浅谈定积分的应用
试论定积分在物理及其他领域的应用
试论定积分在物理及其他领域的应用定积分是微积分学中的一个重要概念，也是一种有效地描述物理现象的数学工具。
在物理领域中，定积分常常用来描述物体的位移、速度、加速度等重要物理量，可以通过积分的方法求出质点在一段时间内的位移、速度、加速度及其他物理量。
此外，在工程、经济、生物学等领域中，定积分也是重要的数学工具。
在物理学中，定积分可以用来计算物体的位移。
当一个物体从时刻t1到时刻t2移动了一个距离，我们可以用一个定义在时间间隔 [t1,t2] 上的函数来表示这个位移量。
将这个函数积分会得到整个时间间隔内的总位移。
相应地，速度是位移的导数，加速度是速度的导数。
因此，定积分可以用来计算质点在一段时间内的速度和加速度。
这些物理量对于研究运动学和动力学是非常重要的。
例如，在弹道学中，球的轨迹可以表示为一个函数。
利用定积分，我们可以求出球在一段时间内的速度和位移以及在这段时间内所受的总力。
在静力学和动力学研究中，定积分也是重要的数学工具。
许多力学公式都可以用积分的方式表示出来。
同时，在物理学中，定积分除了用来计算位移、速度、加速度之外，还可以求解质量、能量、功率等其他重要物理量。
这些物理量对于研究能量守恒、动量守恒等定理是非常有用的。
在工程领域中，定积分也是一种重要的数学工具。
例如，计算机科学中，我们可以利用积分来求解图像的面积和体积，以及计算信号处理和图像处理中的信号。
同样，在电子、机械和土木工程中也可以利用积分来描绘设备或结构的运动或振动特性。
在经济学领域中，定积分也被广泛应用。
例如，货币总量的积分等于总体的价格总和，积分也可以用来解决经济学中的一些重要问题，如财务管理和金融计算等。
在生物学中，定积分的应用也非常广泛。
例如，在细胞生物学中，定积分可以用来表示半衰期的生物学衰变速度。
在生物工程学中，积分被用于物种数量的增长和衍生速度的计算。
此外，在生物化学中，定积分也被用来解决化学反应速率、底物浓度和时间以及酶催化的问题。
例谈定积分的应用
例谈定积分的应用
定积分是利用积分技术来搭建企业系统的一种服务方式，通过定积分，企业可以解决营销，客户追踪，价格管理，订单跟踪等问题，让企业
既有资源利用效率，又能惠及消费者。
一、定积分的应用
1、促销活动：利用定积分可以创建各种丰富多彩的促销活动，满减、
团购、买赠、金币锁定等，激励消费者购买和积累积分。
2、客户管理：定积分能够建立细致复杂的客户档案，包括客户经理内容，购买次数，消费金额，积分余额等，更好地进行客户管理。
3、价格管理：通过定积分，可以根据不同客户的特征，设置特定的价格，比如会员价，大客户价等，更好地提高定价精确度和竞争力。
4、订单追踪：定积分的订单追踪系统可以记录客户的订单信息，有利
于企业更好地追溯客户信息以及及时为客户提供优质服务。
二、定积分的优势
1、可靠性：定积分系统可以提供可靠性能，降低前端和后端系统出现
的异常和故障，防止客户和企业受到损害。
2、安全性：定积分的安全性也得到有效保障，内部数据交换完全采用
加密技术，保证信息不受外部干涉。
3、兼容性：定积分具有可行性和兼容性，它可以按照各种不同环境定
制与企业系统相协调的服务，能够提供企业最适合的解决方案。
4、易用性：定积分使用界面简洁明了，业务流程简单可靠，容易上手，操作简单易懂，为客户提供更贴心的服务。
三、总结
定积分的引入为企业的经营活动带来了更多的便利，有效提高了企业
的经营效率，也让消费者能够从消费上受到更多的好处。
由此可见，
定积分不仅是企业的一种低成本的服务方式，也是一个更加有效的、
更加充分的消费积分服务体系，为企业和消费者都更好地搭建企业系统。
试论定积分在物理及其他领域的应用
试论定积分在物理及其他领域的应用定积分是微积分中的重要内容，它在物理及其他领域的应用也非常广泛。
在物理学中，定积分被用来描述物体的质量、位置、速度和加速度等物理量。
在工程、经济学和生物学等领域，定积分也有着重要的应用。
本文将重点讨论定积分在物理及其他领域的具体应用。
我们来看一下定积分在物理学中的应用。
在牛顿的运动定律中，质点的位移与质点的速度成正比。
如果我们要求一个质点在某段时间内的位移，我们就需要对质点的速度进行定积分。
即位移等于速度对时间的定积分。
通过定积分，我们可以得到在某段时间内物体的实际位移。
接着，定积分还可以用来求解力的做功。
在物理学中，力对物体做功可表示为力在位移方向上的分量乘以位移。
通过对力在位移方向上的分量进行定积分，我们可以求得力对物体所做的总功。
这在热力学和动力学的研究中非常重要。
定积分还可以用来描述物体的质心位置。
质心是一个物体所有质点的平均位置，其坐标可以通过对物体的质量分布进行定积分来求解。
定积分可以用来计算物体在不同形状和密度分布下的质心位置。
这对于物体的平衡和运动学特性的分析非常重要。
除了物理学，定积分在工程中的应用也非常广泛。
在建筑工程中，定积分可以用来计算墙体的承重能力，来确定弯曲蒙皮板的形状，以及计算电梯的负载能力等。
在土木工程中，定积分可以用来计算建筑物的重力中心位置，来确定建筑物的结构设计。
在电子工程中，定积分可以用来描述电路中的电流、电压和功率等物理量的变化。
通过对电路中电压或电流随时间的变化进行定积分，我们可以得到电路中的能量变化情况。
这对于电路设计和能源管理非常重要。
在计算机科学中，定积分可以用来描述算法的时间复杂度和空间复杂度。
我们可以通过对算法的执行时间随问题规模的变化进行定积分来求解算法的时间复杂度。
这对于选择合适的算法来解决特定的问题非常重要。
在生物学和医学领域，定积分可以用来描述生物体内物质的扩散和传播过程。
在医学影像学中，定积分可以用来对人体组织中的病变进行定量分析，来帮助医生诊断疾病。
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分中的重要概念，它在数学和实际问题的解决中扮演着关键的角色。
本文将探讨定积分的应用，并结合实例详细说明其在解决各类问题中的重要作用。
一、定积分的概念定积分是微积分中的一种运算符号，表示在一定区间上的函数曲线与坐标轴所围成的面积。
通常用符号∫ 表示，即∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示积分变量。
定积分的结果是一个数值。
二、定积分的几何意义定积分的几何意义是曲线与坐标轴所围成的面积。
例如，我们可以通过计算函数曲线与x轴之间的面积来求取定积分。
这种面积计算方法可以应用于各种形状的曲线，包括折线、曲线、圆弧等。
三、定积分的物理应用定积分在物理学中有广泛的应用。
例如，当我们需要计算物体的质量、体积、位移、功等物理量时，可以通过定积分来进行计算。
定积分可以将一个连续变化的物理量表示为无限个微小变化的和，从而得到准确的结果。
四、定积分的经济学应用定积分在经济学领域也被广泛应用。
例如，当我们需要计算市场供求曲线下的固定区间所代表的消费者剩余或生产者剩余时，可以通过定积分来计算。
定积分可以将变化的价格和数量转化为面积，以方便计算。
五、定积分的工程应用在工程学中，定积分也具有重要的应用价值。
例如，在力学领域，当需要计算曲线所代表的力的作用效果时，可以通过定积分来计算。
定积分可以将一个连续变化的力量表示为无限个微小作用力的和，从而得到准确的结果。
六、定积分的统计学应用再一个例子的统计学领域中，定积分同样发挥着重要作用。
例如，在概率密度函数下计算所得的面积可以表示某一事件发生的概率。
定积分可以将一个连续变化的概率密度函数表示为无限个微小概率的和，从而得到准确的概率结果。
七、定积分的计算方法定积分的计算方法有多种，例如，常用的有牛顿-莱布尼茨公式、变量替换法、分部积分法等。
根据不同的问题和函数形式，选择合适的计算方法对于准确求解定积分非常关键。
八、结语定积分作为微积分中的重要概念，在各个领域中均得到了广泛的应用。
试论定积分在物理及其他领域的应用
试论定积分在物理及其他领域的应用1. 引言1.1 定积分的基本概念定积分是微积分的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。
定积分的基本概念可以简单地理解为一个函数在一定区间内的累积效果。
在几何学中，定积分可以用来计算曲线下面积，图形的面积和体积等问题。
在数学上，定积分可以看作是不定积分的反运算，通过定积分我们可以求解函数的定积分值。
在实际应用中，定积分被广泛运用于物理、工程、经济等领域。
它的应用使得复杂问题的计算变得简单清晰。
通过定积分，我们可以计算出物体的质量、力的大小、功的大小等物理量。
在力学中，定积分可以用来描述物体的运动规律，计算出物体的位置、速度和加速度等。
在电磁学中，定积分常常用来计算电场强度、磁场强度等问题。
在热力学中，定积分可以用来计算热量、熵等热力学量。
在工程学中，定积分可以帮助工程师计算出工程设计中的各种参数。
在经济学中，定积分在求解供求关系、成本、收益等问题上起着重要作用。
定积分在各个领域中都有着重要的应用价值。
它的基本概念对于理解定积分的应用具有重要意义。
通过深入研究定积分的基本概念，可以更好地理解其在不同领域中的具体应用。
1.2 定积分在物理领域的重要性定积分在物理领域的重要性体现在多个方面，首先在力学中，定积分可以用来描述物体的质量、速度、加速度、力和能量等物理量随时间的变化，从而帮助解决力学中的各种问题。
在电磁学中，定积分可以用来描述电流、电荷、电场、磁场等物理量在空间中的分布和变化规律，从而帮助解决电磁学中的各种问题。
在热力学中，定积分可以用来描述热量、温度、熵等热力学量在空间中的分布和变化规律，从而帮助解决热力学中的各种问题。
在工程学和经济学中，定积分也有着重要的应用，可以用来描述工程和经济系统中的各种物理量的变化规律，从而帮助解决工程和经济学中的各种问题。
定积分在物理领域中的重要性不可忽视，它为我们理解和应用物理定律提供了重要的数学工具和方法。
2. 正文2.1 定积分在力学中的应用在力学中，定积分是一个非常重要的数学工具，它可以用来描述物体在运动过程中的各种性质和运动规律。
试论定积分在物理及其他领域的应用
试论定积分在物理及其他领域的应用定积分是微积分中的一种重要概念，其主要作用是计算曲线下面积以及质量、质心、重心、能量、功率、概率等物理量。
定积分在物理及其他领域中应用广泛，下面将简单介绍其应用。
1. 物理中的应用定积分在物理学中的应用不仅仅局限于计算曲线下面积，还常用于计算各种物理量。
以下是定积分在物理学中的应用：1.1 曲线下面积在物理学中，经常需要计算各种曲线下的面积，比如需要计算一个运动物体在一段时间内的位移与时间曲线之间的面积。
利用定积分就可以计算这种情况下的面积。
1.2 质量定积分可以用来计算物体的质量。
例如，如果我们需要计算一个物体不同位置处的密度分布，我们可以使用定积分将这个物体的密度分布转化为质量分布。
然后，我们可以通过对质量分布进行积分来计算物体的总质量。
1.4 动能动能可以通过对速度的平方进行积分来计算。
使用定积分可以计算物体在不同速度下的动能。
1.5 惯性物体的惯性可以通过计算物体的质心来计算。
物体的惯性越大，就越难改变其运动状态。
1.6 功率功率可以通过计算力和速度的乘积来计算。
利用定积分可以通过计算力和速度的函数来计算功率。
2. 其他领域的应用除了物理学之外，定积分还在其他领域中应用广泛。
以下是几个例子：经济学中的消费曲线、供给曲线以及需求曲线都可以通过定积分计算出来。
经济学家们还可以使用定积分计算出生产率以及经济增长率。
2.2 计算机科学计算机科学中的数据结构和算法也可以使用定积分计算。
例如，通过选取数据集上的一些点并计算该点所对应的函数值，我们可以使用定积分计算出数据集上的积分。
2.3 生物学生物学家们经常需要计算一些生物变量，例如血液中某种蛋白质的含量、细胞数量等等。
这些变量可以通过定积分计算。
总之，定积分在物理及其他领域中应用广泛，既可以用于计算物理量，也可以用于计算其他领域中的变量。
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分中的重要内容之一，经常被应用于实际问题的解决中。
本文将从三个方面来论述定积分的应用。
一、定积分在几何中的应用首先，定积分可以用于求曲线下面的面积。
以 y=f(x) 为例，若f(x)>0，则曲线 y=f(x) 与 x 轴的两点 a、b 组成的图形的面积为S=∫baf(x)dx这时，可以将曲线 y=f(x) 分成许多小块，每块宽度为Δx，高度为 f(xi)，从而可以得到其面积为ΔS=f(xi)Δx因此，当Δx 趋于 0 时，所有小块的面积之和就等于图形的面积，即∑ΔS→S因此，用定积分就可以求出图形的面积。
其次，定积分还可以用于求旋转体的体积。
以曲线 y=f(x) 在 x 轴上旋转360°为例，其体积为V=π∫baf(x)^2dx这里，π为圆周率。
最后，定积分还可以用于求某些奇特图形的长、面积等等。
二、定积分在物理中的应用物理中也有许多问题可以通过定积分来解决。
比如，运动问题中的速度、加速度，可以通过位移的变化来求得。
若某运动物体的速度为 v(t)，则其位移 s(t) 为s(t)=∫v(t)dt同样，若某运动物体的加速度为 a(t)，速度为 v(t)，则其位移为s(t)=∫v(t)dt=∫a(t)dt最后，定积分还可以用于求密度、质量等物理量。
三、定积分在工程中的应用定积分在工程中的应用也非常广泛。
比如，在流体力学中，对于一条管道中的液体，可以通过惯性和重力等因素，求出其中液体的流量和压力。
而这些流量和压力可以通过定积分计算得出。
在电学中，电量、电荷、电流和电势等都可以通过定积分来求解。
在结构设计中，定积分也常常被用来计算约束力、杠杆比例等。
总之，定积分在几何、物理和工程等领域中都有着广泛应用。
熟练地掌握定积分的方法和应用，对于科学研究和实际问题的解决都有着非常积极的帮助。
试论定积分在物理及其他领域的应用
试论定积分在物理及其他领域的应用
定积分是微积分中的一个重要概念，是计算曲线下方的面积、求体积和质量的重要工具。
在物理及其他领域中，定积分也有着广泛的应用。
在物理学中，定积分通常用于计算物理问题中的物理量和相互作用。
例如，在力学中，定积分可用于计算质点在弹性体中产生的弹性能量；在电磁学中，定积分可用于计算电场
对电荷的作用力；在热力学中，定积分可用于计算热量传递或热力学系统中的熵变等。
此外，在物理实验中，定积分还可以用于数据处理和结果分析。
在工程学中，定积分常用于计算各种工程问题中的面积、体积、质量和力等。
例如，
用定积分可以计算建筑物中各种结构的体积和面积，从而进行材料选择和成本控制；在水
利工程中，定积分可以用于计算河流水位变化的曲线下面积，从而预测洪水发生的可能性；在航空和航天领域中，定积分可以用于计算航天器或飞机的质量和重心位置，从而确保飞
行的安全性。
在经济学中，定积分通常用于计算需求函数和供给函数的面积，从而推导价格和市场
规模等重要经济变量。
例如，在微观经济学中，定积分可以用于计算市场上的消费者剩余
和生产者剩余；在宏观经济学中，定积分还可以用于计算国内生产总值（GDP）和国内收入等重要经济指标。
总之，定积分在物理及其他领域中有着广泛的应用，是计算面积、体积、质量和力等
物理和工程问题的重要工具。
同时，定积分还可以用于经济学领域中的需求和供给函数的
推导，从而推断市场和经济变量。
因此，深入理解和掌握定积分的定义和运用已经成为现
代科学和工程教育的必备内容。
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浅谈定积分的应用**** ****（天津商业大学经济学院，中国天津 300134)摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。
关键词 定积分 定积分的应用 求旋转体体积 变力做功The Application of Definite Integral**** ****(Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China)Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definitio n of definite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in t he higher mathematics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, t hrough the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very co nvenient and accurate.Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work0、前言众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。
一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。
在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。
定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。
微积分是与应用联系着并发展起来的。
定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。
并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5]。
本文将举例介绍定积分在的我们日常学习和生活当中的应用。
1定积分的基本定理和几何意义1.1、定积分的定义定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。
即由0=y ，a x =，b x =,()x f y =所围成图形的面积。
定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。
把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。
这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的容是：如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())('x f X F =，那么()()()1)( a F b F dx x f ba-=⎰用文字表述为：一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。
正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。
1.2、定积分的几何意义()⎰b adx x f 2)(当0)(>x f 时，⎰badx x f )(是曲边梯形的面积如图1a 所示；当()b x a x f ≤≤≤0)(时，⎰b adx x f )(是曲边梯形的面积的负值1b 所示；（a ）0)(>x f (b) ()b x a x f ≤≤≤0)(图1定积分的几何意义图示2定积分的应用1，解决求曲边图形的面积问题例：求由抛物线x y 42=与直线42-=x y 围成的平面图形D 的面积S 。
2，求变速直线运动的路程做变速直线运动的物体经过的路程s ，等于其速度函数()t v v =，()()0v ≥t 在时间区间[]b a ,上的定积分。
3，变力做功某物体在变力()x F F =的作用下，在位移区间[]b a ,上做的功等于()x F F =在[]b a ,上的定积分。
3定积分的应用举例3.1、平面图形的面积3.1.1、直角坐标系下平面图形的面积(1)X －型与Y －型平面图形的面积把由直线a x =，b x =，b a <及两条连续曲线()x f y 1=，()x f y 2=，()()x f x f 21<所围成的平面图形称为X －型图形如图2a ；把由直线c y =，d y =d c <及两条连续曲线x=g1(y)，x=g2(y)(g1(y)≤g2(y))所围成的平面图形称为Y －型图形。
如图2b（a ）X －型图形 (b) Y －型图形图2平面图形的面积注意：构成图形的两条直线，有时也可能蜕化为点。
把X －型图形称为X －型双曲边梯形，把Y －型图形称为Y －型双曲边梯形。
１）用微元法分析X －型平面图形的面积取横坐标x 为积分变量，[]b a x ,∈。
在区间[]b a ,上任取一微段[]dx x x +,，该微段上的图形的面积dA 可以用高为()()x f x f 12-、底为dx 的矩形的面积近似代替。
因此()()[]()3dx f -x f dA 12 x =从而()4.)]()([A 12 ⎰-=ba dx x f x f２）微元法分析Y －型图形的面积 ()5.)]()([A 12 ⎰-=dc dy y g y g对于非X －型、非Y －型平面图形，我们可以进行适当的分割，划分成若干个X －型图形和Y －型图形，然后利用前面介绍的方法去求面积。
例1求由两条抛物线x y =2，2x y =所围成图形的面积A 。
如图4所示。
图4解解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,,22x y x y 得交点(0，0)，(1，1)。
将该平面图形视为X －型图形，确定积分变量为x ，积分区间为[0，1]。
由公式(5)，所求图形的面积为1 0 31 0 23132)(A 23x x dx x x -=-=⎰=31。
例2 求由曲线x y 22=与直线22+-=x y 所围成图形的面积A 。
如图5所示图5解解方程组⎩⎨⎧+-==,22 ,22x y x y 得交点(21，1)，(2，－2)。
积分变量选择y ，积分区间为[－2，1]。
所求图形的面积为12- 312- 22]6141[]21)211[(A y y y dy y y ⎰--=--==49。
3.1.2、极坐标系中曲边扇形的面积在极坐标系中，称由连续曲线()θr r =及两条射线αθ=，βθ=，βα<所围成的平面图形为曲边扇形。
在[]βα,上任取一微段[]θθθd =,，面积微元dA 表示这个角的小曲边扇形面积，()[]()6 2d r 21=dA θθ所以()⎰=βαθθ 27)]([21 d r A 。
例3求心形线()θcos 1+=a r ，0>a 所围成图形的积A 。
如图6所示。
图6解因为心形线对称于极轴，所以所求图形的面积A 是极轴上方图形A1的两倍。
极轴上方部分所对应的极角变化围为[]πθ,0∈，由公式(7)，所求图形的面积为⎰⨯=βαθθ 2)]([212A d r =⎰⎰++=+ππθθθθθ 022 02)cos cos 21()]cos 1([d a d a=)2223|2sin 41sin 223a a πθθθπ=++ ⎝⎛。
3.2、空间立体的体积 3.2.1一般情形设有一立体，它夹在垂直于x 轴的两个平面a x =，b x =之间(包括只与平面交于一点的情况)，其中b a <，如图所示。
如果用任意垂直于x 轴的平面去截它，所得的截交面面积A 可得为()x A A =，则用微元法可以得到立体的体积V 的计算公式。
过微段[]dx x x +,两端作垂直于x 轴的平面，截得立体一微片，对应体积微元()dx x A dV =。
因此立体体积，如图7所示。
图7空间立体的体积().8)( V ⎰=badx x A例4经过一如图8所示的椭圆柱体的底面的短轴、与底面交成角α的一平面，可截得圆柱体一块楔形块，求此楔形块的体积V 。
如图8所示。
图8解：据图8，椭圆方程为164422=+y x 。
过任意[]2,2-∈x 处作垂直于x 轴的平面，与楔形块截交面为图示直角三角形，其面积为()αααtan 4132tan .21tan .2122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-===x y y y x A ()αtan x -482=应用公式(8)V=⎰--222)4(tan 8dx x α=16tan α⎰-22)4(dx x =3256tan α。
3.2.2、旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面的一条直线l 旋转一周而成的空间立体，其中直线l 称为该旋转体的旋转轴。
把X －型图形的单曲边梯形绕x 旋转得到旋转体，则公式(4)中的截面面积()x A 是很容易得到的。
如:9、10，设曲边方程为()x f y =，[]b a x ,∈()b a <，旋转体体积记作()x V 。
图9旋转体绕Y 轴旋转的的体积图10旋转体绕X 轴旋转的的体积过任意[]b a x ,∈处作垂直于x 轴的截面，所得截面是半径为()x f 的圆，因此截面面积()()2x f x A π=。
应用公式(8)，即得()()⎰=badx x f x V 29)]([ π类似可得Y －型图形的单曲边梯形绕y 轴旋转得到的旋转体的体积()y V 计算公式()()10)]([ 2 ⎰=dcdy y g y V π其中的()y g x =是曲边方程，c ，d(c<d)为曲边梯形的上下界。
例5求曲线y=sinx(0≤x ≤π)绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积Vx 。
图11解Vx=π⎰b adx x f 2)]([=π⎰π2)(sin dx x=⎰-=-ππππ0 ]22sin [2)2cos 1(2x x dx x =22π。