导数在解析几何中的应用论文
导数的基本定义与解析几何的关系
导数的基本定义与解析几何的关系导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的基本定义是通过极限来描述函数的变化率。
在本文中，我们将探讨导数的基本定义，并研究导数与解析几何之间的关系。
一、导数的基本定义导数描述了函数在某一点的瞬时变化率。
对于函数f(x)，在x点处的导数可以通过以下极限定义：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，h为一个无限接近于0的数。
这个定义可以理解为当x的增量趋近于0时，函数在x点处的平均变化率。
而导数则描述了函数在x点处的瞬时变化率。
二、导数与函数的图像导数与函数的图像之间有着密切的联系。
在函数的图像中，导数可以表示为函数曲线上某点处的切线斜率。
具体来说，如果函数在某一点的导数为正，那么函数图像在该点上升；如果导数为负，函数图像在该点下降；如果导数为零，函数图像在该点处达到极值。
三、导数与解析几何导数与解析几何之间的关系非常紧密。
通过导数，我们可以研究函数图像的性质，进而对解析几何中的曲线进行分析。
1. 切线与法线导数可以帮助我们确定曲线上某点处的切线方程。
对于函数f(x)，在点(x0,f(x0))处的切线方程可以表示为：y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)其中f'(x0)为函数在该点处的导数。
而法线方程可以通过切线方程的斜率倒数得到。
2. 曲线的凹凸性导数还可以帮助我们研究曲线的凹凸性。
在函数的图像中，如果导数在某个区间上恒大于零，那么函数在该区间上是凹的；如果导数在某个区间上恒小于零，那么函数在该区间上是凸的。
3. 极值点通过导数，我们可以找到函数的极值点。
对于函数f(x)，极值点可以通过导数的零点来确定。
当导数从正数变为负数时，函数图像上的极大值点出现；当导数从负数变为正数时，函数图像上的极小值点出现。
四、导数的应用导数在数学和科学中有着广泛的应用。
以下是一些导数的应用领域：1. 最优化问题导数可以帮助我们解决最优化问题，例如求函数的最大值和最小值。
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浅谈导数及应用(毕业论文)甘肃联合大学学生毕业论文题目：浅谈导数及应用作者：贺耀武指导教师：曹珂数学与信息学院数学系数学教育专业06 级三年制 2 班2008年12 月5 日0000/)()(lim )()(lim lim )(0x x x f x f x x f x x f x y x f x x o x o x --=∆-∆+=∆∆=→→∆→∆； 2． 导数的几何意义：函数y =f (x )在0x 处的导数的几何意义，就是曲线y =f (x )在点),(00y x 处的切线的斜率，即斜率为)(0x f '过点P 的切线方程为：))((000x x x f y y -'=-.3. 导函数、可导：如果函数y =f (x )在开区间),(b a 内的每点处都有导数，即对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(0x f '，从而构成了一个新的函数)(0x f ', 称这个函数)(0x f '为函数y =f (x )在开区间内的导函数，简称导数。
此时称函数y =f (x )在开区间),(b a 内可导.4． 可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点0x 处可导，那么函数y =f (x )在点0x 处连续.5. 依定义求导数的方法：（1）求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim 6．几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=；x x 1)'(ln =；e xx a a log 1)'(log =；x x e e =)'(；a a a x x ln )'(=。
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念，它具有丰富的几何意义和广泛的应用。
本文将详细阐述导数的几何意义以及在实际问题中的应用。
一、导数的几何意义导数的几何意义是切线的斜率。
考虑函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)，这个导数值代表函数曲线在该点处的斜率。
换言之，导数告诉我们曲线在特定点的变化速率。
如果导数为正，表示曲线在该点处是上升的；如果导数为负，表示曲线在该点处是下降的；如果导数为零，表示曲线在该点处有极值（最大值或最小值）。
基于这个几何意义，我们可以通过导数来研究曲线的特性。
例如，我们可以通过导数的正负来确定函数的增减性，也可以通过导数的零点来确定函数的极值点。
此外，导数还可以帮助我们理解曲线的弯曲程度。
曲线的弯曲程度与导数的变化率有关，较大的导数变化率表示曲线弯曲较陡峭，较小的导数变化率表示曲线弯曲相对平缓。
二、导数的应用1. 线性逼近导数的几何意义使得它在线性逼近问题中非常有用。
我们可以利用导数来构造一个称为切线的线性函数，用来近似曲线在该点的行为。
这种线性逼近方法在很多实际问题中被广泛应用。
例如，当我们需要确定一条曲线在某点的近似切线时，可以使用导数来计算该点处的切线斜率，并进一步确定切线方程。
2. 最优化问题导数在最优化问题中有重要的应用。
最优化问题涉及如何找到一个函数的最大值或最小值。
通过对函数求导，我们可以找到导数为零的点，即函数的极值点。
进一步分析导数的符号，可以确定函数的最大值或最小值。
这一方法在经济学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
3. 运动学问题导数在运动学中也有广泛的应用。
例如，我们可以通过对位移函数求导来得到速度函数，通过对速度函数再次求导得到加速度函数。
这种将导数应用于运动学问题的方法使得我们能够研究物体的速度和加速度变化。
这在物理学和工程学中对于研究物体的运动非常有用。
4. 统计学在统计学中，导数被用于估计和分析数据。
例如，在回归分析中，我们可以通过对观测数据进行拟合来得到一个最佳的函数。
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念，它有着广泛的几何意义和应用。
在本文中，我们将探讨导数的几何意义，并介绍一些导数在几何中和实际应用中的具体应用。
导数的几何意义可以通过对函数图像的观察得到。
对于一个函数f(x)，它的导数可以表示为f'(x)，代表了函数曲线在某一点处的斜率。
具体来说，导数可以解释为函数图像在某一点上的瞬时变化率。
这意味着我们可以通过导数来描述函数图像的“陡峭程度”。
如果导数的值比较大，表示函数图像在该点的变化比较快，曲线比较陡峭；相反，如果导数的值比较小，表示函数图像在该点的变化比较慢，曲线比较平缓。
举个例子来说明导数的几何意义。
考虑一个简单的函数f(x) = x^2，它的导数可以表示为f'(x) = 2x。
我们可以观察到，在函数图像上，导数f'(x)的值代表了曲线在不同点上的斜率。
当x的值较小时，导数f'(x)的值也较小，表示函数图像变化较慢，曲线较平缓；而当x的值较大时，导数f'(x)的值也较大，表示函数图像变化较快，曲线较陡峭。
导数不仅在几何中有着重要意义，而且在实际生活中也有广泛的应用。
其中一个常见的应用是在物理学中的位置-时间关系中。
根据经典物理学的定义，速度可以看作是位置关于时间的导数。
具体来说，如果我们有一个物体在某一时刻的位置函数x(t)，那么它的导数dx/dt就表示了该物体在该时刻的瞬时速度。
同样地，加速度可以看作是速度关于时间的导数，即dv/dt。
这种通过导数来描述位置、速度和加速度之间的关系，能够帮助我们更好地理解物体在空间中的运动规律。
在经济学和金融学领域中，导数也有着广泛的应用。
例如，利润函数关于产量的导数可以告诉我们，当产量变化时，利润的瞬时变化率是多少。
这有助于公司和企业在制定生产策略和销售计划时进行决策。
此外，在金融学中，导数可以帮助我们理解和分析股票和债券价格的波动趋势，以及利率和汇率的变化对经济的影响。
导数在解析几何中的应用论文
导数思想在解析几何的一个简单应用导数隶属于函数内容，看似与解析几何毫无关联。
但是导数的几何意义是切线斜率，我们常用求导的方法求解函数的切线。
而某些曲线方程本身是函数解析式或者曲线某一部分能够写成函数解析式，因此求曲线的切线问题也可以理解成求函数切线问题。
下面通过几道例题来说明导数在解析几何中的应用： 例1、（07安徽）过点()4,0-P 作抛物线y x G 42=：的切线，求切线方程解：设切点2004x Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x故所求切线方程为2000()42x x y x x -=- 即42200x x x y -= 因为点(0)P -4，在切线上 所以2044x -=-，2016x =，04x =±所求切线方程为042=--y x 042=++y x 。
【小结】本小题也可以用常规的方法，点斜式设直线，与抛物线联立，利用0=∆求出斜率，写出直线。
（变式）在点()2,1P 处作抛物线x y G 42=：的切线，求切线方程解：抛物线x y G 42=：在第一象限的方程为x y 2=由xy 1/-=，知抛物线在P 点处的切线斜率为1-故所求切线方程为()12:1--=-x y l 即03=-+y x【小结】本小题的出题目的是，只有将曲线方程变形为函数解析式后，才能用求导的方法求切线。
例2、（07韶关调研）已知()2,0-M ，点A 在x 轴上，点B 在y 轴正半轴上，点P 在直线AB 上，且满足=、0=⋅。
当A 在x 轴上移动时，设动点P 的轨迹为C 。
⑴求C 的方程⑵过点()0,2-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，分别过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l 。
当21l l ⊥时，求直线l 的方程。
解：⑴设()y x P , ()0,a A ()()0,0 b b B()()y b x PB y a x AP --=-=,, ()02,2 y y b x a PB AP ==∴=则()()()y x AP x a MA ,2,22,-=== ()002 y y x AP MA =∴=⋅⑵设()()2211,,y x F y x E 易知221122x k x k == 412121-=∴⊥x x l l显然AB 斜率存在，设()2:+=x k y AB ，与y x =2联立得022=--k kx x由082k k +=∆得8- k 或0 k 8124121=∴-=-=k k x x ()281+=∴x y 即028=+-y x例3、（08广州调研）已知过点()1,0-P 的直线l 与抛物线y x 42=交于两点()11,y x A 、()22,y x B 。
数学专业毕业论文-导数在高中数学教学中的应用
数学专业毕业论文-导数在高中数学教学中的应用导数在高中数学中的应用学生姓名院系名称数学与软件科学学院专业名称数学与应用数学班级 2008级班学号指导教师四川师范大学教务处二?一一年五月导数在中学数学中的应用学生: 指导老师:内容摘要:导数的思想方法在中学数学中是非常重要的, 在解决许多问题上起到居高临下和以简化繁的作用.本文着重运用导数的基本知识和理论, 来解决中学数学里的函数的图像、单调性、最值等函数问题;在掌握导数的相关概念的基础上应用导数作出特殊函数的图像;应用导数解题的一般方法证明某些不等式或等式的成立问题;解决数列的有关问题;再根据导数所具有的几何意义在解析几何中切线相关问题及求夹角问题等几何问题进行了一些探讨.关键字:导数函数不等式解析几何Derivatives in high school mathematics teaching Abstract: the thinking method of derivative in middle school mathematics is very important, except the guiding role in solve many problems as commandingand to simplify the numerous role. In this paper the basic knowledge and using derivatives, to solve the middle school mathematics theory of the function of image, monotonicity and most value function problem,Inmaster derivative based on the concept of application related to make a special function of images of derivative,The general method of solving application derivative to prove some inequality or equation established problem, Solve problems related series, Again according to thegeometrical meaning which derivative in analytic geometry in tangent related problems and geometric problems for Angle problems are analyzed .Key words: derivative function inequality Analytic geometry目录1 引言 (1)2.1 函数连续的定义 (2)2.2 导数的定义 ....................................... 2 3 导数在函数问题中的应用 (3)3.1 利用导数作函数的图像 (3)3.2 利用导数求参数的值 (4)3.3 判断函数的单调性 (5)3.4 研究方程的根 (5)3.5 求函数极值或最值 ................................. 6 4 导数在证明等式和不等式问题中的应用 (8)4.1导数在不等式证明中的应用 (8)4.2 在恒等式证明方面的应用 ........................... 9 5 导数在数列问题中的应用 ................................ 9 6 导数在解析几何问题中的应用 (10)6.1 利用导数求解切线方程 (10)6.2 求中点弦方程 (11)6.3 证明与中点弦有关的不等式 (11)6.4 求与中点弦有关的轨迹问题 ........................ 11 参考文献 (12)导数在中学数学中的应用高中数学中导数的引入为我们研究函数及其对应的曲线带来很大的方便, 尤其是可以利用导数来解决函数的单调性问题和最值问题, 更可以用导数来解决部分结合问题.另外导数的工具性和导数的几何意义也使得导数与解析几何、不等式、函数、甚至数列知识更加紧密的联系在一起.近年来, 导数的相关知识在高考中的地位日益突出, 本文就简单谈谈导数在函数、不等式、数列、解析几何中的应用.1 引言导数的思想有着悠久的历史, 公元前三世纪, 古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中, 就隐含着近代积分学的思.到了十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作, 如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论.为微积分的创立做出了贡献.十七世纪下半叶, 在前人工作的基础上, 英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作, 虽然这只是十分初步的工作.他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起, 一个是切线问题(微分学的中心问题), 一个是求积问题(积分学的中心问题).牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》, 这本书直到1736年才出版, 它在这本书里指出, 变量是由点、线、面的连续运动产生的, 否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合.他把连续变量叫做流动量, 把这些流动量的导数叫做流数.牛顿在流数术中所提出的中心问题是:已知连续运动的路径, 求给定时刻的速度(微分法);已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法).德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者, 1684年, 他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献, 这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法, 它也适用于分式和无理量, 以及这种新方法的奇妙类型的计算》.就是这样一片说理也颇含糊的文章, 却有划时代的意义.他以含有现代的微分符号和基本微分法则.1686年, 莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献.他是1历史上最伟大的符号学者之一, 他所创设的微积分符号, 远远优于牛顿的符号, 这对微积分的发展有极大的影响.现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的.2 导数的定义的相关定义很多人知道,对于很多问题,采用用高等数学的方法和初等数学的方法都可以解答, 但是高等数学的方法相对于初等数学的方法可以使一些概念更准确, 对某些问题的理解会更深刻, 使一些证明更严谨或更简单, 并为许多问题提供的解题途径. 我们高中对导数的学习只是出略的, 更多相关的知识要高等数学中才会学习, 但我们应该明白高中出现的函数几乎都是可导函数.但我们还是要注重有关概念的辨析, 避免应用导数解决相关问题是出现错误.为了更清楚地了解导数的定义我们应用高等数学中导数的定义方式.2.1 函数连续的定义定义1 若函数在的附近包括点本身有定义, 并且xxfx()00. 则称在连续, 或称点是 f (x)的连续点. xxfx()limfxfx,，，，，000xx,02.2 导数的定义定义2 设函数y=在点的某个邻域内有定义, 若极限 xfx()0fxfx,，，，，,y0 limlim,xxx,,,00xxx,,0存在, 则称函数在x处可导, 并称该极限为函数 y =在点x处的导数,fx()fx() 00,记作. ，，fx注:(1) 函数应在点x的附近有定义, 否则导数不存在. 0x(2) 在定义导数的极限式中, 趋近于0可正、可负、但不为0, 可能为0. ,y,x,y(3) 是函数y=f (x) 对自变量x在,x范围内的平均变化率, 它的几何意义是,x过曲线上点(x, 及点(x+, 的割线斜率. y,f(x)f(x)f(x，,x),x00000fxxfx，,,，，，，00,x(4) 导数lim是函数y,f(x)在点的处瞬时变化率, fx,，，00,,x0,xx它反映的函数y,f(x)在点处变化的快慢程度, 它的几何意义是曲线y,f(x)0 上点(x, )处的切线的斜率. f(x)002fxxfx()()，,,00(5) 若极限不存在, 则称函数y=f (x)在点处不可导.xlim0,,x0,x(6) 如果函数y=f (x)在开区间(a, b)内每一点都有导数, 则称函数在开区y,f(x),间内可导;此时对于每一个, 都对应着一个确定的导数, 从,，，(a,b)(a,b)xfx,而构成了一个新的函数, 称这个函数. ，，fx3 导数在函数问题中的应用3.1 利用导数作函数的图像中学数学教材中介绍的描点法作函数图像, 作图比较粗糙不准确, 一般只适用于简单的函数, 但对比较复杂的函数就很难做出.现用导数的知识来作函数图像就相当的简便.作函数图像的一般步骤:(1) 求出函数的定义域;(2)考察函数的奇偶性、周期性;(3)求函数的一些特殊点, 如与两坐标轴的交点等(列表);(4)确定函数的单调区间, 极值点, 凸性区间及拐点(列表); (5)考察渐进线;(6)画图.32例1 作函数的图像. y,x，6x,15x,20解:(1) 函数的定义域 (,,,，,)51055105，,，(2) 曲线与x, y轴交点分别为.(,0),(1,0),(,0),(0,20),,,222,(3) 令解得 x,,5,1y,3x，12x,15,3(x，5)(x,1),0,,令解得 y,6x，12,6(x，2),0x,,2(4) 现列表讨论函数的单调区间、极值点、凸性区间及拐点:x (,,,,5)(,5,,2)(,2,1)(1,，,)-5 -2 1, y+ 0 ——— 0 +,,y ——— 0 + + +y ?凹 80 极大 ?凸 26 拐点 ?凹 -28极小 ?凹(5) 无渐进线3(6) 作图:X(-5，80)(-2,26)(-1，0)Y(1，-28)图1 3.2 利用导数求参数的值在一些含位置参数的题中, 有我们通过运用导数之似乎可以化简函数, 从而更快速的求出参数.2xa,例 2 已知函数在区间[-1, 1]上是增函数, 求实数的取值afxxR(),,，，2x，2所组成的集合A.224，2ax,2x,2(x,ax,2),f(x),,解 2222(x，2)(x，2)又在[-1, 1]上是增函数 fx()2, ,,f(x),0对恒成立, 即对,,恒成立. x,,1,1x,,1,1x,ax,2,02 设, 那么问题就等价于 ,(x),x,ax,21,a,2,0,(1),0,,,, 即故 ,1,a,1(,1),0,,1，a,2,0,所以 A=aa|11,,,. ,,43.3 判断函数的单调性函数的单调性是函数最基本的性质之一, 是研究函数所要掌握的最基本的知识.通常用定义来判断, 但当函数表达式较复杂时判断正负较困f(x),f(x)12 ,,难.运用导数知识来讨论函数单调性时, 只需求出, 再考虑的正负即可.f(x)f(x)此方法简单快捷而且适用面广.32例 3 已知是定义在R上的函数, 其图像交轴于f(x),x，bx，cx，dx三点, 点的坐标为(2,0),且在[-1,0]和[0,2]有相反的单调性. Bf(x)A、B、C(1)求的值. C(2)若函数)在[0,2]和[4,5]也有相反的单调性, 的图像上是否存在f(x)f(x)一点, 使得在点的切线斜率为? 若存在, 求出点的坐标. 若不MMMf(x)3b 存在, 说明理由.2,解分析:(1), ？在[-1,0]和[0,2]有相反的单调性. ，，f(x)fx,3x，2bx，c,？ =0是的一个极值点, 故. ？=0 ，，，，fxf0,0xc22, (2)得,, ，，fx,0x,0x,,b3x，2bx,0123因为在[0,2]和[4,5] 有相反的单调性, f(x),？，，在[0,2]和[4,5] 有相反的符号. fx2 故,. 2,,b,4,6,b,,33, 假设存在点M使得在点M的切线斜率为,则. f(x)(x,y)fxb()3,3b00022,，，即.,而. 3x，2bx,3b,0fx,3b？,,4b,4，3，(,3b),4b(b，9)000？,, 0.故不存在点M使得在点M的切线斜率为. f(x)(x,y)3b003.4 研究方程的根我们知道在解决一元二次方程根的时候通常会用到伟大定理, 但有很多关于方程根的问题如果仅仅用伟大定理来解决的话会显得很吃力, 并且找不着下手的方向.此时我们可以尝试用导数的方法来解决有关问题.532例4 若, 则方程在上有多少根, 0,2m,3x,mxx，1,0,,32解设, 则，，fx,x,mx，12, ，，fx,3x,2mx,且时, , 当，，，，x,0,2fx,0m,3故在上单调递减, 而在与处都连续, 且, f(x)0,2f(x)f(0)10,,x,0x,2，，fm(2)940,,,在上只有一个根. 故 f(x)0,2,,导数有一个很好的作用就是降次, 我们可以三次函数降为更为熟悉的二次函数, 从而达到化简的目的.3.5 求函数极值或最值最值问题是高中数学的一个重点, 也是一个难点.它涉及到了高中数学知识的各个方面, 要解决这类问题往往需要各种技能, 并且需要选择合理的解题途径.用导数解决这类问题可以使解题过程简化, 步骤清晰, 学生也好掌握.应注意函数的极值与最值的区别与联系, 极值是一个局部性概念, 最值是某个区间的整体性概念.利用导数求函数极(最)值解答这类问题的方法是:(1)根据求导法则对函数求出导数.(2)令导数等于0,解出导函数的零点.(3)分区间讨论,得数的单调区间.(4)判断极值点,求出极值.(5)求出区间端点值与极值进行比较,求出最值.出函322例 5 设是函数，，的两个极值点. x、xf(x),ax，bx,axa,012(1)若=-1,=2,求函数的解析式; xf(x)x12x (2)若+=22,求)的最大值; xf(x)21322？解分析: (1) ，，, f(x),ax，bx,axa,022,，，，，？fx,3ax，2bx,aa,02,,？依题意有，，, ，，, f,1,0f2,03a,2b,a,02 12a，4b,a,0解得 a,6622 ,. ？f(x),6x，9x,36xb,,9'22 (2), ？f(x),3ax，2bx,a(a,0)' 依题意, 是方程的两个根,且+=22, xxx、xf(x),021122 . ？(x，x),2xx，x，x,812121223322 ,. ？(,2b3a)，(,a)，2a,8？b,3a(6,a)2 . ？b,0,？0,a,622, 设),则. ，，p(a),3a(6,a)pa,,9a，36a,, 由得,由得. ，，，，pa,0pa,00,a,4a,4即:函数在区间(0,4]上是增函数,在区间[4,6]上是减函数, p(a)？当=4时, 有极大值为96,？)在(0,6]上的最大值是96, p(a)p(a)a？的最大值为46. b从以上例题的分析可以看出导数定义在求极限导数导数可以解决函数中的最值问题,不等式问题,发挥着重要作用,因此我们应予高度重视,充分理解导数定义概念的实质,把握导数.应用的场合及关键点,只有这样在各类考试中方能得心应手.32例6 (2005年山东卷)已知函数是函数的一个fxmxmxnx()3(1)1,,，，，x,1 极值点, 其中, . mnR,,m,0(1)求与的关系表达式; mn(2)求的单调区间; fx()(3)当时, 函数的图像上任意一点的切线斜率恒大于, x,,[1,1]yfx,()3m求的取值范围. m分析:这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识, 第1小题根据极值点处导数为零, 可确定与的关系;第2小题求函数的单调区间可根mn 据求导法得到, 列出表格, 答案一目了然;第3小题根据导数的几何意义结合一元二次函数的性质即可得到结论.2,解 (1) fxmxmxmn()36(1)3,,，，，, 由是的一个极值点, 知, 即, fx()f(1)0,36(1)0mmn,，，,x,1？,，nm36722,(2) 由(1), 得 fxmxmxm()36(1)35,,，，，,,,，3(1)[(1)]mxxm2, 由知, , 当变化时, 与的变化如下: fx()fx()xm,011,，xmx2221 (1,)，, (1,1)，1，(,1),,，mmm,0,0,00 0 gx'()递减极小值递增极大值递减 gx()22由上可知, 在区间和上递减,在区间上递增. fx()(1,)，,(1,1)，(,1),,，mm2,(3) 由已知得,即,即当时,有fxm()3,mxm,，，,2(1)20,,,11x122.? xx,，，,2(1)0mm122 设,其函数开口向上,由题意?式恒成立,所以gxxx()2(1),,，，mm22,g(1)0,,,120，，，,,4,即解之得, ,又,,mmm,g(1)0,3,,,,10,44,所以.即的取值范围为. mm,0(,0),,,,m0334 导数在证明等式和不等式问题中的应用4.1导数在不等式证明中的应用利用导数证明不等式, 就是利用不等式与函数之间的联系, 将不等式的部分或者全部投射到函数上.直接或等价变形后, 结合不等式的结构特征, 构造相应的函数.通过导数运算判断出函数的单调性或利用导数运算来求出函数的最值, 将不等式的证明转化为函数问题.即转化为比较函数值的大小, 或者函数值在给定的区间上恒成立等.x例 7 求证: exx,，,1(0)分析:本题通过导数与函数单调性的关系, 自然地将导数与不等式结合在一x起, 灵活考查了学生全面分析解决问题的能力.先构造函数;再对fxex()1,,, 进行求导, 得到;然后观察得到当时, fx'()0,, 即在fx()fx'()fx()x,0x,08x时是增函数;最后可得当时, , 即. fxf()(0)0,,x,0ex,，1x解:令则 fxex()1,,,x fxe'()10,,,在上是增函数. ？fx()(0,)，,当时, ？fxf()(0)0,,x,0x即. exx,，,1(0)4.2 在恒等式证明方面的应用此类问题证明的关键是把恒等式问题转化为函数问题, 然后利用函数的导数达到解决问题的目的.,例 8 求证: arctanarccotxx，,2证明:设则 arctanx，arccotx,f(x)11, f(x),,,0221，x1，x从而令得 f(x),c(c为常数)x,1,,,(), 于是 fx,，,442,arctancot x，arcx,25 导数在数列问题中的应用数列是高中数学中一个重要的部分, 也是个难点.事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数, 所以可以利用数列和函数的关系, 运用导数来解决数列的有关问题.2*例 9 已知数列,,的通项, 求数列,,的最大项. a，，aa,n(10,n)n,,nnn 22,解作辅助函数, 则. f(x),x(10,x)(x,0)f(x),20x,3x20, 令f(x),0 得0,x,; 320,x, 令f(x),0 得或. x,0392020在区间上是增函数, 在区间是减函数. f(x)(0,)(,，,)3320因此, 当x,时函数取到最大值. f(x)3*2对, , f(n),n(10,n)n,,f(7),147,f(6),144f(n),147max所以数列的最大项为. ,,aa,147n76 导数在解析几何问题中的应用导数进入中学数学, 丰富了中学数学知识和解法, 给许多繁难问题提供了一种通用的解题方法, 也给许多常规问题的解法提供了新的视角.利用导数解决解析几何中的切线、中点弦问题, 正是其中一个方面.6.1 利用导数求解切线方程利用导数的几何意义, 把二次曲线方程看作:y是x的函数, 利用复合函数222求导法则, 可轻松求出切线的斜率.如对圆xaxbR,，,,, 两边对求导, x，，，，,则有，，，，, 所以在切点处的切线斜率mn,2x,a，2y,by,0，，xm,a2,k,y,,.从而求出切线方程是.xamaybnbR,,，,,,|，，，，，，，，xx,m,y,nn,b类似地可轻松求出过椭圆、双曲线、抛物线等曲线上的点的切线方程. 如果以圆、椭圆等图形的中心为中心, 按比例缩小图形, 则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB中点M相切(如图1).此时缩小的曲线方程如22xy222xaxbtR,，,,, , 两边对求导, 可发现并不改变原程，,1x，，，，，，22tatb，，，，,求导的结果.因此, 利用导数法求中点弦的斜率, 就是y在中点处的值. xB A M图2106.2 求中点弦方程22例 10 已知双曲线方程, (1)求以为中点的双曲线的弦所在的，，22xy,,A2,1直线方程;(2)过点, 能否作直线, 使与所给双曲线交于两点, 且LL，，P、QB1,1点是弦的中点,这样的直线如果存在, 求出它的方程;如果不存在, 说明BPQ理由.22,解对两边求导, 得 4x,2yy,022xy,,x,(1) 以为中点的弦的斜率, 所以所求中点弦所在直线方程，，k,y|,2A2,1xx,2,y,1为 yx,,,12(1),(2) 以为中点的弦的斜率, 所以所求中点弦所在直线方程，，k,y|,2B1,1xx,2,y,122为, 即,但与双曲线方程联立消去得yx,,,12(1)210xy,,,y22xy,,2, 无实根.因此直线与双曲线无交点, 所以满足条件的2430,80xx,，,,,,,l直线不存在. l 点评:(1)求出的方程只是满足了必要性, 还必须验证其充分性, 即所求直线与双曲线确实有两个交点.6.3 证明与中点弦有关的不等式22xy例11 已知椭圆, A、B是椭圆上两点, 线段的垂直平，，AB，,1a,b,022ab2222abab,,分线与轴交于点P, 求证:x. (x,0)x,,,00aa P证明: 设AB的中点是, 则中点在椭圆内, ，，Pm,n所以 (1)22xy对椭圆两边求导，,122ab2xb2x2y,,有, 得 y，y,0,,xx222yaab2mb,故中点弦AB的斜率, 所以线段AB的垂直平分线斜率满k,y|,,xx,my,n.2na22xan,ona0足:, 得m,. ,222a,bm,xmb02222abab,,x代入(1)式得. ,,,0aa6.4 求与中点弦有关的轨迹问题122AA例 12 已知定点(0, 2), 椭圆, 过任意引直线与椭圆交于两点x，y,12 , 求线段中点的轨迹方程. P、QPQ解设线段的中点为. PQ，，Mx,y122对椭圆两边求导, 得 x，y,12,=0 x，2yyx11x所以PQ的斜率为.又, k,,k,kAMPQ2yy,2x,,所以. x,12y12222化简即得(在椭圆内的部分). x，2y,4y,0x，y,12综上所述, 在中学数学中解决函数、解析几何时我们可以充分考虑导数这一个有力工具, 有些题通过导数的使用可以达到简化题目、降低难度的作用, 但在应用导数时不能盲目使用.相信有了导数这一工具会使大家解决中学数学题时多以选择.参考文献[1]郭金芝. 导数的应用[J]. 中学生数理化(教与学教研版), 2006(2):38-40 .[2]王淑茂吴永清. 例谈导数应用中的几个误区[J]. 数学教学研究,2006(1):35-36.[3]陈应昌. 导数中的一个重要定理的应用[J] . 高中数学教与学 ,2006(2):27-28.[4]肖志向. 例说导数法证明不等式[J]. 中学数学研究, 2006(2):38-39.[5] 李汉云. 导数的基本应用举例[J]. 高中数学教与学. 2005(10):15-17[6] 华东师范大学数学系 . 数学分析[M](上册, 第三版).北京: 高等教育出版社, 2001-6:87-103.[7]秦学锋. 微积分在数列求和中的应用[J] .数学通报, 2001(2):36 [8]周国球 .运用导数解题应注意几个方面[J].中学数学教学, 2006(1):24-25.[9] 华东师范大学数学系(数学分析(上册)[M](北京:高等教育出版社,2001([10] 杜忠芬.浅谈微积分在初等数学中的应用[J],同仁学院学报,2007, 1(6): 40-43.[11] 杜明华.新增内容导数在解题中的几点应用[J], 新课程改革与实践,2009, 4(5):85-86.[12] 张丽娟.导数的应用浅析[J], 自然科学, 2009,26(3):44-48. [13] 周晓渝.高等数学在初等数学中的应用[J], 科技信息, 2009, 30: 499-499.[14] 窦宝泉.导数在中学数学中的应用[J].数学通讯, 2003(12):12-13 [15]张红. 数学简史[M].科学出版社.2006(6):190-203.12。
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念之一，它不仅有着深刻的几何意义，还在数学和实际问题的求解中有着广泛的应用。
本文将深入探讨导数的几何意义以及其在实际问题中的应用。
导数的几何意义导数的几何意义可以从两个方面来理解，即斜率和切线。
首先，导数可以被解释为函数图像上某一点的切线斜率。
具体而言，对于函数y=f（x），如果在某一点x=a处的导数存在，则导数f’(a)即为函数图像在该点的切线的斜率。
这意味着，通过求导，我们能够得到函数图像上每一点处的切线斜率，从而更加准确地描述函数的变化趋势。
其次，导数还可以被解释为函数的变化率。
导数可以帮助我们理解函数在不同点上的变化速率，进而揭示函数的增减性和凸凹性质。
具体而言，如果导数f’(a)在某一点x=a处为正，那么函数在该点上是递增的；如果导数f’(a)在某一点x=a处为负，那么函数在该点上是递减的；如果导数f’(a)在某一点x=a处等于零，那么函数在该点上可能存在极值点。
导数的应用导数作为微积分的基本工具，在数学和实际问题的求解中有着广泛的应用。
以下将介绍导数在不同领域的具体应用。
1. 极值问题导数在求解函数的极值问题中起着重要作用。
对于一个可导函数，可以通过求导将极值问题转化为寻找导数为零的点或者导数不存在的点。
通过求解导数为零或导数不存在的方程，可以找到函数的可能极值点，进而得到函数的最大值或最小值。
2. 凸凹性分析凸凹性分析是导数在物理学、经济学等领域中的重要应用之一。
通过函数的二阶导数信息，可以判断函数的凸凹性质。
具体而言，如果函数的二阶导数大于零，那么函数是凸函数；如果函数的二阶导数小于零，那么函数是凹函数。
3. 曲线绘制与图像分析导数在曲线绘制与图像分析中也扮演着关键的角色。
通过求导，可以得到函数图像上每一点处的切线斜率，从而帮助我们绘制更加准确的曲线。
同时，导数还可以帮助我们分析函数的拐点、极值点和最值点，进而对函数的整体形态进行深入理解。
数学论文导数及应用范文（2）
数学论⽂导数及应⽤范⽂(2) 数学论⽂导数及应⽤篇三 摘要：⾼等数学是⼀门⽅法学科，因此可以说是许多专业课程的基础。
然⽽导数这⼀章节在⾼等数学中是尤为重要的，在⾼等数学的整个学习过程中，它起着承前启后的作⽤，是学习⾼等数学⾮常重要的任务。
本⽂详细地阐述了导数的求解⽅法和在实际中的应⽤。
关键词：⾼等数学导数求解应⽤ 导数的基本概念在⾼等数学中地位很⾼，是⾼等数学的核⼼灵魂，因此学习导数的重要性是不⾔⽽喻的。
然⽽这种重要性很多同学没有意识到，更不懂得如何求解导数以及运⽤导数来解决有关的问题。
我通过⾃⼰的学习和认识，举例⼦说明了⼏种导数的求解⽅法以及导数在实际中的应⽤。
⼀、导数的定义 1.导数的定义 设函数y=f(x)在点x0的某⼀邻域内有定义，如果⾃变量x在x0的改变量为△x(x0≠0，且x0±△x仍在该邻域内)时，相应的函数有增量△y=f(x0+△x)-f(x0)。
若△y与△x之⽐，当△x→0时，有极限lim =lim 存在，就称此极限为该函数y=f(x)在点x0的导数，且有函数y=f(x)在点x=x0处可导，记为f`(x0)。
2.导数的⼏何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数在⼏何上表⽰曲线y=f(x)在点〔x0，f(x0)〕处的切线斜率，即f`(x0)=tan，其中是切线的倾⾓。
如果y=f(x)在点x0处的导数为⽆穷⼤，这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置，即曲线y=f(x)在点〔x0，f(x0)〕处具有垂直于x轴的切线x=x0。
根据导数的⼏何意义并应⽤直线的点斜式⽅程，可知曲线y=f(x)在点〔x0，f(x0)〕处的切线⽅程。
⼆、导数的应⽤ 1.实际应⽤ 假设某⼀公司每个⽉⽣产的产品固定的成本是1000元，关于⽣产数量x的可变成本函数是0.01x2+10x元，若每个产品的销售价格是30元，求：总成本的函数，总收⼊的函数，总利润的函数，边际收⼊，边际成本及边际利润等为零时的产量。
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导数思想在解析几何的一个简单应用
导数隶属于函数内容，看似与解析几何毫无关联。
但是导数的几何意义是切线斜率，我们常用求导的方法求解函数的切线。
而某些曲线方程本身是函数解析式或者曲线某一部分能够写成函数解析式，因此求曲线的切线问题也可以理解成求函数切线问题。
下面通过几道例题来说明导数在解析几何中的应用： 例1、（07安徽）过点()4,0-P 作抛物线y x G 42=：的切线，求切线方程
解：设切点2
004x Q x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭， 由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x
故所求切线方程为2
00
0()42x x y x x -=- 即42200x x x y -= 因为点(0)P -4，在切线上 所以2
044
x -=-，2
016x =，04x =±
所求切线方程为042=--y x 042=++y x 。
【小结】本小题也可以用常规的方法，点斜式设直线，与抛物线联立，利用0=∆求出斜率，写出
直线。
（变式）在点()2,1P 处作抛物线x y G 42
=：的切线，求切线方程
解：抛物线x y G 42=：在第一象限的方程为x y 2=
由x
y 1/
-
=，知抛物线在P 点处的切线斜率为1-
故所求切线方程为()12:1--=-x y l 即03=-+y x
【小结】本小题的出题目的是，只有将曲线方程变形为函数解析式后，才能用求导的方法求切线。
例2、（07韶关调研）已知()2,0-M ，点A 在x 轴上，点B 在y 轴正半轴上，点P 在直线AB 上，且满足=、0=⋅。
当A 在x 轴上移动时，设动点P 的轨迹为C 。
⑴求C 的方程
⑵过点()0,2-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，分别过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l 。
当21l l ⊥时，求直线l 的方程。
解：⑴设()y x P , ()0,a A ()()0,0 b b B
()()y b x PB y a x AP --=-=,, ()02,2 y y b x a PB AP ==∴=
则()()
()y x AP x a MA ,2,22,-=== ()002 y y x AP MA =∴=⋅
⑵设()
()2211,,y x F y x E 易知221122x k x k == 4
1
2121-=∴⊥x x l l
显然AB 斜率存在，设()2:+=x k y AB ，与y x =2联立得022
=--k kx x
由082
k k +=∆得8- k 或0 k 8124121=∴-=-
=k k x x ()28
1
+=∴x y 即028=+-y x
例3、（08广州调研）已知过点()1,0-P 的直线l 与抛物线y x 42=交于两点()11,y x A 、()22,y x B 。
1l 、
2l 分别是该抛物线在A 、B 两点处的切线。
M 、N 分别是1l 、2l 与直线1-=y 的交点。
⑴求直线l 的斜率的取值范围
⑵试比较PM 与PN 的大小，说明理由。
解：⑴⎩⎨
⎧=-=y
x kx y 412
得0442=+-kx x 由016162
-=∆k 得1- k 或1 k ⑵22
411/
2
x k x y x y ==
=
切线()112112
4:x x x x y l -=- 即21114121:x x x y l -=
令1-=y 得12124x x x M
-=
同理2
2
224x x x N -= 又由⑴知421=x x 即214
x x = M N x x x x -=-=2
2
224 又N M
x PN x PM == PN PM =∴
例4、（07江苏）过y 轴正方向上一点()c C ,0任作一直线，与抛物线2
x y =交于A 、B 两点。
一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线c y l -=:交于点P 、Q 。
若P 为线段AB 的中点，求证：
AQ 为此抛物线的切线
解：设(
)
2
11,x x A 、(
)
2
22,x x B ，Q ⎪⎭
⎫
⎝⎛-+c x x ,221
由 /
2y x =，所以112k x =，切线方程为2
112x x x y -=， 又BC AC
k k = 即22
2121x c x x c x -=- 得12x x c =-,即Q ⎪⎭
⎫
⎝⎛+2121,2x x x x
212
11212
2x x x x x x -+⋅
= ，Q ∴在过A 点的切线上 即AQ 为此抛物线的切线。
例5、（08山东）设抛物线方程为()022 p py x =，M 为直线p y 2-=上任意一点。
过M 引抛物线的切线，切点分别为A 、B ，求证：A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列。
证明：设22
12
12120(,),(,),,(,2).22x x A x B x x x M x p p p
-＜
由2
2x py =得2
2x y p
=，则,x y p '= 所以12,.MA MB x x k k p p ==
因此切线MA 的方程为102(),x y p x x p +=
- 直线MB 的方程为202().x
y p x x p
+=- 所以211102(),2x x p x x p p +=-① 2
22202().2x x p x x p p
+=-②
由①、②得 0122.x x x =+
所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列。
例6、（06全国Ⅱ）已知抛物线2
4x y =的焦点为F ，A 、B 是直线上的两动点，且(0).
AF FB λλ=>
过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。
（I ）证明∙
FM AB 为定值；
（II ）设ABM ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值。
解：(Ⅰ)由已知条件，得F (0，1)，λ＞0．
设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4
,211x x A 、⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛4,2
22x x B ，由AF →＝λFB →
，即得 ⎪⎩
⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-14412
22121x x x x λλ λ
λ2
221=
-=∴x x 即(
)
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-λλλλ1,2
,2
B A 抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝1
2x ，
所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是
()
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
-
+-=-λλλ
λ
λλ211
:2:21x y l x y l 即λ
λ
λλ1
1
::21-
=
--=x y l x y l
解出两条切线的交点M ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--1,1
λλ
所以FM →·AB →＝⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+⋅⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--λλλλ
λλ
1
,
222,1 ＝⎪⎭⎫
⎝⎛--⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-λλ
λλλλ12221
=0 所以FM →·AB →
为定值，其值为0
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝1
2
|AB ||FM |
|FM |＝412
+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-λλ＝λ＋1λ＋2＝λ＋1
λ
因为|AF |、|BF |分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以 |AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1
λ)2
于是 S ＝12|AB ||FM |＝(λ＋1
λ)3
由λ＋
1
λ
≥2知S ≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4。
【总结】求二次曲线切线问题的常规方法是点斜式设直线方程，与抛物线联立，利用0=∆求出斜率，写出直线方程。
而通过上述例题可以看到，使用常规方法会非常麻烦。
而采用求导的方法就简捷很多。
当然，导数在解析几何中的应用不仅于此。
笔者在这里只想起到一个抛砖引玉的作用，欢迎其他同仁批评指正。