导数应用论文

导数的应用摘要：导数是新教材的一个亮点，它是连接初等数学与高等数学的桥梁，用它可以解决许多数学问题，它是近年高考的的热点。

它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础，而且在解决有关问题已经成为必用工具。

由于导数的广泛应用，现已成为高考的热点知识本文拟对导数知识的全面归纳，然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用，让人们全面了解导数这一工具的利用关键字：导数，初等数学，高等数学，应用一.引言导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。

高考考查导数应用主要有以下三个方面：①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题，②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。

函数y=f (x )在x=x 0处的导数，表示曲线在点P （x 0 ,y 0）处的切线斜率。

③导数在其它数学分支的应用，如在数列、不等式、排列组合等知识的综合等。

二．导数的概念1、定义：0'0000()()()()()limlim limx x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- 左导数：0'0000()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ----∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- 右导数： 0'0000()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ++++∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- '''()()()f x A f x f x A -+∴=⇔==可以证明：可导⇒连续 即：可导是连续的充分条件连续是可导的必要条件 导函数：'00()()()limlim x x y f x x f x f x y x x∆→∆→∆+∆-===∆∆.三．导数的求法1．显函数导数1．1导数的四则运算：'''()u v u v ±=± '''()uv u v vu =+ '''2()u u v v uv v-= 1．2复合函数与反函数求导法则'''x u x y y u = ()y u x -- 复合函数求导法则''1x yy x =（反函数求导法则） 1．3基本初等函数求导公式'()0()c c =为常数； '1()x x ααα-=； ''()ln ,()x x x x a a a e e ==；''11(log ),(ln )ln a x x x a x== ； '(sin )cos x x = ； '(cos )sin x x =- ；'21(tan )cos x x =； '21(cot )sin x x =- ； (arcsin )'x =；(arccos )'x = ； 21(arctan )'1x x =+ ； 21(arccot )'1x x =-+。

2．隐函数导数如方程(,)0F x y =，能确定()y y x =，只需对方程两边对x 求导即可。

注意()y y x =3．由参数方程所确定的函数求导法参数方程'1(),(()0,()())()x t t x t t x y t ϕφϕϕφ-=⎧≠==⎨=⎩存在反函数，则：y 为x 的复合函数，1[()]y x φϕ-=，所以：''''''()()t x t xt y t y y t x t φϕ===4．分段函数的导数对分段函数求导时，在分段点处必须用导数定义来求导，而在每段内仍可用初等函数求导法则来求导。

分段函数点处极限问题，归纳为该点处在左、右两侧的导数是否一致以及该点处是否连续的问题。

四．导数的性质前面介绍了导数的基本知识，现将用导函数自身的定义来探讨与导数之间的联系 性质1：若函数()y f x =是偶函数且可导，则其导函数'()y f x =是奇函数。

性质2：若函数()y f x =是周期函数且可导，则其导函数'()y f x =也是周期函数。

性质3：若函数()y f x =可导且图象关于直线x a =对称，则其导函数'()y f x =五．导数的应用1．导数在函数中的应用导数是对函数的图像与性质的总结与拓展，导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具，广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。

在掌握求函数的极值和最值的基础上学习用导数解决生产生活中的有关最大最小最有效等类似的应用问题 1．1利用导数判断函数的单调性一个函数在某个区间内的单调增减性的变化规律，是在研究函数图形时首先考虑的问题。

在中学，已经知道函数在某个区间内单调增减性的定义。

下面利用导数这一工具来判断函数增减性及其确定单调区间从图在形直观分析：若(,)a b 内，曲线上每一点的导数都大于0，'()0f x >，利用导数的几何意义知，在(,)a b 内，曲线上每一点的切线斜率都为正，这时曲线是上升的，即函数()y f x =是单调递增的（如图2）。

反之，若在(,)a b 内，曲线上每一点的导数都小于0（即曲线上每一点的切线斜率都为负），这时曲线是下降的，即函数()y f x =是单调递减的（如图3）对于上升或者下降的曲线，它的切线在个别点可能平行于x 轴（此点的导数值为0，即'()0f x =）。

因此，函数的增减性反映在导数上，有如下定理：定理1：设函数()f x 在区间(,)a b 内可导，则：①若(,)x a b ∈时恒有'()0f x >，则()f x 在(,)a b 单调增加； ②若(,)x a b ∈时恒有'()0f x <，则()f x 在(,)a b 单调减少。

1．2利用导数判断函数凹凸性及拐点在研究函数图形的变化状况时，知道它的上升和下降顾虑很有好处，但不能完全反映它的变化规律。

如图4所示的函数()y f x =的图形在区间(,)a b 内虽然是一直上升的，但却有不同的弯曲形状。

因此，研究函数图形时，考察它的弯曲形状以及扭转弯曲方向的点是必要的。

从图4看出，曲线向下弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线下方，曲线向上下弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线上方，据此给出定义如下：定义1 在某区间内，若曲线弧位于其上任意一点的切线上方，则称曲线在该区间内是上凸的（也称在该区间内此函数为凹函数）；在某区间内，若曲线弧位于其上任意一点的切线下方，则称曲线在该区间内是下凹的（也称在该区间内此函数为凸函数）那么曲线的凹凸性与导数之间有什么关系呢？ 按定义是很难判断凹凸性的，，对于凹凸性可以用二介导数来确定。

即有判定定理。

定理2：设函数()y f x =在区间(,)a b 上具有二介导数， ①当''()0f x <时，则曲线为凸（此时在该区间为凹函数） ②当''()0f x >时，则曲线为凹（此时在该区间为凸函数） 通过图形的直观性来说明该定理的正确性（如图5）若曲线()y f x =呈现凸状，由图5（1）直观看出：当x 增大时，切线斜率随之变小，说明一介导数函数'()f x 在(,)a b 上为减函数，由函数单调性判别法，必有''[()]0f x <，即''()0f x <。

说明：若曲线为凸性，必有''()0f x <。

同理，若曲线为凹，必有''()0f x >。

从另一角度讲，该定理为二介导数的几何意义。

定义2：若函数()f x 在点0x x =的左右邻域上凹凸性相反，则点00(,())x f x 叫做曲线的拐点（注意拐点不是0x ）由拐点的定义可知，判断某点是否拐点，只需看该点左右两侧二介导数是否异号，与该点一介、二介导数是否存在无关1．3利用导数求函数的极值和最值（1）利用导数求函数的极值函数由增加变为减少或由减少变为增加，都经过一个转折点，即图中的“峰”点和“谷”点，这些点是在研究函数中是十分重要的。

定义2、设函数()f x 在点0x x =及其某邻域左右两侧附近有定义，若对该邻域内的任意点x （0x x =）恒有0()()f x f x <，则0()f x 为极大值；若0()()f x f x >成立，则0()f x 为极小值。

应当注意：极值是一个局部概念，它只限于0x 的某一邻域内，通过函数值相比较才能显示出来。

在一个区间上，函数可能有几个极大、极小值。

可能会有极大值小于极小值。

极值点和导数的关系如何？由图6可知：定理 2 若0x 是函数()f x 的极值点，则'0()0f x =或者'0()f x 不存在。

注意：①'0()0f x =是点0x 为极值点的必3y x =，要条件，但不是充分条件。

如'23y x =，'0|0x y ==但(0,0)点不是函数极值点；②函数13y x=，()f x 在导数不存在的点也可能有极值。

如'23113y x=⨯，'0|x y =不存在，但(0,0)点不是函数极值点（如图7）将导数为0的点或者不可导的点统称为驻点。

因此函数的极值必在驻点处取得，但驻点不一定是极值点，所以在求得函数极值的驻点后，就是找到了所有极值可疑点。

下面介绍函数在驻点或导数不存在的点取得极值的充分条件，即极值的判断方法。

定理3（极限存在的充分条件之一） 设f 在0x 连续，在某邻域0(;)o U x δ内可导，①若00(;)x x x δ∈-（0x 左侧）时'()0f x >，而00(;)x x x δ∈+（0x 右侧）'()0f x <，则函数()f x 在0x 处取极大值0()f x②若00(;)x x x δ∈-（0x 左侧）时'()0f x <，而00(;)x x x δ∈+（0x 右侧）时'()0f x >，则函数()f x在0x 处取极小值0()f x③若0x 两侧'()f x 不变号，则()f x 在0x 处无极值。