初中数学中考试题研究《开放性试题综合》

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认真研究中考试题为初中数学课堂把脉

认真研究中考试题为初中数学课堂把脉

·教学2018.06教研园地JIAOYAN YUANDI仝翠云数学中考试题是严格依据《课程标准》命制的,其目的是要突出考查数学素养和学生的学习能力,明确考查阅读能力、表达与交流、开放与探究、综合与实践等方面的知识。

而现在我们很多教师的数学课堂教学还没有跟上中考改革的步伐,教师“低头拉车”的时间多,“抬头看路”的功夫少。

苦干有余,巧干不足。

通过研究近三年中考数学试题发现,近年中考低、中、高三档题目的比例约为4∶4∶2,题型稳中有变,变中求新,面向全体,注重“四基”的理解、掌握、运用,重视学生学习过程的数学理解,重视阅读,体现数学的文化价值,注重考查实践操作、数学思考及推理能力,关注学生数学素养,体现开放性、考查个性与创新。

总的来看,中考倒逼着数学课堂教学的改革。

如何在新形势下把准有效课堂的命脉,成了摆在我们面前的新任务。

一、立足教材课堂上狠抓基础训练任何一份中考题,基础题都约占40%左右,多数中、高档题目也是由教材中的例题、习题改编而成。

因此,只有打好基础,确保基础知识尽量不失分,才会真正取得令自己满意的成绩。

有的学生善于解难题,一遇到基础题就“马失前蹄”。

而近年中考呈“分值倒挂”现象。

因此,越是试卷前面的题目,越要认真对待,过程越要写得详细,以确保不失误、不失分。

简单题做不对的原因,很可能是学生“眼高手低”习惯不好,对算理知识掌握不扎实,基本技能不熟练,细节注意不到,出现笔下误等原因造成的。

课堂上如何抓好基础教学呢?1.要重视概念教学,培养学生基本的数学素养。

数学概念是数学定理、公式的依据,学生如果对数学概念弄不清,那么数学运算、推理就无法进行下去。

比如,在讲“算术平方根”这一节时,除了让学生理解概念外,还要让学生树立符号意识,知道“a ”就表示a 的算术平方根,以后一遇到求算术平方根,就懂得是给这个合适的数戴上一个“”的帽子,进而再计算。

2.要着力培养学生基本的推理、运算能力。

尽量做到抓住关键问题精讲,留出大量的时间让学生进行课堂练习,允许学生出现错误,然后很好地利用错误资源,进行纠错练习,加深正确解题的印象。

初中数学专题复习开放性题

初中数学专题复习开放性题
Δ AEC∽Δ CFB, EC=FC,AE=DF,AE+BF=AB, EC2=AE*BF,FC2=FD*FB,
AC2/BC2=AE/BF
各班级分数段人数分布情况 三、策略开放型
例 有一块方角形钢板如下图所示,请你用一 条直线将其分为面积相等的两部分(不写作法, 保留作图痕迹,在图中直接画出)。
策略开放题,一般是指 解题方法不唯一或解题路 径不明确的问题。
1、写出一个一元二次方程,使得这个方程的两根之和是-2 . 2、三角形的周长是20,若三边比为2:5: 3、如图,∠DAB=∠CAB,请添加一个条 件: ,使得ΔDAB≌ΔCAB . 4、如图4,在ΔABC中,AB=AC,D为AC 边上的一点,要使得ΔABC∽ΔBCD, 还需要添加一个条件,这个条件可以是 5、如图5,在梯形ABCD中,E、F、G、H分别 是梯形ABCD各边的中点,当梯形ABCD ,求三条边.
( 第二轮专题训练 )
前言
“创新是一个民族的灵魂”
培养创新精神和实践能力是当前全面 推进素质教育的重点.开放性、探索性的试 题是考查这种能力的新题型.这类试题涉及 知识面宽,综合性强,要求学生有扎实的基 础知识和熟练的基本技能.是近几年的热门 考题.
开放性问题
数学开放题是指那些条件不完整,结论不确定,解 法不限制的数学问题。 它的显著特点:正确答案不唯一。
一个圆形街心花园,有三个出口A、B、C,每两个出口之间 有一条60米长的道路,组成正三角形ABC,在中心点O处有 一个亭子。为使亭子与原有的道路相通,需再修三条小路 OD、OE、OF,使另一出口D、E、F分别落在△ABC的三 边上,且这三条小路把△ABC分成三个全等的多边形,以备 种不同品种的花草。
题型: 条件开放 结论开放

中考数学二轮复习 专题三 开放型问题-人教版初中九年级全册数学试题

中考数学二轮复习 专题三 开放型问题-人教版初中九年级全册数学试题

开放型问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的,它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题.这类试题已成为近年中考的热点,重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性,但难度适中.根据其特征大致可分为:条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类.二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时,要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件,然后严格证明;同时,通常要结合以下数学思想方法:分类讨论,数形结合,分析综合,归纳猜想,构建数学模型等。

三、中考考点精讲考点一:条件开放型条件开放题是指结论给定,条件未知或不全,需探求与结论相对应的条件.解这种开放问题的一般思路是:由已知的结论反思题目应具备怎样的条件,即从题目的结论出发,逆向追索,逐步探求.例1 (2015•某某某某,第13题3分)如图,在△ABC与△ADC中,已知AD=AB,在不添加任何辅助线的前提下,要使△ABC≌△ADC,只需再添加的一个条件可以是.考点:全等三角形的判定。

专题:开放型.分析:添加DC=BC,利用SSS即可得到两三角形全等;添加∠DAC=∠BAC,利用SAS即可得到两三角形全等.解答:解:添加条件为DC=BC,在△ABC和△ADC中,,∴△ABC≌△ADC(SSS);若添加条件为∠DAC=∠BAC,在△ABC和△ADC中,,∴△ABC≌△ADC(SAS).故答案为:DC=BC或∠DAC=∠BAC点评:此题考查了全等三角形的判定,熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键.对应训练1.(2015•某某,第13题3分)如图,已知AB=BC,要使△ABD≌△CBD,还需添加一个条件,你添加的条件是.(只需写一个,不添加辅助线)考点:全等三角形的判定.专题:开放型.分析:由已知AB=BC,及公共边BD=BD,可知要使△ABD≌△CBD,已经具备了两个S了,然后根据全等三角形的判定定理,应该有两种判定方法①SAS,②SSS.所以可添∠ABD=∠CBD 或AD=CD.解答:解:答案不唯一.①∠ABD=∠CBD.在△ABD和△CBD中,∵,∴△ABD≌△CBD(SAS);②AD=CD.在△ABD和△CBD中,∵,∴△ABD≌△CBD(SSS).故答案为:∠ABD=∠CBD或AD=CD.点评:本题主要考查了全等三角形的判定定理,能灵活运用判定进行证明是解此题的关键.熟记全等三角形的判定方法有:SSS,SAS,ASA,AAS.考点二:结论开放型:给出问题的条件,让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性,这些问题都是结论开放问题.这类问题的解题思路是:充分利用已知条件或图形特征,进行猜想、类比、联想、归纳,透彻分析出给定条件下可能存在的结论,然后经过论证作出取舍.例2 (2015·某某甘孜、阿坝,第27题10分)已知E,F分别为正方形ABCD的边BC,CD 上的点,AF,DE相交于点G,当E,F分别为边BC,CD的中点时,有:①AF=DE;②AF⊥DE 成立.试探究下列问题:(1)如图1,若点E不是边BC的中点,F不是边CD的中点,且CE=DF,上述结论①,②是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”),不需要证明)(2)如图2,若点E,F分别在CB的延长线和DC的延长线上,且CE=DF,此时,上述结论①,②是否仍然成立?若成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由;(3)如图3,在(2)的基础上,连接AE和BF,若点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD 的中点,请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种,并证明你的结论.考点:四边形综合题..专题:综合题.分析:(1)由四边形ABCD为正方形,CE=DF,易证得△ADF≌△DCE(SAS),即可证得AF=DE,∠DAF=∠CDE,又由∠ADG+∠EDC=90°,即可证得AF⊥DE;(2)由四边形ABCD为正方形,CE=DF,易证得△ADF≌△DCE(SAS),即可证得AF=DE,∠E=∠F,又由∠ADG+∠EDC=90°,即可证得AF⊥DE;(3)首先设MQ,DE分别交AF于点G,O,PQ交DE于点H,由点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD的中点,即可得MQ=PN=DE,PQ=MN=AF,MQ∥DE,PQ∥AF,然后由AF=DE,可证得四边形MNPQ是菱形,又由AF⊥DE即可证得四边形MNPQ是正方形.解答:(1)上述结论①,②仍然成立,理由为:∵四边形ABCD为正方形,∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90°,在△ADF和△DCE中,,∴△ADF≌△DCE(SAS),∴AF=DE,∠DAF=∠CDE,∵∠ADG+∠EDC=90°,∴∠ADG+∠DA F=90°,∴∠AGD=90°,即AF⊥DE;(2)上述结论①,②仍然成立,理由为:∵四边形ABCD为正方形,∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90°,在△ADF和△DCE中,,∴△ADF≌△DCE(SAS),∴AF=DE,∠E=∠F,∵∠ADG+∠EDC=90°,∴∠ADG+∠DAF=90°,∴∠AGD=90°,即AF⊥DE;(3)四边形MNPQ是正方形.理由为:如图,设MQ,DE分别交AF于点G,O,PQ交DE于点H,∵点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD的中点,∴MQ=PN=DE,PQ=MN=AF,MQ∥DE,PQ∥AF,∴四边形OHQG是平行四边形,∵AF=DE,∴MQ=PQ=PN=MN,∴四边形MNPQ是菱形,∵AF⊥DE,∴∠AOD=90°,∴∠HQG=∠AOD=90°,∴四边形MNPQ是正方形.点评:此题属于四边形的综合题,考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质.注意证得△ADF≌△DCE(SAS),掌握三角形中位线的性质是关对应训练2.(2015•某某某某,第20题8分)某运动品牌对第一季度A、B两款运动鞋的销售情况进行统计,两款运动鞋的销售量及总销售额如图所示:(1)一月份B款运动鞋的销售量是A款的45,则一月份B款运动鞋销售了多少双?(2)第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变,求三月份的总销售额(销售额=销售单价×销售量);(3)结合第一季度的销售情况,请你对这两款运动鞋的进货、销售等方面提出一条建议。

中考数学开放性试题存在的两个问题

中考数学开放性试题存在的两个问题
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,
: 指出 命题 要 切实 体现 素质教 育 的要 求 加强 与 社会 实 际和 学 生 生 活 实际 的联 系 … … 有
, ,

助 于 学 生创造 性 的发 挥
并 且强 调 数 学考 试 应 设 计 一 定 的 … … 开放 性 间 题 使得 数 学 开 放题 迅 速 成 为 中考 数 学 试 题 中的 一 个 亮 点
, ,
.
”“ຫໍສະໝຸດ ,`,.

,
新能 力的要 求 实际 上学 生 只要 用一 种 策略 就
可 以轻 而 易举 地 得 出三 种分 法 这 样就起 不 到 培 育学 生创新 精神 的作用 试 卷 的 参 考答 案 也 : 只 随意 地 列 出七 种分 法
.
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应 坚定 不 移地 贯 彻 教 育 部 《关 于 2 0 0 年初 中 毕业 升 学考 试 改 革 的 指 导 意 见 》 结 合教 育
B D
, ,

从 根本 上 改善 学生 的学 习 方 式 极 大地 提 高学 生 以 创新 精神与 实 践 能 力 为重 点 的全 面 素质
,
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除A
,
B

C
,

D
O 五 个 字母 之外
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,
不再 标 注
其 他 字母 不 再 添 加任何辅 助 线 不 写推 理 过
程 推 出五 条 结 论 给满分 推 出六 条 以 上 者应
,
.
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( 5 ) 通 过相似变换 可 得 ⑨ L 本题 应 引导 学 生从 不 同的角 度思 考 解法 运用 多 种策 略 解题
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三 几点 建 议

中考数学专题复习 开放性问题-人教版初中九年级全册数学试题

中考数学专题复习 开放性问题-人教版初中九年级全册数学试题

开放性问题【专题点拨】开放探索问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中,缺少解题要素两个或两个以上,或者条件、结论有待探求、补充等.【解题策略】在解决开放探索问题的时候,需解题者经过探索确定结论或补全条件,将开放性问题转化为封闭性问题,然后选择合适的解题途径完成最后的解答.【典例解析】类型一:条件开放型问题例题1:(2016·某某省滨州市·14分)如图,已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(1)求点A,B,C的坐标;(2)点E是此抛物线上的点,点F是其对称轴上的点,求以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积;(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ACM是等腰三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题;函数及其图象.【分析】(1)分别令y=0,x=0,即可解决问题.(2)由图象可知AB只能为平行四边形的边,易知点E坐标(﹣7,﹣)或(5,﹣),由此不难解决问题.(3)分A、C、M为顶点三种情形讨论,分别求解即可解决问题.【解答】解:(1)令y=0得﹣x2﹣x+2=0,∴x2+2x﹣8=0,x=﹣4或2,∴点A坐标(2,0),点B坐标(﹣4,0),令x=0,得y=2,∴点C坐标(0,2).(2)由图象可知AB只能为平行四边形的边,∵AB=EF=6,对称轴x=﹣1,∴点E的横坐标为﹣7或5,∴点E坐标(﹣7,﹣)或(5,﹣),此时点F(﹣1,﹣),∴以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积=6×=.(3)如图所示,①当C为顶点时,CM1=CA,CM2=CA,作M1N⊥OC于N,在RT△CM1N中,==,∴点M1坐标(﹣1,2+),点M2坐标(﹣1,2﹣).②当M3为顶点时,∵直线AC解析式为y=﹣x+1,线段AC的垂直平分线为y=x,∴点M3坐标为(﹣1,﹣1).③当点A为顶点的等腰三角形不存在.综上所述点M坐标为(﹣1,﹣1)或(﹣1,2+)或(﹣1.2﹣).【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法,学会分类讨论的思想,属于中考压轴题.变式训练1:(2016·某某某某)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3)(1)求抛物线的解析式;(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动,当四边形ABPC的面积最大时,求点P 的坐标和四边形ABPC的最大面积.(3)直线l经过A、C两点,点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动,直线m经过点B和点Q,是否存在直线m,使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似?若存在,求出直线m的解析式,若不存在,请说明理由.类型二:结论开放型问题例题2:(2016·某某随州·3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)4a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c >0;(4)若点A(﹣3,y1)、点B(﹣,y2)、点C(,y3)在该函数图象上,则y1<y3<y2;(5)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣3的两根为x1和x2,且x1<x2,则x1<﹣1<5<x2.其中正确的结论有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【解析】二次函数图象与系数的关系.(1)正确.根据对称轴公式计算即可.(2)错误,利用x=﹣3时,y<0,即可判断.(3)正确.由图象可知抛物线经过(﹣1,0)和(5,0),列出方程组求出a、b即可判断.(4)错误.利用函数图象即可判断.(5)正确.利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题.【解答】解:(1)正确.∵﹣ =2,∴4a+b=0.故正确.(2)错误.∵x=﹣3时,y<0,∴9a﹣3b+c<0,∴9a+c<3b,故(2)错误.(3)正确.由图象可知抛物线经过(﹣1,0)和(5,0),∴解得,∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a,∵a<0,∴8a+7b=2c>0,故(3)正确.(4)错误,∵点A(﹣3,y1)、点B(﹣,y2)、点C(,y3),∵﹣2=,2﹣(﹣)=,∴<∴点C离对称轴的距离近,∴y3>y2,∵a<0,﹣3<﹣<2,∴y1<y2∴y1<y2<y3,故(4)错误.(5)正确.∵a<0,∴(x+1)(x﹣5)=﹣3/a>0,即(x+1)(x﹣5)>0,故x<﹣1或x>5,故(5)正确.∴正确的有三个,故选B.变式训练2:(2016·某某某某·3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x 轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:①4ac<b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;③3a+c>0④当y>0时,x的取值X围是﹣1≤x<3⑤当x<0时,y随x增大而增大其中结论正确的个数是()A.4个B.3个C.2个D.1个类型三:解题策略开放型例题3:(2014 年某某襄阳)如图 Z3-1,在△ABC 中,点D,E 分别在边 AC,AB 上,BD 与 CE 交于点 O,给出下列三个条件:①∠EBO=∠DCO;②BE=CD;③OB=OC.(1)上述三个条件中,由哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形?(用序号写出所有成立的情形)(2)选择其中的成立条件进行证明。

中考复习专题--开放性问题(导学案)

中考复习专题--开放性问题(导学案)

2014年中考数学专题复习:开放题【问题发现】如图,已知AC ⊥BD 于点P ,AP =CP ,请增加一个条件,使得△ABP≌△CDP(不能添加辅助线),你增加的条件是 。

问题回顾:三角形全等的判定有: , , , , 。

根据什么 判定,需要添加条件 。

【分析归纳】相信同学已经做过类似的问题。

我们发现题目的条件不完全,答案不唯一。

我们把这类题叫做开放题。

主要分为条件开放,结论开放,综合开放和策略开放四类。

条件开放:条件开放题是指结论给定,条件未知或不全,需探求与结论相对应的条件.解这种开放问题的一般思路是:由已知的结论反思题目应具备怎样的条件,即从题目的结论出发,逆向追索,逐步探求。

1、已知反比例函数xm y 2-=,其图象在第一、第三象限内,则m 的值可为(写出满足条件的一个k 的值即可)分析:对于反比例函数xk y =(k 是常数,k ≠0)。

当它的图象在第一、第三象限时有,m>0,所以本题中应该是m-2>0,即m>2。

2、在多项式4x 2+1中添加一个条件,使其成为一个完全平方式,则添加的单项式是(只写出一个即可)。

分析:要使多项式4x 2+1成为一个完全平方式,可添加一次项,也可添加二次项,还可添加常数项。

结论开放型:给出问题的条件,让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性,这些问题都是结论开放问题.这类问题的解题思路是:充分利用已知条件或图形特征,进行猜想、类比、联想、归纳,透彻分析出给定条件下可能存在的结论,然后经过论证作出取舍。

3、如图所示,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ,DE ∥AC ,DE 交AB 于点E ,M 为BE 的中点,连接DM.在不添加任何辅助线和字母的情况下,图中的等腰三角形是 .(写出一个即可) 分析:4、已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图形如图所示,它与x 轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0).对于下列命题:①b 2-4ac >0;②2a+b<0;③a-b+c=0;④a+b+c>0。

初中数学开放性习题类型及解题技巧

初中数学开放性习题类型及解题技巧

撷英篇一、初中数学开放性习题的特点以及作用(一)开放性习题的特点什么是数学开放题?对于数学开放题目前还没有一个统一的定义,但是可以总结一些开放性习题的特点,比如答案不固定、条件不完整、条件多余、条件不足、多种答案、多种解法等等,在初中数学教学中,出现了独特设计、个性开放的题目,与传统中规中矩的题目不同,开放性习题构思独特,能够培养学生的创新能力,在数学教学中最富有研究价值,是应试教育向素质教育转变的重要体现。

同时,开放性习题还具有内容新颖、条件与结论不定、解题思路灵活的特点,与学生的实际生活贴近。

形式也多种多样,具有可塑性,探索结论、解法,充分体现出了现代化的教学气息。

还有一个明显的特征就是答案不是唯一的,需要通过多种思维观察题目,对题目进行想象、归纳、类比,挖掘多种解题方式,创新性的解题方式能够满足现代人才发展竞争要求。

(二)开放性习题的作用1.对学生的教育作用有利于培养学生的思维,让学生打破原有的思维模式,通过联想与想象的方式多角度进行思考,有助于学生创造能力以及思维模式的形成。

开放性习题的不确定性是教师研究的主要问题,通过师生交流的形式将开放性习题融入课堂中,激发学生独立思考的能力,让学生能够构建知识形成的过程,培养学生灵活的思维能力以及创造能力。

有利于激发学生的学习兴趣,通过合作的形式完成学习与竞争,让学生畅所欲言,通过实践的形式进行解题,在轻松愉快的氛围中学习,能够激发学生学习的动力,从而对学习产生浓厚的兴趣。

有利于强化学生的创新意识,因为开放性习题的答案与模式不固定,学生需要调动所有的知识,用多种思维模式对问题进行探索,强化学生的创新意识与探究能力。

2.对教师的教学作用转变教师的观念与角色,用动态式、开放式的教学理解数学知识,以学生作为教育的中心,而不仅仅是一个知识的传授者,对教学的内容进行设计,做课程的组织者与设计者,从而大大提高教学效果。

二、初中数学开放性习题类型(一)结论开放性结论开放性就是在既定的条件下探索对象是否真实存在,分为结论存在与不存在两种情况,解题的方法为如果结论存在,通过演绎推理的方式得出结论,从而做出准确的判断。

浅谈初中数学开放性题型及其解法

浅谈初中数学开放性题型及其解法

初 中数学 的开放性题 型包 括多种类型 , 与数学教 学的创新发
展密不可分 。总体 来说 , 培养初 中生的发散思维 能力 和实际应用 是 以深 刻地观察 、 分析、 归纳其数字 内在 的规律为基础 的 , 由已知 能力是开放性题型设计和应用的初 衷。在面临这类问题的时候很 的 4个 等式发现 : 等式 的左边是 含有乘法和 加法运算 的两项 式 , , 另一个 是两个 自然数的乘积 , 这两 个 自然数 多初 中生若没有接受过系统 、 科学 的训练 , 往往显得束手无策 。在 两个加数中一个是 1 此必须清 晰地点 出开放性题 型主要锻炼 学生 的发散思维 能力 和 相差 2 , 而等式的右边是一个 自然数的平方 , 且 这个 自然数是等式
放性题型有 固定 和统一 的解答模 式 , 这 其实是大错特错 。在 日常 的数学教学 中针对 开放 性题型的特点 , 教师有必要 引导初 中生更 好地理解和认知开放性题型的原貌。也就是说 开放性题 型往往需
参考文献 : 刘志刚. 能 力立 意取 向下 的开放 题 设计视 角[ J ] . 江西教 育 ,
2 0 1 0 ( 1 7 ) .
例 1 : 已知点 P ( x , ' , ) 位 于第 二象限 , 并且 , , ≤ + 4 , , Y 为整数 , 地考核 的热 点题 型选 择 , 这务必 引起 广大初 中数学 教师和学生 的 解析: 由已知可 得 x < O , y > O , 所 以 > 一 4 , 又 因为 为整 数 , 故 维 , 需 要重新 找到解题 的手段和步骤 , 这对广大初 中生来 说 既是
数 学开 放 性 题 型 的现 状 和 解 答 方 法 。
关键词 : 开放 性题 型; 初 中数学 ; 数学教学 ; 发散 思维 ; 创新能力 随着近年来 初 中教 育和课程 改革 的推 进 以及 素质教 育的逐 学生深入开放性题型 的“ 背后” , 找到开放性题型 的本 质特征 和规
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初中数学中考试题研究《代数几何综合试题》开放探究问题最常见的是命题中缺少一定的条件或无明确的结论,要求添加条件或概括结论;其次是给定条件,判断存在与否的问题;近几年来又逐步出现了一些根据提供的材料,按自己的喜好自编问题并加以解决的试题。

开放探究问题涉及知识面广,遍布整个初中阶段的所有知识,要求学生具有较强的解题能力和思维能力。

开放探究问题就开放而言,有条件开放、结论开放、解题方法开放、编制问题开放:就探究而言,可归纳为探究条件型、探究结论型、探究结论存在与否型及归纳探究型四种。

类型一:探究条件型探究条件型是根据问题提供的残缺条件添补若干条件,使结论成立,解决此类问题的一般方法是:根据结论成立所需要的条件增补条件,此时要注意已有的条件及由已有的条件推导出的条件,不可重复条件,也不能遗漏条件。

例1.(2009丽水市)已知命题:如图,点A,D,B,E在同一条直线上,且AD=BE,∠A=∠FDE,则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题,如果是真命题,请给出证明;如果是假命题,请添加一个..适当条件使它成为真命题,并加以证明.解:是假命题.以下任一方法均可:①添加条件:AC=DF.证明:∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE.在△ABC和△DEF中,AB=DE,∠A=∠FDE,AC=DF,∴△ABC≌△DEF(SAS).②添加条件:∠CBA=∠E.证明:∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE.在△ABC 和△DEF 中, ∠A=∠FDE , AB=DE , ∠CBA=∠E , ∴△ABC ≌△DEF(ASA ). ③添加条件:∠C=∠F. 证明:∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE. 在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠FDE , ∠C=∠F , AB=DE , ∴△ABC ≌△DEF(AAS )同步测试1.(2009年牡丹江市)如图,□ABCD 中,E 、F 分别为BC 、AD 边上的点,要使BF DE =,需添加一个条件: . 1.();BE DF BF DE AF CE BFD BED AFB ADE ==∠=∠∠=∠或∥;;等2.(2009东营)如图,在四边形ABCD 中,已知AB 与CD 不平行,∠ABD =∠ACD ,请你添加一个条件: ,使得加上这个条件后能够推出AD ∥BC 且AB =CD .2.∠DAC =∠ADB ,∠BAD =∠CDA ,∠DBC =∠ACB ,∠ABC =∠DCB ,OB =OC ,OA =OD ;(任选其一)BCDAOABCEDF类型二:探究结论型探究结论型问题是指根据题目所给的条件经过分析、推断,得出一个与条件相关的结论,解决此类问题的关键是需要对已知的条件进行综合推理,得出新的结论。

例2.(2009年安徽)如图,M 为线段AB 的中点,AE 与BD 交于点C ,∠DME =∠A =∠B =α,且DM 交AC 于F ,ME 交BC 于G .(1)写出图中三对相似三角形,并证明其中的一对;(2)连结FG ,如果α=45°,AB =42,AF =3,求FG 的长. 【答案】(1)证:△AMF ∽△BGM ,△DMG ∽△DBM ,△EMF ∽△EAM以下证明△AMF ∽△BGM .∵∠AFM =∠DME +∠E =∠A +∠E =∠BMG ,∠A =∠B ∴△AMF ∽△BGM .(2)解:当α=45°时,可得AC ⊥BC 且AC =BC∵M 为AB 的中点,∴AM =BM =22又∵AMF ∽△BGM ,∴AF BMAM BG=∴2222833AM BM BG AF ⨯===又42cos454AC BC ===,∴84433CG =-=,431CF =-= ∴2222451()33FG CF CG =+=+=同步测试3.(2009年福州)请写出一个比5小的整数 3.答案不唯一,小于或等于2的整数均可,如:2,1等4.(2009年莆田)已知,如图,BC 是以线段AB 为直径的O ⊙的切线,AC 交O ⊙于点D ,过点D 作弦DE AB ⊥,垂足为点F ,连接BD BE 、..(1)仔细观察图形并写出四个不同的正确结论:①________,②________ ,③________,④____________(不添加其它字母和辅助线,不必证明);(2)A ∠=30°,CD ,求O ⊙的半径r . 4.(1)BC AB AD BD ⊥⊥,,DF FE BD BE ==,,BDF BEF △≌△,BDF △∽BAD △,BDF BEF ∠=∠,A E DE BC ∠=∠,∥等(2)解:AB 是O ⊙的直径90ADB ∴∠=°又30E ∠=°30A ∴∠=°12BD AB r ∴== 又BC 是O ⊙的切线90CBA ∴∠=° 60C ∴∠=︒在Rt BCD △中,3CD =tan 602BD rDC ∴==° 2r ∴=类型三:探究结论存在与否型探究结论存在与否型问题的解法一般先假定存在,然后以此为条件及现有的条件进行推理,然后得出问题的解或矛盾再加以说明。

例3.(2009仙桃)如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =90°,已知AD =AB =3,BC =4,动点P 从B 点出发,沿线段BC 向点C 作匀速运动;动点Q 从点D 出发,沿线段DA 向点A 作匀速运动.过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M ,交BC 于点N .P 、Q 两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度.当Q 点运动到A 点,P 、Q 两点同时停止运动.设点Q 运动的时间为t 秒.(1)求NC ,MC 的长(用t 的代数式表示); (2)当t 为何值时,四边形PCDQ 构成平行四边形?(3)是否存在某一时刻,使射线QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分?若存在,求出此时t 的值;若不存在,请说明理由;(4)探究:t 为何值时,△PMC 为等腰三角形? 解:(1)在直角梯形ABCD 中,∵QN ⊥AD ,∠ABC =90°,∴四边形ABNQ 是矩形。

∵QD=t ,AD=3,∴BN=AQ=3-t ,∴NC=BC-BN=4-(3- t )= t+1。

∵AB =3,BC =4,∠ABC =90°,∴AC=5。

∵QN ⊥AD ,∠ABC =90°,∴MN ∥AB ,∴CM CNAC BC=, 即154CM t +=,∴554t MC +=. (2)当QD=CP 时,四边形PCDQ 构成平行四边形。

∴当t=4-t ,即t=2时,四边形PCDQ 构成平行四边形。

(3)∵MN ∥AB ,∴△MNC ∽△ABC ,要使射线QN 将△ABC 的面积平分,则△MNC 与△ABC 的面积比为1:2,即相似比为1:2,∴12CN BC =,即1142t +=,∴t=221-.∴CN=22,MC=522,∴CN+MC=922,∵△ABC的周长的一半=3452++=6≠922,∴不存在某一时刻,使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分。

(4)分3种情况:①如图,当PM=MC时,△PMC为等腰三角形。

则PN=NC,即3-t-t=t+1,∴23t=,即23t=时,△PMC为等腰三角形。

②如图,当CM=PC时,△PMC为等腰三角形。

即5544tt +=-,∴119t=时,△PMC为等腰三角形。

③如图,当PM=PC时,△PMC为等腰三角形。

∵PC=4-t,NC=t+1,∴PN=2t-3,又∵34 MN ABNC BC==,∴MN=() 314t+,由勾股定理可得[()314t+]2+(2t-3)2=(4-t)2,即当t=10357时,△PMC为等腰三角形。

同步测试5.(2009年广西南宁·改编)如图,在边长为5的正方形ABCD 中,点E、F分别是BC、DC边上的点,且AE EF⊥,延长EF交正方形外角平分线CP P于点,AB边上是否存在一点M,使得四边形DMEP是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.解法①AE EF ⊥2390∴∠+∠=°四边形ABCD 为正方形90B C ∴∠=∠=° 1390∴∠+∠=°12∠=∠90DAM ABE DA AB ∠=∠==°, DAM ABE ∴△≌△DM AE ∴= AE EP = DM PE ∴=∴四边形DMEP 是平行四边形.解法②:在AB 边上存在一点M ,使四边形DMEP 是平行四边形 证明:在AB 边上取一点M ,使AM BE =,连接ME 、MD 、DP .90AD BA DAM ABE =∠=∠=,° Rt Rt DAM ABE ∴△≌△ 14DM AE ∴=∠=∠, 1590∠+∠=° 4590∴∠+∠=°AE DM ∴⊥ AE EP ⊥ DM EP ∴⊥∴四边形DMEP 为平行四边形6.(2009白银市)如图(1),抛物线22y x x k =-+与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C (0,3-).[图(2)、图(3)为解答备用图](1)k = ,点A 的坐标为 ,点B 的坐标为 ; (2)设抛物线22y x x k =-+的顶点为M ,求四边形ABMC 的面积;(3)在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ,使四边形ABDC 的面积最大?若存在,请求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由;B CE DA FP541MF A DC BE1 3 2(4)在抛物线22y x x k =-+上求点Q ,使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形.解:(1)3k =-,A (-1,0),B (3,0).(2)如图(1),抛物线的顶点为M (1,-4),连结OM . 则 △AOC 的面积=23,△MOC 的面积=23, △MOB 的面积=6, ∴ 四边形 ABMC 的面积=△AOC 的面积+△MOC 的面积+△MOB 的面积=9. (3)如图(2),设D (m ,322--m m ),连结OD . 则 0<m <3,322--m m <0. 且 △AOC 的面积=23,△DOC 的面积=m 23, △DOB 的面积=-23(322--m m ), ∴ 四边形 ABDC 的面积=△AOC 的面积+△DOC 的面积+△DOB 的面积 =629232++-m m =875)23(232+--m . ∴ 存在点D 315()24-,,使四边形ABDC 的面积最大为875. (4)有两种情况:图(1) 图(2) 图(3)图(3) 图(4)如图(3),过点B 作BQ 1⊥BC ,交抛物线于点Q 1、交y 轴于点E ,连接Q 1C . ∵ ∠CBO =45°,∴∠EBO =45°,BO =OE =3. ∴ 点E 的坐标为(0,3). ∴ 直线BE 的解析式为3y x =-+.由2323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩, 解得1125x y ,;2230.x y , ∴ 点Q 1的坐标为(-2,5).如图(4),过点C 作CF ⊥CB ,交抛物线于点Q 2、交x 轴于点F ,连接BQ 2. ∵ ∠CBO =45°,∴∠CFB =45°,OF =OC =3. ∴ 点F 的坐标为(-3,0). ∴ 直线CF 的解析式为3y x =--.由2323y x y x x =--⎧⎨=--⎩,解得1103x y ,;2214x y ,.∴点Q 2的坐标为(1,-4).综上,在抛物线上存在点Q 1(-2,5)、Q 2(1,-4),使△BCQ 1、△BCQ 2是以BC 为直角边的直角三角形.类型四:归纳探究型归纳探究型问题是指给定一些条件和结论,通过归纳、总结、概括,由特殊猜测一般的结论或规律,解决这类问题的一般方法是由特殊性得到的结论进行合理猜想,适量验证。

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