导数应用论文

导数的应用吴泽国目录[摘要] (2)一.引言 (2)二．导数的概念 (2)三．导数的求法 (3)1．显函数导数 (3)1．1导数的四则运算： (3)1．2复合函数与反函数求导法则 (3)1．3基本初等函数求导公式 (3)2．隐函数导数 (4)3．由参数方程所确定的函数求导法 (4)4．分段函数的导数 (4)四．导数的性质 (4)五．导数的应用 (5)1．导数在函数中的应用 (5)1．1利用导数判断函数的单调性 (6)1．2利用导数判断函数凹凸性及拐点 (7)1．3利用导数求函数的极值和最值 (8)1．4利用导数知识描绘函数图形 (13)1．5利用导数求参数问题 (15)2．导数在曲线中的应用 (16)3．利用导数研究方程的根 (17)4．应用导数证明不等式 (17)5．导数在数列中的应用 (18)6．利用导数求极限——洛必达法则 (19)6．1“0”型和“∞∞”型 (19)6．2其他形式 (20)7．物理学中的导数 (20)8．经济学中的导数应用 (21)结束语： (22)参考文献： (22)（版权所有）[摘要]导数是新教材的一个亮点，它是连接初等数学与高等数学的桥梁，用它可以解决许多数学问题，它是近年高考的的热点。

它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础，而且在解决有关问题已经成为必用工具。

由于导数的广泛应用，现已成为高考的热点知识本文拟对导数知识的全面归纳，然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用，让人们全面了解导数这一工具的利用[关键字] 导数 初等数学 高等数学 应用一.引言导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。

高考考查导数应用主要有以下三个方面：①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题，②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。

函数y=f (x )在x=x 0处的导数，表示曲线在点P （x 0 , y 0）处的切线斜率。

③导数在其它数学分支的应用，如在数列、不等式、排列组合等知识的综合等。

二．导数的概念1、定义：0'0000()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- 左导数：0'0000()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ----∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- 右导数： 0'0000()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ++++∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- '''()()()f x A f x f x A -+∴=⇔==可以证明：可导⇒连续 即：可导是连续的充分条件连续是可导的必要条件 导函数：'00()()()lim lim x x y f x x f x f x y x x∆→∆→∆+∆-===∆∆2.导数的几何意义（图1）曲线()y f x =在点0x 处的导数'0()f x 在几何上表示为：曲线()y f x =在点A 00(,)x y 处切线的斜率。

即'0()tan f x α=（α是过A 点的切线的倾斜角）（如图1）则，曲线()y f x =在点A 00(,)x y 处切线方程为：'000()()y y f x x x -=-三．导数的求法1．显函数导数1．1导数的四则运算：'''()u v u v ±=± '''()uv u v v u =+ '''2()u u v v u v v -= 1．2复合函数与反函数求导法则'''x u x y y u = ()y u x -- 复合函数求导法则''1x yy x = （反函数求导法则） 1．3基本初等函数求导公式'()0()c c =为常数； '1()x x ααα-=； ''()ln ,()x x x x a a a e e ==；''11(log ),(ln )ln a x x x a x== ； '(sin )cos x x = ； '(cos )sin x x =- ； '21(tan )cos x x = ； '21(cot )sin x x =- ； 21(arcsin )'1x x=- ；(arccos )'x = ； 21(arctan )'1x x =+ ； 21(arccot )'1x x=-+。

2．隐函数导数如方程(,)0F x y =，能确定()y y x =，只需对方程两边对x 求导即可。

注意()y y x =3．由参数方程所确定的函数求导法参数方程'1(),(()0,()())()x t t x t t x y t ϕφϕϕφ-=⎧≠==⎨=⎩存在反函数，则：y 为x 的复合函数，1[()]y x φϕ-=，所以：''''''()()t x t xt y t y y t x t φϕ=== 4．分段函数的导数对分段函数求导时，在分段点处必须用导数定义来求导，而在每段内仍可用初等函数求导法则来求导。

分段函数点处极限问题，归纳为该点处在左、右两侧的导数是否一致以及该点处是否连续的问题。

四．导数的性质前面介绍了导数的基本知识，现将用导函数自身的定义来探讨与导数之间的联系性质1：若函数()y f x =是偶函数且可导，则其导函数'()y f x =是奇函数。

证明：由()y f x =是偶函数，有()()f x f x -=则：'00()()()limlim x x y f x x f x f x x x∆→∆→∆-+∆---==∆∆ '00()()()()lim lim ()x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆--∆-==-=-∆-∆ 所以，'()y f x =是奇函数同理：若函数()y f x =是奇函数且可导，则其导函数'()y f x =是偶函数。

性质2：若函数()y f x =是周期函数且可导，则其导函数'()y f x =也是周期函数。

证明：()y f x =是周期，有()()f x T f x +='00()()()limlim x x y f x T x f x T f x T x x∆→∆→∆++∆-+∴+==∆∆ '0()()lim ()x f x x f x f x x ∆→+∆-==∆ 所以，'()y f x =是周期函数性质3：若函数()y f x =可导且图象关于直线x a =对称，则其导函数'()y f x =图象关于点'(,())a f a 对称证明：函数()y f x =图象关于x a =对称，有()(2)f x f a x =- '0(2)(2)(2)limx f a x x f a x f a x x∆→-+∆---=∆ '0()()lim ()x f x x f x f x x ∆→-∆-=-=--∆ 且点'(,())a f a 在'()y f x =的图象上，所以'()y f x =图象关于点'(,())a f a 对称 同理：若函数()y f x =可导且图象关于点'(,())a f a 对称，则其导函数'()y f x =图象关于直线x a =对称五．导数的应用1．导数在函数中的应用导数是对函数的图像与性质的总结与拓展，导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具，广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。

在掌握求函数的极值和最值的基础上学习用导数解决生产生活中的有关最大最小最有效等类似的应用问题1．1利用导数判断函数的单调性一个函数在某个区间内的单调增减性的变化规律，是在研究函数图形时首先考虑的问题。

在中学，已经知道函数在某个区间内单调增减性的定义。

下面利用导数这一工具来判断函数增减性及其确定单调区间从图形直观分析：若在(,)a b 内，曲线上每一点的导数都大于0，即'()0f x >，利用导数的几何意义知，在(,)a b 内，曲线上每一点的切线斜率都为正，这时曲线是上升的，即函数()y f x =是单调递增的（如图2）。

反之，若在(,)a b 内，曲线上每一点的导数都小于0（即曲线上每一点的切线斜率都为负），这时曲线是下降的，即函数()y f x =是单调递减的（如图3）对于上升或者下降的曲线，它的切线在个别点可能平行于x轴（此点的导数值为0，即'()0f x =）。

因此，函数的增减性反映在导数上，有如下定理：定理1：设函数()f x 在区间(,)a b 内可导，则：①若(,)x a b ∈时恒有'()0f x >，则()f x 在(,)a b 单调增加；②若(,)x a b ∈时恒有'()0f x <，则()f x 在(,)a b 单调减少。

例1：求函数()cos sin (0)f x x x x x =-≥单调递增区间解：因'()cos sin cos sin f x x x x x x x =--=-，由'()0f x >得(2,22)()x k k k Z ππππ+∈++∈所以，()cos sin (0)f x x x x x =-≥单调递增区间为(2,22)()x k k k Z ππππ+∈++∈例2：已知函数2()(0,)ax f x x e a e =≤为自然对数的底数，试讨论函数()f x 单调性。

分析：引进导数这一工具之前，判断函数单调性的一般方法是定义法。

此题利用定义法就无法的出答案，而有了导数之后，问题就易解决了。

（此题是04年湖南高考题）解：因'2()2(2)ax ax ax f x xe ax e x ax e =+=+，所以（1）当0a =时，令'()0f x =得0x =；若0x >，则'()0f x >，从而()f x 在(0,)+∞上单调递增；若0x <，则'()0f x <，从而()f x 在(,0)-∞上单调递减；（2）当0a <时，令'()0f x =得0x =或2x a=-； 若0x <，则'()0f x <，从而()f x 在(,0)-∞上单调递减；若20a a <<-，则'()0f x >，从而()f x 在2[0,)a-上单调递增； 若2a a >-，则'()0f x <，从而()f x 在2[,)a-+∞上单调递减。