量子系统几何相位
量子力学的Berry相位
量子力学的Berry相位
量子力学的Berry相位是指物理学中一种描述量子态演化和几何相位的重要概念。
它指的是在量子力学中，当一个系统的哈密顿量（描述系统能量的算符）随着时间缓慢变化时，系统的波函数会出现额外的相位。
这个额外的相位就是Berry相位。
Berry相位的提出可以追溯到20世纪80年代，由Michael Berry首次提出并引入物理学研究中。
Berry相位的概念主要是从几何相位的角度来理解，它与系统的哈密顿量的路径有关，而不仅仅是系统的末态和初态。
在数学上，Berry相位可以表示为积分形式，描述了闭合路径上量子态随时间演化所获得的相位。
这种相位在许多物理现象中都有重要的应用，例如凝聚态物理中的拓扑绝缘体和拓扑绝缘体等系统中，Berry相位起着关键作用。
它还在量子信息和量子计算中有着重要的应用，可以用来实现量子门操作和纠缠态的生成。
除了理论上的研究，实验上也已经有很多工作对Berry相位进行了验证。
实验验证Berry相位的方法主要有干涉实验和调控量子系统的哈密顿量等。
这些实验证实了Berry相位的存在，并为更深入地研究量子力学的基本规律提供了实验依据。
总的来说，量子力学的Berry相位是量子态演化过程中的一个重要概念，它揭示了量子系统中存在的几何结构和相位演化规律。
深入理解Berry相位对于推动量子力学的发展，以及应用于量子信息和量子技
术领域具有重要意义。
通过对Berry相位的研究和实验验证，我们可以更好地认识和利用量子力学的奇妙规律，推动科学技术的进步。
非线性非齐次Bloch方程与混合态的几何量子相位
II
目录
摘 要....................................................... I Abstract ..................................................... II 第一章 引 言 ................................................... 1 §1.1 概述 ...................................................... 1 §1.2 几何量子相位 .............................................. 2 §1.3 混合态几何量子相位 ........................................ 3 §1.4 几何量子相位的应用 ........................................ 4
The results are applied to the fluorescent oscillation and nuclear spin polarization system. We find that by adjusting the initial conditions and external controlling physical parameters, we can obtain the conditional geometric phase and further realize a controllable fault-tolerant quantum memory in terms of this conditional geometric phase in the fluorescent oscillation and nuclear spin polarization system.
量子力学中的几何相位与拓扑性质
量子力学中的几何相位与拓扑性质量子力学是研究微观粒子行为的物理学分支，而几何相位和拓扑性质是量子力学中的重要概念。
本文将介绍量子力学中的几何相位和拓扑性质，并探讨它们在实际应用中的意义。
首先，我们来了解一下几何相位。
几何相位是由于量子系统的演化路径而产生的相位差异。
在量子力学中，波函数描述了粒子的状态，而几何相位则是描述波函数演化路径的一种方法。
几何相位的计算依赖于波函数的闭合性，即波函数在演化过程中回到原始状态。
几何相位的计算公式为：$$\gamma = \oint_C \mathbf{A} \cdot d\mathbf{r}$$其中，$\gamma$表示几何相位，$C$表示波函数的演化路径，$\mathbf{A}$表示矢量势，$d\mathbf{r}$表示路径元素。
几何相位的计算与路径的选择有关，不同的路径可能会导致不同的几何相位。
几何相位在量子力学中有广泛的应用。
例如，在量子力学中，存在一种称为Berry相位的几何相位。
Berry相位是描述自旋轨道耦合的一种几何相位，它与粒子的自旋和外部磁场的方向有关。
Berry相位的存在使得量子系统具有一些特殊的性质，例如自旋霍尔效应和拓扑绝缘体等。
接下来，我们来了解一下拓扑性质。
拓扑性质是描述空间结构的一种性质，它与空间的连续性和变形无关。
在量子力学中，拓扑性质用于描述量子态的性质。
拓扑性质的一个重要概念是拓扑不变量，它是一种在拓扑变化下保持不变的量。
拓扑不变量可以用于分类不同的量子态，并研究它们的性质。
拓扑性质在量子力学中有许多重要应用。
例如，在拓扑绝缘体中，电子的传导行为与拓扑不变量有关。
拓扑绝缘体是一种特殊的绝缘体，其表面存在导电态，而体内是绝缘的。
这种特殊的性质使得拓扑绝缘体在量子计算和量子通信等领域有着广泛的应用。
几何相位和拓扑性质在实际应用中有着重要的意义。
例如，在量子计算中，几何相位和拓扑性质可以用于实现量子比特的操作和控制。
通过利用几何相位和拓扑性质，可以实现量子比特之间的相互作用和量子门操作，从而实现量子计算的高效性能。
二能级体系的量子相位、循回条件和绝热条件
＝
（ ： ｉ 旦 ２ ｌ 一 警 Ｑ 卜 Ｑ ｆ ＼ 壳 一 ２ ］ ／ ｓ ｉ ｎ Ｑ Ｉ ２ 去 ｌ Ｑ （ Ｉ ２ 壳 』 ｛ ］ （ ３ ）
ｃｏｓ ｃ ｏｓ
式（ ８ ） （ ９） （ １ Ｏ ） 为二能级系统在非绝热近似下的量子相位 。 １ ． ３ 循 回条件和绝 热条件 当二 能级系统在 非绝热 近似 条件下演 变一个周 期 Ｔ ＝ ２ ｚ ｒ ／ ∞
后 ，此 时
２
式 （ ３）中 ： 为普朗克常数 ；ｔ 为 系统演化 时间 ； Ｏ ｌ 、 为表 示态 Ｊ ） 的二维 自旋态矢量 ； ｅ 为 自然对数 的底数 ； ｉ 为虚数单位 。 在式 （ ３）中：
Ｑ ：．
邶
） ＝
ｃｏ ｓ
Ｖ ２ ｆ
一 ｐ Ｂ ｃ ｏ ｃ ｏ ｓ ０ ．
＝ ａ ｒ ｇ （ （ ｏ ） （ ｌ ） ）
：ａ ｒ ｇ
ｌ Ｌ — ｃ ｏ ｓ Ｑ ＋ 三 ２ ｆ 丝＋ 壳 ２ ｃ ｏ ｓ ／ ］ ｓ ｉ ｎ Ｑ Ｊ １ ． （ ８ ）
一
二 能级 系统在非绝热 近似条件下动力学相位 为 ：
＝
疗 ： 一 面 ． 云 ： 一 ｆ ∞ ｓ ｉ ｎＯ ｅ
中 图 分 类 号 ：Ｏ ４ １ ３ ． １ 文 献 标 识 码 ：Ａ ＤＯＩ ：１ ０ ． １ ５ ９ １ ３ ￣ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｋ ｊ ｙ ｃ ｘ ． ２ ０ １ ５ ． ０ ８ ． ０ ４ ５
１ ９ ８ ４年 ，Ｂｅ ｒ ｒ ｙ提 出 “ 将量子 系统作 为周期 性绝 热演化过 程 中存在 的几何相位 ”以来 ，引起 了各界 的广泛关 注和研 究 ， 并且很快 就有实验得到 了相 同的结 果。在实验 中 ，之所 以能得 到与理论值 相同 的结果 ，是 因为张永德给 出了相对应 的条 件。 对于传统 的绝热近似条件 ，有很 多教材都有详尽 的叙述 ，近年 来 ，也有人 提出 ，即使传统 的条件被 满足 ，有时也不 能得 到 自 洽 的、好 的近似结果 ，并且也提 出了一 些新 的绝热近似条件 。 本文探讨 了二 能级系统在绝热 近似条件 和非绝热近似条件下所 对应 的循 回条件 和绝热 条件 。 二能级 系统是最简单 的量子系统 ，同时 ，它又是量子特征 最强的体系 ，任何二能级 系统都 可以化成 一个 类似 自旋 １ ／ ２粒 子在磁场 中的哈密顿量 。自旋 １ ／ ２粒子在磁 场中的哈密顿量为 ：
几何量子相位探析_江燕燕
到不同的结果。这里面的关键问题在于
115, 485 (1959).
Uhlmann 的定义依赖于选择什么辅助体系。 [3] Z.S.Wang,L.C.Kwek,i and C.
另一方面，关于m tunneling time v.s.
交流与探讨 安徽科技
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一、几何相位的发现 几何相位的概念最早是印度物理学家
几何量子相位探析
Pancharatnam 提出来的[1]。1956 年，Pan－
charatnam 在研究偏振光的极化现象时注意 到，如果使偏振光的极化方向做周期性的改 变，偏振光在满足相位匹配的条件下，会得到
不能给出唯一性证明，只会给出非连续的几
Lett.60,2339 (1988).
何相位，结果很难给出物理解释。人们的普遍 [8] A.G.Wagh et al.,Phys.Rev.Lett.81,1992
信仰是几何相位具有几何结构，即与参数空 间的区域成比例，在复 Hilbert 映射空间中可 以用几何结构形式完全表述。
因子。遗憾的是，这些现象均未引起人们广泛 率波，概率仅仅依赖于波函数振幅而与相位 学家 Uhlmann 通过引入一个辅助系统的方
的共识，其背后的物理机制仍不得而知[3-6]。 无关。但是，量子系统的演化是由几何量子相 法，将混合态进行纯化并定义了混合态的几
1984 年，M.V.Berry 在研究绝热量子系统 位因子保持记忆的，该相位因子可以由未通 何相位[12]。这样整个体系就可以用一个波函数
工作也指出:绝热演化并不是能够得到几何 分解，他们都具有相同的物理性质，物理上是 现在仍然是一个有争议的问题。一方面，
相位的唯一条件，几何相位同样可以在非 无法区分的。因此，如何定义混合态的几何相 Uhlmann 的定义与 Sj觟qvist 的定义并不是完
超导磁通量子比特的可控耦合的几何相位
Cn = λn , 0 ψ ( 0 ) s .
对此系统描述的哈密顿量(3)式，我们可以定义不变量如下
ˆ ( t ) = α ( t ) σ (1) + α ( t ) σ ( 2 ) + α * ( t ) σ (1) + α ∗ ( t ) σ ( 2 ) + β ( t ) σ (1)σ ( 2 ) . I + + − − z z 1 ) + i 1 − cos ( 2 µ ) ( µµ 1 − cos ( 2 ξ ) (ξξ ∗) δ g ( t ) = i − µµ
* ( 2) µ ( 2) ( 2) µ (1) σ − + Eσ z + − + µ µ σ sin 2 2 1 sin ( 2 µ ) + 2 µ − 1 ) ( σ z cos ( 2 µ ) + + µ µ 1 1 (1) (1) (1) (1) − 1 + Bσ − + Bξ ∗ 2 ξ σ z − 1 sin 2 ξ + sin 2 ξ + + Bσ + + Bξ 2 ξ σ z 2ξ 2ξ 1 1 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) + Dσ + + Dµ 2 µ σ z − 1 + Dσ − + D? ∗ 2 µ σ z − 1 , sin 2 µ + sin 2 µ + 2µ 2µ
摘
要
几何相位是量子力学中的一个重要概念，通过使用Lewis-Riesenfeld不变理论，我们提出了超导磁通量 子比特的可控耦合的几何相位。
几何量子相位探析
几 何 量 子
江 燕 燕
（ 安 庆 师
摘 要： 波 恩 关 于 波 函 数 的 概 率 解释 奠 定 了量 子 力 学 的 理论 基 础 概 率 仅 仅依 赖 于 波 函数 的振 幅 而与 相 位 无 关 。在 相 当 长 的一 段 时 间 内 ． 人
到，如果使偏振光的极化方向做周期性的改 变， 偏振光在满足相位匹配的条件下， 会得到
在量子理论中，物理状态是由 波函数来 空间中归一化矢量的一一对应的关系
的几何相因 子。 在此之后的近三十年里， 人们 描述的． 波函数的相位可分为动力学相位和 不可能在Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空间找到一个归一 陆续发现了各种各样具有确定物理意义的相 几何相位。从薛定谔方程得出的波函数是概 去描述混合态的演化。 基于上面的考 因子。 遗憾的是， 这些现象均未引起人们广泛 率波， 概率仅仅依赖于波函数振幅而与相位 学家 Ｕ ｈ ｌ ｍ ａ ｎ ｎ 通过引入一个辅助系
对量子力学相位概念认识的突破 。并极大 的话，那么整个体系 仍然可以看作是若干不 Ｍ ａ ｃ ｈ ｚ ａ ｎ ｅ ｒ 干涉测量仪的原理． 通过对 地刺激了物理学家们的研究热情。紧随其 同纯态间的非相干混合。而通常采用密度矩 态几何相位的研究， 得到整个系统的 后． Ｆ ． Ｗｉ ｌ ｃ ｚ ｅ ｋ 和Ａ ． Ｚ ｅ ｅ 将Ｂ ｅ ｒ ｒ ｙ 相推广到了 阵来描述一系列纯态的非 相干迭加。对于确 位，引入物理意义明确的混合态几伺 非Ａ ｂ ｅ ｌ 的情况［ ５ １ ：Ａ ｈ ａ ｒ ｏ ｎ ｏ ｖ 和Ａ ｎ ａ ｎ ｄ ａ ｎ 的 定混合态体系的密度矩阵，我们可以有不同 定义旧 。 应该承认， 关于混合态几何相 工作也指出： 绝热演化并不是能够得到几何 分解， 他们都具有相同的物理性质， 物理上是 现在仍然是一个有争议的问题 一
量子力学相位因子
2001 - 05 - 14 收到初稿 ,2001 - 06 - 29 修回
γ( t )
的乘
积 ,即 Ψ ( x , t ) = | Ψ ( x , t ) | ei
γ( t)
.
从量子力学的初等原理已经知道 , 作为与实验结果 2 联系 ,最重要的是| Ψ ( x , t ) | ,一般称其为在某一瞬 时 t ,在空间 x 与 x + Δ x 间测到粒子的几率密度. Ψ ( x , t ) 是相应粒子的波函数 . 迄今量子力学已经 在实践中验证了 70 多年了 . 人们可以说对于波函数 相当清楚了解了 . 知道计算它的方法和它的物理意 义 . 但是仔细地考虑一下 , 可以发现 , 一本量子力学 参考书可以写上千页 ,仍然是不完备的 . 因为量子力 学仍然在发展中 ,尤其是近 10 年来 . 20 世纪初期出 ・668 ・
Δ
70 年 ,迄今实验还未发现单磁荷. 狄拉克本人在晚
年却倾向否定自己几十年来所持的观点 , 而转向支 持磁单极不存在的观点 ! 但是他仍然坚持量子力学 相位因子的重要意义 , 甚至把相位因子看成是比量 子力学算子对易关系更为基本的东西 . 磁单极虽未被实验发现 , 但磁单极场这种类型 的作用则是已经存在于原子分子的结构内部之中. 磁单极如果一旦被实验发现 , 那固然是人类对于自 然界认识的一次突破 . 但即使磁单极不存在于自然 界 ,那么给予的理解也可能是人类对自然界认识的 又一次飞跃 . 因为大自然禁戒了某些理论上合理的 存在 ,往往暗示着有很根本的新的自然规律在起作 用 . 虽然暂时我们对这新的规律还未认识 ,但禁戒的 存在揭示着人们要探求的目标和方向. 弱电统一作 用的希格斯 ( Higg) 粒子也经过了三四十年的探索而 仍未发现 . 如果 Higg 粒子果真不存在 , 那么弱电统
量子演化系统微分几何概念札记(I)：几何相联 络、规范势、度规与曲率张量
Quantum evolutional systems can be defined as systems/models of interacting Hamiltonian operators with certain evolutional parameters. Quantum evolutional systems carry global or topological characteristics, exhibiting some geometric effects and phenomena. Based on quantum mechanics and electromagnetic gauge theory, we study some topics of the applications of differential geometry concepts in such systems. The brief history of quantum evolutional systems and geometric effects are reviewed with emphasis on the geometric phase and gauge potential (affine connection). The properties of the unitary transformation (related to the Lewis-Riesenfeld invariant formalism) are compared with vielbein fields in a manifold of differential geometry, and it can be found that such a unitary transformation operator can be identified as a vielbein field in gauge group space. The methods of calculating the state functions and geometric phases of the quantum evolutional systems as well as the manifold metric of parameter space in the evolutional Hamiltonian systems will be addressed. As a pedagogical note, the content of this paper would find an application in understanding the topics relevant to classical electromagfnetism, quantum optics, constrained quantum system dynamics, various gauge field theories and interdisciplinary researches.
几何相位与庞加莱球上的解释、
一、引言在物理学和工程领域中，我们经常会遇到几何相位和庞加莱球这两个概念。
几何相位是指在光学或量子力学中，在波函数从某一点传播到另一点时因为波函数的相位变化而产生的相位。
而庞加莱球则是指在微分几何中用于描述超几何空间的一个重要概念。
它的理论与实际应用涉及的范围非常广泛。
二、几何相位的概念几何相位最早由英国物理学家迈克尔·贝瑞在20世纪60年代提出。
他指出，在一个闭合的量子力学系统中，如果波函数在参数空间中绕着一个闭合曲线进行演化，那么当波函数演化完成后，除了动力学相位（即薛定谔方程中的相位因子）之外，还会出现一个额外的相位，即几何相位。
这个额外的相位是由系统的几何结构所决定的，而与系统的动力学过程无关。
三、几何相位的应用1. 光学中的应用在光学领域，几何相位常常在分析光学系统和设计光学元件时发挥重要作用。
在光学干涉仪、共焦显微镜和光栅等实验中，几何相位的概念和计算方法被广泛应用。
通过几何相位的分析，可以更清晰地理解光学现象的本质，并且为光学器件的设计和优化提供重要的理论指导。
2. 量子力学中的应用在量子力学中，几何相位也具有重要的物理意义。
它在描述自旋系统、量子干涉和拓扑量子计算等研究领域中起着关键作用。
特别是在拓扑量子计算中，几何相位被认为是实现量子比特的稳定操作所必需的要素之一。
四、庞加莱球的概念庞加莱球是法国数学家亨利·庞加莱在19世纪末提出的一个几何概念。
它是对于超几何空间的一种抽象描述，通常被用于描述相对论和宇宙学中的空间结构。
庞加莱球在微分几何、广义相对论和宇宙学模型等领域都有着重要的应用。
五、庞加莱球及其解释1. 庞加莱球的性质庞加莱球是一个具有固定曲率的超几何空间。
它是一个具有有限直径但没有边界的空间结构，类似于三维球面。
然而，与普通的三维球面不同的是，庞加莱球是一个四维空间的抽象描述，其几何性质需要通过数学方法进行描述和分析。
2. 庞加莱球在相对论和宇宙学中的应用在相对论中，庞加莱球被用来描述引力场中的时空曲率和引力波的传播。