初中培优竞赛 第11讲 统计与概率
初中数学《统计与概率》讲义及练习
1. 能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题.2. 运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．3. 理解和运用概率性质进行概率的运算知识点说明在抛掷一枚硬币时，究竟会出现什么样的结果事先是不能确定的，但是当我们在相同的条件下，大量重复地抛掷同一枚均匀硬币时，就会发现“出现正面”或“出现反面”的次数大约各占总抛掷次数的一半左右．这里的“大量重复”是指多少次呢？历史上不少统计学家，例如皮尔逊等人作过成千上万次抛掷硬币的试验，随着试验次数的增加，出现正面的频率波动越来越小，频率在0.5这个定值附近摆动的性质是出现正面这一现象的内在必然性规律的表现，0.5恰恰就是刻画出现正面可能性大小的数值，0.5就是抛掷硬币时出现正面的概率．这就是概率统计定义的思想，这一思想也给出了在实际问题中估算概率的近似值的方法，当试验次数足够大时，可将频率作为概率的近似值．在统计里，我们把所要考察对象的全体叫做总体，其中的每一个考察对象叫做个体。
从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
样本中个体的数目叫做样本的容量。
总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，把样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。
概率的古典定义：如果一个试验满足两条： ⑴试验只有有限个基本结果：⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的． 这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件A ，它的概率定义为：()mP A n=，n 表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m 表示事件A 包含的试验基本结果数．小学奥数中，所涉及的问题都属于古典概率．其中的m 和n 需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．相互独立事件：()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件． 公式含义：如果事件A 和B 为独立事件，那么A 和B 都发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积．举例：⑴明天是否晴天与明天晚餐是否有煎鸡蛋相互没有影响，因此两个事件为相互独立事件.所以明天天晴，并且晚餐有煎鸡蛋的概率等于明天天晴的概率乘以明天晚餐有煎鸡蛋的概率.⑵第一次抛硬币掉下来是正面向上与第二次抛硬币是正面向上是两个相互独立事件．所以第一次、第二次抛硬币掉下来后都是正面向上的概率等于两次分别抛硬币掉下来后是正面向上的概率之积，即111224P =⨯=.⑶掷骰子，骰子是否掉在桌上和骰子的某个数字向上是两个相互独立的事件，如果骰子掉在桌上的概率为0.6，那么骰子掉在桌上且数字“n ”向上的概率为10.60.16⨯=．知识点拨教学目标8-7概率与统计例题精讲【例 1】（2007年“希望杯”二试六年级)气象台预报“本市明天降雨概率是80%”．对此信息，下列说法中正确的是．①本市明天将有80%的地区降水．②本市明天将有80%的时间降水．③明天肯定下雨．④明天降水的可能性比较大．【解析】降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间．80%的概率也不是指肯定下雨，100%的概率才是肯定下雨．80%的概率是说明有比较大的可能性下雨．因此④的说法正确．【巩固】一个小方木块的六个面上分别写有数字2、3、5、6、7、9，小光、小亮两人随意往桌面上扔放这个木块．规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得1分．当小亮扔时，如果朝上的一面写的是奇数，得1分．每人扔100次，______得分高的可能性比较大．【解析】因为2、3、5、6、7、9中奇数有4个，偶数只有2个，所以木块向上一面写着奇数的可能性较大，即小亮得分高的可能性较大．【例 2】在多家商店中调查某商品的价格，所得的数据如下（单位：元）25 21 23 25 27 29 25 28 30 2926 24 25 27 26 22 24 25 26 28请填写下表【解析】：【例 3】在某个池塘中随机捕捞100条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞200尾，发现其中有25条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那么请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？【解析】200尾鱼中有25条鱼被标记过，所以池塘中鱼被标记的概率的实验得出值为252000.125÷=，所以池塘中的鱼被标记的概率可以看作是0.125，池塘中鱼的数量约为1000.125800÷=尾．【例 4】有黑桃、红桃、方块、草花这4种花色的扑克牌各2张，从这8张牌中任意取出2张。
小升初数学培优总复习 11 概率的应用
（三）操作题。
1．桌上摆6张数字卡片，分别写着1-6各数。芳芳摸卡片，缓缓猜摸出的是哪一个数。如果缓缓猜对缓缓获胜，如果缓缓猜错了芳芳获胜。
（1）这个游戏规则对双方公平吗？
解析：
出现轿车的可能性为：
出现公共汽车的可能性为：
出现面包车的可能性为：
出现电瓶车的可能性为：
（1）下一辆各种车出现都有可能,因此,A的这种说法是合理的。（2）由于统计到出现各种车的辆数不同，所以下一辆出现任意一种车型的可能性大小不一样，都是25%不正确。（3）由于统计到轿车出现的辆数最多，电瓶车出现的辆数最少，所以下一辆出现轿车的可能性最大正确，下一辆出现电瓶车的可能性最小也是正确的。
概率的应用
一、温故而知新：
（一）判断题。
1．小明抛4次硬币，前3次正面朝上，第4次反面朝上的可能性是 。 （ ）
2．盒子内放着大小相同的3个红球，2个黄球，1个蓝球，摸出红球的可能性是 。（ ）
3．有5瓶牛奶，其中有1瓶过了保质期不能饮用，现从中任取一瓶，能够饮用的可能性是 。
解析：
（1）每抛一次硬币，正面和反面朝上的可能性都是 ，他前3次抛正面朝上，第4次抛反面朝上的可能性还是 。
（1）小明获胜的可能性是多少？小军获胜的可能性是多少？
（2）这个游戏规则公平吗？如果不公平，可以怎样修改规则？
解析：
3的倍数特征：
整数各个位数字和是3的倍数。
5的倍数特征：
整数的末尾是0或5的数。
（1）数字1、0、8所组成的三位数有108、180、801、810，这四个全是3的倍数，5的倍数有180、810这两个。所以小明获胜的可能性是 =1，小军获胜的可能性是 = 。
小升初培优之概率与统计
知识大总结 1、事件： ⑴ 确定、不确定、不可能。 ⑵ 相互独立事件，互斥事件。 2、事件发生概率，0到1： ⑴ 符合分类的，概率相加。 ⑵ 符合分步的，概率相乘。
【今日讲题】 例3，例4，例6, 【讲题心得】 _________________________________________________ ____________________________________. 【家长评价】 ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________.
【例3】 (★★) 一个骰子，分别先后掷3次，恰好有一次是6的概率是多少？
2
【拓展】(★★★☆)小明和小亮做游戏，由小明抛出3枚硬币，如果 抛出的结果中，有2枚或2枚以上的硬币正面朝上，小明就 获胜；否则小亮获胜。请问，这个游戏公平吗？
计数类概率 【例4】 (★★★) 如图所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿轨道 落下，每一个小球在交点处有一半的可能向左滑落，有一 半的可能向右滑落。球落到底部5个出口的概率从左至右依 次是___________。
【例5】 (★★★☆)工厂质量检测部门对某一批次的10件产品进行 抽样检测，如果这 10件产品中有两件产品是次品，那么质 检人员随机抽取2件产品，这两件产品恰好都是次品的概率 为多少？这两件产品中有一件是次品的概率为多少？这两 件产品中没有次品的概率为多少？
【例6】 (★★★) 甲、乙两人在靶场射击。甲击中目标的概率是0.6， 乙击中目标的概率是0.7。两人朝着同一个目标各射击一次， 结果目标被击中了。请问：恰好是甲击中目标而乙没有击 中的概率是多少？
初中数学《统计、概率、数据》培优拔高(奥数)专题讲义
初中数学《统计、概率、数据》培优拔高（奥数）专题讲义阅读与思考现代社会是一个数字化的社会，我们每个人每天都要和各种各样的数字打交道，从国民生产总值、人均消费水平、人口自然增长率、股市综合指数，到家庭的水、电、煤气的月平均数，学生的身高、体重、考试成绩，都与数字有关.“用数据说话”已成为从事许多工作的基本要求，能用数据说话的人必须具备一定的统计知识.对数据进行收集、整理、计算、分析，并在此基础上作出科学的推断，这就是数据分析，是统计学研究的基本范畴和方法，收集数据、量化处理的目的在于运用统计结果进行判断和决策.统计学的基本思想就是用样本对总体进行估计、推理，即用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律，是从局部看整体的思想方法.例题与求解【例l 】 在对某班的一次数学测试成绩进行统计分析中，各分数段的人数如图所示（分数取正整数，满分100分）.请观察图形，并回答下列问题： （1）该班有________名学生.（2）69.5~79.5这一组的频数是_________，频率是_________. （3）请估算该班这次测验的平均成绩.（黄冈市中考试题）解题思路：从频率直方图中捕捉相关信息.【例2】 某学生通过先求x 与y 的平均值，再求得数与z 的平均值来计算x ，y ，z 三个数的平均数.当z y x <<时，这个学生的最后得数是（ ）A .正确的B .总小于AC .总大于AD .有时小于A ，有时等于AE .有时大于A ，有时等于A（第二届美国中学生邀请赛试题）解题思路：按不同方法计算平均值，作差比较它们的大小.【例3】 某校九年级学生共有900人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取部分学生进行1min 的跳绳测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，下图是这四名同学提供的部分信息：甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图（如图）； 乙：跳绳次数不少于105次的同学占96%；丙：第①、②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组频数都是12； 丁：第②、③、④组的频数之比为4：17：15． 根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：（1）这次跳绳测试共抽取多少名学生？各组有多少人？（2）如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数为多少.（3）以每组的组中值（每组的中点对应的数据）作为这组跳绳次数的代表，估计这批学生1min 跳绳次数的平均值．（安徽省中考试题）解题思路：本题考查了频率、频数的概念和对频数直方图的认识，要理解各组频率之和为1，各组频数之和等于总数，掌握好这些知识点，自然可以解决问题.（每组数据含左端点值不含右端点值）【例4】 编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A 和B 中，15号弹珠在篮子A 中，把这个弹珠从篮子A 移至篮子B 中，这时篮子A 中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加41，篮子B 中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加41．问原来在篮子A 中有多少个弹珠？ （第十六届江苏竞赛试题）解题思路：用字母分别表示篮子A ，B 中的弹珠数及相应的平均数，运用方程（组）来求解.【例5】某次数学竞赛共有15道题，下表是对于做对n（n=0，1，2，…，15）道题的人数的一个统计，如果又知其中做对4道题和4道以上的学生每人平均做对6道题，做对10道题和10道题以下的学生每人平均做对4道题，问这个表至少统计了多少人？（全国初中数学联赛试题）解题思路：从统计表中可知做对0~3道题、12~15道题的相应总人数和总题数，结合已知条件，运用方程（组）、不等式（组）等知识方法求解.【例6】一次中考模拟考试中，两班学生数学成绩统计如下：请你根据学过的统计学知识，判断这两个班在这次模拟考试中的数学成绩谁优谁次？并说明理由.解题思路：这是一道开放性试题，看考虑问题是从哪一个侧面入手.本题因未说明从何种角度来考虑，故我们应多想几套方案.能力训练A级1.大连是一个严重缺水的城市，为鼓励市民珍惜每一滴水，某居委会表彰了100个节约用水模范户，5月份这100户节约用水的情况如下表：那么，5月份这100户平均节约用水的吨数为（精确到0.01吨）_________吨.（大连市中考试题）2.某班全体学生进行了一次篮球投篮练习，每人投球10个，每投进一球得1分．得分的部分情况如下表所示：已知该班学生中，至少得3分的人的平均得分为6分，得分不到8分的人的平均得分为3分，那么该班学生有___________人．（江苏竞赛试题）3.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下： 甲：7 8 6 8 6 5 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 所以应确定_______去参加射击比赛.4.在综合实践课上，六名同学做的作品的数量（单位：件）分别是：5，7，3，x ，6，4，若这组数据 的平均数是5，则这组数据的中位数是_________件.（包头市中考试题）5.如果一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数是x ，则另一组数据1x ，12+x ，23+x ，34+x ，45+x 的平均数是（ ）A .xB .2x +C .52x +D .10x + （天津市中考试题）6.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是45，50，75，50，20，30，50，80，20，30．设这些零件数的平均数为a ，众数为b ，中位数为c ，那么（ ）A . c b a <<B .a c b <<C .b c a <<D .c a b <<（宁夏中考试题）7.为了了解某区九年级7 000名学生，从中抽查了500名学生的体重.就这个问题而言，下列说法正确的 是（ ）A ．7 000名学生是总体B ．每个学生是个体C ．500名学生是样本D ．样本容量为5008.已知1~99中有49个偶数，从这49个偶数中取出48个数，其平均数为12549，则未取的数字是（ ） A ．20 B ．28 C ．72 D ．78（台湾省中考试题）9.甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示： （1）分别求出两人得分的平均数与方差；（2）根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价.第五次第四次第三次第二次16151413121110第一次次数得分甲：乙：（安徽省中考试题）10.某校要从九年级（1）班和（2）班中各选取10名女同学组成礼仪队，选取的女生身高如下：（单位：厘米）（1）班：168 167 170 165 168 166 171 168 167 170 （2）班：165 167 169 170 165 168 170 171 168 167 （1）补充完成下面的统计分析表（2）请选一个合适的统计量作为选择标准，说明哪一个班能被选取.（2013宁夏回族自治区中考试题）11.为估计一次性木质筷子的用量，2011年从某县共600家高、中、低档饭店中抽取10家作样本.这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：0.6，3.7，2.2，1.5，2.8，1.7，1.2，2.1，3.2，1.0.（1）通过对样本的计算，估计该县1999年消耗多少盒一次性筷子（每年按350个营业日计算）； （2）2013年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查的结果是10个样本饭店每个饭店平均每天使用一次性筷子2.42盒．求该县2012年、2013年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率（2012年该县饭店数、全年营业天数均与2011年相同）； （3）在（2）的条件下，若生产一套中小学生桌椅需木材0.073m ，求该县2013年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅?计算中需用的有关数据为：每盒筷子100双，每双筷子的质量为5g ，所用木材的密度为0.5×1033/m kg ； （4）假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做，简要地用文字表述出来．12.由9位裁判给参加健美比赛的12名运动员评分.每位裁判对他认为的第1名运动员给1分，第2名运动员给2分，…，第12名运动员给12分，最后评分结果显示：每个运动员所得的9个分数中高、低之差都不大于3.设各运动员的得分总和分别为1c ，2c ，…，12c ，且1221c c c ≤≤，求1c 的最大值.(第十九届江苏省竞赛试题)B 级1.为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高作调查，现有三种调查方案：A 、测量少体校中180名男子篮球、排球队员的身高；B 、查阅有关外地180名男生身高的统计资料；C 、在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这六所学校有关年级的（1）班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高．问：（1）为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，为什么？答：选________；理由：______________________________________________________________ （2）下表中的数据是使用了某种调查方法获得的：初中男生身高情况抽样调查表（注：每组可含最低值，不含最高值） ①根据表中的数据填写表中的空格； ②根据填写的数据绘制频数分布直方图．193183173163153143（上海市中考试题）2.其中1a ，2a ，3a ，…，8a 是从小到大排列的两位数，且每个两位数与它的反序数（12的反序数是21）之和都为完全平方数，样本的方差是________.（辽宁锦州市竞赛试题）3.五名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a 米，后两名的平均身高为b 米，前两名的平均身高为c ，后三名的平均身高为d ，则2b a +与2dc +比较（ ） A .2b a +大 B .2dc +大 C .两者相等 D .无法确定 （“五羊杯”邀请赛试题）4.已知数据1x ，2x ，3x 的平均数为a ，1y ，2y ，3y 的平均数为b ，则数据1132y x +，2232y x +，3332y x +的平均数为（ ）A .b a 32+B .b a +32C .b a 96+D .b a +2 （全国初中数学竞赛试题）5.小林拟将1，2，…，n 这n 个数输入电脑，求平均数.当他认为输入完毕时，电脑显示只输入)1(-n 个数，平均数为7535，假设这)1(-n 个数输入无误，则漏输入的一个数是（ ） A .10 B .53 C .56 D .67（江苏省竞赛试题）6.如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC =120mm ，高AD =80mm ，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上．设该矩形的长QM =y mm ，宽MN =x mm ． （1）求证：x y 23120-=； （2）当矩形PQMN 的面积最大时，它的长和宽是关于t 的一元二次方程0200102=+-q pt t 的两个根，而p 、q 的值又恰好分别是a ，10，12，13，b 这5个数据的众数与平均数，试求a 与b 的值．（广西壮族自治区中考试题）ENC MD Q B PA7.某班参加一次智力竞赛，共a ，b ，c 三道题，每题或者得满分或者得0分．其中题a 满分20分， b 、c 题满分都为25分，竞赛结果：每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题a 的人数与答对题b 的人数之和为29；答对题a 的人数与答对题c 的人数之和为25；答对题b 的人数与答对题c 的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少.（全国初中数学联赛试题）8.元旦联欢会某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小敏测量了部分彩纸链的长度，她得到的数据如下表：（1）把上表中x 、y 想y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；（2）教室天花板对角线长10m ，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则每根彩纸链至少要用多少个纸环？（济南市中考试题）9.某射击运动员在一次比赛中，前6次射击已经得到52环，该项目的记录是89环（10次射击，每次射击环数只取1～10中的正整数）．（1）如果他要打破记录，第7次射击不能少于多少环？（2）如果他第7次射击成绩为8环，那么最后3次射击中要有几次命中10环才能打破记录？（3）如果他第7次射击成绩为10环，那么最后3次射击中是否必须至少有一次命中10环才有可能打破记录？（山东省中考试题）10.“中国梦”关乎每个人的幸福生活.为进一步感知我们身边的幸福，展现成都人追梦的风采，我市某校开展了以“梦想中国，逐梦成都”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品．现将参赛的50件作品的成绩（单位：分）进行统计如下：请根据上表提供的信息，解答下列问题：（1）表中的x的值为________，y的值为_______；（2）将本次参赛作品获得A等级的学生依次用A1，A2，A3，…表示，现该校决定从本次参赛作品中获得A等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，请用树状图或列表法求恰好抽到学生A1和A2的概率．（2013年成都市中考试题）。
初中数学易考知识点统计与概率的计算
初中数学易考知识点统计与概率的计算在初中数学中，统计与概率是数学中的重要内容之一。
它们不仅在数学课堂上教学内容中占有一席之地，而且在现实生活中也有着广泛的应用。
通过学习统计与概率的计算方法，我们能够更好地理解和应用数学知识，提高解决问题的能力。
本文将为大家介绍初中数学易考的知识点统计与概率的计算方法。
一、频数和频率的计算在统计学中，频数是指某个数据在样本中出现的次数。
频率是指某个数据在样本中出现的次数与样本总量之比。
计算频数和频率的方法是将样本中的每个数据逐一记录，并统计出每个数据的出现次数。
然后，将每个数据的出现次数除以样本总量，即可得到频率。
例如，某班级20名学生的成绩如下：80，85，75，90，80，70，80，95，85，65，70，75，85，90，75，80，85，90，75，85针对以上数据，我们可以统计各个成绩出现的频数，然后计算频率。
接下来，我们进行具体的计算：频数：80出现的次数：4次85出现的次数：5次75出现的次数：4次90出现的次数：3次70出现的次数：2次65出现的次数：1次95出现的次数：1次频率：80的频率：4/20 = 0.285的频率：5/20 = 0.2575的频率：4/20 = 0.290的频率：3/20 = 0.1570的频率：2/20 = 0.165的频率：1/20 = 0.0595的频率：1/20 = 0.05通过以上计算，我们得到了各个成绩的频数和频率。
这些数据可以帮助我们分析班级的成绩分布情况，了解学生在各个成绩段的分布情况。
二、事件与概率的计算在概率的计算中，事件是指某个结果或一组结果组成的集合。
概率是指某个事件在试验中出现的可能性。
计算概率的方法是将事件中符合要求的结果个数除以总的结果个数，即可得到概率。
例如，某班级有30名学生，其中男生20人，女生10人。
现在随机选择一个学生，求该学生是男生的概率。
首先，我们需要计算男生的概率。
男生的个数为20人，总人数为30人，所以男生的概率为20/30 = 2/3。
培优专题：概率与统计
培优资料二：概率与统计 一、知识点1.随机变量ξ的概率分布性质：⑴),i (,P i 210=≥，⑵121=++ P P2.二项分布：记为：()p ,n B ~ξ，概率：()kn k k n q p C k P -==ξ，数学期望：np E =ξ，方差：npq D =ξ 3.几何分布：记为：()p q p ,k g k 1-=，概率：()p q k P k 1-==ξ，数学期望：p E 1=ξ，方差：2pq D =ξ 4.数学期望与方差：⑴ ++++=ξn n p x p x p x E 2211⑵()()() +⋅ξ-++⋅ξ-+⋅ξ-=ξn n p E x p E x p E x D 2222121⑶()b aE b a E +ξ=+ξ，()ξ=+ξD a b a D 2二、例题与练习4、（2009全国Ⅰ）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。
（I ）求甲获得这次比赛胜利的概率；（II ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ得分布列及数学期望。
【解析】记A i 表示事件：第i 局甲获胜，i =3，4，5. B j 表示事件：第j 局乙获胜，i =3,4.（I ）记B 表示事件：甲获得这次比赛的胜利.因前2局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B=A 3•A 4+B 3•A 4•A 5+A 3•B 4•A 5 由于各局比赛结果相互独立，故P(B)=P(A 3•A 4)+ P(B 3•A 4•A 5)+ P(A 3•B 4•A 5) = P(A 3) P(A 4)+ P(B 3)P(A 4)P(A 5)+ P(A 3)P(B 4)P(A 5)=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648（II）ξ的可能取值为2，3.由于各局比赛结果相互独立，所以P(ξ=2)=P(A3•A4+ B3•B4)=P(A3•A4)+ P（B3•B4)=P(A3) P(A4)+ P（B3）P(B4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52P(ξ=3)=1-P(ξ=2)=1-0.52=0.48.ξ的分布列为Eξ=2× P(ξ=2)+3× P(ξ=3)=2×0.52+3×0.48=2.48.7、（2009全国Ⅱ）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。
初中数学概率统计基础
初中数学概率统计基础在我们的日常生活中，很多事情的结果往往是不确定的。
比如明天是否会下雨，抽奖时能否中奖，投篮是否能命中等等。
而概率统计就是一门帮助我们研究和理解这些不确定性的数学学科。
对于初中生来说，了解概率统计的基础知识，不仅能够培养我们的逻辑思维和分析问题的能力，还能让我们更好地应对生活中的各种可能性。
一、概率的基本概念概率，简单来说，就是用来衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。
这个数值在 0 到 1 之间。
如果一个事件完全不可能发生，那么它的概率就是 0；如果一个事件肯定会发生，那么它的概率就是 1；而对于那些有可能发生也有可能不发生的事件，其概率就在 0 到 1 之间。
举个例子，抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是 05，因为硬币只有正反两面，而且两面出现的可能性是相等的。
再比如，从一个装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率就是 5/8，摸到白球的概率就是 3/8。
二、事件的分类在概率中，事件可以分为以下几类：1、必然事件：指在一定条件下必然会发生的事件，其概率为 1。
比如太阳从东方升起，就是一个必然事件。
2、不可能事件：指在一定条件下绝对不会发生的事件，其概率为0。
比如月亮从西方升起，就是一个不可能事件。
3、随机事件：指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
前面提到的抛硬币、摸球等都是随机事件。
三、概率的计算方法1、列举法当一个事件发生的可能性比较有限且容易列举时，可以通过列举所有可能的结果来计算概率。
例如，掷一个骰子，求掷出奇数点的概率。
骰子的点数有1、2、3、4、5、6 这 6 种可能，其中奇数点有 1、3、5 这 3 种，所以掷出奇数点的概率就是 3/6 ＝ 05。
2、频率估计法通过大量重复试验，计算某个事件发生的频率，并用频率来估计概率。
比如，抛一枚硬币 1000 次，其中正面朝上 480 次，那么正面朝上的频率就是 480/1000 ＝ 048，可以用这个频率来估计抛硬币正面朝上的概率约为 05。
初中统计与概率问题
初中统计与概率问题在初中数学学科中，统计与概率是一个重要的知识点。
它涵盖了数据收集、整理和分析的过程，以及基于已知数据进行概率计算和预测的方法。
通过学习统计与概率问题，能够培养学生的观察和分析能力，提高他们的问题解决能力。
本文将围绕统计与概率问题展开讨论。
一、统计问题统计是指对数据进行收集、整理、分析和解释的过程。
在初中数学中，统计问题主要包括以下几个方面：1. 数据收集：学生可以通过调查问卷、实地观察等方式收集数据。
收集到的数据可以是数量的，也可以是性质的。
2. 数据整理与描述：将收集到的数据进行整理和分类。
可以使用表格、图表等形式进行展示。
同时，还可以通过计算平均数、中位数、众数等统计量来描述数据的集中趋势。
3. 数据分析与解释：通过对数据的分析，可以发现数据之间的关联和趋势。
例如，通过对一组数据的分析，可以发现某个变量与结果的变化有着一定的关系。
统计问题的解决过程中，需要学生具备一定的数据处理能力和统计分析能力。
通过实际操作和思考，可以加深对统计学的理解和应用。
二、概率问题概率是用来描述某个事件发生的可能性的数值。
初中数学中的概率问题主要包括以下几个方面：1. 实验与样本空间：概率的计算通常需要进行实验，并确定实验的所有可能结果构成的样本空间。
样本空间中的每一个元素代表一个可能的结果。
2. 事件与概率：事件是样本空间的子集，表示一个或多个可能的结果。
概率是事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数值来表示。
3. 概率的计算：根据样本空间和事件的定义，可以计算事件发生的概率。
常用的计算方法有等可能性原则、频率方法和几何方法。
通过学习概率问题，学生可以了解事件发生的可能性，培养他们的判断能力和分析思维。
概率问题也与生活实际密切相关，例如在游戏、赌博和保险领域都有概率的应用。
总结起来，初中统计与概率问题作为数学学科的重要组成部分，对于培养学生的观察、分析和解决问题的能力具有重要意义。
通过学习统计和概率，学生可以掌握数据的收集和处理方法，了解概率的计算和应用，为学习更高级的数学知识打下良好的基础。
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1 2 3 4
的图象，取了自变量的 7 个值： ，分别算出对应的 y 的值，列出下表：
5 6 7
51
107
185
285
407
549
717
但由于粗心算错了其中一个 y 值，请指出算错的是哪一个值？正确的值是多少？并说明理 由. 分析：根据 规律。 详解：设 则 ，且 i 对应的函数值为 i. ，找出 与 之间的联系，然后对照表格来发现
故
（常数）.
由给出的数据 i：51 107 185 285 407 549 717 得 ：56 78 100 122 142 168 : 22 22 22 20 26
由此可见， 6=549 是被算错的 y 值，其正确值应该是 407+(122+22)=551. 技巧：通过研究 与 之间的关系来对照表格是解答本题的关键所在。
6、 （4、5） （数学、初中数学竞赛、填空题、概率） 某广场地面铺满了边长为 36cm 的正六边形地砖. 现在向上抛掷半径为 圆碟落地后与地砖边缘不相交的概率大约是__ __. cm 的圆碟，
解析：欲使圆碟不压地砖间的间隙，则圆碟的圆心必须落在与地砖同中心、且边与地砖边彼 此平行、距离为 cm 的小正六边形内（见下图）.
5、 （3、4） （数学、初中数学竞赛、填空题、统计）
有甲、乙、丙、丁四人，每三人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为 29 岁、23 岁、21 岁和 17 岁，则这四个人中最大年龄与最小年龄的差是____ 岁. 解析：设年龄最大的 a 岁，年龄最小的 d 岁，另外两人的年龄为 b 岁和 c 岁，则有 , ① ② 由①一②得 即所求的差是 18. 答案：18. 技巧： 根据题意设参数列出等式，然后通过变形来整体求值。 易错点：等式变形过程中容易出现计算失误。
解析： 每掷一次可能得到 ， ，
个点的坐标是 其中有两个点是重合的 ： ， ，
，
，
，
，通过描点和计算可以发现，经过
三点中的任意两点
所确定的直线都经过点
，所以小明第三次掷得的点也在直线 上的概率是
答案：A. 技巧：求事件发生的概率，要分析清楚该事件发生的所有可能情况，不能遗漏。 易错点：求概率时容易遗漏可能发生的情况而致错。
答案：C . 技巧：理解平均数、众数、方差、标准差等统计术语的意义才能正确的求出这些数值。 易错点：这类题容易混淆平均数与众数、方差与标准差等概念而致错。
2、 （4、5） （数学、初中数学竞赛、选择题、概率） 六个面上分别标有 1，1，2，3，3，5 六个数字的均匀立方体的表面展开图如下图所示， 掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为 该点的纵坐标，按照这样的规定，每掷一次该小立方体，就得到平面内一个点的坐标，已知 小明前两次掷得的两个点能确定一条直线 l，且这条直线 l 经过点 P(4，7)，那么他第三次掷 得的点也在直线 l 上的概率是 ( )
8、 （3、4） （数学、初中数学竞赛、解答题、统计） 某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击 10 次. 在第 6 次、第 7 次、第 8 次、第 9 次射击中，分别得到 9.O 环、8.4 环、8.1 环、9.3 环，他的前 9 次射击所得的平均环数高
于前 5 次射击所得的平均环数， 如果要使 10 次射击的平均环数超过 8.8 环， 那么他在第 10 次射击中至少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到 0.1 环） 分析： 由于每次射击所得环数都精确到 0.1 环， 故前 9 次射击的总环数至多为 要使 10 次射击的平均环数超过 8.8 环，则第 10 次最少要得 详解：前 9 次射击的总环数至多为 （环）. 答：第 10 次射击至少要得 9.9 环. 技巧：理解平均数的概念，以及“精确到 0.1 环” 和“高于” 、 “至少”等关键词之间的联 系才能正确解答本题。 易错点：容易忽视“精确到 0.1 环”和“高于” 、 “至少”等关键词之间的联系而致错。 ，故第 10 次射击至少得 环。 环；
(1)这次参加测试的总人数为多少？ (2)在 76.5～84.5 这一小组内的人数为多少？ (3)这次测试成绩的中位数落在哪个小组内？ (4)成绩在 84.5～89.5 之间的人数为多少？ 分析：通过观察图表即可得出所需要的数据。 详解：(1)因为 ，所以这次参加测试的总人数为 45.
(2)在 76.5～84.5 这一小组内的人数为 45-3-7-10-8-5= 12. (3)这次测试成绩的中位数落 76.5～84.5 这一小组内. (4) 89.5 分以上为 8 人， 92.5 分以上为 5 人， 则 89.5 分到 92.5 分的有 8-5=3 人； 又 84.5～ 92.5 之间的人数为 8 人，所以成绩在 84.5～89.5 之间的人数为 8-3=5 人.
易错点：这类题容易被题目大量的数据所困惑，放弃理性思考数据的规律而致错。
作 OC1⊥A1A2 于 Cl，交 B1B2 于 C2，则 ClC2= 所以 而
小正六边形的面积 正六边形的面积
cm. 因为 又因为
， ， 所以
， 则小正六边形的边长为 24cm. 故所求
概率 P
答案：
.
小正六边形的面积 正六边形的面积
技巧：理解本题中几何图形落点的概率求法 P
.
易错点：本题在求概率的时候容易理解成求圆碟的面积与正六边形地砖的面积之比而致错.
二、 填空题 4、 （2、3） （数学、初中数学竞赛、填空题、统计） 五次测验的平均成绩是 90， 中位数 （即 5 个成绩按大小次序排列， 居中的那个数） 是 91， 众数（即 5 个成绩中出现次数最多的那个数）是 94 ，则最低两次测验的成绩之和是 ___________ . 解析： 比 中 位 数 91 大 的数 至 多 2 个 ， 众 数 94 至少 出 现 2 次 ， 所 以 94 恰好 出 现 2 次 . 最低 2 次测验成绩之和是 答案：171. 技巧：把握题意，理解平均数、众数和中位数的概念，弄清要求的是什么。 易错点：容易混淆平均数、众数和中位数的概念而致错。
第 11 讲
一、 选择题
统计与概率
1、 （2、3） （数学、初中数学竞赛、选择题、统计） 一个样本为 1，3，2，2，a，b，c. 已知这个样本的众数为 3，平均数为 2，那么这个样 本的方差为 ( )
解析： 已知样本平均数为 2， 得
， 所以
c = 6. 又
因为样本众数为 3，所以 a，b，c 三数中至少有两个 3，则另一个为 0. 所以样本方差
3、 （3、4） （数学、初中数学竞赛、选择题、概率） 平面直角坐标系内任选一点，它的坐标都是绝对值小于或等于 4 的整数，且所有这样的 点被选中的概率相等，则所选的点到原点的距离至多是 2 个单位的概率是(
π
)
解析：坐标是绝对值小于或等于 4 的整数的点，构成以原点为中心的 9× 9 的点阵列. 而这些 点中有 13 个点到原点的距离小于或等于 2 个单位，所以所求概率为 答案：A 技巧：理解题意，分析清楚该事件发生的所有可能情况，不能遗漏。 易错点：求概率时容易遗漏可能发生的情况而致错。
三、解答题 7、 （2、3） （数学、初中数学竞赛、解答题、统计） 某校为了了解学生环保情况，对部分学生进行了一次环保知识测试（分数为整数，满 分 100 分） ，根据测试成绩（最低分 53 分）分别绘制如下统计表和统计图，请你根据统 计表和统计图回答下列问题：
分数 人数 59.5 分以下 3 59.5 分以上 42 69.5 分以上 32 79.5 分以上 20 89.5 分以上 8