（1﹣x）＜f （x2﹣1）．∴，解得解得：x∈（1，），故答案为：（1，）16．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是丁．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】若甲猜对，则4号或5号选手得第一名，那么乙也猜对了，不符合题意，所以甲没猜对，得第一名的是1，2，3或6号，若乙猜对，则1，2或6号得了第一名，那么丙也猜对了，所以乙没有猜对，3号没有得第一，所以得第一的是3号，所以丙也没猜对，丁猜对了．【解答】解：假设甲猜对，则乙也猜对了，所以假设不成立；假设乙猜对，则丙、丁中必有一人对，所以假设不成立；假设丙猜对，则乙一定对，假设不成立；假设丁猜对，则甲、乙、丙都错，假设成立，故答案为：丁．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．【考点】R6：不等式的证明．【分析】利用基本不等式，再相加，即可证得结论．【解答】证明：∵a，b，c都是正数，∴a2b2+b2c2≥2ab2c，a2b2+c2a2≥2a2bc，c2a2+b2c2≥2abc2∴2（a2b2+b2c2+c2a2）≥2ab2c+2a2bc+2abc2∴a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+a2bc+abc2∴≥abc．18．设，先分别求f（0）+f（1），f（﹣1）+f（2），f（﹣2）+f（3），然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．【考点】F1：归纳推理；3T：函数的值．【分析】利用条件，求f（0）+f（1），f（﹣1）+f（2），f（﹣2）+f（3），归纳猜想一般性结论，利用指数的性质给出证明．【解答】解：f（0）+f（1）=，同理可得：f（﹣1）+f（2）=，f（﹣2）+f（3）=．一般性结论：或写成“若x1+x2=1，则f（x1）+f（x2）=．”证明：==，19．已知函数f（x）=，g（x）=af（x）﹣|x﹣1|．（Ⅰ）当a=0时，若g（x）≤|x﹣2|+b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数b 的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，求g（x）的最大值．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；3R：函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当a=0时，若g（x）≤|x﹣2|+b对任意x∈（0，+∞）恒成立，﹣b≤|x﹣1|+|x﹣2|，求出右边的最小值，即可求实数b的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，即可求g（x）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，g（x）=﹣|x﹣1|，∴﹣|x﹣1|≤|x﹣2|+b，∴﹣b≤|x﹣1|+|x﹣2|，∵|x﹣1|+|x﹣2|≥|x﹣1+2﹣x|=1，∴﹣b≤1，∴b≥﹣1…（Ⅱ）当a=1时，…可知g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减…∴g（x）max=g（1）=1．…20．设函数f（x）=ae x（x+2），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．（1）求函数f（x），g（x）的解析式；（2）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞﹣4）上的最小值．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导函数，利用两函数在x=0处有相同的切线，可得3a=b，f（0）=2a=g（0）=2，即可求函数f（x），g（x）的解析式；（2）求导函数，确定函数的单调性，再分类讨论，即可求出函数f（x）在[t，t+1]（t＞﹣4）上的最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=ae x（x+2），g（x）=x2+bx+2可得f'（x）=ae x（x+3），g'（x）=2x+b，由题意，两函数在x=0处有相同的切线．∴f'（0）=3a，g'（0）=b，∴3a=b，f（0）=2a=g（0）=2，∴a=1，b=3，∴f（x）=e x（x+2），g（x）=x2+3x+2；（2）f'（x）=e x（x+3），由f'（x）＞0得x＞﹣3，由f'（x）＜0得x＜﹣3，∴f（x）在（﹣3，+∞）单调递增，在（﹣∞，﹣3）单调递减，∵t＞﹣4，∴t+1＞﹣3，①当﹣4＜t＜﹣3时，f（x）在[t，﹣3]单调递减，[﹣3，t+1]单调递增，∴f（x）的最小值为f（﹣3）=﹣e﹣3；②当t≥﹣3时，f（x）在[t，t+1]单调递增，∴f（x）的最小值为f（t）=e t（t+2）．∴综上可得，当﹣4＜t＜﹣3时，f（x）的最小值为﹣e﹣3；当t≥﹣3时，f（x）的最小值为e t（t+2）．21．已知函数f（x）=x﹣ax2﹣ln（1+x），其中a∈R．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）在[0，+∞）上的最大值是0，求a 的取值范围．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6K ：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）对a 分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出；（2）通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，结合题意求出a 的范围即可．【解答】解：（1）①当a=0时，f′（x ）=，故f （x ）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（﹣1，0）．②当a ＞0时，f'（x ）=1﹣ax ﹣=，令f'（x ）=0，得x 1=0，或x 2=﹣1，当0＜a ＜1时，f （x ）与f'（x ）的情况如下：所以，f （x ）的单调增区间是（0，﹣1）；单调减区间是（﹣1，0）和（﹣1，+∞）．当a=1时，f （x ）的单调减区间是（﹣1，+∞）当a ＞1时，﹣1＜x 2＜0，f （x ）与f'（x）的情况如下：所以，f （x ）的单调增区间是（﹣1，0）；单调减区间是（﹣1，﹣1）和（0，+∞）．③当a ＜0时，f （x ）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（﹣1，0）． （2）由（1）知a ≤0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，由f （0）=0，知不合题意．当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f（﹣1），由f（﹣1）＞f（0）=0，知不合题意，当a≥1时，f（x）在（0，+∞）单调递减，可得f（x）在[0，+∞）上的最大值是f（0）=0，符合题意，所以，f（x）在[0，+∞）上的最大值是0时，a的取值范围是[1，+∞）．22．已知函数f（x）=（ax+1）lnx﹣ax+3，a∈R，g（x）是f（x）的导函数，e 为自然对数的底数．（1）讨论g（x）的单调性；（2）当a＞e时，证明：g（e﹣a）＞0；（3）当a＞e时，判断函数f（x）零点的个数，并说明理由．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）求导，由导数与函数单调性的关系，即可求得g（x）的单调区间；（2）由g（e﹣a）=﹣a2+e a，构造函数h（x）=﹣x2+e x，求导，当x＞e时，h′（x）＞0，函数单调递增，即可求得h（x）=﹣x2+e x＞﹣e2+e e＞0，（3）由（1）可知，函数最小值为g（）=0，故g（x）恰有两个零点x1，x2，则可判断x1，x2是函数的极大值和极小值，由函数零点的存在定理，求得函数f （x）只有一个零点．【解答】解：（1）对函数f（x），求导得g（x）=f′（x）=alnx+，g′（x）=﹣=，①当a≤0时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）上为减函数；②当a＞0时，′（x）＞0，可得x＞，故g（x）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）；（2）证明：g（e﹣a）=﹣a2+e a，设h（x）=﹣x2+e x，则h′（x）=e x﹣2x，易知当x＞e时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，h（x）=﹣x2+e x＞﹣e2+e e＞0，∴g（e﹣a）＞0；（3）由（1）可知，当a＞e时，g（x）是先减再增的函数，其最小值为g（）=aln+a=a（ln+1）＜0，而此时g（）=1+，g（e﹣a）＞0，且e﹣a＜＜，故g（x）恰有两个零点x1，x2，∵当x∈（0，x1）时，f′（x）=g（x）＞0；当x∈（x1，x2）时，f′（x）=g（x）＜0；当x∈（x2，+∞）时，f′（x）=g（x）＞0，∴f（x）在x1，x2两点分别取到极大值和极小值，且x1∈（0，），由g（x1）=alnx1+=0，知a=﹣，∴f（x1）=（ax1+1）lnx1﹣ax1+3=lnx1++2，∵lnx1＜0，∴lnx1+≤﹣2，但当lnx1+=﹣2时，lnx1=，则a=e，不合题意，所以f（x1）＜0，故函数f（x）的图象与x轴不可能有两个交点．∴函数f（x）只有一个零点．2017年5月25日。