由参数方程确定的函数的性质及应用
10 由参数方程确定的函数的导数、高阶导数
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二、高阶导数
1、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度 问题:变速直线运动的加速度.
设 s = f (t ), 则瞬时速度为 v ( t ) = f ′( t )
Q 加速度 a是速度 v对时间 t的变化率
∴ a ( t ) = v ′( t ) = [ f ′( t )]′ .
一 地 函 f ( x)的 −1 导 的 数 为 般 , 数 n 阶 数 导 称
数 n 导 , 作 函 f ( x)的 阶 数 记
dn y dn f ( x) f (n) ( x), y(n) , . 或 n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 高阶导数. 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数
(4) ( x α ) ( n ) = α(α − 1) L (α − n + 1) x α − n
(n)
(5) (ln x )
14
= ( −1)
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n −1
( n − 1)! xn
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1 (n) n n! ( ) = ( −1) n + 1 x x
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1 (5) , 求y . 2 x −1 1 1 1 1 解Qy= 2 ) = ( − x −1 2 x −1 x +1
例6 设 y =
∴y
(5)
1 − 5! − 5! ] = [ − 6 6 2 ( x − 1) ( x + 1) 1 1 ] = 60[ − 6 6 ( x + 1) ( x − 1)
15
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由参数方程确定的函数的求导方法
一、概述从高中开始学习数学，我们就被教导如何求解代数函数的导数。
但是在高等数学领域，我们还需要学会如何求解由参数方程确定的函数的导数。
参数方程在描述曲线、曲面等几何图形时具有独特的优势，因此求解由参数方程确定的函数的导数是十分重要的。
二、参数方程的定义参数方程是由参数对确定的函数，其自变量和因变量均为参数。
常见的参数方程形式可表示为$x=f(t)$，$y=g(t)$，其中$x$和$y$分别是$t$的函数。
参数方程的优点在于能够将几何问题转化为代数问题，简化问题的求解过程。
三、从参数方程求导的基本方法1. 链式法则当我们需要求解由参数方程确定的函数的导数时，可以利用链式法则。
设有参数方程$x=f(t)$，$y=g(t)$，需求解函数$y$关于$x$的导数$\frac{dy}{dx}$。
根据链式法则，我们有$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$。
通过对参数$t$的求导，我们可以得到$y$关于$x$的导数。
2. 极限定义法我们也可以利用极限定义法来求解由参数方程确定的函数的导数。
设有参数方程$x=f(t)$，$y=g(t)$，需求解函数$y$关于$x$的导数$\frac{dy}{dx}$。
我们可以将$\frac{dy}{dx}$表示为$\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$，其中$\Delta t$趋近于$0$。
通过极限的定义，我们可以求得函数$y$关于$x$的导数。
四、实例分析为了更好地理解从参数方程求导的方法，我们通过实例来进行分析。
假设有参数方程$x=2t$，$y=t^2$，我们需要求解函数$y$关于$x$的导数。
根据链式法则，我们有$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$，代入参数方程得$\frac{dy}{dx}=\frac{2t}{2}=\frac{t}{1}=t$。
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
d y ψ ′( t ) ψ ′( t ) dx , 即 , = 所以 dy = ϕ ′( t ) d x ϕ ′( t ) dy dy dt 或者 = . 参数方程的求导公式. 参数方程的求导公式. dx dx dt
14
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率
π x = a ( t − sin t ) 在t = 处的切线方程 . 例 求摆线 2 y = a (1 − cos t ) dy dy dt a sin t = = 解 dx a − a cos t y dx a a dt sin t a a , = 2πa x πa O 1 − cos t π sin dy 2 = 1. 当 t = π 时, x = a ( π − 1), 所以 π = 2 dx t = 2 1 − cos π y = a. 2 2 π 所求切线方程为 y − a = x − a ( − 1) 2 π 即 y = x + a ( 2 − ). 2 15
隐函数 设函数y=f (x)由方程 xy + 2 ln x = y 4所确定, 设函数 由方程 所确定 则曲线y=f (x)在点 则曲线 在点(1,1)处的切线方程是 x − y = 0). 处的切线方程是( 在点 处的切线方程是 解 将方程两边求微分 得 将方程两边求微分, 2 ydx + xdy + dx = 4 y 3dy x dy =1 再将点(1,1)代入上方程 得 代入上方程, 再将点 代入上方程 d x ( 1 ,1 ) 切线方程为 即
隐函数求导法则
利用函数的微分法则 将方程两边求微分. 利用函数的微分法则, 将方程两边求微分 函数的微分法则
求由方程 xy − e x + e y = 0所确定的隐函数 y 例
高等数学3-4隐函数的导数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 消去参数 t 2
得 , 此参数方程确定的函数y t 2 ( x )2 ,
即 y y( x) x2 .
2
4
问题: 消参数困难或无法消去参数时如何求导?
9/18
对
x
y
x(t ) y(t )
t It ,
若 x x(t) 在上 It单调、可导且x(t) 恒不为零
确定
y
y( x)的求导法:
dy dx
dt dx
y(t ) x(t )
dt
10/18
例6
求摆线
x a(t sint)
y
a(1
cos
t
)
在 t
2
时的切线方程。
解 dy y(t) a sint sint , dx x(t) a a cost 1 cost
dy dx
t 2
sin 2
1 cos
y x0
y 1
1 4
;
视 y y( x)、y y( x)，将方程 (1) 两边再对 x 求导, 得
12x2 2 y xy 12 y2( y)2 4 y3 y 0,
代入 x 0、y 1 及
y
x0 y 1
1 4
得
y
x0 y 1
1. 16
5/18
二、对数求导法
——利用隐函数求导法求显函数导数的方法。 对数求导法：
直角坐标系中
y
r(
)
sin
,
其中
为参数
例 3.4.10
求对数螺旋
)
处的切线方程。
（用极坐标表示）
解
隐函数导数和由参数方程确定的函数的导数
dy dt
1
dx
(t ) (t )
dt
dy 即 dy dt
dx dx dt
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例5求摆线
x y
a(t sin t) a(1 cost)
在t
2
处的切线方程
dy
解
dy dx
dt dx
a 1 cost a t sin t
a sin t a a cos t
sin t 1 cos t
所求切线的斜率为 k dy
dx
x2
3 4
于是所求的切线方程为
y 3 3 3 ( x 2) 即
2
4
3x 4y8 3 0
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小结
❖ 1、隐函数的求导方法：将Y看成复合函数用 复合函数求导法则直接对方程两边求导.
❖ 2、参数方程的求导公式
作业
dy
dy dx
dt dx
dt
P69 1(2) 2(1) 3(1) 5(3)
y x
1
3t 2t
2
2 2
1
t 1
t 1
曲线在t=1处对应的点为 (0,0)，
所求的切线方程为 y x 即 x y 0
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练习：1.求由方程
x
y
1 sin 2
y
所0 确定的隐函数的导数
dy dx
解：方程两边分别对x求导，得
1 dy 1 cos y dy 0
dx 2
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第三节 隐函数导数和由参数方程 确定的函数的导数
一、隐函数的导数、对数求导法 二、由参数方程确定的函数的导数
1.4.4 由参数方程所确定的函数的求导法则
作业 习题1.4 习题 P59-61 A 组 13 (1) 、(3) ， 14
湘潭大学数学与计算科学学院
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17
所求切线方程为
y − a = x − a ( − 1) 2
即
y = x + a (2 −
π
π
2
).
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湘潭大学数学与计算科学学院
x = t 2 + 2t, (0 < ε < 1). 例2 设由方程 2 t − y + ε sin y = 1,
确定函数 y = y( x), 求 方程组两边对t求导 求导, 解 方程组两边对 求导, 得
d 2 y ψ′′(t )ϕ′(t ) −ψ′(t )ϕ′′(t ) . 即 = 2 3 dx ϕ′ (t )
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二、典型例题
x = a( t − sin t ) π 在t = 处的切线方程 . 例1 求 摆 线 2 y = a(1 − cos t )
x = ϕ (t), y =ψ (t),
(α < t < β )
确定的函数 y = f ( x ) ,可采用下述方法来求它的导数： 可采用下述方法来求它的导数：
首先根据微分形式不变性可得 首先根据微分形式不变性可得 dx = ϕ ′ ( t ) dt , dy = ψ ′ ( t ) dt , 然后根据导数是微商， 然后根据导数是微商，可得 根据导数是微商
例3
设
, 求
求导, 解 方程组两边同时对 t 求导, 得
高等数学 2-6隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率
上式两边对 x求导得
y′ 1 1 2 = + − −1 y x + 1 3( x − 1) x + 4
∴ y′ =
( x + 1)3 x − 1 1 1 2 [ + − − 1] 2 x ( x + 4) e x + 1 3( x − 1) x + 4
sin x ( x > 0), 求y′. 例 5设 y = x
三、由参数方程所确定的函数的导数
x = ϕ (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系, 称此为 y = ψ (t ) 由参数方程所确定的函数.
例如
x = 2t , x ⇒ t = 消去参数 t 2 2 y = t ,
x2 1 x ∴ y′ = x ∴ y = t 2 = ( )2 = 2 4 2
7
dy = dx
ห้องสมุดไป่ตู้
t =t0
=
(2) 炮弹在 t 0时刻沿 x, y轴方向的分速度为 dx dt dy vy = dt vx =
t =t 0
= (v0t cos α )′ t =t0 = v0 cos α = (v0t sin α − 1 2 gt )′ t =t0 = v0 sin α − gt 0 2
4000
600
解： 设时刻 t水深为h(t ), 水库内水量为V (t ), 则
V (t ) = 4000 3h 2
6
上式两边对t求导得
Q
dV dh = 8000 3h ⋅ dt dt
dV = 28800米 3 / 小时, ∴当h = 20米时, dt dh ≈ 0.104米 / 小时 dt
五、小结 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者之间 的关系, 用链式求导法求解.
隐函数及由参数方程所确定的函数
院 数 理 系
y x x ln y x ln x 1 y ln x 1 y x x (ln x 1) y
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用性质 用对数
11
高
等 数
y u(x)x y u(x)x ln（u x） x（u x）x1u（ x）
学 电 子
u(x)x[ln u(x) x u(x)] u(x)
武
汉 科
对于幂指函数或连乘除形式函数的求导,先取对数再取
技
学 院
导数,比用通常方法计算简单.
数
理
系
2021/4/22
3
高
等 例3 求幂指数函数 y = uv(u>0) 的导数，其中u, v是x的函
数 学
数,且都在点x处可导.
电 分析: 先取对数
子 教
ln y v ln u (ln y v ln u) 1 y vln u v u
y (x) (x)[(x) (x) (x) (x) ln (x)]
1
2 (x) (x)
6
高 等 例6 试用比较简单的方法求下列函数的导数
数
学
1,y x(x 1)(x 2); 2, y 3(1 2x)3; 3, y 5x2 3x x ;
电
x
子 教 案
4, y ln a bx ; a bx
子 教
设函数的参数式为x=φ(t), y=ψ(t),
dy (t ) dx (t )
案
则它们的二阶导数
d 2 y d [ (t) ] d [ (t) ] dt dx 2 dx (t) dt (t) dx
武
汉 科
(t) (t) (t) (t) 1
技
[ (t)]2
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淮北师范大学2011届学士学位论文由参数方程确定的函数的性质及应用学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向函数论学生姓名陈涛学号***********指导教师姓名周光辉指导教师职称副教授2011年04 月10日由参数方程确定的函数的性质及应用陈 涛(淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000)摘 要本文重点论述了利用极限和导数的基本理论和基本方法，首先阐述了参数的实际意义及参数方程的概念；其次对参数方程确定的函数导数的存在性进行了讨 论，得出了t x '和t y '都存在、t x '和t 'y 中有一个不存在的情况、t x '和t y '都不存在三种情况下导数存在性；给出三个例题分别说明由求参数方程所确定函数极值点应注意的问题及拐点应注意的问题；最后系统的介绍了几种由参数方程确定的函数的导数求法，通过几个典型例题说明了利用复合函数求导法则、利用微分、利用参数、利用公式、利用导数定义五种方法求由参数方程确定的函数的导数.关键词：参数方程,函数,存在性,极值,导数Properties and Applications of the Function Determinedby The Parametric EquationChen Tao(School of Mathematical Sciences ，Huaibei Normal University ，Huaibei ，235000)AbstractThis paper mainly discusses the basic theory and basic method of limit and derivative. First, it illustrates the practical meaning of parameter and the conception of parametric equation. Second, it discusses the existence of derivative of the function determined by the parametric equation, and concludes there are three cases of botht x 'and t y 'exit, neither exits, one exits and the other not. It gives three examples separately to illustrate what should be paid attention in extreme value point and flecnode of the function which determined by parametric equation. Finally, this paper systematically introduced several methods to solve derivative of the function determined by parametric equation, and illustrate how to solve derivative of the function determined by parametric equation by five methods of principle of compound function derivation, differential, parameter, formula and derivative definition through several typical examples.Keywords: Parametric equation, Function, Existence, Extreme value, Derivative目 录引言 ................................................................. 1 一、参数方程概念 .. (1)1. 参数的概念 .................................................... 1 2. 参数的实际定义 ................................................ 1 3. 参数方程的概念 ................................................ 1 二、参数方程确定的函数导数存在 (2)1. t x 和t y 都存在的情况 ........................................... 2 2. t x 和t y 中有一个不存在的情况 ................................... 3 3. t x 和t y 都不存在的情况 ......................................... 3 三、求参数方程所确定函数的极值点、拐点应注意的问题 .................. 3 四、由参数方程确定的函数的导数的求法 (6)1. 用复合函数和反函数求导法则的求法 .............................. 6 2. 利用微分求的求法 .............................................. 8 3. 利用消去参数法的求法 .......................................... 9 4. 利用公式法的求法 ............................................. 10 5. 利用导数定义的求法 ........................................... 12 结束语 .............................................................. 13 参考文献 ............................................................ 14 致 谢 .. (15)引言本文讨论了由参数方程确定的函数的部分性质及应用；利用极限和导数的基本理论和基本方法，对参数方程确定的函数导数的存在性进行了讨论，得到了三种情况下其导数存在性，并对其导数存在的判断和计算方法提供了例析；求由参数方程所确定的函数的高阶导数；讨论了参数方程所表示的曲线关于原点或关于数轴的对称性，给出了对称性的若干充分条件；给出了三个例题说明求参数方程所确定的导数极值点、拐点时应注意的几个问题，通过几个典型例题说明了利用复合函数、利用微分、利用参数、利用公式、利用导数定义五种方法求由参数方程确定的函数的导数.一、参数方程概念1. 参数的概念联系变量x、y之间关系的变量，叫做参变数，简称参数.2. 参数的实际定义一般常用时间、有向线段的数量、旋转角、直线的斜率等作参数,但有的也可以用没有明显意义的变数作参数.用有实际含义的变数作参数,应注意参数的取值范围.3. 参数方程的概念一般地,在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩（1） 并且对于t 的每一个允许值,由方程组(1)确定的点(,)P x y 都在这条曲线上,那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程.二、参数方程确定的函数导数存在大部分资料中，讨论参数方程()()x f t yg t (t 为参数)确定的函数()y f x =的导数存在时在假设t x 和t y 都存在的情况下进行的,但这类函数的导数存在的情况实际上很复杂.1. t x 和t y 都存在的情况（1）当t x 和t y 存在且0t x 时，可以按照公式求得t tty y x ，可是当0ty ，但0tx 时0xy .（2）当0t x 但0t y 时，x y ，不存在，但0yx .（3）若0tx 且0ty ，此时的可能情况比较多，但可以利用无穷小阶的比较来进行判断，或者直接根据参数方程确定的函数的导数定义利用0limt yx∆→∆∆，求得：01 0,0,0;x x yy xty y x t t当较为高阶（低阶）无穷小，即反之，02 当0t ，y t较x t 为同阶无穷小，即C x y ，可是当0t，y t较xt 为高阶无穷小，即1x y .2. t x 和t y 中有一个不存在的情况（1）t y 不存在. 10：ty 时，即0yx ；20：0(0)t t y ，0(0)t t y 都存在但00(0)(0)t t t t y y 时，x 根据导数存在的充要条件知道此时y 不存在；（2）t x 不存在. 10：t x 或0ty 时，0xy ；20：0(0)t x t ，0(0)t t x 都存在但00(0)(0)t t t x t x 时，且0ty ，00limlim t t y yx x∆→∆→∆∆≠∆∆（0t 为所求点的导数所对应的参数）,此时根据导数存在的充要条件知x y 不存在.3. t x 和t y 都不存在的情况（1）t x =且ty , 此时可以仿照2.1中(3)的情况进行无穷大阶的比较的讨论得出结果,或直接根据参数方程确定的函数的导数定义利用0limxty求得. （2）t x 且ty ,此时只能直接根据参数方程确定的函数的导数定义利用0limxty求得.三、求参数方程所确定函数的极值点、拐点应注意的问题在求由参数方程所确定函数的极值点和拐点时,会出现以下三例的情形.例1 设函数()y f x =由t tx te y te确定,求函数的极值点.解 2(1)(1)(1)1t t t dy t e t e dx t e t ----==++,令0dy dx=得到t=1,对应唯一驻点x e =. 当1t <(x e =左侧)0y ,1t >(x e =右侧)0y ,所以x e =是函数的极大值点.注意,1t =-(1x e -=-)时y 不存在(函数有定义), 1t <- (1x e -=-左侧)0y,1t >- (1x e -=-右侧) 0y,但1t =-即1x e -=-却不是函数的极值点.考察t x te =在1t =-的性态. 因为211211(1)0,(2)0ttt t t t dxd xt e t e dtdt =-=-=-=-=+==+>,所以1t =-是x =t t e 的唯一极小值点,也是其最小值点.1t =-对应的x =-1e -是函数()y f x =定义区间的左端点,它不是函数的极值点(极值点应为定义区间的内点).例2 求曲线233x t y t t 的拐点.解 22233(1)3(1)(1),24y dy t d t t dx t dx t +-+== 令220yd dx=得1t =±,对应曲线上的点(1,4)和(1,-4)为拐点的可疑点.经判断在1(1)t x =±=左右两侧y ''变号,可知(1,4)和(1,-4)均为曲线的拐点.注意,0(0)t x ==时y ''不存在(函数有定义),在0t =左右两侧y ''变号,但0t =对应的.(0,0)点却不是曲线的拐点,因为20,2|20t dx d xdt dt==>所以0t =是x =2t 的唯一极小值点,也是最小值点,即0t =对应的0x =是函数()y f x =定义区间左端点,所以(0,0)点是曲线的左边界点,而不是拐点.例3 设由2254x t t y t t t 确定了函数()y f x =,求0|x dydx=并求函数的极值点. 解 0x =对应0t =,103tdytdxt 不存在 (1) 由(1)可见0t =时dxdt不存在,但函数()y f x =在0(0)x t ==处的导数仍存在.事实上,由导数定义可得20054|lim lim02x x ttt t dy y dxxtt（2）于是2000006000t t x dy t x dxt t x 0 （3） 由(2)可见0t =是3x t t =+的连续不可导点,不是x 的极值点,对应的0x =是函数()y f x =定义区间的内点.由(3)可见, 0(0)x t ==是()y f x =的唯一极小值点.由以上三例可见,由于参数方程()()x x t yy t 所确定的函数()y f x =与自变量x 的关系是通过参数t 来沟通的,在求解此类问题时应注意:1.使()x t ,()y t '中有一个不存在,y 对x (或x 对y )的导数仍可以存在,只是不能用公式''()()dy y t dx x t =来求,此时可用导数定义求. 2.即使在''()()dy y t dx x t =(或22d y d x)不存在的0t (对应0x )的左右两侧y '(或y '')变号,也不能确定它是函数的极值点(或拐点),需要进一步考察,切勿妄下结论.3.若有0()x t '=0, 0()y t '同时成立,而0()x t ,0()y t 中至少有一个不为0,则点(0()x t ,0()y t )称为曲线的奇异点(见菲赫金哥尔茨《微积分教程》一卷二分册》.四、由参数方程确定的函数的导数的求法1. 用复合函数和反函数求导法则的求法设(),()x t y t ϕψ==皆可导，且()0t ϕ'≠，又()x t ϕ=存在反函数1()t t ϕ-=复合而成的复合函数，因而求参数式函数的导数也可归纳到复合函数求导的问题当中.即'()/'()dydy dt dy dx t dxdt dxdt dtt (1) 不仅一阶导数可用上述求法求之，其高阶导数也可用上述方法求之。