七年级数学下册1.5.1平方差公式教案
本课教育评注（实际教学效果及改进设想）
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
引出研究本节课要学习知识的必要性，清楚新知识的引出是由于实际生活的需要
学生积极参与学习活动，为学生动脑思考提供机会，发挥学生的想象力和创造性
体现教师的主导作用
学以致用，
举一反三
教师给出准确概念，同时给学生消化、吸收时间，当堂掌握
例2由学生口答，教师板书，
7.若x2－y2＝30，x＋y＝6，则x－y的值是______.
8.方程（x+6）（x-6）-x（x-9）=0的解是______.
9.已知（x+3）（x2+A）（x-3）=x4-81，则A=______.
10.计算：（1 ）（x+4y）（x-4y）；
检验学生学习效果，学生独立完成相应的练习，教师批阅部分学生，让优秀生帮助批阅并为学困生讲解.
解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解．
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．
B．（3x+2）（3x-2）=3x2-4
C．（a＋2）（a－3）=a2－6
D．（3xy+1）（3xy-1）=9x2y2-1
4.若（4a+kb）（4a -3b）=16a2-9b2，则k的值是【】
A.-3B.1
C.3D.9
5.（x－1）·________=1-x2.
6.（b＋2）（b-2）（b2+4）＝________.
课堂检测
1.计算（2x+1）（1-2x）是结果是【】
A.4x2-1B.4x2+1
C.4-x2D.-4x2+1
2.下列各式能用平方差公式计算的是【】
A．（a－ b）（a－ b）
B．（a－ b）（－a＋ b）
C．（－a－ b）（a－ b）
D．（－a－ b）（a＋ b）
3.下列各式计算正确的是【】
A．（a＋5）（a－5）＝a2－5
总结提升
总结本节课的主要内容：
1、平方差公式是什么?
2、运用公式进行计算时应该注意:
①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；
②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；
板书ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ计
1.5.1平方差公式
（一）知识回顾（三）例题解析（五）课堂小结
（二）探索新知例1、例2
（四）课堂练习练习设计
本课作业
方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或 多项式．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
【类型二】利用平方差公式进行简便运算
回顾旧知，引出新课
计算下列各题：
（1）(x+ 2 ) (x- 2 )；（2）( 1 + 3a) ( 1 - 3a)；
（3）(x+ 5y) (x- 5y)；（4）( 2y+z) ( 2y-z)．
1、学生独立完成，再集体订正答案.
2、观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？再举两例验证你的发现．
学生思考，小组讨论；鼓励学生归纳发现的规律，用算式表示，并用自己的语言进行描述.
1.5.1平方差公式
教学目标
1、经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力
2、会推导平方差公式， 并能运用公式进行简单的计算和推理
教学重、难点
重点：运用平 方差公式进行简单的计算和推理 理解
难点：理解平方差公式及其探索过程
导学方法
启发式教学、小组合作学习
导学步骤
导学行为（师生活动）
设计意图
从学生已有的知识入手，引入课题
新知探索
例题
精讲
合作探究
探究点：平方差公式
【类型一】直接运用平方差公式进行计算
利用平方差公式计算 ：
(1)(3x－5)(3x＋5)；
(2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．
解析：直接利用平方差公式进行计算即可．
解：(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25；
(2)(－2a－b) (b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.
(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝ 168.96.
方法总结：熟记平方差公式的结构是解题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第12题
【类型三】化简求值
先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
利用平方差公式计算：
(1)20×19；(2)13.2×12.8.
解析：(1)把20×19写成(20＋)×(20－)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算 ．
解：(1)20×19＝ (20＋)×(20－)＝202－()2＝400－＝399；
北师大版七年级下册数学教学设计：1.5.1《平方差公式》
北师大版七年级下册数学教学设计：1.5.1《平方差公式》一. 教材分析《平方差公式》是北师大版七年级下册数学的第二章第三节的内容，本节内容是在学生已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式的基础上进行学习的。
平方差公式是代数中的一个重要公式，它不仅涉及到平方差公式的推导，还涉及到平方差公式的应用，以及在此基础上进一步推导出完全平方公式的过程。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式等基础知识，具备了一定的代数运算能力。
但是，对于平方差公式的推导过程，以及如何灵活运用平方差公式解决实际问题，对学生来说还是有一定的挑战性的。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生积极参与，突破重难点。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平方差公式的推导过程，理解平方差公式的含义，能够灵活运用平方差公式解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作、探究学习，培养学生的合作意识，提高学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力，使学生感受到数学的乐趣。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的推导过程，以及平方差公式的应用。
2.难点：平方差公式的灵活运用，以及在此基础上推导出完全平方公式。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究，发现规律。
2.运用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
3.通过实例讲解，使学生能够将理论知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括平方差公式的推导过程、应用实例等。
2.准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生复习有理数的乘法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）呈现平方差公式的推导过程，引导学生观察、分析，发现其中的规律。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些平方差公式的练习题，巩固所学知识。
《平方差公式》教案(精选15篇)
《平方差公式》教案（精选15篇）《平方差公式》教案1教学目的进一步使学生理解把握平方差公式，并通过小结使学生理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差异。
教学重点和难点：公式的应用及推广。
教学过程：一、复习提问1.(1)用较简洁的代数式表示下图纸片的面积.(2)沿直线裁一刀，将不规章的右图重新拼接成一个矩形，并用代数式表示出你新拼图形的面积.讲评要点：沿HD、GD裁开均可，但肯定要让学生在裁开之前知道HD=BC=GD=FE=a-b，这样裁开后才能重新拼成一个矩形.期望推出公式：a2-b2=(a+b)(a-b)2.(1)叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式;(2)试比较公式的两种表达式在应用上的差异.说明：平方差公式的数学表达式在使用上有三个优点。
(1)公式详细，易于理解;(2)公式的特征也表现得突出，易于初学的人“套用”;(3)形式简洁。
但数学表达式中的a与b有概括性及抽象性，这样也就造成对详细问题存在一个判定a、b的问题，否则简单对公式产生各种主观上的误会。
依照公式的文字表达式可写出下面两个正确的式子：经对比，可以让人们体会到公式的文字表达式抽象、准确、概括.因而也就“欠”明确(如结果不知是谁与谁的平方差).故在使用平方差公式时，要全面理解公式的实质，敏捷运用公式的'两种表达式，比如用文字公式推断一个题目能否使用平方差公式，用数学公式确定公式中的a与b，这样才能使自己的计算即准确又敏捷.3.推断正误：(1)(4x+3b)(4x-3b)=4x2-3b2;(×)(2)(4x+3b)(4x-3b)=16x2-9;(×)(3)(4x+3b)(4x-3b)=4x2+9b2;(×)(4)(4x+3b)(4x-3b)=4x2-9b2;(×)二、新课例1运用平方差公式计算：(1)102×98;(2)(y+2)(y-2)(y2+4).解：(1)102×98(2)(y+2)(y-2)(y2+4)=(100+2)(100-2)=(y2-4)(y2+4)=1002-22=10000-4=(y2)2-42=y4-16.=9996;2.运用平方差公式计算：(1)103×97;(2)(x+3)(x-3)(x2+9);(3)59.8×60.2;(4)(x-)(x2+)(x+).3.请每位同学自编两道能运用平方差公式计算的题目.例2填空：(1)a2-4=(a+2)();(2)25-x2=(5-x)();(3)m2-n2=()();思考题：什么样的二项式才能逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积?(某两数平方差的二项式可逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积)练习填空：1.x2-25=()();2.4m2-49=(2m-7)();3.a4-m4=(a2+m2)()=(a2+m2)()();例3计算：(1)(a+b-3)(a+b+3);(2)(m2+n-7)(m2-n-7).解：(1)(a+b-3)(a+b+3)(2)(m2+n-7)(m2-n-7)=[(a+b)-3][(a+b)+3]=[(m2-7)+n][(m2-7)-n]=(a+b)2-9=a2+2ab+b2-9.=(m2-7)2-n2=m4-14m2+49-n2.三、小结1.什么是平方差公式?一般两个二项式相乘的积应是几项式?2.平方差公式中字母a、b可以是那些形式?3.怎样推断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式?四、布置作业1.运用平方差公式计算：(1)(a2+b)(a2-b);(2)(-4m2+5n)(4m2+5n);(3)(x2-y2)(x2+y2);(4)(9a2+7b2)(7b2-9a2).2.运用平方差公式计算：(1)69×71;(2)53×47;(3)503×497;(4)40×39.《平方差公式》教案2平方差公式一、学习目标：1.经历探究平方差公式的过程.2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简洁的运算.二、重点难点重点：平方差公式的推导和应用难点：理解平方差公式的结构特征，敏捷应用平方差公式.三、合作学习你能用简便方法计算下列各题吗?12001×19992998×1002导入新课：计算下列多项式的积.1x+1x-12m+2m-232x+12x-14x+5yx-5y结论：两个数的和与这两个数的差的`积，等于这两个数的平方差.即：a+ba-b=a2-b2四、精讲精练例1：运用平方差公式计算：13x+23x-22b+2a2a-b3-x+2y-x-2y例2：计算：1102×982y+2y-2-y-1y+5随堂练习计算：1a+b-b+a2-a-ba-b33a+2b3a-2b4a5-b2a5+b25a+2b+2ca+2b-2c6a-ba+ba2+b2五、小结：a+ba-b=a2-b2《平方差公式》教案3学习目标：1、经历探究完全平方公式的过程，发展学生观察、交流、归纳、猜想、验证等能力。
北师大版数学七年级下册1.5.2平方差公式的应用教案
作业：
（1）必做题：P21习题1.9第1题，全部做在作业本上
（2）选做题：1、
2、
3、(x+y+z)(x+y-z)
教师引导学生讨论巩固落实
板书设计
平方差公式
（a+b）（a－b）= a²－b²复习引例
两数之和和这两数只差的积………………
等于这两数的平方差……………….
板书一：
例题1变式1变式2
……….…………………..
【生3】
(3)(-m+n)(-m-n)
解：原式=-m2-n2
【师】我们一起来看一看黑板上几位同学完成得怎么样。
【生4】第一题错了，-6x2应该改成-（6x）2
【生5】第二题是准确的，在计算前先变形成(2+3x)(2-3x)
【生6】第三题中-m2应该写成（-m）2
【师】同学们修改得非常好，我们在计算的过程中一定要注意计算的技巧，该加括号的时候一定要合理加上括号。为了检验一下同学们的掌握程度，请同学们完成下面三道提高题：
本节内容分为两个课时，第一课时在实际背景和计算中探索出有平方差公式，学会用平方差公式进行运算，对掌握于非标准形式的多项式的乘积灵活运用平方差公式计算，并能解决实际问题的能力。第二课时在运算中归纳出平方差公式的适用范围及变式拓展。
2、教学重点:平方差公式的推导和应用．
北师大版七年级数学下册1.5.1 平方差公式 教案设计
1.5 平方差公式（1）教学目标：1.经历探索发现平方差公式的过程，发展数形结合的思想．2.会推导平方差公式并能正确运用公式进行计算．3.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式解决生活中的实际问题．4.培养学生观察、归纳、概括等能力．教学重点与难点：重点：平方差公式的推导和应用．难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．教法与学法指导：教法：引导探讨归纳应用变通．学法：提前预习，小组合作，探讨交流，归纳总结．课前准备：教师准备：多媒体课件、纸板教具、彩色粉笔．学生准备：预习纸板教学过程：一、创设情境，导入新课【美丽的校园】师：上学期，我们作为第一届入住新校区的初一新生，很荣幸的搬入了新建设的二十九中校园，一学期过去了，大家对于我们美丽的校园还满意吗？生：满意！师：现在，学校要规划一块新草坪，规划的方案有两种，一种是建成10米乘以10米的正方形，另一种方案是把这块正方形的草坪的一边缩减3米，相邻边增加3米，把草坪改成长方形．校长说，改成长方形草坪后，不光美观，还能节约购买草皮的成本呢？你知道这是为什么吗？生（集体）：猜测讨论．师：通过本节课的学习，你将能轻松的解决这个问题，大家说，这节课要不要认真学习啊？学生（充满好奇）：要！【设计意图】通过了解发生在校园内真实存在的事例，既能调动学生的研究兴趣，又能为说明平方差公式的几何意义做好铺垫．二、百花齐放，探索新知1．数形结合，探究公式师：解决校园草坪建设方案的问题之前，老师先提两个简单的问题来考一考大家，看看大家上节课的内容学习的怎么样了？有没有能力解决今天的新问题．计算：1．（x+1）（x-1） 2.（m+2）（m-2）生（集体）：算出来了…算出来了…师：好，老师请两位同学说一说计算的结果．生1：第一题的结果是：x2-1生2：第二题的结果是：m2-4师：正确的同学请举手（全体同学基本上都正确），看来大家学的真不错哦！师：下面大家继续观察上面两个算式，看看它们的结果，你有没有什么新发现？生3：我发现它们的结果是这两个数的平方的差．师：好，那么我们请这位同学把你看到的现象用粉笔描述出来．（生3 分别使用了蓝色粉笔和黄色粉笔区别表示，效果非常好）师：大家观察一下，这位同学描述的规律对不对？生（齐）：正确！师：哪位同学能再举个例子来验证一下？生4：（a+3）（a-3）=a2-3a+3a-9=a2-9（a+3）（a-3）=a2-32 = a2 -9师：结果一样吗？生（齐）：一样！师：那好，以后符合这个规律的习题，我们就可以直接进行计算，不要再用多项式的乘法这么麻烦了，还有谁再举例应用一下？生5（抢）：（5+x）（5-x）=52- x2 =25- x2生6（抢）：（y+6）（y-6）=y2-62 = y2-36师：谁用语言来描述一下这个规律？生（7）：等式的左边是两个两项式的乘积，这两个两项式中，其中一个因式是两数的和，另一个因式是这两个数的差，等式的右边等于这两个数的平方的差．师：那么我们能不能把这个规律用符号表示出来呢？师生合作：（a+b）（a-b）=a2-b2文字描述：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差．*提示：这里a 、b 表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式．师：同学们真不简单，现在大家给我们总结的规律起一个名字吧．生（齐）：平方差公式！【设计意图】通过观察，让学生自然、直观的接触到平方差的概念，再通过习题简单的应用，便于学生总结出公式，理解和掌握公式．教师板书课题：1.5 平方差公式（1）师：看来大家预习的非常棒！接下来，我们通过拼图游戏，再从几何图形的角度来验证一下这个公式的正确性，下面大家拿出我们课下准备好的纸板，按要求计算阴影部分的面积．生8：第一个图形的面积：a 2-b 2 生9：第二个图形的面积：（a+b ）（a-b ）师：这两种方法算出来的阴影部分的面积相等吗？生（齐）：相等师：由此我们得到（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2，从而再次验证了平方差公式的正确性，大家对这两种证明平方差公式的方法都理解了吗？生（齐）：理解了！【设计意图】利用求图形的面积，进一步理解和验证平方差公式，培养学生数形结合的思想和一题多解的观念．2．简单应用，掌握公式师：那么接下来我们就来应用一下吧，请看例题例1利用平方差公式计算：（1）（5+6x ）（5－6x ）； （2）（x －2y ）（x +2y ）（3）（ab +8）（ab －8）；我们请3位同学到黑板上来演示，其他同学在练习本上计算，愿意来展示自己的同学请主动上台表演吧！生10：解：（5+6x ）（5－6x ） 生11：解：（x －2y ）（x +2y ）= 52－（6x ）2 = x 2－（2y ）2=25－36 x 2 = x 2－4y 2生12：解：（ab +8）（ab －8）a-b=（ab ）2－82= a 2 b 2－64师：大家看看这3位同学的表现的怎么样？生（齐）：非常好！师：下面做正确的同学请举手（大约90﹪以上），不错哦！大家感觉对于今天学习的内容掌握的怎么样了？生：都掌握了，没问题了师：*注意：对于平方差的结果，要化成最简，得数中不能保留像（2y ）2 、82 、（ab ）2 的没有运算完全的算式．【设计意图】利用简单的问题加深学生对平方差概念的理解，鼓舞学生的士气，为下一步更深入的学习和理解公式奠定基础．3．乘胜追击，深入公式师：既然大家都觉得练得不错了，那么老师对习题再升升级，检验一下大家的思考能力：例2 利用平方差公式计算：（1）（－m +n ）（－m －n ）； （2）)41(y x --)41(y x +-； 师：这两道题好做吗？在这里老师先提个小建议，请大家找出算式里面的“a ”和“b ”，然后再用公式计算．（2分钟后）谁找到了，主动站起来回答一下？生13：第一个算式里面的“a ”是“－m ”, “b ”是“n ”生14：第二个算式里面的“a ”是“x 41-”, “b ”是“y ” 师：这两位同学照的对不对？生：对．师：好，下面请这两位同学到黑板上来把这两道题计算完整．生15：（－m+n ）（－m －n ）=（－m ）2－（n ）2 =m 2－ n 2生16：)41(y x --)41(y x +-=（x 41-）2－y 2=x12－y 2 生（梁森）：老师，我有一个发现，我发现我们找的“a ”是相同的数，“b”是相反的数．师：噢？！我们班的数学大王有了新发现，大家发现这个规律了吗？生：真的，还真有这样的特点啊，梁森就是聪明．师：大家为梁森同学鼓掌！我国有“两弹 一星”元勋钱学森，我们班有数学大王梁森，老师有个提议，我们把梁森同学的这个新发现命名为生（集体鼓掌）：好！师：有了“梁森定律”的发现，我们做题就变得轻松多了．以后我们大家在碰到两项式乘两项式的时候，如果这两项中有一组相同的项和另一组相反的项，我们就可以应用平方差公式进行计算了．但是老师还有一个问题需要大家进一步的明确，找出了相同的项和相反的项，最后的结果是用谁的平方减去谁的平方呢？生（齐）：相同的项的平方减去相反的项的平方．师：下面请大家观察图片，通过图片，更直观的理解平方差公式（看上图），看明白了吗？生（齐）：明白了．【设计意图】通过增加例题的难度引导学生深入的探究公式，从而总结出更加简便有效的应用平方差公式的方法．三、综合应用，延伸拓展师：考验你的时候到了，下面老师出一道难度等级为5星的题，大家有没有信心做出来？生（集体）：（摩拳擦掌，跃跃欲试）能，出吧．师：小组合作探究：计算（-a-b）（a-b）（2分钟后）谁来回答这个问题？生（巩恒）：老师，我代表我们小组来回答这个问题，在这道题中，为了便于观察，我们小组采取的方法是，交换了括号内两项的位置，交换后（-a-b）（a-b）=（-b -a）（-b +a）（学生到黑板板书），这样我们就可以很轻松的找出相同的项是“-b”，相反的项是“a”，根据“梁森定律”，用相同的项的平方减去相反的项的平方，最后的结果是：（-a-b）（a-b）=（-b -a）（-b +a）=（－b）2－ a2 = b2－a2师：同学们，这位同学讲解的好不好？生（集体鼓掌）：好！师：大家说“梁森定律”的作用体现在什么地方呢？生（争先恐后）：应用“梁森定律”，可以很方便的辨别能否用平方差公式进行多乘多的运算．师：good!那我们通过练习来应用一下这个新方法吧．下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够，怎样计算?(1) (a+b)(a−b) （能）(2) (a−b)(b−a) （不能）(3) (a+2b)(2b+a) （不能）(4) (a−b)(a+b) （能）(5) (2x+y)(y−2x) （能）师：你是怎么辨别出来的？生（齐）：通过找相同项和相反项．师：你们太有才了！生（集体）：笑师：下面大家在练习本上把上面的5道题计算出来，看谁算得又对又快．（让同学们把答案落实到本子上，避免出现“笔下误”，同时老师通过巡视，发现并指出学生可能出现的错误）【设计意图】通过例题，巩固刚才学习的新规律，再通过相关练习的训练，达到巩固和强化平方差公式应用的目的．四、感悟课堂，直抒胸臆师：同学们，通过今天的学习，你掌握了哪些知识，谁来总结一下？生17：我们通过多种方法学习了平方差公式；生18：我印象最深的是通过找相同项和相反项来应用平方差公式；生19：我感觉平方差公式简化了多乘多的运算，是人类智慧的体现；生20：我觉得这节课过得轻松愉快；生21：我认为还有很多的困难在等待着我们去克服；【设计意图】及时完美的总结是一节课精华的体现，让学生从他们的视角去总结一节课的所得所感，更能发现学生对知识接受和理解的程度．好的老师，要善于倾听，适时点拨，让学生在轻松愉快中实现对知识的梦想．五、实战演练，各尽其能【我当老师】1.下列各式的计算是否正确？如不正确，应怎样改正？1) (x+4)(x-4)=x2-4; （）2) (a+2b)(a-2b)=a2-4b; （）3) (-2y+3)(2y+3)=4y2–9. （）（通过纠错，发现问题，避免自己在做题中出现类似的错误）【小试牛刀】2.计算下列习题，看谁做的又快又准确，并注意观察习题的结构特点．（1）(x+2y)(x-2y) （2）(2a-b)(b+2a)（3）(4a+3b)(4a-3b) （4）(-3m+2n)(3m+2n)（5）（a+b）（-b+a）（6）（-a-b）（a-b）（应用公式，巩固本节课的劳动成果，老师通过巡视找出同学们的易错点）【思维拓展】运用平方差公式计算：（平方差公式的灵活应用）（1）（a+2b+2c）（a+2b-2c）（2）（a-b）（a+b）（a2+b2）（有点难度哦，小组之间讨论讨论吧，集体的智慧是无穷的）【实际应用】同学们，下面我们回过头来解决上课前我们提出的建设草坪的问题：问题回顾：一块边长为10米的正方形的Array草坪．把这块草坪的一边减少3米，相邻的另一边增加3米，整改前后的草坪的面积变化了吗?分析：原方案（正方形草坪）：10×10=100(m2)整改后（长方形草坪）：（10+3）×（10-3）=102 -32=91(m2)改成长方形后，草坪的面积变小了，当然节约购买草皮的成本了．（利用所学知识解决生活中的实际问题，让同学体会生活中处处有数学）【设计意图】由浅入深，由简到繁，逐步深入，各个击破，通过不同层次的习题设置，让更多的同学学到更深入的知识，提升他们的信心和勇气．六、分层作业，各显所长必做题：习题1.9 第1题．选做题：习题1.9 第2题．【设计意图】必做题是本节课的基础题，要求全体学生掌握的；选做题为综合性题，题量很小，但要求的能力较强，喜欢的同学可以选做，上交后让老师对其解题思路提出合理化建议，分层作业的主要目的是因材施教，让不同层次的学生实现他们同样的梦想．板书设计：1.5 平方差公式（1）1.复习回顾：2.规律总结：3.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2例1：4.数形结合，理解公式例2：5.找相同项相反项理解公式拓展训练：达标检测：教学反思：这节课我尝试用三种方法逐层深入的给同学们讲解和应用平方差公式，第一种是让孩子们直接感受公式，直接应用公式进行计算，初步了解平方差公式的用法；接着通过例题增加一点习题的难度，进而引导学生找出两个相乘的二项式中的“a”和“b”，更深一步的理解平方差公式的应用；最关键的是第三步，通过老师进一步的引导，让学生观察到“a”和“b”的特点，即“a”是两项式中的相同项，“b”是两项式中的相反项，进而得出平方差公式是用相同项的平方减去相反项的平方，最终让学生彻底的理解和掌握了平方差公式．总体来讲，当学生们在老师的带领下，一步一步笑到最后的时候，我本人感到非常的欣慰，因为这节课没有让学生感到枯燥和乏味，反而是在欢声笑语中度过的，从而我也感到了备好一节课对学生包括对我自己的重要性．市优案的评选，让我获益多多，通过做市优案和应用市优案，我收获了很多教学的方法和技巧，它完善了我们的教学，体现了教学相长和老师们的经验共享，它对我们的教学有着积极和长远的影响．。
2024北师大版数学七年级下册1.5.1《平方差公式》教案1
2024北师大版数学七年级下册1.5.1《平方差公式》教案1一. 教材分析《平方差公式》是北师大版数学七年级下册第1章第5节的内容，本节课主要让学生掌握平方差公式的推导过程和应用。
平方差公式是初中学历阶段非常重要的一个公式，它不仅在数学计算中有着广泛的应用，而且为学生以后学习更高深的数学知识打下基础。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的代数基础，对因式分解、有理数运算等概念有一定的了解。
但学生在学习新知识时，往往还依赖于死记硬背，对于公式的推导和证明过程缺乏理解。
因此，在教学过程中，需要引导学生主动探索，理解平方差公式的推导过程，提高学生的逻辑思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握平方差公式的推导过程，理解并熟练运用平方差公式进行计算。
2.过程与方法目标：通过合作交流、探究学习，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 教学重难点1.教学重点：平方差公式的推导过程和运用。
2.教学难点：平方差公式的灵活运用，以及理解公式背后的数学思想。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法、探究学习法等，引导学生主动探索，提高学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔。
2.学具准备：笔记本、笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示生活中的一些实际问题，引导学生思考如何用数学知识解决这些问题。
例如，一块正方形的土地，如果每边减少3米，新的土地面积是多少？让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）引导学生列出正方形土地面积的计算公式，然后展示平方差公式的推导过程。
通过示例，让学生理解平方差公式的含义，并学会如何运用。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些关于平方差公式的练习题，巩固所学知识。
教师及时给予解答和指导，帮助学生掌握平方差公式的运用。
初中数学北师大版七年级下册《1.5.1平方差公式的认识》教学设计
北师大版数学七年级下册平方差公式的认识教学设计观察算式结构，你发现了什么规律？ 计算结果后，你又发现了什么规律？ 师：总结上述各式的左边是二项式乘以二项式,即是两个数的和与它们的差的乘积，结果等于这两数的平方差。
.再举两例验证你的发现.( a + b) ( a − b)=a 2-ab+ab-b 2=a 2−b 2 师：通过上面的式子你发现了什么？两数的和与这两数差的积,等于它们的平方差。
即(a+b)(a-b)=a 2−b 2.师：观察(a+b)(a-b)=a 2−b 2，平方差公式的结构特征是什么？师：很好。
但又不完全准确。
教师出示正确答案。
师：利用平方差公式计算：(1) (5+6x)(5－6x)；(2) (x －2y)(x+2y)； (3) (－m+n)(－m －n) . 教师出示正确答案。
(1) (5+6x)(5－6x)= 52－(6x)2=25－36x 2；(2) (x －2y)(x+2y)= x 2－(2y)2= x 2－4y 2 ；(3) (－m+n)(－m －n) = (－m)2－n 2 = m 2－n 2 .师：再算一算另外两个题目。
()11(-x -y)(-x +y) ab+8a b － (448) . 教师出示正确答案。
(2)(ab+8)(ab－8)=(ab)2－64=a2b2－64.【思考】(a+b)(a-b)=a2-b2中的a或b能是多项式吗？师：是的，公式中的a、b具有广泛的含义，可以表示一个数、一个字母、一个单项式，还可以表示一个多项式。
【计算】口答下列各题：(1) (－a+b)(a+b)=_________.(2) (a－b)(b+a)= __________.(3) (－a－b)(－a+b)= ________.(4) (a－b)(－a－b)= _________.【思考】你是怎样做的？运用平方差公式进行计算的“三步法”（1）将算式变形为两数和与两数差的积的形式（2）套用公式，将结果写成两数平方差的形式（3）根据积的乘方计算.套用平方差公式时，结果为(完全相同项)2-(互为相反数的项)2。
七年级数学下册 1.5.1 平方差公式教案 (新版)北师大版
整式的乘除1.5平方差公式1.5.1平方差公式（1） 【教学目标】 知识与技能会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算 过程与方法利用整式的乘法探索平方差公式，体会平方差公式的内涵。
情感、态度与价值观培养良好的计算能力，归纳概括能力，感受数学的美。
【教学重难点】重点：掌握平方差公式的特点，能熟练运用公式难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式 【导学过程】 【知识回顾】多项式乘多项式法则两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？请你举例说明。
【新知探究】 探究一、1、计算下列各题： （1）(x+2)(x －2) （2）(1+3a)(1－3a) （3）(x+5y)(x －5y) （4）(2y+z)(2y －z)以上习题都是求两数和与两数差的积，大家发现什么规律？ ①上面四个算式中每个因式都是 项.②它们都是两个数的 与 的 .(填“和”“差”“积”) 根据大家作出的结果，你能猜想（a+b ）（a －b ）的结果是多少吗？ 为了验证大家猜想的结果，我们再计算： （ a+b ）（a －b ）= = . 得出：()()=-+b a b a 。
其中a 、b 表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式，这个公式叫做整式乘法的 公式，用语言叙述为 。
2、计算：（1）(23)(32)x x -++ （2）(32)(23)b a a b +- （3）1111()()2323x y x y -+探究二、利用平方差公式计算： （1）(41)(41)a a ---+（2）(－mn+3)(－mn －3)注意：（1）公式的字母a b 、可以表示数，也可以表示单项式、多项式； （2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式 计算1、 (5m －n)(－5m －n)2、 (a+b)(a －b)(a2+b2)【知识梳理】 你有什么收获？ 【随堂练习】 1、判断（1）()()22422b a a b b a -=-+ （ ） （2）1211211212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+x x x （ ）（3）()()22933y x y x y x -=+-- （ ） （4）()()22422y x y x y x -=+---（ ） （5）()()6322-=-+a a a （ ） （6）()()933-=-+xy y x （ ）2、用平方差公式计算：（1）(3x+2)(3x-2) （ 2）（b+2a ）（2a-b ） （3）（-x+2y ）（-x-2y ） （4）（-m+n ）(m+n ）（5) (-0.3x +y )(y +0.3x ) （6) (-21a -b )(21a -b )。
北师大版七年级下册数学教案设计：1.5.1 《平方差公式》
生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣。
同时，让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会成功的喜悦。
四、教学策略选择与信息技术融合的设计1.多媒体辅助；合作探究；自主学习；师生互动。
2. 特例──归纳──猜想──验证──用数学符号表示——练习反馈——评析校正五、教学过程教师活动预设学生活动设计意图（一）创设情境，引出课题问题１：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）（x+2）（x-2）= ；（2）（1+3a）（1-3a）= ；（3）（x+5y）（x-5y）= ；（4）（2y+z）（2y-z）= 。
4名学生板演计算，其他学生独立计算，然后学习小组讨论4个算式与计算结果间存在的关联。
【设计意图】通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习平方差公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式----平方差公式。
（二）探索新知，尝试发现问题２：依照以上三道题的计算回答下列问题：①式子的左边具有什么共同特征？②它们的结果有什么特征？③能不能用字母表示你的发现？学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：。
（a+b）(a-b)=a2-b2【设计意图】根据“最近发展区”理论，在学生已掌握的多项乘法法则的基础上,探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式，这样更加自然、合理。
（三）数形结合，几何说理问题3：活动探究：将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系。
学生拿出已准备好的长方形纸条动手操作，经历、体验，推论，计算、验证。
【设计意图】通过学生小组合作，完成剪拼游戏活动,利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数形结合的思想，让学生体会到代数与几何的内在联系．引导学生学会从多角度、多方面来思考问题．对于任意的a、b，由学生运用多项式乘法计算：，验证了其公式的正确性。
北师大版数学七年级下册1.5《平方差公式》教学设计
北师大版数学七年级下册1.5《平方差公式》教学设计一. 教材分析北师大版数学七年级下册1.5《平方差公式》是学生在学习了有理数的乘法、完全平方公式的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是平方差公式的探究和应用。
平方差公式是代数学习中一个重要的公式，它不仅在解决数学问题中有着广泛的应用，而且也为学生今后学习多项式乘法、因式分解等知识奠定了基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式的知识，具备了一定的代数基础。
但学生对于公式的探究和推导过程可能还不够熟悉，因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、猜想、验证等方法，积极主动地参与到平方差公式的探究过程中来。
三. 教学目标1.让学生掌握平方差公式及其应用。
2.培养学生观察、猜想、验证的数学思维能力。
3.培养学生合作学习、积极探究的学习态度。
四. 教学重难点1.重难点：平方差公式的探究和应用。
2.难点：平方差公式的推导过程和灵活运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法、讲解法等教学方法，引导学生积极主动地参与到学习过程中来。
六. 教学准备1.教师准备：平方差公式的相关知识、教学课件、练习题等。
2.学生准备：预习平方差公式的相关知识，准备进行课堂讨论和练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾有理数的乘法、完全平方公式的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过课件展示平方差公式，引导学生观察、猜想公式的规律，并学生进行验证。
3.操练（10分钟）教师给出一些具体的例子，让学生运用平方差公式进行计算，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，总结平方差公式的应用，并解决一些实际问题。
5.拓展（10分钟）教师引导学生运用平方差公式进行一些拓展练习，提高学生的应用能力。
6.小结（5分钟）教师学生进行课堂小结，回顾本节课所学内容，总结学习方法。
7.家庭作业（5分钟）教师布置一些有关平方差公式的练习题，让学生课后进行巩固。
七年级数下册第一章第5节平方差公式教案2新北师大
平方差公式(一)●教学目标(一)教学知识点1.经历探讨平方差公式的进程.2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.(二)能力训练要求1.在探讨平方差公式的进程中，进展学生的符号感和推理能力.2.培育学生观看、归纳、归纳等能力.(三)情感与价值观要求在计算的进程中发觉规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美.●教学重点平方差公式的推导和应用.●教学难点用平方差公式的结构特点判定题目可否利用公式.●教学方式探讨与讲练相结合.使学生在计算的进程中发觉规律，并运用自己的语言进行表达，用符号证明那个规律，并探讨出平方差公式的结构特点，在教师的讲解和学生的练习中学会应用.●教具预备投影片四张第一张：做一做，记作(§1.5.1 A)第二张：例1，记作(§1.5.1 B)第三张：例2，记作(§1.5.1 C)第四张：练一练，记作(§1.5.1 D)●教学进程Ⅰ.创设情景，引入新课［师］你能用简便方式计算以下各题吗？(1)2001×1999；(2)992－1［生］能够.在(1)中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1=20002－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800.［师］专门好！咱们利用多项式与多项式相乘的法那么，将(1)(2)中的2001，1999，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.咱们不妨观看第(1)题，2001和1999，一个比2000大1，于是可写成2000与1的和，一个比2000小1，于是可写成2000与1的差，因此2001×1999确实是2000与1这两个数的和与差的积，即(2000+1)(2000－1)；再观看利用多项式与多项式相乘的法那么算出来的结果为：20002－12，恰为这两个数2000与1的平方差.即(2000+1)(2000－1)=20002－12.那么其他知足那个特点的运算是不是也有类似的结果呢？咱们不妨看下面的做一做.Ⅱ.使学生在计算的进程中，通过观看、归纳发觉规律，并用自己的语言和符号表示其规律［师］出示投影片(§1.5.1 A)做一做：计算以下各题：(1)(x+2)(x－2);(2)(1+3a)(1－3a);(3)(x+5y)(x－5y);(4)(y+3z)(y－3z).观看以上算式，你发觉什么规律？运算出结果，你又发觉什么规律？再举两例验证你的发觉？［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法.［生］上面四个算式每一个因式都是两项.［生］除上面两个同窗说的之外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的积.例如：算式(1)是“x”与“2”这两个数的和与差的积；算式(2)是“1”与“3a”这两个数的和与差的积；算式(3)是“x”与“5y”的和与差的积；算式(4)是“y”与“3z”这两个数的和与差的积.［师］咱们观看出了算式的结构特点.像如此的多项式与多项式相乘，它们的结果如何呢？只要你肯动笔、动脑，相信你必然会探访到答案.［生］解：(1)(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4；(2)(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2；(3)(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2；(4)(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2(如有必要的话能够让学生利用乘法分派律将多项式与多项式相乘转化成单项式与多项式相乘，进一步体会乘法分派律的重要作用和转化的思想)［生］从适才这位同窗的运算，我发觉：即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差.这和咱们前面的一个简便运算得出一样的结果.即［师］你还能举两个例子验证你的发觉吗？［生］能够.例如：(1)101×99=(100+1)(100－1)=1002－100+100－12=1002－12=10000－1=9999；(2)(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y2=(－x)2－y2=x2－y2.即上面两个例子，一样能够验证：两个数的和与差的积，等于它们的平方差. ［师］什么缘故会有如此的特点呢？［生］因为利用多项式与多项式相乘的运算法那么展开后，中间两项是同类项且系数互为相反数，因此相加后为零.只剩下那个数的平方差.［师］专门好！你能用一样形式表示上述规律，并对规律进行证明吗？ ［生］能够.上述规律用符号表示为： (a+b)(a －b)=a 2－b 2①其中a,b 能够表示任意的数，也能够表示代表数的单项式、多项式. 利用多项式与多项式相乘的运算法那么能够对规律进行证明，即 (a+b)(a －b)=a 2－ab+ab －b 2=a 2－b2［师］同窗们确实不简单用符号表示和证明咱们发觉的规律简捷明快.你能给咱们发觉的规律(a+b)(a －b)=a 2－b 2起一个名字吗？能形象直观地反映出此规律的.［生］咱们能够把(a+b)(a －b)=a 2－b 2叫做平方差公式. ［师］大伙儿同意吗？ ［生］同意.［师］好了！这节课咱们要紧确实是学习讨论那个公式的.你能用语言描述那个公式吗？ ［生］能够.那个公式表示两数和与差的积，等于它们的平方差.［师］平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式.用它直接运算会很简单，但要注意必需符合公式的结构特点才能利用它进行运算.Ⅲ.体会平方差公式的应用，感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方便，进一步熟悉平方差公式.出示投影片(§1.5.1 B)［例1］(1)以下多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ) A.(x+1)(1+x)B.(21a+b)(b －21a)C.(－a+b)(a －b)D.(x 2－y)(x+y 2)E.(－a －b)(a －b)F.(c 2－d 2)(d 2+c 2)(2)利用平方差公式计算： (5+6x)(5－6x);(x －2y)(x+2y); (－m+n)(－m －n).［生］(1)中只有B 、E 、F 能用平方差公式.因为B.(21a+b)(b －21a)利用加法互换律可得(21a+b)(b －21a)=(b+21a)(b －21a),表示b 与21a 这两个数的和与差的积，符合平方差公式的特点；E.(－a －b)(a －b),一样可利用加法互换律得(－a －b)(a －b)=(－b －a)(－b+a),表示－b 与a 这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点；F.(c 2－d 2)(d 2+c 2)利用加法和乘法互换律得(c 2－d 2)(d 2+c 2)=(c 2+d 2)(c 2－d 2)，表示c 2与d 2这两个数和与差的积，一样符合平方差公式的特点.［师］什么缘故A 、C 、D 不能用平方差公式呢？ ［生］A 、C 、D 表示的不是两个数的和与差的积的形式.［师］下面咱们就来做第(2)题，第一分析它们别离是哪两个数和与差的积的形式. ［生］(5+6x)(5－6x)是5与6x 这两个数的和与差的形式；(x －2y)(x+2y)是x 与2y 这两个数的和与差的形式；(－m+n)(－m －n)是－m 与n 这两个数的和与差的形式.［师］专门好！下面咱们就来用平方差公式计算上面各式. ［生］(5+6x)(5－6x)=52－(6x)2=25－36x 2; (x －2y)(x+2y)=x 2－(2y)2=x 2－4y 2; (－m+n)(－m －n)=(－m)2－n 2=m 2－n 2.［师］这位同窗的思路超级清楚.下面咱们再来看一个例题. 出示投影片(记作§1.5.1 C) ［例2］利用平方差公式计算： (1)(－41x －y)(－41x+y); (2)(ab+8)(ab －8); (3)(m+n)(m －n)+3n 2.［师］同窗们可先交流、讨论，然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再派一名同窗讲评.［生］解：(1)(－41x －y)(－41x+y)——(－41x)与y 的和与差的积=(－41x)2－y 2——利用平方差公式得(－41x)与y 的平方差 =161x 2－y 2——运算至最后结果 (2)(ab+8)(ab －8)——ab 与8的和与差的积 =(ab)2－82——利用平方差公式得ab 与8的平方差 =a 2b 2－64——运算至最后结果(3)(m+n)(m －n)+3n 2——据运算顺序先计算m 与n 的和与差的积 =(m 2－n 2)+3n 2——利用平方差公式 =m 2－n 2+3n 2——去括号=m 2+2n 2——归并同类项至最简结果［生］适才这位同窗的运算有条有理，有根有据，我感觉利用平方差公式计算必需注意以下几点：(1)公式中的字母a 、b 能够表示数，也能够是表示数的单项式、多项式即整式. (2)要符合公式的结构特点才能运用平方差公式.(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的互换律、结合律适当变形实质上能应用公式.［生］还需注意最后的结果必需最简.［师］同窗们总结的专门好！下面咱们再来练习一组题. 投影片(§1.5.1 D) 1.计算： (1)(a+2)(a －2); (2)(3a+2b)(3a －2b); (3)(－x+1)(－x －1); (4)(－4k+3)(－4k －3).2.把以下图左框里的整式别离乘(a+b),所得的积写在右框相应的位置上.解：1.(1)(a+2)(a －2)=a 2－22=a 2－4;(2)(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2;(3)(－x+1)(－x－1)=(－x)2－12=x2－1;(4)(－4k+3)(－4k－3)=(－4k)2－32=16k2－9.2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;(a－b)(a+b)=a2－b2;(－a+b)(a+b)=(b+a)(b－a)=b2－a2;(－a－b)(a+b)=－a(a+b)－b(a+b)=－a2－ab－ab－b2=－a2－2ab－b2(教师在让学生做练习，可巡视练习的情形，对确实有困难的学生要给以指导)Ⅳ.课时小结［师］同窗们有何体会和收成呢？［生］今天咱们学习了多项式乘法运算中的一个重要公式——平方差公式即(a+b)(a－b)=a2－b2.［生］应用那个公式要明白公式的特点：(1)左侧为两个数的和与差的积；(2)右边为两个数的平方差.［生］公式中的a、b能够是数，也能够是代表数的整式.［生］有些式子表面上不能用公式，但通过适当变形实质上能用公式.［师］同窗们总结的专门好！还记得刚上课的一个问题吗？计算992－1，此刻想一想，能使它运算更简便吗？［生］能够.992－1能够看成99与1的平方差，从右往左用平方差公式可得：992－1=992－12=(99+1)(99－1)=100×98=9800.［师］咱们发觉平方差公式的应用是很灵活的，只要你准确地把握它的结构特点，必然能使你的运算简捷明了.Ⅴ.课后作业讲义习题，第1题.Ⅵ.活动与探讨有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人世均赛一场)，用x1,y1按序表示第1号选手胜与负的场数，用x2,y2按序表示第2号选手胜与负的场数，……用x10,y10按序表示第10号选手胜与负的场数.那么10名选手胜的场数的平方和与他们负的场数的平方和相等，即x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102,什么缘故？通过：由于是单循环赛，每名运动员恰好参加9局竞赛，即x i+y i=9(其中i=一、二、3、…10)，在竞赛中一人胜了，另一人自然败了，那么x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10,这两个隐含条件是解题的关键，从作差比较入手.［结果］由题意知x i+y i=9(i=一、二、3、…10)且x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10(x12+x22+…+x102)－(y12+y22+…+y102)=(x12－y12)+(x22－y22)+…+(x102－y102)=(x1+y1)(x1－y1)+(x2+y2)(x2－y2)+…+(x10+y10)(x10－y10)=9［(x1－y1)+(x2－y2)+(x3－y3)+…+(x10－y10)］=9［(x1+x2+…+x10)－(y1+y2+…+y10)］=0因此，x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102.●板书设计§1.5.1 平方差公式(一)解：(1)(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4;(2)(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2;(3)(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2;(4)(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2.(a+b)(a－b)=a2－b2两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2.例1.(抓住平方差公式的特点，准确地利用平方差公式计算)例2.(对公式中a、b含义的明白得，既能够是具体的数也能够是整数)随堂练习(熟悉平方差公式).●备课资料参考例题［例1］用简便方式计算： (1)79×81 (2)99×101×10001解：(1)原式=(80－1)(80+1)=802－1=6399; (2)原式=(100－1)(100+1)(10000+1) =(1002－12)(10000+1) =(10000－1)(10000+1) =100002－12=0－1=. ［例2］计算： (1)(b －2)(b 2+4)(b+2)(2)［2a 2－(a+b)(a －b)］［(c －a)(a+c)+(－c+b)(c+b)］分析：(1)题可利用乘法互换律和结合律，先求(b －2)与(b+2)的积，所得结果再与(b 2+4)相乘，可两次运用平方差公式；(2)题依照混合运算的运算顺序，先算括号里的其中(a+b)(a －b),(c －a)(a+c),(－c+b)(c+b)都可直接运用平方差公式计算.解：(1)(b －2)(b 2+4)(b+2) =［(b －2)(b+2)］(b 2+4) =(b 2－4)(b 2+4) =(b 2)2－42=b 4－16(2)［2a 2－(a+b)(a －b)］［(c －a)(a+c)+(－c+b)(c+b)］ =［2a 2－(a 2－b 2)］［(c+a)(c －a)+(b －c)(b+c)］ =［2a 2－a 2+b 2］［c 2－a 2+b 2－c 2］ =(a 2+b 2)(b 2－a 2) =(b 2)2－(a 2)2=b 4－a 4 ［例3］计算： (1)(4x +32y)(－4x +32y) (2)(a+b －c)(a －b+c)(3)(x+3y)2(x －3y)2(x 2+9y 2)2分析：(1)题中，可把相同的项放在对应的位置上，再把互为相反数的项放在对应的位置上，使之知足(a+b)(a －b),然后用平方差公式；(3)题先逆用积的乘方公式，然后用平方差公式.解：(1)(4x +32y)(－4x +32y) =(32y+4x )(32y －4x ) =(32y)2－(4x )2 =94y 2－161x 2(2)(a+b －c)(a －b+c) =［a+(b －c)］［a －(b －c)］ =a 2－(b －c)2=a 2－(b 2－2bc+c 2) =a 2－b 2+2bc －c 2(3)(x+3y)2(x －3y)2(x 2+9y 2)2=［(x+3y)(x －3y)(x 2+9y 2)］2=［(x 2－9y 2)(x 2+9y 2)］2 =［x 4－81y 4］2=x 8－162x 4y 4+6561y 8.。