【典型题】高三数学上期末试卷(附答案)(1)
广东省韶关市2023届高三上学期综合测试(一)数学试题含答案
韶关市2023届高三综合测试（一）数学注意事项：1.考生务必将自己的姓名、准考证号、学校和班级用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}2,1A =-，{}2320B x x x =-+=∣，则()UA B =（ ） A.{}0,2B.{}1,0-C.{}1,2D.{}1,02．若11z i =+，21(2)z z i =+，1z 是1z 的共轭复数，则2z =（ ）B.2D103．下列区间中，函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是（ ） A.0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭4．函数433()1x xf x x --=+的部分图象大致为（ ）A. B. C. D.5．已知(3,4)a =，(1,0)b =，c a tb =+，若b c ⊥，则向量c 在向量a 上的投影向量为（ ） A.1625a -B.1625a C.45a -D.45a 6．某污水处理厂采用技术手段清除水中的污染物，同时生产出有用的肥料和清洁用水．已知在处理过程中，每小时可以清理池中残留污染物10％，若要使池中污染物不超过原来的12，至少需要的时间为（结果保留整数，参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈）（ ） A ．6小时B ．7小时C ．8小时D ．9小时7．已知点O 为坐标原点，点F 是双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ，线段PF 交双曲线C 于点Q .若Q 为PF 的中点，则双曲线的离心率为（ ）C.2D.38．已知函数()2lne xf x x e ex-=-+，若2202120222023202320232023e e e e f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1011()a b =-+，其中0b >，则1||2||a a b+的最小值为（ ）A.34C.54D.2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某电视传媒机构为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查，其中女性占40％．根据调查结果分别绘制出男、女观众两周时间收看该类体育节目时长的频率分布直方图，则A.0.08m =B ．女观众收看节目时长的中位数为6.5小时 C.女观众收看节目的平均时长小于男观众的平均时长D ．收看节目不少于9小时观众中的女观众人数是男观众人数的1310．已知正方体1111ABCD A B C D -，设E 是棱BC 的中点，则 A ．1BD ∥平面1C DE B.1BC AC ⊥C ．平面11A BC 与平面ABCD D ．三棱锥1D ACD -与三棱锥1B ACD -体积相等11．设A 是抛物线2:4C x y =上一点，F 是C 的焦点，A 在C 的准线l 上的射影为M ，M 关于点A 的对称点为N ，曲线C 在A 处的切线与准线l 交于点P ，直线NF 交直线l 于点Q ，则A ．F 到l 距离等于4 B.FM FN ⊥C ．FPQ △是等腰三角形D ．||MQ 的最小值为412．以下四个不等关系，正确的是 A.ln1.5ln 41⋅<B.ln1.10.1>C.19202019<D.22ln 24ln 4e >- 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的中间一项的系数为________（具体数字作答）.14．已知(0,)απ∈，且1cos 22sin 2αα-=-，则cos()πα-=________.15．我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念．数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是()11,A x y 与()22,B x y 两点间的直线距离，即AB d =切比雪夫距离是()11,A x y 与()22,B x y 两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即{}1212max ,AB d x x y y '=--.已知P 是直线:2150l x y +-=上的动点，当P 与o （o 为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为________.16．已知三棱锥P ABC -中，PBC △为等边三角形，AC AB ⊥，PA BC ⊥，PA =BC =________；若M 、N 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段MN 的长度的最大值为________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题10分）在ABC △中，D 为AC 的中点，且sin 2sin BDC BAC ∠=∠.（1）证明：2BA BD =；（2）若22AC BC ==，求ABC △的面积． 18．（本小题12分） 已知数列{}n a 的首项145a =，且满足143n n n a a a +=+，设11n n b a =-. （1）求证：数列{}n b 为等比数列； （2）若1231111140na a a a ++++>，求满足条件的最小正整数n . 19．（本小题12分）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：（1）从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；（2）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记X 为选出“基地学校”的个数，求X 的分布列和数学期望； （3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为23，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？ 20．（本小题12分）已知矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，E 是CD 的中点，如图所示，沿BE 将BCE △翻折至BFE △，使得平面BFE ⊥平面ABCD ．（1）证明：BF AE ⊥；（2）若(01)DP DB λλ=<<是否存在λ，使得PF 与平面DEF 若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.21．（本小题12分）已知椭圆22:142x y C +=的左、右顶点分别为A ，B ，点D （不在x 轴上）为直线6x =上一点，直线AD 交曲线C 于另一点P . （1）证明：PB BC ⊥；（2）设直线BD 交曲线C 于另一点Q ，若圆O （O 是坐标原点）与直线PQ 相切，求该圆半径的最大值. 22．（本小题12分）已知函数2()1f x x =-，()ln(1)g x m x =-，m R ∈.（1）若直线:20l x y -=与()y g x =在(0,(0))g 处的切线垂直，求m 的值；（2）若函数()()()h x g x f x =-存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()()1122x h x x h x >．2023届高三综合测试（一） 数学参考答案及评分标准1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、单项选择题（每小题5分）1.【解析】由题意，23201,2B x x x =-+==，所以2,1,2AB =-，所以(){} 1,0UA B =-，故选B.2.【解析】21(2)(1)(2)3z z i i i i =+=-+=-，所以，2z ==，故选C.3.【解析】函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意，322()262k x k k Z πππππ+<+<+∈，解得422()33k x k k Z ππππ+<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递减区间为4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故选B. 4.【解析】()f x 是奇函数且(1)0f <，所以选D.5.【解析】因为b c ⊥，所以3t =-，()0,4c =，所以向量c 在向量a 上的投影向量为1625a c a a a a ⋅⋅=，所以选B. 6.【解析】设原来池中污染物的质量为m ，依题意，经过n 小时污染物的质量0.9nm ⋅，所以，10.92nm m ⋅≤，lg 2lg 27.51lg912lg3n ≥=≈--，故选C. 7.【解析】∵以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ，∴OP PF ⊥，∵直线OP 的方程为b y x a =，(),0F c ，∴直线PF 的方程为()ay x c b=--，由()b y x a a y xc b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2P a x c =，P ab y c =，∵12PQ PF =，∴Q 是PF 的中点，故222Q a c x c +=，2Q ab y c =，代入双曲线方程，得222222221a c ab c c a b ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，整理，得()2222222144aca a c c+-=，222c a =，e =故选A. 法2：∵以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ，∴OP PF ⊥，∴PF b =，从而1122PQ PF b ==，设双曲线左焦点为1F ，连结1QF ，则由定义知11222QF a QF a b =+=+，在Rt FPO △中，cos PF bPFO OF c∠==， 在1FQF △中，由余弦定理得：2221112cos QF QF QF QF QF QFO =+-⋅⋅∠，即2221112(2)22222b a b b c b c c ⎛⎫⎛⎫+=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得a b =，所以e =8.【解析】因为()()()2ln 2()ln 2()e x e e xf x f e x x e e x e ex e e x ---+-=-++--+=-- 由上面结论可得22021202220222023202320232023e e e e f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2a b +=，其中0b >，则2a b =-. 当0a >时，1||121212()1525111222222224a b a b b a a b a b a b a b a b -+⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+⋅-=++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当，23a =，43b =时等号成立； 当0a <时，1||112152()11222222ab a a b a b a b a b --⎛⎫⎛⎫+==+⋅++=-+++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1531224⎛≥-++= ⎝，当且仅当2a =-，4b =时等号成立；因为3544<，所以12a a b+的最小值为34.故选：A.二、多项选择题（全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）.误；对于B ，由频率分布直方图可知，女观众收看时间的352 6.54+⨯=，故B 正确； 对于C，男性观众收看节目的平均时长为40.160.150.480.210120.158.3⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=小时，女性观众收看节目的平均时长为40.260.40.380.110 6.6⨯+⨯+⨯+⨯=小时，故C 正确； 对于D ，由频率直方图可知，男性观众收看到达9小时人数为20060%(0.20.15)42⨯⨯+=人，女性观众收看达到9小时人数为20040%0.18⨯⨯=人，故D 错误.故选：BC. 10.【解析】对于A ，设1CD 交1C D 于F ，可得1EF BD ∥，从而得到1BD ∥平面1C DE ；所以A 正确；对于B ，可以求得1BC ，AC 所成角为3π，所以B 不正确. 对于C ，转化为求平面11A BC 与平面1111A B C D C 不正确； 对于D ，设正方体棱长为1，1116D ACD B ACD V V --==，D 正确.所以选AD. 11.【解析】对于A ，焦点到准线距离2p =，A 不正确.对于B ，因为C ：24x y =的准线为l ：1y =-，焦点为()0,1F ，设()00,A x y ，则()0,1M x -，()00,21N x y +，所以()()200000,2,240FM FN x x y y x ⋅=-⋅=-+=，所以90MFN ∠=︒，（或由抛物线定义知AM AN AF ==，所以90MFN ∠=︒，）故选项B 正确；对于C ，因为A 处的切线斜率，02AP x k =，而20000012242NF x y x k x x ⋅===，所以AP NF k k =， 从而AP NF ∥，又A 是线段MN 中点，所以，P 是线段MQ 的中点，又90MFN ∠=︒， 所以，PQ PF =，所以C 正确. 对于D ，因为02NFx k =，所以直线FN 的方程为012x y x -=，令1y =-，得04,1Q x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以0000444MQ x x x x -=-=+≥=，当且仅当02x =时，最小值为4，故选项D 正确；综上可知选BCD.12.【解析】对于A ，因为，2222ln1.5ln 4ln 6ln ln1.5ln 41244e+⎛⎫⋅<=<= ⎪⎝⎭，所以，A 正确；对于B ，由切线不等式()ln 11x x x <-≠，得ln1.1 1.110.1<-=，B 不正确 对于C ，由19202019<得19ln 2020ln19<，1920ln19ln 20<，设()ln x f x x=，0x >且1x ≠，()()2ln 10ln x f x x -'==，得x e =，当01x <<和1x e <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当x e >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以1920ln19ln 20<，C 正确. 对于D ，因为24ln 2ln 4=，22242222ln ln ln 422e e e e e e ==⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()()24f f =，且2242e e <<<， 所以()222e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即224ln 4ln 2e <-，D 正确.故选ACD.二、填空题（第13、14、15题每小题5分，第16题第一空2分，第二空3分）.13.【解析】依题意，展开式的中间一项是第4项，334621(2)T C x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其系数为33362(1)160C ⋅⋅-=-.14.【解析】∵21cos 22sin tan sin 22sin cos αααααα-==，∴tan 2α=-， ∵()0,απ∈，sin 5α=，cos 5α=-，∴cos()cos 5παα-=-=. 15.【解析】因为点P 是直线l ：2150x y +-=上的动点，要使OP 最小，则OP l ⊥，此时2l k =-，所以12POk =，由方程组215012x y y x +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得，6x =，3y = 所以，P ，Q 两点之间的比雪夫距离为6.16.【解析】由已知可证明PA ，AB ，AC 两两垂直且长度均为成正方体，如图所示三棱锥的外接球就是正方体的外接球，设外接球的半径为R ，则11322R AG ===. 设三棱锥外接球球心为1O ，内切球球心为2O ，内切球与平面PBC 的切点为K ，易知：1O ，2O ，K 三点均在AG 上，且AK ⊥平面PBC ，设内切球的半径为r ，由等体积法：()1133ACP ABP ABC BCP ABCS S S Sr S AP +++=⋅，得1r =，将几何体沿截面PAEG切开，得到如下截面图：两圆分别为外接球与内切球的大圆，注意到12AK GK =，6AG =，∴4GK =，∴M ，N 两点间距离的最大值为241)2GK r +=+=.四、解答题（第17题10分，第18-22题每题12分）. 17.（本小题满分10分）（1）证明：在ABD △中，由正弦定理得：sin sin BA BDBDA BAD∠∠=即，sin sin BA BDABD BAD∠∠=2分因为()sin sin sin BDA BDC BDC ∠π∠∠=-=，所以，sin sin BA BDCBD BAD∠∠=又由已知sin 2sin BDC BAD ∠∠=所以，2BABD= 2BA BD = 4分设BD x =，则2BA x =，在BCD △中，由余弦定理得：2222cos BD BC CD BC CD BCD ∠=+-⋅即222cos x BCD ∠=-在ABC △中，由余弦定理得：2222cos AB BC AC BC AC BCA ∠=+-⋅即2454cos x BCD ∠=- 7分 解得：3cos 4BCA ∠=，sin BCA ∠∴=所以11sin 1222ABCSBC AC BCA =⋅⋅∠=⨯⨯=. 10分 18.（本小题满分12分）解：（1）11311141111n n n nnn na b a a b a a +++--==-- 2分()()313414n n a a -==- 111114b a =-=数列{}n b 为首项为114b =，公比为34等比数列 5分 （2）由（1）可得12311111111n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13144314n⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-314n⎛⎫=- ⎪⎝⎭8分即1231111314nn n a a a a ⎛⎫++++-=- ⎪⎝⎭∴1231111314nn n a a a a ⎛⎫++++=+- ⎪⎝⎭10分 而314nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭随着n 的增大而增大要使1231111140n a a a a ++++>，即311404nn ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，则140n ≥ ∴n 的最小值为140. 12分 19.（本小题满分12分）解：记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件A ，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件B则()26210C P A C =，()24210C P AB C =所以，()()()25P AB P B A P A ==∣. 4分 （2）X 的所有可能取值为0,1,2,3，参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，所以()034631020101206C C P X C ⋅====，()124631060111202C C P X C ⋅====， ()2146310363212010C C P X C ⋅====，()304631041312030C C P X C ⋅====， 所以X 的分布列如下表：所以()23210305E X =+⨯+⨯= 8分（3）记“小小明同学在一轮测试中要想获得“优秀””为事件C ， 则()2332122033327P C C b ===+=， 由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布20,27B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由题意列式20827n ≥，得545n ≥，因为*n N ∈，所以n 的最小值为11，故至少要进行11轮测试 12分 20.（本小题满分12分） （1）证明：依题意ABCD 矩形，4AB =，2BC =，E 是CD 中点分别在等腰直角三角形ADE 和BCE 求得AE BE ==，又4AB =，所以， 222AE BE AB +=AE BE ⊥ 2分因为，平面BEF ⊥平面ABCD 平面BEF 平面ABCD BE = 所以，AE ⊥平面BEF ，又BF ⊂平面BEF ，所以AE BF ⊥ 5分（2）以C 为原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系.则()0,0,0C ，()4,0,0D ，()0,2,0B ，()2,0,0E ， 设N 是BE 的中点，FE FB =有FN BE ⊥， 又平面BEF ⊥平面ABCD .平面BEF平面ABCD BE =FN ∴⊥平面ABCD ，()1,1,2F 8分假设存在满足题意的λ，则由(01)DP DB λλ=<<. 可得，(43,12PF DB DF λλλ=-+=--. 设平面DEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，则00DE DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即2030x xy -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令y =0x =，1z =-，即()1=-n 10分∴PF 与平面DEF 所成的角的正弦值sin cos ,||||PF PF PF θ⋅===nn n=解得34λ=（1λ=舍去） .综上，存在34λ=，使得PF 与平面ADE12分21.（本小题满分12分） 解（1）设()00,P x y ∴002AP y k x =+，直线AD 的方程为()0022y y x x =++， 令6x =，得0086,2y D x ⎛⎫⎪+⎝⎭，∴0000822622BDy x y k x +==-+， 2分 又∵002BPy k x =-，且2200142x y += ∴20002000221224BD BPy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--， ∴PB BD ⊥， 4分（2）当直线PQ 不垂直x 轴时，设直线PQ 方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y 由方程组2224x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩得()222124240k xkmx m +++-=()()222Δ(4)412240mk k m =-+⋅->，2242k m +>21212224241212km m x x x x k k --+=⋅=++ 6分由（1）可知，1BD BP k k ⋅=-1212122y yx x ⋅=--- ()121212240x x x x y y ⋅-++⋅+= 又()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ⋅=++=⋅+++，代入上式得：()()()2212121240k x x km x x m +⋅+-+++= 8分即：()()()2222222124401212m k km km m k k -+-⋅-++=++得到223840mmk k ++=23m k =-或2m k =-（舍去），10分 所以直线PQ 方程为23y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恒过2,03S ⎛⎫⎪⎝⎭，当PQ 垂直x 轴时，同样成立。
【鲁教版】高中数学必修一期末一模试题及答案(1)
一、选择题1．设()31xf x =-，若关于x 的函数2()()(1)()g x f x t f x t =-++有三个不同的零点，则实数t 的取值范围为（ ） A ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．()0,2C ．()0,1D ．(]0,12．若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()y f x =的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对[]P Q 、是函数()y f x =的一对“友好点对”（点对[]P Q 、与[]Q P 、看作同一对“友好点对”）．已知函数22(0)()2(0)x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，则此函数的“友好点对”有（ ） A ．4对 B ．3对 C ．2对 D ．1对3．用d （A ）表示集合A 中的元素个数，若集合A ={0，1}，B ={x |（x 2-ax ）（x 2-ax +1）=0}，且|d （A ）-d （B ）|=1．设实数a 的所有可能取值构成集合M ，则d （M ）=（ ） A ．3B ．2C ．1D ．44．若lg 2a =，lg3b =，则5log 12等于（ ）A ．21a b a++B ．21a b a+C ．21a b aD ．21a b a-5．若实数a ，b ，c 满足232log log ab c k ===，其中()1,2k ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．b c a b >B ．log log a b b c >C ．log b a c >D ．b a c b >6．已知对数函数()log a f x x =是增函数，则函数(||1)f x +的图象大致是A ．B ．C ．D ．7．对二次函数()2f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）． A ．1-是()0f x =的一个解 B ．直线1x =是()f x 的对称轴 C ．3是()f x 的最大值或最小值 D ．点()2,8在()f x 的图象上8．方程2x y =所表示的曲线大致形状为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数log ,0(),0a x x x f x a x >⎧=⎨≤⎩（0a >，且1a ≠），则((1))f f -=（ ）A ．1B ．0C ．-1D ．a10．集合{}2|6,y y x x ∈=-+∈N N 的真子集的个数是（ ） A ．9B ．8C ．7D ．6111．已知集合2{|120}A x x x =--≤, {|211}B x m x m =-<<+.且A B B =，则实数m 的取值范围为 ( ) A ．[-1，2)B ．[-1，3]C ．[-2，+∞)D ．[-1，+∞)12．设集合{}21xA y y ==-，{}1B x x =≥，则()R A C B =（ ）A ．(],1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,1-D ．[)1,+∞二、填空题13．某公司租地建仓库，每月土地占用费1y 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费2y 与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用1y 和2y 分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站__________千米处．14．函数2()23f x x x a =---有四个零点，则a 的取值范围为_______.15．已知函数2223,1,()log (6),1x mx x f x x m x ⎧---≤=⎨+>⎩在(,)-∞+∞上是单调函数，则m 的取值范围是__.16．已知函数(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．17．设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，()f x 的图象如图，则不等式()0xf x <的解集是___________.18．当12x x ≠时，有1212()()()22x x f x f x f ++<，则称函数()f x 是“严格下凸函数”，下列函数是严格下凸函数的是__________． ①y x =②||y x =③2y x ④2log y x =19．已知集合A ={x |x ≥2}，B ={x ||x ﹣m |≤1}，若A ∩B =B ，则实数m 的取值范围是______． 20．已知{|14}A x x =-≤≤，{|}B x x a =<，若A B =∅，则a 的取值范围是__________三、解答题21．已知函数2()29f x x ax =-+.(I)当0a ≤时，设()(2)x g x f =，证明：函数()g x 在R 上单调递增； (II)若[1,2]x ∀∈，(2)0x f ≤成立，求实数a 的取值范围； (III)若函数()f x 在(3,9)-有两个零点，求实数a 的取值范围.22．某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x 百台这种仪器，需另投入成本f (x )万元，()f x =2550500,040,100,25003013000,40,100.x x x x N x x x N x ⎧++<<∈⎪⎨+-≥∈⎪⎩假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.（1）求利润g (x )（万元）关于产量x （百台）的函数关系式； （2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润.23．（1）求函数()22log 32y x x =-+的定义域；（2）求函数221y x x =-+-，[]2,2x ∈-的值域；（3）求函数223y x x =--的单调递增区间.24．已知集合{|123}A x m x m =-≤≤+，函数()2()lg 28f x x x =-++的定义域为B ．（1）当2m =时，求A B 、()R A B ⋂；（2）若AB A =，求实数m 的取值范围．25．已知a R ∈，奇函数()f x 与偶函数()g x 的定义域均为(,0)(0,)-∞+∞，且满足()()2af xg x x x-=+-. （1）分别求()f x 和()g x 的解析式： （2）若对任意[1,),()()0x f x g x ∞∈++>恒成立，试求实数a 的取值范围.26．已知全集为R ，函数()()lg 1f x x =-的定义域为集合A ，集合(){}16B x x x =->. （1）求AB ；（2）若{}11C x m x m =-<<+，()()R C AC B ⊆，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由()0g x =得()1f x =或()f x t =，作出函数()f x 的图象，可得()f x t =需有两解，有此可得t 的范围． 【详解】据题意()0g x =有三个解．由()0g x =得()1f x =或()f x t =，易知()1f x =只有一个解， ∴()f x t =必须有两解， 由图象知01t <<． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点个数问题，解题时根据零点的定义化为方程()0g x =的解的个数，进而转化为()f x t =的解的个数，再利用数形结合思想，考虑函数()y f x =的图象与直线y t =的交点个数问题．掌握转化思想是解题关键．2．C解析：C 【分析】由题意，设点(,)P x y ，则Q 的坐标为(,)x y --，结合22(0)()2(0)x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，转化为此函数的“友好点对”的个数即方程222x x x --=-在0x >时的解的个数，从而作图解答 【详解】解：由题意，设点(,)P x y ，则Q 的坐标为(,)x y --，因为22(0)()2(0)x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，所以此函数的“友好点对”的个数即方程222x x x --=-在0x >时的解的个数， 作2x y -=-与22y x x =-的图像如图所示，两函数图像有两个交点，所以此函数的“友好点对”有2对 故选：C 【点睛】此题考查学生对新定义的理解能力及作图能力，属于中档题3．A解析：A 【分析】根据题设条件，可判断出d （B ）的值为1或3，然后研究（x 2﹣ax ）（x 2﹣ax +1）＝0的根的情况，分类讨论出a 可能的取值． 【详解】解：由题意，|d （A ）-d （B ）|=1，d （A ）=2，可得d （B ）的值为1或3若d （B ）=1，则x 2-ax=0仅有一根，必为0，此时a=0，则x 2-ax+1=x 2+1=0无根，符合题意 若d （B ）=3，则x 2-ax=0有一根，必为0，此时a=0，则x 2-ax+1=x 2+1=0无根，不合题意 故x 2-ax=0有二根，一根是0，另一根是a ，所以x 2-ax+1=0必仅有一根，所以△=a 2-4=0，解得a=±2此时x 2-ax+1=0为1或-1，符合题意综上实数a 的所有可能取值构成集合M={0，-2，2}，故d （M ）=3． 故选：A ． 【点睛】本题考查方程的根的个数的判断以及集合中元素个数，综合性较强，考查了分类讨论的思想及一元二次方程根的个数的研究方法，难度中等．4．C解析：C 【分析】利用对数的换底公式可将5log 12用a 、b 表示. 【详解】根据对数的换底公式得，5lg12lg3lg 4lg32lg 22log 12lg5lg10lg 21lg 21a ba+++====---， 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关对数的运算，解答本题的关键是熟记换底公式以及对数的运算性质，利用运算性质化简、运算，其中lg5lg10lg 2=-是题目的一个难点和易错点.5．D解析：D 【分析】首先确定a ，b ，c 的取值范围，再根据指对互化得到2k b =，3k c =，再代入选项，比较大小. 【详解】由题意可知a ∈(0，1)，b ∈(2，4)，c ∈(3，9)，且23k k b c ==，，对于A 选项，01b a <<，1c b >可得到b c a b <，故选项A 错误；对于B 选项，log log 2log 20k a a a b k ==<，log log 3log 30k b b b c k ==>，所以log log a b b c <，故B 选项错误；对于C 选项，22log log 3log 31k kb c a ==>>，故C 选项错误；对于D 选项，1a b b b <=，1b c c c >=，而c >b ，所以b a c b >，故D 选项正确. 故选：D . 【点睛】关键点点睛：本题考查指对数比较大小，本题的关键是首先确定,,a b c 的大小，并结合指对数运算化简选项中的对数式，再和中间值0或1比较大小，本题属于中档题型.6．B解析：B 【分析】利用对数函数的图象，以及函数的奇偶性和图象的变换，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，由函数()log a f x x =是增函数知，1a >， 当0x ≥时，函数(1)log (1)a y f x x =+=+，将函数1()log ,()a f x a x >=的图象向左平移1个单位，得到函数log (1)a y x =+的图象， 又由函数(1)y f x =+满足(1)(1)f x f x -+=+，所以函数(1)y f x =+为偶函数， 且图象关于y 轴对称， 故选B. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及函数的图象变换的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质和函数的图象变换是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．A解析：A 【分析】可采取排除法，分别考虑A 、B 、C 、D 中有一个错误，通过解方程求得a ，判断a 是否为非零整数，即可得出结论. 【详解】①若A 错，则B 、C 、D 正确，直线1x =是()f x 的对称轴，则12ba-=， 3是()f x 的最大值或最小值，则2434ac b a-=，点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，可得212434428b a ac baa b c ⎧-=⎪⎪-⎪=⎨⎪++=⎪⎪⎩，解得5108a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，合乎题意； ②若B 错，则A 、C 、D 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=，3是()f x 的最大值或最小值，则2434ac b a-=，点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，可得20434428a b c ac b a a b c -+=⎧⎪-⎪=⎨⎪++=⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意； ③若C 错误，则A 、B 、D 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=， 直线1x =是()f x 的对称轴，则12ba-=， 点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，可得012428a b c b a a b c -+=⎧⎪⎪-=⎨⎪++=⎪⎩，解得831638a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，不合乎题意；④若D 错误，则A 、B 、C 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=， 直线1x =是()f x 的对称轴，则12ba-=， 3是()f x 的最大值或最小值，则2434ac b a-=，可得2012434a b c b a ac b a⎧⎪-+=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得343294a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，不合乎题意. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用二次函数的基本性质求解参数，解本题的关键就是根据已知信息列出关于a 、b 、c 的方程组，解出参数的值，再逐一判断.8．D解析：D 【分析】先利用方程得到图像的对称性，再作0y ≥，0x ≥时的图像，利用对称性即得结果. 【详解】由方程2x =可知图像关于原点中心对称，也关于坐标轴对称.20,44x y =-≤≤，20,22x x =-≥-≤≤.当0y ≥，0x ≥时，方程2x y +=转化成()22y x =-，作图如下：再利用对称性即得图像为 D. 故选：D. 【点睛】本题解题关键是利用绝对值的性质得到图像的对称性，就只需要画0y ≥，0x ≥部分图像，即突破问题.9．C解析：C 【分析】根据分段函数的解析式，代入求值即可. 【详解】因为log ,0(),0a x x x f x a x >⎧=⎨≤⎩，所以11(1)f aa --==， 所以11((1))()log 1a f f f a a--===-，故选：C 【点睛】本题主要考查了利用分段函数的解析式，求函数值，涉及指数函数与对数函数的运算，属于中档题.10．C解析：C 【分析】根据条件求解,x y 的范围，结合,x N y N ∈∈，得到集合为{2,5,6}，利用集合真子集个数的公式即得解. 【详解】由于260y N y x ∈∴=-+≥66x ∴-≤≤，又,x N ∈0,1,2x ∴=6,5,2y ∴=，即集合{}2|6,{2,5,6}y y x x ∈=-+∈=N N故真子集的个数为：3217-= 故选：C 【点睛】本题考查了集合真子集的个数，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.11．D解析：D 【分析】 先求出集合A ,由A B B =,即B A ⊆,再分B φ=和B φ≠两种情况进行求解.【详解】由2120x x --≤,得34x -≤≤. 即[3,4]A =-. 由AB B =,即B A ⊆.当B φ=时，满足条件,则211m m -≥+解得2m ≥.当B φ≠时，要使得B A ⊆，则12121314m m m m +>-⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩.解得：12m -≤<.综上满足条件的m 的范围是：1m ≥-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查集合的包含关系的判断及应用，以及集合关系中的参数范围问题，考查分类讨论思想，属于中档题.12．C解析：C 【解析】 【分析】化简集合A ，B 根据补集和交集的定义即可求出． 【详解】集合A ＝{y |y ＝2x ﹣1}＝（﹣1，+∞），B ＝{x |x ≥1}＝[1，+∞）， 则∁R B ＝（﹣∞，1） 则A ∩（∁R B ）＝（﹣1，1）， 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．二、填空题13．5【解析】设仓库与车站的距离为由题意可设把与分别代入上式得故∴这两项费用之和当且仅当即时等号成立故要使这两项费用之和最小仓库应建在距离车站千米处故答案为5解析：5 【解析】设仓库与车站的距离为x ， 由题意可设11k y x=，22y k x =， 把10x =，12y =与10x =，28y =分别代入上式得120k =，20.8k =， 故120y x=，20.8y x =，∴这两项费用之和12200.88y y y x x =+=+≥=， 当且仅当200.8x x=， 即5x =时等号成立，故要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站5千米处． 故答案为5.14．【分析】函数零点转化为的解即函数与直线的交点的横坐标由数形结合思想可得解【详解】由得作函数的图象和直线如图函数在和上递减在和上递增由图象知当时的图象和直线有四个交点即有4个零点故答案为：【点睛】本题 解析：(0,4)【分析】函数零点转化为223x x a --=的解，即函数2()23g x x x =--与直线y a =的交点的横坐标，由数形结合思想可得解． 【详解】由()0f x =得223x x a --=，作函数2()23g x x x =--的图象和直线y a =，如图，函数()g x 在(,1)-∞-和(1,3)上递减，在(1,3)-和(3,)+∞上递增，(1)4f =，由图象知当04a <<时，2()23g x x x =--的图象和直线y a =有四个交点．即()f x 有4个零点．故答案为：(0,4)．【点睛】本题考查函数的零点个数，解题时把问题转化为函数图象与直线交点个数，通过数形结合思想求解．15．【分析】根据对数部分函数为单调递增所以整个函数为递增函数两段函数各自递增且左段的右端点小于等于右段的左端点即可求得的取值范围【详解】函数在上是单调函数因为当时为增函数所以整个函数在上是单调递增函数因 解析：[5,4]--【分析】根据对数部分函数为单调递增,所以整个函数为递增函数.两段函数各自递增,且左段的右端点小于等于右段的左端点,即可求得m 的取值范围. 【详解】函数2223,1,()log (6),1x mx x f x x m x ⎧---≤=⎨+>⎩在(,)-∞+∞上是单调函数因为当1x >时, 2()log (6)f x x m =+为增函数,所以整个函数在(,)-∞+∞上是单调递增函数因而满足60x m +>对1x >恒成立,则6m ≥-. 当1x ≤时,2()23f x x mx =---为增函数,则14m -≥ 即2614(1)log (6)m mf m ≥-⎧⎪⎪-≥⎨⎪≤+⎪⎩,即2645log (6)0m m m m ≥-⎧⎪≤-⎨⎪+++≥⎩因为2()5log (6)g x x x =+++在(6,)-+∞为增函数,且(5)0g -=, 所以5m ≥-.综上可知54m -≤≤-,即[5,4]m ∈-- 故答案为:[5,4]--【点睛】本题考查了分段函数的单调性判断,根据函数单调性求参数的取值范围,属于中档题.16．【分析】根据的值域为可知需在单调递增且即可【详解】由题意知的值域为故要使的值域为则必有为增函数且所以且解得故答案为：【点睛】本题主要考查了已知分段函数值域求参数范围属于中档题解析：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，【分析】根据()ln (1)f x x x =≥的值域为[0,)+∞，可知()(12)3(1)f x a x a x =-+<需在(,1)-∞单调递增且(1)0f ≥即可. 【详解】由题意知()ln (1)f x x x =≥的值域为[0,)+∞，故要使()f x 的值域为R ， 则必有()(12)3f x a x a =-+为增函数，且1230a a -+≥， 所以120a ->，且1a ≥-，解得112a -≤<. 故答案为：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，【点睛】本题主要考查了已知分段函数值域求参数范围，属于中档题.17．【分析】由奇函数的图象关于原点对称便可得出f （x ）在-50上的图象这样根据f （x ）在上的图象便可得出xf （x ）<0的解集【详解】奇函数图象关于原点对称作出在的图象如下：由得或由图可知或的解集为【点睛 解析：[)(]5,22,5--【分析】由奇函数的图象关于原点对称便可得出f （x ）在[-5，0]上的图象，这样根据f （x ）在[]5,5-上的图象便可得出xf （x ）<0的解集．【详解】奇函数图象关于原点对称，作出()f x 在[]5,5-的图象如下：由()0xf x <得()00x f x <⎧⎨>⎩或()0x f x >⎧⎨<⎩，由图可知52x -≤<-或25x <≤，()0xf x ∴<的解集为[)(]5,22,5--.【点睛】本题考查函数奇偶性、函数图象的综合，解题关键是根据函数奇偶性作出函数图象，利用数形结合思想求解，属于中等题.18．③【解析】按照严格下凸函数的定义检测四个函数如①不满足严格下凸函数的定义对于②当同号时相等不满足定义；对于③作差可知对于④因为所以不正确故选③点睛：本题涉及新概念及函数大小的比较属于创新题有一定难度解析：③ 【解析】按照严格下凸函数的定义检测四个函数，如①121222x x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭，()()121222f x f x x x ++=，不满足严格下凸函数的定义，对于②，121222x x x xf ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()121222x x f x f x ++=，当1x ，2x 同号时，相等，不满足定义；对于③2121222x x x x f ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()22121222f x f x x x ++=，作差可知()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，对于④12122l 22x xx x f og ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()122122212l l 1l 222f x f x og x og x og x x og ++===，因为122x x +>不正确，故选③.点睛：本题涉及新概念及函数大小的比较，属于创新题，有一定难度.解决此类问题时，要紧扣新给出的定义、法则、运算，然后去甄别那些符合这些要求，本题在给出严格下凸函数的定以后，要去应用定义，看看那个函数符合这一要求，解题中遇到大小比较时可以作差比较.19．3+∞）【分析】先求出集合再利用交集定义和不等式性质求解【详解】∵集合解得∴实数m 的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查实数的取值范围的求法解题时要认真审题注意不等式性质的合理运用是基础题解析：[3，+∞） 【分析】先求出集合B ，再利用交集定义和不等式性质求解． 【详解】∵集合{|2}A x x =≥，{|||1}{|11}B x x m x m x m =-≤=-≤≤+，A B B =，12m ∴-≥，解得3m ≥，∴实数m 的取值范围是[)3,+∞． 故答案为：[)3,+∞． 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用，是基础题.20．【分析】根据集合所以集合没有公共元素列出两个集合的端点满足的不等关系结合数轴可以得出的范围得到结果【详解】集合由借助于数轴如图所示可得故答案为：【点睛】该题主要考查集合中参数的取值范围的问题两个集合解析：(,1]-∞-. 【分析】根据集合{|14}A x x =-≤≤，{|}B x x a =<，A B φ⋂=，所以集合,A B 没有公共元素，列出两个集合的端点满足的不等关系，结合数轴可以得出a 的范围，得到结果. 【详解】集合{|14}A x x =-≤≤，{|}B x x a =<， 由A B φ⋂=，借助于数轴，如图所示，可得1a ≤-， 故答案为：(,1]-∞-. 【点睛】该题主要考查集合中参数的取值范围的问题，两个集合的关系，属于中档题目.三、解答题21．(I)证明见解析 ；(II) 134a ≥；(III) 35a << . 【分析】(I)根据函数单调性定义法证明即可；(II) 设2(12)x t x =<<，则24t <<则 92t a t +≤，令9()h t t t=+，求()h t 最大值即可； (III)根据零点分布列出等价不等式求解即可. 【详解】（Ⅰ）()(2)4229x x xg x f a ==-⋅+，设21x x R >∈，221121()()4229(4229)x x x x g x g x a a -=-⋅+--⋅+2121442(22)x x x x a =---212121(22)(22)2(22)x x x x x x a =-+-- 2121(22)[(22)2]x x x x a =-+-因为函数2xy =在R 上单调递增， 所以2122x x >，所以21220x x ->，又21(22)0,0xxa +>≤，所以21(22)20xxa +->，2121(22)[(22)2]0x x x x a -+->，所以21()()g x g x >，所以函数()g x 在R 上单调递增.（Ⅱ）设2(12)xt x =<<，则24t <<，都有2290t at -+≤，92t a t +≤，令9()h t t t=+， 易证()h t 在(2,3)单调递减，在(3,4)单调递增，又1325(2)(4)24h h ==,，()h t 最大值为132， 13132,24a a ≥≥. (III)因为函数()f x 在(3,9)-有两个零点且对称轴为x a =，所以2394360(3)0(9)0a a f f -<<⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪>⎩，解得35a <<. 【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.22．（1）252501500,040,100,()25002000(),40,100.x x x x N g x x x x N x ⎧-+-<<∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩；（2）产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元. 【分析】（1）依题意求出各段的函数解析式，再写成分段函数即可； （2）根据解析式求出各段函数的最大值，再取最大的即可； 【详解】解：（1）由题意可知，当0＜x ＜40，100x ∈N 时，g (x )＝300x -5x 2-50x -500-1000＝-5x 2+250x -1500；当x ≥40，100x ∈N 时，25002500()300301300010002000g x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭ 综上，252501500,040,100,()25002000(),40,100.x x x x N g x x x x N x ⎧-+-<<∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩（2）当0＜x ＜40，100x ∈N 时，g (x )＝-5x 2+250x -1500＝-5(x -25)2+1625，且当x ＝25时，g (x )取得最大值1625；当x ≥40，100x ∈N 时，2500()2000()1900g x x x=-+≤，当且仅当x ＝50时，g (x )取得最大值1900.综上，当x ＝50，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元. 【点睛】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型. (2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值． 23．（1）()(),12,-∞⋃+∞；（2）[]9,0-；（3）[]1,1-，[)3,+∞. 【分析】（1）解不等式2320x x -+>可求得函数()22log 32y x x =-+的定义域；（2）利用二次函数的基本性质可求得函数221y x x =-+-，[]2,2x ∈-的值域；（3）将函数223y x x =--的解析式表示为分段函数，利用二次函数的基本性质可求得原函数的单调递增区间. 【详解】（1）对于函数()22log 32y x x =-+，有2320x x -+>，解得1x <或2x >. 因此，函数()22log 32y x x =-+的定义域为()(),12,-∞⋃+∞；（2）当[]2,2x ∈-时，()[]222119,0y x x x =-+-=--∈-，因此，函数221y x x =-+-，[]2,2x ∈-的值域为[]9,0-；（3）解不等式2230x x -->，解得1x <-或3x >，所以，222223,12323,1323,3x x x y x x x x x x x x ⎧--<-⎪=--=-++-≤≤⎨⎪-->⎩.二次函数223y x x =--的图象开口向上，对称轴为直线1x =.当1x <-时，函数223y x x =--单调递减；当13x -≤≤时，函数2y x 2x 3=-++在区间[]1,1-上单调递增，在区间[]1,3上单调递减；当3x >时，函数223y x x =--单调递增.综上所述，函数223y x x =--的单调递增区间为[]1,1-，[)3,+∞.【点睛】本题考查与二次函数相关问题的求解，考查了对数型复合函数的定义域、二次函数的值域以及含绝对值的二次函数单调区间的求解，考查计算能力，属于中等题. 24．(1) {|27}B x x A -<≤⋃=，(){|21}RA B x x =-<<；(2)()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭． 【分析】（1）根据题意，由2m =可得{|17}x A x =≤≤，由并集定义可得A B 的值，由补集定义可得{|1RA x x =<或7}x >，进而由交集的定义计算可得()R AB ⋂，即可得答案；（2）根据题意，分析可得A B ⊆，进而分2种情况讨论：①、当A =∅时，有123m m ->+，②当A ≠∅时，有12312234m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，分别求出m 的取值范围，进而对其求并集可得答案． 【详解】根据题意，当2m =时，{|17}x A x =≤≤，()2()lg 28f x x x =-++有意义，则2280x x -++>，得{|24}B x x =-<<，则{|27}B x x A -<≤⋃=， 又{|1RA x x =<或7}x >，则(){|21}R AB x x =-<<；（2）根据题意，若A B A =，则A B ⊆，分2种情况讨论：①当A =∅时，有123m m ->+，解可得4m <-， ②当A ≠∅时，若有A B ⊆，必有12312234m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，解可得112m -<<，综上可得：m 的取值范围是：()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查集合间关系的判定，涉及集合间的混合运算，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力. 25．（1）(),()2,(,0)(0,)af x xg x x x∞∞=+=∈-⋃+；（2）3a >-. 【分析】（1）利用函数的奇偶性，列方程组，求函数的解析式；（2）由（1）知，()()2,[1,)af xg x x x x∞+=++∈+，方法一，讨论a 的正负，以及函数的单调性，转化为求函数的最小值大于0，求a 的取值范围；方法二，利用参变分离，()22a x x >-+，转化为求函数最大值，即求a 的取值范围. 【详解】（1）由已知条件()()2af xg x x x-=+-——① ①式中以x -代替x ，得()()2af xg x x x---=---——② 因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，故()(),()()f x f x g x g x -=--=②可化为()()2af xg x x x--=---——③ ①-③，得22()2a f x x x=+ 故(),()2,(,0)(0,)af x xg x x x∞∞=+=∈-⋃+ （2）由（1）知，()()2,[1,)af xg x x x x∞+=++∈+ 当0a ≥时，函数()()f x g x +的值恒为正； 当0a <时，函数()()2af xg x x x+=++在[1,)+∞上为增函数 故当1x =时，()f x 有最小值3a + 故只需30a +>，解得30a -<<. 综上所述，实数a 的取值范围是(3,)-+∞ 法二：由（1）知，()()2a f x g x x x+=++ 当[1,)x ∈+∞时，()()0f x g x +>恒成立，等价于()22a x x >-+ 而二次函数()222(1)1y x x x =-+=-++在[1,)+∞上单调递减1x =时，max 3y =-故3a >- 【点睛】方法点睛：由不等式恒成立求参数的取值范围的方法：讨论最值，先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围. 26．（1）{|1x x <或3}x >；（2）[]1,0-. 【分析】（1）化简集合A ，B ，根据并集运算即可. （2）计算()R A C B ，根据()()R C A C B ⊆，建立不等式求解即可.【详解】（1）由10x ->得，函数()()lg 1f x x =-的定义域{}1A x x =<260x x -->，即()()320x x -+>， 解得{}32B x x x =><-或A B ∴={|1x x <或3}x >，（2）{}23R C B x x =-≤≤，(){}21R A C B x x ∴⋂=-≤< {}21C x x ⊆-≤<，则121011m m m -≥-⎧⇒-≤≤⎨+≤⎩， 故实数m 的取值范围为[]1,0-. 【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，补集、交集的运算，子集的概念，属于中档题.。
数学-浙江省四校联盟联考2023-2024学年高三上学期试题和答案+ (1)
2023年浙江省高考数学模拟卷命题：浙江省杭州第二中学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足i 12i z ⋅=-，则z =（）A.2i-- B.2i-+ C.2i+ D.2i-2.已知,m n ∈R ，集合2,2m A n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合{},=B m n ，若{}1A B ⋂=，则n =（）A.1B.2C.12或1 D.123.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“322n n n n S S S S ->-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，若直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄.则下列说法正确的是（）A.//αβ，//l αB.αβ⊥，l β⊥C.α与β相交，且交线平行于lD.α与β相交，且交线垂直于l5.标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片，卡片的形状、质地都相同，从中有放回地随机抽取两次，每次抽取一张，A 表示事件“第一次取出的数字是3”，B 表示事件“第二次取出的数字是2”，C 表示事件“两次取出的数字之和是6”，D 表示事件“两次取出的数字之和是7”，则（）A.()16P C =B.()()P A D P A =C.()()P A C P A = D.()()()P BC P B P C =6.已知函数()cos f x x x ωω=-（0ω>）在区间2π3π,54⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，若存在唯一的实数[]00,πx ∈，使得()02f x =，则ω的取值范围是（）A .28,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.25,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.28,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.58,69⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.已知双曲线1C ：22221x ya b-=（0a >，0b >）的左，右焦点分别为1F ，2F ，点2F 与抛物线2C ：22y px=（0p >）的焦点重合，点P 为1C 与2C 的一个交点，若12PF F △的内切圆圆心在直线4x =上，2C 的准线与1C 交于A ，B 两点，且92AB =，则1C 的离心率为（）A.94B.95 C.74D.548.已知0a >，若点P 为曲线1C ：22xy ax =+与曲线2C ：22ln y a x m =+的交点，且两条曲线在点P 处的切线重合，则实数m 的最大值为（）A.12e-B.12eC.e 2D.2e二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知()1,0,(0,2)P N -，过点P 作直线:0l ax y a --=的垂线，垂足为M ，则（）A.直线l 过定点B.点P 到直线l的最大距离为C.MN 的最大值为3D.MN 的最小值为210.2022年11月17日，工业和信息化部成功举办第十七届“中国芯”集成电路产业大会．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.某芯片研发单位用在“A 芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比y 如表所示.已知40%y =，于是分别用p ＝30%和p ＝40%得到了两条回归直线方程：11ˆˆy b x a =+，22ˆˆy b x a =+，对应的相关系数分别为1r 、2r ，百分比y 对应的方差分别为21s 、22s，则下列结论正确的是（）（附：121ˆni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-）年份20182019202020212022年份代码x12345y20%p40%50%qA.12r r >B.2212s s > C.12ˆˆb b > D.12ˆˆaa >11.如图，直线12l l ∥，点A 是12,l l 之间的一个定点，点A 到12,l l 的距离分别为1和2.点B 是直线2l 上一个动点，过点A 作AC AB ⊥，交直线1l 于点,0C GA GB GC ++=，则（）A.()12AG AB AC =+B.GAB △面积的最小值是23C.1AG ≥ D.GA GB ⋅存在最小值12.球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．如图，A ,B ,C 是球面上不在同一大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为 ,,AB BCCA ，由这三条劣弧围成的球面部分称为球面ABC ，定义AB d 为经过,A B 两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，已知地球半径为R ，北极为点N ，点P ，Q 是地球表面上的两点，则（）A .NP NQ PQd d d +<B.若点,P Q 在赤道上，且经度分别为东经30°和东经60°，则π6PQ Rd =C.若点,P Q 在赤道上，且经度分别为东经40°和东经80°，则球面NPQ △的面积2π9RD.若263NP NQ PQ R ===，则球面NPQ △的面积为2πR 三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.已知121log 1,12a a <<，则实数a 的取值范围___________.14.已知锐角,αβ满足223παβ+=，tan tan 22αβ=-αβ+=_____.15.函数()e x f x ax b =++在区间[]1,3上存在零点，则22a b +的最小值为_________.16.考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆C ：2214x y +=上，且其中恰有两个顶点为椭圆C 的顶点．这样的等腰三角形有________个.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C cb -=．（1）求A ；（2）线段BC 上一点D 满足1AD BD ==，3CD =，求AB 的长度．18.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n a +=（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）能否从{}n a 中选出以1a 为首项，以原次序组成的等比数列()121,,,,1m k k k a a a k = .若能，请找出公比最小的一组，写出此等比数列的通项公式，并求出数列{}n k 的前n 项和n T ；若不能，请说明理由.19.已知四面体ABCD ，D 在面ABC 上的射影为O ，O 为ABC 的外心，4AC AB ==，2BC =.（1）证明：BC ⊥AD ；（2）若E 为AD 中点，OD =2，求平面ECO 与平面ACO 夹角的余弦值．20.数轴上的一个质点Q 从原点出发，每次随机向左或向右移动1个单位长度，其中向左移动的概率为13，向右移动的概率为23，记点Q 移动n 次后所在的位置对应的实数为n X .（1）求3X 和4X 的分布列和期望；（2）当10n =时，点Q 在哪一个位置的可能性最大，并说明理由.21.已知椭圆22:1164x y C +=，00(,)P x y 是椭圆外一点，过P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为,M N ，直线MN 与直线OP 交于点Q ，,A B 是直线OP 与椭圆C 的两个交点.（1）求直线OP 与直线MN 的斜率之积；（2）求AMN 面积的最大值.22.已知12,x x 是方程()e ln xax ax x -=-的两个实根，且12x x <.（1）求实数a 的取值范围；（2）已知()f x ax =，()ln(1)cos 2g x x x =+-+，若存在正实数3x ，使得13()()f x g x =成立，证明：13x x <.2023年浙江省高考数学模拟卷命题：浙江省杭州第二中学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足i 12i z ⋅=-，则=（）A.2i-- B.2i-+ C.2i+ D.2i-【答案】B 【解析】【分析】根据复数的除法运算，化简可得2i z =--，然后根据共轭复数的概念，即可得出答案.【详解】由已知可得，12i 2i iz -==--，从而2i z =-+.故选：B.2.已知,m n ∈R ，集合2,2m A n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合{},=B m n ，若{}1A B ⋂=，则n =（）A.1B.2C.12或1 D.12【答案】D 【解析】【分析】根据交运算结果，列出方程，求得对应参数值；再验证即可选择.【详解】因为{}1A B ⋂=，故可得12m n =且1m =，或12m n=且1n =；解得11,2m n ==或2,1m n ==；当11,2m n ==时，{}12,1,1,2A B ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，满足题意；当2,1m n ==时，{}{}2,1,2,1A B ==，不满足题意，舍去；综上所述，12n =.故选：D.3.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“322n n n n S S S S ->-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列的前n 项公式，分别从充分性和必要性两个方面进行判断即可求解.【详解】因为数列{}n a 是公差为d 的等差数列，所以321113(31)2(21)(51)32222n n n n n n n n S S na d na d na d ----=+--=+，21112(21)(1)(31)2222n n n n n n n n S S na d d na d ----=+--=+，所以3222)(n n n n n d S S S S --=-，若等差数列{}n a 的公差0d >，则20n d >，所以322n n n n S S S S ->-，故充分性成立；若322n n n n S S S S ->-，则3222)0(n n n n S S S S n d ---=>，所以0d >，故必要性成立，所以“0d >”是“322n n n n S S S S ->-”的充分必要条件，故选：C.4.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，若直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄.则下列说法正确的是（）A.//αβ，//l αB.αβ⊥，l β⊥C.α与β相交，且交线平行于l D.α与β相交，且交线垂直于l【答案】C【解析】【分析】由已知条件，结合线面平行、线面垂直的判定与性质和面面平行的性质等对各个选项进行分析，即可得出正确结论.【详解】假设//αβ，因为m ⊥平面,n α⊥平面β，则//m n ，这与直线,m n 为异面直线矛盾，故A 错误；假设l β⊥，因为n ⊥平面β，所以//n l ，这与l n ⊥矛盾，故B 错误；设a αβ⋂=，作b //m ，使得b 与n 相交，记b 与n 构成平面γ，如图，因为m ⊥平面α，a α⊂，则m a ⊥，又b //m ，故b a ⊥，同理：n a ⊥，而b 与n 构成平面γ，所以a γ⊥；因为l m ⊥，又b //m ，故l b ⊥，又l n ⊥，b 与n 构成平面γ，所以l γ⊥，故而l a //，即α与β的交线平行于l ，故C 正确，D 错误；故选：C5.标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片，卡片的形状、质地都相同，从中有放回地随机抽取两次，每次抽取一张，A 表示事件“第一次取出的数字是3”，B 表示事件“第二次取出的数字是2”，C 表示事件“两次取出的数字之和是6”，D 表示事件“两次取出的数字之和是7”，则（）A.()16P C =B.()()P A D P A =C.()()P A C P A = D.()()()P BC P B P C =【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件，分别求出对应事件的概率，再结合条件概率公式，相互独立事件的概率公式判断即可.【详解】由题意，()1611661C 1C C 6P A ⨯==，()161166C 11C C 6P B ⨯==，对于C 事件的可能组合有：()()()()()1,5,5,1,2,4,4,2,3,3，共5种，()116655C C 36P C ==，故A 错误；对于D 事件的可能组合有：()()()()()()1,6,6,1,2,5,5,2,3,4,4,3，共6种，()116661C C 6PD ==，对于AD 事件的组合只有()3,4一种，对于AC 事件的组合只有()3,3一种，对于BC 事件的组合只有()4,2一种，则()()()()16n AD P A D P A n D ===，B 正确；()()()()15n AC P A C P A n C ==≠，C 错；又()116611C C 36P BC ==，()()155636216P B P C =⨯=，则()()()PBC P B P C ≠，D 错.故选：B6.已知函数()cos f x x x ωω=-（0ω>）在区间2π3π,54⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，若存在唯一的实数[]00,πx ∈，使得()02f x =，则ω的取值范围是（）A.28,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.25,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.28,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.58,69⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】利用辅助角公式变形函数()f x ，结合函数的单调区间和取得最值的情况，利用整体代入法可求得参数范围.【详解】由题得：()πcos 2sin()6f x x x x ωωω=-=-，且0ω>，因为[]00,πx ∈，所以0πππ,π666x ωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，若存在唯一的实数[]00,πx ∈，使得()02f x =，则ππ5ππ262ω≤-<，解得2833ω≤<，当2π3π,54x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2πππ3ππ56646x ωωω--≤-≤-，又()f x 区间2π3π,54⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以2πππ562ω--≥-且3πππ462ω-≤，解得56ω≤且89ω≤，结合2833ω≤<，可得2536ω≤≤，故选：B .7.已知双曲线1C ：22221x ya b-=（0a >，0b >）的左，右焦点分别为1F ，2F ，点2F 与抛物线2C ：22y px=（0p >）的焦点重合，点P 为1C 与2C 的一个交点，若12PF F △的内切圆圆心在直线4x =上，2C 的准线与1C 交于A ，B 两点，且92AB =，则1C 的离心率为（）A.94B.95 C.74D.54【答案】D【分析】令12(,0),(,0)F c F c -，由题设知02p c =>且22b AB a=求得249b a =，再由内切圆中切线长性质及双曲线定义、性质确定与12F F 的切点的位置，进而求离心率.【详解】由题设12(,0),(,0)F c F c -，又点2F 与抛物线的焦点重合，即02pc =>，由()22222221c y a ba b c ⎧-⎪-=⎨⎪+=⎩，则2b y a =±，故2292b AB a ==，即249b a =，如下图示，内切圆与△12PF F 各边的切点为,,D E K，所以1122,,PD PE DF KF EF KF ===，又12||||2PF PF a -=，则121212()()2PD DF PE EF EF KF KF a +-+=-=-=，所以K 为双曲线右顶点，又12PF F △的内切圆圆心在直线4x =上，即4a =，故29b =，则5c =，所以离心率为54c e a ==.故选：D.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用切线长性质推得122KF KF a -=，从而利用双曲线的对称性得到4a =，进而得解.8.已知0a >，若点P 为曲线1C ：22xy ax =+与曲线2C ：22ln y a x m =+的交点，且两条曲线在点P 处的切线重合，则实数m 的最大值为（）A.12e-B.12eC.e 2D.2e【答案】B【详解】设点P 的横坐标为(0)n n >，则由22xy ax =+可得y x a '=+，k n a =+，又22ln y a x m =+可得22a y x '=，22a k n=，所以22(0)a n a a n+=>，解得n a =或2n a =-（舍去），由点P 为曲线1C ：22xy ax =+与曲线2C ：22ln y a x m =+的交点，所以2(,)2n P n an +与2(,2ln )P n a n m +为同一点，所以222ln 2n an a n m+=+，即2232ln 2m a a a =-+，令223()2ln (0)2f a a a a a =-+>，则()4ln (14ln )f a a a a a a '=-+=-，令()0f a '=可得14e a =，由0a >知，当140ea <<时，)0f a '>，当14e a <时，()0f a '<，所以()f a 在14(0,e )上单调递增，在14(e ,)+∞上单调递减，所以1142max ()(e )e f a f ==，故实数m 的最大值为12e .故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知()1,0,(0,2)P N -，过点P 作直线:0l ax y a --=的垂线，垂足为M ，则（）A.直线l 过定点B.点P 到直线l 的最大距离为C.MN 的最大值为3D.MN 的最小值为2【答案】AC【分析】由点斜式确定定点，由点M 在以原点为圆心，直径为2PB =的圆上，结合圆的性质判断即可.【详解】0ax y a --=可化为()1y a x =-，则直线l 过定点()10B ,，故A 正确；因为直线l 的斜率存在，所以点M 与点B 不重合，因为PM l ⊥，所以点M 在以原点为圆心，直径为2PB =的圆上（去掉点B ），点P 到直线l 的距离为PM ，由图可知，02PM ≤<，故B 错误；由图可知，NA MN NC ≤≤，即13MN ≤≤，故C 正确，D 错误；故选：AC10.2022年11月17日，工业和信息化部成功举办第十七届“中国芯”集成电路产业大会．此次大会以“强芯固基以质为本”.某芯片研发单位用在“A 芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比y 如表所示.已知40%y =，于是分别用p ＝30%和p ＝40%得到了两条回归直线方程：11ˆˆy b x a =+，22ˆˆy b x a =+，对应的相关系数分别为1r 、2r ，百分比y 对应的方差分别为21s 、22s，则下列结论正确的是（）（附：121ˆni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-）年份20182019202020212022年份代码x12345y20%p40%50%qA.12r r >B.2212s s > C.12ˆˆb b > D.12ˆˆaa >【答案】ABC【分析】根据已知条件，结合方差、相关系数的定义，以及最小二乘法公式即可求解.【详解】30%p =时，60%q =，变量x 、y 呈线性正相关，故121r r =>，故A 正确；方差反映数据的稳定性，显然40%p =时更稳定，故此时方差更小，即2212s s >，故B 正确；由于1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑，当30%p =时，51120%230%340%450%560%700%iii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，当40%p =时，51120%240%340%450%550%670%iii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，所以12ˆˆb b >，故C 正确；因为ˆˆa y bx =-，所以12ˆˆb b >时，12ˆˆa a <，故D 错误.故选：ABC11.如图，直线12l l ∥，点A 是12,l l 之间的一个定点，点A 到12,l l 的距离分别为1和2.点B 是直线2l 上一个动点，过点A 作AC AB ⊥，交直线1l 于点,0C GA GB GC ++=，则（）A.()12AG AB AC =+B.GAB △面积的最小值是23C.1AG ≥ D.GA GB ⋅存在最小值【答案】BC 【解析】【分析】根据题意建立合适的直角坐标系，设出(),3C m ，(),0B n ，(),G x y ，根据AC AB ⊥及0GA GB GC ++= ，即可找到三个点的坐标关系，分别写出AG ，()13AB AC +，即可判断A ；取AB 中点为F ，连接CF ，根据0GA GB GC ++=，可得,,G C F 三点共线，且G 为CF 靠近F 的三等分点，即可找到GAB △面积与ABC 面积之间比例关系，进而建立GAB △面积等式，根据基本不等式即可判断B ；求出AG ，再根据基本不等式可判断C ；写出GA GB ⋅ 进行化简，根据m 的范围即可得到GA GB ⋅的最值情况.【详解】设AB 中点为F ，连接CF ，以D 为原点，,DB DE 方向分别为,x y轴建立如图所示的直角坐标系，则()0,2A ，()0,3E ，设(),3C m ，(),0B n ，(),G x y ，,,,R m n x y ∈，且,0m n ≠，所以(),1AC m = ，(),2AB n =-，因为AC AB ⊥，所以0AC AB ⋅=，即20mn -=，故2n m =，即2B m ⎫⎪⎝⎭，所以(),2GA x y =-- ，2,GB x y m --⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),3m x y GC =--，因为0GA GB GC ++=，所以2230355303m mx m x m y y ⎧+⎪⎧=+-=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-=⎩=⎪⎩，因为()211,333m m AB AC ⎛⎫+ ⎪+=- ⎪⎪⎝⎭，故()13AG AB AC =+，A 错误；因为0GA GB GC ++= ，所以()GC GA GB =-+ ，即2GC GF =- ，所以,,G C F 三点共线，且G 为CF 靠近F 的三等分点，所以1136GABABC S S AC AB ==⋅=23=≥=，当且仅当221m m =，即1m =±时取等，故B 正确；因为()211,333m m AG AB AC ⎛⎫+ ⎪=+=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以AG =1=≥=，当且仅当224mm=，即m =时取等，故1AG ≥，C 正确；因为32,15,3334,m m m m GA GB ⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎛⎫+- ⎪=- ⎪⎭⎪⎝⎭⎝ ，所以245339m m m m GA GB ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⋅=--⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭222288275999m m m m ----=-=，因为R m ∈且0m ≠，所以20m >，记()87,0f x x x x=-->，()2810f x x '=+>，可知()f x 单调递增，没有最值，即GA GB ⋅没有最值，故D 错误.故选：BC【点睛】关键点睛：本题考查了平面向量数量积的性质以及平面向量在平面几何中的应用，属于较难题目.12.球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．如图，A ,B ,C 是球面上不在同一大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为 ,,AB BCCA ，由这三条劣弧围成的球面部分称为球面ABC ，定义AB d 为经过,A B 两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，已知地球半径为R ，北极为点N ，点P ，Q 是地球表面上的两点，则（）A.NP NQ PQd d d +<B.若点,P Q 在赤道上，且经度分别为东经30°和东经60°，则π6PQ Rd =C.若点,P Q 在赤道上，且经度分别为东经40°和东经80°，则球面NPQ △的面积2π9RD.若3NP NQ PQ R ===，则球面NPQ △的面积为2πR 【答案】BD 【解析】【分析】当NP NQ PQ R ===时，求得NP NQ PQ d d d ==，可判定A 错误；求得π6POQ ∠=，得出PQ d ，可判定B 正确；由球心角2π9POQ ∠=，结合球的表面积求得NPQ △的面积，可判定C 错误；由3NP NQ PQ R ===时，构造正四面体N PQS -，求得3PN R =，结合对称性，求得球面NPQ △的面积，可判定D 正确.【详解】对于A 中，当NP NQ PQ ==时，可得NOP NOQ POQ ∠=∠=∠，此时NP NQ PQ d d d ==，可得NP NQ PQ d d d +>，所以A 不正确；对于B 中，当点,P Q 在赤道上，且经度分别为东经30°和东经60°，可得球心角π6POQ ∠=，此时π6PQ R d =，所以B 正确；对于C 中，当点,P Q 在赤道上，且经度分别为东经40°和东经80°，可得球心角2π409POQ ∠==，又由球的表面积为24πS R =，所以NPQ △的面积为22π12π922π9R S S =⨯⨯=，所以C 错误；对于D 中，如图所示，当263NP NQ PQ R ===时，可得NPQ △为等边三角形，构造一个球内接正四面体N PQS -，其中心为O ，连接NO 交SPQ 于点H ，则NO R =，OH 为正四面体N PQS -内切球得到半径，设正四面体N PQS -的表面积为S ，可得13N PQS V S OH -=⋅，即2211()4()343343R NH R OH ⨯⨯⨯=⨯⨯⋅，可得14OH NH =，即O 为高NH 的靠近H 的四等分点，则1cos cos 3OH OH NOP HOP OP ON ∠=-∠=-=-=-，由余弦定理可得22222221cos 223ON OP PN R PN NOP ON OP R +--∠===-⋅，解得263PN R =，根据对称性，可得球面NPQ △的面积为2πR ，所以D 正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.已知121log 1,12a a <<，则实数a 的取值范围___________.【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】求解对数不等式和根式不等式，即可求得参数的范围.【详解】121a <1<，解得01a ≤<；1log 12a<，即1log log 2a a a <，当1a >时，不等式解集为12a >；当01a <<时，不等式解集为102a <<；综上所述，10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.14.已知锐角,αβ满足223παβ+=，tan tan 22αβ=αβ+=_____.【答案】512π【解析】【分析】根据正切的和角公式，结合已知条件，求得tan tan 2αβ；根据根与系数的关系，求得tan ,tan 2αβ，结合角度范围，求得,αβ即可.【详解】由223παβ+=可得：23απβ+=，则tantan tan tan 22tan 21tan tan 2ααββαβαβ++⎛⎫+== ⎪⎝⎭-，解得tan tan 32αβ+=-，又tan tan 22αβ=-故tan ,tan 2αβ为一元二次方程)2320x x +-+-的两个实数根，又)()()232120x x x x ++-=-+=，解得121,2x x ==；若tan12α=，又α为锐角，2α也为锐角，故可得24απ=，则2πα=，不满足α为锐角，舍去；若tan 22α=-，则tan 1β=，故22tan32tan 31tan 2ααα==-，又α，β为锐角，故可得,64ππαβ==，则512αβπ+=.故答案为：512π.15.函数()e x f x ax b =++在区间[]1,3上存在零点，则22a b +的最小值为_________.【答案】2e 2##21e2【解析】【分析】设t 为()f x 在[]1,3上的零点，可得e 0t at b ++=，转化为点(),a b 在直线()1e 0tt x y -++=上，根据22a b +的几何意义，可得()2222e 11ta b t +≥-+有解，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得答案．【详解】设t 为()f x 在[]1,3上的零点，可得e 0t at b ++=，所以e 0t ta b ++=，即点(),a b 在直线e 0t tx y ++=，又22a b +表示点(),a b 到原点距离的平方，≥2222e 1ta b t +≥+有解，令()22e1tg t t =+，可得()()()()()2222222222e 12e 2e 111t t t t t t t g t tt+-=-+'==++，因为2e 0t >，210t t -+>，所以()0g t '>恒成立，可得()g t 在[]1,3上为单调递增函数，所以当1t =时，()()2mine 12g t g ==，所以222e 2a b +≥，即22a b +的最小值为2e 2．故答案为：2e 2.16.考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆C ：2214x y +=上，且其中恰有两个顶点为椭圆C 的顶点．这样的等腰三角形有________个.【答案】20【解析】【分析】分别以椭圆顶点连线为等腰三角形的腰或底，进行分类讨论，得到答案.【详解】不妨设()()122,0,0,1A B -，如图1，连接12A B ，当12A B 为等腰三角形的底时，作12A B 的垂直平分线交椭圆于,P Q 两点，连接1212,,,QA QB PA PB ，则1212,QA B PA B为等腰三角形，满足题意，同理当222121,,A B A B A B 为等腰三角形的底时，也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个；如图2，当12A B 为等腰三角形的腰时，以2B 为圆心，12A B为半径作圆，则圆的方程为()2215x y +-=，联立()22221514x y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得20x y =⎧⎨=⎩或20x y =-⎧⎨=⎩或25323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或25323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即圆与椭圆相交于点12,,,A A N M ，连接1122,,,MA NA MB NB ，其中1212,MA B NA B 满足要求，212A A B △三个顶点均为椭圆顶点，不合题意，同理当222121,,A B A B A B 为等腰三角形的腰时，也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个；如图③，以2B 为圆心，12B B 为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点1,,B S T ，连接1212,,,SB SB TB TB ，此时1212,SB B TB B 为等腰三角形，满足题意，共有2个，如图4，以1B 为圆心，12B B 为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点2,,B U V ，连接1212,,,UB UB VB VB ，此时1212,UB B VB B 为等腰三角形，满足题意，共有2个，由椭圆性质可知，12A A 为椭圆中的最长弦，所以不能作为等腰三角形的腰，而作为底时，刚好等腰三角形的顶点为上顶点或下顶点，不合要求，综上：满足要求的等腰三角形个数为8+8+2+2=20.故答案为：20.【点睛】方法点睛：两圆一线，是平面几何中等腰三角形存在性问题的通用解法，这里以椭圆为背景进行考察，基本思路没有变化，但要注意两圆一线所得到的等腰三角形有不满足要求的，要舍去.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C cb -=．（1）求A ；（2）线段BC 上一点D 满足1AD BD ==，3CD =，求AB 的长度．【答案】（1）2π3（2）7【解析】【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解；（2）根据角之间的关系及正弦定理求出2sin θθ=，由同角三角函数间的基本关系求出cos θ即可得解.【小问1详解】由1cos 2a C c b -=结合正弦定理可得1sin cos sin sin 2A C CB -=，因为πA BC ++=，所以()sin =sin +=sin cos +cos sin B A C A C A C ，所以1sin cos sin sin cos +cos sin 2A C C A C A C -=，即1sin cos sin 2C A C -=，因为sin 0C ≠，所以1cos =2A -，因为()0,πA ∈，所以2π3A =；【小问2详解】如图，由题设，令(π20,B BAD θ∠=∠=∈，则2π3DAC θ∠-=，π3C θ∠=-，2ADC θ∠=，在△ADC 中sin sin AD CDC DAC =∠，即13sin()sin(π2π)33θθ-=-，所以sin()3s 2ππ33in()θθ=--，故cos sin 221322θθθθ+=-，所以2sin θθ=，又22sin cos 1θθ+=，π(0,2θ∈，解得sin ,cos 77θθ==.在等腰ABD △中，取AB 中点E ，连接DE ，则DE AB ⊥，则4722cos 7AB BE BD θ===.18.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n a +=（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）能否从{}n a 中选出以1a 为首项，以原次序组成的等比数列()121,,,,1m k k k a a a k = .若能，请找出公比最小的一组，写出此等比数列的通项公式，并求出数列{}n k 的前n 项和n T ；若不能，请说明理由.【答案】（1）()22n a n n =+∈*N （2）能，12m m k a +=，122n n T n +=--.【解析】【分析】（1）对题干的递推关系先平方，然后多写一项作差，结合正项数列的性质，可证明其是等差数列；（2）注意到{}n a 的每一项是偶数，偶数数列是等比数列的很容易想到2,4,8,16, ，然后证明其公比最小，最后在分组求和.【小问1详解】1n a +=2428n nn S a a =+-当1n =时，211114284S a a a =+-=，即()21112800a a a --=>，得14a =或12a =-（舍去）.当2n ≥时，由2428n n n S a a =+-，……①得()21114282n n n S a a n ---=+-≥，……②-①②得：2211422n n n n n a a a a a --=-+-，化简得()()1120n n n n a a a a ----+=.因为0n a >，所以120n n a a ---=，()122n n a a n -=+≥，即数列{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列，所以()22n a n n *=+∈N .【小问2详解】存在.当114k a a ==，238k a a ==时，会得到数列{}n a 中原次序的一列等比数列()121,,,,,1m k k k a a a k = ，此时的公比2q =，是最小的，此时该等比数列的项均为偶数，均在数列{}n a 中；下面证明此时的公比最小：114k a a ==，假若2k a 取26a =，公比为6342=，则323492k a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭为奇数，不可能在数列{}n a 中.所以11422m m m k a -+=⋅=.又1222m m k m a k +=+=，所以21mm k =-，即{}n k 的通项公式为：()12nn k n -=∈*N，故()1212122121 (212212)n nn n T n n +-=-+-++-=-=---.19.已知四面体ABCD ，D 在面ABC 上的射影为O ，O 为ABC 的外心，4AC AB ==，2BC =.（1）证明：BC ⊥AD ；（2）若E 为AD 中点，OD =2，求平面ECO 与平面ACO 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）根据题意，连接AO 并延长AO 交BC 于M ，连接,OB OC ，由线面垂直的判定定理可得BC ⊥面AMD ，即可证明BC ⊥AD ；（2）解法一：取AO 中点H ，连接EH ，作HN 垂直CO 交于点N ，连接EN ，由题意可得ENH ∠即为平面ECO 与平面ACO 夹角的平面角.解法二：建立空间直角坐标系，通过空间向量的坐标运算，结合二面角的公式即可得到结果.【小问1详解】连接AO 并延长AO 交BC 于M ，连接,OB OC ，因为O 恰好为△ABC 的外心，所以OB OC =，又AC AB =，AO OA =，所以AOC AOB ≅ ，所以CAO BAO ∠=∠，即AM 是BAC ∠的角平分线，又AC AB =，所以由等腰三角形三线合一可得AM BC ⊥，因为D 在面ABC 上的投影为O ，所以OD ⊥面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以OD BC ⊥，又,,AM OD O AM OD =⊂ 面AMD ，所以BC ⊥面AMD ，又AD ⊂面AMD ，所以BC AD ⊥.【小问2详解】解法一：在ABC 中，由（1）与等腰三角形三线合一可知M 是BC 的中点，由（1）知AM BC ⊥，OD ⊥面ABC ，取AO 中点H ，连接EH ，因为2OD =，1EH =,EH ⊥面ABC,作HN 垂直CO 交于点N ，连接EN ，ENH ∠即为平面ECO 与平面ACO 夹角的平面角.由题可得HNO CMO ，11,22HN HO HO HN CM OC OA ====，tan 2,cos 5EH ENH ENH HN ∠==∠=，即平面ECO 与平面ACO解法二：由（1）知AM BC ⊥，OD ⊥面ABC ，过M 作z 轴平行于OD ，则z 轴垂直于面ABC ，如图建立空间直角坐标系，在ABC 中，由（1）与等腰三角形三线合一可知M 是BC 的中点，又4AC AB ==，2BC =，则AM ==设AO r =，则BO r =，又222OM BM OB +=，所以)2221rr -+=，解得15r =，故71515OM AM AO =-=，则()()1,0,0,0,,0,,0,,2,0,,1,151515C O A D E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故0,,1,1,,01515OE OC ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(),,n x y z = 为平面ECO的一个法向量，则015015n OE y z n OC x y ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，取1y =，则715415,1515x z ==-，故,1,1515n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，易得()0,0,1m =是平面COB 的一个法向量，设平面ECO 与平面ACO 夹角的平面角为θ，5cos cos ,5m n m n m nθ⋅===，所以平面ECO 与平面ACO 夹角的余弦值为55.20.数轴上的一个质点Q 从原点出发，每次随机向左或向右移动1个单位长度，其中向左移动的概率为13，向右移动的概率为23，记点Q 移动n 次后所在的位置对应的实数为n X .（1）求3X 和4X 的分布列和期望；（2）当10n =时，点Q 在哪一个位置的可能性最大，并说明理由.【答案】（1）分布列见解析，3()1E X =，44()3E X =（2）对应实数为4，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意分别计算对应的概率列出分布列，求期望；（2）设点Q 向右移动m 次，向左移动10m -次的概率为m P ，作商与1比较可得出7m =时m P 最大即可得解.【小问1详解】当3n =时，3311(3)(327P X =-==，12133122(1)C ()()339P X =-==21233124(1)C ()()339P X ===，30333128(3)C ()()3327P X ===.3x 3-1-13P127294982731248()3111279927E X =-⨯-⨯+⨯+⨯=.当4n =时，4411(4)(381P X =-==，13144128(2)C ()()3381P X =-==22244128(0)C ()()3327P X ===，313441232(2)C ()()3381P X ===，44216(4)()381P X ===.4x 4-2-024P18188182732811681418832164()4202481812781813E X =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】设点Q 向右移动m 次，向左移动10m -次的概率为m P ，则101012C ()()33mmm m P -=，101010111111101012C ()()2C 2(11)2233212C C ()()33m m m mm m m m m m P m P m m -------====当7m ≤时，1m m P P ->，m P 随m 的值的增加而增加，当7m >时，1m m P P -<，m P 随m 的值的增加而减小，所以当7m =时，m P 最大，此时点Q 所在的位置对应的实数应为4.21.已知椭圆22:1164x y C +=，00(,)P x y 是椭圆外一点，过P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为,M N ，直线MN 与直线OP 交于点Q ，,A B 是直线OP 与椭圆C 的两个交点.（1）求直线OP 与直线MN 的斜率之积；（2）求AMN 面积的最大值.【答案】（1）14-（2）【解析】【分析】（1）设00(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，根据导数的几何意义可求得椭圆的切线方程，从而可得00:1164MN x x y yl +=，再根据斜率公式即可求解；（2）分00,0x y ≠、00x =、00y =三种情况分别求解，根据弦长公式和点线距离可求得AMN 面积，再利用导数判断单调性，从而求得最大值.【小问1详解】设00(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221164x y +=可得224116x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对其求导可得22x yy '=-，所以当10y ≠时，直线PM 的斜率为114x y -，则直线PM 的方程为()11114x y y x x y -=--，即111164x x y y +=.当10y =时，111164x x y y +=成立，所以直线PM 的方程为111164x x y y+=.同理可得直线PN 的方程为221164x x y y+=，又因为P 是两条切线的交点，所以有10101164x x y y +=，20201164x x y y+=，所以00:1164MN x x y yl +=，则004MN x k y =-，又因为00OP y k x =，所以0000144MN OP x y k k y x ⋅=-⋅=-.【小问2详解】①当00,0x y ≠时，联立直线MN 与椭圆方程00022444160x y x y y x y ⎧=-+⎪⎨⎪+-=⎩，得22220000(4)32256640x y x x x y +-+-=，4222000256(416)0y y x y ∆=-+>，2001212222200003225664,44x y x x x x x y x y -+==++，则00=MN ，联立直线OP 与椭圆方程00224160y y x x x y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，解得点A .则点A 到直线MN的距离d =，所以00412AMNS =00=令)0t t =>，则28(4)16AMNt S t +== ，令()411m m t +=>，则412m t-=-，记()343(2)2f m m m m m =-=-+，()()32246223f m m m m m '=-+=--，所以()f m 在3(1,)2上单调递增，在3(,)2+∞上单调递减，所以当32m =，8t =，即220000464(,0)x y x y +=≠时，()max 327216f m f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.所以AMN S ≤= AMN面积的最大值是.②当00x =时，直线MN 的方程为04y y =，联立02244160y y x y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，可得MN =，根据椭圆的对称性，不妨令00y >，则()0,2A -，则点A 到直线MN 的距离042d y =+，所以01422AMN S y ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭ 令()02112n n y +=<<，则0212n y -=-，记()343(2)2g n n n n n =-=-+，()()32246223g n n n n n '=-+=--，所以()g n 在3(1,2上单调递增，在3(,2)2上单调递减，所以当32n =，04y =时，()max 327216g n g ⎛⎫== ⎪⎝⎭.所以AMN S ≤= AMN 面积的最大值是.根据对称性可得当04y =-时，AMN 面积的最大值是所以当04y =±时，AMN S 的最大值为.当00y =时，同理可求得，当08x =±时，AMN S 的最大值为.综上，当2200464x y +=时，AMN 面积的最大值是.【点睛】方法点睛：圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．22.已知12,x x 是方程()e ln x ax ax x -=-的两个实根，且12x x <.（1）求实数a 的取值范围；（2）已知()f x ax =，()ln(1)cos 2g x x x =+-+，若存在正实数3x ，使得13()()f x g x =成立，证明：13x x <.【答案】（1）ea >（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将()e ln x ax ax x -=-整理为()ln e e ln xax x ax +=+，即可得到方程()e ln x ax ax x -=-的根即方程e x ax =的根，由此令()xe h x x=，利用导数求该函数的最小值，即可求得答案.（2）由题意可得要证明13x x <即证明31e e x x <，结合（1）可知11e x ax =，从而将问题转化为证明()e ln(1)cos 20x x x x >+-+>，由此构造函数，判断函数的单调性，利用导数即可证明结论.【小问1详解】由()e ln x ax ax x -=-，可得()e ln x x ax ax +=+，即()ln e e ln x ax x ax +=+，设()e x m x x =+，函数()m x 为单调递增函数，则()()(ln )m x m ax =，则()ln x ax =，即e x ax =，所以方程()e ln xax ax x -=-的根即方程e x ax =的根.令()x e h x x=，则2(1)e ()xx h x x -='，当1x <且0x ≠，()0h x '<；当1x >，()0h x '>；()h x 在(,0)-∞上单调递减，且()0h x <，()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，当0,0x x >→时，()xe h x x=的值趋近于正无穷大，当x →+∞时，()x e h x x=的值趋近于正无穷大，因为方程e x ax =有两个实根，所以min ()(1)h x h e ==，故e a >.【小问2详解】要证13x x <，即证31e e x x <，由（1）可得11e x ax =，只需证明3133ln(1)cos 2e e xx x x +-+=<，下面证明()e ln(1)cos 20x x x x >+-+>；令()sin x x x ϕ=-，()1cos 0x x ϕ'=-≥，所以()y x ϕ=在R 上单调递增，又因为(0)0ϕ=，则当0x >时，sin x x >.设()()e ln 1cos xk x x x =-++，则()1e sin 1x k x x x '=--+，当0x >时，()11e sin e 11x x k x x x x x '=-->--++，设()e x t x x =-，则()e 1x t x '=-，所以当0x >时，()0t x '>，()t x 在(0)+∞，上单调递增，所以()()e 01xt x x t =-≥=，则e 1x x ≥+，。
【沪科版】高中数学必修三期末试卷带答案(1)
一、选择题1．《九章算术》勾股章有一“引葭 [jiā] 赴岸”问题：“今有池方一丈， 葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．2129B ．2329C ．1112D ．12132．如图所示，ABC ∆是等边三角形，其内部三个圆的半径相等，且圆心都在ABC ∆的一条中线上.在三角形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．949π B ．33πC ．23D ．9π 3．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（ ）A ．116B ．18C ．38D ．3164．我国魏晋时期的数学家刘徽，创立了用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积的方法，称为“割圆术”，为圆周率的研究提供了科学的方法.在半径为1的圆内任取一点，则该点取自圆内接正十二边形外的概率为 A ．3B ．31-C ．3πD ．31π-5．如图是计算11113519++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填的是（ ）A ．10iB ．10i ≤C ．10i >D ．10i <6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为126，则判断框内的条件可以为（ ）A ．5n ≤B ．6n ≤C ．7n ≤D ．8n ≤7．执行如图的程序框图，若输出的6n =，则输入整数p 的最大值是( )A ．15B ．16C ．31D ．328．执行如图所示的程序框图，若输入的,a b 的值分别为1，2，则输出的S 是（ ）A ．70B ．29C ．12D ．59．某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕才发现有位同学的分数还未录入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为x ，2s ，新平均分和新方差分别为1x ，21s ，若此同学的得分恰好为x ，则（ ）A ．1x x =，221s s = B ．1x x =，221s s < C ．1x x =，221s s >D ．1x x <，221s s =10．某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：（ ） 广告费用（万元） 销售客（万元）根据上表中的数据可以求得线性回归方程中的为，据此模型预报广告费用为万元时销售额为（ ） A ．万元B ．万元C ．万元D ．万元11．已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（ ）A ．85B ．84C ．83D ．8112．若某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（ ）A．90.5 B．91.5 C．90 D．91二、填空题13．乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，甲发球得1分的概率为35，乙发球得1分的概率为23，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为________.14．连续抛掷同一颗骰子3次，则3次掷得的点数之和为9的概率是____．15．如图，圆柱12O O内接于球O，且圆柱的高等于球O的半径，则从球O内任取一点，此点取自圆柱12O O的概率为______；16．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_____17．执行右边的程序框图，若，则输出的________．18．运行右图所示程序框图，若输入值xÎ[-2，2]，则输出值y 的取值范围是_____．19．已知下列命题：①在线性回归模型中，相关指数2R 越接近于1，表示回归效果越好； ②两个变量相关性越强，则相关系数r 就越接近于1；③在回归直线方程0.52y x ∧=-+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ∧平均减少0.5个单位；④两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.⑤回归直线ˆˆˆy bx a =+恒过样本点的中心(),x y ，且至少过一个样本点；⑥若2K 的观测值满足2K ≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；⑦从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误． 其中正确命题的序号是__________．20．某校高一年级10个班级参加国庆歌咏比赛的得分（单位：分）如茎叶图所示，若这10个班级的得分的平均数是90，则19a b+的最小值为__________．三、解答题21．某校从参加某次知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛的均分；（2）如果确定不低于85分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进人复赛；（3）若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值大于20的概率.22．从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组（重量）[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)频数（个）5102015(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．23．已知底面半径为r ，高为h 的圆柱和一正方体的体积相等，试设计一个程序分别求圆柱的表面积和正方体的表面积，并画出程序框图(π＝3. 14).24．某城市规定，在法定工作时间内每小时的工资是8元，在法定工作时间外每小时的加班工资为16元，某人在一周内工作60小时，其中加班20小时．编写程序，计算这个人这一周所得的工资.25．为了了解高中新生的体能情况，某学校抽取部分高一学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12﹒（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由．26．学生甲在一次试验中用显微镜观察某种环境下细菌的个数，发现时间x（分钟）时刻的细菌个数为y个，统计结果如下：x12345y23445（Ⅰ）在给出的坐标系中画出x，y的散点图，说明细菌个数和时间是正相关还是负相关.（Ⅱ）根据表格中的5组数据，求y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+，并根据回归直线方程估计从实验开始，什么时刻细菌个数为12.参考公式：（1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx yx n axby bx ====---∑∑）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：设水深为x 尺，利用勾股定理求出水深，结合葭长13尺，代入几何概型概率计算公式，可得答案． 详解： 设水深为x 尺， 则（x+2）2=x 2+52， 解得x=214， 即水深214尺． 又葭长294尺， 则所求概率为2129. 故选A ．点睛：本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．2．B解析：B 【分析】设圆的半径为r ，利用几何关系得出正三角形ABC 的高为7r ，然后利用锐角三角函数计算出AD ，可得出该正三角形的边长，从而可计算出该正三角形的面积，然后将三个圆的面积之和除以正三角形的面积，可计算出所求事件的概率. 【详解】如图所示，取AB 边的中线CD ，则三个圆心都在线段CD 上， 设最上面的圆的圆心为O ，圆O 与BC 的切点为E ， 易知30OCE ∠=，所以2OC OE =.设圆的半径OE r =，2OC r ∴=，则7CD r =，所以22tan 303AB AD CD ===.所以217233ABC S r ∆⨯==，而阴影部分的面积为23r π， 所以所求的概率22333493r P ππ==故选：B. 【点睛】本题考查平面区域型几何概型概率的计算，解题的关键就是计算出相应区域的面积，考查计算能力，属于中等题.3．B解析：B 【分析】设阴影部分正方形的边长为a ，计算出七巧板所在正方形的边长，并计算出两个正方形的面积，利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如图所示，设阴影部分正方形的边长为a ，则七巧板所在正方形的边长为22a ， 由几何概型的概率公式可知，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率()2218a =，故选：B. 【点睛】本题考查几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.4．D解析：D 【分析】由半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为6π，腰为1的等腰三角形，求得十二边形的面积，利用面积比的几何概型，即可求解. 【详解】由题意，半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为6π，腰为1的等腰三角形，所以该正十二边形的面积为21121sin 326S π=⨯⨯⨯=， 由几何概型的概率计算公式，可得所求概率31P π=-，故选D. 【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量()N A ”，再求出总的基本事件对应的“几何度量N ”，然后根据()N A PN求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 5．C解析：C 【分析】分析式子11113519++++的特征，可以得到程序框图的功能是求11113519S =++++的值，观察循环量i 的特征，得到结果. 【详解】由于程序框图的功能是求11113519S =++++的值， 分母n 的初值为1，终值为19，步长为2， 故程序共执行10次，故循环变量i 的值不大于10时，应不满足条件，继续执行循环， 大于10时，应满足条件，退出循环， 故判断框内应填的是i ＞10，【点睛】思路点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，解题思路如下： （1）观察式子的特征，得到程序框图的功能； （2）由式子的项数，得到循环量i 的特征，得到结果.6．B解析：B 【分析】根据框图，模拟程序运行即可求解. 【详解】根据框图，执行程序，12,2S n ==；1222,3S n =+=；⋯12222,1i S n i =++⋯+=+，令12222126i S =++⋯+=， 解得6i =，即7n =时结束程序， 所以6n ≤， 故选 ：B 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，等比数列求和，属于中档题.genju7．C解析：C 【分析】根据程序框图的循环结构,依次运行,算出输出值为6n =时S 的值,使得S p <不成立时p 的值即可. 【详解】根据程序框图可知,1,0n S == 则11021,2S n -=+==21123,3S n -=+== 31327,4S n -=+== 417215,5S n -=+== 5115231,6S n -=+==此时应输出6n =,需31p <不成立.因而整数p 的最大值为31 故选:C本题考查了程序框图的简单应用,根据输出结果确定判读框,属于中档题.8．B解析：B 【分析】此程序框图是循环结构图，模拟程序逐层判断，得出结果. 【详解】 解： 模拟程序：,,a b n 的初始值分别为1,2，4，第1次循环：s 1225=+⨯=，,,a 2b 5n 3===，不满足2n <； 第2次循环：s 22512=+⨯=，,,a 5b 12n 2===，不满足2n <； 第3次循环：s 521229=+⨯=，,,a 12b 29n 1===，满足2n <， 故输出29S =. 故选B. 【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，解题的关键是要读懂循环结构的流程图，根据判断框内的条件逐步解题.9．C解析：C 【分析】根据平均数和方差公式计算比较即可. 【详解】设这个班有n 个同学，分数分别是123,,,,n a a a a ⋅⋅⋅，假设第i 个同学的成绩没录入，这一次计算时，总分是()1n x -，方差为()()()()()222222121111i i n s a x a x a x a x a x n -+⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦-； 第二次计算时，()11n nxx x -+=x =，方差为()()()()()()222222221121111++i i i n n s a x a x a x a x a x a x s n n-+-⎡⎤=-+-⋅⋅⋅-+-+-+⋅⋅⋅+-=⎣⎦故有1x x =，221s s >.故选:C 【点睛】本题主要考查样本的平均数和方差公式;属于中档题.10．B解析：B【分析】先求出，由样本点的中心在回归直线上，可求出，从而求出回归方程，然后令，可求出答案.【详解】由题意，，则样本中心点在回归方程上，则，故线性回归方程为，则广告费用为万元时销售额为万元，故选B.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于基础题.11．A解析：A【解析】【分析】利用茎叶图、平均数的性质直接求解．【详解】由一组数据的茎叶图得：该组数据的平均数为：1(7581858995)855++++=．故选：A．【点睛】本题考查平均数的求法，考查茎叶图、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．A解析：A【分析】共有8个数据，中位数就是由小到大中间两数的平均数，求解即可.【详解】根据茎叶图，由小到大排列这8个数为84，85，89，90，91，92，93，95，所以中位数为90+91=90.52，故选A.【点睛】本题主要考查了中位数，茎叶图，属于中档题.二、填空题13．【分析】先确定比分为1比2时甲乙在三次发球比赛中得分情况再分别求对应概率最后根据互斥事件概率公式求结果【详解】比分为1比2时有三种情况：（1）甲第一次发球得分甲第二次发球失分乙第一次发球得分（2）甲解析：28 75【分析】先确定比分为1比2时甲乙在三次发球比赛中得分情况，再分别求对应概率，最后根据互斥事件概率公式求结果【详解】比分为1比2时有三种情况：（1）甲第一次发球得分，甲第二次发球失分，乙第一次发球得分（2）甲第一次发球失分，甲第二次发球得分，乙第一次发球得分（3）甲第一次发球失分，甲第二次发球失分，乙第一次发球失分所以概率为32223222128 55355355375⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=【点睛】本题考查根据互斥事件概率公式求概率，考查基本分析求解能力，属中档题.14．；【分析】利用分步计数原理连续拋掷同一颗骰子3次则总共有：6×6×6=216种情况再列出满足条件的所有基本事件利用古典概型的计算公式计算可得概率【详解】每一次拋掷骰子都有123456六种情况由分步计解析：25 216；【分析】利用分步计数原理，连续拋掷同一颗骰子3次，则总共有：6×6×6=216种情况，再列出满足条件的所有基本事件，利用古典概型的计算公式计算可得概率.【详解】每一次拋掷骰子都有1，2，3，4，5，6，六种情况，由分步计数原理：连续抛掷同一颗骰子3次，则总共有：6×6×6=216种情况，则3次掷得的点数之和为9的基本事件为25种情况即：(1,2,6)，(1,3,5)，(1,4,4)，(1,5,3)，(1,6,2)，(2,1,6)，(2,2,5)，(2,3,4)，(2,4,3)，(2,5,2)，(2,6,1)，(3,1,5)，(3,2,4)，(3,3,3)，(3,4,2)，(3,5,1)，(4,1,4)，(4,2,3)，(4,3,2)，(4,4,1)，(5,1,3)，(5,2,2)，(5,3,1)，(6,1,2)，(6,2,1)，共25个基本事件，所以25216 P=.【点睛】本题考查分步计数原理和古典概型概率计算，计数过程中如果前两个数固定，则第三个数也相应固定.15．【分析】设出球的半径利用勾股定理求得圆柱的底面半径分别计算圆柱和球的体积然后利用几何概型的概率计算公式求得所求的概率【详解】设球的半径为依题意可知圆柱底面半径故圆柱的体积为而球的体积为故所求概率为【 解析：916【分析】设出球的半径，利用勾股定理求得圆柱的底面半径，分别计算圆柱和球的体积，然后利用几何概型的概率计算公式，求得所求的概率. 【详解】设球的半径为r，依题意可知，圆柱底面半径r =='，故圆柱的体积为22333πππ44r r r r r ⋅=⋅⋅='，而球的体积为34π3r ，故所求概率为333π944π163rr =. 【点睛】本小题主要考查有关球的内接几何体的问题，考查体积型的集合概型概率计算，属于基础题.对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间).有关球内接几何体的问题，主要是构造直角三角形，利用勾股定理来计算长度.16．-1【分析】计算的值找出周期根据余数得到答案【详解】依次计算得：…周期为32019除以3余数为0故答案为-1【点睛】本题考查了程序框图的相关知识计算数据找到周期规律是解题的关键解析：-1 【分析】计算a 的值，找出周期，根据余数得到答案. 【详解】 依次计算得：2,1a i ==1,22a i ==1,3a i =-= 2,4a i == ….周期为32019除以3余数为0，1a =- 故答案为-1 【点睛】本题考查了程序框图的相关知识，计算数据找到周期规律是解题的关键.17．【解析】试题分析：程序执行中的数据变化为：不成立输出考点：程序框图解析：【解析】试题分析：程序执行中的数据变化为：17,1,0,17,2,,27,3,23p n s n s n ===<==<=⨯ 1111167,7,,772334233478s n s =+<==+++<⨯⨯⨯⨯⨯不成立，输出111113233478288s =+++=-=⨯⨯⨯ 考点：程序框图18．【解析】试题分析：由程序框图可得到一个分段函数因此本题实质为根据定义域xÎ-22求值域当时当时所以值域为考点：流程图函数值域 解析：[1,4]-【解析】试题分析：由程序框图可得到一个分段函数2,0(){(2),0x x f x x x x -<=-≥，因此本题实质为根据定义域xÎ[-2，2]，求值域.当[2,0)x ∈-时，()(0,4];f x ∈当[0,2]x ∈时，()[1,0];f x ∈-所以()f x 值域为(0,4][1,0][1,4].⋃-=- 考点：流程图，函数值域.19．①③④⑦【分析】根据线性回归分析的概念进行分析即可【详解】在线性回归模型中相关指数越接近于1表示回归效果越好①正确；两个变量相关性越强则相关系数r 的绝对值就越接近于1②错误；③正确；两个模型中残差平解析：①③④⑦ 【分析】根据线性回归分析的概念进行分析即可． 【详解】在线性回归模型中，相关指数2R 越接近于1，表示回归效果越好，①正确；两个变量相关性越强，则相关系数r 的绝对值就越接近于1，②错误；③正确；两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，④正确；回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本点的中心(),x y ，不一定过样本点，⑤错误；若2K 的观测值满足2K ≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，并不能说在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，⑥错误；从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误，⑦正确．故答案为①③④⑦. 【点睛】本题考查线性回归分析的有关概念，掌握相关概念是解题基础，属于基础题．20．2【解析】由茎叶图及10个班级的得分的平均数是90可得∴当且仅当即时取等号故答案为2解析：2 【解析】由茎叶图及10个班级的得分的平均数是90可得8a b += ∴1911919191()()(19)(10)(1023)28888b a b a a b a b a b a b a b +=⨯++=+++=++≥+⨯=，当且仅当9b aa b=，即36b a ==时，取等号 故答案为2三、解答题21．（1）频率分布直方图见解析；均分为71分；（2）175；（3）13. 【分析】（1）根据频率和为1可求得[)70,80组对应的频率，由此可补全频率分布直方图；利用平均数的估计方法计算可得结果；（2）由频率分布直方图计算可得分数不低于85分的频率，利用总数⨯频率即可计算得到结果；（3）根据分层抽样原则可计算求得第一组、第二组和第六组分别抽取的人数，采用列举法可确定所有基本事件和满足题意的基本事件，由古典概型概率公式计算可得结果. 【详解】（1）[)70,80组的频率为()10.010.0150.0150.0250.0051010.70.3-++++⨯=-=，∴补全频率分布直方图如下图所示：均分为：450.1550.15650.15750.3850.25950.0571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）. （2）由频率分布直方图可知：分数不低于85分的频率为10.025100.005100.1752⨯⨯+⨯=， 1000∴名参赛同学中，预估有10000.175175⨯=人进入复赛. （3）第一组、第二组和第六组的频率之比为2:3:1，∴第一组抽取2626⨯=人，第二组抽取3636⨯=人，第六组抽取1616⨯=人， 记第一组和第二组的5人为,,,,a b c d e ，第六组的1人为A ，则随机抽取2人，有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a A ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b A ，(),c d ，(),c e ，(),c A ，(),d e ，(),d A ，(),e A ，共15种情况，成绩之差的绝对值大于20的有：(),a A ，(),b A ，(),c A ，(),d A ，(),e A ，共5种情况，∴所求概率51153p ==. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频数和频率、估计平均数等知识，同时考查了分层抽样和古典概型概率问题的求解，是对概率和统计部分知识的综合考查，属于常考题型. 22．(1) 0.4(2)1个 (3) 31()62P A == 【解析】试题分析：（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求． （2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数． （3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率． 试题（1）重量在[)90,95的频率为：；（2）若采用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个，则重量在[)80,85的个数为：；（3）设在[)80,85中抽取的一个苹果为x ，在[)95,100中抽取的三个苹果分别为,,a b c ，从抽出的4个苹果中，任取2个共有，，，，，6种情况．其中符合 “重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”的情况共有(,),(,),(,)x a x b x c 3种;设“抽出的4个苹果中，任取2个，重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”为事件A ，则事件A 的概率31()62P A ==．考点：1、古典概型及其概率计算公式；2、分层抽样方法．【方法点晴】本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．23．见解析；【解析】试题分析: 先利用INPUT语句输入半径以及高的值，再分别赋值圆柱的表面积和正方体的表面积，最后输出圆柱的表面积和正方体的表面积试题程序如下：INPUT“r，h＝”；r，hS＝3. 14*r^2m＝2*3. 14*r*hS1＝2*S＋mV＝3. 14*r^2*ha＝V^(1/3)S2＝6*a^2PRINT“圆柱、正方体的表面积分别为”；S1，S2END程序框如图所示．点睛：24．见解析；【解析】试题分析: 先利用INPUT语句输入法定工作时间以及加班工作时间，再分别赋值法定工作时间工资,加班工作时间工资以及总工资，最后输出一周所得的工资.试题程序如下：点睛：25．（1）0．08，150；（2）88％;（3）第四小组，理由见解析【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图中各小矩形面积之和为1结合面积之比得到第二小组的频率，从而求得样本容量；（2）由频率分布直方图中各小矩形的面积和为1与面积之比可求出达标的频率即达标率；（3）求出前四组的频数即可得到中位数所在的区间． 试题（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为：又因为频率= 所以（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内．考点：频率分布直方图26．（Ⅰ）图象见解析，正相关；（Ⅱ）ˆ0.7 1.5yx =+，当15x =时细菌个数为12个. 【分析】（Ⅰ）根据数据描点即得散点图，看图即判断结果；（Ⅱ）利用公式代入数据计算即可.【详解】解：（Ⅰ）图形如下，观察图像可知细菌个数和时间是正相关.（Ⅱ）由数据计算得，()11234535x =⨯++++=，()123445 3.65y =⨯++++=，1122334445561n ii i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，22222211234555n i i x ==++++=∑ 122216153 3.67ˆ0.7555310n i ii n i i x y nx y xb x n ==-⨯⨯====-⨯--∑∑，ˆˆ 3.60.73 1.5a y bx =-=-⨯=， 所以ˆ0.7 1.5yx =+， 当0.7 1.512x +=时，解得15x =. 所以当15x =时细菌个数为12个.【点睛】本题考查了散点图、线性回归方程及其应用，属于基础题.。
【人教版】高中数学必修一期末试卷(附答案)
一、选择题1．已知关于x 的方程2(3)10ax a x +-+=在区间1(,)2+∞上存在两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2332a << B ．213a < C ．9aD ．293a < 2．若关于x 的一元二次方程(2)(3)x x m --=有实数根1x ，2x ，且12x x <，则下列结论中错误的是（ ）A ．当0m =时，12x =，23x =B ．14m ≥-C ．当0m >时，1223x x <<<D ．二次函数()()12y x x x x m =--+的图象与x 轴交点的坐标为()2,0和()3,0 3．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=- ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =，则函数()()()1g x x f x π=-- 在区间3-,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为( ) A ．πB ．2πC ．3πD ．4π4．定义：若函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，点对(),A B 与(),B A 看作同一对“镜像点对”，已知函数()23,02,0xx f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，则该函数的“镜像点对”有（ ）对.A ．1B ．2C ．3D ．45．已知1311531log ,log ,363a b c π-===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a << 6．计算log 916·log 881的值为（ ） A ．18B ．118C ．83D ．387．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果()31f =-，则不等式()110f x -+≥的解集为（ ） A ．](2-∞，B ．[)2，+∞C ．[]24-，D ．[]14，8．已知函数22|1|,7,()ln ,.x x e f x x e x e --⎧+-≤<=⎨≤≤⎩若存在实数m ，使得2()24f m a a =-成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[-1，+∞) B ．(-∞，-1]∪[3，+∞) C ．[-1，3] D ．(-∞，3]9．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ）A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 10．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ） A ．-3或-1或2 B ．-3或-1C ．-3或2D ．-1或211．若集合3| 01x A x x -=≥+⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{|10}B x ax =+≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,13⎛-⎤⎥⎝⎦C ．(,1)[0,)-∞-+∞ D ．1[,0)(0,1)3-⋃12．已知集合{},M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（ ）①1A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．已知f (x )＝23,123,1x x x x x +≤⎧⎨-++>⎩，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为________． 14．（文）已知函数2cos ,1()21,1xx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩，则关于x 的方程2()3()20f x f x -+=的实根的个数是________个．15．函数()()()212log 24f x ax x a R =-+∈，若()f x 的值域为(],1-∞，则a 的值为______.16．若函数()()20.2log 1f x kx kx =-+的定义域是R ，则实数k 的取值范围是______.17．定义在R 上的减函数()f x 满足(0)4f =，且对任意实数x 都有()(2)4f x f x +-=，则不等式|()2|2f x -<的解集为____________.18．若函数()y f x = 的定义域为[-1,3]，则函数()()211f xg x x +=-的定义域 ___________19．已知集合{}1,2,5,7,13,15,16,19A =，设,i j x x A ∈，若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解，则实数k 的所有可能取值是________20．若集合2{|(2)20,A x x a x a =-++-<x ∈Z }中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是________三、解答题21．中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台需要另投入成本()C x （万元）．当年产量不足80台时，21()402C x x x =+（万元），当年产量不小于80台时，8100()1012180C x x x=+-（万元），若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．（1）求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式．（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润．22．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()241f x x x =-+．（1）求函数()f x 的解析式：（2）根据解析式在图画出()f x 图象． （3）讨论函数()()g x f x m =-零点的个数．23．已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，且(4)(2)1f f -=. （1）求函数()f x 的表达式；（2）判断函数()(2)(2)g x f x f x =++-的奇偶性，并说明理由.24．（1）求满足不等式221139x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的取值集合；（2）求函数235()log (45)f x x x =--的单调递减区间.25．定义：满足()f x x =的实数x 为函数()f x 的“不动点”，已知二次函数()()20f x ax bx a =+≠，()1f x +为偶函数，且()f x 有且仅有一个“不动点”．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()2g x f x kx =+在()0,4上单调递增，求实数k 的取值范围；（3）是否存在区间[](),m n m n <，使得()f x 在区间[],m n 上的值域为[]3,3m n ？若存在，请求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．26．已知集合{()(1)0}M xx t x =-+≤∣，{|21}N x x =|-|<. （1）当2t =时，求M N ⋃； （2）若N M ⊆，求实数t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】可设2()(3)1f x ax a x =+-+，0a ≠，讨论0a >，0a <，结合对称轴与区间的关系和1()2f 的符号、判别式的符号，解不等式可得所求范围． 【详解】解：方程有两个实数根，显然0a ≠，可设2()(3)1f x ax a x =+-+，对称轴是32ax a-=， 当0a >时，要使二次方程在区间1(,)2+∞上有两个实数根，如图所示，则需3122a a ->，且113()10242a f a -=++>，且2(3)40a a ∆=--， 即为302a <<且23a >，且9a 或1a ，则213a <；当0a <时，要使二次方程在区间1(,)2+∞上有两个实数根，如图所示，则需3122a a ->，且113()10242a f a -=++<，且2(3)40a a ∆=--， 即为302a <<且23<a ，且9a 或1a ，则a ∈∅．综上可得，a 的取值范围是213a <．故选：B ． 【点睛】本题解题关键是结合二次函数的图象特征研究二次方程根的分布，分类讨论借助图象准确列出不等关系，突破难点.2．C解析：C 【分析】画出函数()()23y x x =--的图像，然后对四个选项逐一分析，由此得出错误结论的选项. 【详解】画出二次函数()()23y x x =--的图像如下图所示，当0m =时，122,3x x ==成立，故A 选项结论正确. 根据二次函数图像的对称性可知， 当 2.5x =时，y 取得最小值为14-， 要使()()23y x x m =--=有两个不相等的实数根， 则需14m >-，故B 选项结论正确. 当0m >时，根据图像可知122,3x x <>，故C 选项结论错误.由()()23x x m --=展开得2560x x m -+-=， 根据韦达定理得12125,6x x x x m +=⋅=-. 所以()()()2121212y x x x x m x x x x x x m =--+=-+++()()25623x x x x =-+=--，故()()12y x x x x m =--+与x 轴的交点坐标为()()2,0,3,0. 故选：C. 【点睛】思路点睛：一元二次方程根的分布，根据其有两个不等的实根，结合根与系数的关系、函数图象，判断各选项的正误.3．D解析：D 【解析】函数()()()1g x x f x π=--在区间3,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点就是函数()y f x =与函数1()h x x π=-的交点的横坐标． ∵()()f x f x π+=-∴()()2f x f x π+=，即函数()f x 的周期为2π，且函数()f x 的图象关于直线2x π=对称．又可得()()2f x f x π+=--，从而函数()f x 的图象关于点(π,0)对称．函数1()h x x π=-的图象关于点(π,0)对称． 画出函数f(x),h(x)的图象（如下所示），根据图象可得函数f(x),h(x)的图象共有4个交点，它们关于点(π,0)对称． 所以函数()()()1g x x f x π=--在区间3,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为2π+2π=4π． 选D ．点睛：解答本题的关键是将函数()()()1g x x f x π=--零点问题转化为两个函数图象交点的横坐标问题，借助函数图象的直观性使得问题得到解答，这是数形结合在解答数学题中的应用，解题中要求正确画出函数的图象．同时本题中还用到了函数的周期性、对称性、奇偶性之间的互相转化，对于这些知识要做到熟练运用．4．C解析：C 【分析】由新定义可知探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数即得结果. 【详解】由题意可知，函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，因为()23,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，由y 轴左侧部分()3,0xy x =-<图像关于原点中心对称的图像3x y --=-，即3xy -=，()0x >，作函数3xy -=，()0x >和()22,0y x x x =-≥的图象如下：由图像可知两图象有三个公共点，即该函数有3对“镜像点对”. 故选：C. 【点睛】本题解题关键是理解新定义，寻找对称点对，探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数，通过数形结合，即突破难点.5．D解析：D 【分析】根据指数函数和对数函数性质，借助0和1进行比较． 【详解】由对数函数性质知151log 16>，13log 03π<，由指数函数性质知13031-<<，∴b c a <<． 故选：D ． 【点睛】方法点睛：本题考查指数式、对数式的大小比较，比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．6．C解析：C 【分析】根据对数的运算性质，换底公式以及其推论即可求出． 【详解】原式＝23443232448log 2log 3log 2log 3233⋅=⋅=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查对数的运算性质，换底公式以及其推论的应用，属于基础题．7．C解析：C 【分析】根据题意可得()f x 在[0，)+∞上为减函数，结合奇偶性以及()31f =-可得(|1|)f x f ⇒-|1|3x -，解出x 的取值范围，即可得答案．【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0，)+∞上是减函数， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，由f （3）1=-，则不等式(1)10(1)1(1)f x f x f x f -+⇒--⇒-（3）(|1|)f x f ⇒-（3）|1|3x ⇒-， 解之可得24x -， 故不等式的解集为[2-，4]． 故选：C ． 【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.8．C解析：C 【分析】根据函数()f x 的图象，得出值域为[2-，6]，利用存在实数m ，使2()24f m a a =-成立，可得22246a a --，求解得答案． 【详解】作出函数22|1|,7()ln ,x x e f x x e x e --⎧+-<=⎨⎩的图象如图： (7)6f -=，2()2f e -=-，∴值域为[2-，6]，若存在实数m ，使得2()24f m a a =-成立，22246a a ∴--，解得13a -，∴实数a 的取值范围是[1-，3]．故选：C【点睛】本题考查分段函数的性质，考查函数值域的求解方法，同时考查了数形结合思想的应用，属于中档题．函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．9．C解析：C 【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ． 由△≤0，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a 43＜（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x 1243a ---=，x 223a-+=．当403a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f ′（x 1）＝0，∴123a-＜2，a ＜0．解得：53-＜a 34-＜． 综上可得：53-＜a 34-＜． 故选：C ．点睛：极值转化为最值的性质：若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；10．C解析：C 【解析】若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}； 若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性： a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}； a =−1时,1−a =2(舍)， 本题选择C 选项.11．A解析：A 【分析】先根据分式不等式求解出集合A ，然后对集合B 中参数a 与0的关系作分类讨论，根据子集关系确定出a 的范围. 【详解】因为301x x -≥+，所以()()10310x x x +≠⎧⎨-+≥⎩，所以1x <-或3x ≥，所以{|1A x x =<-或}3x ≥，当0a =时，10≤不成立，所以B =∅，所以B A ⊆满足， 当0a >时，因为10ax +≤，所以1x a≤-，又因为B A ⊆，所以11-<-a，所以01a <<， 当0a <时，因为10ax +≤，所以1x a ≥-， 又因为B A ⊆，所以13a -≥，所以103a -≤<， 综上可知：1,13a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭.故选：A.【点睛】本题考查分式不等式的求解以及根据集合间的包含关系求解参数范围，难度一般.解分式不等式的方法：将分式不等式先转化为整式不等式，然后根据一元二次不等式的解法或者高次不等式的解法（数轴穿根法）求出解集. 12．C解析：C【分析】①②③都可以写成m a =+,a b 是否是有理数，④计算.【详解】①当1a +=+时，可得1,a b π==，这与,a b Q ∈矛盾，3==3a ∴+=，可得3,1a b == ，都是有理数，所以正确，1==，12a ∴+=-，可得11,2a b ==-，都是有理数，所以正确，④2426=+=而(22222a a b +=++， ,a b Q ∈，(2a ∴+是无理数，不是集合M 中的元素，只有②③是集合M 的元素.故选：C【点睛】本题考查元素与集合的关系，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.二、填空题13．2【详解】把函数的零点个数转化为方程解的个数转化为两个函数图象与象交点的个数在同一坐标系中画出这两个函数的图象由图象可知函数g(x)＝f(x)－ex 的零点个数为2解析：2【详解】 把函数的零点个数转化为方程解的个数转化为两个函数图象与象交点的个数，在同一坐标系中画出这两个函数的图象，由图象可知，函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为2.14．5【分析】先解方程再根据图象确定实根个数【详解】或图象如图：则由图可知实根的个数是5个故答案为：5【点睛】本题考查函数与方程考查综合分析求解能力属中档题解析：5【分析】先解方程2()3()20f x f x -+=，再根据()f x 图象确定实根个数.【详解】2()3()20()1f x f x f x -+=∴=或()2f x =，2cos ,1()21,1x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩图象如图：则由图可知，实根的个数是5个故答案为：5【点睛】本题考查函数与方程，考查综合分析求解能力，属中档题.15．【分析】根据对数的性质可知且最小值为即可求得的值【详解】因为的值域为所以函数的最小值为即解得故答案为：【点睛】本题考查对数函数的值域考查对数的性质合理转化是解题的关键考查了运算能力属于中档题 解析：27【分析】根据对数的性质可知2240y ax x =-+>，且最小值为1，即可求得a 的值. 【详解】因为()()()212log 24f x ax x a R =-+∈的值域为(],1-∞，所以2240ax x -+>， 函数224y ax x =-+的最小值为12，即()20442142a a a >⎧⎪⎨⨯--=⎪⎩，解得27a =， 故答案为：27【点睛】本题考查对数函数的值域，考查对数的性质，合理转化是解题的关键，考查了运算能力，属于中档题.16．【分析】由题可知恒成立再分情况讨论即可【详解】由题可知恒成立当时成立当时当时不等式不恒成立故实数k 的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题属于中等题型解析：[)0,4【分析】由题可知210kx kx -+>恒成立.再分情况讨论即可.【详解】由题可知210kx kx -+>恒成立.当0k =时成立.当0k >时,24004k k k ∆=-<⇒<<. 当k 0<时，不等式不恒成立.故实数k 的取值范围是[)0,4.故答案为：[)0,4【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题.属于中等题型.17．【分析】由绝对值不等式可知利用中x 的任意性得再利用函数的单调性解不等式即可【详解】因为任意实数都有且令则故不等式解得即又函数为上的减函数解得故不等式的解集为故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查了解抽 解析：(0,2)【分析】由绝对值不等式可知0()4f x <<，利用()(2)4f x f x +-=中x 的任意性得(2)0f =，再利用函数的单调性解不等式即可.【详解】因为任意实数x 都有()(2)4f x f x +-=，且(0)4f =，令2x =，则(2)(0)4f f +=，故(2)0f =不等式|()2|22()22f x f x -<⇒-<-<，解得0()4f x <<，即(2)()(0)f f x f << 又函数()f x 为R 上的减函数，解得02x <<，故不等式|()2|2f x -<的解集为(0,2) 故答案为：(0,2)【点睛】方法点睛：本题考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是： （1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.18．【分析】由函数的定义域得出的取值范围结合分母不等于0可求出的定义域【详解】函数的定义域函数应满足：解得的定义域是故答案为：【点睛】本题考查了求函数定义域的问题函数的定义域是函数自变量的取值范围应满足 解析：[1,1)-【分析】由函数()y f x =的定义域，得出21x +的取值范围，结合分母不等于0，可求出()g x 的定义域．【详解】函数()y f x =的定义域[1-，3]，∴函数(21)()1f xg x x +=-应满足： 121310x x -≤+≤⎧⎨-≠⎩解得11x -≤< ()g x ∴的定义域是[1,1)-.故答案为：[1,1)-．【点睛】本题考查了求函数定义域的问题，函数的定义域是函数自变量的取值范围，应满足使函数的解析式有意义，是基础题．19．【分析】先将的可能结果列出然后根据相同结果出现的次数确定出的取值集合【详解】将表示为可得如下结果：其中为都出现了次所以若方程至少有三组不同的解则的取值集合为故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题的关 解析：{}3,6,14【分析】先将i j x x -的可能结果列出，然后根据i j x x -相同结果出现的次数确定出k 的取值集合.【详解】将i j x x k -=表示为(),,i j x x k ，可得如下结果： ()()()()()()()19,1,18,16,1,15,15,1,14,13,1,12,7,1,6,5,1,4,2,1,1，()()()()()()19,2,17,16,2,14,15,2,13,13,2,11,7,2,5,5,2,3，()()()()()()19,5,14,16,5,11,15,5,10,13,5,8,7,5,2,19,7,12，()()()()()()16,7,9,15,7,8,13,7,6,19,13,6,16,13,3,15,13,2，()()()19,15,4,16,15,1,19,16,3，其中k 为3，6，14都出现了3次，所以若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解， 则k 的取值集合为{}3,6,14，故答案为：{}3,6,14【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解的含义，即i j x x -的差值出现的次数不小于三次，由此可进行问题的求解.20．【分析】由f （x ）＝x2﹣（a+2）x+2﹣a ＜0可得x2﹣2x+1＜a （x+1）﹣1即直线在二次函数图像的上方的点只有一个整数1则满足题意结合图象即可求出【详解】f （x ）＝x2﹣（a+2）x+2﹣ 解析：12(,]23由f（x）＝x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0可得x2﹣2x+1＜a（x+1）﹣1，即直线在二次函数图像的上方的点只有一个整数1，则满足题意，结合图象即可求出．【详解】f（x）＝x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0，即x2﹣2x+1＜a（x+1）﹣1，分别令y＝x2﹣2x+1，y＝a（x+1）﹣1，易知过定点（﹣1，﹣1），分别画出函数的图象，如图所示：∵集合A＝{x∈Z|f（x）＜0}中有且只有一个元素，即点（0，0）和点（2,1）在直线上或者其直线上方，点（1,0）在直线下方，结合图象可得∴10 {120 311aaa-≤--≤＜，解得12＜a23≤故答案为（12，23]【点睛】本题考查了二次函数的性质以及参数的取值范围，考查了转化思想和数形结合的思想，属于中档题三、解答题21．（1）2160500,080281001680,80x x xyx xx⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥⎪⎪⎝⎭⎩；（2）当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．（1）分别求080x <<和80x ≥时函数的解析式可得答案；（2）当080x <<时，21(60)13002y x =--+，配方法求最值、；当80x ≥时， 利用基本不等式求最值，然后再做比较.【详解】 （1）当080x <<时，2211100405006050022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭， 当80x ≥时，8100810010010121805001680y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 于是2160500,080281001680,80x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）由（1）可知当080x <<时，21(60)13002y x =--+， 此时当60x =时y 取得最大值为1300（万元），当80x ≥时，8100168016801500y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当8100x x=即90x =时y 取最大值为1500（万元）， 综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.22．（1）()2241,00,041,0x x x f x x x x x ⎧---<⎪==⎨⎪-+>⎩；（2）答案见解析；（3）答案见解析.【分析】（1）当0x <时，0x ->，运用已知区间的解析式和奇函数的定义结合()00f =，即可求解；（2）根据（1）中的解析式作出图象即可；（3）()()g x f x m =-零点的个数即等价于()y f x =与y m =两个函数图象交点的个数，数形结合讨论m 的值即可.【详解】（1）当0x =时，()00f =，当0x <时，0x ->，()241f x x x -=++，因为()f x 时奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()241f x x x f x -=++=-，即()()2410f x x x x =---<，所以()2241,00,041,0x x x f x x x x x ⎧---<⎪==⎨⎪-+>⎩（2）()f x 图象如图所示：（3）由()f x 图象知：()23f -=，()23f =-，①当3m <-或3m >时，()y f x =与y m =两个函数图象有1个交点，函数()()g x f x m =-有1个零点；②当3m =±时，()y f x =与y m =两个函数图象有2个交点，函数()()g x f x m =-有2个零点；③当31m -<≤-或13m ≤<时，()y f x =与y m =两个函数图象有3个交点，函数 ()()g x f x m =-有3个零点；④当11m -<<且0m ≠时，()y f x =与y m =两个函数图象有4个交点，函数 ()()g x f x m =-有4个零点；⑤当0m =时，()y f x =与y m =两个函数图象有5个交点，函数()()g x f x m =-有5个零点；综上所述：当3m <-或3m >时，()g x 有1个零点；当3m =±时，，()g x 有2个零点；当31m -<≤-或13m ≤<时，()g x 有3个零点；当11m -<<且0m ≠时，()g x 有4个零点；当0m = 时，()g x 有5个零点；【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接法：令()0f x =，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，并且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数，()h x 和()g x 的形式，根据()()()0f x h x g x =⇔=，则函数()f x 的零点个数就是函数()y h x =和()y g x =的图象交点个数；（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.23．（1）2()log f x x =（2）偶函数.见解析【分析】（1）根据(4)(2)1f f -=，代入到函数的解析式中可求得2a =，可求得函数()f x 的解析式; （2）由函数()f x 的解析式，求得函数()g x 的解析式，先求得函数()g x 的定义域，再由函数的奇偶性的判断方法证得函数的奇偶性.【详解】（1）因为()log (0,1)a f x x a a =>≠，且(4)(2)1f f -=，所以log 4log 21a a -=，即log 21a =.，解得2a =，所以2()log f x x =;（2）因为()log a f x x =，所以22()log (2)log (2)g x x x =++-,由2020x x +>⎧⎨->⎩,得22x -<<,所以()g x 的定义域为()22-，， 又因为22()log (2)log (2)()g x x x g x -=-++=，所以22()log (2)log (2)g x x x =++-为偶函数.【点睛】本题考查对数函数的函数解析式的求解，函数的奇偶性的证明，属于基础题.24．（1）32x x⎧⎨⎩或}1x <- （2）(5,)+∞ 【分析】 （1）先使得()22222139x x ---⎛⎫= ⎪⎝⎭,再由3x y =的单调性求解即可； （2）先求定义域,再根据复合函数单调性的“同增异减”原则求解即可.【详解】 解:（1）因为221139x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭,且()22222139x x ---⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()222133x x --->,因为3x y =在R 上单调递增,所以()2221x x -->-,解得32x >或1x <-, 则满足不等式221139x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的取值集合为32x x ⎧⎨⎩或}1x <- （2）由题,2450x x -->,解得5x >或1x <-,则定义域为()(),15,-∞-+∞, 设245u x x =--,35log y u =, 因为35log y u =单调递减,若求()f x 的递减区间,则求245u x x =--的递增区间, 因为245u x x =--的对称轴为2x =,所以在()5,+∞上单调递增,所以函数()f x 的单调减区间为()5,+∞【点睛】本题考查解指数不等式,考查复合函数的单调区间.25．（1）21()2f x x x =-+（2）3,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）4,0m n =-=，证明见解析 【分析】（1）根据二次函数的对称性求出2b a =-，再将()f x 有且仅有一个“不动点转化为方程()f x x =有且仅有一个解，从而得出()f x 的解析式；（2）当102k -=时，由一次含函数的性质得出12k =满足题意，当102k -≠时，讨论二次函数()g x 的开口方向，根据单调性确定112x k =-与区间()0,4端点的大小关系得出实数k 的取值范围；（3）由2111()(1)222f x x =--+得出16m n <，结合二次函数的单调性确定()f x 在区间[],m n 上是增函数，从而得出()3()3f m m f n n =⎧⎨=⎩，再解方程2132x x x -+=得出m ，n 的值.【详解】（1）22(1)(1)(1)(2)f x a x b x ax a b x a b +=+++=++++为偶函数20,22a b b a a+∴=∴=-- 2()2f x ax ax ∴=-f x 有且仅有一个“不动点”∴方程()f x x =有且仅有一个解，即[](21)0ax x a -+=有且仅有一个解211210,,()22a a f x x x ∴+==-=-+ （2）221()()2g x f x kx k x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，其对称轴为112x k =- 函数()()2g x f x kx =+在()0,4上单调递增∴当12k <时，1412k -，解得3182k < 当12k =时，()g x x =符合题意 当12k >时，1012k <-恒成立 综上，3,8k ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭ （3）221111()(1)2222f x x x x =-+=--+ f x 在区间[],m n 上的值域为[]3,3m n ，113,26nn ∴，故16m n < ()f x ∴在区间[],m n 上是增函数()3()3f m m f n n =⎧∴⎨=⎩，即22132 132m m m n n n ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ ∴,m n 是方程2132x x x -+=的两根，解得0x =或4x =- 4,0m n ∴=-=【点睛】关键点睛：已知函数21()2g x k x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在具体区间上的单调性求参数k 的范围时，关键是讨论二次项系数的值，结合二次函数的单调性确定参数k 的范围.26．（1）[1,3)-（2）[3,)+∞【分析】（1）可得出N ={x |1 <x <3 }，t =2时求出集合M ，然后进行并集的运算即可;（2）根据N M ⊆即可得出集合M ={x |-1≤x ≤t }，进而可得出t 的取值范围.【详解】（1）{|21}N x x =|-|<={13}xx <<∣， 当2t =时，{(2)(1)0}(1,2)M xx x =-+≤=-∣， [)1,3M N ∴⋃=-（2）N M ⊆，∴M ={x |-1≤x ≤t }，3t ∴≥，∴实数t 的取值范围[3,)+∞【点睛】本题主要考查了一元二次不等式和绝对值不等式的解法，并集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题.。
高三数学试卷附答案解析
高三数学试卷附答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.若，则下列不等式成立的是( )A ．B ．C ．D ．2.已知抛物线，过其焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为抛物线的准线与x 轴的交点，，则（ ）A ．4B ．8C ．16D ．18 3.已知数阵中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若，则这9个数的和为( )A ．16B ．18C ．9D ．8 4.若，，则的元素个数为A ．0B ． 1C ． 2D ．35.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（ ） A ．B ．或C ．2D ．6.若函数同时具备以下三个性质：①是奇函数；②的最小正周期为；③在上为增函数，则的解析式可以是（ ） A ．B ．C ．D ．7.二次曲线,当时,该曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8.若集合，集合，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．9.使命题p ：∃x 0∈R ＋，x 0ln x 0＋x －ax 0＋2<0成立为假命题的一个充分不必要条件为 A ．a ∈(0，3) B ．a ∈(－∞，3] C ．a ∈(3，＋∞) D ．a ∈[3，＋∞) 10.“成等差数列”是“”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11.12.函数的最大值为，最小正周期为，则有序数对为（ ） A ． B ．C ．D ．13.设是两个非零向量，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若|，则B ．若,则C ．若,则存在实数,使得D ．若存在实数,使得,则14.下列命题中的假命题是（ ） A ．B ．“”是“”的充分不必要条件C ．D．“x<2”是“|x|<2”的充分非必要条件15.函数的定义域是()A．(6，＋∞) B．[－3,6) C．(－3，＋∞) D．(－3,6)16.（2015•绥化校级二模）函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω≠0），对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）等于（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或017.函数f(x)=的图象和g(x)=log2x的图象的交点个数是()A．4 B．3 C．2 D．118.已知集合A={y|y=lg(x-3)},B={a|a2-a+3>0},则“x>4”是“A B”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件19.集合,,若,则的值为( )A．0 B．1 C．2 D．420.《莱因德纸草书》（Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小的一份为A． B． C． D．二、填空题21.定义运算符号“”：表示若干个数相乘，例如：．记，其中为数列中的第项．（1）若，则；（2）若，则．22.执行右面的程序框图，若输入的的值为1，则输出的的值为 .23.已知分别为内角的对边，，且，则面积的最大值为__________．24.已知等差数列，是数列的前项和，且满足，则数列的首项_______，通项_____．25.对于问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，给出如下一种解法：参考上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为。
上海市浦东新区2020学年度第一学期期末教学质量检测(一模)高三数学试卷及参考答案
【解析】由 ，再求解即可.
【详解】解：因为 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了数列的极限的运算，属基础题.
2.
【解析】代入球的表面积公式: 即可求得.
【详解】 ，
由球的表面积 公式可得,
,
故答案为:
【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题.
3.
【解析】根据抛物线的性质得结论．
【详解】由抛物线方程得 ，焦点为 ，准线方程为 ．
（3）已知椭圆 与双曲线 在第一象限 交点为 ，椭圆 和双曲线 上满足 的所有点 组成曲线 ．若点 是曲线 上一动点，求 的取值范围．
21.已知函数 的定义域是 ，若对于任意的 、 ，当 时，都有 ，则称函数 在 上为非减函数.
（1）判断 ， 与 ， 是否是非减函数?
（2）已知函数 在 上为非减函数，求实数 的取值范围；
13.若 、 是实数，则 是 的（）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
14.若某线性方程组的增广矩阵为 ，则该线性方程组的解的个数为（）
A. 0个B. 1个C.无数个D.不确定
15.下列命题中正确的是（）
A. 三点确定一个平面
B. 垂直于同一直线的两条直线平行
17.如图，直三棱柱 中， ， ， ，点 为线段 的中点．
求直三棱柱 的体积；
求异面直线 与 所成的角的大小．（结果用反三角表示）
18.已知函数 的最小正周期为 .
（1）求 与 的单调递增区间；
（2）在 中，若 ，求 的取值范围.
19.勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施.某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前 个月对某种食材的需求总量 （公斤）近似地满足 ．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前 个月的进货总量须不低于前 个月的需求总量.
上海市徐汇区2019年高三第一学期期末(一模)学科质量检测数学试题及答案(word版)
徐汇区2018-2019学年第一学期高三年级质量调研考试 数学试卷 2018.12考生注意：1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为___________.2.已知全集U =R ，集合{}2,,0A y y x x x -==∈≠R ，则U A =ð___________. 3.若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为___________.4.若数列{}n a 的通项公式为*2()111n na n N n n=∈+，则lim n n a →∞=___________. 5.已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线方程是2y x =，它的一个焦点与抛物线220y x =的焦点相同，则此双曲线的方程是___________.6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，()3,1n =r是l 的一个法向量.已知数列{}n a 满足：对任意的正整数n ，点()1,n n a a +均在l 上.若26a =，则3a 的值为 .7.已知()212nx n N x *⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x 项的系数是 .（结果用数值表示）8.上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如下表所示：其他人的成绩至少是B 级及以上，平均分是64分.这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为___________人.9.已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，()lg(1)f x x =+，令函数[]()()(1,2)g x f x x =∈，则()g x 的反函数为______________________.10.已知函数sin y x =的定义域是[],a b ，值域是12⎡⎤⎢⎥⎣⎦-1，，则b a -的最大值是___________.11.已知R λ∈，函数24,()43,x x f x x x x λλ-≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩.若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．12.已知圆M :1)1(22=-+y x ，圆N :1)1(22=++y x .直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于,A B 两点，2l 与圆N 相交于,C D 两点.点P 是椭圆22194x y +=上任意一点，则PA PB PC PD ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为___________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.设R θ∈，则“=6πθ”是“1sin =2θ”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件14.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4π.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ）（A ）16 （B ） （C ）163 （D ）128315.对于函数()y f x =，如果其图像上的任意一点都在平面区域{}(,)|()()0x y y x y x +-≤内，则称函数()f x 为“蝶型函数”.已知函数：①sin y x =；②y ，下列结论正确的是( )（A ）①、②均不是“蝶型函数” （B ）①、②均是“蝶型函数”（C ）①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数” （D ）①不是“蝶型函数”；②是“蝶型函数”16.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，前n 项和为n S .若对任意的*n N ∈，都有3n S S ≥，则65a a 的值不可能为（ ） （A ）2 （B ）53 （C ）32 （D ）43三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1.（1）正方体''''ABCD A B C D -中哪些棱所在的直线与直线'A B 是异面直线？（2）若,M N 分别是','A B BC 的中点，求异面直线MN 与BC 所成角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数2(),2ax f x x -=+其中.a R ∈ （1）解关于x 的不等式()1f x ≤-；（2）求a 的取值范围，使()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多. 某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB ，对应的圆心角3AOB π∠=. 该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD 对不明船只进行识别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内）.在圆弧的两端点,A B 分别建有监测站，A 与B 之间的直线距离为100海里. （1）求海域ABCD 的面积；海（2） 现海上P 点处有一艘不明船只，在A 点测得其距A 点40海里，在B 点测得其距B点. 判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD ？请说明理由.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的长轴长为1,直线:l y kx m =+与椭圆Γ交于,A B 两点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若A 为椭圆的上顶点，M 为AB 中点，O 为坐标原点，连接OM 并延长交椭圆Γ于N，ON =u u u r u u ur ,求k 的值； （3）若原点O 到直线l 的距离为1，OA OB λ⋅=u u u r u u u r ，当4556λ≤≤时，求OAB ∆的面积S 的范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知项数为0n 0(4)n ≥项的有穷数列{}n a ，若同时满足以下三个条件：①011,n a a m ==(m 为正整数)；②10i i a a --=或1，其中02,3,,i n =…；③任取数列{}n a 中的两项,()p q a a p q ≠，剩下的02n -项中一定存在两项,()s t a a s t ≠，满足p q s t a a a a +=+. 则称数列{}n a 为Ω数列.（1）若数列{}n a 是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列{}n a 是否是Ω数列，并说明理由；（2）当3m =时，设Ω数列{}n a 中1出现1d 次，2出现2d 次，3出现3d 次，其中*123,,d d d N ∈，求证：1234,2,4d d d ≥≥≥；（3）当2019m =时，求Ω数列{}n a 中项数0n 的最小值.徐汇区2018-2019学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案。
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【典型题】高三数学上期末试卷(附答案)(1)一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意*N n ∈，都有()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（ ）A ．()2,3B ．[]2,3C ．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x＋1；④y ＝sin44x ππ+（）A ．1B ．2C ．3D ．43．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ） A．2+B1C．2D14．若直线()100,0ax by a b ++=>>把圆()()224116x y +++=分成面积相等的两部分，则122a b+的最小值为( ) A ．10B ．8C ．5D ．45．在ABC ∆中，2AC =,BC =135ACB ∠=o ，过C 作CD AB ⊥交AB 于D ，则CD =( ) ABCD6．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =， 则96S S =（ ） A ．2B ．73C ．83D ．37．已知实数,x y 满足0{20x y x y -≥+-≤则2y x -的最大值是( )A ．-2B ．-1C ．1D ．28．在△ABC 中，若1tan 15013A C BC ︒===，，，则△ABC 的面积S 是( ) A．38- B．34- C．38+ D9．数列{}n a 为等比数列，若11a =，748a a =，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则5(S = )A ．3116B ．158C ．7D ．3110．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项的和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 （ ） A ．24B ．48C ．60D ．8411．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（ ） A ．1 B ．12C ．34D ．3212．在中，，，，则A ．B ．C ．D ．二、填空题13．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升；14．计算：23lim 123n n nn→+∞-=++++L ________15．在平面直角坐标系中，设点()0,0O ，(3A ，点(),P x y 的坐标满足303200x y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩，则OA u u u v 在OP uuu v 上的投影的取值范围是__________ 16．若正数,a b 满足3ab a b =++，则+a b 的取值范围_______________。
17．若正项数列{}n a 满足11n n a a +-<,则称数列{}n a 为D 型数列,以下4个正项数列{}n a 满足的递推关系分别为:①2211n naa +-= ②1111n na a +-= ③121n n n a a a +=+ ④2121n n a a +-=，则D 型数列{}n a 的序号为_______.18．已知数列{}n a 满足51()1,62,6n n a n n a a n -⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是_________.19．设(32()lg 1f x x x x =++，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的_________条件．（填“充分不必要”.“必要不充分”.“充要”.“既不充分又不必要”之一）20．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为______．三、解答题21．已知在等比数列{}n a 中, 11a =,且2a 是1a 和31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n b 满足()*21n n b n a n N=-+∈,求{}nb 的前n 项和nS.22．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足37a =，999S =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()2nn n a b n N *=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . 23．已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .24．在ABC V 中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2,a b ==，面积2S accosB =. （1）求sin A 的值；（2）若点D 在BC 上（不含端点），求sin BDBAD∠的最小值.25．已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==.若6k b a =，求k 的值.26．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【解析】011111444222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11221244133212nnn n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()143n p S n ≤-≤Q即22113332n p ⎛⎫⎛⎫≤-⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意*n N ∈都成立， 当1n =时，13p ≤≤ 当2n =时，26p ≤≤当3n =时，443p ≤≤ 归纳得：23p ≤≤故选B点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列{}n a 的前n 项和为n S ，为求p 的取值范围则根据n 为奇数和n 为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果2．C解析：C 【解析】①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数； ④y ＝sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.答案：C.3．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．4．B解析：B 【解析】 【分析】由于直线将圆平分，故直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，利用“1”的代换的方法以及基本不等式，求得所求和的最小值. 【详解】圆的圆心为()4,1--，由于直线将圆平分，故直线过圆心，即410a b --+=，即41a b +=，故()121284448222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当82b aa b =，即11,82a b ==时，取得最小值为8.故选B. 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用“1”的代换和基本不等式求解和式的最小值问题.直线能将圆平分成面积相等的两个部分，则这条直线是经过圆心的.要注意的是，圆的标准方程是()()222x a y b r -+-=，圆心是(),a b ，所以本题的圆心是()4,1--，而不是()4,1.5．A解析：A 【解析】 【分析】先由余弦定理得到AB 边的长度，再由等面积法可得到结果. 【详解】根据余弦定理得到22222AC BC AB AC BC +-=-⨯⨯将2AC =,BC =,代入等式得到AB=再由等面积法得到1122225CD CD ⨯=⨯⨯⇒=故答案为A. 【点睛】这个题目考查了解三角形的应用问题，涉及正余弦定理，面积公式的应用，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.6．B【解析】【分析】首先由等比数列前n项和公式列方程，并解得3q，然后再次利用等比数列前n项和公式，则求得答案．【详解】设公比为q，则6163 63313(1)1113(1)11a qS qqqa qS qq---===+=---，∴32q=，∴93962611271123S qS q--===--．故选：B．【点睛】本题考查等比数列前n项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时也可以利用连续等长片断的和序列仍然成等比数列，进行求解.7．C解析：C【解析】作出可行域，如图BAC∠内部（含两边），作直线:20l y x-=，向上平移直线l，2z y x=-增加，当l过点(1,1)A时，2111z=⨯-=是最大值．故选C．8．A解析：A【解析】【分析】由正弦定理求出c，A 是三角形内角，1tan 3A =，∴sin A =由正弦定理sin sin a c A C=得sin sin 10a C c A ===， 又2222cos c a b ab C =+-，即22512cos15012b b b =+-︒=+，2302b +-=，32b =（32b =舍去），∴11sin 122ABC S ab C ∆==⨯︒=． 故选：A ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查同角间的三角函数关系．解三角形中公式较多，解题时需根据已知条件确定先选用哪个公式，再选用哪个公式．要有统筹安排，不致于凌乱．9．A解析：A 【解析】 【分析】先求等比数列通项公式，再根据等比数列求和公式求结果. 【详解】Q 数列{}n a 为等比数列，11a =，748a a =，638q q ∴=，解得2q =， 1112n n n a a q --∴==， Q 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ， 55111111131211248161612S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴=++++==-．故选A ． 【点睛】本题考查等比数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.10．C解析：C试题分析：∵11011101100000a a a d a a ⋅∴＞，＜，＜，＞，＜， ∴18110111810181060T a a a a S S S =+⋯+--⋯-=--=（），选C . 考点：1.等差数列的求和；2.数列的性质.11．C解析：C 【解析】∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且229m n a a a =∴2224222223339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=∴6m n +=∴121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等． （3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．12．D解析：D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可知，再由正弦定理即可求出AB .【详解】 由内角和定理知，所以，即，故选D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，属于中档题.二、填空题13．【解析】试题分析：由题意可知解得所以考点：等差数列通项公式解析：6766【解析】试题分析：由题意可知123417891463,3214a a a a a d a a a a d +++=+=++=+=，解得137,2266a d ==，所以5167466a a d =+=. 考点：等差数列通项公式． 14．【解析】【详解】结合等差数列前n 项和公式有：则： 解析：6【解析】 【详解】结合等差数列前n 项和公式有：()11232n n n +++++=L ，则：()()226231362lim lim lim lim61123111n n n n n n n n n n n n n n n→+∞→+∞→+∞→+∞----====+++++++L . 15．【解析】【分析】根据不等式组画出可行域可知；根据向量投影公式可知所求投影为利用的范围可求得的范围代入求得所求的结果【详解】由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：由题意可知：在上的投影为：本题正确结 解析：[]3,3-【解析】 【分析】根据不等式组画出可行域，可知5,66AOP ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦；根据向量投影公式可知所求投影为cos OA AOP ∠u u u v，利用AOP ∠的范围可求得cos AOP ∠的范围，代入求得所求的结果.【详解】由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：由题意可知：6AOB π∠=，56AOC π∠=OA u u u v 在OP uuu v上的投影为：cos OA AOP AOP AOP ∠=∠=∠u u u vAOB AOP AOC ∠≤∠≤∠Q 5,66AOP ππ⎡⎤∴∠∈⎢⎥⎣⎦cos ,22AOP ⎡∴∠∈-⎢⎣⎦[]cos 3,3OA AOP ∴∠∈-u u u v本题正确结果：[]3,3- 【点睛】本题考查线性规划中的求解取值范围类问题，涉及到平面向量投影公式的应用；关键是能够根据可行域确定向量夹角的取值范围，从而利用三角函数知识来求解.16．【解析】【分析】先根据基本不等式可知a+b≥2代入题设等式中得关于不等式a+b 的方程进而求得a+b 的范围【详解】∵正数ab 满足a+b≥2∴ab≤又ab=a+b+3∴a+b+3≤即（a+b ）2﹣4（a 解析：[)6,+∞【解析】 【分析】先根据基本不等式可知a+b 的方程，进而求得a+b 的范围． 【详解】∵正数a ，b 满足 ab ≤22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭．又ab=a +b+3，∴a+b+3≤22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，即（a+b ）2﹣4（a+b ）﹣12≥0．解得 a+b≥6． 故答案为：[6，+∞）． 【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，考查了学生对基本不等式的整体把握和灵活运用．17．①②③④【解析】【分析】根据D 型数列的定义逐个判断正项数列是否满足即可【详解】对①因为且正项数列故故所以成立对②故成立对③成立对④故成立综上①②③④均正确故答案为：①②③④【点睛】本题主要考查了新定解析：①②③④ 【解析】 【分析】根据D 型数列的定义,逐个判断正项数列{}n a 是否满足11n n a a +-<即可. 【详解】对①,因为2211n n a a +-=,且正项数列{}n a .故()222211211n n n n n a a a a a +=+<++=+,故11n n a a +<+.所以11n n a a +-<成立. 对②,1111111111n n n n n n n a a a a a a a +++-=?=Þ++, 故22101111n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a +--=---++==<<+成立. 对③, 112221101111n nn n n n n n n n a a a a a a a a a a ++⎛⎫=⇒-=-=-<< ⎪+++⎝⎭成立 对④, ()2222112121211n n n n n n n a a a a a a a ++-=⇒=+<++=+.故11n n a a +<+,11n n a a +-<成立. 综上, ①②③④均正确. 故答案为：①②③④ 【点睛】本题主要考查了新定义的问题,需要根据递推公式证明11n n a a +-<.属于中等题型.18．【解析】【分析】由题若对于任意的都有可得解出即可得出【详解】∵若对任意都有∴∴解得故答案为【点睛】本题考查了数列与函数的单调性不等式的解法考查了推理能力与计算能力属于中档题解析：17,212⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】由题若对于任意的*n N ∈都有1n n a a +>，可得5610012a a a a -＜，＞，＜＜． 解出即可得出． 【详解】∵511,62,6n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>， ∴5610012a a a a -＜，＞，＜＜．． ∴11 0()510122a a a a --⨯+＜，＞，＜＜ ， 解得17 212a ＜＜ ． 故答案为17,212⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了数列与函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．充要【解析】所以为奇函数又为单调递增函数所以即是的充要条件点睛：充分必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断若则若则的真假并注意和图示相结合例如⇒为真则是的充分条件2等价法：利用⇒与非⇒非⇒与非⇒非解析：充要 【解析】33()()lg(()lg(lg10f x f x x x x x +-=++-+-== ，所以()f x 为奇函数，又()f x 为单调递增函数，所以0()()()()()()0a b a b f a f b f a f b f a f b +≥⇔≥-⇔≥-⇔≥-⇔+≥ ，即“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的充要条件点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．20．6【解析】【分析】由题意公差d=1na1+=2668∴n（2a1+n-1）=5336=23×23×29得出满足题意的组数即可得出结论【详解】由题意公差d=1na1+=2668∴n（2a1+n-1）=解析：6 【解析】 【分析】由题意，公差d=1，na 1+()12n n -=2668，∴n （2a 1+n-1）=5336=23×23×29，得出满足题意的组数，即可得出结论． 【详解】由题意，公差d=1，na 1+()12n n -=2668，∴n （2a 1+n-1）=5336=23×23×29， ∵n ＜2a 1+n-1，且二者一奇一偶，∴（n ，2a 1+n-1）=（8，667），（23，232），（29，184）共三组； 同理d=-1时，也有三组． 综上所述，共6组． 故答案为6． 【点睛】本题考查组合知识的运用，考查等差数列的求和公式，属于中档题．三、解答题21．(1) 12n n a -=(2) n S 221n n =+-【解析】 【分析】(1)由题意结合等差数列的性质得到关于公比的方程，解方程求得公比的值，然后结合首项求解数列的通项公式即可.(2)结合(1)的结果首先确定数列{}n b 的通项公式，然后分组求和即可求得数列{}n b 的前n 项和n S . 【详解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,则2a q =,23a q =,∵2a 是1a 和31a -的等差中项, ∴()21321a a a =+-, 即()2211q q =+-, 解得2q =,∴12n n a -=.(2) 121212n n n b n a n -=-+=-+,则()()11321122n n S n -⎡⎤=+++-++++⎣⎦L L()12112212n n n ⎡⎤+--⎣⎦=+-. 221n n =+-.【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 22． （Ⅰ）21n a n =+，n *∈N （Ⅱ）2552n nn T +=- 【解析】试题分析：（1）先根据条件列出关于首项与公差的方程组,解得首项与公差,代入等差数列通项公式即可（2）利用错位相减法求和, 利用错位相减法求和时，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以1q -试题解析：（Ⅰ）由题意得：1127989992a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得132a d =⎧⎨=⎩ , 故{}n a 的通项公式为21n a n =+，*n N ∈ （Ⅱ）由（Ⅰ）得：212n nn b +=23435792122222n n n T +=++++⋯+ ① 234113572121222222n n n n n T +-+=+++⋯++ ② ①－②得：23411311112122222222n n n n T ++⎛⎫=++++⋯+- ⎪⎝⎭ 152522n n ++=-故2552n nn T +=-点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 23．（1）证明见解析 （2）()11222n n n n S ++=--【解析】 【分析】(1)根据n n b a n =+求得1n b +,化简成含n a 的表达式再得12n n b b +=即可.(2)根据(1)中等比数列的首项与公比求得数列{}n b 的通项公式,再代入n n b a n =+即可求得数列{}n a 的通项公式,再根据分组求和求解即可. 【详解】（1）证明：因为121,n n n n a a n b a n +=+-=+所以()()()11121122n n n n n b a n a n n a n b ++=++=+-++=+=, 又因为11120b a =+=≠,则12n nb b +=, 所以数列{}n b 是首项为2,公比为2的等比数列.（2）由（1）知2n n n a n b +==,所以2nn a n =-,所以()()()()232122232nn S n =-+-+-+⋅⋅⋅+-()()232222123n n =+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()()()121211221222nn n n n n +-++=-=---【点睛】本题主要考查了数列的递推公式证明等比数列的方法,同时也考查了分组求和与等比等差数列求和的公式等.属于中等题型. 24．（1）7；（2）3 【解析】 【分析】（1）由三角形面积公式得出60B ︒=，再由正弦定理即可得出sin A 的值； （2）先由余弦定理得出AD ，再结合正弦定理以及二次函数的性质得出sin BDBAD∠的最小值. 【详解】（1）由三角形面积公式得1sin cos 22ac B ac B =，则tan B =()0,B π∈Q ，60B ︒∴=由正弦定理sin sin a b A B=得，2sin sin 7a B A b === （2）由余弦定理得22222cos 230b a c ac B c c =+-⇒--=，解得1c =-（舍）或3c =设x BD =，则2DC x =-，()0,2x ∈，由余弦定理得cos 14C ==2222cos AD DC AC DC AC ACD =+-⋅∠2(2)7(2)x x =-+--239x x =-+由正弦定理得sin sin BD AD BAD ABC ==∠∠ 当32x =时，sin BD BAD ∠3= 【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理解三角形，属于中档题. 25．（1）22n a n =+；（2）63【解析】 【分析】（1）求出公差d 和首项1a ，可得通项公式；（2）由23,b b 得公比，再得6b ，结合{}n a 通项公式求得k . 【详解】（1）由题意等差数列{n a 的公差432d a a =-=，121210a a a d +=+=，14a =， ∴1(1)4(1)222n a a n d n n =+-=+-⨯=+； （2）由（1）23378,16b a b a ====，∴321628b q b ===，446282128b b q ==⨯=， ∴22128k a k =+=，63k =. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，掌握基本量法是解题基础. 26．(Ⅰ)3π；(Ⅱ)b =【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得tanB =，则B =π3． （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理可得b．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得()2sin A B -=详解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理a b sinA sinB=，可得bsinA asinB =， 又由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 即π6sinB cos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得tanB = 又因为()0πB ∈，，可得B =π3． （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3， 有22227b a c accosB =+-=，故b由π6bsinA acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得sinA =a <c，故cosA =．因此22sin A sinAcosA ==，212217cos A cos A =-=．所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=11727214-⨯= 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．。